Cálculo Diferencial e Integral IV

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1
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV
Prof. Me. Márcio Antônio Cometti
2
CÁLCULO DIFERENCIAL E
 INTEGRAL IV
Prof.Me. Marcio Antônio Cometti
3
 Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valério
 Diretor Executivo: Prof. Dr. William José Ferreira
 Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Profa Esp. Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da Equipe Multidisciplinar: Profa. Me. Cristiane Lelis dos Santos
 Revisão Gramatical e Ortográfica: Profª. Me. Naiana Leme Camoleze Silva
 Revisão técnica: Prof. Dr. Moacir Ribeiro Cordeiro
 
 Revisão/Diagramação/Estruturação: Bruna Luiza Mendes
 Lorena Oliveira Silva Portugal 
 
 Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva
 Daniel Guadalupe Reis
 Élen Cristina Teixeira Oliveira
 Maria Eliza Perboyre Campos
© 2023, Editora Prominas. 
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza-
ção escrita do Editor.
Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/2920.
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL IV
1° edição
Ipatinga, MG
Editora Prominas
2023
5
Graduação em Matemática pela 
Pontifícia Universidade Católica de 
Minas Gerais (2005), mestrado em 
Educação Matemática pela Univer-
sidade Federal de Ouro Preto (2018). 
Atualmente é professor auxiliar - Fa-
culdade Integradas Pitágoras e pro-
fessor da Escola Estadual Engenheiro 
Francisco Bicalho (SEE-MG). Traba-
lhos acadêmicos na área de Ensino 
de Cálculo Diferencial e Integral e uso 
de Tecnologias da Informação e Co-
municação na Educação Matemáti-
ca, especificamente na área de Cal-
culo de Várias Variáveis.
MÁRCIO ANTÔNIO 
COMETTI
Para saber mais sobre a autora desta obra e suas qua-
lificações, acesse seu Curriculo Lattes pelo link :
http://lattes.cnpq.br/9829432322917696
Ou aponte uma câmera para o QRCODE ao lado.
6
LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, definições e informações importantes 
nas quais você precisa ficar atento.
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão 
do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar 
ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para 
determinado trecho do conteúdo, cada um com uma função específica, 
mostradas a seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca 
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para reflexão sobre questões citadas em cada unidade, 
associando-os a suas ações.
Atividades de multipla escolha para ajudar na fixação dos 
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos significados de um determinado termo ou 
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
FIQUE ATENTO
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VAMOS PENSAR?
FIXANDO O CONTEÚDO
GLOSSÁRIO
7
UNIDADE 1
UNIDADE 2
SUMÁRIO
1.1 Equações Paramétricas. ...............................................................................................................................................................................................................................................................10
 1.1.1 Parametrização de um segmento de reta. ................................................................................................................................................................................................................................................................10
 1.1.2 Parametrização de curvas. ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................11
1.2 Coordenadas Polares. ..................................................................................................................................................................................................................................................................13
 1.2.1 Relação entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas. .........................................................................................................................................................................................................15
 1.2.2 Curvas em coordenadas polares. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................16
FIXANDO O CONTEÚDO ........................................................................................................................................................................................................................................................................20
2.1 O espaço tridimensional (R³). ................................................................................................................................................................................................................................................25
2.2 Equação da reta e do plano no R³. ..........................................................................................................................................................................................................................................................................26
 2.2.1 Equação da reta. ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................26
 2.2.2 Equações do plano. ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................27
2.3 Cilindros. ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................29
2.4 Superfícies Quádricas. .................................................................................................................................................................................................................................................................31
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................50
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES
CURVAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL
UNIDADE 3
3.1 Funções de várias variáveis. ...................................................................................................................................................................................................................................................53
3.2 Gráficos de funções de várias variáveis. ......................................................................................................................................................................................................................55
 3.2.1 Curvas de nível. .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................56Assim:
Figura 90: Plano tangente
Fonte: Elaborado pelo autor
76
 Feito o estudo dos planos tangentes, fica natural iniciarmos o estudo sobre 
derivadas direcionais.
 A derivada direcional de uma função de duas variáveis está conectada com a 
ideia de direção. No conceito de derivadas parciais abordado, anteriormente, fazíamos 
a derivada em relação à variável x ou em relação à variável y. Uma dessas variáveis 
permanecia fixa e a outra poderia sofrer variações. Já para as derivadas direcionais 
iremos escolher direções arbitrarias, não necessariamente as direções dos eixos 
coordenados. 
 Seja uma função f(x,y) e uma curva C sobre a superfície dessa função, como na 
figura a seguir. 
 Observe que a curva C aponta para uma direção qualquer, repare que ela não 
está na direção do eixo-x nem a direção do eixo-y. Daremos atenção à função restrita 
a essa curva e o que interessa é a taxa de variação dessa função, que será dada em 
uma direção arbitraria. A ideia básica de derivadas direcionais seria observar a taxa de 
variação de uma grandeza, mas em uma direção genérica. 
 Mas como caracterizar uma direção para definir uma derivada direcional?
 Quando pensamos em direção é inevitável não associarmos a ideia de vetor, pois 
um vetor caracteriza grandezas que necessitam de módulo, sentido e direção. Então, 
uma maneira de caracterizar essa direção é pensar no versor de um vetor (|v|=1).
 Para definir a derivada direcional devemos considerar uma superfície S com 
equação z=f(x,y). Vamos determinar a taxa de variação de z em (x0,y0) na direção de 
um versor v=(a,b). Seja também um plano vertical na direção de v, que intercepta a 
superfície e gera a curva C que contém o ponto P(x0,y0,z0). A reta tangente r a curva C 
possui inclinação que pode ser interpretada como a taxa de variação de z na direção v.
4.3 DERIVADAS DIRECIONAIS 
Figura 91: Curva C sobre a superfície
Fonte: Elaborado pelo autor
77
 Os pontos P’ e Q’ são as projeções de P e Q, respectivamente, no plano-xy. Temos 
o vetor paralelo ao vetor versor v. Então =ku=(ka,kb) para um k escalar arbitrário.
 Fazendo o limite de k tendendo a zero teremos a taxa de variação de z na direção 
v como queríamos, inicialmente. Isso é o que chamamos de derivada direcional de f na 
direção v.
 Dessa definição podemos dizer que dada uma função f de duas variáveis as 
derivadas parciais fx e fy são também derivadas direcionais de f na direção x indicada 
pelo vetor unitário i=(1,0) e na direção y será indicada pelo vetor j=(0,1).
 Dessa forma temos que:
 Se uma função f é diferenciável nas variáveis x e y, então possui derivada direcional 
na direção de qualquer vetor v(a,b).
Exemplo:
 Determine as derivadas direcionais da função f(x,y)=x2 y3-3xy no ponto P(0,-1) e 
na direção do vetor w=3i-2j
 Começaremos determinando as derivadas parciais de f(x,y)=x2 y3-3xy :
 Precisamos de um vetor unitário que dará a direção da derivada. Observe que o 
vetor w=3i-2j não é unitário, pois Assim, o versor do vetor na direção de w é 
 Observe que podemos fazer:
 Então:
Figura 92: Elementos para determinar a derivada direcional
Fonte: Elaborado pelo autor
78
dado por:
 Logo, a derivada direcional no ponto P(0,-1) é dada por:
 Para definirmos o vetor gradiente precisamos utilizar a fórmula da deriva direcional
 Para determinar o vetor gradiente devemos reescrever essa fórmula como um 
produto escalar entre dois vetores:
 Ao primeiro vetor desse produto escalar daremos o nome de vetor gradiente ou 
gradiente de f. As seguintes notações são utilizadas para designar esse vetor: grad f ou 
∇f (lê-se del f).
 Seja f uma função de duas variáveis x e y, o gradiente dessa função é definido por:
Mas como podemos interpretar o valor de Dw f(0,-1)? 
Esse número mede a taxa de variação de z na direção de w=3i+2j. 
Podemos fazer uma analogia com uma montanha que nunca foi explorada, uma pessoa 
poderia subir de diferentes caminhos, cada caminho irá representar uma certa curva. Ao 
escolhermos uma direção para subir a montanha por uma dessas curvas, a derivada di-
recional em determinado ponto irá representar a velocidade de subida do explorador, ou 
seja, em outras palavras é a representação da a taxa de variação da altura. Quando subi-
mos uma montanha, para cada direção que olhamos a variação da altura é diferente, e a 
derivada direcional vai medir essa variação em uma determinada direção.
VAMOS PENSAR?
4.4 VETOR GRADIENTE
79
 Exemplo: Determine o gradiente da função f(x,y)=ysen(x)+3x2 y.
 Uma implicação do vetor gradiente em relação às derivadas direcionais é que 
podemos reescrever a seguinte fórmula:
 Essa fórmula expressa a derivada direcional usando a projeção escalar do vetor 
gradiente e a direção sobre o vetor v. 
 O vetor gradiente é um vetor importante, seu conceito é utilizado em muitos 
conteúdos cálculo. Podemos interpretar o vetor gradiente como um vetor que irá indicar 
o sentido e a direção de maior alteração no valor de uma quantidade de unidade no 
espaço.
 Dessa forma, seria interessante entendermos o seu significado geométrico, para 
isso:
Seja uma função f de três variáveis e um ponto P(x0,y0,z0) pertencente ao seu domínio. 
Temos:
• O vetor gradiente ∇f(x0,y0,z0 ) informa a direção do aumento mais rápido de f.
• O vetor gradiente ∇f(x0,y0,z0 ) é ortogonal a superfícies S (superfícies de nível) da 
função f no ponto P.
Seja uma função f de duas variáveis e um ponto P(x0,y0 ) pertencente ao seu domínio:
• O vetor gradiente ∇f(x0,y0 ) informa a direção do aumento mais rápido de f.
• ∇f(x0,y0) é perpendicular às curvas de nível f(x,y)=k que passa por um ponto P.
 Seja a função f(x,y)=xy. Abaixo representamos algumas curvas de nível para essa 
função e o vetor gradiente para P(1,1).
 O vetor gradiente tem muita importância no estudo sobre cálculo vetorial, é 
importante que o estudante entenda esse conceito.
Figura 93: Curvas de nível no plano
Fonte: Elaborado pelo autor
80
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Seja f(x,y)=2x4 y3-3x2 y5-xy+5, determine no ponto (2,1).
2. Considerando a função f(x,y)=3x2+2xy, sendo x=t2 e y=2t determine a sua derivada 
para quando t=1.
3. Determine a derivada parcial da função f(x,y)=3x2 y+cos(y)-ex.
4. Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y)=x∙cos(y)+sen 
(x).
a) 80 
b) 85 
c) 90 
d) 95 
e) 100
a) 26 
b) 20 
c) 8 
d) 16 
e) 24
81
5. Determine a equação do plano tangente à superfície f(x,y)=3y2-2x2+x no ponto (2,-1,-
3)
a) 5x+6y+7z=0 
d) 6x+7y+5z=0
b) -7x+6y+5z=2 
e) 7x+6y+z=5
c) -7x-6y+2z=5
6. Dada a função f(x,y)=3x3 y2+2xy3, analise as seguintes afirmativas:
I. A derivada parcial da função em relação à x é: fx=9x2 y2+2y3;
II. A derivada parcial da função em relação à y é: fy=6x3 y+6xy2;
III. A derivada parcial da função no ponto (1,1) em relação à x é igual a 11.
Podemos afirmar que:
a) Apenas a alternativa I está correta
b) Apenas a alternativa III está correta
c) As alternativas II e III estão corretas 
d) Todas as alternativas estão corretas
e) Nenhuma das alternativas está correta
7. Seja f(x,y)=y∙cos(x)+2ex, determine o vetor gradiente da função.
a) ∇f=(sen(x)+2ex)i+cos(x)j 
b) ∇f=(-y∙sen(x)+2ex)i+cos(x)j
c) ∇f=(y∙sen(x))i+sen(x)j
d) ∇f=(-y∙sen(x)+2ex)i+sen(x)j 
e) ∇f=(y∙sen(x)+2ex)i+sen(x)j
82
8. Determine as derivadas direcionais da função f(x,y)=5x2 y+3y2 no ponto P(1,1) e na 
direção do vetor w=i-2j.
83
INTEGRAIS DUPLAS – PARTE I
84
INTRODUÇÃO
 Nesse capítulo abordaremos os conceitos acerca das integrais duplas. Essas 
integrais são usadas para calcular áreas, volumes, massas e centroides de regiões 
mais complexas.
 Para definirmos as integrais duplas usaremos a mesma ideia de integrais simples. 
Vamos considerar uma função f de duas variáveis definida num domínio retangular 
fechado.
 Sabemos que o gráfico da função f é uma superfície com equação z=f(x,y). 
Assim, teremos um sólido acima da região retangular e abaixo do gráfico de f, 
S={(x,y,z)∈R3∕0≤z≤f(x,y),(x,y)∈R}. Nossointuito será determinar o volume de S.
 Iniciaremos dividindo a região retangular R em retângulos menores. Para isso, o 
intervalo [a,b] será dividido em k subintervalos de mesmo comprimento, o intervalo 
[c,d] será dividido em w subintervalos também de mesmo comprimento. Observe na 
figura a seguir, que traçando retas paralelas aos eixos coordenados e passando pelas 
marcações dos subintervalos, formam-se os retângulos menores. 
 Observe que cada retângulo pequeno tem área ∆A=∆x∆y. Seja um ponto qualquer 
de amostra (x*
mn,y*nm), em cada retângulo menor, é possível aproximar a parte superior 
de S exatamente acima de Rmn por meio de uma caixa retangular (uma coluna). Essa 
caixa tem base Rmn e altura é dada por f(x*
mn,y*nm). Assim, o volume dessa caixa é 
f(x*
mn,y*
nm ).∆A
 A ideia é ampliarmos esse procedimento para todos os retângulos e somarmos 
os volumes dessas caixas, portanto:
5.1 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES RETANGULARES
Figura 94: Região R no plano
Fonte: Elaborado pelo autor
85
 Quando aumentamos as divisões dos intervalos [a,b] e [c,d], podemos intuir que 
o volume V torna-se mais próximo do real. Então, podemos fazer:
 Essa expressão é usada para definir o volume do sólido S, formado pela região 
abaixo do gráfico de f e acima da região retangular R.
 Para cada retângulo menor calculamos o valor de f no ponto escolhido, 
multiplicamos esse valor pela área desse retângulo e, por fim, somamos todos esses 
resultados. Essa soma é dita soma dupla de Riemann.
Figura 95: Soma de Riemann
Fonte: Elaborado pelo autor
A integral dupla de f sobre uma região retangular R, desde que o limite exista, é dada por:
Também podemos dizer que, se f(x,y)≥0, o volume do sólido que está abaixo da superfície 
z=f(x,y) e acima da região retangular R. Esse volume pode ser calculado através de:
Propriedades das integrais duplas:
VAMOS PENSAR?
86
 Calcular uma integral dupla pela definição pode ser um caminho difícil, exceto 
para casos bem elementares. Mas, podemos sanar esse problema, resolvendo a integral 
dupla por meio de duas integrais sucessivas, onde em cada uma delas consideraremos 
apenas uma variável independente. 
 Seja uma função f integrável de duas variáveis e uma região retangular 
R=[a,b]×[c,d], a integral dupla é dada por:
 Pode ser calculada por meio de uma integral iterada do tipo:
 Repare que temos um colchete, isso é para indicar que efetuaremos primeiro uma 
integral parcial em relação à y, e consideramos x como uma constante. Substituímos 
os limites de integrações inferior c e superior d (como no teorema fundamental do 
cálculo). Dessa forma, obteremos uma função em relação à x, a qual integraremos e 
substituiremos os limites a e b. Na segunda integral, o primeiro passo é integrar em 
relação à x e consideraremos y constante. Ao substituirmos os limites de integração a 
e b, obteremos uma função que depende de y. Assim, pode-se fazer a integração em 
relação à y e substituir os limites c e d. 
 Exemplos:
Calcule as integrais duplas iteradas:
 Resolvendo, temos:
 Resolvendo temos:
5.2 INTEGRAIS DUPLAS ITERADAS
87
Resolvendo temos:
4) Calcule a integral dupla dA onde
 A região de integração é uma região retangular, onde R=[0,3] × [-2,1], como 
podemos verificar na figura a abaixo.
FIQUE ATENTO
Observe que nos exemplos 2 e 3 obtemos as mesmas respostas ao integramos primeiro 
em relação à x ou à y, isso não é coincidência! Se tivermos integrais iteradas com equa-
ções iguais a ordem de integração não é importante. Podemos comprovar esse fato pelo 
Teorema de Fubini.
Teorema de Fubini na página 1004 do livro Cálculo. Volume II.
HOWARD, Anton; IRL, Bivis; STEPHEN, Davis. Cálculo. Volume II, 10. ed. Bookman, 
2014. Disponível em: Acesso em: 23 jan. 2023.
BUSQUE POR MAIS
88
Resolvendo:
5) Determine o volume do sólido S que é limitado pelo paraboloide z=-x2-y2+4 e pela 
região retangular R=[1,-1]×[1,-1]. 
 Como já mencionamos, o volume do sólido formado abaixo do paraboloide e 
acima da região retangular pode ser calculado por
 Então, para escrevermos a integral dupla para o volume do sólido, usamos a 
função da superfície z=-x2-y2+4 como função de integração, os limites de integração 
são determinados pela região R no plano-xy, onde -1≤x≤1 e -1≤y≤1. Podemos escolher a 
ordem de integração dxdy ou dydx, assim, temos:
Figura 96: Região retangular
Fonte: Elaborado pelos autores
Como a região de integração é retangular, 
pelo teorema de Fubini podemos usar dxdy 
ou dydx como ordem de integração.
Então:
Observe que os limites em relação à y per-
tencem ao intervalo -2≤y≤1 e x ao intervalo 
0≤x≤3.
Sólido Região de integração no plano-xy
89
 Deixamos a cargo do estudante o desenvolvimento da integral e a verificação do 
resultado do volume do sólido.
90
1. O volume do sólido limitado superiormente pela superfície cilíndrica z=x2+3 e 
inferiormente pela região no plano-xy limitada pelas curvas y=x2-3 e y=x+3, é 
representado por qual das integrais duplas abaixo?
2. Determine a integral dupla que calcula a área da região R limitada pelas funções 
y=x+3; y=3 e x=-3. 
3. Determine a integral dupla iterada:
4. Determinar o volume do Sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 
x+y+z=1 no 1º octante.
FIXANDO O CONTEÚDO
91
5. Dado o sólido S, limitado superiormente pelo paraboloide z-x2-y2=0 e inferiormente 
pela região retangular [-2,2]x[-2,2] no plano-xy. Expresse a integral dupla que representa 
o volume do sólido S.
6. Determine o volume do sólido que está abaixo do paraboloide z=x²+y² e acima da 
região D do plano-xy limitada pela reta y=2x e pela parábola y=x² , esboce a região D.
7. Dado o sólido S, limitado superiormente por f(x,y)=x2+y2+4 e inferiormente pela região 
D={(x,y)/-2≤x≤2, x≤y≤2}, o volume do sólido é dado por:
92
8. Analise as seguintes afirmativas:
Podemos afirmar que:
a) Apenas a alternativa I está correta.
b) Apenas a alternativa III está correta.
c) As alternativas I e III estão corretas.
d) Todas as alternativas estão corretas.
e) Nenhuma das alternativas está correta.
93
INTEGRAIS DUPLAS – PARTE II
94
• INTRODUÇÃO
 Nesse capítulo abordaremos os conceitos acerca das integrais duplas. Essas 
integrais são usadas para calcular áreas, volumes, massas e centroides de regiões 
mais complexas.
 Até aqui, as integrais duplas que calculamos possuem uma região de integração 
retangular, ou seja, integramos uma função f somente sobre retângulos. Mas, 
precisamos expandir essa ideia para calcularmos integrais duplas sobre regiões com 
outros formatos. Para isso, considere uma região D limitada, aqui, ser limitada implica 
que D pode estar contida em uma região retangular R. 
 Considere também, uma função F com domínio em R, tal que:
 A integral dupla de f em D pode ser definida da seguinte maneira, desde que F 
seja uma função integrável em R:
 Os valores de F(x,y) são iguais a 0 para os pontos fora da região D e isso não irá 
contribuir para o resultado da integral. Dessa forma, desde que o retângulo contenha a 
região D, pode-se escolher qualquer retângulo. 
6.1 INTEGRAIS DUPLAS SOBRE REGIÕES GERAIS
Figura 97: Região D limitada 
 
