Cálculo Diferencial e Integral I - Atividade 1 (Módulo 54 - 2020)

Prévia do material em texto

Atividade 1 
O conceito de limites é uma das bases do cálculo, pois ele é referência para se definir 
derivadas e integrais. Além dos conceitos intuitivos de limites devemos conhecer 
propriedades e vários teoremas, entre eles destacamos o do confronto. Neste sentido, 
resolva a questão abaixo usando a ideia de função limitada e também o teorema do 
confronto. 
 
Sejam as funções de reais em reais com as seguintes características para todo valor x: 
|sin 𝑥| ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 3|𝑥| 
0 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1 + |sin 𝑥| 
 
I) Podemos afirmar que a função f é limitada inferiormente? Justifique. 
Para verificar se a função f é limitada inferiormente, é necessário analisar os valores que as 
funções |sin 𝑥| e 3|𝑥| podem assumir, ou seja, definir suas respectivas imagens. 
 
Seja ℎ(𝑥) = |sin 𝑥|, se −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1, então 0 ≤ | sin 𝑥 | ≤ 1. Desse modo, o conjunto 
imagem de h fica definido como 𝐼𝑚(ℎ) = {𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ ℎ(𝑥) ≤ 1}. 
 
Seja 𝑖(𝑥) = 3|𝑥|, o conjunto imagem de i fica definido como 𝐼𝑚(𝑖) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑖(𝑥) ≥ 0}. 
 
Dessa forma, pela união dos conjuntos 𝐼𝑚(ℎ) = {𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ ℎ(𝑥) ≤ 1} e 𝐼𝑚(𝑖) = {𝑥 ∈
ℝ|𝑖(𝑥) ≥ 0}, verificamos que o conjunto imagem de f é 𝑰𝒎(𝒇) = {𝒙 ∈ ℝ|𝒇(𝒙) ≥ 𝟎}. 
 
Assim, conclui-se que f possui valor mínimo igual a 0. Portanto, a função f é limitada 
inferiormente. 
 
II) A função g é limitada superiormente? Justifique. 
Utilizando-se um raciocínio análogo ao do item anterior, é necessário verificar a imagem da 
função 1 + |sin 𝑥| para determinar se g é limitada superiormente. 
 
 
Acadêmico: Joilson de Sousa Teixeira R.A. 19115506-5 
Curso: Licenciatura em Matemática Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
 
 
Se 0 ≤ | sin 𝑥 | ≤ 1, então 1 ≤ 1 + | sin 𝑥 | ≤ 2. 
 
Logo, se 0 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1 + |sin 𝑥| e 1 ≤ 1 + | sin 𝑥 | ≤ 2, então 𝟎 ≤ 𝒈(𝒙) ≤ 𝟐. 
 
Assim, conclui-se que g possui valor máximo igual a 2. Portanto, a função g é limitada 
superiormente. 
 
III) Determine o valor de 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝟑𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙). 
Inicialmente, é necessário achar o lim
𝑥→0
𝑓(𝑥). Para isso, é preciso a utilização do Teorema do 
Confronto. 
 
Sabendo que |sin 𝑥| ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 3|𝑥| , temos que encontrar lim
𝑥→0
|sin 𝑥| e lim
𝑥→0
3|𝑥|. 
 
Se lim
𝑥→0+
|sin 𝑥| = 0 e lim
𝑥→0−
|sin 𝑥| = 0, então 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
|𝐬𝐢𝐧 𝒙| = 𝟎. 
 
Se lim
𝑥→0+
3|𝑥| = 0 e lim
𝑥→0−
3|𝑥| = 0, então 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝟑|𝒙| = 𝟎. 
 
Portanto, pelo Teorema do Confronto, 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
𝐟(𝐱) = 𝟎. 
 
Sabendo que 0 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1 + |sin 𝑥|, temos que: 
0 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1 + |sin 𝑥|  (Multiplicando todos os membros por 𝑓(𝑥)) 
0 ≤ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥)|sin 𝑥|  (Multiplicando todos os membros por 3) 
0 ≤ 3𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ≤ 3𝑓(𝑥) + 3𝑓(𝑥)|sin 𝑥|  (Somando 2 cos 𝑥 em todos os membros) 
𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ≤ 𝟑𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ≤ 𝟑𝒇(𝒙) + 𝟑𝒇(𝒙)|𝐬𝐢𝐧 𝒙| + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 . 
 
Agora, temos que encontrar lim
x→0
 2 cos 𝑥 e lim
x→0
 (3𝑓(𝑥) + 3𝑓(𝑥)|sin 𝑥| + 2 cos 𝑥) 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟐 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟐 ⋅ 𝟏 = 𝟐 
 
𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
 (𝟑𝒇(𝒙) + 𝟑𝒇(𝒙)|𝐬𝐢𝐧 𝒙| + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
 𝟑𝒇(𝒙) + 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
 𝟑𝒇(𝒙)|𝐬𝐢𝐧 𝒙| + 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 
𝟑 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
𝒇(𝒙) + 𝟑 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
 𝒇(𝒙) ⋅ 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
|𝐬𝐢𝐧 𝒙| + 𝟐 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟑 ⋅ 𝟎 + 𝟑 ⋅ 𝟎 ⋅ 𝟎 + 𝟐 ⋅ 𝟏 = 𝟐 
 
 
Portanto, pelo Teorema do Confronto, 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎
(𝟑𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙) = 𝟐.