APX3 - A2 e PNC - 2021-2 - gabarito

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Álgebra II / Polinômios e Números Complexos
AP3 - Gabarito
Questão 1: (2,0 pontos)
Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada afirmação abaixo.
(a) Se A = C (R) é o anel das funções f : R −→R cont́ınuas, munido das operações
usuais de soma e produto, então o subconjunto formado pelas funções pares
P = {f ∈ A; f (−x) = f(x), ∀x ∈ R}
é um subanel de A.
(b) Seja (A,+, ·) um anel com elemento neutro 0 e unidade 1. Se a ∈ A é tal que a2 = a,
então a = 0 ou a = 1
(c) A função φ : Z3 → Z3, definida por φ(n) = n2 é um homomorfismo de anéis.
(d) Z6 é um Domı́nio de Integridade.
Solução: V, F, F, F
(a) (Verdadeira) Precisamos verificar se f − g ∈ P e f · g ∈ P , ∀f, g ∈ P . De fato, se
f, g ∈ P , tem-se, ∀x ∈ R:
• (f − g) (−x) = f (−x)− g (−x) = f (x)− g (x) = (f − g) (x)
• (f · g) (−x) = f (−x) · g (−x) = f (x) · g (x) = (f · g) (x)
Conclusão: P é um subanel de A.
(b) (Falsa) Por exemplo, Z6 =
{
0, 1, 2, 3, 4, 5
}
é um anel com elemento neutro 0 e unidade
1. No entanto, temos que:
3
2
= 3 e 4
2
= 4.
(c) (Falsa)
ϕ(1 + 2) = ϕ(0) = 0
2
= 0
e
ϕ(1) + ϕ(2) = 1
2
+ 2
2
= 1 + 1 = 2
1
(d) (Falsa) 2 · 3 = 0
Questão 2: (2,0 pontos)
Se
2
√
3 + 2i√
3− 3i
= a+ bi e (−
√
3 + i)9 = c+ di, então:
(a) a = 0, b = −2
√
3
3
, c = 0, d = 512
(b) a =
√
3
6
, b = −2
√
3
3
, c = 512, d = 0
(c) a =
√
3, b =
2
√
3
3
, c = 0, d = 512
(d) a = 0, b =
2
√
3
3
, c = 0, d = −512
Solução: Letra (d)
z1
z2
= z1
z2
|z2|2
= (2
√
3 + 2i)
(√
3
12
+
1
4
i
)
=
(
2
√
3 ·
√
3
12
− 2 ·
(
1
4
))
+
(
2
√
3 ·
(
1
4
)
+ (2) ·
√
3
12
)
i =
2
√
3
3
i
Para calcular a potência pedida, vamos escrever z = −
√
3 + i na forma polar. Note que
ρ =
√(
−
√
3
)2
+ 12 =
√
4 = 2
e 
cos(θ) =
Re(z)
ρ
= −
√
3
2
sin(θ) =
Im(z)
ρ
=
1
2
=⇒ θ = 5π
6
.
Logo
z = 2
(
cos
(
5π
6
)
+ i sin
(
5π
6
))
e, portanto, pela Fórmula de De Moivre, segue que:
z9 = 29
(
cos
(
9 · 5π
6
)
+ i sin
(
9 · 5π
6
))
= 512
(
cos
(
15π
2
)
+ i sin
(
15π
2
))
= −512i.
2
Questão 3: (2,0 pontos)
Qual dos complexos abaixo não é solução da equação:
1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 = 0.
(a)
√
3
2
+
1
2
i
(b) −i
(c)
√
2
2
+
√
2
2
i
(d) −1
2
+
√
3
2
i
Solução: Letra (c)
Usando a fórmula da soma de PG, obtém-se
x12 − 1
x− 1
= 0
Assim, as ráızes de p(x) são, a menos da unidade (que anularia seu denominador), as ráızes
dcimas segundas da unidade, isto é, são os vértices do dodecágono regular inscrito na cir-
cunferência de centro (0, 0) e raio 1, exceto o vértice (1, 0).
Dessa forma, dividimos 2π por 12, obtendo
π
6
e as ráızes são:
• cos
(π
6
)
+ i sin
(π
6
)
=
√
3
2
+
1
2
i
• cos
(π
3
)
+ i sin
(π
3
)
=
1
2
+
√
3
2
i
• cos
(π
2
)
+ i sin
(π
2
)
= i
• cos
(
2π
3
)
+ i sin
(
2π
3
)
= −1
2
+
√
3
2
i
• cos
(
5π
6
)
+ i sin
(
5π
6
)
= −
√
3
2
+
1
2
i
3
• cos (π) + i sin (π) = −1
• cos
(
7π
6
)
+ i sin
(
7π
6
)
= −
√
3
2
− 1
2
i
• cos
(
4π
3
)
+ i sin
(
4π
3
)
= −1
2
−
√
3
2
i
• cos
(
3π
2
)
+ i sin
(
3π
2
)
= −i
• cos
(
5π
3
)
+ i sin
(
5π
3
)
=
1
2
−
√
3
2
i
• cos
(
11π
6
)
+ i sin
(
11π
6
)
=
√
3
2
− 1
2
i
Questão 4: (2,0 pontos)
Dados f(x) = 2x3 − 2x2 + x − 1 e g(x) = 2x3 + 4x2 + x + 2, um mdc(f(x), g(x)) e um
mmc(f(x), g(x)) são, respectivamente:
(a) 2x2 + 1 e 2x4 + 2x3 − 3x2 + x− 2
(b) −6x2 − 3 e 4x6 + 4x5 − 4x4 + 4x3 − 7x2 + x− 2
(c) 2x2 + 1 e 4x6 + 4x5 − 4x4 + 4x3 − 7x2 + x− 2
(d) x+ 2 e 2x4 + 2x3 − 3x2 + x− 2
Solução: Letra (a)
1 −1
3
x− 2
3
2x3 − 2x2 + x− 1 2x3 + 4x2 + x+ 2 −6x2 − 3
−6x2 − 3 0
Concluso: mdc(f(x), g(x)) = −6x2 − 3 ou 2x2 + 1 ou ...
Alm disso:
mmc(f(x), g(x)) =
f(x)g(x)
mdc(f(x), g(x))
=
(2x3 − 2x2 + x− 1) (2x3 + 4x2 + x+ 2)
2x2 + 1
= 2x4 + 2x3 − 3x2 + x− 2
4
Questão 5: (2,0 pontos)
Determine se os polinômios abaixo são redut́ıveis ou irredut́ıves em Q [x].
(a) p(x) = x4 − 2x
(b) p(x) = 3x3 − 2x2 + 2x+ 1
(c) p(x) = x2 + 2x− 1
(d) p(x) = 2x4 + 6x3 + 12x2 + 18x+ 24
Solução:
(a) p(x) é redut́ıvel, pois p(x) = x(x3 − 2)
(b) p(x) é redut́ıvel em Q[x], pois possui raiz racional. De fato, p
(
−1
3
)
= 0.
(c) p(x) é irredut́ıvel em Q[x], pois suas ráızes −1 +
√
2 e −1 +
√
2 não são racionais.
(d) Aplicando Critério de Eisenstein com o primo p = 3, obtemos:
• 3 | 6, 3 | 12, 3 | 18 e 3 | 24
• 3 - 2
• 32 = 9 - 24
e, portanto, p(x) é irredut́ıvel em Q [x]
5