Moyses vol4_Cap 2

Prévia do material em texto

Moyses Vol 4_Cap 2_questão 5 
 
2.5. Fiz todo o esquema de desenho com um programa de computador (Autodesk) 
e uma mesa digitalizadora, coloquei meu nome nas imagens para dar mais credibilidade de que 
fiz. O conteúdo descrito pelo enunciado seria: 
 
Utilizando as primeiras informações da imagem acima, podemos extrair: 
cos 𝜃2 =
ℎ
𝑚
 → 𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑚 → 𝒎 =
𝒉
𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐
 (1) 
 
Traçando o prolongamento descrito no enunciado do desvio lateral, e outros 
ângulos formados, temos a imagem 2 
 
Observando o ponto A, podemos ver claramente que os ângulos são opostos pelo 
vértice, logo 
𝜃2 + 𝛽 = 𝜃1 → 𝜷 = 𝜽𝟏 − 𝜽𝟐 (2) 
 
Podemos prosseguir a ideia de beta como 
sin 𝛽 =
𝑑
𝑚
 → 𝑑 = 𝑚 sin𝛽 → 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑏𝑒𝑡𝑎 
 𝒅 = 𝒎𝐬𝐢𝐧(𝜽𝟏 − 𝜽𝟐) (3) 
 
Utilizando propriedade trigonométrica do seno (a-b) 
sin(𝜃1 − 𝜃2) = sin 𝜃1 cos 𝜃2 − sin 𝜃2 cos 𝜃1 (4) 
 
Substituindo a equação (4) na equação (3) temos 
𝑑 = 𝑚(sin 𝜃1 cos 𝜃2 − sin 𝜃2 cos 𝜃1) 
𝒎 =
𝒅
𝐬𝐢𝐧𝜽𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 − 𝐬𝐢𝐧𝜽𝟐 𝐜𝐨𝐬𝜽𝟏
 (5) 
 
Substituindo a (5) na equação (1) 
𝑚 =
ℎ
cos 𝜃2
 → 
𝑑
sin 𝜃1 cos 𝜃2 − sin 𝜃2 cos 𝜃1
=
ℎ
cos 𝜃2
 
𝑑 =
ℎ
cos 𝜃2
(sin 𝜃1 cos 𝜃2 − sin 𝜃2 cos 𝜃1) 
𝒅 = 𝒉(𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟏 −
𝐬𝐢𝐧𝜽𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐
) (6) 
 
Utilizando a Lei de Snell para se obter o seno 
sin 𝜃1
sin 𝜃2
=
𝑛2
𝑛1
 → 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟐 =
𝒏𝟏
𝒏𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟏 (7) 
 
Substituindo (7) em (6) e colocando seno em evidencia 
𝑑 = ℎ(sin 𝜃1 −
𝑛1
𝑛2
sin 𝜃1 cos 𝜃1
cos 𝜃2
) → 
𝒅 = 𝒉𝐬𝐢𝐧𝜽𝟏 (𝟏 −
𝒏𝟏
𝒏𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐
) (8) 
 
Vamos colocar o cosseno em termos de teta 1, para isso utilizarei a Lei de Snell 
novamente e utilizaremos o artifício de elevar ao quadrado 
𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2 → 𝒏𝟏
𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽𝟏 = 𝒏𝟐
𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽𝟐 (9) 
 
Utilizando relação trigonométrica sin2 𝜃2 = 1 − cos
2 𝜃2, podemos substituir na 
equação (9) 
𝑛1
2 sin2 𝜃1 = 𝑛2
2 sin2 𝜃2 
 
𝒏𝟏
𝟐 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽𝟏 = 𝒏𝟐
𝟐(𝟏 − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜽𝟐) (10) 
 
Logo, isolando o cosseno 
𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟐 =√𝟏−
𝒏𝟏
𝟐
𝒏𝟐
𝟐
𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽𝟏 (11) 
 
Agora podemos retornar para o d na equação (8) 
𝑑 = ℎ sin 𝜃1 (1 −
𝑛1
𝑛2
cos 𝜃1
cos 𝜃2
) = ℎ sin 𝜃1
(
 
 
 
1 −
𝑛1
𝑛2
cos 𝜃1
√1 −
𝑛1
2
𝑛2
2 sin
2 𝜃1 
)
 
 
 
 
Levando em consideração que o meio 1 seja o ar então 𝑛1 = 1 e o enunciado 
chamou o 𝑛2 𝑑𝑒 𝑛, teremos 
𝑑 = ℎ sin 𝜃1
(
 
 
 
1 −
𝑛1
𝑛2
cos 𝜃1
√1 −
𝑛1
2
𝑛2
2 sin
2 𝜃1 
)
 
 
 
= ℎ sin 𝜃1
(
 1 −
1
𝑛 cos 𝜃1
√1 −
1
𝑛2
sin2 𝜃1 )
 
 
E eis o nosso resultado final, d em função de n, h e teta1 
 
𝒅 = 𝒉𝐬𝐢𝐧𝜽𝟏 (𝟏 −
𝐜𝐨𝐬 𝜽𝟏
√𝒏𝟐 − 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜽𝟏
)