Solução Problema 1.3 - Mecânica Analítica (Nivaldo A. Lemos)

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Soluções de Mecânica Anaĺıtica
(Nivaldo A. Lemos) 4
Problema 1.3. Solução: Para um pêndulo esférico, convém utilizarmos as coordenadas
esféricas θ e ϕ como coordenadas generalizadas. Definindo a origem no apoio fixo do
pêndulo e o eixo z para baixo (tal que a posição de equiĺıbrio estável seja em θ = 0),
temos
x = l sin θ cosϕ y = l sin θ sinϕ z = l cos θ (27)
ẋ = l(θ̇ cos θ cosϕ− ϕ̇ sin θ sinϕ) ẏ = l(θ̇ cos θ sinϕ+ ϕ̇ sin θ cosϕ) ż = −lθ̇ sin θ (28)
⇒ T = m
2
(ẋ2 + ẏ2 + ż2) =
m
2
(l2θ̇2 + l2ϕ̇2 sin2 θ) . (29)
Definindo o zero do potencial gravitacional no plano z = 0,
V = −mgz = −mgl cos θ (30)
L =
ml2
2
(θ̇2 + ϕ̇2 sin2 θ) +mgl cos θ . (31)
As equações de Lagrange para o pêndulo esférico são
ml2θ̈ −ml2ϕ̇2 sin θ cos θ +mgl sin θ = 0⇒ θ̈ −
(
ϕ̇2 cos θ − g
l
)
sin θ = 0 (32)
para θ e
d
dt
(ml2ϕ̇ sin2 θ) = 0⇒ ϕ̈ sin2 θ + 2ϕ̇θ̇ sin θ cos θ = 0 (33)
para ϕ. Note que a primeira parte de (33) implica que a componente z do momento
angular,
Lz = xpy − ypx = ml2ϕ̇ sin2 θ (34)
é conservada. Por fim, para conferir nossos resultados, podemos considerar o caso partic-
ular quando ϕ̇ = 0. Nesse caso, a (32) se torna
θ̈ +
g
l
sin θ = 0 (35)
que é a equação para o pêndulo num plano, conforme o esperado.
4 Antonio Capanema