Barragens 2 - A27_ANÁLISE DE TENSÕES EM BARRAGENS DE CONCRETO GRAVIDADE DEVIDO

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COMITÊ BRASILEIRO DE BARRAGENS 
XXVII SEMINÁRIO NACIONAL DE GRANDES BARRAGENS 
BELÉM – PA, 03 A 07 DE JUNHO DE 2007 
T100 – A27 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 1 
ANÁLISE DE TENSÕES EM BARRAGENS DE CONCRETO GRAVIDADE DEVIDO 
À AÇÃO DO PESO PRÓPRIO E DA FORÇA HIDROSTÁTICA 
 
Paulo Marcelo Vieira RIBEIRO 
Doutorando – Universidade de Brasília. 
 
Carlos Augusto Elias MELO 
Bolsista de IC - PIC/CNPq – Universidade de Brasília. 
 
Silvio CALDAS 
Engº Civil - ELETRONORTE 
 
Lineu José PEDROSO. 
Professor – Universidade de Brasília. 
 
 
RESUMO 
 
Este trabalho tem como objetivo analisar as tensões em três seções de uma 
barragem de concreto gravidade quando submetidas a ações devido ao peso próprio 
e a força hidrostática. A análise será feita por meio da formulação analítica 
aproximada (Método da Gravidade) proposta pelo USBR (1976), através do 
programa CADAM e pelo Método dos Elementos Finitos, através do programa 
ANSYS. Estes resultados são comparados com a finalidade de se verificar a 
correlação entre a formulação analítica aproximada e o Método dos Elementos 
Finitos. 
 
 
ABSTRACT 
 
This paper presents stress analysis at three cross sections of a concrete gravity dam 
when submitted to actions due to self-weight and hydrostatic loads. These analysis 
were done through an analytical simplified procedure proposed by USBR (1976), 
using CADAM computer program and through Finite Element Method, using ANSYS 
computer program. Analytical procedure and Finite Element Method results will be 
compared with the purpose of verifying the approximations between these two 
methods. 
 
 
 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 2 
1. INTRODUÇÃO 
 
A grande quantidade de água armazenada em uma barragem torna catastrófico o 
cenário de uma eventual ruptura. Projeto, cálculo e execução rigorosos são 
necessários para a concepção deste tipo de estrutura. Com a preocupação de evitar 
qualquer tipo de falha, os métodos de avaliação de segurança dessas estruturas 
evoluem de cálculos intuitivos de tensões até sofisticados métodos numéricos. 
 
Uma análise sistemática e simplificada pode ser feita utilizando o chamado Método 
da Gravidade, proposto pelo United States Bureau of Reclamation (1976). A 
formulação desse método proporciona um meio direto para o cálculo de tensões em 
qualquer ponto de uma seção transversal de uma barragem de concreto gravidade, 
aspecto confirmado pela rededução das equações propostas nesta formulação [1]. 
 
Este método tem se mostrado uma eficiente ferramenta de cálculo e os resultados 
obtidos através do mesmo apresentam um excelente acordo quando comparados 
com método mais refinados de cálculo, como por exemplo, o Método dos Elementos 
Finitos, desde que as seções de análise sejam adequadamente escolhidas (longe de 
pontos singulares com concentrações de tensões). 
 
 
2. ANÁLISE DE TENSÕES 
 
Para facilitar a análise de estruturas complexas, como o caso de barragens, é 
comum buscar algum modelo estrutural de compreensão mais simples que possa 
representar adequadamente o seu comportamento estrutural. No caso de barragens 
que têm o seu peso como fator estabilizante e em geral apresentam comprimento 
como dimensão predominante, é justificada a análise do corpo da barragem através 
de uma ou mais seções transversais representativas. Assim, a complexidade do 
tratamento da estrutura é reduzida de um problema 3D para uma problema de 
estado plano de deformações (Figura 1) [2]. 
 
 
 
FIGURA 1: Seção Transversal 2D [2]. 
 
 
O modelo estrutural que mais se assemelha ao problema em questão é o de uma 
viga engastada-livre. O Método da Gravidade (MG) considera a barragem como uma 
viga perfeitamente engastada na fundação. Essa aproximação é a favor da 
segurança, mas pode gerar imprecisões na análise de regiões próximas à fundação 
 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 3 
por não representar adequadamente o comportamento correto da interação 
barragem-fundação [2]. 
 
A Resistência dos Materiais mostra que a análise de tensões em vigas esbeltas 
(vigas em que a relação entre a altura e o comprimento da viga é menor que 20%) 
não é suficiente para a compreensão do comportamento das tensões no corpo de 
vigas profundas, modelo mais próximo de uma barragem, pois as seções 
transversais não permanecem planas na flexão e as deformações cisalhantes não 
podem ser desprezadas. 
 
Por conseguinte, deve-se recorrer a um modelo de viga (Vigas de Timoshenko) que 
leve em conta os efeitos adicionais que não ocorrem em vigas esbeltas. 
 
Para se fazer a análise de tensões toma-se uma seção horizontal (junta) de largura 
T, e calcula-se todas as forças atuantes acima desta seção, obtendo-se as 
resultantes dos esforços tangenciais ( V∑ ), normais ( W∑ ) e momentos fletores 
( M∑ ) (Figura 2) [3]. 
 
Operando-se com o mesmo procedimento nas diversas seções horizontais da 
barragem é possível se obter o campo de tensões ao longo da mesma. 
 
 
FIGURA 2: (a) Perfil de barragem com cargas usuais; (b) Resultantes dos esforços 
normais, cisalhantes e fletores na seção em estudo. 
 
 
3. MÉTODO DA GRAVIDADE 
 
Este método analítico, proposto pelo United States Bureau of Reclamation em 1976, 
é utilizado para estudos preliminares em barragens de gravidade, dependendo da 
fase do projeto e da informação necessária [4]. 
 
O então conhecido Método de Gravidade proporciona um meio aproximado para a 
determinação de tensões em seções transversais de uma barragem de concreto 
gravidade. Ele pode ser aplicado para barragens com inclinações constantes ou 
variáveis (a montante e/ou jusante). As equações fornecidas de forma padronizada, 
com ilustrações mostrando o cálculo de tensões normais e cisalhantes em planos 
 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 4 
horizontais e verticais, além das tensões principais, para situações de reservatório 
cheio e vazio, incluindo os efeitos do reservatório a jusante e de terremotos foram 
objeto de trabalhos anteriores [1,5]. 
 
As equações para o cálculo de tensões ao longo da seção são baseadas nas 
hipóteses de uma distribuição linear de tensões normais verticais, em uma 
distribuição parabólica de tensões cisalhantes e em uma distribuição polinomial de 
grau 3 de tensões normais horizontais. As Equações 1, 2 e 3 definem a variação 
dessas tensões ao longo de uma seção transversal qualquer [1,6]. 
( )Z y a b yσ = + ⋅ (1)
( ) 21 1 1ZY y a b y c yτ = + ⋅ + ⋅ (2)
( ) 2 32 2 2 2Y y a b y c y d yσ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ (3)
 
A dedução e cálculo destes coeficientes são encontrados em trabalhos anteriores 
[1,5]. 
 
 
4. EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
 
Dois perfis típicos de barragens serão analisados. O primeiro representa um perfil 
típico de barragem (denominado Tinawi) de 55 metros de altura. Esse perfil e seus 
carregamentos estão ilustrados na Figura 3. Para esse perfil, calculou-se os 
esforços atuantes pelo Método da Gravidade, utilizando o programa CADAM, e pelo 
Método dos Elementos Finitos, utilizando o programa ANSYS, em três seções 
transversais (elevações de 15m, 30m e 45m), comparando-se entre si os resultados 
dessa análise. O segundo perfil representa a barragem de Koyna, na Índia, bastante 
estudada em todo o mundo pelo fato de ter sucumbido após um sismo induzido pelo 
enchimento de seu reservatório em 1967. Esse perfil e seus carregamentos estão 
ilustrados na Figura 4. Nessa análise, representou-se o campo de tensões obtido 
pelo MG no interior da barragem. 
 
Para as duas análises considerou-se o pelo específico do concreto igual a 24 kN/m3 
e o peso específico da água igual a 9,81 kN/m3. A convenção de sinais adotada está 
representada na Figura 5 [7]. 
 
 
FIGURA 3: Perfil fictício de barragem denominado Tinawi e esforços devido ao peso 
próprio W e a força hidrostática FHS. 
 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 5 
 
FIGURA 4: Perfil da barragem de Koyna e esforços atuantes: peso próprio W e força 
hidrostática FHS. 
 
 
 
 
FIGURA 5: Convenção de sinais adotada. 
 
 
5.RESULTADOS 
 
A Tabela 1 mostra os valores dos esforços atuantes nas seções transversais 
analisadas. Estes valores foram obtidos analiticamente, através do diagrama de 
corpo livre da parte da barragem situada acima da seção considerada. 
 
z (m) Peso Próprio (kN) Forças Hidrostáticas (kN) Momento Fletor (kN.m)
15 17687 -7848 5215 
30 7181 -3066 3059 
45 1442 -491 550 
TABELA1: Esforços Estáticos [7]. 
 
 
Utilizando as equações do Método da Gravidade [1,5], obtem-se as tensões Zσ , ZYτ 
e Yσ para as elevações em estudo (Equações 4 a 12) [7]. 
 
• Elevação 15 m: 
 
( ) 461,1029 1, 28689Z y yσ = + ⋅ (4)
( ) 2414,99116 10,13377 0,03386ZY y y yτ = + ⋅ − ⋅ (5)
 
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( ) 2 3373, 49205 1,90644 0,06188 0,00065Y y y y yσ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ (6)
 
• Elevação 30 m: 
 
( ) 277,51730 3,0171Z y yσ = − ⋅ (7)
( ) 2249,76557 8,6667 0,09533ZY y y yτ = − ⋅ − ⋅ (8)
( ) 2 3224,78901 3,1457 0,1575 0,00258Y y y y yσ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ (9)
 
• Elevação 45 m: 
 
( ) 115, 21991 7,70041Z y yσ = + ⋅ (10)
( ) 2103,69792 11,05286 0,01445ZY y y yτ = − ⋅ − ⋅ (11)
( ) 2 393,32813 4,94288 1,19923 0,0659Y y y y yσ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ (12)
 
As Tabelas 2, 3 e 4 mostram os resultados nos paramentos de montante e jusante 
obtidos pelo Método da Gravidade, através de cálculos manuais (formulação 
analítica) e pelo programa CADAM, que utiliza rotinas baseadas nesse método e 
pelo programa ANSYS, através do Método dos Elementos Finitos. 
 
 Analítico CADAM ANSYS 
z (m) montante jusante montante jusante Montante jusante 
15 508 461 508 461 514 359 
30 346 277 346 277 363 294 
45 188 115 188 115 182 109 
TABELA 2: Resultados obtidos pelo MG e pelo MEF para a tensão Zσ em kPa [7]. 
 
 
 Analítico CADAM ANSYS 
z (m) montante jusante montante jusante Montante jusante 
15 0 414 0 414 0 323 
30 0 249 0 249 0 265 
45 0 103 0 103 0 100 
TABELA 3: Resultados obtidos pelo MG e pelo MEF para a tensão ZYτ em kPa [7]. 
 
 
 Analítico ANSYS 
z (m) montante jusante montante Jusante 
15 392 373 392 290 
30 245 224 245 238 
45 98 93 98 89 
TABELA 4: Resultados obtidos pelo MG e pelo MEF para a tensão Yσ em kPa [7]. 
 
 
As Figuras a seguir ilustram a variação as tensões obtidas analiticamente e pelo 
programa ANSYS ao longo das seções transversais em estudo [7]. Pela convenção 
da Figura 2b, a origem (y=0) da seção horizontal está à jusante. 
 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 7 
• Elevação 15m: 
 
 
FIGURA 6: Variação da tensão zσ na seção 15z m= . 
 
 
 
FIGURA 7: Variação da tensão ZYτ na seção 15z m= . 
 
 
 
FIGURA 8: Variação da tensão Yσ na seção 15z m= . 
 
 
 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 8 
Nessa seção, a mais próxima da fundação, pode-se observar uma limitação do 
Método da Gravidade. Percebe-se que a concentração de tensões provenientes do 
engaste é mal representada pelo MG. Isso acontece porque a Teoria de Vigas, 
utilizada no MG, nessa região, não é mais válida, ou seja, a formulação na qual se 
baseia o MG não permite capturar e reproduzir os efeitos observados nesta zona. 
 
• Elevação 30m: 
 
 
FIGURA 9: Variação da tensão zσ na seção 30z m= . 
 
 
 
FIGURA 10: Variação da tensão ZYτ na seção 30z m= . 
 
 
 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 9 
 
FIGURA 11: Variação da tensão Yσ na seção 30z m= . 
 
 
Para essa seção, pode-se observar a precisão do MG e verifica que os maus 
resultados obtidas na análise da seção anterior ficaram limitados à região onde os 
fundamentos da Teoria de Vigas não se aplicam mais, ou seja, confinados a zonas 
onde há concentração de tensões oriundas de singularidades típicas bem 
conhecidas da elasticidade 2D. 
 
• Elevação 45m: 
 
 
FIGURA 12: Variação da tensão zσ na seção 45z m= . 
 
 
 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 10 
 
FIGURA 13: Variação da tensão ZYτ na seção 45z m= . 
 
 
 
FIGURA 14: Variação da tensão Yσ na seção 45z m= . 
 
 
Nessa seção, observam-se ainda os bons resultados do MG, apesar da proximidade 
um ponto de singularidade - a variação de geometria. Assim, pode-se comprovar 
que a limitação do MG é localizada, representando mal os efeitos de concentração 
de tensões em pontos angulares, cargas concentradas, engastes, variação brusca 
de geometria e etc., não se estendendo, portanto por uma região muito ampla do 
corpo da barragem. 
 
As Figuras 15, 16 e 17 ilustram o campo de tensões (obtidos pelo Método da 
Gravidade) para o 2° caso estudado - a barragem de Koyna. 
 
 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 11 
 
FIGURA 15: Campo de tensões Zσ (em kPa) para a barragem de Koyna. 
 
 
Analisando-se a Figura 15, observa-se que a tensão Zσ é maior junto à base da 
barragem. Isso pode ser atribuído pela grande influência que o peso próprio da 
barragem tem nessa tensão ( Zσ ). Observa-se também, uma concentração de 
tensões junto à parte mais a direita da base da barragem. Essa concentração de 
tensões pode ser proveniente das singularidades existentes nessa região - ponto 
angular e engaste. Há também o efeito da força hidrostática que age no sentido de 
girar a barragem em relação ao ponto da base mais a jusante, aumentando as 
tensões nesse ponto. 
 
FIGURA 16: Campo de tensões ZYτ (em kPa) para a barragem de Koyna. 
 
 
XXVII Seminário Nacional de Grandes Barragens 12 
Na Figura 16, observa-se que a tensão ZYτ é igual à zero no paramento de 
montante, onde a inclinação é igual à zero, e aumenta à medida que se aproxima do 
paramento de jusante, atingindo seus maiores valores na face de jusante onde há a 
maior inclinação. Esse fato também pode ser observado nos gráficos das Figuras 7, 
10 e 13. 
 