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 98: Região D limitada contida em R 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor
FIQUE ATENTO
Observe que podemos usar o mesmo procedimento para o qual definimos a integral
 sobre a região retangular R.
95
 Para as integrais duplas do tipo I, primeiro resolvemos uma integração parcial 
em relação à y. Feito isso, substituímos a variável y por g2 (x) e g1 (x) como fazemos de 
costume. A expressão resultante será integrada em relação à x dentro do intervalo de a 
até b. Para integrais do tipo II, primeiro integramos em relação à x, substituímos x por h2 
(y) e h1 (y). A expressão que encontramos será integrada em relação à y de c até d. 
 Muitas vezes, essas integrais precisam ser construídas, ou seja, é dada uma 
função de integração e uma regiãodo tipo I ou tipo II, precisamos encontrar a integral 
dupla àquela determinada situação, identificando a função de integração e os limites 
de cada integral. 
 Seja dada uma função f(x,y) e regiões D do tipo I e do tipo II, para iniciar é essencial 
desenhar um esboço da região D, assim, seguimos o seguinte procedimento:
As regiões gerais de integração podem se dividir em dois tipos: regiões do tipo I (regiões 
Rx) e regiões do tipo II (regiões Ry):
Tipo I Tipo II
Figura 99: Região do tipo I 
 
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 100: Região do tipo II 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor
96
Integrais duplas sobre regiões do tipo I Integrais duplas sobre regiões do tipo II
Limite superior da integral interna é a inte-
gral que depende de y (função que limita a 
região D “por cima” ou superiormente). No 
caso da figura abaixo, função g2 (x).
Limite inferior da integral interna é a integral 
que depende de y (função que limita a re-
gião D “por baixo” ou inferiormente). No caso 
da figura acima, função g1 (x).
Limite superior da integral externa é a in-
tegral que depende de x, onde a região D 
“começa” em relação ao eixo – x, ou seja, no 
ponto (a,0).
Limite inferior da integral externa é a in-
tegral que depende de x, onde a região D 
“termina” em relação ao eixo – x, ou seja, no 
ponto (b,0).
Geralmente, esse intervalo onde a região D 
“começa” e “termina”, não está explícito e te-
mos que fazer a interseção das funções para 
saber onde é o limite dessa região (Observe 
os exemplos).
Limite superior da integral interna é a integral 
que depende de x (função que limita a região 
D “pela direita” ou lateralmente pela direita). 
No caso da figura acima, função h2 (y).
Limite inferior da integral interna integral 
que depende de x (função que limita a re-
gião D “pela esquerda” ou lateralmente pela 
esquerda). No caso da figura acima, função 
h1 (y).
Limite superior da integral externa é a in-
tegral que depende de y, é onde a região D 
“começa” em relação ao eixo – y, ou seja, no 
ponto (0,c).
Limite inferior da integral externa é a inte-
gral que depende de y, é onde a região D 
“termina” em relação ao eixo – y, ou seja, no 
ponto (0,d).
Geralmente, esse intervalo onde a região D 
“começa” e “termina”, não está explícito e te-
mos que fazer a interseção das funções para 
saber onde é o limite dessa região (Observe 
os exemplos).
Figura 101: Região do tipo II
 
