Matemática Financeira correção monetária

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Matemática Financeira
Manuela Longoni de Castro 
Jean Carlo Pech de Moraes
Departamento de Matemática Pura e Aplicada 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO 
RIO GRANDE DO SUL
Semana 15: Correção Monetária
Objetivos de estudo da Correção Monetária
A Correção Monetária, surgida em 1964 como parte do conjunto de
medidas de combate à inflação do Plano de Ação Econômica-PAEG, tinha
por objetivo garantir o aumento do retorno real dos ativos. A ideia
principal era a de que as aplicações em títulos do governo e os
empréstimos dos bancos tivessem remunerações reais, isto é, retornos
superiores à perda do poder aquisitivo da moeda pela inflação. Na
disciplina de Matemática Financeira, o tópico referente à Correção
Monetária tem por objetivo estudar como os índices que medem a
inflação permitem reajustar valores ao longo do tempo, separando, no
caso dos empréstimos, as taxas de correção das taxas de juros reais.
Inflação (o que é ?)
Conceito de inflação
"Inflação e o aumento persistente de preços, que envolve o conjunto da
economia, do qual resulta uma contínua perda do poder aquisitivo da
moeda."(OSAKABE, in (Vian et al., 2005, pp. 305)).
Inflação (o que é ?)
Características da inflação 1
Crescimento generalizado dos preços.
A principal característica da inflação e que praticamente todos os
produtos e serviços tem seus preços aumentados. Assim, em algumas
situações de alta escassez de algum produto, o preço desse produto
pode crescer significativamente embora isso não caracterize inflação.
Inflação (o que é ?)
Características da inflação 2
Não sincronismo das alterações
Durante o processo inflacionário, os preços de alguns produtos e serviços
aumentam antes do que outros. Agentes econômicos que detêm
monopólios ou oligopólios antecipam reajustes enquanto que aqueles
com contratos (proprietários de imóveis alugados, assalariados,
aplicadores em fundos de renda fixa, p.ex.) recebem reajustes dos
preços a posteriori.
Inflação (o que é ?)
Características da inflação 3
Principais consequências da inflação que prejudicam o desempenho da
economia :
• O assincronismo no reajustamento dos preços tem como principal
consequência um deslocamento de renda entre os agentes
econômicos sem a correspondente contraprestação; os mais fracos,
em geral assalariados, tendem a perder renda ao longo do tempo.
• A perda do poder aquisitivo da moeda faz com que financiamentos
ou aplicações de longo prazo acabem trazendo prejuízos aos
credores, inibindo o fluxo de capitais para a economia.
Correção Monetária (Principais Conceitos)
Conceito de Correção Monetária
"A correção monetária é um instituto que visa preservar o valor do
dinheiro. Este mecanismo opera através da incidência do índice de
desvalorização sobre o montante anterior, de maneira sucessiva,
mantendo-se, desta forma, o poder aquisitivo da moeda."(de Oliveira,
2001, pp. 198).
A correção monetária foi criada no Brasil pela Lei 4.357, de 16/07/1964,
a mesma lei que deu origem às Obrigações Reajustáveis do Tesouro
Nacional - ORTN, e que, segundo se tem notícia, constituiu-se em uma
experiência sem similar em outros países.
Correção Monetária (Principais Conceitos)
Princípio de indexação
A oficialização do instituto da correção monetária procurou garantir a
neutralização do efeito da perda do poder de compra da moeda, causada
pela inflação, através da atualização dos valores monetários em função
da variação de índices de preços. (de Faro and Lachtermacher, 2012, pp.
304).
A Fundação Getúlio Vargas e a instituição que publica a maioria dos
índices utilizados no Brasil. IBGE, FIPE e DIEESE de São Paulo também são
instituições importantes no cálculo de índices de inflação.
O índice de maior tradição e abrangência de dados históricos é o Índice
Geral de Preços - Disponibilidade Interna da Fundação Getúlio Vargas
(IGP-DI/FGV).
Indexadores (Números Índices)
Números Índices ou, simplesmente índices, correspondem a preços de
conjuntos de bens, denominados cestos básicos. Os índices diferem
entre si pela escolha dos conjuntos de bens a terem seus preços
acompanhados, pela periodicidade do levantamento das informações e
pelas características do poder aquisitivo de seus consumidores.
