AULA_01

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MUDE SUA VIDA! 
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SUMÁRIO 
MATEMÁTICA ..................................................................................................................................................... 2 
Dependência Entre Grandezas ............................................................................................................................ 2 
1. Grandezas .................................................................................................................................................... 2 
2. Razão ........................................................................................................................................................... 2 
3. Proporção .................................................................................................................................................... 3 
4. Divisão Proporcional .................................................................................................................................... 4 
5. Razão entre Áreas........................................................................................................................................ 5 
6. Razão entre Volumes ................................................................................................................................... 5 
7. Exercícios ..................................................................................................................................................... 5 
 
 
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MATEMÁTICA 
DEPENDÊNCIA ENTRE GRANDEZAS 
1. GRANDEZAS 
Grandeza é tudo aquilo que pode ser mensurado. 
 
As grandezas podem ser: 
 
Diretamente proporcionais 
Quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores 
correspondentes da 2ª 
 
Ex: A cada 1h um veículo percorre 60 Km 
 
1h → 60 Km 
 
2h → 120 Km 
 
Inversamente proporcionais 
Quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores 
correspondentes da 2ª. 
 
Ex: Uma bicicleta com velocidade de 5m/s percorre um trecho em 200s. Percorrendo o 
mesmo trecho com velocidade de 10 m/s, o seu tempo será de 100s 
 
5 m/s → 200s 
 
10 m/s → 100s 
 
2. RAZÃO 
Considera-se Razão o quociente entre duas grandezas, estando elas na mesma unidade. Ou 
seja, é a comparação entre dois números racionais, através de uma divisão. 
 
a : b = a/b 
 
Na razão, o número a é denominado antecedente e o número b é denominado 
consequente. 
 
Ex: Em um grupo de alunos, 20 são homens e 30, mulheres. 
 
Qual a razão entre a quantidade de homens e de mulheres? 
 
 
Qual a razão entre a quantidade de mulheres e o total de alunos? 
 
 
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Ex: Em uma pesquisa com os funcionários de uma empresa, constatou-se que 5/6 dos homes 
e 1/2 das mulheres usam óculos. Se nessa empresa a razão entre a quantidade de mulheres e de 
homens é de 2/3, qual a razão das pessoas que usam óculos, em relação a todos os funcionários? 
 
 
 
 
 
 
3. PROPORÇÃO 
Podemos chamar de proporção a igualdade entre duas razões. 
 
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam 
uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex: Encontre os valores de A e B, sabendo que: 
 
𝐴
3
=
𝐵
5
 e 𝐴 + 𝐵 = 48 
 
 
 
 
 
Ex: Encontre os valores de A e B e C, sabendo que: 
 
𝐴
2
=
𝐵
3
 =
𝐶
5
 e 3𝐴 + 4𝐵 + 2𝐶 = 56 
 
 
 
 
 
 
Ex: Encontre os valores de A e B, sabendo que: 
 
𝐴
𝐵
=
2
7
 e 𝐴 + 𝐵 = 36 
 
 
 
 
 
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A razão entre as idades de um pai e um filho é 5/2. Se o pai tinha 21 anos quando o filho 
nasceu, qual a idade do filho? 
 
 
 
 
 
 
4. DIVISÃO PROPORCIONAL 
➢ DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
É a decomposição de um número em partes proporcionais aos números divisores. 
 
Devemos observar a existência de uma constante de proporcionalidade. 
 
A soma dos produtos entre os divisores e a constante será igual ao número a ser dividido. 
 
 
Ex: Antônio, Bruno e Caio ganharam na loteria um prêmio de R$ 40.000,00. Eles decidiram 
dividir o prêmio em partes diretamente proporcionais ao valor que cada um contribuiu para a 
aposta. Sabendo-se que Antônio pagou R$ 2,00, Bruno, R$ 3,00 e Caio, R$ 5,00, quanto cada um 
receberá? 
 
 
 
 
➢ DIVISÃO EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Nesse caso, será a soma das divisões da constante pelos números divisores 
 
 
Ex: Um patrão dividirá um lucro de R$ 2.100,00 com seus dois empregados, Alberto e 
Bernardo, de maneira inversamente proporcional a quantidade de faltas que cada um teve durante 
o ano. Sabendo-se que Alberto faltou dois dias e Bernardo faltou 5, quanto cada um recebeu? 
 
 
 
 
➢ DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA 
 
É a divisão em simultaneamente partes diretamente e inversamente proporcionais. 
 
Com relação às partes diretamente proporcionais, multiplica-se a constante, e com as 
inversamente, a constante será dividida. 
 
 
 
 
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Ex: Dividir o número 870 em partes, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 2 e 3, e 
inversamente a 5 e 7 
 
 
 
 
 
 
5. RAZÃO ENTRE ÁREAS 
A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os 
comprimentos de qualquer lado correspondente dos dois polígonos. 
 
 
 
 
 
 
 
6. RAZÃO ENTRE VOLUMES 
A razão entre dois volumes semelhantes é igual ao cubo da razão entre os comprimentos de 
qualquer lado correspondente dos dois volumes. 
 
 
 
 
 
 
7. EXERCÍCIOS 
1. (DENFESORIA PÚBLICA RS – ANALISTA) A razão entre as alturas de dois irmãos era 3/4 e, 
nessa ocasião, a altura do irmão mais alto era 1,40 m. Hoje, esse irmão mais alto cresceu 10 
cm. Para que a razão entre a altura do irmão mais baixo e a altura do mais alto seja hoje, 
igual a 4/5, é necessário que o irmão mais baixo tenha crescido, nesse tempo, o equivalente 
a 
a) 13,5 cm. 
b) 10,0 cm. 
c) 12,5 cm. 
d) 14,8 cm. 
e) 15,0 cm. 
 
 
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(TJ RR – AUX. ADM) Marcos, Pedro e Paulo, servidores de um tribunal, dedicam, 
respectivamente, 10, 15 e 25 horas semanais a acompanhar o trâmite de processos. Assim, os 
processos que chegam ao tribunal semanalmente são distribuídos pelo chefe do setor para 
acompanhamento do trâmite por esses três servidores em quantidades diretamente proporcionais 
aos tempos que cada um deles dedica a essa atividade. Com base nessas informações, julgue os 
itens seguintes. 
 
2. Se, em determinada semana, Marcos e Paulo acompanharam, juntos, o trâmite de 98 
processos, então, nessa semana, deu entrada no tribunal mais de 150 processos. 
 
3. A tramitação de metade dos processos que chegam semanalmente ao tribunal será 
acompanhada por Paulo. 
 
4. Marcos acompanhará o trâmite de menos de 10% dos processos que chegam ao tribunal 
semanalmente. 
 
5. Caso, em determinada semana, cheguem 200 processos ao tribunal, Pedro acompanhará o 
trâmite de mais de 70 desses processos. 
 
6. (SMF/SP ISS - AUDITOR) Com o intuito de gratificar, por mérito, os funcionários de uma 
repartição pública, o valor a ser repartido com os 3 funcionários mais assíduos é de 
R$54.500,00. O maior prêmio será pago àquele que menos faltas tiver, e o menor ao terceiro 
com menor número de ausências, proporcionalmente. João faltou 1 dia, Angélica 3 e Samuel 
5. O valor recebido por Samuel será de 
a) R$7.512,30. 
b) R$7.108,70. 
c) R$7.006,90. 
d) R$6.987,30. 
e) R$6.807,50. 
 
7. (SEFAZ MS - AUDITOR) Um recipiente contém 5 litros de tinta vermelha. Substitui-se 1 litro 
do conteúdo do recipiente por 1 litro de tinta branca. Segue-se substituindo 1litro do 
conteúdo do recipiente por 1 litro de tinta branca. Sabendo-se que, após cada substituição, 
mistura-se o novo conteúdo transformando-o em uma mistura homogênea, quantos litros 
de tinta vermelha ainda restará no recipiente após a quarta substituição. 
a) 4 litros e 96 mililitros 
b) 3 litros e 64 mililitros 
c) 2 litros e 48 mililitros 
d) 1 litro e 64 mililitros 
e) 1 litro e 48 mililitros 
 
