geometriaespacial-revisão enem

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l l 
h 
l 
Área do Círculo 
R 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALTURA E ÁREA DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
 
 𝒉 𝒉 =
𝒍√𝟑
𝟐
 𝒆 𝑨 =
𝒍𝟐√𝟑
𝟒
 
 
 
 
 
FÓRMULA MUITO USADA: 
a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras) 
 
POLIEDRO: Sólidos limitados 
por superfícies planas poligonais, 
nas quais podemos destacar os 
seguintes elementos: 
 
 E S T U D O D O S P R I S M A S 
1- Classificação e elementos 
Aresta da Base (l) – É o lado do polígono da base. 
Aresta Lateral (L) – É o lado de uma face lateral. 
Altura (h) – É a distância entre os planos das bases. 
Vértices – São as quinas (interseção entre duas arestas). 
APLICAÇÕES 
1- Qual o valor da altura e da área de um triângulo 
equilátero cujo lado mede 6cm? 
 
2– Um prisma quadrangular regular tem 7cm de 
aresta lateral e 5 cm de aresta da base. Calcular: 
A) área da base 
B) área lateral 
C) área total 
D) volume 
 
3- Um prisma triangular regular apresenta 9cm de 
aresta lateral e 4 cm de aresta da base. Calcular 
A) área da base 
B) área lateral 
C) área total 
D) volume 
 PARALELEPÍPEDO 
 
 
 
 
Fórmulas: 
 
 
 
 
 
Área lateral (AL) 
 
ÁREAS IMPORTANTES 
 
 
Diagonal do paralelepípedo: 𝑫 = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 
 
 Área lateral: 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄 
 Área total: 𝟐𝒂𝒃 + 𝟐𝒂𝒄 + 𝟐𝒃𝒄 
 Volume: 𝑽 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 
GUARDE NA MENTE: 
1 m3= 1000 litros 1cm3 = 1ml 
1 litro = 1 dm3 = 1000 cm3 
 
Exemplo: Para encher uma caixa d´água de 3m de 
comprimento por 2m de largura e 2m de 
profundidade, quanto litros de água são necessários? 
 
 
• Área da Base ( 𝑨𝒃 ) 
Representa a área do polígono da base. 
• Área lateral ( 𝑨𝒍 ) 
Representa a soma das áreas das faces laterais. 
• Área total: 𝑨𝒕 = 𝟐 ∙ 𝑨𝒃 + 𝑨𝒍 
• Volume: 𝑽 = 𝑨𝒃 ∙ 𝒉 
 
 
 
Diagonal da base:𝒅𝟏 = 𝒂√𝟐 
Diagonal paralelepípedo: 𝒅 = 𝒂√𝟑 
Área total: 𝑨𝒕 = 𝟔𝒂
𝟐 
Volume: 𝑽 = 𝒂𝟑 
Exemplo: Uma caixa cúbica tem 2 m de aresta. 
Determine a diagonal da caixa, a área total e a sua 
capacidade, em litros. 
Prof. Rubem Machado 
 rubemachado08@gmail.com 
 Revisão 1 
GEOMETRIA ESPACIAL ENEM - 2019 MATEMÁTICA 
𝑨𝒄í𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐 = 𝝅𝑹
𝟐 
 VÉRTICE 
 
 FACE 
ARESTA 
D 
CUBO FÓRMULAS: 
 (a) comprimento 
 (b) largura 
 (c) altura 
𝑅𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑙𝑒𝑟 
𝑽 + 𝑭 = 𝑨 + 𝟐 
2 
 
h – altura; 
R – raio da base; 
g – geratriz; 
V – vértice; 
O – centro da base. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1- Determine a área total e o volume do 
paralelepípedo abaixo: 
 
2- Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu volume 
é: 
a) 9cm3. 
b) 81cm3. 
c) 180cm3. 
d) 243cm3. 
e) 729cm3. 
3- (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina 
olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 
3m de profundidade. O seu volume, em litros, é: 
a) 3750. b) 37500. 
c) 375000. d) 3750000. 
e) 37500000. 
 
 C I L I N D R O 
1- Área Lateral 
 
2- Área Total 
 
 
3- Volume é igual ao volume do prisma. 
 𝑽 = 𝑨𝒃 ∙ 𝒉 → 𝑽 = 𝝅𝑹
𝟐 ∙ 𝒉 
 CONE 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
1) Para um cone que tem geratriz g com 5cm e raio r da 
base com 3cm, calcular: 
a) área lateral 
b) área da base 
c) área total 
d) altura 
e) volume 
 
2) Sabendo que em um cone equilátero o raio da base 
mede √3 cm, determine: 
a) área total b) altura c) volume 
 
OBS: - A secção meridiana de um cone equilátero é um 
triângulo equilátero. 
 
- Num triângulo equilátero, o diâmetro da base é igual à 
geratriz, ou g = 2r. 
h 
AT = AL + 2Ab 
3 
 
3) Para um cone reto com g = 10 cm e r = 6 cm, calcule: 
a) área lateral 
b) área da base 
c) área total 
d) altura 
e) volume 
4) O cone da figura tem geratriz g=30cm e raio R=40cm. 
Se fabricarmos um copinho com esta forma e estas 
medidas, quantos litros de água caberá nele? 
 
 
 PIRÂMIDE 
3) A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3 
cm. Sabendo que a altura da pirâmide mede 10 cm, 
calcule a medida do apótema da pirâmide. 
 
4) Um reservatório tem a forma de um tronco de 
pirâmide hexagonal regular. Sabendo que a altura do 
tronco vale 6 cm e as arestas das bases medem 2m e 4 
m, determinar o seu volume. 
 
 
 
 ESFERA 
 
 
 
 
 
 
 
Área da superfície: A = 4..R 
2
 
 
 
Volume: 
4. .R 3 
V = 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Uma pirâmide triangular regular tem todas as arestas 
iguais a 12cm. Determine: 
a) o apótema da base 
b) o apótema da pirâmide 
c) a área da base 
d) área total 
e) volume 
 
2) Uma pirâmide triangular regular tem aresta da 
base a = 3cm e altura h = 5 cm. O volume dessa 
pirâmide é de: 
 
 
a) 
13√3
2
 𝑐𝑚³ b) 
5√3
4
 𝑐𝑚³ c) 
15√3
4
 𝑐𝑚³ 
OBS: A esfera é um sólido geométrico limitado por 
uma superfície curva. A sua forma esférica, não tem 
bases, não tem vértices e não tem arestas. Logo, a 
esfera não pode ser planificada, contudo, é possível 
calcular a sua área. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1) Para uma esfera de raio igual a 200 cm, calcule a área 
da superfície e o seu volume. 
2) A terra tem aproximadamente um raio de 6,4 x 10³ 
km. Qual é o seu volume, se consideramos a terra 
esférica? Considere π = 3. 
 
 
 
 
d) 
3√3
2
 𝑐𝑚³ e) 3√3 𝑐𝑚³ 
Volume da Terra ≅ ? 
4 
 
QUESTÕES 
 
1. Qual o volume da caixa da figura abaixo? 
 
 
2. Quantos litros de leite cabem na caixa da figura 
abaixo? 
 
3. A pirâmide de Quéops é conhecida como a Grande 
Pirâmide do Egito. Sua base (quadrada) tem 
aproximadamente 230 m de aresta e sua altura é de 
147 m. Qual o volume dessa pirâmide? 
 
4. A figura representa um tambor, desses que são 
usados no transporte de óleo. O raio da sua base 
mede 30 cm e a altura, 85 cm. Quantos litros de óleo 
ele pode comportar aproximadamente? 
 
 
5. Uma seringa tem a forma cilíndrica com 2 cm de 
diâmetro por 8 cm de comprimento. Quando o êmbolo 
se afastar 5 cm da extremidade da seringa próxima à 
agulha, qual o volume, em mililitros, de remédio líquido 
que a seringa pode conter? 
 
6- Um produto é embalado em recipiente com 
formato de cilindros retos. O cilindro A tem altura 
20cm e raio da base 5cm. O cilindro B tem altura 
10cm e raio da base de 10cm. 
a) Em qual das duas embalagens gasta-se menos 
material? 
 
b) O produto embalado no cilindro A é vendido 
a R$ 4,00 a unidade, e o do cilindro B a R$ 7,00 a 
unidade. Para o consumidor, qual a embalagem 
mais vantajosa? 
 
7- Uma caixa de sapatos (com tampa) é 
confeccionada com papelão e tem as medidas, 
em centímetros, conforme a figura. Sabendo-se 
que à área total da caixa são acrescentados 2% 
para fazer as dobras de fixação. Qual o total de 
papelão empregado na confecção da caixa, em 
cm2? 
 
 
8-(ENEM-2010) Dona Maria, diarista na casa da 
família Teixeira, precisa fazer café para servir as 
vinte pessoas que se encontram numa reunião na 
sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de 
uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, 
também cilíndricos. 
 
 
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista 
deseja colocar a quantidade mínima de água na 
leiteira para encher os vinte copinhos pela 
metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá: 
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um 
volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um 
volume 20 vezes maior que o volume do copo. 
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo. 
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um 
volume 10 vezes maior que o volume do copo.