Aula 2 - cont CINEMATICA DA PARTICULA

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MECÂNICA CLÁSSICA 
 
 
 
(NOTAS DE AULA) 
 
 
 
Prof. Domingos Alves Rade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agosto de 2013 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA 
FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica 
1 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
CINEMÁTICA DA PARTÍCULA 
 
 
1.1 - Introdução 
 
 A Cinemática trata da descrição do movimento de uma partícula, 
relacionando sua posição, velocidade e aceleração com o tempo, sem levar em conta 
os agentes que dão origem ao movimento, que são as forças. 
 Entende-se por partícula ou ponto material, um corpo cuja forma e dimensões 
não são relevantes para a caracterização de seu movimento. Deve-se notar que, 
segundo esta conceituação, partículas não são necessariamente corpos de pequenas 
dimensões. Assim, por exemplo, um avião cujo movimento é monitorado por uma 
estação de radar, conforme ilustrado na Figura 1.1(a), pode ser considerado como 
uma partícula porque, na medição efetuada pelo radar, não se faz distinção entre os 
movimentos de diferentes pontos do avião. Por outro lado, se estivermos 
interessados em caracterizar, por exemplo, as acelerações dos diferentes pontos da 
asa do avião ao longo de sua envergadura, durante uma manobra de rolamento 
(rotação em torno do eixo longitudinal), teremos que considerar as posições destes 
pontos em relação ao eixo do longitudinal do avião, como mostra a Figura 1.1(b). 
Neste caso, o modelo de partícula não mais se aplica e, se admitirmos ainda que o 
avião não se deforma, podemos tratar o avião como um corpo rígido. Assim sendo, a 
modelagem de um dado corpo como partícula ou como corpo rígido depende, 
fundamentalmente, do tipo de problema que estamos tratando e das informações 
que estamos buscando mediante a resolução do problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.1 
 
2 
 
 
 
Este capítulo tem dois objetivos principais: 
1º) conceituar as grandezas cinemáticas utilizadas para caracterizar o 
movimento de uma partícula: posição, velocidade e aceleração. 
2º) estabelecer as equações que permitem calcular posição, velocidade e 
aceleração instantâneas da partícula, empregando sistemas de referência fixos e 
móveis e diferentes tipos de sistemas de coordenadas em duas e três dimensões. 
Este estudo é motivado pelo fato que a escolha adequada do sistema de referência 
pode facilitar enormemente a resolução de problemas práticos de Engenharia. 
É importante ressaltar que o assunto abordado neste capítulo constitui uma 
etapa fundamental na resolução de problemas de dinâmica da partícula, além se 
aplicar diretamente ao estudo da cinemática e dinâmica dos sistemas de partículas 
e dos corpos rígidos, que serão enfocados em capítulos subseqüentes do curso. 
 
 
1.2 – Grandezas cinemáticas fundamentais: posição, deslocamento, 
velocidade e aceleração 
 
 No estudo da Mecânica, a completa caracterização das grandezas cinemáticas 
- posição, velocidade e aceleração - requer o estabelecimento de um sistema de 
referência em relação ao qual estas grandezas são medidas e ao qual associamos um 
observador do movimento. 
A escolha do sistema de referência é arbitrária, podendo ele ser fixo ou móvel. 
No primeiro caso, o movimento é dito absoluto e, no segundo caso, relativo. 
Muito freqüentemente, o sistema de referência é representado por um 
conjunto de eixos orientados, perpendiculares entre si, aos quais se associa uma 
base de vetores unitários. A forma mais comum é o sistema de eixos cartesianos 
Oxyz, com sua base canônica de vetores unitários ( k,j,i

). 
Quando a partícula se movimenta, o conjunto dos pontos que ela ocupa define 
a chamada trajetória da partícula. Quando a trajetória for uma curva, seja ela plana 
ou reversa, seu movimento é denominado movimento curvilíneo. Conforme mostra a 
Figura 1.2(a), a posição de uma partícula sobre sua trajetória, indicada por um 
ponto P, em relação a um sistema de referência Oxyz, fica completamente 
determinada pelo vetor posição  tr , que tem sua origem coincidente com a origem 
do sistema de referência e sua extremidade coincidente com a posição 
instantaneamente ocupada pela partícula. 
É evidente que, à medida em que a partícula se desloca, o vetor  tr varia em 
módulo e/ou direção, sendo, portanto, uma função vetorial do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 
Figura 1.2 
 
 Considerando a Figura 1.2(b), designemos por  trr   e  ttrr   os 
vetores posição correspondentes às posições P e P  , ocupadas pela partícula em dois 
instantes subseqüentes t e tt  , respectivamente. O vetor r

 , chamado vetor 
deslocamento, representa a variação da posição da partícula durante o intervalo de 
tempo t . Este vetor indica, portanto, a variação no módulo e na direção do vetor 
posição. Do triângulo de vetores mostrado na Figura 1.2(b), podemos escrever 
rrr

 . 
 Em Mecânica, estamos freqüentemente interessados em avaliar a rapidez 
com que o vetor posição varia com o tempo. Esta rapidez é expressa pela grandeza 
cinemática chamada velocidade. 
Com base na situação ilustrada na Figura 1.2(b), define-se a velocidade 
vetorial média entre os instantes t e tt  como sendo o vetor expresso sob forma: 
 
 
t
r
vm 




 (1.1) 
 
 Sendo t uma quantidade escalar positiva, observamos que, segundo a 
definição (1.1), mv

 é um vetor que tem a direção e o sentido do vetor deslocamento 
r

 , ou seja, tem a direção da secante à trajetória, interceptando-a nos pontos P e 
P  , conforme mostrado na Figura 1.3. Além disso, o módulo de mv

 é igual ao módulo 
de r

 dividido por t . No Sistema Internacional de Unidades (S.I.), a velocidade 
vetorial média tem unidades de m/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
trajetória da partícula 
O 
x 
z 
y 
 tr 
P 
O
x
z
y
r

r

 
r

 
P 
P
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.3 
 
 A velocidade vetorial instantânea, ou vetor velocidade, é definida segundo: 
 
    
dt
trd
t
r
vtv
t
m
t






 00
limlim  sm (1.2) 
 
 Observamos, na Figura 1.3(a), que quando t tende a zero, os pontos P e P  
se aproximam e a direção de mv

 tende a assumir a direção da tangente à trajetória. 
Assim, concluímos que o vetor velocidade  tv tem sempre a direção da tangente à 
trajetória no ponto correspondente à posição instantaneamente ocupada pela 
partícula. O sentido de  tv é determinado pelo sentido do movimento da partícula 
ao longo da trajetória, como mostra a Figura 1.3(b). Nesta figura, t e n designam as 
direções tangencial e normal à trajetória, respectivamente. 
 É importante ressaltar que, no caso geral, o vetor velocidade não é 
perpendicular ao vetor posição. 
 A velocidade escalar, denotada por v, é definida como sendo o módulo do vetor 
velocidade, ou seja: 
 
      
t
'PP
lim
t
tr
limtvtv
tt 




 00


,  sm (1.3) 
 
onde PP  indica o comprimento do segmento de reta que liga as posições P e P  , 
conforme indicado na Figura 1.3(a). 
Para definir uma forma alternativa, e mais conveniente, da velocidade 
escalar instantânea, introduzimos a coordenada curvilínea  ts , medida ao longo da 
trajetória, a partir de uma origem arbitrária 'O , com uma orientação positiva e 
outra negativa, também escolhidas arbitrariamente, como mostrado na Figura 1.4. 
Observamos que quando t tende a zero o comprimento da corda 'PP se aproxima 
do comprimento do arco de trajetória

PP , que tem comprimento s . Assim, 
podemos escrever: 
O 
x 
z 
y 
r

 
P 
P
mv

 
r

 
r 

 
t
O
x
z
y
P
v

 
n 
r
5 
 
 
    
dt
tds
t
s
tv
t




 0
lim  sm (1.4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 
 
 Na equação (1.4), podemos verificar que um valor de  tv positivo indica que 
0ds (ou seja, s é crescente), o que significa que a partícula se desloca 
instantaneamente no sentido positivo adotado para medir a coordenada s. Por outro 
lado,  tv negativo indica que s é decrescente, ou seja, a partícula se desloca no 
sentido contrário à orientação positiva adotada para medir a coordenada s. 
 No estudo da Cinemática, também nos interessamos freqüentemente em 
avaliar a rapidez com que a velocidade da partícula varia com o tempo. A grandeza 
que quantifica esta rapidez é a aceleração. 
Sejam v

 e v

 os vetores velocidade da partícula em dois instantes 
subseqüentes t e tt  , respectivamente, e vvv

 , o vetor que representa a 
variação do vetor velocidade (em módulo e direção) entre estes dois instantes, 
conforme ilustra a Figura 1.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
x
z 
y 
r

r

r


P
s 
s
O 
+ 
 
P
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.5 
 
 A aceleração vetorial média entre os instantes t e tt  é definida como sendo 
o vetor dado por: 
 
 
t
v
t
vv
am 







 (1.5) 
 
Vale notar que ma

 tem a direção e o sentido do vetor v

 e seu módulo é igual 
ao módulo de v

 dividido por t . No S.I., ma

 tem unidades de m/s2. 
 A aceleração vetorial instantânea, ou vetor aceleração, é assim definida: 
 
    
dt
tvd
t
v
ata
t
m
t






 00
limlim [m/s2] (1.6) 
 
 Em virtude da equação (1.2), podemos escrever (1.6) sob a forma: 
 
    
2
2
dt
trd
ta


 [m/s2] (1.7) 
 
É importante observar que a direção do vetor aceleração instantânea não 
coincide, no caso geral de movimento curvilíneo, com as direções normal ou 
tangencial da trajetória, como podemos observar na Figura 1.6. Tudo o que se pode 
afirmar a respeito da direção do vetor aceleração é que ele deve apontar para o lado 
côncavo da trajetória, onde se localiza o centro de curvatura da trajetória, como será 
demonstrado mais adiante. 
 
