02_Estudos_Dinamicos_2019_1_Atualizado_01_04_2019

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Estudos da Dinâmica de 
Sistemas Elétricos de Potência
Ricardo Vasques de Oliveira
2019/1
● Dinâmica de SEPs
- Classificação dos estudos da dinâmica de SEPs
● Sistemas Dinâmicos em Geral (Revisão)
- Representação e análise de sistemas 
dinâmicos
● Linearização de Modelos Não Lineares
Sumário
• Classificação dos Estudos
- Devido à grande quantidade de elementos, diferentes 
dinâmicas podem ser observadas em SEPs
- A dinâmica de SEPs pode ser dividida de acordo com as 
causas e tempo envolvido
- Há interação dinâmica entre os diversos componentes do 
SEP
- A preocupação principal é como o sistema responderá 
à variações de cargas e perturbações típicas, e a 
existência de interações entre os componentes do 
sistema
Dinâmica de SEPs
• Classificação dos Estudos
- Os diferentes fenômenos dinâmicos observados em 
SEPs podem ser divididos em quatro grupos: Ondas, 
transitórios eletromagnéticos, transitórios 
eletromecânicos e transitórios termodinâmicos
- Os fenômenos com dinâmicas mais rápidas são as 
ondas viajantes e surtos em linhas de transmissão 
(micro a milisegundos)
Dinâmica de SEPs
• Classificação dos Estudos
- Os fenômenos eletromagnéticos envolvem os 
enrolamentos das máquinas (variáveis 
eletromagnéticas) e interação entre as máquinas e 
rede de transmissão (milisegundos à segundos)
- Os fenômenos eletromecânicos ocorrem devido à 
oscilações das massas girantes dos geradores e 
motores (segundos à minutos)
- Os fenômenos termodinâmicos são os mais lentos e 
estão associados ao controle das turbinas a vapor 
(dezena de segundos à horas)
Dinâmica de SEPs
• Classificação dos Estudos
- Escala de tempo dos principais fenômenos 
dinâmicos que ocorrem em SEPs
Dinâmica de SEPs
● Oscilações Sub-síncronas (ou Oscilações 
Torcionais)
4 Turbinas a vapor + Rotor do Gerador
- As várias partes da massa girante oscilam entre si
- Oscilações mecânicas entre as partes acopladas 
ao eixo do gerador
- As oscilações são “naturalmente” amortecidas, 
quando não há uma influência externa
Exemplo – Ressonância Subsíncrona
K: Rigidez do eixo
H: Constante de inércia
D: Constate de amortecimento
- Característica torcional do conjunto Turbina-Gerador
● Principais Focos dos Estudos: Oscilações Sub-
síncronas
H2 H1
Em regime permanente: 1 2 0   
Em transitório: 1 2 0   
Exemplo – Ressonância Subsíncrona
 Interação dinâmica e possíveis problemas:
- Interação torcional com as malhas de controle 
(controle de tensão, HVDC, unidades eólicas, etc.)
- Ressonância sub-síncrona com capacitores série em 
linhas de transmissão
- Ressonância sub-síncrona com unidades eólicas
- Fadiga no eixo do gerador devido às perturbações 
típicas na rede
● Principais Focos dos Estudos: Oscilações Sub-
síncronas
Exemplo – Ressonância Subsíncrona
10
Exemplo – Ressonância Subsíncrona
11
Exemplo – Oscilações em Unidades 
Eólicas
SSO - Subsynchronous oscillation 
WTG - Wind turbine generator
Os diferentes tipos de unidades eólicas tipicamente 
apresentam transitórios oscilatórios
12
Exemplo – Oscilações em Unidades 
Eólicas
Os diferentes tipos de unidades eólicas tipicamente 
apresentam transitórios oscilatórios
• Análise de Sistemas Dinâmicos
- O planejamento da expansão e a operação de sistemas 
de potência requerem uma série de estudos e análises
- As análises podem ser quantitativas ou qualitativas
- As análises qualitativas focam em propriedades tais como: 
Estabilidade (estável ou instável?)
Controlabilidade
Observabilidade
- As análises quantitativas geralmente focam na resposta 
do sistema (decaimento, frequência de oscilações, etc.)
Sistemas Dinâmicos
• Representação de Sistemas Dinâmicos
- Os estudos e análises são geralmente baseados em 
modelos matemáticos 
- As equações são determinadas a partir de leis físicas e 
suposições sobre o comportamento do sistema 
- O grau de realismo no qual cada modelo representa o 
sistema de interesse varia de acordo com as 
considerações e aproximações utilizadas no 
desenvolvimento do mesmo
Sistemas Dinâmicos
• Representação de Sistemas Dinâmicos
- O modelo utilizado na fase de projeto de controladores 
exerce uma influência significativa no desempenho 
dos controladores projetados 
- Modelos tipicamente usados:
- Conjunto de equações diferenciais (espaço de 
estado);
- Função de transferência e diagramas de blocos.
Sistemas Dinâmicos
● Função de Transferência X Espaço de Estado
16
- As FTs e diagramas de blocos são modelos usados 
para análise e projeto de sistemas de controle
baseados em abordagens no domínio da frequência
- Os modelos no espaço de estado (ou em variáveis de 
estado) são usados para análise e projeto de sistemas de 
controle baseados em abordagens no domínio do tempo
- Modelos no espaço de estados  Modelo constituído 
por um conjunto de equações diferenciais ordinárias de 1a
ordem
Sistemas Dinâmicos
● Variáveis de Estado
17
- Variáveis de estado: Conjunto de grandezas que 
descrevem o estado do sistema (“estado operacional”)
- As variáveis de estado descrevem a resposta do um sistema
- As “n” variáveis de estado do modelo formam o 
VETOR DE ESTADO [X(t)]
Sistemas Dinâmicos
• Representação gráfica no espaço de estado
2( )t Rx
X2
X11
2
( )
( ) sin( )
t
g k
t
l ml
 