O IGP-DI/FGV é um índice composto de outros três, levantado do
primeiro dia até o ultimo de cada mês:
• IPA (Índice de preços por atacado-peso 60%)
• IPC (Índice de preços ao consumidor-peso 30%)
• INCC (Índice nacional da construção civil-peso 10%)
Indexadores (Indexação)
A indexação, portanto, é a operação matemática que se utiliza de índices
de preços com o objetivo de atualizar os preços de bens ou ativos
financeiros tendo em vista a desvalorização monetária ocorrida. Assim,
em termos econômicos, podemos considerar a indexação como
sinônimo de correção, reajuste ou atualização monetária.
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Sendo os índices uma representação dos preços ao longo do tempo, a
indexação e a operação matemática que se utiliza desses referidos
índices para atualizar os preços de bens ou ativos financeiros tendo em
vista a desvalorização monetária ocorrida no tempo.
Revistas especializadas na publicação dos índices, tais como a Revista de
Conjuntura Econômica, da Fundação Getúlio Vargas, divulgam os índices
de preços mais importantes. Nos próximos slides veremos exemplos de
como e feita a leitura e o uso dessas tabelas.
Ao final dessa apresentação encontram-se tabelas de índices (IGP-DI e
IGP-M, ambos da Fundação Getúlio Vargas) que serão utilizados para
resolver os exemplos ilustrativos dos conteúdos.
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Exemplo 1- Calcular a taxa de variação do preço do kg de cebola, no mês de janeiro de 2013,
sabendo-se que no dia 31/12/2012 o preço do kg era de R$ 2,50 e no dia 31/01/2013 passou para
R$ 2,75.
Dados:
𝑃𝑃0 = 2,50
𝑃𝑃1 = 2,75
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 =?
Solução:
A taxa de variação, na comparação entre dois valores, é dada pela diferença dos dois
valores dividido pelo valor inicial:
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 =
𝑃𝑃1 − 𝑃𝑃0
𝑃𝑃0
=
𝑃𝑃1
𝑃𝑃0
− 1 =
2,75
2,5 − 1 = 0,10 … = 0,10 𝑥𝑥100% = 10% …
Resposta: 10% a.m.
Você deve observar que os índices de preços comportam-se semelhantemente ao preço do kg de cebola do
exemplo acima. Logo podemos escrever a fórmula genérica da taxa de variação da inflação, a partir da
comparação de dois índices de preços,𝐼𝐼0 e 𝐼𝐼1, por:
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 =
𝐼𝐼1
𝐼𝐼0
− 1
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Exemplo 2 - A taxa de inflação em um mês pode ser calculada de forma
bastante simples confrontando dois índices de preços.
A taxa de inflação pelo IGP-DI/FGV do mês de maio de 2012 é dada por :
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣1𝑚 =
𝐼𝐼𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣1𝑚
𝐼𝐼𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣1𝑚
− 1 =
479,019
474,683
− 1 ∗ 100% = 0,91345 … %
Esse valor confere com o apresentado na tabela do IGP-DI, ao final da
apresentação, na coluna variação percentual mensal. É como se o índice de
abril correspondesse ao preço do último dia do mês de abril, assim como o
índice de maio ao último dia do mês de maio. Confrontando os dois índices
teremos a taxa de inflação do mês de maio.
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Exemplo 3 - Calcular a taxa de inflação mensal ocorrida em agosto de 2013,
pelo IGP-DI/FGV.
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣13 =
𝐼𝐼𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣13
𝐼𝐼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗13
− 1 =
515,688
513,313
− 1 ∗ 100% = 0,46 … %
Você pode utilizar o recurso financeiro:
515.688 
513.313
1 .
→0,46268066...
FV
clear fin
CHS
n
i
END
PV
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Exemplo 4 - Calcular a taxa de inflação acumulada no ano, pelo IGP-DI/FGV,
até o mês de julho de 2013 inclusive.
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗−𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗13 =
𝐼𝐼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗13
𝐼𝐼𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑1𝑚
− 1 =
513,313
503,283
− 1 ∗ 100% = 1,9929145 … %
Você pode utilizar o recursofinanceiro:
513.313 
503.283
1 .
→1,9929145...
