aula3 (4)

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3ºaula
Potencial elétrico 
e energia elétrica
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• resolver problemas práticos associados ao cálculo da energia potencial e do potencial elétrico;
• compreender as propriedades de superfícies equipotenciais relativas à variação de potencial;
• identificar as superfícies equipotenciais em dispositivos que envolva a distribuição de cargas; 
• determinar o potencial e a energia potencial elétrica produzida por sistemas de cargas pontuais. 
Caros(as) alunos(as),
 Iniciamos esta terceira aula. Na seção 1, será abordado 
a respeito da energia potencial elétrica e do potencial elétrico, 
aplicando a relação da variação da energia potencial com a 
realização de trabalho e o teorema do trabalho e energia cinética, 
dada uma partícula lançada em um campo elétrico. Na seção 
2, será apresentado o conceito de superfícies equipotenciais, a 
partir de um campo elétrico associado a uma distribuição de 
cargas. Prosseguindo, na seção 3, será deduzido o potencial 
elétrico produzido por cargas pontuais a uma determinada 
distância. A aula será concluída com a seção 4, na qual será 
discutida a energia potencial elétrica associada ao trabalho 
depreendido ao compor um sistema de cargas pontuais. 
Bons estudos!
22Física Teórica e Experimental iii
seções de estudo
1 – Energia Potencial Elétrica e Potencial Elétrico
2 – Superfícies Equipotenciais
3 – Potencial Produzido por Cargas Pontuais
4 – Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas 
Pontuais
1 - Energia potencial Elétrica e 
potencial Elétrico
 Utilizar somente conceitos de força para a 
resolução de problemas práticos pode tornar os cálculos 
substancialmente mais complexos. Portanto, é muito mais 
prático aplicar o princípio de conservação da energia mecânica 
em sistemas fechados que envolvem a interação entre forças. 
Por isso, o interesse na relação entre uma energia potencial e 
uma força. 
Uma força eletrostática sobre um sistema de partículas 
causa a variação da energia potencial elétrica de um estado 
inicial para um estado final e, como sabemos, uma variação 
da energia potencial implica na realização de trabalho, que 
independe da trajetória, tratando a força eletrostática como 
uma força conservativa. Dessa forma:
 Podemos aplicar a expressão acima a uma situação 
na qual a distância entre duas partículas seja infinita e que 
seja realizado um trabalho, por meio de forças eletrostáticas, 
visando a aproximação. Então, tem-se a variação de uma 
energia potencial inicial (zero) para uma energia potencial 
final . O trabalho depreendido no movimento é dado por 
, o que implica em (HALLIDAY et al., 
2008).
1.1 – potencial elétrico
 Uma partícula carregada pode ser lançada em 
um campo elétrico, ao deduzirmos a energia potencial 
desenvolvida pela partícula, temos que considerar, sobretudo, 
a magnitude da carga elétrica. Uma forma de associar a 
energia potencial da partícula ao campo elétrico é por meio 
da energia potencial por unidade de carga (responsável pelo 
campo elétrico), com valor único para cada ponto do espaço. 
Assim, podemos inferior que a relação não depende 
da magnitude da carga elétrica da partícula, trata-se de uma 
relação intrínseca ao campo elétrico (BISCÚOLA et al., 1992; 
MARTINS, 1994). 
 A esta relação, a energia potencial por unidade 
de carga em um determinado ponto do espaço, tem-se o 
potencial elétrico ou, simplesmente, potencial, uma grandeza 
escalar denotada por , ou seja:
 Enquanto a diferença de potencial entre os 
pontos e são:
 Onde a variação de energia potencial é dada por 
, sendo que a realização de trabalho sobre o sistema, 
com o deslocamento da partícula de um ponto arbitrário para 
outro, implica que , dessa maneira:
 Observe que a variação do potencial elétrico pode 
ser positiva, negativa ou nula, dependendo de e . 
 Se há o deslocamento de uma posição inicial para 
uma posição final , pode-se associar com 
(energia potencial no infinito), assim o potencial elétrico final 
 em um ponto qualquer do espaço depende do trabalho 
 depreendido, isto é:
No SI, a unidade para o potencial elétrico é joule por 
coulomb ( ). Como é utilizada frequentemente, é mais 
conveniente utilizarmos a equivalência volt ( ), assim:
 Para o campo elétrico, portanto, podemos inferir as 
relações:
 No caso de dimensões atômicas ou subatômicas é 
apropriado empregar a unidade elétron-volt ( ), mensurada 
como a energia necessária para realizar o trabalho de 
descolocar uma carga elementar (elétron ou próton) através 
de um volt. Em joule, temos:
 
