1 Lista Sequência

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1a Lista de Exercícios - Sequências
Disciplina: Cálculo II
Questão 1 Liste os cinco primeiros termos das sequências abaixo.
(a) an =
2n
n2 + 1
(d) a1 = 6, an+1 =
an
n
(b) an =
3n
1 + 2n
(e) a1 = 2, an+1 =
an
1 + an
(c) an =
3(−1)n
n!
(f) a1 = 2, a2 = 1, an+1 = an − an−1
Questão 2 Encontre uma fórmula para o termo geral an da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos
continue.
(a) {1, 13 ,
1
5 ,
1
7 ,
1
9 , · · ·} (b) {1,−
1
3 ,
1
9 ,−
1
27 ,
1
81 , · · ·} (c) {1, 0,−1, 0, 1, 0,−1, 0, · · ·}
Questão 3 Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(a) an = n
1
n
(d) an = cos
(
2
n
) (b) an =
(
1 +
1
n
)n
(e) an =
{
ln n
ln 2n
} (c) an =
3n+2
5n
(f) an =
n!
2n
Questão 4 Sejam nr, en, n!, nn, sendo a > 0 e r > 0. Determine o que acontece com sequências quando n→∞.
(a) bn = an
(d) bn =
nr
en
(b) bn =
en
n!
(e) bn =
n!
nn
Questão 5 Se você depositar $100 no final de cada mês em uma conta que paga juros de 3% ao ano com capitalização
mensal, o montante de juros acumulados após n meses é dado pela sequência
In = 100
(
1, 0025n − 1
0, 0025
− n
)
(a) Encontre os 6 primeiros termos da sequência.
(b) O quanto de juros você vai ter ganhado depois de dois anos?
Questão 6 Defina se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(a) an = (−2)n+1 (b) an =
2n− 3
3n+ 4n
(c) an = ne−n
Questão 7 (a) Se {an} for uma sequência convergente mostre que
lim
n→∞
an+1 = lim
n→∞
an
(b) Uma sequência {an} é definida por a1 = 1 e an+1 =
1
1 + an
para n ≥ 1. Suponha que {an} seja convergente. Encontre
seu limite.
Questão 8 Demonstre que se lim
n→∞
an = 0 e {bn} é limitada, então limn→∞(anbn) = 0