Fontes: autores
Figura 102: Região do tipo II
 
Fontes: autores
97
 Uma boa estratégia de identificar os limites de integração é desenhando a região 
D, caso seja da região do tipo I, fazemos uma seta vertical dentro da região. A seta 
começa na fronteira inferior (limite inferior g1 (x) da integral que depende de y) e vai em 
direção à fronteira superior (limite superior g2 (x) da integral que depende de y). Para a 
região do tipo II, a seta é desenhada horizontalmente da esquerda para direita. 
Exemplo:
 Vamos calcular a integral
Para resolvermos a integral dupla iterada acima vamos primeiro integrar parcialmente 
em relação à y, considerando a variável x na função de integração como uma constante.
 Agora iremos aplicar o teorema fundamental do cálculo, substituindo os limites 
superior e inferior da primeira integral.
 Observe que a função resultante depende somente de x, logo, vamos integral em 
relação à x e substituir os limites da integral. 
2) Calcule onde D é a região limitada pela parábola y=x2+1 e a reta y=2.
 Para resolvermos essa integral dupla, teremos que escrever os limites de 
integração a partir da região D, dada no exercício. Para isso, vamos incialmente fazer 
um esboço dessa região:
Observe que a integral acima foi escrita como uma integral dupla sobre uma região do tipo 
I. Seria possível reescrever essa integral, utilizando a região de integração do tipo II?
VAMOS PENSAR?
Figura 103: Região de integração do tipo I
Fonte: Elaborado pelo autor
98
 Observe que a região D é do tipo I, então vamos usar a seguinte ordem de 
integração dydx. A região D é limitada pela reta y=2 superiormente e inferiormente pela 
parábola y=x2+1, que são os limites em relação à y. 
 Para determinarmos os limites inferior e superior da integral externa que depende 
de x, observamos os limites da região D em relação ao eixo-x. A região está compreendida 
no intervalo [-1,1].Logo:
 Agora iremos resolver a integral como fizemos no exemplo anterior:
 3) Escreva a integral sobre a região D limitada pelas curvas
y=0 e x=4 usando uma integral do tipo I e do tipo II.
99
 As propriedades de integrais duplas para regiões retangulares também são 
válidas para regiões quaisquer. Porém, podemos acrescentar uma outra propriedade 
para as integrais duplas sobre regiões gerais.
Considere a existência de todas as integrais a seguir:
 Seja D=D1+D2 onde essas regiões não se sobrepõem, talvez pelas suas fronteiras, 
temos?
Integral Dupla tipo I Integral Dupla tipo II
Figura 104: Região do Tipo I
 
Fontes:autores
Essa é a região D de integração. Observe que 
para escrevermos uma integral do tipo I 
(dydx) para essa região, devemos observar 
que a região pela curva y=√x e inferiormente 
pelo eixo x, cuja equação é y=0. Esses serão 
os limites da integral mais externa que de-
pende de y:
Os limites em relação à x podem ser determi-
nados observando onde a região D “come-
ça” e “termina” em relação ao eixo-x. essa 
região está compreendida no intervalo [0,4]. 
Logo:
Essa é a integral dupla sobre a região D escri-
ta utilizando uma região do tipo I.
Figura 105: Região do Tipo II
 
Fontes:autores 
A região D para uma integral dupla do tipo 
II (dxdy) é a mesma, mas iremos observar 
essa região de outra maneira. Repare que a 
função mais à esquerda que limita a região 
é a função é x=4 e temos a curva x=y2 limi-
tando pela direita. Esses serão os limites da 
integral em relação à x. Repare que é neces-
sário reescrever as funções explicitamente 
em relação à x:
Os limites em relação à y podem ser deter-
minados observando a região D em relação 
ao eixo-y. A região D está compreendida no 
intervalo [0,2]. Logo:
Essa é a integral dupla sobre a região D escri-
ta utilizando uma região do tipo II.
100
Se f(x,y)≥0, uma interpretação para é o cálculo do volume do sólido 
que está acima de 𝐷 e abaixo do gráfico da superfície 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦).
 Exemplo: Expresse por meio de uma integral dupla o volume do sólido que está 
abaixo do paraboloide z=-x2-y2+4 e acima da região D no plano – xy limitada pelas 
curvas y=-x2+2 e y=0.
 Sabemos que o volume é dado pela integral dupla: Assim, o sólido 
fica compreendido abaixo da superfície f(x,y)=-x2-y2+4 e acima da região de integração 
localizada no plano – xy:
 Dessa forma, podemos escrever a seguinte integral dupla para o volume desse 
sólido, considerando a região de integração como do tipo I (dydx):
Figura 105: Região D1+D2
 
Fontes: Elaborado pelos autores
Superfície Região de Integração
Figura 106: Sólido S
 
Fontes: Elaborado pelos autores
Figura 107: Região de Integração
 
Fontes: Elaborado pelos autores
101
 Tentar descrever as regiões representadas nas figuras abaixo utilizando 
coordenadas cartesianas não é uma tarefa fácil. Para isso, devemos pensar em 
descrever essas regiões como visto, anteriormente, usando as coordenadas polares, 
pois facilitam esse trabalho.
 Para o cálculo de integrais duplas sobre as regiões de integração apresentadas 
acima usaremos coordenadas polares. Dessa forma, as seguintes regiões de integração 
podem ser escritas algebricamente da seguinte maneira:
 1Um problema que surge de forma natural para esse tipo de região seria como 
escrever integrais duplas usando coordenadas cartesianas. No início desse capítulo 
trabalhamos com integrais duplas sobre regiões retangulares, o que iremos fazer é 
uma extensão das ideias já utilizadas para representar uma região retangular, parauma região chamada retângulo polar, descrita a seguir:
6.2 INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES
Região 1 (R1) Região 2 (R2)
Figura 108: Região 1
 
Fontes: Elaborado pelos autores
Figura 109: Região 2
 
Fontes: Elaborado pelos autores
Figura 110: Retângulo polar
Fontes: Elaborado pelos autores
102
 Para escrevermos uma integral dupla em coordenadas polares, devemos 
usar as relações entre coordenadas cartesianas e coordenadas polares descritas 
anteriormente. Então, dada uma função f(x,y) devemos escrevê-la em coordenadas 
polares como f(rcosθ,rsen θ) , o que é uma tarefa simples. 
 Devemos também representar dA em função de r e θ. Em coordenadas cartesianas 
uma região retangular pode ser escrita como dA=dydx=dxdy. Já em coordenadas 
polares usaremos a seguinte ideia de um ponto P(r,θ) representado no plano. 
 Para ajudar na visualização, vamos imaginar uma pequena (infinitesimal) 
variação para esse ponto (deslocando-se de lugar, minimamente) tanto em r como 
em θ, essa variação de r e θ cria uma região (vermelha), que podemos denominar de 
retângulo polar cuja área pode ser aproximada pela área de um retângulo (b∙h). Já que 
os deslocamentos são tão pequenos, os lados desse retângulo polar se aproximam de 
linhas retas. 
 Na figura a seguir, imaginamos essa situação de deslocamento do ponto P e a 
formação de um retângulo de maneira ampliada. Repare, que um dos lados é a variação 
dr e o outro lado do retângulo pode ser encontrada pela fórmula de comprimento de 
arco r.dθ. Assim, a área é dada por A=r.dr.dθ.
 Dessa forma, podemos representar o diferencial dA como r.dr.dθ. Observe que 
quando usamos coordenadas polares em integrais duplas, devemos trocar o dydx 
ou dxdy por r.dr.dθ. O r que aparece nessa troca é chamado de fator de correção ou 
jacobiano. Daremos uma maior ênfase no conceito Jacobiano no próximo capítulo. 
Por fim, se f é uma função contínua dentro da região de uma região polar R, temos:
 Exemplos:
1) Determine o volume do sólido delimitado pelo paraboloide z=9-x2-y2 e o plano z=0.
 Incialmente usaremos coordenadas cartesianas para expressar o volume do 
sólido por meio de uma integral dupla, sabemos que o volume do sólido é dado por: 
V=∬Rf(x,y)dA.
 Como o sólido é limitado superiormente pelo paraboloide, z=9-x2-y2 é a função de 
integração e os limites para as integrais serão dados pela região R. Essa região circular 
é resultado da interseção do paraboloide com o plano-xy (z=0). 
Igualando as equações z=9-x2-y2 e z=0, temos x2+y2=9, o que representa uma 
circunferência com centro na origem e raio igual 3. Vamos explorar essa região, 
Figura 111: Retângulo polar
Fonte: Elaborado pelo autor
103
 No entanto, essas duas integrais escritas em coordenadas cartesianas se tornam 
muito difíceis de serem resolvidas, analiticamente, devido aos limites compostos por 
função raiz. Dessa forma, uma saída seria as integrais em coordenadas polares.
 A figura a seguir, representa o sólido limitado superiormente pelo paraboloide 
e inferiormente pelo plano – xy. A função de integração deve ser manipulada 
algebricamente para depender de r e θ, então:
 Fazendo x2+y2=r2 (-1), temos, -x2-y2=-r2. Substituindo essa relação na função de 
integração f(x,y), temos:
 Como já sabemos, a interseção do paraboloide como o plano – xy resulta em 
uma circunferência de centro na origem e raio igual 3. Essa região que coordenadas 
expressando a integral dupla tanto para uma região do tipo I, como para uma região 
do tipo II. Com isso, o estudante poderá ter uma compreensão mais ampla em relação 
às integrais duplas.
Região tipo I Integral
Figura 112: Região do tipo I
 
Fontes: Elaborado pelos autores
Região tipo II Integral
Figura 113: Região do tipo II
 
Fontes: Elaborado pelos autores
104
polares pode ser descrita como R={((r,θ))⁄0≤r≤3,0≤θ≤2π}.
 Logo, a integral dupla e coordenadas polares para o volume do sólido é:
 Deixamos a cargo do estudante o desenvolvimento da integral e a verificação do 
resultado do volume do sólido.
 2) Calcule a integral onde R é a região entre os círculos x2+y2=1 
e x2+y2=9.
 Inicialmente iremos escrever a integral usando coordenadas polares, observe que 
a função de integração é vamos usar as relações entre coordenadas 
cartesianas e coordenadas polares para reescrever essa função em relação à r e θ.
Sabemos que x2+y2=r2, então perceba que a 
função de integração é uma função raiz, o que torna difícil o processo de integração. 
Ao fazermos as trocas de coordenadas, os cálculos se tornam mais simples, ou seja, 
transformando uma função raiz em uma função polinomial.
Para determinar os limites de integração usaremos a região R. Essa região é composta 
por duas circunferências de centros na origem e raios 1 e 3, respectivamente. Temos 
que R está compreendida entre essas circunferências, ou seja, é uma coroa circular. 
Apresentamos a seguir essa região e sua descrição analítica que usaremos para 
determinar os limites das integrais:
Figura 114: f(x,y)=9-r2
 
Fontes: Elaborado pelos autores
Figura 115: R={((r,θ))⁄0≤r≤3,0≤θ≤2π}
 
Fontes: Elaborado pelos autores
105
 Logo, pode ser escrita como:a integral dupla 
Figura 116: Coroa Circular
 
Fontes: Elaborado pelos autores
106
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Determine a integral dupla que calcula a área da região R limitada pelas circunferências 
x2+y2=1 e x2+y2=5 no primeiro quadrante.
2. Determine a integral dupla iterada: pode ser escrita como:
3. O volume do sólido limitado superiormente pela superfície cilíndrica z=x2+3 e 
inferiormente pela região no plano-xy limitada pelas curvas y=x2-3 e y=3, é representado 
pela seguinte integral podemos reescrevê-la usando um integral 
do tipo II. Qual das opções abaixo representa essa integral do tipo II?
107
I. O par ordenado em coordenadas cartesianas pode ser escrito em 
coordenadas polares como
II. tem como solução 
III. O volume de um paralelepípedo formado pelos planos ordenados e pelos planos 
x=5, y=2 e z=3 pode ser calculado pela integral dupla V=∫05∫02 dydx;
4. Dadas as afirmativas abaixo:
5. Uma praça em formato circular deve ser construída em um cruzamento onde existe 
um grande número de acidentes de carros. A circunferência da praça deverá ter um raio 
de 20 metros e uma calçada de 2 metros de largura aparece no projeto, essa calçada 
deverá contornar a praça dentro da circunferência e concretada com uma espessura 
de 15 cm. Dentre as fórmulas abaixo, qual expressa de maneira adequada o volume de 
concreto (em m3) a ser usado na construção da calçada?
6. Dado o sólido S a seguir, determine a integral dupla escrita em 
coordenadas polares.
Podemos afirmar que:
a) Apenas as afirmativas I e II estão corretas. 
b) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
c) Todas as afirmativas estão corretas.
d) Apenas a afirmativa I está correta.
e) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
108
7. (ENADE 2014-Adaptado) Um monumento em forma de um paraboloide deve ser 
construído de forma maciça, para isso, é necessário saber a quantidade de concreto 
que será utilizado nessa construção. Sabe-se que o monumento é representado pela 
equação z=x2+y2, situada na região do espaço de coordenadas cartesianas (x,y,z) 
dada pela condição z≤9. A quantidade de concreto em m3 necessária para preencher o 
monumento é dada pela integral dupla:
8. Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano 
x+y+z=1 no 1º octante.
109
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 B
QUESTÃO 7 C
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO6 A
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 E
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 D
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 E
QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 A
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 E
QUESTÃO 3 C
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 E
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 B
QUESTÃO 8 C
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 E
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 C
QUESTÃO 6 A
QUESTÃO 7 D
QUESTÃO 8 C
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 C
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 D
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 A
110
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo – Vol.3 – 5ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2013. 
HOWARD, A; BIVENS, Irl; DAVIS, S. Cálculo – Vol.2 – 10ª edição. Porto Alegre: Bookman, 2014. 
Disponível em: https://abre.ai/i9Xh. Acesso em: 2021 ago. 13.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica – Vol.2 - 3ª edição. São Paulo: Harbra, 
1994.
STEWART, J. Cálculo – Vol. 2, 6ª edição. São Paulo: Learning, 2004.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. – Vol.2 – 2ª edição. São Paulo: 
Makron Books, 1994.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
111
graduacaoead.faculdadeunica.com.br3.3 Limite e continuidade de funções de várias variáveis. ......................................................................................................................................................................................57
 3.3.1 Limites. .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................57
 3.3.2 Continuidade. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................62
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................64
FUNÇÕES E LIMITES DE DUAS VARIÁVEIS
UNIDADE 4
4.1 Derivadas parciais. ........................................................................................................................................................................................................................................................................68
 4.4.1 Interpretação geométrica das derivadas parciais. ...........................................................................................................................................................................................................................................71
 4.4.2 Derivadas de segunda ordem. .......................................................................................................................................................................................................................................................................................72
4.2 Planos tangentes. ..........................................................................................................................................................................................................................................................................73
4.3 Derivadas direcionais. ................................................................................................................................................................................................................................................................76
4.4 Vetor gradiente. ..............................................................................................................................................................................................................................................................................78
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................80
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
5.1 Integrais duplas sobre regiões retangulares. ............................................................................................................................................................................................................84
5.2 Integrais duplas iteradas. ........................................................................................................................................................................................................................................................84
FIXANDO O CONTEÚDO .......................................................................................................................................................................................................................................................................90
INTEGRAIS DUPLAS I
UNIDADE 5
6.1 Integrais Duplas sobre Regiões Gerais. ..........................................................................................................................................................................................................................94
6.2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares. ..............................................................................................................................................................................................................101
FIXANDO O CONTEÚDO ......................................................................................................................................................................................................................................................................106
RESPOSTAS DO FIXANDO O CONTEÚDO .....................................................................................................................................................................................109
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................................................................................................................................110
INTEGRAIS DUPLAS II
UNIDADE 6
8
UNIDADE 1
Nessa unidade iremos abordar os conceitos de curvas parametrizadas e coordenadas 
polares. É importante apresentar como parametrizar um segmento de reta e curvas dadas 
por equações polinomiais e circunferências. Em coordenadas polares, exibiremos um outro 
sistema de coordenadas e fazendo uma relação entre coordenadas cartesianas e polares. 
UNIDADE 2
Na unidade 02 estudaremos o espaço tridimensional com as equações da reta e do plano 
em R3. Apresentaremos um estudo detalhado sobre as superfícies cilíndricas e quádricas, 
ressaltando a importância desse conteúdo para próximas unidades. 
UNIDADE 3
Iniciaremos o estudo das funções de várias variáveis, abordando os conceitos de limite e 
continuidade com os gráficos dessas funções. 
UNIDADE 4
Nessa unidade, os conceitos de derivadas parciais serão estudados, com as ideias de planos 
tangentes, derivadas direcionais e vetor gradiente.
UNIDADE 5
Na unidade 05 iniciaremos os estudos das integrais duplas abordando seus principais 
conceitos, partindo das regiões retangulares até as integrais duplas iteradas.
C
O
NF
IR
A 
NO
 LI
VR
O
UNIDADE 6
Por fim, faremos o estudo das integrais duplas sobre regiões gerais, abordando cálculos de 
áreas e de volumes. Também estudaremos as integrais duplas em coordenadas polares. 
9
EQUAÇÕES 
PARAMÉTRICAS E 
COORDENADAS 
POLARES
10
1.1 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
• INTRODUÇÃO
 Nesse livro focaremos no Cálculo Diferencial e Integral que envolve o espaço 
tridimensional, precisaremos das noções básicas do R³, enfatizando as funções de várias 
variáveis e suas representações gráficas (superfícies). Nesta unidade, iniciaremos o 
estudo sobre as equações paramétricas e coordenadas polares.
 Até agora, trabalhamos com funções que dependiam apenas de uma variável 
(y=f(x) e x=f(y)). Neste momento, apresentaremos uma outra forma algébrica de 
representar essas funções no plano.
 Ao parametrizarmos uma curva, escrevemos de forma algébrica uma função de 
duas variáveis em função de um certo parâmetro (x=f(t),y=g(t),t). Esse parâmetro t, 
representa um ponto de coordenadas (x,y) pertencentes à essa curva. Quando variamos 
t, termos uma sequência de pontos (x,y)=(f(t),g(t)) que terá a mesma representação 
gráfica da curva inicial, chamada de curva parametrizada.
 A seguir, apresentaremos algumas maneiras de parametrizar diferentes curvas 
que são comuns no Cálculo Diferencial e Integral.
 OBS: Colocar que a parametrização é apenas de uma parte da curva
 1.1.1 Parametrizaçãode um segmento de reta
 Para parametrizar um segmento de reta é necessário conhecer as extremidades 
de um segmento (ponto inicial e ponto final). Necessitamos também determinar o vetor 
diretor da reta que contém esse segmento.
Figura 1: Curva parametrizada
Fonte: Elaborado pelo autor.
Figura 2: Segmento de reta e vetor diretor
Fonte: Elaborado pelo autor.
11
 Seja o segmento de reta com extremidades A=(-3,-2) e B=(5,1). A sua 
parametrização é dada da seguinte maneira:
 Determinação do vetor diretor da reta que contém o segmento: 
 Todo segmento de reta parametrizado, possui equação do tipo , 
onde
(x0,y0) são as coordenadas do ponto inicial do segmento de reta e (a,b) são as 
coordenadas do vetor diretor. O parâmetro para esse tipo de parametrização deverá 
variar entre 0≤t≤1.
 Dessa forma, basta substituir essas coordenadas na equação e teremos a 
equação da curva parametrizada.
 Assim temos que, para qualquer valor de t variando entre 0≤t≤1, existirá um ponto 
(x(t),y(t)) pertencente ao segmento.
 1.1.2 Parametrização de curvas
 Para parametrizar uma curva definida por um polinômio do tipo y=ax2+bx+c, 
devemos definir um ponto inicial (x0,y0) e um final (x1,y1) pertencente à curva, feito isso, 
chamamos a variável independente de t e substituímos na equação da curva. 
 E essa parametrização pode ser feita para qualquer função polinomial.
 Como exemplo, vamos parametrizar a parábola y=x^2-3, do ponto (-1,-2) até o 
ponto (1,2).
Existe uma justificativa para que o t tenha um valor entre 0≤t≤1, para isso, Dis-
ponível em: https://abre.ai/iN31. Acesso em: 23 jan. 2023.
BUSQUE POR MAIS
FIQUE ATENTO
Vale destacar que uma parametrização também pode ser feita, substituindo a variável 
dependente y por t. No entanto, nem sempre será conveniente fazer dessa maneira, pois, 
a manipulação algébrica exigida torna a parametrização mais extensa em relação aos 
cálculos.
12
Quadro 1: Parábola
Fonte: Elaborado pelo autor.
Quadro 2: Parábola
Fonte: Elaborado pelo autor.
 A circunferência é outra curva que também pode ser parametrizada, vale destacar 
a importância de sua parametrização, muito utilizada para resolver integrais de linha 
que serão vistas no Cálculo IV.
 Vale destacar que essa parametrização será para circunferências com centro 
na origem e o parâmetro t será dado em radianos e seu sentido será sempre o anti-
horário.
 Para uma circunferência com centro fora da origem, temos:
 Parametrizando a metade de uma circunferência de equação x2+y2=4, do ponto 
(-2,0) até o ponto (2,0).
θ1≤t≤θ2, onde a e b são as coordenadas do centro da circunferência.
13
Figura 3: Parábola
Fonte: Elaborado pelo autor.
Figura 4: Eixo polar
Fonte: Elaborado pelo autor.
 Considerando a equação paramétrica x=t2-4t e y=t-1, identifique a curva definida 
e faça o gráfico.
 Para descobrir a equação da curva, vamos eliminar o parâmetro t da seguinte 
maneira:
 Substituindo a equação (II) em (I), temos:
 A equação acima representa uma parábola na variável y. Como não foi dado 
nenhum limite para o parâmetro t, observe que esse parâmetro poderá assumir qualquer 
valor real.
 Para representar um ponto no plano, geralmente usamos coordenadas 
cartesianas, ou seja, usamos um par de números ordenados, chamados coordenadas. 
Essas coordenadas são distâncias norteadas por dois eixos perpendiculares entre si.