Adiante, será aplicado o teorema do trabalho e energia 
cinética a uma carga sob ação de um campo elétrico. 
1.2 – Variação da energia cinética e 
potencial elétrico
 No caso de uma partícula carregada ser lançada 
em um campo elétrico, por meio de uma força, há o trabalho 
 realizado por esta força e o trabalho devido à ação do 
campo elétrico sobre a partícula, que podemos denotar por 
. Conforme o teorema do trabalho e energia cinética, a 
23
variação é igual à soma dos trabalhos sobre as partículas, 
ou seja:
 Supondo que a energia cinética não varie com o 
deslocamento, tem-se , resultando no trabalho 
realizado sobre aa partícula igual ao trabalho realizado pelo 
campo elétrico. Logo:
 A relação acima pode ser emprega na 
expressão para a variação da energia potencial elétrica, 
, obtendo:
 O trabalho pode ser definido como o produto 
entre a magnitude da carga elétrica é a variação do potencial 
elétrico , com isso:
 Onde o sinal de depende do sinal e dos 
valores absolutos para e . 
2 - Superfícies Equipotenciais
 Uma superfície equipotencial pode ser definida como 
um conjunto de pontos que possuem o mesmo potencial 
elétrico, a superfície pode ser real ou imaginária. O trabalho 
não depende da trajetória percorrida, para quaisquer dois 
pontos e que conectado em uma superfície equipotencial, 
tem-se , sendo que a trajetória pode não estar 
totalmente contida nesta superfície, basta considerar somente 
os pontos inicial e final. Por associação, a energia potencial e 
o potencial também não dependem da trajetória percorrida 
(HALLIDAY et al., 2008). 
Figura 1 – Superfícies equipotenciais com potenciais , , 
 e e a representação de diferentes trajetórias , , e 
 entres essas superfícies. 
Fonte: Halliday et al. (2008).
 A uma determinada distribuição de cargas pode ser 
associada um campo elétrico e uma família de superfícies 
equipotenciais, como mostrado acima. Se as trajetórias 
começam e terminam em uma mesma superfície equipotencial, 
o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma partícula 
carregada é zero. Para as trajetórias I e II, este trabalho é nulo. 
Mas para as trajetórias III e IV, não iniciando e terminando 
nas mesmas superfícies equipotenciais, as magnitudes dos 
trabalhos exercidos pelo campo elétrico não são nulas, 
contudo, são iguais, visto que as trajetórias iniciam e terminam 
nas superfícies equipotenciais, portanto, possuem os mesmos 
potenciais iniciais e finais. 
 Em um campo elétrico uniforme, as superfícies 
equipotenciais são planos perpendiculares às linhas de 
campo elétrico e, do mesmo modo, ao vetor campo elétrico, 
tangente as linhas. Caso o vetor campo elétrico não fosse 
perpendicular, a componente paralela à superfície realizaria 
trabalho sobre a partícula no deslocamento sobre a superfície, 
contudo, por princípio, entendemos que o trabalho deve 
ser nulo em uma superfície equipotencial (WOLSKI, 2005; 
YOUNG; FREEDMAN, 2015). Por isso, é razoável que 
possamos entender o vetor como perpendicular à superfície 
equipotencial em qualquer ponto do espaço. 
 
