CH2_cap3 Hidrodinamica

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Hidrodinâmica 3-1
3 HIDRODINÂMICA 
3.1 Definição 
A Hidrodinâmica tem por objeto o estudo do movimento dos fluidos. 
3.2 Vazão ou descarga 
Chama-se vazão ou descarga o volume do líquido que atravessa uma determinada 
seção na unidade de tempo. 
 Unidade: m3/s, l/s. 
3.3 Linha de corrente 
Linha de corrente é uma linha contínua traçada no líquido, que, no mesmo instante t 
considerado, mantém-se tangente em todos os pontos à velocidade V. 
 
linha de corrente ≡ trajetória da 
partícula 
 
 
 Figura 3.1 
3.4 Tubo de corrente 
É o tubo constituído por todas as linhas de corrente que passam por uma pequena 
curva fechada. 
Tem a propriedade de não poder ser atravessado por partículas do líquido, isto é, a 
sua parede pode ser considerada impermeável. 
 
Figura 3.2 
 
Hidrodinâmica 3-2
3.5 Classificação dos movimentos 
Seja um ponto de um escoamento, com as seguintes grandezas: 
ρ = massa específica 
v = velocidade 
p = pressão 
Se neste ponto essas grandezas forem constantes ao longo do tempo, diz-se que o 
movimento é permanente. 
Se pelo menos uma dessas grandezas variar com o tempo, o movimento é chamado 
de não-permanente. 
3.6 Equação da continuidade 
Seja P 1 o peso do líquido que entra na seção 1 do trecho de um tubo de corrente, no 
intervalo de tempo dt. 
Seja P2 o peso do líquido que sai da seção 2 no intervalo de tempo dt. 
Figura 3.3 
111
1111 ..
..
VA
dt
dlA
dt
P
γ
γ
== . (3.1) 
222
2222 ..
..
VA
dt
dlA
dt
P
γ
γ == (3.2) 
Se o movimento for permanente: 
P1 = P2 
 222111 .... vAvA γγ = (3.3) 
Se o líquido for incompressível: 
21 γγ = 
Então: 2211 .. vAvA = (3.4) 
Logo: AvQ .= (3.5) 
onde: Q = vazão; 
 v = velocidade média na seção; 
 A = área da seção transversal. 
Hidrodinâmica 3-3
3.7 Equação de Bernoulli (1772) 
Hipóteses para dedução da equação: 
• movimento permanente 
• escoamento sem viscosidade 
• líquido incompressível 
• escoamento em tubo de corrente 
 
Figura 3.4 
• Instante inicial → considera-se que as partículas estão contidas nas seções 1 e 2. 
• Decorrido o intervalo dt, as partículas da seção 1 ocupam a seção 1´ e as partículas da 
seção 2 ocupam a seção 2´. 
• Tudo acontece como se a massa dm1, saindo de 1-1´ passa para o lugar da massa dm2. 
• Conforme o Teorema da Energia Cinética: 
 ∑ trabalhos externos = variação da energia cinética 
 Trabalho: τ = F.d 
 121
2
2221222111 2
1
2
1
).(..... vdmvdmzzvoldldApdldAp −=−+− γ (3.6) 
 Porém: 
dm1ddm1 = ρ.dA1.dl1 111 dldAg
dm ⋅⋅= γ 
 
g
γ
ρ = 222 dldAg
dm ⋅⋅= γ 
 Então: 
2
121
2
22221222111 ...2
1
...
2
1
).(..... vdldA
g
vdldA
g
zzvoldldApdldAp
γγ
γ −=−+− (3.7) 
Dividindo-se ambos os membros pelo peso: 
 Peso = γ.vol = 1211 dldAdldA γγ = 
Hidrodinâmica 3-4
g
v
g
v
zz
pp 21
2
2
21
21
2
1
2
1 ⋅−⋅=−+−
γγ
 (3.8) 
Ordenando-se os índices, tem-se: 
g
vp
z
g
vp
z
22
2
22
2
11
1 ++=++ γγ
 (3.9) 
Dessa forma, ao longo de qualquer linha de corrente, é constante a soma das alturas 
geométrica (z), piezométrica (p/γ) e cinética (v2/2g). 
3.8 Extensão da equação de Bernoulli aos escoamentos reais 
Considerações: 
1. Tubo de corrente para tubo de seção finita 
- no tubo de corrente: 
g
v
2
2
 