FV
clear fin
CHS
n
i
END
PV
Você confrontou o índice do mês de jul/13 com o de dez/12 uma vez que esse último representa o último dia
de 2012, logo o início de 2013. O valor encontrado consta na coluna variação % no ano da tabela do IGP-DI,
ao final da apresentação.
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Observações:
• Os índices publicados são mensais;
• Em geral os índices são considerados como se referissem ao último dia do
mês, mas nem sempre essa regra é respeitada;
• Nos casos em que as datas referenciam apenas o mês, considera-se como
se fosse o último dia do mês;
• Você deve notar que calcular a inflação de um determinado período não
pode ser feito pelo simples somatório das inflações mensais; deve isso ao
fato que as taxas de inflação mensais são cumulativas como se fosse juros
compostos;
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Exemplo 5- Um imóvel foi adquirido em junho de 2012 pelo valor de R$ 150.000,00. Seu proprietário deseja
vendê-lo pelo valor de compra atualizado monetariamente para o mês de agosto de 2013, pela variação do
IGP-DI/FGV. Calcular o valor de venda do imóvel.
Dados:
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣 = 150.000,000
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑖𝑖𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 =?
𝐷𝐷𝑉𝑉𝐷𝐷𝑉𝑉𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣 = 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 → 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑣𝑣𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑑𝑑𝑣𝑣 = 482,311
𝐷𝐷𝑉𝑉𝐷𝐷𝑉𝑉𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑𝑣𝑣 = ago13 → 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑𝑣𝑣
𝑣𝑣𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑑𝑑𝑣𝑣 = 515,688
Solução:
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑖𝑖𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣. (1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗1𝑚−𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣13 =
𝐼𝐼𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣13
𝐼𝐼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗1𝑚
− 1 =
515,688
482,311 − 1 ∗ 100% = 6,92022 … %
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑖𝑖𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 = 150.000. 1 + 0,0692022 = 160.380,335510 …
Resposta: R$ 160.380,34
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Uma outra forma de resolver o problema é:
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑖𝑖𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣. (1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐)
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗1𝑚−𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣13 =
𝐼𝐼𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣13
𝐼𝐼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗1𝑚
− 1
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑖𝑖𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣. 1 +
𝐼𝐼𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣13
𝐼𝐼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗1𝑚
− 1
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑖𝑖𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣.
𝐼𝐼𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣13
𝐼𝐼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗1𝑚
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑖𝑖𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 =
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣
𝐼𝐼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗1𝑚
. 𝐼𝐼𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣13
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑖𝑖𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 =
150.000
482,311 . 515,688 = 160.380,335510 …
Resposta: R$ 160.384,34
Usando a calculadora:
RPN ALG
150000 . 150000 .
482.311 . 482.311 .
513.313 . 513.313 .
→𝑗60.380,3355𝑗0... →𝑗60.380,3355𝑗0...
÷
ENTER
x
÷
x
=
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Sobre o exemplo você deve observar que:
• Considera-se o dia 31 de junho de 2012 como a data da compra
• Logo a correção monetária abrange integralmente o período que vai do mês
de julho/2012 a ago/2013, incluindo os meses das extremidades;
• Dividir o valor histórico pelo índice da data da compra e após multiplicar
pelo índice do mês da venda é uma operação relativamente simples e muito
utilizada na prática (ver em Zot, 2008, pp. 162-172)
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Exemplo 6 - Calcular as taxas de inflação, anual e média mensal, ocorridas no ano de 2010, pelo IGP-M/FGV.
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑚010−𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚010 =
𝐼𝐼𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚010
𝐼𝐼𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚009
− 1 =
1083,6227
973,4128
− 1 ∗ 100% = 11,32201 … %𝑉𝑉. 𝑉𝑉.
̅𝚤𝚤𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚010 =
𝐼𝐼𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚010
𝐼𝐼𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑚009
1
1𝑚
− 1 =
1083,6227
973,4128
1
1𝑚
− 1 ∗ 100% = 0,897813 … %𝑉𝑉.𝑚𝑚.
Você pode utilizar o recurso financeiro:
Taxa % anual Taxa % média mensal
RPN RPN RPN FIN
1083.6227 . 1083.6227 .
973.4128 . 1083.6227 . 973.4128 . 1083.6227 27 .
1 . 973.4128 . 12 . 973.4128 .
100 . 1 . 1 . 12 .