As coordenadas polares, também utilizam um par ordenado, composto por uma 
distância e por uma direção, mas com outra visualização geométrica. Para representar 
um ponto em coordenadas polares, marcamos um ponto O que chamamos de polo, 
o qual será a origem do sistema de coordenadas. A partir desse ponto traçamos 
uma semirreta, preferencialmente, na direção horizontal da direita para a esquerda 
(usaremos esse sistema como padrão). Essa semirreta é chamada de eixo polar.
1.2 COORDENADAS POLARES
14
 Dado um ponto P qualquer no plano, podemos representá-lo em coordenadas 
polares utilizando o seguinte par ordenado (r,θ). Onde r é a distância do ponto P ao polo 
O (origem) e θ é o ângulo em radianos dado entre o eixo polar e a reta OP=r, sempre 
medido no sentido anti-horário.
Figura 5: Representação de um ponto em coordenadas polares
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 6: Representação de um ponto
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 7: O ponto P em coordenadas polares
Fonte: Elaborado pelo autor
FIQUE ATENTO
1) O sentido anti-horário implica em uma medida positiva do ângulo e no sentido horário 
uma medida negativa. 
2) Ao representar os pontos utilizando coordenadas polares são pertinentes algumas ob-
servações.
Ponto P=O: nesse caso, a distância de P até 
O é igual a zero (r=0) e o ângulo θ pode ser 
qualquer valor. Esse ponto representa o polo 
para qualquer ângulo θ.
Ponto P(-r,θ): nesse caso, observe na figura 
que os pontos (r,θ) e (-r,θ) serão representa-
dos na mesma reta, com mesma distância 
|r| a partir de O, mas em lados opostos em 
relação à origem.
15
 Em coordenadas polares um mesmo ponto pode ter infinitas representações, 
diferentemente dos pontos em coordenadas cartesianas, onde cada ponto possui 
somente um par ordenado específico para ele. No exemplo acima, o ponto P(2,3π) foi 
representado pelo ponto P(2,π), pois o ângulo 3π equivale no círculo trigonométrico ao 
ângulo de π radianos. Poderíamos usar outras representações para esse ponto, como 
por exemplo: P(2,5π), P(2,7π), P(2,-π),… 
 1.2.1 Relação entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas
 Seja um ponto P(x,y) representado no plano cartesiano de tal maneira que o eixo 
polar coincida com o eixo-x positivo e que possamos representar P(r,θ) como na figura.
 Da figura, podemos ter as seguintes relações:
Exemplos:
 Marque os pontos utilizando coordenadas polares:
Figura 12: Coordenadas cartesianas versus polares
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 8: O ponto
Fonte: Elaborado pelos autores
Figura 9: O ponto
Fonte: Elaborado pelos autore
Figura 10: O ponto
Fonte: Elaborado pelos autores
Figura 11: O ponto
Fonte: Elaborado pelos autores
16
 Essas equações permitem encontrarmos x e y desde que conhecemos r e θ, ou 
seja, transformar coordenadas polares para cartesianas. 
 Temos também:
 Com essas equações encontramos r e θ conhecendo x e y. Aqui transformamos 
coordenadas cartesianas em polares. 
 Exemplo: 
a) Converta o ponto para coordenadas cartesianas.
Como podemos usar as seguintes equações:
 Logo equivale ao ponto em coordenadas cartesianas
b) Converta o ponto Q (-2,2) para coordenadas polares.
Temos x= -2 e y= 2, podemos usar as seguintes fórmulas:
 Observe que o ponto está no segundo quadrante, pois x0, logo
Podemos representar esse ponto em coordenadas polares da seguinte forma:
 Lembrando que essa não é a única maneira de representar o ponto Q 
em coordenadas polares, já que esse tipo de coordenadas admite mais de uma 
representação em forma de par ordenado.
 1.2.2 Curvas em coordenadas polares
 Podemos escrever qualquer equação de curvas em coordenadas cartesianas, 
usando as coordenadas polares. Geralmente, o gráfico de uma equação polar é 
representado por r=f(θ) ou f(r,θ)=0. 
As curvas mais simples que podem ser representadas em coordenadas polares são as 
Quais seriam alguns possíveis pares ordenados para representar o ponto Q?
VAMOS PENSAR?
17
retas e as circunferências. Logo, equações do tipo representam retas que 
possuem todos os pontos (r,θ), de tal forma, que o ângulo θ mede 2 ou radianos. A 
reta θ=2, passa pela origem O e forma um ângulo de 2 radianos com eixo polar, já a reta
 também passa pela origem O e tem um ângulo de radianos com o eixo polar.
As equações de circunferências, principalmente as possuem centro na origem, têm 
equações polares bem interessantes e simples. Uma equação do tipo r=3, representa 
uma circunferência de centro de origem e raio 3. Observe que r é a distância do centroao polo, onde todos os pontos (r,θ) distam 3 unidades da origem O. Podemos generalizar 
e dizer que r=k,k ∈R representa uma equação de uma circunferência com centro na 
origem e raio igual |k|.
 Uma equação do tipo r=2 senθ também representa uma circunferência em 
coordenadas polares. A figura no quadro abaixo é a representação gráfica dessa 
equação, observe que é uma circunferência.
Figura 13: Reta em coordenadas polares
Fonte: Elaborado pelos autores
Figura 14: Reta em coordenadas polares
Fonte: Elaborado pelos autores
Circunferências com centro na origem
Figura 15: Circunferências com centro na origem
Fonte: Elaborado pelo autor
18
 Podemos escrever essa equação em coordenadas cartesianas. Para isso, 
devemos usar as relações que explicitamos acima. Para a equação r=2 senθ, temos:
 Completando quadrado, temos:
 Essa é a equação cartesiana de uma circunferência de centro (0,1) e raio 1. 
 No quadro abaixo listamos algumas equações polares e seus respectivos gráficos.
Circunferência com centro fora da origem
Figura 16: Circunferências com centro fora da 
origem
Fonte:Elaborado pelo autores
Rosácea de três folhas
r=sen (3θ)
Rosácea de 12 folhas
r=cos (6θ)
Figura 17: Rosácea de três folhas 
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 18: Rosácea de doze folhas
Fonte: Elaborado pelo autor
Cardioide
r=1+cos (θ)
Lemniscata
r2=-4 cos(2θ)
19
 Essas figuras geralmente são esboçadas por meio de calculadoras gráficas, 
porém, vale ressaltar a importância de relacionar sua expressão algébrica com e seus 
gráficos.
Figura 19: Cardioide
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 20: Cardioide
Fonte: Elaborado pelo autor
20
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Qual o gráfico da equação paramétrica definida como
2. Dado o gráfico da curva a seguir, sua equação paramétrica é?
a)
b)
c)
d)
e)
21
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
3. Dada a equação da seguinte curva y=x3+3, qual é a equação paramétrica dessa 
curva do ponto (0,3) até (2,11)?
22
5. Dadas as afirmativas abaixo:
I. I. O par ordenado em coordenadas cartesianas pode ser escrito em 
coordenadas polares como
II. II. O par ordenado em coordenadas cartesianas pode ser escrito em 
coordenadas polares como
III. III. O par ordenado em coordenadas cartesianas pode ser escrito em 
coordenadas polares como
Podemos afirmar que:
a) Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
b) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
c) Todas as afirmativas estão corretas.
d) Apenas a afirmativa I está correta.
e) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
6. Considere a reta r representada a seguir, qual a equação polar?
a)
b)
c)
d)
e)
Podemos afirmar que:
a) Apenas as afirmativas I e II estão corretas. 
b) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
c) Todas as afirmativas estão corretas. 
d) Apenas a afirmativa I está correta.
e) Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
4. Seja o segmento de reta que possui extremidades (3,5) e (-2,4). Em relação a sua 
equação paramétrica, considere as afirmativas abaixo:
I. O vetor diretor para esse segmento é tem extremidade (-5,9);
II. A equação parametrizada é definida por
III. Para temos um ponto pertencente ao segmento.
23
7. Dada a equação polar da circunferência r=6∙cos(θ), qual será a equação cartesiana?
a) (x-3)2+y2=6
b) (x+3)2+y2=9
c) (x-3)2+y2=9
d) x2+(y-3)2=9
e) x2+(y-3)2=6
8. Vimos que em coordenadas polares um mesmo ponto pode ter infinitas representações, 
indique qual a alternativa possui a mesma representação para o ponto
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
24
CURVAS NO ESPAÇO 
TRIDIMENSIONAL
25
2.1 O ESPAÇO TRIDIMENSIONAL (R³)
 O espaço tridimensional é orientado por três retas perpendiculares entre si, define-
se como origem (O) o ponto comum onde essas retas se interceptam. Esse sistema 
chamamos de eixos coordenados e essas retas denominamos de eixo-x, eixo-y e 
eixo-z.
 Esse sistema de coordenadas define alguns planos essenciais. O plano que 
contém os eixos x e y é chamado de plano-xy, o plano denominado yz, contém os eixos 
y e z e, por fim, o plano-xz, contém os eixos x e z. Esses planos coordenados dividem o 
espaço em oitos partes, que chamamos de octantes.
Se P é qualquer ponto no espaço geométrico tridimensional, consideramos: 
• a a distância (orientada) do plano-yz ao ponto P;
• b a distância (orientada) do plano-xz ao ponto P;
• c a distância (orientada) do plano-xy ao ponto P. 
 O ponto P é representado pelas coordenadas (a,b,c) de números reais. O ponto 
P, pode ser localizado partindo da origem, movendo a unidades ao longo do eixo-x; 
depois, b unidades ao longo do eixo-y e, por fim, c unidades no eixo- z. 
• INTRODUÇÃO
Nesse capítulo veremos como certas figuras são representadas no espaço tridimensional, 
começaremos com um estudo do próprio espaço tridimensional, passando por 
equações que representam retas e planos, além do estudo sobre cilindros e superfícies 
quádricas.
Figura 21: Sistema tridimensional
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 22: Planos coordenados
Fonte: Elaborado pelo autor
26
 2.2.1 Equação da reta
 Para representar uma reta S em R³, inicialmente precisaremos de um ponto 
P0 (x0,y0,z0) pertence à reta S e também de uma direção para essa reta, para isso, 
utilizaremos um vetor paralelo à reta S. Assim, representaremos a equação da reta de 
forma vetorial.
 Em uma equação vetorial da reta r=r0+tv, o parâmetro t pode assumir diversos 
valores, o vetor v indica a direção da reta S e pode ser escrito em forma vetorial: v= 
〈a,b,c〉, multiplicando o vetor v pelo parâmetro t temos: tv= 〈ta,tb,tc〉.
Podemos escrever r e r0 como componentes vetoriais: r= 〈x,y,z〉 e r0=〈x0,y0,z0〉, substituindo 
os componentes vetoriais na equação vetorial da reta, temos: 
 Dois vetores são iguais quando temos uma igualdade entre suas componentes, 
portanto, teremos as seguintes equações escalares:
 Essas equações são conhecidas como Equações Paramétricas. Observe que para 
determinar essas equações precisa-se de um ponto (x0,y0,z0 ) pertencente à reta S e de 
um vetor v paralelo à S.
2.2 EQUAÇÃO DA RETA E DO PLANO NO R³
Abaixo na Figura 23, temos a representação do P (3,2,-3).
Figura 23: Representação de um ponto no R³
Fonte: Elaborado pelo autor
Repare que para a marcação desse ponto, 
partimos da origem e deslocamos 3 uni-
dades ao longo do eixo-x, 2 unidades em 
relação ao eixo-y e -3 unidades na direção 
do eixo-z.
VAMOS PENSAR?
27
 Exemplo: Dado o ponto P(2,-1,-2) e o vetor v=-2i+j+k. Encontre a equação vetorial 
e paramétrica da reta S que passa pelo ponto P e seja paralela ao vetor v.
Resolução:
 Para determinar a equação vetorial, o vetor posição r0 sempre parte da origem 
até o ponto P. Suas coordenadas são a diferença entre o ponto e a origem do espaço:
 Sendo assim, r0=2i-j-2k, substituindo na equação r=r0+tv tem-se:
 Determinando a equação paramétrica:
 Como já temos a equação vetorial, para ter a equação paramétrica temos:
 2.2.2 Equações do plano
 Para determinar a equação de um plano, necessitamos de um vetor que direciona 
o plano. Precisaremos que o vetor seja ortogonal ao plano, pois um vetor paralelo não é 
suficiente para determinar a sua direção. A equação de um plano é dada por um ponto 
pertencente ao plano e um vetor ortogonal a ele (vetor normal n).
 Dado um ponto P(x,y,z) qualquer pertencente ao plano, precisamos de um ponto 
P0 (x0,y0,z0) também pertencente a esse plano. Dessa forma, temos dois vetores r e r0, 
vetores posições com extremidade em P e P0. Assim, o vetor pertencente 
ao plano.
 O vetor n ortogonal ao vetor r-r0, também será ortogonal ao plano. A equação 
vetorial do plano, é representada da seguinte maneira:
Para relembrar como é feita a transformação de um vetor para a forma canô-
nica, acesse o livro Geometria Analítica através do link abaixo: https://abre.ai/
iPdk. Verificar a página 143 para ver como é feita no R² e 152 no R³.
DOS, S.F.J.; FÁBIO, F.S. Geometria Analítica. [Digiteo Local da Editora]: Grupo A, 
2009. 9788577805037. Disponível em: https://abre.ai/iPdo. Acesso em: 25 Jun 
2021
BUSQUE POR MAIS
28
 Dados o ponto P(-1,-2,1) pertencente a um plano α, e um vetor normal n=〈2,-1,2〉 a 
esse plano. Determine a equação do plano α.
Resolução:
Como foram dadas as coordenadas do vetor normal n=〈2,-1,2〉, temos a=2, b=-1 e c=2. 
O ponto P(-1,-2,1), fornece x0=-1, y0=-2 e z0=1, vamos substituir tais valores na equação:
Figura 24: Representação do vetor ortogonal
Fonte: Elaborado pelo autor
Sabendo que: 
r: é um vetor posição do ponto P;
r0: é um vetor posição do ponto P0;
n: é um vetor ortogonal ao plano.
FIQUE ATENTO
Como n, r e r0 são vetores no R³, podemos reescrever a equação do plano da seguinte 
maneira: Seja n= 〈a,b,c〉, r=〈x,y,z〉 e r0=〈x,y,z〉 substituindo em n∙(r-r0)=0, temos:
〈a,b,c〉∙(〈x,y,z〉-〈x0 ,y0 ,z0〉)=0 ⟹ 〈a,b,c〉∙〈x-x0,y-y0 ,z-z0〉=0
Esse produto é escalar, logo:
a∙(x-x0)+b∙(y-y0)+c∙(z-z0)=0
Essa equação é chamada de equação escalar do plano.
Outra forma bastante usual de representar a equação do plano é a equação linear nas 
variáveis x, y e z. Dada por: ax+by+cz+d=0, onde d=-(ax0+by0+cz0). Lembrando que a,b e c 
são as coordenadas do vetor normal e x0,y0 e z0 são as coordenadas do ponto que per-
tence ao plano. 
29
 Já discutimos nesse capítulo as superfícies planas. Agora, iremos nos ater a um 
outro tipo de superfície, conhecida como cilíndricas. Essas superfícies são razoavelmente 
fáceis de serem esboçadas no espaço tridimensional, para isso, iremos apresentar 
algumas especificidades importantes que nos ajudarão nessa tarefa. 
 Os cilindros circulares retos são conhecidos por vocês (estudantes), mas nesse 
