MATEMATICA FINANCEIRA IMPRIMIR (1)

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PROF . RONALDO BRITO 
 
 
A matemática financeira está presente em nosso cotidiano de forma direta ou indireta. Quanto 
mais dominarmos esse assunto, maiores serão os benefícios que teremos, tanto para ganhar 
dinheiro como para evitar perdê-lo. Como por exemplo, na escolha do melhor financiamento de 
um bem ou onde fazer aplicações financeiras. 
 
TAXA PORCENTUAL 
 
Também está presente nas situações de crédito, débito, empréstimo, aumento, desconto, 
aplicações, rendimentos, entre outros. Todos esses produtos requerem o uso de cálculos 
relacionados à utilização de taxas de juros, que representa a quantidade de unidades a serem 
calculadas em cada 100 partes. Em virtude disso, destacamos nos valores de taxa, o símbolo %, 
que significa por cento. 
 
Exemplo 
 
1 - Na cidade de Serra Talhada ,foi feita uma pesquisa sobre o meio de transporte utilizado pelos 
alunos para chegarem à escola. Responderam à essa pergunta 2000 alunos. 42% 
responderam que vão de carro, 25% responderam que vão de moto, e o restante de ônibus. 
Calcule todas as porcentagens possíveis. 
 
 
2 - Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em 
gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? 
 
. 
 
3 - Uma loja lança uma promoção de 10% de desconto no preço dos seus produtos. Se uma 
mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar? 
 
 
4 - Segundo a ANP (Agência Nacional de Petróleo) , em certas regiões do país a gasolina é 
considerada de "boa qualidade" quando apresenta em sua composição no máximo 25 % de 
álcool anidro. O proprietário de um posto de abastecimento da cidade de Serra Talhada , adquire 
o conteúdo de dois caminhões tanque idênticos, com misturas álcool - gasolina em 
concentrações diferentes. A razão entre o volume de álcool e o volume de gasolina no primeiro 
caminhão é 1/5 e no segundo é 1/3. Os dois caminhões descarregam sua carga no reservatório 
do posto, que estava inicialmente vazio, originando assim a gasolina que será comercializada. A 
gasolina obtida é de "boa qualidade", conforme o critério estabelecido pela ANP ? Explique seu 
raciocínio. 
 
 
5 - Misturam-se 30 litros de álcool com 20 litros de gasolina. 
a) Calcule a porcentagem de gasolina na mistura. 
b) Calcule a porcentagem de álcool na mistura. 
 
 
6 - Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. Determine a porcentagem de lâmpadas 
defeituosas. 
 
 
7 - De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a 
taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de reprovados. 
 
 
8 - Um grande incêndio destruiu 30% da mata virgem de uma floresta. Considerando-se que 
20% da área total da floresta, é constituída de rios e lagos e o restante somente de mata virgem, 
calcule o percentual da área destruída pelo fogo. 
 
 
9 - Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria 
a custar? 
 
 
10 - Uma bolsa é vendida por R$32,00. Se seu preço fosse descontado em 20%, quanto 
passaria a custar ? 
 
 
 
 
AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS 
 
A economia de um país está suscetível a situações impostas pelo mercado mundial, pois há um 
vínculo entre as atividades econômicas desenvolvidas por diferentes países. Atualmente os 
empresários buscam inúmeras alternativas de convencer o consumidor a optar por seus 
produtos, inúmeras promoções são realizadas, várias opções de pagamento são oferecidas, 
diversas taxas de juros são utilizadas entre outras jogadas comerciais. 
 
 
 
 
Exemplo 
 
1 - Entre os especialistas do mercado automobilístico, é consenso que um automóvel zero quilômetro 
sofre uma depreciação de 15% ao ano nos 3 primeiros anos, estabilizando-se num patamar inferior a 
esse nos anos seguintes. Se hoje um veículo custa R$ 24.000,00; qual será seu valor daqui a 3 anos, 
segundo a opinião desses especialistas? 
 
 
 
2 - Uma duplicata sofreu descontos sucessivos de 20% e 10% e ficou reduzida a R$ 720,00. 
Encontre o valor nominal da duplicata. 
 
 
LUCRO E PREJUIZO 
 
Todo comerciante compra uma certa Mercadoria por um determinado preço, que é chamado de 
preço de custo, e em seguida, efetua a revenda do mesmo com lucro ou prejuízo, dependendo 
do preço que a mercadoria foi passada ao mercado consumidor. 
 
 
 
1 - Ao vender uma mercadoria, um indivíduo teve lucro de 40% em relação ao preço de venda. 
Qual foi a porcentagem do lucro em relação ao preço de custo. 
 
 
2 - Um objeto, ao ser negociado, foi vendido por R$10.000,00 , com prejuízo de 20% do preço de 
compra original. Por quanto o objeto havia sido comprado? 
 