- no tubo de seção finita: 
g
v
2
.
2
α 
α = coeficiente de correção do termo cinético, chamado de coeficiente de Coriolis. 
2. Escoamento líquido viscoso (com perda de energia) 
A Equação de Bernoulli para o escoamento real se escreve: 
H
g
vp
z
g
vp
z ∆+++=++
22
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1 αγ
α
γ
 (3.10) 
Significado das parcelas: 
z1 = energia potencial por unidade de peso ou carga geométrica ou carga de posição na 
 seção 1. 
=
γ
1p energia de pressão por unidade de peso ou carga piezométrica ou carga de pressão 
 na seção 1. 
=
g
v
2
2
1
1α energia cinética por unidade de peso ou carga cinética ou carga de velocidade na 
 seção 1. 
=∆Η perda de energia por unidade de peso ou perda de carga entre 1 e 2. 
3.9 Equação fundamental da Hidrodinâmica 
( )∫∫ +∂
∂=
∀ SCC
AdvdV
tDT
DN rr
ρηρη (3.11) 
N – propriedade extensiva que se estende a toda massa do sistema considerado. 
η - propriedade intensiva, relativa a unidade de massa. 
Hidrodinâmica 3-5
Figura 3.5 
Equação da conservação da massa na forma integral (instante t) 
Admitindo que N = massa = M 
No volume de controle: 
∫ ⋅⋅=
V
dVN ηρ 
 Como ρdV = dm, pode-se escrever a equação acima em termos de dm: 
∫∫ ==⋅=
MM
MdmdmN .ηηη ∴ η = 1 
 Sabe-se que não há variação de massa no tempo, ou matematicamente 0=
Dt
DM
. 
 Assim, substituindo η por 1, pode-se escrever a equação da conservação da massa 
da seguinte forma: 
( ) 0=+∀
∂
∂
∫∫
∀ SCC
Advd
t
rr
ρρ (3.12) 
Figura 3.6 
Regime permanente ⇒ 0=∀
∂
∂
∫
∀C
d
t
ρ ∴ ( ) 0=∫
SC
Adv
rr
ρ 
222111 .... AvAv ρρ = → fluido compressível 
221121 .. AvAv =→= ρρ → fluido incompressível 
3.10 Quantidade de Movimento 
2ª lei de Newton: 
vmN
r
.= (Quantidade de movimento) 
( )
Fam
Dt
vD
m
DT
vmD
Dt
DN rr
rr
==== .. (força resultante na direção do movimento) 
Hidrodinâmica 3-6
vddvdmvN
CCm
rrr =∴∀=∀== ∫∫∫
∀∀
ηρηρ 
Equação da Quantidade de Movimento na forma integral: 
∫ ∫
∀
+∀
∂
∂=
C SC
Advvdv
t
F )(
rrrrr ρρ (3.13) 
Regime permanente ⇒ 0.. =∀
∂
∂
∫
∀C
dv
t
r
ρ ∴ ( )∫=
SC
AdvvF
rrrr
...ρ 
Exemplo: Consideremos o escoamento permanente de um 
fluido através de uma curva convergente, cujo plano de 
simetria é vertical, conforme a figura. Admitir que nas seções 
de entrada (área A1) e saída (área A2), as propriedades 
pressão (p), velocidade (v) e massa específica (ρ) sejam 
uniformes e conhecidas. Pede-se determinar as componentes 
da força que o fluido exerce sobre o bloco de ancoragem. 
Solução: 
- Em relação ao eixo y: 
Equação da Quantidade de Movimento 
θρρρ cos.....).(.. 2
2
21
2
1 AvAvAdvvF
SC
yy +−== ∫
rr (I) 
Por outro lado, tem-se as forças externas: 
yy RApApF −−= θcos2211 (II) 
- Em relação ao eixo z: 
Q.M.: θρρ sen..)..(. 2
2
2 AvAdvvF
SC
zz == ∫
rr
 (III) 
Forças externas: zz RPApF +−−= θsen. 22 
Igualando (I) e (II): 
θρρθ cos.....cos 2
2
21
2
12211 AvAvRApAp y +−=−− 
Isolando Ry tem-se: 
θρρθ cos.....cos 2
2
21
2
12211 AvAvApApRy −+−= 
Igualando (III) e (IV): 
θρθ sen...sen 2
2
222 AvRPAp z =+−− 
Isolando Rz: 
θρθ sen...sen 2
2
222 AvPApRz ++= 
 
