Ficha de Trabalho 09 - 12 Ano - Limites e Derivadas de Funcoes Trigonometricas e Osciladores Harmonicos (3)

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DIMENSÕES  •  Matemática A  •  12.o ano  •  Material fotocopiável  •  © Santillana
FichA de trABAlho 9 Limites	e	derivadas	de	funções		
	trigonométricas.	Gráficos	de	funções		
	e	osciladores	harmónicos
NOME: N.O: TURMA: DATA: 
1 Determine	os	seguintes	limites:
a)	 lim
x
3
"
r
tan x 
b)	 lim
x
6
"
r
 xtan
1
c)	 lim
x
3
"
r
cos 2x 
d)	 lim
x
4
"
r
cos 3x 
e)	 lim
x
2
"
r
(3 sin x + cos x)
f)	 lim
x
3
"
r
 
x
cos2 2 1-
ce m o
g)	 lim
x
2
"
r x
x xsin cos
4
+
 
h)	 lim
x
3
"
r
 
x
xtan
sin
1
4
+
i)	 lim
x 0" -
 
x
x
sin
1 3-
j)	 lim
x"r
 
x
xcos
cos 6
3
2
-
c m
k)	 lim
x
6
"
r
 (2 cos x) 2
1
 
l)	 lim
x" 3+
 
x
x
arcsin
4
1 2
2
2+
f p
m)	 lim
x" 3+
 
x
x
arccos
1
6
3+
d n
n)	 lim
x" 3+
 
x
x x
arctan
2 1
1000
3
3
- +
-
f p
2 Determine	os	seguintes	limites:
a)	 lim
x 0"
 x
xsin 4
b)	 lim
x 0"
 
x
xsin
2
2
c)	 lim
x 0"
 
x
xsin 3
2
2
d)	 lim
x 0"
 
x
xsin
4
3
e)	 lim
x 0"
 
x
xsin
b
a
, a, b ! 0
f)	 lim
x 0"
 x
xtan
g)	 lim
x 0"
 x
xtan 8
h)	 lim
x 0"
 x
x xtan3 +
i)	 lim
x 0"
 x
x x xtan 22 + -
 
j)	 lim
x 0"
 x
x xsin tan2 3 4-
k)	 lim
x 0"
 
x
xcos
4
1
2
-
l)	 lim
x 0"
 
x
x
tan
sin
4
m)	 lim
x 0"
 
x x
x x
sin
sin
3
4
+
+
n)	 lim
x 0"
 
x
x x
tan
sin3
2
o)	 lim
x 0"
 
x x x
x x x
cos sin
sin cos7
+
+
p)	 lim
x 0" +
 x
xcos1-
q)	 lim
x 0"
 arctan 
x
xsin
3
3
2
2_
f
i
p 
r)	 lim
x 0"
 arctan 
x
x
sin
cos
2
1
2
-
d n 
s)	 lim
x 0"
 
x x
x
sin
cos2 2-
t)	 lim
x" 3+
x
xsin
1
3
3 Determine	o	valor	de		a		de	modo	que		 lim
x 0"
 
x
xsin a
5 	=	-3	.	
4 Determine	os	seguintes	limites:
a)	 lim
x 0"
 
x
x
xsin
tan
2 1
2
+ +d n
b)	 lim
x"r
 
x
x x
cos
cos cos
1
2
-
-
c)	 lim
x 2"
 
( )x
x
sin2
2
r
-
d)	 lim
x
4
"
r
-
x
x x
cos
sin cos
2
+
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Fichas de trabalho
DIMENSÕES  •  Matemática A  •  12.o ano  •  Material fotocopiável  •  © Santillana
5 Determine	o	domínio	de		f(x)	=	
x
x
tan
sin
1- 	.	
6 Determine	o	valor	de		a		sabendo	que	a	função		f(x)	=	 x
x
x
x x
sin a
a
0
2 1 0
se
se2
1
H+ +
* 		é	contínua	em		IR	.
7 Considere	a	função		f(x)	=	cos x 4
r
+c m	-	1	.
7.1 determine o domínio e o contradomínio de f .
7.2 determine os zeros de f . 
7.3 resolva a equação 2f x 2
r
-c m + 4 = 0 . 
8 Determine,	caso	existam,	as	assíntotas	ao	gráfico	da	função		f(x)	=	
x x
x
sin cos
cos1-
+
	.				
9 Determine	a	derivada	de	primeira	ordem	das	funções	indicadas:
a)	 f(x) = x + 3 sin x
b)	 f(x) = x2 + 2 cos x
c)	 f(x) =x sin x
d)	 f(x) = sin x cos x 
e)	 f(x) = x
x
cos
sin
 
f)	 f(x) = x3 - 2 cos x + 2
3r
g)	 f(x) = (cos x - sin x)(-sin x - cos x) 
h)	 f(x) = 2x sin x - 2 cos x 
i)	 f(x) = x
xsin
 
j)	 f(x) = 3x tan x 
k)	 f(x) = x
xnta
 
l)	 f(x) = 4 cos x3 
m)	 f(x) = 5 sin3 x 
n)	 f(x) = (1 - cos x)3 
o)	 f(x) = (x + sin 2x)2 
p)	 f(x) = xcos1- 
q)	 f(x) = 
xsin
1
2 
r)	 f(x) = 2 cos x 6
r
-c m sin x 
10 Determine	a	equação	da	reta	tangente	ao	gráfico	de		f(x)	=	sin	x	+	cos	x		em		x	=	 2
r
	.		
11 Considere	a	função		f(x)	=	2	sin	x	,		definida	em		x	!	[0,	2r[	.
Determine	as	coordenadas	dos	pontos	do	gráfico	de		f		cuja	reta	tangente	é	igual	a		-1	.
12 Um	ponto		P		desloca-se	numa	reta	numérica	no	intervalo	de	tempo		I	=	[0,	60]		(em	segundos)		
de	tal	forma	que	a	sua	abcissa	é	dada	em	função	do	tempo		t !	I		por:
x(t)	=	2	cos	 t6 3
r r
+c m
12.1 indique a amplitude, a pulsação e a fase deste oscilador harmónico.
12.2 indique o período e a frequência do oscilador.
12.3 indique a abcissa do ponto P nos instantes t =	0 , t	=	16 , t	=	23 e t	=	48 .
12.4 determine o número de vezes que, neste intervalo de tempo, o ponto P passa na origem 
da reta numérica.
12.5 determine os intervalos de monotonia e os extremos relativos da função x .
13 Na	figura	ao	lado	está	representado	o	movimento		de	um	oscilador
	 harmónico		x		no	intervalo		[0,	8[	.		Sabe-se	que		A ,2
9
3d n	.	
13.1	 determine a amplitude A , a pulsação ~ , o período T e a fase { .
13.2 determine uma expressão analítica x(t) da função representada.
13.3 resolva a equação x(t) = 2
3
 .
FT9P2H1
0
x(t)
t
A
-3
3
1 4 8