→𝑗𝑗,3𝑗𝑗0𝑗... →𝑗𝑗,3𝑗𝑗0𝑗... 100 . →0,8978𝑗3...
→0,897813...
÷
ENTER
x
-
ENDclear fin
FV
CHS
nPV
i
÷
ENTER
𝑦𝑦𝑥𝑥�1 𝑥𝑥
-
x
ENDclear fin
FV
CHS
nPV
i
Uso das tabelas 
(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
Exemplo 7 - Calcular as taxas de inflação, acumulada trimestral e média mensal, ocorridas no terceiro
trimestre de 2012, pelo IGP-DI/FGV.
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚01𝑚−𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚01𝑚 =
𝐼𝐼𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚01𝑚
𝐼𝐼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚01𝑚
− 1 =
500,314
482,311
− 1 ∗ 100% = 3,7326538271 … %𝑉𝑉. 𝐷𝐷.
̅𝚤𝚤𝑐𝑐𝑐𝑐3𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑚01𝑚 =
𝐼𝐼𝑖𝑖𝑑𝑑𝑖𝑖𝑚01𝑚
𝐼𝐼𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑚01𝑚
1
3
− 1 =
500,314
482,311
1
3
− 1 ∗ 100% = 1,229054080 … %𝑉𝑉.𝑚𝑚.
Você pode utilizar o recurso financeiro:
Taxa % trimestral Taxa % média mensal
RPN RPN RPN FIN
500.314 . 500.314 .
482.311 . 500.314 . 482.311 . 500.314 27 .
1 . 482.311 . 3 . 482.311 .
100 . 1 . 1 . 3 .
→3,73𝑗6538... →3,73𝑗6538... 100 . →𝑗,𝑗𝑗9054...
→1,229054...
÷
ENTER
x
-
ENDclear fin
FV
CHS
nPV
i
÷
ENTER
𝑦𝑦𝑥𝑥�1 𝑥𝑥
-
x
ENDclear fin
FV
CHS
nPV
i
Fórmula de Fischer 
(Taxas aparente, de correção monetária e real)
Exemplo 8- O proprietário de um imóvel adquirido em maio de 2009, pelo valor de R$ 270.000,00, deseja
vendê-lo em fevereiro de 2013, 20% acima do valor atualizado monetariamente pelo IGP-M/FGV. Calcular o
valor de venda do imóvel.
Dados:
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 = 20%
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑𝑣𝑣 =?
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣 = 270.000,00
𝐷𝐷𝑉𝑉𝐷𝐷𝑉𝑉𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣 = mai09 → 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣
𝑣𝑣𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑐𝑐 = 979,1034
𝐷𝐷𝑉𝑉𝐷𝐷𝑉𝑉𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑𝑣𝑣 = fev13 → 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑𝑣𝑣
𝑣𝑣𝑎𝑎𝑐𝑐−𝑐𝑐 = 1235,5777
Solução:
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑖𝑖𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣. (1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗)
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑖𝑖𝑗𝑗𝑣𝑣𝑗𝑗𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣. 1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣. 1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 . (1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗)
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗09−𝑓𝑓𝑑𝑑𝑣𝑣13 =
𝐼𝐼𝑓𝑓𝑑𝑑𝑣𝑣13
𝐼𝐼𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣09
− 1 =
1235,5777
979,1034 − 1 ∗ 100% = 26,19481 … %
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑𝑣𝑣 = 270.000. 1 + 0,2619481 . (1 + 0,20) = 408.871,19256 …
Resposta: R$ 408.871,19
Fórmula de Fischer 
(Taxas aparente, de correção monetária e real)
"A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é
aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é calculada depois de
serem expurgados os efeitos inflacionários."(Samanez, 2002, pp. 67)
As taxas aparente e real se relacionam pela Fórmula de Fischer(*):
1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 = 1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 . (1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗)
No exemplo anterior temos:
1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 = 1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 . 1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 = 1 + 0,2619481 . 1 + 0,20 = (1 + 0,51433775 … )
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉ℎ𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣. 1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 =
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑑𝑑𝑣𝑣 = 270.000. 1 + 0,51433775 … = 408.871,19256 …
(*) Fórmula ou Efeito de Fischer é atribuída ao economista eestatístico
americano Irving Fischer, considerado um dos fundadores da corrente
macroeconomica denominada monetarista.
Fórmula de Fischer 
(Taxas aparente, de correção monetária e real)
Em geral, a Fórmula de Fischer:
1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 = 1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 . 1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 é aplicada em duas situações:
• quando desejamos calcular uma taxa aparente a partir do conhecimento da
taxa de inflação ou correção monetária (𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐) da taxa real de juros (𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗):
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 = 1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 . 1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 − 1
• quando se quer conhecer a taxa real de uma operação financeira
conhecidas as taxas aparente e de inflação:
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 =
(1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑)
(1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐)
− 1
Fórmula de Fischer 
(Taxas aparente, de correção monetária e real)
Os contratos de operações de empréstimos, no que diz respeito a correção
monetária, são classificados em dois tipos:
• com correção monetária pré-fixada: aqueles em que não há menção
explícita de critério de correção; a correção monetária e estimada a priori ;
atualmente a maioria das operações de empréstimos de curto prazo (até
um ano) são pré-fixadas;
• com correção monetária pós-fixada: aqueles em que os saldos são
atualizados monetariamente, a posteriori (de Lima Puccini, 2009, pp. 253),
através de algum índice de preços identificado no contrato; os valores em
reais somente são conhecidos após a publicação do respectivo índice de
cada data.
Fórmula de Fischer 
(Taxas aparente, de correção monetária e real)
Exemplo 9- Na década de 1970, a poupança rendia 0,5% a.m. sobre o saldo
corrigido pelo IGP-DI. Sabendo-se que, num determinado mês a taxa de
inflação medida pelo IGP-DI foi de 10%, calcular a taxa de remuneração da
poupança naquele mês.
Dados:
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 = 0,5%
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 = 10%
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 = ?
Solução:
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 = 1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 . 1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 − 1
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 = 1 + 0,10 . 1 + 0,005 − 1 = 0,1055 … = 10,55 … %
Resposta: 10,55% a.m.
Você deve observar que, para o público em geral, a remuneração ou os rendimentos, em geral se referem a
taxas aparentes.
Fórmula de Fischer 
(Taxas aparente, de correção monetária e real)
Exemplo 10- Na década de 90, antes do Plano Real lançado pelo Governo Itamar, uma aplicação
financeira de $ 1.000,00 se converteu, após um ano, em $ 3.000,00. Sabendo-se que a taxa de
inflação média mensal foi de 11% a.m. calcule a taxa real mensal de juros da referida aplicação.
Dados:
𝑃𝑃 = 1.000
𝑆𝑆 = 3.000
𝑗𝑗 = 𝑗𝑗𝑚𝑚
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 = ?
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 = 11% 𝑉𝑉.𝑚𝑚.
Solução:
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 =
(1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑)
(1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐)
− 1
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 =
𝑆𝑆
𝑃𝑃
1
𝑗𝑗
− 1 =
3000
1000
1
1𝑚
− 1 = 0,09587 …
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 =
(1 + 0,09587 … )
(1 + 0,11) − 1 = −0,012727 … = −1,2727 … %
Resposta: -1,27% a.m.
Em épocas de alta inflação é muito frequente se encontrar situações como o do exemplo onde a
taxa real foi negativa, ou seja, a pessoa que aplicou durante um ano, recebe um montante com
menor poder de compra que o principal investido. O exemplo é tirado de um caso real.
Fórmula de Fischer 
(Taxas aparente, de correção monetária e real)
Exemplo 11- O dono de uma loja de vestuário que financia seus clientes pelo crédito direto ao consumidor 
solicita que você forneça um coeficiente para calcular anuidades com 3 prestações postecipadas. É exigência 
do lojista uma remuneração real de 0,5% ao mês. Considere a taxa de inflação média de 1% ao mês.
Dados:
𝑃𝑃 = 1 (as anuidades obtidas a partir do principal igual a R$ 1,00 são utilizadas como coeficientes (cf. tópico de Anuidades)
𝑗𝑗 = 3 𝑝𝑝.𝑚𝑚.𝑝𝑝𝑉𝑉𝑝𝑝𝐷𝐷.
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 = 0,5% 0,005 𝑉𝑉.𝑚𝑚.
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1% (0,01) 𝑉𝑉.𝑚𝑚.
Solução:
𝑅𝑅 = 𝑃𝑃.