 
 
P(t) 
P´(t+t) 
v

 
v

 
t 
t´ 
v

 
v

 
v


7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6 
 
 
1.3 – Velocidade e aceleração angulares de uma linha 
 
 Conforme será visto mais adiante, muitas vezes buscaremos expressar o 
movimento de uma partícula em termos do movimento de um segmento de reta que 
liga esta partícula a um outro ponto do espaço. Assim sendo, é importante definir as 
grandezas cinemáticas associadas à posição, velocidade e aceleração angulares de 
um segmento de reta. 
 Consideremos o segmento de reta OP que se movimenta sobre um plano  
que, por conveniência, fazemos coincidir com o plano x-y, conforme ilustrado na 
Figura 1.7. A orientação instantânea de OP é determinada pelo ângulo  formado 
entre este segmento e uma direção de referência arbitrariamente escolhida. O sinal 
de  é determinado pelo sentido de rotação, conforme convenção adotada. 
 Define-se a velocidade angular instantânea do segmento OP, denotada por , 
como sendo a taxa de variação do ângulo  com o tempo, ou seja: 
 
 




 dt
d
t
lim
0
 (1.8) 
 
 No Sistema Internacional de Unidades, a velocidade angular tem unidades de 
rad/s. 
 Um valor positivo de  indica que o segmento OP está girando no sentido 
convencionado como positivo para medir o ângulo . Um valor negativo de  
significa que OP está girando no sentido contrário àquele convencionado como 
positivo para medir o ângulo . 
 
 
 
 
 
 
t
O 
x
z 
y 
P
a

 
n
r

8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.7 
 
 É conveniente definir o vetor velocidade angular,  , com as seguintes 
características: 
a) seu módulo é dado por   . 
b) sua direção é perpendicular ao plano definido pelo segmento OP e pela 
reta que estabelece a direção de referência. 
c) seu sentido é determinado pelo sentido de rotação de OP, de acordo com a 
regra de mão direita, conforme ilustrado na Figura 1.7. 
Assim, para a situação ilustrada na Figura 1.7, em relação ao conjunto de 
eixos de referência Oxyz, podemos expressar o vetor velocidade angular de OP sob a 
forma: 
 
k

   [rad/s] (1.9) 
 
A aceleração angular do segmento OP, designada por , expressa a rapidez 
com que a velocidade angular varia, ou seja: 
 
2
2
dt
d
dt
d   , ou   (1.10) 
 
 No Sistema Internacional de Unidades, a aceleração angular tem unidades de 
rad/s2. 
 Um valor positivo de  indica uma das seguintes situações: 
 o segmento OP está girando no sentido convencionado como positivo 
para medir o ângulo  ( 0 ), com velocidade angular de módulo 
crescente. 
 o segmento OP está girando no contrário ao convencionado como 
positivo para medir o ângulo  ( 0 ) com velocidade angular de 
módulo decrescente. 
O 
P 
 
direção de referência 
 
x 
y 
z 
+ 
 
i

 
j

 k

 
k

   
k

   
9 
 
No caso em que o plano , sobre o qual se movimenta o segmento OP, não 
varia sua orientação, o vetor aceleração angular é obtido por derivação de (1.9), 
considerando o vetor k

como invariável. Neste caso, temos: 
 
 k

   (1.11) 
 
 No estudo da cinemática dos corpos rígidos é usual atribuirmos a estes corpos 
as grandezas cinemáticas velocidade angular e aceleração angular, devendo ser 
entendido que, de acordo com as definições apresentadas acima, trata-se, a rigor, da 
velocidade angular e da aceleração angular de um segmento de reta que podemos 
imaginar desenhado sobre o corpo rígido para caracterizar sua posição angular em 
relação a uma direção de referência. Assim, na situação ilustrada na Figura 1.8, 
podemos dizer que o avião está efetuando uma manobra de rolamento com 
velocidade angular k

   e aceleração angular k

   , estando estes vetores 
direcionados segundo o eixo perpendicular ao plano da figura. Observe-se que  
indica a posição angular do avião (a qual se confunde com a posição do segmento 
OP), em relação à direção de referência adotada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8 
 
Nos caso mais geral em que o segmento de reta OP se movimenta sobre um 
plano  orientado arbitrariamente em relação aos eixos de referência, conforme 
mostrado na Figura 1.9, podemos expressar os vetores velocidade angular e 
aceleração angular sob as formas: 
 
 nw
  (1.12.a) 
 
 n
  , (1.12.b) 
 
onde n

 designa o vetor unitário normal ao plano . 
 Em termos de suas componentes nas direções dos eixos cartesianos indicados, 
estes vetores podem ser expressos segundo: 
direção de referência 
 O 
P


, 
x 
y 
i

 
j

 
k
k








 
k

 
10 
 
 
 kji zyx

  (1.13) 
 
com: 
 
 inix


  (1.14.a) 
 
jnjy


  (1.14.b) 
 
knkz


  (1.14.c) 
 
e: 
 
 kji zyx

  (1.15) 
 
 
com: 
 
 inix


  (1.16.a) 
 
jnjy


  (1.16.b) 
 
knkz


  (1.16.c)Figura 1.9 
O
x 
z 
y
P

n

 
 direção de referência 
11 
 
As equações (1.12) a (1.16) mostram que, sendo vetores, a velocidade angular 
e a aceleração angular gozam de todas as propriedades atribuídas a grandezas 
vetoriais, dentre as quais a comutatividade da soma  abba   . Entretanto, 
rotações finitas não podem ser tratadas como vetores, uma vez que não satisfazem a 
comutatividade da soma, o que significa que a posição angular final resultante de 
uma seqüência de rotações sucessivas depende da ordem em que são realizadas 
estas rotações. Este fato é ilustrado na Figura 1.10, que mostra um objeto sofrendo 
duas rotações sucessivas de 90º, em torno do eixo Oy e em torno do eixo Oz, ficando 
evidenciado que a posição final do objeto depende da ordem de realização destas 
rotações, ou seja: 
 
yzzy 

 
 
Em conclusão, podemos anunciar que rotações finitas não são grandezas 
vetoriais e que variações infinitesimais da posição angular e, por conseqüência, 
velocidades angulares e acelerações angulares, são quantidades vetoriais, podendo-
se aplicar a elas todas as operações vetoriais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posição inicial Rotação em torno de Oy: 
j2y

  (rad) 
Rotação em torno de Oz: 
k2z

  (rad) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posição inicial Rotação em torno de Oz 
k2z

  (rad) 
Rotação em torno de Oy 
j2y

  (rad) 
 
 
Figura 1.10 
 
 
 
1.4 – Derivadas de funções vetoriais em relação a grandezas escalares 
 
 Vimos, nas seções anteriores, que os vetores velocidade e aceleração da 
partícula são definidos como sendo, respectivamente, as derivadas de primeira e 
segunda ordem do vetor posição da partícula em relação ao tempo. De forma 
análoga, o vetor aceleração angular é definido como sendo a derivada do vetor 
velocidade angular em relação ao tempo. Assim, para podermos efetuar uma análise 
cinemática completa, devemos ter pleno conhecimento da definição e das principais 
propriedades da derivada de funções vetoriais em relação a uma quantidade escalar. 
A título de revisão sumarizamos, a seguir, a definição e as propriedades da 
derivada de funções vetoriais em relação a variáveis escalares. Para tanto, 
expressamos a dependência funcional de uma grandeza vetorial qualquer, Q

, em 
relação a uma quantidade escalar qualquer, u, sob a forma  uQQ

 . O fato de Q

 
O 
x 
z 
y 
O
x
z
y
O 
x
z
y 
O 
x 
z 
y 
O
x
z 
y 
O 
x
z
y 
13 
 
ser função de u significa que tanto o módulo quanto a direção de Q

 variam quando o 
valor do escalar u é alterado, conforme ilustrado na Figura 1.11(a) 
 A derivada primeira de Q

 em relação a u é definida segundo: 
 
 
u
Q
du
Qd
u 




0
lim , (1.17) 
 
Notemos que a derivada de um vetor é também um vetor que tem a direção 
da tangente à trajetória desenvolvida pela extremidade do vetor Q

, como mostrado 
na Figura 1.11(b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 1.11 
 