 
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8. (ALEMA - AG. ADM) Na família de Márcia, para cada dois homens há três mulheres e na 
família de Mauro, para cada três homens há cinco mulheres. A família de Márcia tem 25% a 
mais de pessoas do que a família de Mauro. No Natal do ano passado, as duas famílias se 
reuniram integralmente para a ceia no dia 24 de dezembro. Nesse dia, a razão entre as 
quantidades de homens e de mulheres foi 
a) 5/8 
b) 4/9 
c) 7/11 
d) 9/13 
e) 8/15 
 
9. (METRÔ SP - AG. SEGURANÇA) Em um vagão do metrô, com menos de 50 pessoas, a razão 
entre o número de homens e o número de mulheres é 5/7, nessa ordem. Na estação seguinte 
12 mulheres desceram e foi essa a única movimentação de pessoas. A partir desse fato, a 
razão citada que era 5/7 passou a ser 5/4. O total das pessoas que estavam no vagão, antes 
da parada, era um número 
a) maior do que 30 e menor do que 37. 
b) maior do que 15 e menor do que 30. 
c) maior do que 45 e menor do que 50. 
d) maior do que 37 e menor do que 45. 
e) maior do que 4 e menor do que 15. 
 
10. (PETROBRAS - TÉCNICO) Na lanchonete de seu João, vende-se “suco” de uva e “refresco” de 
uva, ambos preparados com água e um concentrado da fruta, mas em diferentes proporções. 
O “suco” é preparado com três partes de concentrado e duas partes de água, enquanto o 
“refresco” é obtido misturando-se uma parte de concentrado a três de água. Certa manhã, 
utilizando 19 litros de concentrado e 22 litros de água, seu João preparou x litros de “suco” 
e y litros de “refresco” de uva. A diferença entre essas quantidades, em litros, correspondeu 
a 
a) 9 
b) 10 
c) 11 
d) 12 
e) 13 
 
11. (CHESF - TÉCNICO) Sabendo-se que o triângulo, cujos lados medem 13 cm, 14 cm e 15 cm, 
tem área igual a 84 cm2, conclui-se que o triângulo, cujos lados medem 6,5 cm, 7 cm e 7,5 
cm, tem área, em cm2, igual a 
a) 42 
b) 26,25 
c) 24,375 
d) 22,75 
e) 21 
 
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12. (PETROBRAS - TÉCNICO) A final da Copa do mundo de 2014 foi disputada entre Alemanha 
e Argentina no Maracanã, que tem capacidade para 80 mil espectadores. Supondo-se que o 
estádio estivesse lotado, que exatamente 26 mil espectadores não fossem argentinos nem 
alemães, e que, para cada 5 alemães houvesse 7 argentinos, qual o total de argentinos 
presentes no estádio? 
a) 22.500 
b) 24.000 
c) 26.000 
d) 30.000 
e) 31.500 
 
13. 10 - (ALEMA - AG. ADM/2013) Para fazer uma miniatura de sorveteiro foram utilizados 120 
gramas de argila. Para fazer outra miniatura de sorveteiro, com exatamente as mesmas 
proporções da primeira e com a metade da altura, a quantidade necessária dessa argila, em 
gramas, é Q. O valor de Q é. 
a) 80 
b) 75 
c) 60 
d) 30 
e) 15 
 
14. (PETROBRAS - TÉCNICO) A Figura a seguir mostra duas maneiras de se pavimentar uma 
sala de formato retangular com tábuas corridas. As tábuas mais curtas, verticais, têm 25 cm 
de largura e as tábuas mais longas, horizontais, têm 15 cm de largura. 
 
 
 
A razão entre as dimensões da sala é 5:3, e são necessárias 24 tábuas curtas ou x tábuas 
longas para pavimentar a sala. O valor de x é 
a) 24 
b) 20 
c) 18 
d) 15 
e) 12 
 
 
GABARITO 
1 – E; 2 – E; 3 – C; 4 – E; 5 – E; 6 – B; 7 – C; 8 – C; 
9 – C; 10 – A; 11 – E; 12 – E; 13 – E; 14 – A; 
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