  

  


( )
( )
( )
t
t
t


 
  
 
x
- Pêndulo: Exemplo
Sistemas Dinâmicos
● Modelo em Espaço de Estado
19
-
...
Sistemas Dinâmicos
● Espaço de Estado: Generalidades
20
- Permite considerar múltiplas entradas e múltiplas 
saídas
- Permite representar sistemas complexos
- As técnicas de controle moderno são desenvolvidas 
baseando-se nesses modelos
- Simulações computacionais são geralmente realizadas 
usando modelos no espaço de estado 
Sistemas Dinâmicos
• Sistemas Lineares x Sistemas Não Lineares
- A análise de sistemas não lineares é geralmente 
mais complexa
- Ferramentas matemáticas para análise de sistemas 
não lineares são mais complexas
- Existe uma grande variedade de ferramentas para 
análise de sistemas lineares
- É prática usual em engenharia realizar estudos 
dinâmicos usando modelos lineares
Sistemas Dinâmicos
- Os estudos são geralmente validados/confirmados 
usando o modelo não linear
● Modelo Linear
22
( ) ( ) ( )t t t x Ax Bu
( ) ( ) ( )t t t y Cx Du
- O modelo linear padrão na forma de espaço de estado
- Dimensões das matrizes e vetores
- A  Matriz de estados
- B  Matriz de entrada
- C  Matriz de saída
- D  Matriz de transmissão direta
- A  n x n
- B  n x m
- C  p x n
- D  p x m
- X(t)  n
- u(t)  m
- y(t)  p
- p = Número de saída
- n = Número de variáveis de estado
- m = Número de entradas
Sistemas Dinâmicos
● Obtenção do modelo no espaço de estado
23
- Circuito RLC série: Exemplo
- Lei das malhas
- Tensão no capacitor
- Escolhendo a tensão no capacitor como saída
  1
2
( ) 1 0
x
t
x
 
  
 
y
- Rearranjando as 
equações
- Modelo na forma padrão
Sistemas Dinâmicos
● Função de Transferência a partir da Modelo 
Linear na forma de Espaço de Estado
24
( ) ( ) ( )s s s s X AX BU
( ) ( ) ( )s s s Y CX DU
- Aplicando a transformada de Laplace
- Isolando X(s) na primeira equação
( ) ( ) ( )t t t x Ax Bu
( ) ( ) ( )t t t y Cx Du