3 - potencial produzido por Cargas 
pontuais
Considere uma partícula positivamente carregada, 
produzindo um campo elétrico, posicionando uma carga 
de prova em um ponto a uma distância da carga 
, podemos inferir o produto escalar entre o vetor campo 
elétrico e o vetor descolamento, supondo uma trajetória 
simples em que oponto esteja sobre uma reta conectada 
a partícula fixa . 
Nesse caso, o produto escalar é dado por:
Onde se refere a um deslocamento infinitesimal da 
carga , sendo que utilizaremos esta notação em substituição 
a , visto que nos limitaremos a não apresentar diretamente 
o cálculo integral e diferencial. Suas aplicações ficam a cargo 
do leitor, caso julgue necessário em determinados momentos 
de nossa disciplina, embora o estudo aqui desenvolvido 
seja suficiente a compreensão dos fundamentos do 
eletromagnetismo. 
 Em qualquer ponto da trajetória de deslocamento da 
carga de prova, o vetor possui a mesma direção que , 
logo e , e o potencial ao longo de todo o 
caminho de deslocamento da carga , é obtido a partir do 
campo elétrico:
O que resulta, a partir da integração para o produto 
escalar apresentado anteriormente, em :
Onde é o potencial elétrico produzido por uma carga 
24Física Teórica e Experimental iii
 a uma da partícula fixa, cuja expressão também pode ser 
aplicada ao cálculo do potencial externamente ou sobre a 
superfície de uma distribuição de cargas com simetria esférica. 
O potencial elétrico é positivo se a partícula possui carga 
positiva e negativo se a partícula possui carga negativa. Repare 
também que quanto menor o valor de , maior o valor de , 
isto é, , implica em (HALLIDAY et al., 2008). 
 
4 - Energia potencial Elétrica de um 
Sistema de Cargas pontuais
 A energia potencial elétrica em um sistema de cargas 
de pontuais pode ser entendida como o trabalho necessário 
para aproximar estes corpos e formar um determinado 
sistema, com uma variação de distância infinita entre a posição 
inicial e a posição final do sistema (observe a figura abaixo). 
Como nessas condições é necessária uma força externa 
para o deslocamento dessas cargas pontuais, a tendência 
é que retornem as posições iniciais, desse modo o trabalho 
realizado, ou a energia potencial armazenada, é convertida em 
energia cinética. 
Figura 2 – Gráficos da variação da energia potencial de duas 
cargas puntiformes em relação a distância entre elas. 
Fonte: Young e Freedman (2014).
 Para ilustrar este conceito, suponha duas cargas 
distantes o suficiente para que não exista nenhuma interação 
entre elas. Denotando as cargas por e , ao trazermos 
a carga de sua localização inicial para a sua posição final, 
não é realizado nenhum trabalho, pois não há nenhuma 
força eletrostática agindo sobre a mesma. Entretanto, ao 
movimentar a carga , de uma posição aleatória para as 
proximidades de , tem-se a realização de trabalho devido 
à existência de uma força eletrostática entre as mesmas. 
 O potencial criado pela carga na posição de 
, considerando uma distância entre as cargas, é a seguinte:
 Como explanamos, a energia potencial do sistema é 
igual o trabalho realizado sobre o mesmo, sendo que o trabalho 
para a movimentação da carga é dado pela expressão , 
onde é dado pela equação acima, o que implica em:
Não há sinal negativo na expressão acima, pois não 
estamos calculando o trabalho realizado pelo campo elétrico, 
mas contra o mesmo, o trabalho realizado pela força externa 
deslocando a segunda carga, por conseguinte, agindo contra 
o campo elétrico. 
 Dado que a energia potencial e o trabalho realizado 
sobre as partículas são iguais, se as cargas possuem o mesmo 
sinal, o trabalho de aproximação é positivo (as cargas 
se repelem), assim como a energia potencial; enquanto 
que se as cargas possuem sinais contrários, o trabalho 
depreendido necessita ser no sentido de afastamento, dado 
que aproximação ocorreria de forma espontânea, nesse caso 
o trabalho e a energia potencial do sistema são negativos 
(YOUNG; FREEDMAN, 2015). 
Exemplo 1
 
Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P, situado 
no centro do quadrado de cargas pontuais que aparece 
na figura adiante? A distância é e as cargas são 
, , e 
 (HALLIDAY et al., 2008, p. 86). 
Figura 3 – Ponto localizado no centro de um quadrado 
de lado , com cargas pontuais , , e posicionadas 
nos vértices. 
Fonte: Halliday et al. (2008).
Solução:
 O potencial no ponto corresponde, simplesmente, 
a soma dos potenciais de cada carga no ponto , sendo que 
todas as cargas possuem a mesma distância diagonal de que 
podemos identificar por :
 
O potencial elétrico em é:
25
Substituindo , , 
, e :
Portanto, o potencial elétrico no ponto é .
Exemplo 2
 
Na figura (a), elétrons (de carga ) são mantidos 
fixos, com espaçamento uniforme, sobre uma circunferência 
de raio . Em relação a no infinito, quais são 
o potencial elétrico e o campo elétrico no centro da 
circunferência (HALLIDAY et al., 2008, p. 87)? 
Figura 4 – (a) Elétrons espaçados uniformemente em uma 
circunferência de raio . (b) Cargas dispostas de modo 
desuniforme ao longo do arco de uma circunferência de raio 
.
 Fonte: Halliday et al. (2008).
Solução:
 O potencial elétrico no ponto não depende da 
disposição dos elétrons. Assim, a forma de circunferência 
é irrelevante para determinarmos o potencial elétrico, se 
tratando de uma grandeza escalar, logo, conhecendo a 
respectiva expressão:
Para elétrons, e :
 O campo elétrico resultante no ponto é nulo, 
pois o cada campo elétrico gerado em por um dos 
elétrons é cancelado pelo campo elétrico devido o elétron 
diametralmente oposto. Então, .
(b) Se os elétrons são deslocados ao longo da 
circunferência até ficarem distribuídos com espaçamento 
desigual ao longo de um arco de [figura (b)], qual é o 
potencial no ponto ? O campo elétrico no ponto sofre 
alguma mudança (HALLIDAY, et al., 2008, p. 87)?
Solução:
 No caso de uma distribuição desigual dos elétrons 
ao longo de um arco de , mas mantendo uma distância 
de igual a , não poderemos verificar uma mudança na 
magnitude do potencial elétrico, dado que este é varia somente 
em relação a carga e a distância desta em relação ao ponto 
do espaço avaliado, como nenhuma dessas grandezas variou, o 
potencial elétrico se mantém o mesmo. Mas, o campo elétrico 
varia, dependente da forma em que são dispostas as cargas, no 
caso da disposição em arco, não há cancelamento dos campos 
elétricos diametralmente opostos, assim o campo elétrico em 
 possui um valor não nulo e orientado para algum ponto do 
arco, dentro dos .
Exemplo 3
 