 Considerando duas quantidades vetoriais  uQQ

 e  uRR

 e uma 
grandeza escalar  uSS  , todas elas funções de uma grandeza escalar u, partindo 
da definição (1.17) podemos facilmente verificar as seguintes propriedades: 
 
 1ª) derivada da soma de dois vetores: 
 
 
du
Rd
du
Qd
du
RQd



 (1.18) 
 
 2ª) derivada do produto de uma função escalar por uma função vetorial: 
 
 
du
Qd
SQ
du
dS
du
QSd



 (1.19) 
 
 
 
 
O 
x 
z 
y 
 uQ

 
Q

  uuQ 

 
O
x
z
y 
 uQ

 
t 
du
Qd

 
14 
 
 3ª) derivada do produto escalar entre dois vetores: 
 
 
du
Rd
QR
du
Qd
du
RQd





 (1.20) 
 
 4ª) derivada do produto vetorial entre dois vetores: 
 
 
du
Rd
QR
du
Qd
du
RQd





 (1.21) 
 
 É importante observar que, como o produto vetorial não é comutativo, a 
ordem das operações indicadas em (1.21) deve ser preservada. 
 Uma outra observação importante a ser feita é que, para manter a 
consistência das operações vetoriais envolvendo o produto vetorial, convém sempre 
empregar um sistema tri-ortogonal de eixos dextrógiro, tal como o mostrado na 
Figura 1.12(a), cujos eixos são orientados de modo a satisfazer as seguintes relações 
entre os vetores unitários: 
 
 kji

 ikj

 jik

 jki

 ijk

 kij

 
 
Estas relações podem ser verificadas empregando a regra da mão direita para 
o produto vetorial, que é ilustrada na Figura 1.12(b). 
 O diagrama mnemônico para o produto vetorial entre os vetores unitários de 
sistemas de eixos dextrógiros é mostrado na Figura 1.12(c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) (c) 
 
 
Figura 1.12 
 
 
 
 
i

 
j

 k

 
+ 
y 
z 
j

 
k

 
x i

 
15 
 
 5ª) Derivada temporal de um vetor rotativo 
 
 Consideremos a Figura 1.13 que mostra o vetor Q

 que gira no plano x-y com 
velocidade angular k

   , em torno do eixo z (perpendicular ao plano da figura), 
mantendo seu módulo constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.13 
 
 Busquemos primeiramente determinar a derivada de Q

 em relação ao 
ângulo . Para isto, projetamos o vetor Q

 nas direções dos eixos x e y: 
 
  jsenicosQQ    (1.22) 
 
 Admitindo que o sistema Oxy seja fixo, os vetores unitários i

 e j

 são 
constantes em módulo e direção e têm, portanto, derivadas nulas. Empregando as 
propriedades (1.18) e (1.19), a derivação da equação acima em relação a  conduz a: 
 
 












 d
jd
senjcos
d
id
cosisenQ
d
Qd





 
 
 =  jcosisenQ    (1.23) 
 
 Esta última equação mostra que o vetor 
d
Qd

 é obtido pela rotação do vetor Q

 
de 90o no sentido de giro do ângulo , como pode ser visto na Figura 1.13. 
 Para obter a derivada de Q

 em relação ao tempo, empregamos a regra da 
cadeia da derivação. Levando em conta que 
dt
d  , escrevemos: 
 
 


 d
Qd
dt
d
d
Qd
dt
Qd

 (1.24) 
 
 Introduzindo a relação (1.24) em (1.23), obtemos: 
y 
d
Qd

 
j

 
x 
i

 
 
 
 
Q

 
dt
Qd

 
O 
16 
 
 

dt
Qd

 jcosisenQ    (1.25) 
 
Utilizando a representação vetorial para a velocidade angular, k

   , e 
levando em conta a Equação (1.22), podemos escrever (1.25) sob a forma: 
 
Q
dt
Qd 

  (1.26) 
 
 Conforme indicado na Figura 1.13, a direção e o sentido do vetor 
dt
Qd

 são 
obtidos pela rotação do vetor Q

 de 90o no sentido de giro do ângulo . 
 
1.5 - Movimento curvilíneo plano da partícula 
 
 Quando uma partícula descreve uma trajetória curva localizada sobre um 
plano fixo, seu movimento é denominado movimento curvilíneo plano. A resolução 
prática de problemas requer a escolha de um sistema de coordenadas adequado, em 
relação ao qual serão expressas as grandezas cinemáticas. No caso de movimento 
curvilíneo plano, estudaremos os seguintes sistemas de coordenadas: 
 
a) coordenadas cartesianas (x-y); 
 b) componentes normal-tangencial (n-t); 
 c) coordenadas polares (r- ). 
 
 A escolha do sistema de coordenadas maisadequado para o tratamento de um 
dado problema pode facilitar muito sua resolução. A escolha deve ser feita levando 
em conta a natureza do movimento e os dados disponíveis. 
Serão deduzidas, a seguir, as expressões para as componentes das grandezas 
cinemáticas - posição, velocidade e aceleração - empregando cada um destes 
sistemas de coordenadas. 
 
 
 1.5.1 - Coordenadas cartesianas (x-y) 
 
 As coordenadas cartesianas são aquelas com as quais geralmente temos mais 
familiaridade, sendo particularmente adequadas ao estudo de movimentos cujas 
componentes em duas direções mutuamente perpendiculares são independentes. É o 
caso, por exemplo, do movimento de projéteis no campo gravitacional terrestre 
(movimento balístico). 
 Consideremos o sistema de referência Oxy, mostrado na Figura 1.21, a partir 
do qual é observado o movimento de uma partícula, cuja posição instantânea é 
indicada pelo ponto P. Aos eixos Ox e Oy são associados os vetores unitários 

i e 

j , 
respectivamente. Admitiremos, por enquanto, que este sistema de eixos seja fixo. 
Mais adiante, neste capítulo, estaremos utilizando sistemas de referência móveis. 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.14 
 
A posição P da partícula, em um instante t qualquer, é determinada pelo seu vetor 
posição  r t , cujas componentes nas direções dos eixos coordenados são dadas pelas 
duas funções escalares x(t) e y(t). Assim, podemos escrever: 
 
       jtyitxtr

 
 
 Levando em conta a equação (1.2) e também as propriedades (1.18) e (1.19), 
derivando o vetor posição em relação ao tempo, a velocidade da partícula é expressa 
segundo: 
 
            
dt
jd
tyj
dt
tdy
dt
id
txi
dt
tdx
dt
trd
tv




 (1.27) 
 
Lembrando que o sistema Oxy é fixo, os vetores unitários 

i e 

j não variam 
com o tempo. Assim, as derivadas que aparecem na segunda e na quarta parcelas no 
lado direito de (1.27) se anulam, o que resulta em: 
 
       j
dt
tdy
i
dt
tdx
tv

 (1.28) 
 
ou: 
 
           jtvitvtvtvtv yxyx

 (1.29) 
 
onde: 
 
      tx
dt
tdx
tvx  e  
   ty
dt
tdy
tvy  
 
O x
y 
v

 
P 
r

a

 
t 
n 
ya

 
xa

 
yv

 
xv

 
i

 
j

 
18 
 
são as componentes do vetor velocidade nas direções dos eixos coordenados Ox e Oy, 
respectivamente, conforme indicado na Figura 1.14. 
Empregando a regra de Pitágoras, o módulo da velocidade é dada pela 
expressão: 
 
       2222 tytxvvtv yx   (1.30) 
 
Considerando a definição (1.6) e admitindo mais uma vez a invariabilidade 
dos vetores 

i e 

j , por derivação da equação (1.28) em relação ao tempo obtemos a 
seguinte expressão para a aceleração instantânea da partícula: 
 
       j
dt
tyd
i
dt
txd
ta

2
2
2
2
 (1.31) 
 
ou: 
 
           jtaitatatata yxyx

 , (1.32) 
 
com: 
 
     tx
dt
txd
tax  2
2
 e      ty
dt
tyd
tay  2
2
 
 
 O módulo do vetor aceleração é dado pela expressão: 
 
       2222 tytxaata yx   (1.33) 
 
As duas componentes retangulares da aceleração são ilustradas na 
Figura 1.14. 
 As equações (1.28) e (1.31) mostram que, considerando um sistema de 
referência fixo, as componentes retangulares dos vetores velocidade e aceleração são 
obtidas simplesmente derivando sucessivamente as componentes do vetor posição 
em relação ao tempo. Como veremos mais adiante, quando utilizamos sistemas de 
referência móveis, termos adicionais, associados ao movimento do sistema de 
referência, são acrescidos a estas equações. 
 Vale observar que as funções  txx  e  tyy  , que são as componentes do 
vetor posição da partícula, constituem as equações paramétricas da trajétoria, tendo 
o tempo t como parâmetro. Eliminando o tempo nestas duas funções, podemos obter 
a equação da trajetória na forma cartesiana usual  xyy  . 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 1.5.2 - Componentes normal-tangencial (n-t) 
 
 Com referência à Figura 1.15, seja P a posição, num dado instante t, da 
partícula que se move em uma trajetória curvilínea plana. Definimos a seguinte 
base de vetores unitários: 
 
 vetor unitário tangente, ti

, que tem a direção da tangente à trajetória, com 
o sentido do movimento. 
 vetor unitário normal, ni

, que tem a direção da normal à trajetória, 
apontando para o centro de curvatura da mesma, indicado pelo ponto C. 
 vetor unitário k

, perpendicular ao plano do movimento, que satisfaz a 
relação nt iik

 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.15 
 
 
Lembrando que o vetor velocidade é tangente à trajetória, com o sentido do 
movimento, escrevemos: 
 
     titvtv
  (1.34) 
 
 Derivando a equação (1.34) em relação ao tempo, levando em conta as 
propriedades (1.18) e (1.19), expressamos o vetor aceleração sob a forma: 
 
        
dt
id
tvi
dt
tdv
dt
tvd
ta tt


 (1.35) 
 
 Podemos observar na Figura 1.15 que embora o vetor ti

 conserve seu módulo 
unitário invariável, sua direção varia com o tempo. Durante o movimento da 
partícula entre as posições P e P  este vetor gira de um ângulo  . Assim, a 
derivada 
dt
id t

, que aparece no lado direito da equação (1.35), pode ser calculada 
t 
C 
n 
  
P 
P 
ni

 
ti

 
s 
 
ti 

 
ni 

 
20 
 
empregando a propriedade da derivada de um vetor rotativo, expressa pela equação 
(1.26). Assim procedendo, obtemos: 
 
 tt
t iki
dt
id 


  , (1.36) 
 
onde k

   designa a velocidade angular do segmento CP . 
 Na equação acima, notamos que: 
 
 nt iik

 
 
 Além disso, convém utilizar a regra da cadeia da derivação para expressar  , 
fazendo intervir a coordenada curvilínea  ts , definida na Seção 1.2 (ver Figura 1.4). 
Assim procedendo, obtemos: 
 
 n
t i
dt
ds
ds
d
dt
id 


 (1.37) 
 
 Lembrando que: 
 
 
dt
ds
v  e 

 1

ds
d
, 
 
onde  é o raio de curvatura da trajetória, a equação (1.50) pode ser posta sob a 
forma: 
 
n
t i
v
dt
id 


 (1.38) 
 
Introduzindo finalmente (1.38) em (1.37), obtemos: 
 
   ntnt aai
v
i
dt
dv
ta



2
 (1.39) 
 
e: 
    
222
22













v
dt
dv
aatata nt

 (1.40) 
 
 As componentes da aceleração, presentes na equação (1.39) estão ilustradas 
na Figura 1.16 e possuem as seguintes características: 
 
21 
 
 tt idt
dv
a

 é a componente tangencial da aceleração e representa a taxa de 
variação do módulo do vetor velocidade. Observe-se que, sendo 
dt
ds
v  , a 
quantidade 
2
2
dt
sd
dt
dv
 será positiva quando a partícula estiver se 
movimentando no sentido dos s positivos com velocidade de módulo 
crescente ou quando estiver se movimentandono sentido dos s negativos 
com velocidade de módulo decrescente. Neste caso, a componente ta

 terá o 
mesmo sentido do vetor velocidade v

. Por outro lado, 
dt
dv
 será negativa 
quando a partícula se movimentar no sentido dos s positivos com 
velocidade de módulo decrescente ou quando se movimentar no sentido 
dos s negativos com velocidade de módulo crescente. Neste caso, a 
componente ta

 terá sentido oposto ao do vetor velocidade v

. 
 nn i
v
a


2
 é a componente normal da aceleração, que está associada à 
variação na direção do vetor velocidade. Como a quantidade 

2v
 é sempre 
positiva, a componente na

 tem sempre o mesmo sentido do vetor ni

, ou 
seja, ela sempre aponta para o centro de curvatura da trajetória, 
independentemente do sentido do movimento da partícula ao longo da 
trajetória. 
 
 Em termos da coordenada s(t), as componentes tangencial e normal da 
aceleração se escrevem: 
 
 tt i
dt
sd
a

2
2
 (1.41) 
 
     nn idt
tds
ta

21





 (1.42) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.16 
 
 
 1.5.3 - Coordenadas polares. Componentes radial-transversal (r -  ) 
 
 No sistema de coordenadas polares, ilustrado na Figura 1.17, a posição da 
partícula P num instante qualquer t é determinada pela quantidade escalar r , que 
define a distância entre a partícula e a origem O, chamada polo, e pelo ângulo  , 
medido em radianos, formado entre o segmento OP e uma direção de referência 
arbitrária. Por convenção, este ângulo será considerado positivo quando medido no 
sentido anti-horário, a partir da direção de referência. 
 A direção OP é chamada direção radial (ou direção r) e a direção 
perpendicular a OP é a direção transversal (ou direção  ). A estas duas direções 
associamos uma base de vetores unitários ortogonais ri

 e i

, sendo que ri

 tem o 
sentido de O para P e i

 tem o sentido correspondente aos  positivos. Conforme 
podemos ver na Figura 1.17, as direções destes vetores variam à medida que a 
partícula se movimenta ao longo da trajetória, embora seus módulos permaneçam 
constantes. Assim, poderemos tratar estes vetores unitários como vetores rotativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
t 
P 
na

 





  0
dt
dv
at

 





  0
dt
dv
at

 
n 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.17 
 
 Visando expressar a velocidade e a aceleração da partícula em termos das 
coordenadas polares, vamos primeiramente obter as derivadas dos vetores unitários 
ri

 e i

 em relação ao tempo. Para tanto, utilizamos a equação (1.26), que nos 
permite escrever: 
 
rr
r iki
dt
id 


  (1.43) 
 

  iki
dt
id 


 , (1.44) 
 
onde 

 indica o vetor velocidade angular do segmento OP e k

 designa o vetor 
unitário, perpendicular ao plano do movimento, saindo do plano da Figura 1.17, de 
modo a satisfazer a relação kiir

  . Ainda com auxílio da Figura 1.17, e da regra 
da mão direita para o produto vetorial, verificamos as relações: 
 
 iik r

 (1.45) 
 
riik

  (1.46) 
 
Introduzindo as equações (1.45) e (1.46) em (1.43) e (1.44), obtemos: 
 
 idt
id r 

 (1.47) 
 
dir. radial (r) 
 
 
O dir. de referência 
P 
dir. transversal () 
r 
ri

 
i

 
ri 

 
i 

 
24 
 
ridt
id 

  (1.48) 
 
Observando a Figura 1.17, notamos que o vetor posição da partícula, em um 
instante qualquer, se escreve: 
 
   rirtr

 (1.49) 
 
 Obtemos a velocidade da partícula derivando  tr em relação ao tempo: 
 
  
dt
id
ri
dt
dr
dt
rd
tv rr


 (1.50) 
 
 Introduzindo a equação (1.47) em (1.50), obtemos: 
 
 
  irirv r





 (1.51.a)
 
ou: 
 
 ivivvvv rrr

 , (1.51.b) 
 
onde: 
 
• rr irv



 é a componente radial da velocidade 
 
•   irv

  é a componente transversal da velocidade 
 
Estas componentes da velocidade são mostradas na Figura 1.18. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.18 
 
 Como rv

 e v

 são duas componentes de v

 em direções perpendiculares, o 
módulo da velocidade escalar é dado pela expressão: 
 
22
vvv r  
222  rr  (1.52) 
 
 Obtemos o vetor aceleração derivando o vetor velocidade, dado pela equação 
(1.51.a), em relação ao tempo: 
 
 
dt
id
ririr
dt
id
rira rr

 











 
 
 Utilizando as equações (1.47) e (1.48), após algumas manipulações algébricas, 
a equação acima pode ser posta sob a forma: 
 
      irrirra r  22  (1.53) 
 
ou: 
 
 iaiaaaa rrr

 , 
 
onde: 
 
•   rr irra


 2 é a componente radial da aceleração 
 
•     irra

 2 é a componente transversal da aceleração. 
 