Hidrodinâmica 3-7
EXERCÍCIOS-EXEMPLOS 
3.1 
De uma pequena barragem, parte uma canalização 
de 250 mm de diâmetro, com poucos metros de 
extensão, havendo depois uma redução para 125 
mm, do qual a água passa para a atmosfera sob a 
forma de jato. A vazão foi medida, encontrando-se 
105 l/s. 
Calcular a pressão na seção inicial da tubulação de 
250 mm; a altura de água H na barragem; a 
potência bruta do jato. 
 Solução: 
 Bernoulli entre os pontos 1 e 2. 
0;
22 21
2
2
2
2
2
1
1
1 ==++=++ zz
g
v
z
p
g
v
z
p
γγ
 
02 =
γ
p
 
g
v
g
vp
22
2
1
2
2 −=
γ
 
 Eq. da continuidade: Q = v1.A1 = v2.A2 
smvmA /14,2
0491,0
105,0
0491,0
4
250,0
1
2
2
1 ==∴=
×= π 
smvmA /53,8
01227,0
105,0
0127,0
4
125,0
2
2
2
2 ==∴=
×= π 
m
p
48,3
81,92
14,253,8 221 =
×
−=
γ
 
 Bernoulli entre 1 e 3: 
H
g
vp
g
v
z
p
g
v
zp =+→++=++
222
2
11
2
3
3
3
2
1
1
1
γγγ
 
mHH 71,3 
81,92
14,2
48,3
2
=∴=
×
+ 
 Potência do jato: 
CVsmKgfHQP 2,5/. 55,38971,3105,0000.1.. ≅=××== γ 
3.2 
A figura representa um sifão. Se desprezarmos o atrito da água 
na mangueira, qual será a velocidade do jato livre no ponto C ? 
Qual a pressão no ponto B? 
Dados: ρ = 1000 kg/m3; g = 9,81 m/s2 
Hidrodinâmica 3-8
 Solução: 
1) Bernoulli entre A e C 
 
g
v
z
P
g
v
z
P C
C
CA
A
A
22
22
++=++
γγ
 
 mz
g
v
z C
C
C 5,2;2
0
2
−=+= 
smvzgvzgv CCCcc /0,75,281,92.2.2
2 ≅∴××==∴= 
2) pB = ? 
 Bernoulli entre B e C 
 
g
v
z
p
g
v
z
P C
C
CB
B
B
22
22
++=++
γγ
 
 Eq. da continuidade: 
vB.AT = vC.AT ; AT = Áreatubo 
g
v
g
v CB
22
22
= 
pC = patm 
BC
B
C
B
CB
B zz
p
z
p
zz
p −=∴=∴=+
γγγ
 
zC = - 2,5 m 
zB = 1,2 m 
pB = 1.000 x 9,81 x (-2,5 – 1,2) ∴ pB = -36.297 N/m2 
3.3 
Determinar a resultante dos esforços que uma curva divergente 
de 90º instalada em posição vertical, conforme a figura, recebe 
da água em escoamento permanente, sabendo-se que A1 = 1m
2, 
A2 = 2 m
2, p1 (pressão média em A1) = 2 kgf/cm
2; p2 (pressão 
média em A2) = 2,1 kgf/cm
2; peso específico da água (γ) = 
1.000 kgf/m3, V = (volume entre A1 e A2) = 5 m
3 e Q = 1m3/s. 
Solução: 
p1 = 2 kgf/cm
2 = 20.000 kgf/ m2 
p2 = 2,1 kgf/cm
2 = 21.000 kgf/ m2 
- Eq. da Quantidade de Movimento: 
( ) 11111 ..)).(.(.. vQAvvAdvvF yy ρρρ =−−== ∫
rv (I) 
( ) 22222 ..... vQAvvAdvvF xx ρρρ === ∫
rr
 (II) 
- Forças externas: 
Hidrodinâmica 3-9
yy RPApF +−−= 11 (III) 
xx RApF −−= 22 (IV) 
 (I) = (III) 
yRpApVQ +−−= 1111..ρ ; m/s 0,10,1
0,1
1
1
1 === A
Q
v 
000.10,50,1000.200,10,1
81,9
000.1
.. 1111 ×+×+××=++= PApVQRy ρ = 102 + 20.000 + 5.000 
Ry = 25.102 kgf 
 (II) = (IV) 
ρ.Q2 .v2 = -p2 .A2 – Rx 
51000.425,00,1
81,9
000.1
0,2000.21.. 2222 −−=××−×−=−−= VQApRx ρ 
Rx = - 42.051 kgf 
2222 102.25)051.42( +−=+= yx RRR ∴ R = 48.973 kgf 
 
3.4 
A bifurcação representada na figura tem seus eixos situados no plano horizontal e a água 
escoa no sentido indicado. Admitindo que o escoamento seja permanente e uniforme 
(propriedades constantes nas seções), determinar o valor da força F, exercida pelo fluido 
no bloco de ancoragem da bifurcação. 
 Dados: 
 seção 1: 
 γ = 1000 kgf/m3 
 Q1 = 2,0 m
3/s 
 D1 = 1,0 m 
 p1 = 12.000 Kgf/m
2 
 seção 2: 
 Q2 = 1,0 m
3/s 
 D2 = 0,7 m 
 p2 = 10.000 kgf/m
2 
Solução: 
( ) º45cos...2.... 22211 AvvAvAdvvF
SC
xx ρρρ +−== ∫
rr
 
RApApFy −−=
0
2211 45cos2 
-ρ.v1.Q1 + 2ρ.v2.Q2.cos45° = p1A1 – 2p2.A2.cos45° – 
R 
Hidrodinâmica 3-10
R = p1A1 – 2p2.A2.cos45° + ρ.v1.Q1 - 2ρ.v2.Q2.cos45° 
sm
A
Q
vmA /55,2
785,0
0,2
;785,0
4
0,1
1
1
1
2
2
1 ≅===
×= π 
sm
A
Q
vmA /60,2
385,0
0,1
;385,0
4
7,0
2
2
2
2
2
2 ≅===
×= π 
R = 12.000 x 0,785 – 2 x 10.000 x 0,385 x 0,707 + (1.000/9,81) x 2,55 x 2,0 – 2 x 
(1.000/9,81) x 2,60 x 1,0 x 0,707 
R = 9.420 – 5.444 + 520 – 375 = 4.121 ∴ R = 4.121 kgf 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
E3.1 
No esquema da figura, sabendo-se 
que a pressão no ponto A vale 2 bar, 
pede-se determinar a velocidade do 
jato no ponto B. Desprezar o atrito do 
fluido no interior do tubo. 
Dados: pA = 2 bar 
 g = 9,81 m/s2 
 1 bar = 105 Pa 
Pede-se: vB = ? 
Resp.: vB = 3,86 m/s 
E3.2 
Determinar a vazão Q (m3/s) que escoa em regime permanente através do bocal 
convergente onde ocorre uma perda de carga de 3 m.c.a. O fluido em escoamento é água 
com ρ = 1000 kg/m3. 
 São dados: 
 D1 = 15,2 cm; D2 = 7,6 cm 
 p1 = 2 bar; p2 = patm = 0 
 g = 9,8 m/s2 
 1 bar = 105 N/m2 
Resp.: Q = 0,0858 m3/s 
E3.3 
Tem-se água que flui em regime permanente para cima em um 
cano vertical de 01 m de diâmetro e através de um bocal de 0,05 m 
de diâmetro, sendo descarregada para a atmosfera (ver figura em 
anexo). A velocidade da corrente na saída do bocal deve ser de 20 
m/s. Calcular a pressão requerida na seção 1, supondo escoamento 
livre de fricção (utilizar SI). γágua = 9.810 N/m3 
 Resp.: p1 = 226,71 kN/m
2 
Hidrodinâmica 3-11
E3.4 
Água flui em escoamento permanente através do joelho redutor a 
90°, como mostrado na figura. Na entrada para o joelho, a 
pressão efetiva é 120 kPa e a área da seção transversal é de 0,01 
m2. Na saída, a área da seção transversal é de 0,0025 m2 e a 
velocidade, de 16 m/s. A pressão na saída é atmosférica. 
Determinar a força requerida para manter o joelho em posição. 
Resp.: Rx = 1.360 N ; Ry = -640 N 
E3.5 
Um jato de água (ρ = 1.000 kg/m3) com velocidade 
v = 30 m/s é desviado de 60° por um concha, 
conforme indicado na figura. A área do jato é A = 
10 cm2. Determinar a força que o jato aplica sobre 
a concha. 
Resp.: Rx = 450 N ; Ry = 779 N ; R = 900 N