A figura adiante mostra três cargas pontuais mantidas 
fixas no lugar por forças não-especificadas. Qual é a energia 
potencial elétrica desse sistema de cargas? Suponha que 
 e que , e , 
onde (HALLIDAY, et al., 2008, p. 93). 
Figura 5 – Três cargas pontuais fixas, e positivas, e 
negativa, são situadas na forma de um triângulo equilátero de 
lado .
 Fonte: Halliday et al. (2008).
Solução:
A energia potencial elétrica é definida como o trabalho 
 necessário para fornecer o arranjo de um conjunto de 
cargas. Assim sendo, considerando que não foi mobilizada, 
foi realizado um trabalho por um agente externo para o 
deslocamento da carga de um determinado posição no 
infinito à posição especificada na figura acima, a uma distância 
 de , isso implica na expressão:
Para trazer a carga também de uma posição no infinito 
para a posição a uma distância tanto de como de , 
26Física Teórica e Experimental iii
também foi realizado trabalho, envolvendo a aproximação de 
ambas as cargas, onde o trabalho total corresponde a soma 
destas magnitudes. Logo, denotando como o trabalho 
realizado para aproximar a partícula da carga e 
como o trabalho para a aproximação da carga em relação a 
carga , temos:
 Sabendo que a energia potencial é igual ao trabalho 
realizado, a energia potencial elétrica total corresponde 
a soma das energias potenciais associadas aos três pares de 
cargas, veja:
 Ou seja:
 Para e que , e 
, onde :
O sinal negativo denota um trabalho externo realizado 
para obter a disposição espacial correspondente das cargas.
Exemplo 4
 
Duas cargas puntiformes de estão no eixo 
, uma na origem e a outra em . Determine o 
potencial (TIPLER et al., 2014, p. 78): 
Figura6 – Duas cargas puntiformes iguais sobre o eixo 
, com o ponto em e o ponto em .
 Fonte: Tipler et al. (2014).
(a) no ponto no eixo em .
Solução:
 O potencial elétrico total no ponto , equidistante 
de e , é dado pela soma a seguir:
 Dado que a distância de a e de a são 
iguais, então , assim como as cargas 
 e , . 
Substituindo e :
 Então, foi obtido o potencial de no ponto 
.
(b) no ponto no eixo em . O ponto 
de referência (onde ) está no infinito. 
Solução:
 No ponto as distâncias em relação as cargas e 
 são diferentes, conforme expressão:
 Substituindo e , 
obtemos:
Ou seja, no ponto o potencial elétrico é inferior ao 
ponto , com magnitude de . 
Exemplo 5
 
Dois condutores esféricos descarregados de raios 
 e , separados por uma distância 
muito maior que , estão conectados por um longo 
fio condutor muito fino. Uma carga total 
é colocada em uma das esferas e é permitido que o sistema 
atinja o equilíbrio eletrostático (TIPLER et al., 2014, p. 93).
Figura 7 – Dois condutores esféricos descarregados, e , 
conectados por um longo fio condutor.
Fonte: Tipler et al. (2014).
(a) Qual é a carga em cada esfera?
27
Solução:
O potencial elétrico em ponto do espaço gerado a partir 
de condutores esféricos é dado por:
Como o fio condutor colocado entre as esferas permite 
que seja atingido o equilíbrio eletrostático, pode-se inferir que 
os potenciais elétricos na superfície das esferas são iguais. 
Portanto:
Onde equivale a e , pois o equilíbrio eletrostático 
é atingido na superfície das esferas, a distâncias e do 
centro de cada esfera.
 Evidenciando :
Onde a carga é uniformemente distribuída na superfície 
esférica e é a distância entre o ponto analisado e o centro do 
condutor esférico. 
 Pelo princípio da conservação de energia, aplicado as 
cargas e , sendo a carga total:
Substituindo , surge:
A partir da expressão acima, obtém-se :
Substituindo , e 
:
Utilizando novamente a expressão para a conservação de 
cargas:
Assim sendo, a carga na esfera 1 é de e na esfera 
2 é de . 
b) Qual é o módulo do campo elétrico na superfície de 
cada esfera?
Solução:
 As cargas e podem ser 
utilizadas para o cálculo do campo elétrico na superfície de 
cada esfera, obtido pela expressão:
Em que é o vetor unitário que parte do centro de cada 
esfera. 
 Substituindo e é 
determinado o campo elétrico na superfície da esfera 1:
 