 
O 
P 
r 
r 
 
t 
rv

 
v

 
v

 
a

 
ra

 
a

 
26 
 
 Estas duas componentes da aceleração estão mostradas na Figura 1.18. 
 É usual expressar as componentes da velocidade e da aceleração da partícula 
em termos da velocidade angular (  ) e aceleração angular (    ) da linha 
OP. Assim, podemos escrever: 
 
 irirv r



 (1.54) 
 
     a r r i r r ir       2 2 (1.55) 
 
Um caso particular importante a ser considerado é aquele em que a partícula 
descreve uma trajetória circular (movimento circular), como ilustrado na Figura 
1.19. Se escolhermos o pólo do sistema de coordenadas polares coincidente com o 
centro da trajetória, teremos, neste caso, a direção radial coincidente com a direção 
normal à trajetória e a direção transversal coincidente com a direção tangente à 
trajetória. Sendo o raio da trajetória constante, temos 0 rr  e as equações (1.54) 
e (1.55) tornam-se: 
 
 irv

 (1.57) 
 
 irira r

 2 (1.58) 
 
 É muito conveniente, nas duas últimas equações acima, expressar a 
velocidade angular e a aceleração angular como vetores perpendiculares ao plano do 
movimento, de acordo com as equações (1.9) e (1.11), repetidas abaixo: 
 
 
 
   k , 
 
   k 
 
 Definindo ainda o vetor posição OPr 

, podemos facilmente verificar, 
utilizando as propriedades do produto vetorial, que os vetores velocidade e 
aceleração no movimento circular podem ser expressos sob as formas: 
 
 rv

  (1.59) 
 
 rra   (1.60) 
 
onde rar

  e  ra    são as componentes transversal (tangencial) e 
radial (normal) da aceleração, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.19 
 
 
1.6 - Movimento curvilíneo espacial da partícula 
 
 O movimento de uma partícula ao longo de uma trajetória curva reversa é 
conhecido como movimento curvilíneo espacial. Diferentemente do movimento 
curvilíneo plano, que envolve apenas duas componentes, o movimento espacial se 
caracteriza por três componentes de movimento. 
Do ponto de vista teórico, o movimento espacial de uma partícula pode ser 
considerado, em cada instante, como sendo um movimento curvilíneo plano que 
ocorre em um plano que contém o ponto da trajetória ocupado instantaneamente 
pela partícula e os pontos imediatamente vizinhos. Este plano é chamado plano 
osculador. Podemos entender o plano osculador como sendo o plano que mais se 
ajusta à trajetória, no ponto instantaneamente ocupado pela partícula. A velocidade 
v

 e a aceleração a

 da partícula são vetores localizados sobre o plano osculador. 
Deste modo, podemos estender ao movimento espacial os conceitos de componentes 
tangencial e normal da aceleração. Para tanto, são definidos os seguintes vetores 
unitários, que são mostrados na Figura 1.20: 
 
 ti

: vetor unitário tangente à trajetória, contido no plano osculador, com o 
sentido do movimento. 
 ni

: vetor unitário normal, perpendicular a ti

, contido no plano osculador, e 
que aponta para o centro de curvatura da trajetória C, que também se 
encontra sobre este plano. A direção definida por ni

 é chamada normal 
principal e o raio de curvatura , contido no plano osculador, é denominado 
raio principal de curvatura. 
i

 
j

 
k

 
  t 
r  n 
 
 
 
v

 
ra

 
a

 
r 
O 
P 
28 
 
 bi

: vetor unitário perpendicular ao plano osculador, que completa o triedro 
de vetores unitários, sendo definido segundo: 
 
ntb iii

 
 
 A direção perpendicular ao plano osculador, definida por bi

, é chamada 
direção binormal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.20 
 
 Uma vez definidos estes vetores, podemos expressar os vetores velocidade e 
aceleração em termos de componentes tangencial e normal sob as formas (conforme 
Seção 1.5.2): 
 
 tivv

 
 
 nt i
v
i
dt
dv
a


2
 
 
É importante observar que v

 e a

 não têm componentes na direção da 
binormal. 
 Embora seja importante sob o ponto de vista teórico, a descrição do 
movimento espacial em termos dos vetores unitários ti

, ni

 e bi

 não é muito 
adequada à resolução de problemas práticos, uma vez que as variações destes 
vetores com o tempo depende da forma da trajetória. Assim, para a descrição da 
cinemática do movimento espacial são utilizados, com maior freqüência, os sistemas 
de coordenadas apresentados a seguir. 
 
O 
x
z 
y t
n
b
P
ti b
i 
ni 
C
plano osculador 
29 
 
1.6.1 - Coordenadas cartesianas (x-y-z) 
 
 A extensão das equações já apresentadas para o movimento curvilíneo plano 
na Seção 1.5.1 para o caso de movimento espacial é imediata, requerendo 
simplesmente a inclusão da coordenada z e do vetor unitário correspondente k

, 
como mostrado na Figura 1.21. Aqui, mais uma vez, o sistema de referência Oxyz é 
admitido ser fixo, sendo os vetores unitários  k,j,i invariantes com o tempo. 
 
 
y
z
x
O
P x,y,z( )
axay
az
vx
vy
vz
j
 
 
Figura 1.21 
 
 Os vetores posição, velocidade e aceleração de uma partícula que descreve um 
movimento curvilíneo espacial, em relação ao sistema de eixos fixos Oxyz, são dados 
por: 
 
 • vetor posição 
 
        ktzjtyitxtr

 (1.61.a) 
 
          222 tztytxtr  (1.61.b) 
 
 • vetor velocidade 
 
         ktzjtyitxtv







 (1.62.a) 
 
           222 tztytxtv   (1.62.b) 
 
 • vetor aceleração 
 
         ktzjtyitxta







 (1.63.a) 
 
          222 tztytxta   (1.63.b) 
30 
 
As componentes destes vetores são ilustradas na Figura 1.21. 
 
 
 1.6.2 - Coordenadas cilíndricas (r--z) 
 
 O sistema de coordenadas cilíndricas é obtido pelo acréscimo da coordenada z 
e do vetor unitário correspondente k

 ao sistema de coordenadas polares 
anteriormente apresentado na Seção 1.5.3. Observemos, na Figura 1.22, que no 
plano x-y localizam-se as coordenadas r e  do sistema de coordenadas polares, 
sendo  considerado positivo quando é observado girando no sentido anti-horário, a 
partir da extremidade do eixo z. A Figura 1.22 mostra ainda o sistema de vetores 
unitários ri

, i

 e k

, associados às direções radial, transversal e ao eixo z, 
respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.22 
 
 Considerando as coordenadas e os vetores unitários mostrados na 
Figura 1.22, podemos escrever o vetor posição da partícula P sob a seguinte forma 
(notemos que, com o intuito de evitar ambigüidade, o vetor posição, até aqui 
denotado por r

 será, nesta seção, denotado por Pr

): 
 
 kzirr rP

 (1.64) 
 
Obtemos o vetor velocidade derivando o vetor posição em relação ao tempo: 
 
 
dt
kd
zkz
dt
id
rir
dt
rd
v rr
P








 
 
 Lembrando que  idt
id r 

 (conforme a equação (1.47)) e observando que o 
vetor unitário k

 permanece constante durante o movimento da partícula, tendo 
x 
Pr

 
z 
y 
P 
O 
k

 
i

 
ri

 
r 
r 
 
 
31 
 
derivada temporal nula, obtemos as seguintes expressões para o vetor velocidade e 
seu módulo: 
 
  
zvvrv
r kzirirv











 (1.65.a) 
 
 2z
22
r vvvv  

 (1.65.b) 
 
 Derivando a equação (1.65.a) em relação ao tempo e empregando as equações 
(1.47) e (1.48), obtemos as seguintes expressões para o vetor aceleração e seu 
módulo: 
 
    
zr aaa
r kzirrirra












 2
2 (1.66.a) 
 
 
 2z
22
r aaaa  

 (1.66.b) 
 
 
1.6.3 - Coordenadas esféricas (R-- ) 
 
No sistema de coordenadas esféricas, a posição da partícula no espaço fica 
determinada pela coordenada linear R e pelas coordenadas angulares  e , 
definidas na Figura 1.23, na qual é também representado um sistema auxiliar de 
eixos cartesianos Oxyz. 
 
A base de vetores unitários é constituída pelos vetores : 
 
 Ri

: vetor unitário na direção OP com o sentido de O para P. 
 i

: vetor unitário perpendicular ao plano OPP’, orientado no sentido de  
crescente (apontando no sentido anti-horário, quando observado da 
extremidade do eixo z). 
 i

: vetor unitário perpendicular aos dois primeiros, contido no plano OPP’, 
orientado no sentido de  crescente (no sentido de elevação do segmento 
OP em relação ao plano xy). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.23 
 
Com base na Figura 1.23, expressamos o vetor posição da partícula P 
segundo: 
 
 RiRr

 (1.67) 
 
Para obter a expressão da velocidade de P derivamos o vetor posição em 
relação ao tempo: 
 
dt
id
RiRv RR


  (1.68) 
 
O problema agora consiste em expressar a derivada do vetor Ri

 em relação ao 
tempo.Para isso, utilizaremos o sistema auxiliar de coordenadas cartesianas Oxyz, 
suposto fixo, e sua base de vetores unitários  k,j,i  . Podemos então escrever: 
 
     kkijjiiiii RRRR

 
 
Na equação acima,  iiR

 ,  jiR

 e  kiR

 representam as projeções do vetor 
unitário Ri

nas direções do eixo x, y e z, respectivamente . Com auxílio da 
Figura 1.30, podemos verificar facilmente que: 
 
  coscosiiR 

 (1.69.a) 
 
 cossenjiR 

 (1.69.b) 
x 
r

z 
y 
P 
O 
i

 
Ri

 
R 
 
 
i

  
R 
P’ 
 
j

 
k

 
i

 
33 
 
 
senkiR 

 (1.69.c) 
 
Introduzindo as relações (1.69) em (1.68), obtemos: 
 
ksenjcossenicoscosiR

  (1.70.a) 
 
Por procedimento similar, obtemos as seguintes expressões para os dois 
outros vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas em termos dos vetores 
unitários do sistema de coordenadas cartesianas auxiliar: 
 
jcosiseni

  (1.70.b) 
 
kcosjsensenisencosi

  (1.70.c) 
 
Podemos agora expressar a derivada indicada em (1.68), computando a 
derivada de (1.70.a), levando em conta que os vetores unitários  k,j,i  são 
constantes: 
 
    kcosjsensencoscosisencoscossen
dt
id R 





  
 
Levando em conta novamente as relações (1.70.b) e (1.70.c), escrevemos a 
última equação acima sob a forma: 
 
  icosidt
id R 



 (1.71) 
 
Introduzindo (1.71) em (1.68), obtemos a seguinte expressão para o vetor 
velocidade da partícula em termos de suas componentes esféricas: 
 













 
vvRv
R iRiRiRv  cos (1.72) 
 
222
R vvvv  

 (1.73) 
 
Visando obter a expressão da aceleração, derivamos o vetor velocidade, dado 
por (1.72) em relação ao tempo, obtendo: 
 
dt
id
cosRisenRicosRicosR
dt
id
RiRa RR

 











  
 
dt
id
RiRiR  





  (1.74) 
 
34 
 
Computamos as derivadas 
dt
id 

 e 
dt
id 

, que aparecem em (1.74), a partir de 
(1.70.b) e (1.70.c): 
 
jsenicos
dt
id 



  (1.75.a) 
 
    ksenjcossensencosicoscossensen
dt
id 






  
 (1.75.b) 
 
Introduzindo as equações (1.75) em (1.74) e fazendo uso das relações (1.70), 
obtemos a seguinte expressão para o vetor aceleração da partícula em termos de 
coordenadas esféricas: 
 
 aaaa R

 (1.76) 
 
com: 
 
   RR iRRRa   222 cos (1.77.a) 
 
 
     isenRcosRcosRa

 22  (1.77.b) 
 
 
    icossenRRRa  22  (1.77.c) 
 
 
222
R aaaa  

 (1.78) 
 
 
 
1.7 - Movimento Relativo 
 
Nas seções anteriores deste capítulo os sistemas de referência utilizados 
foram considerados fixos e as grandezas cinemáticas observadas a partir deles 
foram admitidas absolutas. Em grande número de casos, os sistemas de referência 
empregados estão animados de algum tipo de movimento. Assim, por exemplo, os 
sistemas de referência que adotamos fixos à Terra são, na verdade, sistemas móveis, 
uma vez que a Terra está desenvolvendo um movimento complexo no espaço. Na 
maioria dos problemas de Engenharia, o movimento da Terra pode ser 
negligenciado (por exemplo, no estudo do movimento dos componentes de uma 
máquina ou mecanismo). Em outros problemas, contudo, a consideração do 
movimento do planeta é de fundamental importância. Tal é o caso, por exemplo, de 
35 
 
problemas envolvendo o movimento de satélites artificiais e de correntes marítimas 
e atmosféricas. 
No estudo de qualquer tipo de problema, podemos escolher livremente os 
sistemas de referência a serem empregados - fixos ou móveis. Freqüentemente, 
soluções mais simples podem ser obtidas com o emprego de sistemas de referência 
móveis. 
O movimento em relação aos sistemas de referência móveis é usualmente 
chamado movimento relativo. Para facilitar o entendimento, estudaremos 
primeiramente o movimento relativo plano (em duas dimensões) e, em seguida, o 
movimento relativo espacial (em três dimensões). Consideraremos também, 
separadamente, os diversos tipos de movimento que os sistemas de referência 
móveis podem apresentar, em ordem crescente de complexidade: translação, rotação 
e movimento geral (translação + rotação). 
 
 
1.7.1 - Movimento relativo plano. Eixos de referência em translação 
 
Consideremos o movimento curvilíneo plano de duas partículas A e P, cujas 
posições são mostradas na Figura 1.24. São mostrados dois sistemas de eixos: OXY e 
Axy, este último com sua origem posicionada sobre a partícula A. 
 Admitiremos que o sistema OXY seja fixo e que quando a partícula A se 
desloca, os eixos x e y também se movam, conservando, porém, suas direções 
constantes em relação ao sistema fixo OXY. Podemos admitir, sem perda de 
generalidade, que os eixos dos dois sistemas permaneçam sempre paralelos. 
Dizemos, neste caso, que o sistema móvel Axy está em movimento de translação em 
relação ao sistema OXY. 
Os vetores Ar

 e Pr

 definem, respectivamente, as posições das partículas A e 
P em relação ao sistema de eixos fixos OXY e o vetor A/Pr

 define a posição da 
partícula P em relação ao sistema Axy, ou seja, a posição da partícula P em relação 
à partícula A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.24 
 
x 
y Y 
X 
P 
A 
O 
A/Pr

 
Pr

 
Ar

 
i

 
i

 
j

 
j

 
PXAX
AY
PY
A/Px
A/Py
36 
 
 
Buscaremos estabelecer relações entre as posições, velocidades e acelerações 
observadas no sistema fixo, consideradas absolutas, e a correspondentes observadas 
no sistema móvel, consideradas relativas. 
Do triângulo de vetores mostrado na Figura 1.33, extraímos a relação: 
 
A/PAP rrr

 (1.79) 
 
Como os dois sistemas de eixos permanecem paralelos, podemos associar a 
ambos uma única base de vetores unitários (i

, j

). Deste modo, os vetores que 
figuram na equação (1.79) podem ser decompostos da seguinte forma: 
 
 jYiXr AAA

 (1.80.a) 
 
 jYiXr PPP

 (1.80.b) 
 
 jyixr A/PA/PA/P

 (1.80.c) 
 
 Substituindo as equações acima na equação (1.79) e igualando os coeficientes 
dos vetores unitários em ambos os lados da equação vetorial resultante, obtemos as 
seguintes equações escalares: 
 
 A/PAP xXX  (1.81.a) 
 
A/PAP yYY  (1.81.b) 
 
 Derivando a equação (1.79) em relação ao tempo temos: 
 
A/PAP rrr 
  
ou: 
 
 A/PAP vvv

 , (1.82) 
 
onde Pv

 e Av

 são as velocidades absolutas (em relação ao sistema fixo) das 
partículas A e P, respectivamente, e A/Pv

 é a velocidade de P em relação a A (ou a 
velocidade de P em relação ao sistema móvel). 
 Para obter Av

, Pv

 e A/Pv

 derivamos as equações (1.80), levando em conta 
mais uma vez, que os vetores i

e j

são invariáveis: 
 
 jYiXv AAA



 (1.83.a) 
 
jYiXv PPP



  (1.83.b) 
 
jyixv A/PA/PA/P





 (1.83.c) 
 
37 
 
Substituindo as equações (1.83) na equação (1.82) e igualando os coeficientes 
dos vetores unitários de ambos os lados da equação vetorial resultante, temos as 
seguintes relações entre as componentes das velocidades absolutas de P e A e as 
componentes da velocidade de P em relação a A: 
 
A/PAP xXX   (1.84.a) 
 
A/PPP yYY   (1.84.b) 
 
Seguindo procedimento análogo, para as acelerações absolutas e relativas, 
após derivação de (1.82) em relação ao tempo, escrevemos: 
 
A/PAP aaa

 , (1.85) 
 
com: 
jYiXa AAA



  (1.86.a) 
 
jYiXa PPP



  (1.86.b) 
 
jyixa A/PA/PA/P





 (1.86.c) 
 
 Substituindo as equações (1.86) em (1.85), obtemos as seguintes relações 
entre as componentes das acelerações absolutas das partículas A e P e a aceleração 
de P em relação a A: 
 
A/PAP xXX   (1.87.a) 
 
A/PAP yYY   (1.87.b) 
 
É importante ressaltar que, embora o desenvolvimento apresentado tenha 
sido feito em termos de componentes cartesianas, o conceito de movimento relativo 
pode ser estendido a qualquer outro tipo de sistema de coordenadas anteriormente 
estudados neste capítulo. 
 
1.7.2 - Movimento relativo plano - eixos de referência em rotação 
 
Com relação à Figura 1.25, consideremos dois sistemas de referência com 
origem comum O: o sistema fixo OXY, e o sistema Oxy, que executa um movimento 
de rotação em torno de O, com velocidade angular instantânea k



  , podendo o 
módulo de 

 ser constante ou variável com o tempo. Vale lembrar que, de acordo 
com o exposto na Seção 1.3, a velocidade angular é tratada como um vetor 
perpendicular ao plano x-y, sendo seu módulo dado por   , onde  é o ângulo 
compreendido entre os eixos dos dois sistemas de referência, como indicado na 
Figura 1.25. Nesta mesma figura são também mostradas as bases de vetores 
unitários ( I

,J

), associados aos eixos fixos OXY e ( i

, j

), associados aos eixos Oxy, 
respectivamente. 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.25 
 
Considerando uma grandeza vetorial qualquer  tQ

, mostrada na Figura 
1.25, é fácil perceber que dois observadores, um posicionado no sistema fixo e outro 
no sistema móvel verão, de maneiras diferentes, a variação da quantidade  tQ

 com 
o tempo. Designando por 
OXY
Q 



  a derivada temporal de  tQ

 em relação ao 
sistema fixo OXY e 
Oxy
Q 



  a derivada temporal de  tQ

 em relação ao sistema 
rotativo Oxy, pretendemos, inicialmente, obter a relação existente entre estas duas 
derivadas. Para tanto, expressamos  tQ

 em termos de suas componentes nas 
direções dos eixos rotativos Ox e Oy: 
 
      jtQitQtQ yx

 (1.88) 
 