( ) ( ) ( )s s s I A X BU 1( ) ( ) ( )s s s X I A BU
- Substituindo a expressão de X(s) na equação de Y(s)
1( ) [ ( ) ] ( )s s s    Y C I A B D U
1( ) ( ) [ ( ) ]
( )
s
G s s
s
    
Y
C I A B D
U
Sistemas Dinâmicos
● Obtenção do Modelo em Espaço de Estado a 
Partir do diagrama de blocos
- Diagrama de blocos
1
1
( ) ( )
( 3)
s s
s


X U
5
( 3)( 2)
s
s s

 
( )sY( )sU 1
( 3)s 
1 ( )sX( )sU 5
( 2)
s
s


2 ( ) ( )s sX Y
- Obtenção das equações a partir do diagrama
1 1( ) 3 ( ) ( )s s s s X X U
1 1( ) 3 ( ) ( )s s s s  X X U
2 1
5
( ) ( )
( 2)
s
s s
s



X X
2 2 1 1( ) 2 ( ) ( )5 ( )s s s s s s  X X X X
2 1 2 1( ) ( ) 2 ( ) 5 ( )s s s s s s  X X X X
- Aplicando a inversa de Laplace
2 1 2 1( ) ( ) 2 ( ) 5 ( )x t x t x t x t   1 1( ) 3 ( ) ( )x t x t u t  
Sistemas Dinâmicos
• Ponto de Equilíbrio: Definição
- Diz-se que é ponto de equilíbrio de 
se
*x ( ) ( ))t tx f(x
*( ) ) 0t  x f(x
Sistemas Dinâmicos
- O sistema permanece no ponto de equilíbrio até que 
uma perturbação seja aplicada
- As análises de sistemas dinâmicos são geralmente 
feitas em um ponto de equilíbrio do sistema
• Ponto de Equilíbrio: Exemplo
- Sistemas não lineares podem apresentar múltiplos 
pontos de equilíbrio
1
2
( )
( ) sin( )
t
g k
t
l ml
 
  

  


*
*
*
0
0


   
    
  
x
Posição A Posição B
Ponto de Equilíbrio: Apenas posição B20º  0º 
0 0 
Sistemas Dinâmicos
• Ponto de Equilíbrio: Sistemas Lineares
- Sistemas lineares do tipo apresentam 
apenas um único ponto de equilíbrio
( ) ( )t tx Ax
- O único ponto de equilíbrio de sistemas lineares é a 
origem do espaço de estado
*( ) 0t  x Ax
* 0Ax
* 0x
Sistemas Dinâmicos
29
● Linearização de Modelos Não-Lineares
- Em sistemas dinâmicos, é prática comum linearizar 
modelos não lineares
- A linearização permiti o uso da grande variedade de 
técnicas lineares para análise de sistemas e projeto de 
controladores
- O modelo linear tem validade 
apenas nas vizinhanças do ponto de 
operação usado na linearização
- O modelo é linearizado em torno de um ponto de 
operação (geralmente um ponto 
de equilíbrio)
Sistemas Dinâmicos
y'(∆x)
∆x
30
- A linearização pode ser feita usando a expansão em série 
de Taylor truncada na primeira derivada (termo linear)
- Truncando a série na derivada primeira
● Linearização de Modelos Não-Lineares
- Série de Taylor de 
0xxΔx 
ΔxAxΔ 
( )x f x
0
0
( )

  

0
x
f
f(x) f(x ) x x
x 0
0

  
 x
f
f(x) f(x ) x
x

- Os estudos são geralmente validados por meio de 
simulações baseadas no modelo não linear
Sistemas Dinâmicos
onde
( ) ( ) ( )t t t x Ax Bu
1 1
1
1
n
n n
n
f f
x x
f f
x x
  
  
 
 
 
  
   
A

 

( ) ( ) ( )t t t y Cx Du
1 1
1
1
r
n n
r
f f
u u
f f
u u
  
  
 
 
 
  
   
B

 

1 1
1
1
n
q q
n
g g
x x
g g
x x
  
 
  
 
 
  
   
C

 

1 1
1
1
n
q q
n
g g
u u
g g
u u
  
 
  
 
 
  
   
D

 

( ) ( ) ( ))t t tx f(x ,u
( ) ( ) ( ))t t ty g(x ,u
- Forma geral para a obtenção do modelo linear na forma 
padrão
● Linearização de Modelos Não-Lineares
Modelo não linear Modelo linear
Sistemas Dinâmicos
-Linearize o conjunto de equações
● Linearização de Modelos Não-Lineares
1 1 2cos( ) 3 5x x x u  
2( ) ( )y g sen x x
2
2 1 22x x x 
2 (0) 2x 
1 (0) 1,57x 
1 1
1 20 ) 0 )
2 2
1 20 ) 0 )
f f
x x
f f
x x
  
 
  
  
  
  
 
x( x(
x( x(
A
1
2
( (0)) 3
1 4( (0))
sen x
x
 
  
 
A
5
0
 
  
 
B
1
0 )
2
0 )
u
u
f
u
f
u
 
  
 
 
  
(
(
B
1 1
1 20 ) 0 )x x
g g
x x
  
  
   ( (
C
 20 cos( (0))xC
0 )u
g
u
 
  
  (
D
 0D
1
2
( )1 3 5
( ) ( )
( )1 8 0
x t
t t
x t
     
           
x u  
1
2
( )
( ) 0 0,42
( )
x t
y t
x t
 
    
- Modelo linearizado na forma de espaço de estado
Sistemas Dinâmicos
- Linearização: Exemplo
● Linearização de Modelos Não-Lineares
- Linearização da equação do torque em 
1
2
( )
( ) sin( )
t
g k
t
l ml
 
  

  


T J k   
- Equação do 
Torque
T mg l sen   
2
g k
sen
l ml
    
0 0 0T mg l sen    
(0) 0 
1
2
( )
( )
t
g k
t
l ml
 
  

  


- Torque não linear
- Para o erro entre o torque linearizado e o torque não 
linear é desprezível (aproximadamente 2%)
45º 45º  
2J m l 
Sistemas Dinâmicos
- Equação do 
Movimento
T 
T
T 
34
● Definição e Conceitos Fundamentais
- Simulação - “É a obtenção da resposta temporal das 
variáveis de interesse de um modelo, quando se excita 
suas variáveis de entrada com sinais desejados”
- As simulações para investigar o comportamento dinâmico 
do sistema podem ser realizadas de duas formas:
Simulação Computacional
1) Determinação da solução das equações do modelo 
utilizando métodos analíticos
2) Integração das equações do modelo, utilizando 
métodos numéricos de integração
- A opção 1) é geralmente aplicada apenas para modelos 
lineares ou modelos não lineares de baixa ordem
35
● Simulação
- Informações necessárias para simulação de sistemas:
Modelo matemático
Valor dos parâmetros do modelo
Valor das condições iniciais das variáveis do modelo
- De acordo com a forma de obtenção, os modelos 
podem ser classificados como:
- Teórico ou analítico: Desenvolvido usando as leis da 
Física e Química
- Empírico ou Heurístico: Baseia-se na observação direta 
dos dados operacionais do processo
- Por Analogia: Baseia-se em equações que descrevem 
sistemas análogos
Simulação Computacional
36
● Obtenção das Equações do Modelo
Modelagem Analítica
- O modelo analítico deve considerar apenas as 
características mais marcantes e mais importantes 
para o foco do estudo
- Um ponto importante da modelagem é a utilização de 
hipóteses simplificadores sem invalidar o modelo
Hipóteses simplificadoras
- Desprezar os pequenos efeitos  Reduz o número 
de variáveis e a complexidade do modelo
Ex.: Assumir que os componentes de um circuito 
elétrico sejam puramente resistivo, capacitivo e 
indutivo; desconsiderar o atrito mecânico; Etc.
Simulação Computacional
37
● Lista de Softwares para Análises de Sistemas 
Elétricos de Potência
Lista de softwares comerciais e não comerciais (livres):
https://wiki.openelectrical.org/index.php?title=Power_Systems_
Analysis_Software
Simulação Computacional
Aplicações: Fluxo de potência; curto-circuito; dinâmica 
controle e estabilidade; proteção e coordenação da proteção; 
contingências e confiabilidade; despacho econômico da 
geração; Etc. 
38
● Lista de Softwares para Análises de Sistemas 
Elétricos de Potência
Simulação Computacional
Lista dos principais aplicativos:
1) Softwares Comerciais 
•1.1 Advanced Grounding Concepts (WinIGS) 
•1.2 ASPEN 
•1.3 BCP Switzerland (NEPLAN) 
•1.4 Commonwealth Associates 
(Transmission 2000) 
•1.5 CYME 
•1.6 DIgSILENT (PowerFactory) 
•1.7 DNV GL (SynerGEE Electric) 
•1.8 Energy Advice (EA-PSM) 
•1.9 Energy Computer Systems (SPARD) 
•1.10 Electrocon (CAPE) 
•1.11 EMTP-RV 
•1.12 EPFL (SIMSEN) 
•1.13 ERACS 
•1.14 EasyPower
•1.15 ETAP 
•1.16 GDF Suez (Eurostag) 
•1.17 GE Energy (PSLF) 
•1.18 IPSA Power 
•1.19 KEPCO (KW-PSS) 
•1.20 MATMOR (PADEE) 
•1.21 MILSOFT (Windmil) 
•1.22 Manitoba HVDC Research Centre (PSCAD) 
•1.23 MathWorks (SimPowerSystems) 
•1.24 MicroTran 
•1.25 Nexant (SCOPE) 
•1.26 Phase to Phase (Vision Network Analysis) 
•1.27 Power Analytics (EDSA) 
•1.28 Powertech Labs (DSATools) 
•1.29 PowerWorld 
•1.30 PRDC (MiPower) 
•1.31 ReticMaster 
•1.32 SES & Technologies (CDEGS) 
•1.33 Siemens PTI (PSS/E and SINCAL) 
•1.34 SIMPOW 
•1.35 SKM (Power*Tools for Windows) 
•1.36 Tom (PASHA) 
•1.37 Xendee 
39
● Lista de Softwares para Análises de Sistemas 
Elétricos de Potência
Simulação Computacional
Lista dos principais aplicativos:
2) Softwares não Comerciais
•2.1 AMES 
•2.2 DCOPFJ 
•2.3 ATP-EMTP 
•2.4 DiSC
•2.5 Dome 
•2.6 Elplek
•2.7 GridCal
•2.8 GRIDLAB-D 
•2.9 GridPACK
•2.10 InterPSS
•2.11 MatDyn
•2.12 MATPOWER 
•2.13 Minpower
•2.14 Mosaik
•2.15 NEMO 
•2.16 OpenDSS
•2.17 pandapower
• 2.18 PowerGAMA
• 2.19 PowerModels.jl
• 2.20 PSAT 
• 2.21 PYPOWER 
• 2.22 PYPOWER-Dynamics 
• 2.23 PyPSA
• 2.24 RAMSES 
• 2.25 RPowerLABS
• 2.26 SmartGridToolbox• 2.27 TEFTS 
• 2.28 UWPFLOW 
• 2.29 vSPD
40
● Lista de Softwares para Análises de Sistemas 
Elétricos de Potência
Simulação Computacional
41
● Lista de Softwares para Análises de Sistemas 
Elétricos de Potência
Softwares do CEPEL (Centro de Pesquisas de Energia 
Elétrica): 
ANATEM - Analysis of Electromechanical Transients
PacDyn – Analysis and Control of Electromechanical
Oscillations in Power Systems
ANAREDE - Network Analysis Program
FLUPOT - Optimal Power Flow
ANAFAS - Analysis of Simultaneous Faults
HarmZs - Electrical Network Harmonic Studies
NH2 – Probabilistic and Reliability Analysis
PLANTAC – Transmission Planning with Reliability
Simulação Computacional