 
 
3 - Ao vender uma mercadoria, um indivíduo teve lucro de 40% em relação ao preço de venda. 
Qual foi a porcentagem do lucro em relação ao preço de custo. 
 
 
4 - Um objeto, ao ser negociado, foi vendido por R$10.000,00 , com prejuízo de 20% do preço de 
compra original. Por quanto o objeto havia sido comprado? 
 
 
5 - Um comerciante compra um produto por R$28,00 a unidade e o revende com um lucro igual 
a 20% do preço de venda.? Qual o preço de venda do produto? E se o lucro fosse de 20% do 
preço de custo? 
 
 
6 - Ao vender um produto por R$520,00 um comerciante obtém lucro de 30% sobre o preço que 
pagou pelo produto. Qual é o preço de compra desse produto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA – JUROS 
 
Conceitos : Na experiência prática, o conceito de juros, se encontra associado a quantias 
monetárias, representando a remuneração ganha ao emprestar ou o custo pago ao tomar um 
emprestado, tendo transcorrido certo período que pode ser um dia, um mês, um ano etc. 
Unidades 
 12% ao ano = 12% a.a. 
 14% ao semestre = 14% a.m. 
 1% ao mês = a.m. 
 
 
Taxa Diária (ao dia) a.d 
Taxa Quinzenal (a quinzena) a.qi. 
Taxa Mensal (ao mês) a.m. 
Taxa Bimestral (ao bimestre) a.b. 
Taxa Trimestral (ao trimestre) a.t. 
 
 
Juros Simples: 
 
Juros Simples: Nessa hipótese os juros de cada período são calculados sempre em função do 
capital inicial empregado. 
 
Exemplo: 
Qual o montante acumulado em 3 meses a uma taxa de 20% a.m., no regime de juros simples, a 
partir de um capital inicial de R$ 10.000,00? 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
1 - A importância de R$ 600,00 é aplicada numa instituição financeira à taxa de 6% ao 
mês (a.m.), durante 3 meses. Qual o montante após esse tempo ? 
 
 
2 - Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8%a.m., triplica em que prazo ? 
 
 
3 - Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa de juros simples de 
120% a.a...Calcule o montante obtido : 
 
 
 
 
 
 
Juros Compostos 
 
O valor dos juros de cada período é obtido pela aplicação da taxa de juros sobre o Saldo 
existente no início período: O Mercado Financeiro segue todo ele a lei de juros compostos. 
 
Exemplo: Qual o montante produzido em 3 meses a uma taxa de 20% a.m., no regime de juros 
compostos, a partir de um capital inicial de R$ 10.000,00 ? 
 
 
 
 
 
 
 fator de acumulação . 
 
Exemplo 
 
1 - Um capital de R$800,00 é aplicado por 1 ano, em regime de juros compostos, com 
taxa de 5% a.m.. Determine o resgate e o rendimento dessa aplicação 
. 
 
2 - uma aplicação de R$20.000,00 rendeu R$10.000,00 de juro à taxa de 5% ao mês. Calcule o 
tempo da aplicação supondo juro composto. 
utilize log 2= 0,30 log 3 = 0,48 e log 7 = 0,84 
 
 
 
3 - O valor de uma maquina sofre depreciação anual de 25% Se ela custa hoje R$ 2.000,00, 
daqui a quantos anos valera metade do que vale hoje? 
( adote log2 = 0,30 e log3 = 0,48 ) 
 
 
 
4 - Suponha que quatro títulos todos de valor nominal igual a R$1.000,00 devam ser liquidados, 
a contar de hoje, em 30, 60, 90 e 120 dias ou seja em 1, 2, 3 e 4 meses. Considerada a taxa de 
juros de 10% ao mês, qual a quantia (valor atual) que liquidará a dívida hoje considerando 
capitalização composta ou capitalização simples ?FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL EM JUROS COMPOSTOS 
FATOR = ( 1 + i )n 
 
 
 
 
Taxa de Juros 
 
 
 
Taxa efetiva ou real : É aquela em que a unidade de referência do seu tempo coincide com a 
unidade de tempo dos períodos de capitalização. 
 
Exemplo: 3% a.m. capitalizados mensalmente 
 4% a.d. capitalizados diariamente 
 
Quando se quer saber a taxa capitalizada de um contrato ou documento, o cálculo a 
efetuar é semelhante ao das taxas acumuladas, ou seja, capitaliza-se “(1+i)” tantas vezes 
quantas forem os períodos de capitalização contidos no período maior que se quer saber. 
 
 
 
Exemplo 1 : Qual é a taxa anual efetiva de 3% ao mês? 
 