Um observador posicionado no sistema rotativo observa os vetores i

 e j

 
invariáveis. Assim, derivando a expressão acima em relação ao tempo, considerando 
os vetores i

e j

 constantes, obtemos a derivada temporal 
Oxy
Q 



  em relação ao 
sistema rotativo, ou seja: 
 
jQiQQ yx
Oxy









 (1.89) 
 
Por outro lado, um observador no sistema fixo OXY observa variações nas 
direções dos vetores i

e j

 quando o sistema móvel gira em torno do ponto O. Assim, 
para obter a derivada temporal de  tQ

 em relação ao sistema de referência fixo 
OXY, derivamos (1.88) em relação ao tempo considerando os vetores i

e j

 variáveis, 
obtendo: 
 
x 
Y 
X 
O 
 tQ

 
I

j

 
y 
i

 
J

  tQx 
 tQy 
 
k



 
39 
 
 
dt
jd
Q
dt
id
QjQiQQ yxyx
OXY










 (1.90) 
 
 Utilizando a equação (1.89), a última equação acima pode ser escrita sob a 
forma: 
 
 
dt
jd
Q
dt
id
QQQ yx
OxyOXY

 







 (1.91) 
 
Levando em conta que os vetores unitários i

 e j

 estão girando em torno de 
O com velocidade angular  , as derivadas 
dt
id

 e 
dt
jd

 são obtidas empregando a 
equação (1.26), que expressa a derivada temporal de um vetor rotativo: 
 
i
dt
id 

  (1.92) 
 
j
dt
jd 

  (1.93) 
 
Introduzindo as relações (1.92) e (1.93) na equação (1.91), a equação 
resultante pode ser posta sob a forma: 
 
  jQiQQQ yx
OxyOXY
 







  , (1.94) 
 
ou ainda, levando em conta a relação (1.88): 
 
QQQ
OxyOXY
 







  (1.95) 
 
A equação (1.95) estabelece a relação entre a derivada temporal calculada em 
relação ao sistema fixo e a derivada temporal calculada em relação ao sistema 
rotativo. 
Consideremos agora o movimento de uma partícula P observado por dois 
observadores distintos posicionados nos dois sistemas de referência empregados. 
Designando por  tr o vetor posição da partícula, temos que  OXYr representa a 
velocidade de P em relação ao sistema fixo (velocidade absoluta de P), enquanto 
 Oxyr representa a velocidade de P em relação ao sistema rotativo. A equação (1.95), 
com Q

 substituído por r

, nos dá: 
 
    rrrv OxyOXYp 

   (1.96) 
 
40 
 
Para melhor entendimento do significado dos vetores presentes na equação 
(1.96), consideremos, como exemplo, a situação ilustrada na Figura 1.26. 
Observamos uma placa plana que gira em torno do ponto fixo O, com velocidade 
angular instantânea k

  , a qual varia com aceleração angular instantânea 
k



  . A placa dispõe de uma ranhura dentro da qual se move uma partícula 
P. Evidentemente, o movimento absoluto de P é resultante da composição de seu 
movimento dentro da ranhura com o movimento de rotação da placa. 
Consideremos um sistema de referência de orientação fixa, OXY, e um 
sistema Oxy, solidário à placa. Este último está animado de movimento de rotação 
em torno do ponto O, com a mesma velocidade e aceleração angulares da placa. 
 
 
Y
y
x
X
trajetória de P'
O 
 
v rP '  
v rrel Oxy

 
 
 
Figura 1.26 
 
Para um observador no sistema Oxy, ou seja, posicionado sobre a placa, a 
partícula P descreve a trajetória determinada pela ranhura, movendo-se com a 
velocidade  Oxyr , que é um vetor contido no plano da placa, com a direção da 
tangente à ranhura na posição ocupada instantaneamente por P. Designaremos esta 
velocidade em relação a Oxy por relv

 (velocidade relativa ao sistema rotativo, ou em 
relação à placa). 
Designando por 'P um ponto que coincide instantaneamente com P e 
pertence à placa (ou aosistema rotativo, solidário a ela), vemos que 'P descreve, em 
relação ao sistema fixo OXY, um movimento circular com centro em O, sendo este 
movimento determinado pela rotação da linha OP em torno de O, com velocidade 
angular . Com base na equação (1.58), que representa a velocidade no movimento 
circular, concluímos que o vetor rv 'p

  representa a velocidade deste ponto 'P , 
em relação ao sistema OXY. Este vetor é tangente à trajetória circular, mostrada 
em linha tracejada na Figura 1.26, ou seja, ele é perpendicular ao vetor r

. 
41 
 
Com base nestas interpretações, podemos escrever (1.96) sob a forma: 
 
rel'PP vvv

 , (1.97) 
 
onde: 
 
  OXYP rv   é a velocidade de P em relação ao sistema fixo. 
 
  Oxyrel rv   é a velocidade de P em relação ao sistema rotativo. 
 rv 'P

  é a velocidade, em relação ao sistema fixo, do ponto 'P , que 
coincide instantaneamente com P, e pertence ao sistema rotativo. 
 
Passemos agora ao estudo das acelerações. A aceleração absoluta de P é dada 
pela derivada temporal de Pv

 em relação a OXY. Computando a derivada temporal 
de (1.96) em relação a OXY, obtemos: 
 
           OXYOXYOxyOXYOxyOXYPP rdt
d
r
dt
d
rr
dt
d
va


  
 
      OXYOXYOXYOxy rdt
d
r
dt
d
r
dt
d    (1.98) 
 
Utilizamos, em seguida, a equação (1.95) para desenvolver cada uma das 
parcelas da equação acima, conforme as equações abaixo: 
 
       OxyOxyOXYOxy rrrdt
d    
 
        OxyOXYdt
d
 
 
         rrrrr
dt
d
OxyOxyOXY



  . 
 
Substituindo as três últimas equações em (1.98), obtemos, após rearranjo: 
 
     OxyOxyP rrrra 
   2 (1.99) 
 
De forma similar ao que foi feito para as componentes da velocidade, as 
componentes de aceleração, figurando na equação acima, podem ser interpretados 
com o auxílio da Figura 1.27 e da equação (1.99) escrita sob a forma: 
 
    c
Pa
nPtPrelP aaaaa

  



'
'' (1.100) 
 
42 
 
onde: 
 
  Oxyrel ra   é a aceleração de P em relação ao sistema de referência 
rotativo Oxy e está associada ao movimento de P ao longo da ranhura. 
Sendo esta ranhura curvilínea, rela

 pode, no caso mais geral, ser 
decomposta em duas componentes: 
 
-  
dt
vd
a reltrel


 , tangente à ranhura. 
 
-  

2
rel
nrel
v
a 

, normal à ranhura, apontando para o seu centro de 
curvatura. Aqui,  designa o raio de curvatura da ranhura. 
 
   ra t'P
   é a componente tangencial da aceleração, em relação ao 
sistema fixo OXY, do ponto 'P , coincidente com P e pertencente ao 
sistema rotativo (ou à placa). 
 
    ra n'P 

  é a componente normal da aceleração do ponto 'P , em 
relação a OXY; 
 
   relOxyc vra 



  22 é a chamada aceleração de Coriolis. Esta 
componente está associada à variação na direção do vetor velocidade 
relativa relv

, provocada pela rotação do sistema de referência móvel. 
 
Y
y
x
XO 
C 
arel t arel
aP t'
arel n
aC
aP n'

aP '
 
 
 
Figura 1.27 
43 
 
A análise apresentada acima mostra que o principal interesse no uso de um 
sistema de referência rotativo como sistema de referência auxiliar para o cálculo da 
velocidade e aceleração absolutas de uma partícula reside no fato de que este 
procedimento permite decompor o movimento complexo da partícula em termos de 
dois movimento mais simples: o movimento da partícula em relação ao sistema 
móvel e o movimento do ponto 'P pertencente ao sistema móvel. 
 
