Limites e Continuidade de Funções

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Limites e continuidade
Prof. José Geraldo
(Dated: 30 de agosto de 2020)
I. LIMITES
A. Limites envolvendo funções algébricas
1. Obtenha os valores dos limites abaixo, caso existam:
(a)
lim
y→−3
2−
√
y2 − 5
y + 3
(b)
lim
x→2
3−
√
x2 + 5
4− x2
(c)
lim
x→5+
3−
√
x2 − 16
x− 5
(d)
lim
x→−4
−3 +
√
x2 − 7
x2 + 3x− 4
(e)
lim
x→−3−
√
x2 − 9
x− 3
(f)
lim
x→2
√
x+ 2− 2
x2 − 4
(g)
lim
x→5
(10 + |x− 5|)
(h)
lim
t→−1
t+ 1
|t+ 1|
(i)
lim
x→1
3
√
2x− 1− 1√
x− 1
(j)
lim
x→∞
3x√
16x2 + 1
2
(k)
lim
t→∞
√
t2 + t+ 1− t
(l)
lim
x→∞
(
√
x+
√
x−
√
x−
√
x)
B. Teorema do confronto
1. Obtenha os valores dos limites abaixo, caso existam:
(a)
lim
t→0
t sen
1
t
(b)
lim
x→0+
√√
x+ x3 cos
π
x
(c)
lim
x→∞
3 cosx
x
(d)
lim
s→0
1
1 + e−s cos
2 1
s
(e)
lim
x→0
√
|x| cos
(
π1/x
2
)
2 +
√
x2 + 3
(f)
lim
x→0
x (−1)b1/xc
Lembrete: bwc denota o maior inteiro menor ou igual a w, i.e., se w ∈ [n, n+ 1], em que n é inteiro, então
bwc = n.
C. Limites envolvendo funções trigonométricas
1. Obtenha os valores dos limites abaixo, caso existam:
(a)
lim
x→0
cos
[
π tan (3x)
x
]
(b)
lim
x→0
1− secx
x2
3
(c)
lim
x→0
3x− sen (2x)
x+ sen (5x)
(d)
lim
x→π4
cos (2x)
cosx− senx
(e)
lim
x→0
√
1 + senx−
√
1− senx
x
(f)
lim
x→0
1− cosx
2x2
(g)
lim
s→0
cos (3s)− 1
s2
(h)
lim
θ→0
cos (3θ)− cos (7θ)
3θ2 + θ3
(i)
lim
s→0
sen (3s)
sen s
(j)
lim
x→π/2
(
x− π
2
)
tanx
D. Limites envolvendo funções exponenciais e logarítmicas
1. Obtenha os valores dos limites abaixo, caso existam:
(a)
lim
x→1+
3
√
x+ 1 ln(x+ 1)
(b)
lim
x→0
x
1 + 21/x
(c)
lim
t→−∞
ln
(√
3t2 + 6
5− 2t
)
(d)
lim
x→∞
−(x+ 1)
(
e
1
x+1 − 1
)
(e)
lim
x→∞
(
x
x+ 2
)x
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II. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
1. Sejam f e g as funções definidas por partes
f (x) =
{
x+ 1, se x 6= 0
3, se x = 0
, g (x) =

−x+ 1, se x < 0
−1, se x = 0
2x+ 1, se x > 0
(a) Determine os intervalos nos quais f é contínua.
(b) Determine os intervalos nos quais g é contínua.
(c) Determine os intervalos nos quais a função h (x) = f (x) + g (x) é contínua.
2. Sejam f e g as funções definidas por partes
f (x) =
{
x+ 1, se x 6= 0
3, se x = 0
, g (x) =
{
−x+ 1, se x 6= 0
−1, se x = 0
(a) Determine os intervalos nos quais f é contínua.
(b) Determine os intervalos nos quais g é contínua.
(c) Determine os intervalos nos quais a função h (x) = f (x) + g (x) é contínua.
3. Seja f a função definida por partes
f (x) =
{
9/x2, se x ≤ −3
3
√
4 + x, se x > −3
.
(a) Determine o seu domínio.
(b) Determine, analiticamente, os intervalos nos quais f é contínua.
4. Sabendo que as funções logarítmica e exponencial são contínuas nos seus respectivos domínios, calcule o seguinte
limite
lim
t→−∞
ln
(√
3x2 + 6
5− 2x
)
.
5. Sabendo que as funções trigonométricas são contínuas nos seus respectivos domínios, calcule o seguinte limite
lim
x→2
tg
(
π
3−
√
x2 + 5
4− x2
)
III. GRÁFICOS
1. Considere a função
f (x) =
x2
x4 − 1
(a) Obtenha o domínio de f .
(b) Encontre as equações das assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de f .
(c) Obtenha o modelo de comportamento final à esquerda e à direita do gráfico de f , caso existam.
(d) Em quais pontos o gráfico de f intercepta os eixos coordenados?
(e) Esboce o gráfico de f .
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2. Considere a função
f (x) =
x2 − x− 6
x2 − 7x+ 12
.
(a) Obtenha o domínio de f .
(b) Encontre as assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de f .
(c) Em quais pontos o gráfico de f intercepta os eixos coordenados?
(d) Esboce o gráfico de f .
3. Considere a função
f (x) =
x2
x− 1
.
(a) Obtenha o domínio de f .
(b) Encontre as equações das assíntotas verticais e horizontais ao gráfico de f .
(c) Obtenha o modelo de comportamento final à esquerda e à direita do gráfico de f .
(d) Em quais pontos o gráfico de f intercepta os eixos coordenados?
(e) Esboce o gráfico de f .