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 . (1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑)𝑗𝑗
(1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑)𝑗𝑗−1
observe que a taxa para anuidades, utilizada na primeira área, não levava em conta a inflação nela embutida; 
por isso ela está sendo agora considerada taxa aparente.
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 = 1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 . 1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 − 1 = 1 + 0,01 . (1 + 0,005)− 1 = 0,01505000 …
𝑅𝑅 = 1.
0,01505 … ∗ (1 + 0,01505 … )3
(1 + 0,01505 … )3−1 = 0,3434166 …
Resposta: 0,3434
Fórmula de Fischer 
(Taxas aparente, de correção monetária e real)
Usando a calculadora :
RPN FIN
1.01 .
1.005 .
1 .
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 → 0.01505000 …
100 .
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 → 1,505000 … %
1.01505 .
3 . 1 .
.01505 . 3 .
1.01505 . 1.505 .
3 .
1 . 𝐶𝐶𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝑗𝑗𝐷𝐷𝐶𝐶 → 0,3434166 …
𝐶𝐶𝑉𝑉𝐶𝐶𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝑖𝑖𝐶𝐶𝑗𝑗𝐷𝐷𝐶𝐶 → 0,3434166 …
ENTER
X
-
X
ENTER
n 𝑦𝑦𝑥𝑥
- ÷
X
ENTER
n 𝑦𝑦𝑥𝑥
clear fin END
PV
n
i
CHSPMT
Fórmula de Fischer 
(Taxas aparente, de correção monetária e real)
Exemplo 12- Um empresário descontou duplicatas no valor de R$ 45.000,00, 60 dias antes do vencimento,
a uma taxa de desconto bancário simples de 5% ao mês. Sabendo que a taxa média de inflação e de 2,3% ao
mês calcule a taxa implícita real mensal de juros (taxa efetiva real) da operação.
Dados:
𝑆𝑆 = 45.000
𝑗𝑗 = 60𝑑𝑑 = 𝑗𝑚𝑚
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 = ?
𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2,3% (0,023) 𝑉𝑉.𝑚𝑚.
𝑑𝑑 = 5% 0,05 𝑉𝑉.𝑚𝑚.
Solução:
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 =
(1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑)
(1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐)
− 1
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 = 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑓𝑓𝑑𝑑𝑖𝑖𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 =
𝑆𝑆
𝑃𝑃
1
𝑗𝑗
− 1
Observe que, nas operações de desconto, a taxa efetiva ou implícita de juros, no tópico de descontos, é uma 
taxa aparente, uma vez que engloba a inflação.
𝑃𝑃 = 𝑆𝑆. 1 − 𝑑𝑑.𝑗𝑗 = 45.000 𝑥𝑥 1 − 0,05 𝑥𝑥 2 = 40.500
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 =
𝑆𝑆
𝑃𝑃
1
𝑗𝑗
− 1 =
45.000
40.500
1
𝑚
− 1 = 0,0540925534 …
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 =
(1 + 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑)
(1 + 𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐)
− 1 =
1 + 0,0540925534 …
1 + 0,023 − 1 =
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 = 0,0303935028 … = 0,0303935028 … ∗ 100% = 3,03935028%
Resposta: 3,04% a.m.
Fórmula de Fischer 
(Taxas aparente, de correção monetária e real)
Usando a calculadora:
RPN FIN
45000 .
1 .
.05 .
2 .
𝑃𝑃 → 40.500,0000 …
45000 . 
40500 . 40500 .
2 . 45000 .
1 . 2 .
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 → 0,0540925534 … 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑐𝑐𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑𝑗𝑗𝑖𝑖𝑑𝑑 → 5,40925534 … %
1.0540925534 ... .
1.023 .
1 .
100 .
𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣𝑗𝑗 → 3,03935028 … %
ENTER
X-X
ENTER
𝑦𝑦𝑥𝑥
clear fin
PV
n i
CHS
ENTER
ENTER
÷
�1 𝑥𝑥
-
ENTER
÷
-
X
FV
Tabela 1 – IGP-DI/FGV (dez-2011 a ago-2013)
Ano Mês Índice Var. % a.m. Var. % no ano Var. % em 12m
2011 dez 465,586 -0,16 5,00 5,00
2012 jan 466,979 0,30 0,30 4,29
fev 467,308 0,07 0,37 3,38
mar 469,910 0,56 0,93 3,32
abr 474,683 1,02 1,95 3,86
mai 479,019 0,91 2,89 4,80
jun 482,311 0,69 3,59 5,66
jul 489,621 1,52 5,16 7,31
ago 495,949 1,29 6,52 8,04
set 500,314 0,88 7,46 8,17
out 498,739 -0,31 7,12 7,41
nov 499,989 0,25 7,39 7,22
dez 503,283 0,66 8,10 8,10
2013 jan 504,830 0,31 0,31 8,11
fev 505,832 0,20 0,51 8,24
mar 507,375 0,31 0,81 7,97
abr 507,087 -0,06 0,76 6,83
mai 508,715 0,32 1,08 6,20
jun 512,598 0,76 1,85 6,28
jul 513,313 0,14 1,99 4,84
ago 515,688 0,46 2,46 3,98
Fonte: Revista Conjuntura Econômica, vol.67, no. 10, outubro 2013.
Tabela 2 – IGP-M/FGV (jan-2009 a out-2013)
(Contratos de aluguéis, reajustes de energia elétrica, etc.)
Fonte: Site do Portal Brasil: http://www.portalbrasil.net/igpm.htm
Mês 2009 2010 2011 2012 2013
jan 986,0130 979,5453 1092,1834 1141,71021232,0049
fev 988,5767 991,1039 1103,1052 1141,0252 1235,5777
mar 981,2612 1000,4203 1109,9445 1145,9316 1238,1724
abr 979,7893 1008,1235 1114,9392 1155,6720 1240,0296
mai 979,1034 1020,1202 1119,7334 1167,4599 1240,0296
jun 978,1243 1028,7912 1117,7179 1175,1651 1249,3299
jul 973,9183 1030,3344 1116,3767 1190,9123 1252,5781
ago 970,4123 1038,2680 1121,2887 1207,9424 1254,4570
set 974,4880 1050,2081 1128,5771 1219,6594 1273,2738
out 974,9753 1060,8152 1134,5586 1219,9033 1284,2240
nov 975,9503 1076,1970 1140,2313 1219,5374
dez 973,4128 1083,6227 1138,8631 1227,8302
Referências I
de Faro, C. and G. Lachtermacher (2012). Introdução à matemática financeira.
Saraiva.
de Lima Puccini, A. (2009). Matemática financeira: objetiva e aplicada. (8a.
ed.). Saraiva.
de Oliveira, C. M. (2001). Limite constitucional dos juros bancários. LZN
Editora.
Samanez, C. P. (2002). Matemática financeira: aplicações à análise de
investimentos. (3a. ed.). Prentice Hall.
Vian, C., A. Pellegrino, and C. de Paiva (2005). Economia : fundamentos e
práticas aplicados à realidade brasileira. Alínea.
Zot, W. D. (2008). Matemática financeira (5a. ed.). Porto Alegre: Editora da
UFRGS.
	Matemática Financeira
	Objetivos de estudo da Correção Monetária
	Inflação (o que é ?)
	Inflação (o que é ?)
	Inflação (o que é ?)
	Inflação (o que é ?)
	Correção Monetária (Principais Conceitos)
	Correção Monetária (Principais Conceitos)
	Indexadores (Números Índices)
	Indexadores (Indexação)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Uso das tabelas �(como calcular a taxa de inflação ocorrida através do uso dos índices)
	Fórmula de Fischer �(Taxas aparente, de correção monetária e real)
	Fórmula de Fischer �(Taxas aparente, de correção monetária e real)
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	Fórmula de Fischer �(Taxas aparente, de correção monetária e real)
	Fórmula de Fischer �(Taxas aparente, de correção monetária e real)
	Fórmula de Fischer �(Taxas aparente, de correção monetária e real)
	Fórmula de Fischer �(Taxas aparente, de correção monetária e real)
	Fórmula de Fischer �(Taxas aparente, de correção monetária e real)
	Fórmula de Fischer �(Taxas aparente, de correção monetária e real)
	Fórmula de Fischer �(Taxas aparente, de correção monetária e real)
	Tabela 1 – IGP-DI/FGV (dez-2011 a ago-2013)
	Tabela 2 – IGP-M/FGV (jan-2009 a out-2013)�(Contratos de aluguéis, reajustes de energia elétrica, etc.)
	Referências I