 
1.7.3 - Movimento relativo plano. Eixos de referência em movimento plano 
geral 
 
Consideremos a Figura 1.28 que mostra o movimento plano de duas 
partículas A e P, sendo empregados dois sistemas de referência: um sistema fixo 
OXY e outro sistema móvel, Axy. A origem deste último descreve uma trajetória 
curvilínea plana e, ao mesmo tempo, seus eixos giram com velocidade angular 
instantânea k

  e aceleração angular k



  . Dizemos, neste caso, que o 
sistema Axy está animado de movimento plano geral (translação superposta a uma 
rotação em torno de A). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.28 
 
Sendo Ar

, Pr

 e APr /

 os vetores posição mostrados na figura acima, podemos 
escrever: 
 
APAP rrr /

 (1.101) 
 
Para obter a relação envolvendo velocidades absolutas e relativas das duas 
partículas A e P, computamos a derivada temporal dos vetores presentes em (1.101) 
em relação ao sistema fixo: 
 
     OXYA/POXYAOXYPP rrrv   (1.102) 
 
x 
y Y 
X 
P 
A 
O 
APr /

 
Pr

 
Ar

 
k



 
k

 
44 
 
Usando a equação (1.95), podemos desenvolver o último termo da equação 
acima sob a forma: 
 
    A/PAxyA/POXYA/P rrr 

   , 
 
e a equação (1.102) fica: 
 
 AxyA/PA/PAP rrvv 

  , (1.103) 
ou: 
 
relAPAP vvvv

  / , 
 
Os vetores presentes na Equação (1.103) podem ser interpretados com o 
auxílio da Figura 1.29, que mostra uma placa que se movimenta no plano da figura, 
dispondo de uma ranhura dentro da qual se move uma partícula P. São utilizados os 
seguintes sistemas de referência: o sistema fixo OXY, o sistema Axy, com origem no 
ponto A da placa, e solidário a ela, e o sistema auxiliar 11yAx que tem sua origem no 
ponto A e conserva sua direção invariável (está em movimento de translação). 
Nesta situação, tem-se a seguinte interpretação: 
 
  OXYAA rv   é a velocidade da partícula A (origem do sistema de 
referência rotativo) em relação ao sistema fixo. 
 A/PA/'P rv

  é a velocidade, em relação ao sistema de referência 
auxiliar 11yAx , do ponto P que coincide instantaneamente com P, e 
pertence ao sistema rotativo (ou à placa).. A trajetória de P em relação a 
este sistema de referência é a trajetória circular indicada em linha 
pontilhada na Figura 1.38. 
  AxyAPrel rv /  é a velocidade de P em relação ao sistema móvel Axy, 
sendo associada ao movimento da partícula ao longo da ranhura existente 
na placa. 
 
 
 
45 
 
vA
vA
vrel
vrel
vP'
vP
  r vP A P A/ '/
vP A'/
Y
y
x
X

O 
A
rA
rP A/
 
 
Figura 1.29 
 
 
No que diz respeito às acelerações, derivando a equação (1.103) em relação ao 
tempo, considerando o sistema de referência fixo, obtemos: 
 
    
OXYAxyA/POXYA/pA/PAP
r
dt
d
rraa 

   (1.104) 
 
Usando uma vez mais a relação (1.95), podemos desenvolver da seguinte 
forma os dois últimos termos da equação acima: 
 
     A/PAxyA/POXYA/P rrr 





 =    A/PAxyA/P rr 



 
 
       AxyA/PAxyA/POXYAxyA/P rrrdt
d   
 
Introduzindo estes desenvolvimentos em (1.104), escrevemos: 
 
  relA/pA/PArelP vrraaa 
   2 (1.105) 
 
ou: 
 
    CnA/PtA/PArelP aaaaaa

  , (1.106) 
 
onde, a cada uma das componentes, ilustradas na Figura 1.30, é dada a seguinte 
interpretação: 
 
1x 
1y 
46 
 
  AxyAPrel ra /  é a aceleração de P em relação ao sistema de referência 
móvel Axy e está associada ao movimento de P ao longo da ranhura 
existente na placa. Sendo esta ranhura curvilínea,rela

 pode, no caso mais 
geral, ser decomposta em duas componentes: 
 
-  
dt
vd
a reltrel


 , tangente à ranhura. 
 
-  

2
rel
nrel
v
a 

, normal à ranhura, apontando para o seu centro da 
curvatura. Aqui,  designa o raio de curvatura da ranhura. 
 
   A/PtA/'P ra
   é a componente tangencial da aceleração, em relação 
ao sistema auxiliar 11yAx (que está em movimento de translação), do 
ponto 'P , coincidente com P e pertencente ao sistema móvel Axy. 
 
    A/PnA/'P ra 

  é a componente normal da aceleração do ponto 
'P , em relação a ao sistema auxiliar 11yAx . 
 
 relc va

 2 é a aceleração de Coriolis. 
 
 
Y
y
x
X

C 
O 
A

rA
aA rP A/
aP A n'/
arel n
aC
arel t
aP A t'/
vrel
 
 
 
Figura 1.30 
 
 
 
1x 
1y 
47 
 
 
1.7.4 - Movimento relativo espacial. Eixos de referência em translação 
 
Os conceitos e a formulação apresentados na Seção 1.7.1 para o movimento 
relativo plano podem ser estendidos para o movimento relativo espacial sem 
dificuldades, bastando introduzir uma terceira coordenada z e o vetor unitário 
correspondente k

, conforme ilustrado na Figura 1.31. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.31 
 
Para a situação ilustrada na Figura 1.31, podemos escrever: 
 
A/PAP rrr

 (1.107) 
 
com: 
 
 kZjYiXr AAAA

 (1.108.a) 
 
 kZjYiXr PPPP

 (1.108.b) 
 
 kzjyixr A/PA/PA/PA/P

 (1.108.c) 
 
 A substituição das equações (1.108) em (1.107) resulta em: 
 
 A/PAP xXX  (1.109.a) 
 
A/PAP yYY  (1.109.b) 
 
A/PAP zZZ  (1.109.c) 
 
x 
y Y 
X 
P 
A 
O 
APr /

 
Pr

 
Ar

 
Z 
z 
i

j

 
k

i

j

 
k

48 
 
Derivando a equação (1.107) em relação ao tempo, obtemos a seguinte relação 
envolvendo velocidades absolutas de A e P e a velocidade de P em relação a A: 
 
A/PAP vvv

 , (1.110) 
 
onde: 
 
 kZjYiXv AAAA





  (1.111.a) 
 
 kZjYiXv PPPP





  (1.111.b) 
 
kzjyixv A/PA/PA/PA/P







 (1.111.c) 
 
 Introduzindo as equações (1.111) em (1.110), obtemos as seguintes relações 
entre as componentes destas velocidades: 
 
A/PAP XXX   (1.112.a) 
 
A/PAP yYY   (1.112.b) 
 
A/PAP zZZ   (1.112.c) 
 
De maneira análoga, para as acelerações, escrevemos: 
 
A/PAP aaa

 (1.113) 
 
com: 
 
kZjYiXa AAAA





  (1.114.a) 
 
kZjYiXa PPPP





  (1.114.b) 
 
kzjyixa A/PA/PA/PA/P







 (1.114.c) 
 
As seguintes relações entre as componentes destas acelerações se verificam: 
 
A/PAP xXX   (1.115.a) 
 
A/PAP yYY   (1.115.b) 
 
A/PAP zZZ   (1.115.c) 
 
 
 
 
49 
 
1.7.5 - Movimento relativo espacial. Eixos de referência em rotação 
 
Consideremos os dois sistemas de referência mostrados na Figura 1.32: o 
sistema fixo OXYZ, e o sistema Oxyz, que gira instantaneamente em torno do eixo 
OA, com velocidade angular 

, orientada segundo este eixo. 
Pode-se deduzir, seguindo o procedimento empregado na Seção 1.6.2, a 
seguinte relação entre as derivadas temporais de uma grandeza vetorial  tQ

, 
expressas nos dois sistemas de referência: 
 
QQQ
OxyzOXYZ
 







  (1.116) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.32 
 
Deve-se observar que, no caso geral em três dimensões, temos 
kji zyx

  (ao invés de simplesmente kz

  , como acontece no caso 
plano, considerado na Seção 1.6.2). Com essa ressalva, as demais equações 
deduzidas na Seção 1.6.2 podem ser diretamente estendidas ao caso tridimensional, 
sendo re-apresentadas a seguir: 
 
  relPOxyzP vvrrv 

  (1.117) 
 
     OxyzOxyzP rrrra 
   2     relCnPtP aaaa

  (1.118) 
 
 
 
 
 
x 
Y 
X O 
 tQ

 
y 
z Z 
A 


 
50 
 
 
1.7.6 - Movimento relativo espacial. Eixos de referência em movimento 
 geral 
 
Considerando a situação mostrada na Figura 1.33, apresentamos aqui as 
equações deduzidas na Seção 1.6.3, já adaptadas para o caso tridimensional. 
 
  relA/PAAxyzA/PA/PAP vvvrrvv 

  (1.119) 
 
       AxyzA/PAxyzA/PA/PA/PP rrra 
  2 
 
     relCnA/PtA/PA aaaaa

  (1.120) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.33 
 
 
1.8 – Bibliografia 
 
 BEER, F., JOHNSTON Jr., E. R., Mecânica Vetorial para Engenheiros – 
Dinâmica, 5ª Edição, Makron Books, 1996. 
 HIBBELER, R. C., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. 10ª Edição. Pearson-
Prentice Hall, 2005. 
 KRAIGE, L.G., MERIAM, J.L., Dinâmica, 5ª Edição, LTC, 2004. 
 SHAMES, I. H., Dinâmica. Mecânica para a Engenharia. Volume 2. 4ª. Edição. 
Pearson–Prentice Hall, 2003. 
 SOUTAS-LITTLE, R. W., INMAN, D., Engineering Mechanics. Dynamics, 
Prentice-Hall, 1999. 
 
x 
y Y 
X 
P 
A 
O 
APr /

 
Pr

 
Ar

 
 

, 
Z 
z 
1y 
1x 
1z 
CESAR
Realce
CESAR
Nota
faltou o termo alfaA