E com e :
Com isso, os módulos dos campos elétricos para as 
esferas 1 e 2 são e , respectivamente.
(c) Qual é o potencial elétrico em cada esfera?
Solução:
 Os potenciais elétricos das esferas são iguais, 
portanto, adotando a esfera 1:
 Onde e , isto é:
 Logo, o potencial elétrico em cada esfera é de 
.
retomando a aula
Chegamos, assim, ao final de nossa aula. Vamos, 
então, recordar algumas discussões realizadas ao 
longo das seções?
1 – Energia Potencial Elétrica e Potencial Elétrico
Nesta seção, vimos uma forma de associar a energia 
potencial da partícula ao campo elétrico é por meio da energia 
potencial por unidade de carga, com valor único para cada 
ponto do espaço, assim tem-se o potencial elétrico. A variação 
de energia potencial é igual a realização de trabalho sobre 
o sistema, com o deslocamento da partícula de um ponto 
arbitrário para outro, ou seja, . No caso de uma 
partícula carregada ser lançada em um campo elétrico, por 
meio de uma força, há o trabalho realizado por esta 
força e o trabalho , devido à ação do campo elétrico sobre a 
partícula, que foram relacionados com a utilização do teorema 
do trabalho e energia cinética.
28Física Teórica e Experimental iii
2 – Superfície Equipotenciais
Uma superfície equipotencial foi definida como um 
conjunto de pontos que possuem o mesmo potencial elétrico, 
a superfície pode ser real ou imaginária. Como salientado nesta 
seção, o trabalho não depende da trajetória percorrida, assim 
como a energia potencial e o potencial. A uma determinada 
distribuição de cargas pode ser associada a um campo elétrico 
e a uma família de superfícies equipotenciais. Em um campo 
elétrico uniforme, as superfícies equipotenciais são planos 
perpendiculares às linhas de campo elétrico e, do mesmo 
modo, ao vetor campo elétrico, tangente as linhas. 
3 – Potencial Produzido por Cargas Pontuais
 O potencial elétrico produzido por uma carga 
elétrica a uma determinada distância da partícula fixa, conduz 
a expressão deduzida nesta seção que também pode ser 
aplicada ao cálculo do potencial externamente ou sobre a 
superfície de uma distribuição de cargas com simetria esférica. 
O potencial elétrico é positivo se a partícula possui carga 
positiva e negativo se a partícula possui carga negativa. Como 
percebemos em nossos estudos, quanto menor o valor de , 
maior o valor de , isto é, , implica em .
4 – Energia Potencial Elétrica de um Sistema de 
Cargas Pontuais
 A energia potencial elétrica em um sistema de cargas 
de pontuais pode ser entendida como o trabalho necessário 
para aproximar estes corpos e formar um determinado 
sistema, com uma variação de distância infinita entre a 
posição inicial e a posição final do sistema. A tendência é 
que retornem as posições iniciais, desse modo a energia 
potencial armazenada, é convertida em energia cinética. Se as 
cargas possuem o mesmo sinal, o trabalho de aproximação 
é positivo, assim como a energia potencial, enquanto se as 
cargas possuem sinais contrários, o trabalho depreendido 
necessita ser no sentido de afastamento, nesse caso o trabalho 
e a energia potencial do sistema são negativos. 
Vale a pena
 
O potencial elétrico. Disponível em: https://
cu r sos. i f . u f f . b r/ ! f i s i c a2 -0117/ l ib/exe/ fe t ch .
php?media=notasdeaula:fabio_potencial_eletrico.pdf. 
Acesso em: 05 maio 2020.
 Energia potencial elétrica – Eletrostática. 
Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=7T2EouqZUHM. Acesso em: 05 maio 2020.
 Potencial elétrico no campo de várias 
cargas. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=31hDdlSfv3Q. Acesso em: 05 maio 2020.
Vale a pena acessar
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, 
Jearl. Fundamentos de física: mecânica. 8. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2008.
 TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene; MORS, Paulo 
Machado. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, oscilações e 
ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
 YOUNG, Hugh; FREEDMAN, Roger A. Física 
III: eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison 
Wesley, v. 3, 2014. 402 p.
Vale a pena ler
Minhas anotações