VOD-matemática básica-Números naturais e inteiros-2020-14d1b512eacc1fbd0d14d5ee07683222

Prévia do material em texto

1 
Matemática 
Números naturais e inteiros 
 
Resumo 
 
Conjunto dos Números Naturais ( ¥ ) 
O primeiro conjunto numérico a ser estudado é o conjunto dos naturais, representados por “ ¥ ” que surgiu a 
partir do momento que foi sentido a necessidade da contagem de elementos. 
 = 0,1,2,3,4,5,6...¥ 
 = 1,2,3,4,5,6...*¥ 
 
Obs: A notação “*” simboliza o conjunto sem o elemento nulo. 
 
Conjunto dos Números Inteiros (¢ ) 
O conjunto dos números inteiros, representado por ¢ , surgiu a partir do momento que surgiu a ideia de dívida, 
assim, entrando os números negativos. 
 ...-3,-2,-1,0,1,2,3...=¢ 
 
Alguns subconjuntos são destacáveis: 
1. Conjunto 
*¢ dos números inteiros não nulos: 
   x Z| x 0 = ...,-3,-2,1,1,2,3,...=  *¢ 
 
2. Conjunto 
* *
+ =¢ ¥ dos números inteiros positivos não nulos: 
   x Z| x > 0 = 1,2,3,...+ = = 
* *¢ ¥ 
 
3. Conjunto 
+ =¢ ¥ dos números inteiros não negativos: 
   x Z| x 0 = 0,1,2,3,...+ = =  
*¢ ¥ 
 
4. Conjunto 
*
−¢ os números negativos não nulos: 
   x Z| x < 0 = ...-3,-2,-1− = 
*¢ 
 
5. Conjuntos 
−¢ dos números inteiros não positivos: 
   x Z| x 0 = ...-3,-2,-1,0− =  ¢ 
 
 
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
É importante notar que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros. 
Em outras palavras, todo número inteiro é natural. Cuidado! Nem todo número inteiro é natural: todos os 
números negativos são inteiros, mas não são naturais. 
 
Adição de números naturais: 
Essa é uma operação fechada no conjunto dos naturais, ou seja, a adição de dois números naturais resulta 
em um número natural. 
Exemplo: 15 3 18+ = , ou seja, somando dois naturais, resultado natural. 
 
Propriedades 
Associativa: ( ) ( ) ( )a b c a b c b a c+ + = + + = + + 
Comutativa: a b b a+ = + 
Elemento Neutro: O zero é o elemento neutro da adição pois ao somarmos zero, o resultado não se altera. 
 
 
Multiplicação de números naturais 
A multiplicação no conjunto dos naturais também é uma operação fechada pois na multiplicação de 
quaisquer dois naturais, o resultado também é natural. 
Exemplo: 15 3 45 = , ou seja, multiplicando dois naturais, resultado natural. 
 
Propriedades: 
Comutativa: a b b a =  
Associativa: ( ) ( ) ( )a b c a b c b a c  =   =   
Distributiva: ( )a b c ab ac + = + e ( )a b c ab ac − = − 
Elemento Neutro: O elemento neutro da multiplicação é o um pois ao multiplicarmos um número por um, o 
resultado não se altera. 
 
 
Divisão de números naturais 
Na divisão de números naturais, nem todos os resultados são naturais. 
Exemplos: 15 3 5 = , porém, 5 2 2,5 = e 2,5 não é natural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
Adição e subtração com Inteiros 
A operação de subtração e adição entre números inteiros segue duas regras básicas: 
Um sinal de ( )+ na frente de um número mantém o seu sinal. 
Ex: 
 
( )
( )
8 8
5 5
+ =
+ − = −
 
 
 
Um sinal de ( )− na frente de um número inverte o seu sinal. 
Ex: 
 
( )
( )
8 8
5 5
− = −
− − = +
 
 
 
Operação entre números de sinais iguais: soma e conserva o sinal. 
Ex: 
8 5 13 13
8 5 13
+ = + =
− − = −
 
 
 
Operação entre números de sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do número de maior módulo. 
( )
( )
8 5 8 5 3 3
8 5 8 5 3
− = + − = + =
− + = − − = −
 
 
Prontinho! Com essas regras, você consegue fazer qualquer conta de adição e subtração entre inteiros. 
 
 
Multiplicação e divisão com Inteiros 
Assim como antes, devemos seguir algumas regras: 
Se a multiplicação ou divisão for entre números de mesmo sinal, o resultado será sempre positivo. 
Ex: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
15 3 15 3 45
15 3 15 3 45
15 3 15 3 5
15 3 15 3 5
 = +  =
−  − = +  =
 = +  =
−  − = +  =
 
 
Se a multiplicação ou divisão for entre números de sinais diferente, o resultado será sempre negativo. 
Ex: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
15 3 15 3 45
15 3 15 3 45
15 3 15 3 5
15 3 15 3 5
−  = −  = −
 − = −  = −
−  = −  = −
 − = −  = −
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
Exercícios 
 
1. Efetue as seguintes adiçõ es. 
a) 110 + 251. 
b) 225 + 312. 
c) 763 + 249. 
d) 1.258 + 2.407. 
e) 27 + 319 + 1.328. 
 
2. Efetue as subtrações abaixo: 
a) 379 − 125. 
b) 432 − 321. 
c) 1.278 − 1.154. 
d) 411 − 277. 
e) 1.007 − 328. 
 
3. Efetue: 
a) 234x2. 
b) 129x6. 
c) 23x21. 
d) 341x37. 
 
4. Determine o quociente das divisõ es a seguir. 
a) 44 : 2. 
b) 69 : 3. 
c) 72 : 4. 
d) 144 : 6. 
 
 
5. Quando Júlia tinha 7 anos, seu pai tinha 33 anos. Se hoje ela tem 11 anos, qual a soma da sua idade com 
a de seu pai? 
 
 
6. A soma de dois nú meros é 75. Se um deles é 31, qual é o outro? 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
7. Um engradado de refrigerantes comporta 6 garrafas. João conseguirá colocar 75 garrafas em 12 
engradados? 
 
8. Hugo, Zé e Luiz ajudaram descarregar um caminhã o de areia e receberam, juntos, 96 reais. Se eles 
dividiram igualmente, quanto cada um recebeu? 
 
 
9. Em um aeroporto, os passageiros devem submeter suas bagagens a uma das cinco máquinas de raio-
X disponíveis ao adentrarem a sala de embarque. Num dado instante, o tempo gasto por essas 
máquinas para escanear a bagagem de cada passageiro e o número de pessoas presentes em cada 
fila estão apresentados em um painel, como mostrado na figura. 
 
Um passageiro, ao chegar à sala de embarque desse aeroporto no instante indicado, visando esperar o 
menor tempo possível, deverá se dirigir à máquina: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
10. Uma professora de matemática organizou uma atividade associando um ábaco a três dados de 
diferentes formatos: um cubo com faces numeradas de 1 a 6, associadas à haste C, um octaedro com 
faces numeradas de 1 a 8, associadas à haste D, e um dodecaedro com faces numeradas de 1 a 12, 
associadas à haste U. Inicialmente, as hastes do ábaco encontram-se vazias. As letras C, D e U estão 
associadas a centenas, dezenas e unidades, respectivamente. A haste UM representa unidades de 
milhar. 
 
Regras do jogo: são jogados os três dados juntos e, a cada jogada, colocam-se bolinhas nas hastes, 
correspondendo às quantidades apresentadas nas faces voltadas para cima de cada dado, respeitando 
a condição "nunca dez", ou seja, em cada haste podem ficar, no máximo, nove bolinhas. Assim, toda 
vez que a quantidade de bolinhas em alguma haste for superior a nove, dez delas são retiradas dessa 
haste e uma bolinha é colocada na haste imediatamente á esquerda. Bolinhas, em quantidades iguais 
aos números obtidos na face superior dos dados, na segunda jogada, são acrescentadas às hastes 
correspondentes, que contêm o resultado da primeira jogada. 
 
Iniciada a atividade, um aluno jogou os dados duas vezes. Na primeira vez, as quantidades das faces 
voltadas para cima foram colocadas nas hastes. Nesta jogada, no cubo, no octaedro e no dodecaedro, 
as faces voltadas para cima foram, respectivamente, 6, 8 e 11 (Figura 1). 
 
Na segunda vez, o aluno jogou os dados e adicionou as quantidades correspondentes, nas respectivas 
hastes. O resultado está representado no ábaco da Figura 2. 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
 
De acordo com a descrição, as faces voltadas para cima no cubo, no octaedro e no dodecaedro, na 
segunda jogada, foram, respectivamente, 
a) 4, 2 e 9. 
b) 4, 3 e 9. 
c) 4, 3 e 10. 
d) 5, 3 e 10. 
e) 5, 4 e 9. 
 
 
 
 
7 
Matemática 
Gabarito 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
2. 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
− 
 
 
 
5. Se a idade de Júlia aumentou 11 - 7 = 4 anos, entã o a idade do seu pai também aumentou 4 anos e hoje 
ele tem 33 + 4 = 37 anos. Entã o a soma das idades é 11 + 33 = 44. 
 
6. O outro nú mero é 75 − 31 = 44. 
 
7. Não conseguirá, pois sobrarão 3 garrafas.11 
Matemática 
8. Cada um recebeu 96 : 3 = 32 reais. 
 
 
9. B 
O tempo de espera nas máquinas 1, 2, 3, 4 e 5 são, respectivamente, iguais a: 35 . 5 = 175s, 25 . 6 = 150s, 
22 . 7 = 154s, 40 . 4 = 160s e 20 . 8 = 160s. 
Portanto, o passageiro deverá se dirigir à máquina 2. 
 
10. A