Avaliação de Cálculo III - UFC

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Universidade Federal do Ceará
Cálculo Deferencial e Inegral III - 2a Avaliação Parcial - 29/07/2020
Nome:
1) (2,0) Calcule
∫
γ
fds onde f(x, y) =
√
x2 + y2 e γ(t) = (a cos t, b sin t) é a
curva que descreve a elipse.
2) (2,0) Encontre as equações dos multiplicadores de Lagrange para encon-
trar o ponto da superf́ıcie
x4 + y4 + z4 + xy + yz + zx = 6
tal que x seja máximo. (nota: não precisa resolver, basta encontrar as
equações.)
3) (2,0)
a) Desenhe uma figura que corresponde à região do Tipo I de integração
de
∫ 1
0
∫ 2x
x
dy dx.
b) Mude a ordem de integração e expresse a integral do item (a) em
termos de uma integral do Tipo II (dxdy). (dica: a nova integral terá
duas regiões).
4)(2,0)
a) Mostre que o campo F = (3x2 − 6y2,−12xy + 4y) é conservativo.
b) Encontre a função potencial f de F (i.e. ∇f = F ).
c) Seja C a curva tal que x = 1 + y3(1 − y)3, 0 ≤ y ≤ 1. Calcule o
trabalho de F ao longo de C
5) (2,0) Encontre o volume da região cercada pelo plano z = 4 e a superf́ıcie
z = (2x− y)2 + (x+ y − 1)2
(Sugestão: utilize mudança de variáveis).
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