 
 
Exemplo 2 : Um capital é aplicado a 1,5% a.m. Qual é a taxa anual efetiva? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taxa Nominal: É aquela em que não há coincidência entre unidade de referência do seu tempo 
coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. 
 A taxa nominal em geral é fornecida em termos anuais e os períodos são mensais. 
 12% a.a. capitalizados mensalmente .Isso significa uma taxa efetiva de 1% a.m. 
 24% a.s capitalizados mensalmente correspondem a uma taxa efetiva de 4% a.m. 
 
 
Taxas Proporcionais: Duas ou mais taxas são proporcionais quando ao serem aplicadas sobre 
um mesmo Principal durante um mesmo prazo produzirem um mesmo Montante M, no regime 
de Juros Simples. 
 Exemplo: 12% a.a.  6% a.s.  3% a.t.  1% a.m. pois 
 
 
 
 
Taxas Equivalentes: Duas ou mais taxas são proporcionais quando ao serem aplicadas sobre 
um mesmo Principal durante um mesmo prazo produzirem um mesmo Montante M, no regime 
de Juros Compostos. 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
1 - Calcule a taxa mensal de juros compostos equivalente em cada situação: 
a) i = 0,4 % a.d. 
b) i = 15 % a.t. 
c) i = 56 %a. s. 
d) i = 110 % a.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)3601()41()121()1( dtma iPiPiPiPM 
360412 )1()1()1()1( dtma iPiPiPiPM 
2 - Qual a taxa bimestral Equivalente a 2% a.m ? 
 
 
 
 
 
 
3 – Calcule a equivalência entre a taxa de 50% a.a no período de 60 meses . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reajuste acumulado 
 
Seja iacum a taxa de reajuste acumulado durante todos os períodos, então: 
 
 
 
 Comparando-se com a fórmula anterior 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
1 - Calcular a taxa única que deverá substituir as taxas de 8%, 10% e 20% nos abatimentos sucessivos 
sobre uma fatura. 
 
 
2 - A gasolina teve o seu preço reajustado em 8% em Janeiro, 10% em Fevereiro e 5% em 
Março. Então, qual foi o reajuste acumulado nesses três meses ? 
 
 
 
3 - Uma duplicata sofreu descontos sucessivos de 20% e 10% e ficou reduzida a R$ 720,00. 
Encontre o valor nominal da duplicata. 
 
 
 
 
 
Inflação 
 
Taxa de um aumento médio no período que sofrem os preços 
A "CESTA BÁSICA" e de alguns itens essenciais ( Aluguel, transporte, vestuário, etc.) 
Se a inflação foi de 20% em um determinado período, isto significa que os preços foram 
reajustados em média de 20% no período. 
CUSTO DE VIDA aumentou em 20%. 
 
 
 
 
 
4 - Calcule a inflação acumulada no período de agosto de 2002 a junho de 2003, segundo o 
IPC da FIPE, sabendo que as taxas foram as seguintes: 
 
 
 
 
 
 
5 - Calcular a taxa única que deverá substituir as taxas de 8%, 10% e 20% nos abatimentos 
sucessivos sobre uma fatura. 
 
 
6 - Calcular a taxa única que deverá substituir as taxas de 8%, 10% e 20% nos abatimentos 
sucessivos sobre uma fatura. 
 
 
 
Desconto 
 
O desconto simples, racional ou comercial são aplicados somente aos títulos de curto prazo, 
geralmente inferiores a 1 ano. 
Quando os vencimentos têm prazos longos, não é conveniente transacionar com esses tipos de 
descontos, porque podem conduzir a resultados que ferem o bom senso. 
 
NOMENCLATURA 
 
VALOR NOMINAL ou de FACE (N) - Quantia declarada no título, o valor pelo qual foi emitido. 
 
VALOR ATUAL ou VALOR LÍQUIDO - (Valor com desconto) . 
 
DESCONTO (D) - Valor obtido pela diferença entre o Valor Nominal e o Valor Atual de um 
compromisso, quando quitado “n” períodos antes do vencimento. 
 
TAXA (i) - Representa a quantidade de unidade que se desconta de cada 100 (cem) 
unidades, num determinado período, ou seja, o percentual de juros. 
 
1)1)....(1)(1( 21  nacum iiii
TEMPO (t ou n) - Prazo compreendido entre a data da operação (desconto) e a data do 
vencimento. Os dias serão contados excluindo se o dia da operação e incluindo se a data do 
vencimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) 
 
O calculo é efetuado sobre o valor nominal do título, de forma semelhante ao cálculo dos juros 
simples. 
 
 
 
 
 
 
1 - Calcular o desconto comercial de um título de R$ 100.0000,00 com resgate para 5 anos, à 
taxa de 36% ao ano. 
 
 
 
Como vemos, o valor do desconto é superior ao valor nominal do título, o que é um absurdo!!! 
 
2 - Uma duplicata de R$70.000,00, com vencimento para 90 dias, foi descontada por um banco à 
taxa de 2,7% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. 
 
 
 
3 - Calcular o valor do desconto de um título de 100.000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se 
que a taxa de desconto é 3% ao mês. 
 
 
4 - Uma duplicata de R$95.000,00, com vencimento para 80 dias, foi descontada por um banco à 
taxa de 3% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. 
 
 
 
5 - Uma duplicata de R$5.000,00, com vencimento para 125 dias, foi descontada por um banco à 
taxa de 3,6% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente. 
 
 
6 - Calcular o valor do desconto de um título de R$68.000,00, com 225 dias a vencer, sabendo-
se que a taxa de desconto é 3,5% ao mês. 
 
 
7 - Calcular o valor do desconto de um título de R$34.000,00, com 180 dias a vencer, sabendo-
se que a taxa de desconto é 20% ao ano. 
 
 
 
8 - Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$9.800,00, 
que sofreu um desconto de R$548,50 , à taxa de 32% a.a(ao ano). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desconto simples x Desconto composto 
 
É por esse motivo que, em casos como o apresentado, adotamos o regime de regime de juros 
compostos, que jamais darão resultados desse tipo. 
Temos duas formas de desconto composto: 
 desconto comercial, bancário ou por fora 
 desconto racional ou por dentro. 
 
 
 
 
 
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL OU POR FORA OU 
DESCONTO BANCÁRIO COMPOSTO ( DBC) 
 
Como o desconto comercial simples, o desconto comercial composto é calculado sobre o valor 
nominal do título , logo este corresponderá ao capital (C) e o valor atual (VA) corresponderá ao 
montante (M), que será 
sempre menor que o valor nominal. O valor atual é obtido por meio de uma sucessão de 
descontos sobre o valor nominal, isto é, sobre o valor expresso no título. 
 
 VN é o capital e VA é o montante 
 
EXEMPLO 
 
1 - Calcular o valor atual de um título de R$ 20.000,00 descontado um ano antes do vencimento 
à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. 
 
 
 
2 - Qual é o valor nominal de um título que foi resgatado 1 ano antes de seu vencimento por R$ 
16.290,13, à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizados 
trimestralmente? 
 
 
 
3 - Calcular o valor do desconto bancário composto de um título de R$ 20.000,00, 1 ano antes 
do vencimento à taxa de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente. 
 
 
 
 
 
1- Calcular a taxa de desconto bancário composto de um título de R$ 20.000,00, descontado 4 
meses antes do vencimento, recebendo líquido o valor de R$ 16.290,13. 
 
 
2- Um título de R$ 20.000,00 foi descontado num banco, pelo desconto bancário composto, à 
taxa de 5% a.m., sendo creditada, na conta do cliente, a importância de R$ 16.290,13. Quanto 
tempo antes do vencimento foi descontado este título? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO OU POR DENTRO 
 
 VN é o montante e VA é o capital 
 
Obs: Quando não informar otipo de desconto 
É porque é racional . 
 
QUESTÕES 
 
1 - Qual é o valor do título que, descontado racionalmente 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa 
de 10% a.m., capitalizável mensalmente, determinou um valor de resgate de R$12.400,00? 
 
 
 
2 - Qual o valor de resgate de um título de R$ 16.504,40 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva 
de desconto racional composto de 46,41% a.a. capitalizável trimestralmente ? 
 
 
 
3 - Suponha que você deva um título no valor de R$ 47.800 com vencimento para daqui a 4 
meses e que deseja quitá-lo. Suponha, ainda, que conseguirá uma taxa de desconto racional 
composto de 2,8% a.m. Qual o valor do desconto a ser recebido ? 
 
 
 
4 - Um título de R$ 48.000 é descontado um ano antes do vencimento, por desconto racional 
composto, pelo valor de R$ 43.106,94. Calcule a taxa mensal de desconto. 
 
 
 
 
4 - Determinar o valor do desconto racional composto de um título de R$ 16.504,40, descontado 
9 meses antes do seu vencimento à taxa efetiva de desconto racional composto de 46,41% a.a., 
capitalizável trimestralmente. 
 
 
TAXA OVER EQUIVALENTE TOE 
 
A taxa “over” é uma taxa equivalente a um fator diário ,obtido por meio da Descapitalização de 
uma determinada taxa efetiva pelo número de dias úteis (também chamado de saques) 
compreendidos no período a que ela se refere, normalmente multiplicado por 30 dias “conversão 
do mercado financeiro” . 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
1- O gerente financeiro da empresa Investimentos S/A cotou taxas de CDB (Certificado de 
Depósito Bancário) em dois bancos. No banco A, foi oferecido uma taxa de 28% a.a. para uma 
aplicação de 63 dias, considerando 43 dias úteis. Enquanto o banco B oferece uma taxa de 26% 
a.a. para 32 dias, considerando 19 dias úteis. Qual é a melhor aplicação ?