capítulo iremos considerar as superfícies cilíndricas de uma maneira mais genérica.
 Superfícies cilíndrica: Seja uma reta S e uma curva f contida em um plano. Todas 
as retas paralelas à reta S que interceptam a curva f constituem a superfície cilíndrica.
 Seja z=-x2+4. A figura representa a superfície cilíndrica referente a essa equação.
 Observe que qualquer plano y=k (planos paralelos ao plano-xz) intercepta a 
superfície evidenciando a curva com equação z=-x2+4, que é uma parábola.
 Quando movimentamos essa parábola ao longo do eixo-y, temos a superfície 
chamada cilindro parabólico. Na figura podemos também observar as retas geratrizes 
do cilindro paralelas ao eixo-y e a parábola sendo a diretriz. 
 Quando uma das variáveis x, y ou z não aparecem na equação da superfície, 
implica que essa equação é referente a uma superfície cilíndrica. A variável ausente na 
equação indica que as geratrizes estão paralelas ao eixo dessa variável. Na equação 
anterior, z=-x2+4, repare que não aparece a variável y, logo as retas geratrizes são 
paralelas ao eixo-y.
2.3 CILINDROS
Figura 25: Superfície cilíndrica gerada por 
uma parábola
 Fonte: Elaborado pelo autor
Em outras palavras, todas as retas paralelas 
à reta S que que interceptam a curva f fixa 
constituem a superfície cilíndrica.
É como se pudéssemos mover a reta S man-
tendo sua inclinação (paralela à S) pela 
curva f.
A reta que se move é denominada geratriz 
e a acurva fixa que é dada é chamada de 
diretriz. 
Figura 26: Superfície cilíndrica 1
Fonte: Elaborado pelo autor
30
 A seguir listamos algumas superfícies cilíndricas e algumas das suas características.
Representação algébrica Representação Gráfica
x2+y2=4
A variável z está ausente para essa equação. 
Fazendo z=k, temos várias circunferências 
de centro na origem e raio 2 paralelas ao 
plano-xy. As geratrizes são retas verticais 
paralelas ao eixo-z. E a diretriz é a circunfe-
rência 
x2+y2=4. Observe que a superfície é um cilin-
dro circular reto com eixo de simetria z.
Figura 27: Superfície cilíndrica 2 
Fonte:autores
x2+z2=1
A variável y está ausente para essa equação. 
Fazendo y=k, temos várias conferências de 
centro na origem e raio 1 paralelas ao plano-
-xz. As geratrizes são retas verticais paralelas 
ao eixo-y. E a diretriz é a circunferência 
x2+z=1 Observe que a superfície é um cilindro 
circular com eixo de simetria y.
Figura 28: Superfície cilíndrica 3
Fonte:Elaborado pelo autor
y=2x2+2
A variável z está ausente para essa equação. 
Fazendo z=k, temos várias parábolas pa-
ralelas ao plano-xy. As geratrizes são retas 
verticais paralelas ao eixo-z. E a diretriz é a 
parábola 
y=2x2+2. Observe que a superfície é um cilin-
dro parabólico.
Figura 29: Superfície cilíndrica 4
Fonte:Elaborado pelo autor
31
 Sabemos que uma equação polinomial do segundo grau nas variáveis x e y, do 
tipo: 
 Representa uma secção cônica no plano. Já uma equação polinomial do segundo 
grau em três variáveis x, y e z, do tipo: 
 Onde A, B, C, ... J são constantes, representa uma superfície que chamamos de 
. 
 Essa equação pode se apresentar de forma mais simples quando aplicamos 
rotações e translações. Dessa forma, temos:
 Para entendermos com maior facilidade as quádricas vamos analisar secções 
transversais dessas superfícies em planos paralelos aos planos coordenados. Essas 
seções possibilitarão a visualização das superfícies.
1) Elipsoide
Possui equação:
 Com a, b e c reais positivos.
 Para esboçar essa superfície vamos analisar cortes transversais paralelos 
passando pelos planos coordenados.
z=cos(y)
A variável x está ausente para essa equação. 
Fazendo x=k, temos várias curvas (cossenói-
des) paralelas ao plano-zy. As geratrizes são 
retas horizontais paralelas ao eixo-x. E a dire-
triz é a curva cossenóide z=cos(y). Observe a 
superfície cilíndrica.
Figura 30: Superfície cilíndrica 5
Fonte:Elaborado pelo autor
2.4 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
32
Cortes Equação Representação 
da equação
Gráfico no plano
Plano-xy Elipse Figura 31: Elipse no plano-xy
Fonte: Elaborado pelo autor
Plano-xz Elipse Figura 32: Elipse no plano-xy
Fonte:Elaborado pelo autor
Plano-yz Elipse Figura 33: Elipse no plano-zy
Fonte:Elaborado pelo autor
Figura 34: Elipsoide
Fonte:autores
33
 Poderíamos também trabalhar com traços paralelos aos planos coordenados, 
fazendo:
 z=k e substituindo na equação da elipsoide:
Observe que:
Se |k|>c, implica em 0 (positivo). O gráfico para vários planos paralelos ao plano-
xy será sempre uma elipse. É importante salientar que existe gráfico para
 Para x=k e y=k a analise na equação do elipsoide seria a mesma. E teríamos:
 A curva para os planos paralelos ao plano-yz será sempre uma elipse para 
 A curva para os planos paralelos ao plano-xz será sempre uma elipse para 
Figura 35: Elipses geradas pelos planos paralelos ao plano-xy 
Fonte: Elaborado pelo autor
34
Figura 36: Elipses geradas pelos planos yz e xz
Fonte: Elaborado pelo autor
 Vale ressaltar que se a=b=c o gráfico dessa superfície será uma esfera de raio a 
e centro na origem.
 2) Hiperboloide de 1 folha
 Possui equação:
 Com a, b e c positivos.
 Para esboçar essa superfície vamos analisar cortes transversais paralelos 
passando pelos planos coordenados.
Cortes Equação Representação 
da equação
Gráfico no plano
Plano-xy
Elipse
Figura 37: Elipse no plano-xy
Fonte:Elaborado pelo autor
Plano-xz
Hipérbole 
Figura 38: Hipérbole no plano-xz
Fonte:Elaborado pelo autor
35
Figura 41: Elipses geradas pelos planos paralelos ao plano-xy
Fonte: Elaborado pelo autor
 Analisando eixos paralelos aos planos coordenados, temos:
 Para z=k
 Observe que para z=k a curva para planos paralelos ao plano coordenado xy é 
uma elipse. Quanto maior o valor de k positivo implica no aumento dos eixos da elipse.
 Quando fazemos x=k e y=k, ou seja, planos paralelos aos planos yz e xz, 
respetivamente, temos hipérboles para esses cortes. 
Plano-yz
Hipérbole
Figura 39: Hipérbole no plano-yz
Fonte:Elaborado pelo autor
Figura 40: Hiperboloide
Fonte:autores
36
Figura 42: Hipérboles geradaspelos planos paralelos aos planos xz e yz
Fonte: Elaborado pelo autor
 O termo negativo nas equações do hiperboloide de uma folha indica o eixo dessa 
superfície.
 3) Hiperboloide de 2 folhas
 Possui equação:
 Analisando os cortes sobre os planos coordenados, temos:
37
Cortes Equação Representação 
da equação
Gráfico no plano
Plano-xy
Não há curva -
Plano-xz
Hipérbole 
Figura 43: Hipérbole no plano-xz
Fonte: Elaborado pelo autor
Plano-yz
Hipérbole
Figura 44: Hipérbole no plano-yz
Fonte:Elaborado pelo autor
Figura 45: Hiperboloide de 2 folhas
Fonte: Elaborado pelo autor
38
 Os planos paralelos aos planos coordenados implicam em:
 Para z=k:
 Observe que se, k>c, teremos elipse se (a≠b) como curvas nos planos paralelos 
aos planos coordenados.
 Os cortes para plano a seguir são hipérboles. 
Figura 46: Elipses geradas pelos planos paralelos ao plano-xy
Fonte: Elaborado pelo autor
x=k y=k
Figura 47: Hipérboles geradas pelos planos 
paralelos ao plano-yz
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 48: Hipérboles geradas pelos planos 
paralelos ao plano-xz
Fonte: Elaborado pelo autor
39
Cortes Equação Representação 
da equação
Gráfico no plano
Plano-xy
Um ponto na 
origem 
Figura 49: Ponto na origem
-
Fonte: Elaborado pelo autor
Plano-xz
Retas que se 
interceptam 
Figura 50: Retas que se intercep-
tam na origem no plano-xz
Fonte: Elaborado pelo autor
 Para a equação 
 O eixo do hiperboloide foi o eixo-z. Observe que as variáveis x e y são negativas 
e z é positiva. Fazendo diferentes termos com o sinal negativos podemos identificar o 
eixo do hiperboloide de duas folhas. 
4) Cone
 Se substituirmos 1 por 0 na equação do hiperboloide de uma folha ou de duas 
folhas, teremos o que chamamos de hiperboloide degenerado, o que nos dá a 
equação de uma superfície conhecida como cone. 
 Onde a, b e c são positivos.
Vejamos os cortes para os planos coordenados:
40
 Analisando os planos paralelos aos planos coordenados, para z=k:
 Quando k≠0 temos duas possibilidades de curvas para os planos: elipses se 
a≠b, dessa forma, a superfície é denominada cone elíptico. E circunferências se a=b, 
assim o cone é circular. 
Plano-yz
Retas que se 
interceptam 
Figura 51: Retas que se intercep-
tam na origem no plano-yz
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 52: Cone
Fonte: Elaborado pelo autor
41
 Fazendo x=k e y=k, com k≠0, temos sempre cortes onde as curvas são 
hipérboles.
Cone Elíptico
a≠b
Cone Circular
a=b
Figura 53: Cone elíptico
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 54: Cone circular
Fonte: Elaborado pelo autor
x=k y=k
Figura 55: Hipérboles geradas pelos planos 
paralelos ao plano-yz
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 56: Hipérboles geradas pelos planos 
paralelos ao plano-xz
Fonte: Elaborado pelo autor
42
 É importante notar que a superfície cônica é simétrica em relação a um ponto, 
no caso, a origem. O eixo de cada superfície está ligado à variável negativa em cada 
equação. 
 5) Paraboloide
 Possui equação:
 Com a e b positivo e c≠0.
Cortes Equação Representação 
da equação
Gráfico no plano
Plano-xy
Um ponto na 
origem 
Figura 57: Ponto na origem
Fonte: Elaborado pelo autor
Plano-xz
Parábola 
Figura 58: Parábola no plano-xz
Fonte: Elaborado pelo autor
Plano-yz
Parábola
Figura 59: Parábola no plano-yz
Fonte: Elaborado pelo autor
43
 Os planos paralelos aos planos coordenados fornecem informações 
importantes. 
 Para z=k, temos:
 Para k≠0, se a≠b teremos elipses nos planos paralelos quando z=k, dessa forma, 
a superfície é denominada paraboloide elíptico. Se a=b, temos circunferenciais, assim 
o cone é circular. 
 Outro ponto importante a salientar é, se k≠0 e c>0, nesse caso teremos 
um paraboloide com a concavidade para cima, se k≠0 e c0 k≠0 e c0
Figura 73: Ponto na origem
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 74: Elipses no plano-yz
Fonte: Elaborado pelo autor
y=0 y=k
Figura 75: Parábola plano-xz
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 76: Parábolas geradas pelos planos 
paralelos ao plano-xz
Fonte: Elaborado pelo autor
49
 Diante dessa análise podemos esboçar a superfície.
Assim, finalizamos essa unidade e destacamos sua importância para continuação do 
estudo dos próximos conteúdos. 
Para z=k,
z=0 z=k
Figura 77: Parábola plano-xy
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 78: Parábolas geradas pelos planos 
paralelos ao plano-xy
Fonte: Elaborado pelo autor
z=0 z=k
Figura 77: Parábola plano-xy
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 78: Parábolas geradas pelos planos 
paralelos ao plano-xy
Fonte: Elaborado pelo autor
50
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Determine as equações paramétricas da reta L que passa pelo ponto (-2,-3,-2) e é 
paralela ao vetor 2i+j-k.
2. Determine a equação geral do plano que contém o ponto P(0,3,2) que é paralelo 
aos vetores u(1,2,0) e v(0,3,1).
3. Determine a equação do plano que passa pelos pontos A(0,-1,1), B(2,1,2) e C(-3,0,2).
a) x-5y+3z-13=0 
b) x-5y+3z+8=0 
c) x-y+3z-7=0
d) x-3y+5z+8=0
e) x-3y+5z+13=0
4. Analisando a seguinte equação determine a superfície 
representada por ela.
a) hiperboloide de duas folhas
b) Paraboloide Circular
c) Cone circular 
d) Paraboloide elíptico
e) Cone elíptico 
a)
b)
c)
d)
e)
a) 2x-y+3z=3
b)-2x+y-3z=-3
c) 2x-2y+3z=3
d) -2x+2y-3z=-3
e) 2x-y+3z=6
51
5. Analisando a seguinte equação determine a superfície representada 
por ela.
a) Cone elíptico 
b) Cone circular 
c) Paraboloide elíptico 
d) Paraboloide Circulare) hiperboloide
6. Das equações abaixo, determine a equação que representa a seguinte superfície 
quádrica.
7. Das equações abaixo, determine a equação que representa a seguinte superfície 
quádrica.
8. Das equações abaixo, determine a equação que representa a seguinte superfície 
cilíndrica.
52
FUNÇÕES E LIMITES DE 
VÁRIAS VARIÁVEIS
53
• INTRODUÇÃO
 Em nossas tarefas diárias podemos utilizar algumas funções de uma variável 
para descrever certos acontecimentos, porém, alguns fenômenos físicos são descritos 
por funções que envolvem funções com mais de uma variável. 
 Nesta unidade faremos um estudo analítico e geométrico das funções de duas 
várias variáveis. Vale destacar que os métodos utilizados podem ser estendidos para 
funções de três ou mais variáveis.
 As funções estudadas em cálculo até este momento envolveram apenas uma 
variável independente. Existem inúmeras aplicações para elas, mas ocorrem situações 
onde muitos problemas são necessários utilizar várias variáveis independentes. 
 Um exemplo seria para calcularmos o volume de um cone. Para isso, é necessário 
sabermos a altura e o raio da base do cone, ou seja, o volume do cone depende da 
altura (h) e do raio (r). O volume V em função de r e h é dado por V(r,h)=(πr² h)/3.
 Podemos também pensar que a pressão de um determinado gás em um ponto P 
do espaço depende da sua localização, ou seja, das coordenadas retangulares x, y e z 
do ponto P.
 Vale lembrar que, a relação entre os elementos de um conjunto A em um conjunto 
B será uma função quando todo elemento do conjunto A (chamado domínio) for 
associado a um único elemento do conjunto B (contradomínio).
 Uma função de várias variáveis possui a mesma ideia da definição de função, 
porém, existe uma diferença. Para definir uma função de várias variáveis devemos 
associar cada par ordenado de um conjunto A a um elemento pertencente ao conjunto 
B.
 Por exemplo:
 Definição: Uma função f de duas variáveis é uma correspondência que associa o 
par ordenado (x,y)∈A a um único elemento real pertencente ao conjunto B. O conjunto 
A é chamado de domínio de f, e os possíveis valores de f são chamados de imagem.
 Em outras palavras,
3.1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Figura 79: Domínio e Imagem de funções com duas variáveis
Fonte: Elaborado pelo autor
54
será uma função quando (𝑥,𝑦)∈𝐀 existirá um único 𝑓(𝑥,𝑦)∈𝐁
Exemplo:
Dada a função 
a) Determine a imagem da função f, para o ponto (2,1).
Resolução:
b) Determine e esboce o domínio de f.
Resolução:
 Para determinar o domínio de f, devemos considerar que o denominador seja 
diferente de 0. Ou seja, da função
Como existe um radical no denominador temos que
Assim, analisando as duas condições, temos que o domínio é dado por
Ou seja, o domínio é o conjunto (D) de todos os pares ordenados (x,y) tais que, 4x-y2 
seja positivo. De outro modo:
Dada a função y=x² como seria sua representação gráfica?
A partir desse momento devemos pensar se essa função pertence ao R^2 ou R³, dessa for-
ma, ambas as representações gráficas são apresentadas a seguir. 
OBS: Podemos dizer que nas funções de várias variáveis o domínio é um subconjunto do 
plano (R2).
f(x)=x²
Figura 80: Parábola Figura 81: Superfície cilíndrica
Fonte: autores
Domínio: x∈R
Imagem: y∈R+
Domínio: (x,y)∈R2
Imagem: z∈R+
Fonte: autores
f(x,y)=x²
VAMOS PENSAR?
55
 A partir disso, fica natural começarmos o estudo dos gráficos de funções de várias 
variáveis.
 Os gráficos de uma função que possui apenas uma variável são representados 
por uma curva. Ao utilizarmos duas variáveis teremos uma superfície com equação igual 
à z=f(x,y), para uma função f de duas variáveis o gráfico dessa função será o conjunto 
de todos os pontos (x,y,z)∈R3, tal que o par ordenado (x,y) é um ponto do domínio de f.
Exemplo:
Faça o esboço do gráfico da função e determine o domínio e 
conjunto imagem.
Resolução:
Para fazer o esboço, devemos fazer Elevando ambos os lados da igualdade 
ao quadrado, temos:
 Observe que essa equação é característica de uma quádrica, a qual representa 
o cone.
Dessa forma, devemos considerar apenas a parte em que z>0, pois
Definição: O gráfico de uma função f:D⊂R2⟶R é o conjunto dos pontos que estão em R3 
e que f(x,y) percorre o domínio e z é a imagem da função (parte dependente).
Figura 82: Conjunto Domínio
Fonte: Elaborado pelo autor
3.2 GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
56
 Sendo assim, temos que D={(x,y)∈R } e a imagem (Im) é dada por Im={z∈R+}
 Uma outra maneira de observarmos os gráficos será através das curvas de níveis 
ou curvas de contorno. Para definirmos as curvas de nível de uma função f de duas 
variáveis utilizamos vários planos paralelos ao plano-xy e projetamos a sua interseção 
com a superfície nesse plano.
 3.2.1 Curvas de nível
 A curva de nível de uma função é um conjunto dos pontos do domínio onde a 
função vale k, ou seja k é a imagem da função.
 Podemos dizer que as curvas de nível também são conjuntos de pontos onde 
a função possui valores constantes. Vale ressaltar que essas curvas não estão 
representadas na superfície, mas, sim, no seu domínio (geralmente no plano xy)
Exemplo: Seja a função
 As curvas de nível são aquelas onde o z fica constante. Então fazemos z=k. 
Para observe que essa 
equação representa uma circunferência de centro na origem e raio igual raiz quadrada 
de 1- k.
 Vamos descrever as curvas de nível
• Para k>1, a curva de nível não existe, é vazia.
• Para k=1 ⇒ x2+y2=0 ⇒ (x,y)=(0,0), a curva se reduz a um ponto.
• Para kno domínio da função. Essa é uma operação que podemos fazer diretamente 
na função para calcular o limite. Portanto, nesse caso podemos dizer que, o limite de 
FIQUE ATENTO
Agora vamos analisar a seguinte função para determinarmos o limite 
de g(x,y), vamos analisar seu comportamento quando aproximarmos x e y de zero. Ob-
serve, que a função não está definida para x=y=0, mas estamos interessados no compor-
tamento da função quando os valores de x e y ficam próximos de zero.
: , 
Tabela 1: Tabela aproximações para g(x,y)
Fonte: Elaborado pelo autor
59
f(x,y) quando (x,y) tendem para (2,2) é igual a 6.
 2º Caso) Limites calculados usando alguns artifícios
Existem também muitas funções que não admitem fazer as substituições diretas. Como 
no limite a seguir: 
 Se substituirmos diretamente x=2 e y=1 na função encontramos uma 
indeterminação. Pois (2,1) estão fora do domínio de f, ou seja, a função não está definida 
para esses valores.
 Para resolver esse limite, devemos eliminar essa indeterminação. O caminho 
será, manipular a função algebricamente, reescrevendo a função de uma outra forma 
utilizando de algumas simplificações, observe:
 Cancelando o termo (x-2y) do numerador com o termo idêntico do denominador, 
temos f(x,y)=6y. Essa função é uma função equivalente à função original e, agora, 
podemos usar a substituição direta, pois não existe nenhuma restrição no domínio da 
função. Note que, mesmo após simplificar a função, podemos calcular o limite, mesmo 
não aparecendo a variável x.
 Resumindo, são muitos os limites de funções de duas variáveis que, incialmente, 
entram numa condição de indeterminação, ao fazer algumas manipulações algébricas, 
podemos eliminar essas indeterminações e calcular o limite de maneira direta.
60
Vale ressaltar que os teoremas do limite da soma, do produto, do quociente, limites no 
infinito e outros também são válidos aqui.
BUSQUE POR MAIS
61
Para melhor compreensão do estudo de limites de funções de duas variáveis 
Disponível em: https://abre.ai/iU5L. Acesso em: 23 jan. 2023. Concentre seu 
estudo nas páginas 917 a 922. 
62
 Para funções contínuas de duas variáveis podemos usar a mesma ideia de 
substituição direta. Dessa forma, definimos:
 Uma função f:A⟶R é contínua em um ponto (x0,y0 )∈A se, e somente se:
 Em resumo, a função é contínua, quando o limite com (x,y) tendendo para (x0,y0 ) 
de f(x,y) for igual ao valor da função no ponto. Já a função f é contínua no domínio R se 
f for contínua em todos os pontos do domínio. 
 Vale ressaltar que se um ponto (x,y) possui uma pequena variação em uma 
quantidade, a função f(x,y) sendo contínua, também teremos uma pequena variação 
para f(x,y). Isso implica que a superfície correspondente ao gráfico de f(x,y) será contínua, 
ou seja, não apresenta buracos.
 Existem três condições importantes em torno da ideia de continuidade em um 
ponto que devemos ficar atentos:
1. A função f deve estar definida no ponto (x0,y0 ) , isto é, (x0,y0 ) ∈Df;
2. Deve existir:
3. O limite deve ser igual ao valor da função f no ponto (x0,y0):
 Para determinarmos se uma função de duas variáveis f é contínua ou não em um 
ponto, essas três condições devem ser satisfeitas. Caso alguma dessas condições for 
falha, dizemos que a função é descontínua nesse ponto.
 Exemplos: 
 1) Para quais valores a função é contínua?
 Observe que a função não está definida para (0,0), como a função é racional, o 
denominador deverá ser diferente de zero. Logo ela é descontínua para esse ponto.
 3.3.2 Continuidade
 Para funções contínuas de uma variável o cálculo do limite pode ser feito por 
substituição direta. Uma função é contínua quando: 
Função contínua
z=x^2 y+2xy
Figura 85: Função contínua
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 86: Função contínua
Fonte: Elaborado pelo autor
63
 2) Seja a função com f(x,y)=L. Qual valor de L a função será contínua 
quando (x,y) tende a (3,3)?
 Para a função f(x,y) ser contínua em (3,3) o limite dessa função deve existir, então:
 Para eliminar essa indeterminação, devemos utilizar as técnicas de fatoração:
 Repare que a função não apresenta mais problema de indeterminação, logo, o 
limite pode ser calculado por substituição direta:
 Portanto, a função f(x,y) será contínua em (3,3) se L=12.
64
FIXANDO O CONTEÚDO
1. Determine o domínio da função
2. Determine o domínio da função
3. Determine o limite da seguinte função 
4. Determine o limite da seguinte função 
65
5. Determine o domínio da função determine o limite quando (x,y) tende a (2,1).
6. Determine o intervalo em que a função 
7. Qual o conjunto dos pontos de continuidade da função 
66
8. Considerando a função , analise as sentenças abaixo:
Podemos afirmar que:
a) Apenas a alternativa I está correta
b) Apenas a alternativa II está correta
c) Nenhuma das alternativas estão corretas
d) As alternativas I e II estão corretas
e) Apenas a alternativa III está correta
I. 
II. A função é descontínua para o ponto (0,0);
III. 
67
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
68
• INTRODUÇÃO
 Nessa unidade abordaremos conceitos importantes para o cálculo envolvendo 
funções de duas variáveis, as ideias aqui utilizadas são uma extensão do cálculo de 
uma variável e podem ser expandidas para várias variáveis.
 'Quando estudamos derivadas para função de uma variável, imediatamente 
associamos à ideia de taxa de variação. Basicamente a taxa de variação mede o quanto 
a variável dependente se modifica em relação à variável independente. 
 Como exemplo, podemos citar a posição (s é a variável dependente) de uma 
partícula que está se movendo. Então, a taxa de variação da posição em relação ao 
tempo (t é a variável independente) é a velocidade.
 Levando esse conceito para as funções de duas variáveis, podemos analisar a 
seguinte função: f(x,y)=4-x2-y2, e o ponto (x,y)=(1,1). 
 Fixando x=1 e variando y arbitrariamente, temos:
 Dessa forma, a função g(y) é uma função de uma variável (y) e representa uma 
parábola. A função f(x,y)=4-x2-y2 é um paraboloide no espaço, como a figura a seguir. 
 Observe que a parábola é uma função de uma variável contida no gráfico 
(superfície) da função f(x,y).
 Ao fixarmos um valor para y e variarmos x, também obteremos uma equação de 
parábola (h(x)=3-x^2 ), contida no gráfico da superfície gerada por f(x,y). 
 Em resumo, dada uma função f de duas variáveis, fixamos uma das variáveis e 
deixamos a outra variar. Chegaremos assim em funções de uma variável que estão 
contidas no gráfico de f, uma com variação em y e outra com variação em x. 
 Podemos obter a derivada dessas funções de uma variável, possuindo os 
mesmos significados estudados anteriormente (taxa de variação), como também, suas 
especificidades (ponto de máximo, ponto de mínimo, identificar se a função é crescente 
4.1 DERIVADAS PARCIAIS
Figura 87: Parábolas representadas no paraboloide
Fonte: Elaborado pelo autor
69
 As seguintes notações também podem ser usadas para representar as derivadas 
parciais:
 Considerando z=f(x,y), temos:
 A definição formal para derivadas parciais é similar à definição para derivadas 
de uma variável. 
 Dada uma função f(x,y), as derivadas parciais de f em relação à x e a y serão as 
funções:
 Exemplo: Dada a função f(x,y)=6x2 y3, determine fx (x,y), fy (x,y) e fx (3,1):
Resolução:
 Para determinarmos fx (x,y), vamos considerar a variável y como uma constante 
e derivamos a função em relação x.
 Para determinarmos fy (x,y), vamos considerar a variável x como uma constante 
e derivamos a função em relação à y.
Para determinarmos fx (3,1), basta substituir os valores x=3 e y=1 na função fx (x,y)=12xy3.
 Dada a função f(x,y)=x^2 y sen(y), vamos determinar 
 Considerando a variável x como uma constante e derivando em função de y, 
podemos utilizar a regra do produto para determinar 
 A regra do produto para funções de uma variável, do tipo h(x)=f(x).g(x)é dada 
por:
ou decrescente etc.).
Retomando as funções: Ao derivamos essas funções, 
temos: Essas derivadas, são conhecidas como derivadas 
parciais de f(x,y).
 Para expressar as derivadas parciais utilizamos a seguinte notação:
FIQUE ATENTO
As regras de derivação para funções de uma variável valem para as derivadas parciais. 
Como por exemplo a regra do produto e a regra do quociente.
70
 A regra do produto em relação à x para uma função de duas variáveis, do tipo 
h(x,y)=f(x,y).g(x,y) será dada por:
 Em relação à y, será: 
 Voltando ao exemplo, temos que:
 Agora vamos precisar utilizar a regra da cadeia, que é definida por:
 Seja uma função z=f(x,y) derivável, com x=g(t) e y=h(t) derivaveis em t. Observe 
que z depende de x e y. Como x e y dependem de t, podemos afirmar que z também 
depende t. Então, z é uma função derivável em t e a derivada de z em relação à t é dada 
por:
Exemplo:
Seja a função z=x2+3xy, onde x=sen(3t) e y=cos(3t). Determine para t=0. Observe que 
a função z depende de x e y. Como x e y dependem de t, temos que z também depende 
de t. O que ocorre é uma função composta. Então:
Como t=0, temos:
71
Então:
 4.4.1 Interpretação geométrica das derivadas parciais
 No início dessa seção discutimos uma ideia inicial de derivadas parciais. 
Analisando a função f(x,y)=4-x2-y2, fixaremos uma das suas variáveis com um valor 
numérico constante. Sejam os pontos R(x,y,0) e S(x+h,y,0), por esses pontos podemos 
traçar um plano paralelo ao plano-xy, que intercepta a superfície gerada pela função 
f(x,y), formando uma curva C, como na figura. Consideramos os pontos P e Q pertencente 
à C e que suas projeções no plano-xz são R e S, respectivamente.
 Observe que podemos calcular o coeficiente angular mPQ da reta secante rPQ que 
passa pelos pontos P e Q contidos no plano paralelo ao plano-xz.
 Fazendo o limite de mPQ com h tendendo para 0, temos a derivada parcial de f(x,y) 
em relação à x, ou seja, essa derivada parcial é o coeficiente angular da reta tangente 
r a curva C no ponto P (Veja na figura anterior).
 Se tivéssemos escolhidos pontos R e S de tal maneira que pudéssemos traçar um 
plano paralelo ao plano-yz passando por esses pontos, poderíamos analogamente 
verificar que fy (x,y) é o coeficiente angular da reta tangente à curva que passa por P.
 Exemplo:
 Podemos pensar na mesma função anterior f(x,y)=4-x2-y2 e fx (1,1) , a representação 
geométrica da derivada será:
Figura 88: Representação da curva C
Fonte: Elaborado pelo autor
72
 4.4.2 Derivadas de segunda ordem
 Seja f uma função de duas variáveis, teremos suas derivadas parciais fx e fy 
também como funções de duas variáveis. Podemos derivar parcialmente essas funções, 
fazendo(fx)x e (fy)y. Essas novas derivadas são conhecidas como derivadas parciais de 
segunda ordem. E usamos as seguintes notações:
 Quando escrevemos fxy, implica que devemos diferenciar primeiro em relação à 
x e depois em relação à y e fyx indica que devemos derivar primeiro em relação à y e 
depois em relação à x. Essas derivadas fxy e fyx são conhecidas como derivadas parciais 
segundas mistas de f. 
 Exemplo: Seja a função f(x,y)= 5x2 y-4x4 y5+6x determine as derivadas parciais 
segundas.
 Vamos determinar as derivadas fxx, fyy,fxy e fyx:
 1) A derivada primeira da função em relação à x é:
 Logo, a derivada segunda em relação à x:
 2) A derivada primeira da função em relação à y é:
Figura 93: Reta tange à parábola 
 
 
Fonte: Elaborado pelo autor
Sabemos que f representa um paraboloide e 
que o plano y=1 condiciona a parábola z=-
3-x2. Também, sabemos que a curva C é a 
interseção da superfície com o plano.
Dessa forma, a inclinação da reta tangente r 
a essa parábola no ponto P(1,1,2) será:
fx (x,y)=-2x ⇒ fx=m=-2
73
 Logo, a derivada segunda em relação à y:
 3) A derivada de segunda ordem mista fxy é:
 4) A derivada de segunda ordem mista fyx é:
 Observe no exemplo anterior que fxy=fyx. Isso não é coincidência, essa igualdade 
pode ser descrita rigorosamente por um teorema, para isso:
 Para uma função f de uma variável, ser derivável em um determinado ponto 
garante a existência de uma reta tangente. Em outras palavras, para essas funções, 
ser derivável garante que a função é contínua e que possui especificidades relevantes 
para que seja aproximada pela reta tangente. 
 Para funções de duas variáveis não é bem assim que funciona. Inicialmente, é 
importante ressaltar que possuir derivadas parciais não garante que a função seja 
contínua, ou seja, só ter derivadas parciais não é suficiente para que uma função de 
duas variáveis tenha um comportamento regular (continuidade).
 Sabemos que o gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície, 
podendo ser contínua ou não. Apenas com essas informações não podemos garantir 
que a superfície não possui quebras (descontinuidades). Logo, a existência de um 
plano tangente será uma condição suficiente em que as derivadas parciais deverão 
ser funções contínuas.
 Podemos analisar essa situação como fizemos para funções de uma variável. 
Ampliando um ponto na superfície, a qual representa o gráfico de uma função de duas 
variáveis, iremos observar que cada vez mais perto desse ponto não conseguiremos 
distinguir a superfície e o plano tangente naquele ponto, ou seja, a superfície se parece 
cada vez mais com o plano. 
 Para definirmos planos tangentes iremos partir da seguinte ideia:
Verifique esse teorema e outros exemplos nas páginas 934 e 935, do livro Cál-
culo - V2 de Howard, Bivens e Davis, disponível em: https://abre.ai/iW5A. Acesso 
em: 23 jan. 2023
BUSQUE POR MAIS
4.2 PLANOS TANGENTES
74
 Para qualquer plano que passa por P(x0,y0,z0) temos a equação:
 Vamos dividir toda a equação por C:
 Essa equação (I) representa o plano tangente no ponto P. Se pensarmos na 
interseção desse plano com o plano vertical y=K2, teremos uma reta r1 como resultado 
dessa interseção. Então, fazendo y=y0, temos:
 Seja uma função z=f(x,y), onde sua representação gráfica é uma superfície S. Essa 
função admite derivadas parciais de primeira ordem contínuas e também um ponto 
P(x0,y0,z0 ) pertencente à S. Traçando planos verticais x=K1 e y=K2 as suas interseções 
com a superfície S, serão as curvas C1 e C2, de tal forma que o ponto P pertença a essas 
duas curvas (figura). Por fim, considerando r1 e r2 as retas tangentes às curvas C1 e C2 
respectivamente, termos o plano tangente à superfície S no ponto P, que é determinando 
pelo plano que contém as retas tangentes r1 e r2.
Figura 89: Plano tangente a superfície no ponto P
Fonte: Elaborado pelo autor
Para qualquer curva C que pertença à superfícies S e passe por P, possui reta tangente 
que está contida ao plano tangente daquele ponto. Vale ressaltar que na figura anterior 
estão representadas apenas duas retas tangentes, porém, temos uma infinidade de retas 
tangentes nesse ponto.
VAMOS PENSAR?
75
 Repare que essa expressão é a equação de uma reta com inclinação a. No tópico 
sobre interpretação geométrica das derivadas parciais vimos que a inclinação da reta 
tangente r1 é dada por fx (x0,y0), logo a=fx (x0,y0).
 Analogamente, substituindo x=x0 na equação (I), teremos a equação da reta 
tangente r2, que é interseção do plano vertical y=K1 como plano tangente. Essa interseção 
resulta z-z0=b(y-y0). Onde podemos fazer b=fy (x0,y0).
Resumindo:
 Se f é uma função de duas variáveis e possui derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas, uma equação do plano tangente a superfícies de f em um ponto P(x0,y0,z0) é 
dada por:
Exemplo:
 Dada a superfície 6 ache a equação do plano tangente a 
essas superfícies que passa pelo ponto
 Para iniciar devemos escrever a equação da superfície z=f(x,y):
 Calculando as derivadas parciais fx e fy:
 Podemos definir a equação do plano tangente no ponto por meio da 
fórmula: