Dedução de uma equação alternativa para cálculo de impedância equivalente em paralelo

Prévia do material em texto

Dedução de Equação Alternativa para Cálculo da 
Impedância Equivalente em Paralelo 
 
Atualmente há duas equações para o cálculo da impedância equivalente em paralelo, 
uma delas, de acordo com Torres et al (2010), é dita simplificada, a qual está descrita 
abaixo: 
𝑍𝑒𝑞 =
𝑍1 ∙ 𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
 
 
(1) 
 
Esta equação tem a vantagem da simplicidade de utilização, porém apresenta o 
inconveniente de poder operar com, apenas, duas impedâncias por vez. 
A outra é a equação geral, dada por: 
𝑍𝑒𝑞 = (
1
𝑍1
+
1
𝑍2
+ ⋯ +
1
𝑍𝑁
)
−1
 
 
(2) 
 
Esta equação pode ser utilizada para qualquer número de impedâncias. 
Voltando nossa atenção à (1), podemos notar que ela é mais amigável do que (2), 
pela simplicidade de podermos trabalhar unicamente com o valor das impedâncias. 
Segundo Boylestad (2012), a dificuldade de se trabalhar com (2) para cálculo de 
impedância equivalente, está no fato de precisarmos utilizar o inverso das 
impedâncias, o que pode gerar certa confusão. 
Este mesmo autor, em seu livro intitulado “Introdução à Análise de Circuitos”, utiliza 
uma equação similar à que será deduzida neste material, porém se limita ao uso de 
três impedâncias, o que será expandido nesta dedução para um número n de 
impedâncias. 
Outros autores, como Agarwal e Lang (2005), Alexander e Sadiku (2013), Bird (2003), 
Bishop (2011), Horowitz (2015), Quan (2014), Sherz (2016) e Tooley (2002) utilizaram, 
em seus livros, somente as duas equações apresentadas até aqui. 
A equação que será apresentada é deduzida de (2), a fim de se chegar a uma equação 
mais próxima de (1). Assim, para se chegar à equação proposta, iniciamos com um 
MMC, chegando a: 
𝑍𝑒𝑞 = (
𝑍2𝑍3 … 𝑍𝑁−1𝑍𝑁 + 𝑍1𝑍3 … 𝑍𝑁−1𝑍𝑁 + 𝑍1𝑍2 … 𝑍𝑁−1𝑍𝑁 + 𝑍1𝑍2𝑍3 … 𝑍𝑁−1
𝑍1𝑍2𝑍3 … 𝑍𝑁−1𝑍𝑁
)
−1
 
Agora, a equação alternativa se torna: 
𝑍𝑒𝑞 =
𝑍1𝑍2𝑍3 … 𝑍𝑁−1𝑍𝑁
𝑍2𝑍3 … 𝑍𝑁−1𝑍𝑁 + 𝑍1𝑍3 … 𝑍𝑁−1𝑍𝑁 + 𝑍1𝑍2 … 𝑍𝑁−1𝑍𝑁 + 𝑍1𝑍2𝑍3 … 𝑍𝑁−1
 
 
 
(3) 
 
 
Esta equação, assim como (2), pode ser utilizada para qualquer quantidade de 
impedâncias em paralelo, porém não há a necessidade de se trabalhar com o inverso 
das impedâncias, ou seja, esta equação une a simplicidade de (1) com a robustez de 
(2). 
A fim de garantir que os resultados sejam corretos e, consequentemente, a equação, 
vamos calcular com um exemplo: 
O cálculo das impedâncias e resistências equivalentes é igual, o que, para demonstrar 
que a equação é correta, vamos utilizar, nesse exemplo, um circuito com três 
resistores em paralelo. A equação geral, nesse caso, é: 
𝑅𝑒𝑞 = (
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+
1
𝑅3
)
−1
 
Sendo os valores dos resistores: 
𝑅1 = 5 𝛺 ; 𝑅2 = 7 𝛺 𝑒 𝑅3 = 9 𝛺 
A equação, com substituição dos valores, se torna: 
𝑅𝑒𝑞 = (
1
5
+
1
7
+
1
9
)
−1
 
Que tem, como resultado: 
𝑅𝑒𝑞 = (0.2 + 0.143 + 0.11)
−1 = 0,453−1 = 2.2 𝛺 
Usando, agora, a equação alternativa configurada para três resistores: 
𝑅𝑒𝑞 =
𝑅1 ∙ 𝑅2 ∙ 𝑅3
𝑅2 ∙ 𝑅3 + 𝑅1 ∙ 𝑅3 + 𝑅1 ∙ 𝑅2
 
Após a substituição dos valores: 
𝑅𝑒𝑞 =
5 ∙ 7 ∙ 9
(7 ∙ 9) + (5 ∙ 9) + (5 ∙ 7)
=
315
63 + 45 + 35
=
315
143
 
Resultando em: 
𝑅𝑒𝑞 = 2.2 𝛺 
Assim, podemos perceber que a equação alternativa obteve, com precisão, o mesmo 
valor de resistência equivalente. 
Para as impedâncias, o cálculo segue o mesmo padrão, com a diferença de haver a 
necessidade de se realizarem conversões da forma polar para a forma retangular de 
representação da impedância e vice-versa. 
O exemplo abaixo realiza o cálculo da impedância equivalente para um caso onde há 
três impedâncias associadas em paralelo. Os valores das impedâncias são: 
𝑍1 = 3 + 𝑗2 ; 𝑍2 = 5 − 𝑗4 𝑒 𝑍3 = 7 + 𝑗3 
 
 
Assim, utilizando a equação alternativa, uma vez que já vimos que ela é válida para 
este cálculo: 
𝑍𝑒𝑞 =
(3 + 𝑗2)(5 − 𝑗4)(7 + 𝑗3)
(5 − 𝑗4)(7 + 𝑗3) + (3 + 𝑗2)(7 + 𝑗3) + (3 + 𝑗2)(5 − 𝑗4)
 
Para o cálculo das multiplicações, as impedâncias devem estar na forma polar, cuja 
conversão é operada por: 
|𝑍| = √𝑥2 + 𝑦² ; 𝜑 = tan−1 (
𝑦
𝑥
) 
Onde |𝑍| é a parte inteira da impedância e 𝜑 é o ângulo de defasagem. 
Assim, realizando as conversões e multiplicando, chegamos a: 
𝑍𝑒𝑞 =
175.56 ∠18.24°
48.77 ∠ − 15.56° + 27.43 ∠56.9° + 23.04 ∠ − 4.96°
 
 
Para efetuar as somas, é necessário que as impedâncias estejam na forma retangular, 
o que faz com que seja necessária uma nova convenção, porém, desta vez, da forma 
polar para a retangular. Esta conversão é realizada por: 
𝑥 = |𝑍| ∙ cos(𝜑) ; 𝑦 = |𝑍| ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜑) 
Assim, após as conversões, a equação se torna: 
𝑍𝑒𝑞 =
175.56 ∠18.24°
46.98 − 𝑗13.08 + 14.98 + 𝑗22.98 + 22,95 − 𝑗2
 
Realizando as somas: 
𝑍𝑒𝑞 =
175.56 ∠18.24°
84.91 + 𝑗7.9
 
Para realizar a divisão, tanto numerador quando denominador precisam estar na 
coordenada polar, assim, é necessário realizar a conversão do denominador. Assim, 
após a conversão, realizando a divisão, a impedância equivalente é: 
𝑍𝑒𝑞 =
175.56 ∠18.24°
85.28 ∠5.32°
= 2.06 ∠12.92° 𝛺 
Este cálculo pode ser realizado para qualquer quantidade de impedâncias, adequando 
a equação ao número correspondente de elementos. 
 
 
 
 
 
References 
Torres, C. et al, “Física – Ciência e Tecnologia”, Editora Moderna, 2nd ed. 2010. 
Boylestad, R., “Introductory Circuit Analysis”, Prentice Hall, 12th ed. 2012. 
Agarwal, A. and Lang J. H., “Foundations of Analog and Digital Circuits”, Elsevier, 
2005. 
Alexander, C. K. and Sadiku, M. N., “Fundamentals of Electric Circuits”, McGraw-Hill, 
5th ed. 2013. 
Bird, J., “Electrical Circuits Theory and Tecnology”, Elsevier – Newnes, revised 2nd 
ed. 2003. 
Bishop, O., “Electronics Circuits and Systems”, Elsevier - Newnes, 4th ed. 2011. 
Horowitz P. “The art of electronics”, Cambridge University Press, 3rd ed. 2015. 
Quan R. “Electronics from the ground up”, McGraw-Hill, 2014. 
Scherz P., “Practical electronics for inventors” McGraw-Hill, 3rd ed. 2016. 
Tooley, M., “Electronic Circuits: Fundamentals and Applications”, Elsevier - Newnes, 
2nd ed. 2002.