 
FIGURA 17: Campo de tensões Yσ (em kPa) para a barragem de Koyna. 
 
 
Analisando a Figura 17, observa-se que a tensão Yσ varia muito pouco ao longo de 
uma seção transversal, como pode ser visto também nas Figuras 11 e 14. 
 
 
6. CONCLUSÕES 
 
A comparação dos resultados obtidos na análise através do Método da Gravidade e 
do Método dos Elementos Finitos mostrou que o MG é uma importante ferramenta 
para o cálculo preliminar de tensões em barragens de concreto gravidade. Exceção 
deve ser feita para regiões próximas a singularidades, onde os fundamentos da 
Teoria de Vigas não são aplicáveis. Isto pode ser observado na análise da seção de 
elevação 15m (Figuras 6, 7 e 8), onde grandes diferenças foram encontradas, 
comprometendo a precisão deste Método naquela região. 
 
Para as seções distantes de zonas de singularidades, como aquelas de elevação 
30m e 45m, o Método da Gravidade reproduziu com excelente precisão o 
comportamento das tensões e, portanto, pode apresentar-se como um processo 
válido e eficaz para o cálculo de tensões em barragens de concreto gravidade; em 
particular quando se trata de uma análise preliminar na fase de projeto e/ou 
verificação dos coeficientes de segurança ou indicadores de performance de uma 
barragem. 
 
 
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7. AGRADECIMENTOS 
 
Os autores agradecem à ELETRONORTE e ao CNPq pelos recursos materiais 
(equipamentos) e financeiros (bolsas) colocados à disposição desta pesquisa. 
 
 
8. PALAVRAS-CHAVE 
 
Método Pseudo-Dinâmico, Método Pseudo-Dinâmico Modificado, Barragens de 
Concreto, Tensões, Analise Sísmica. 
 
 
9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
[1] RIBEIRO, P.M.V. e PEDROSO, L.J. (2006) - "Rededução das Equações Gerais 
para o Cálculo de Esforços e Tensões em um Perfil de Barragem Gravidade de 
Concreto (efeitos estáticos e sísmicos)." 140p. Brasília: UnB-FT / ENC / GDFE, 
(Rel. Téc. de Pesquisa; RTP-PMVR2-03/2006). 
 
[2] PEDROSO, L. J. (2002) - "Barragens de concreto: aspectos gerais e 
fundamentos do cálculo de tensões e da estabilidade baseado no Método da 
Gravidade." Apostila do mini-curso de extensão da Semana de Engenharia 
Civil. Brasília: Universidade de Brasília. 
 
[3] SOUSA JR., L. C., ALIVERTI, M. V. e PEDROSO, L. J. (2004) - "Análise 
Estática de Tensões em Barragens Gravidade de Concreto."20p. Jornadas 
Sud-Americanas de Engeniería Structural. Mendonza, Argentina. 
 
[4] RIBEIRO, P. M. V., SILVA, C. S., ARIMA, T. S. e PEDRSO, L. J. (2005) - 
"Estudo analítico numérico de esforços e tensões em barragens gravidade de 
concreto." XXVI Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in 
Engineering. 
 
[5] RIBEIRO, P.M.V. (2006) – “Uma metodologia analítica para a avaliação do 
campo de tensões em barragens de concreto durante terremotos". Dissertação 
de Mestrado, Universidade de Brasília, 139p. 
 
[6] USBR (United States Bureau of Reclamation), (1976) - "Design of gravity 
dams." United States Department of the Interior – Bureau of Reclamation. 
 
[7] MELO, C.A.E. e PEDROSO, J.L. (2005) - "Avaliação Preliminar da Segurança 
Sísmica de Barragens de Concreto-Gravidade pelo Método do Coeficiente 
Sísmico." 25p. Brasília: UnB-FT / ENC / GDFE, 2005. 25 p. (Rel. Téc. de IC; 
RTIC-CAEM05-11/2005).