PRIMERA EVALUACION

Prévia do material em texto

Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Ejercicios Resueltos 
Primera Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria. 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Para que el producto que plantea la inecuación sea mayor a cero, los factores deben ser 
ambos positivos o ambos negativos. 
Por lo cual planteamos analíticamente las dos condiciones. 
 
(2𝑥 − 3 > 0 ∧ 𝑥2 − 4 > 0) ∨ (2𝑥 − 3 < 0 ∧ 𝑥2 − 4 < 0) 
 
(2𝑥 > 3 ∧ 𝑥2 > 4) ∨ (2𝑥 < 3 ∧ 𝑥2 < 4) 
 
(𝑥 >
3
2
∧ |𝑥| > 2) ∨ (𝑥 <
3
2
∧ |𝑥| < 2) 
 
(𝑥 >
3
2
∧ 𝑥 > 2 ∨ 𝑥 < −2) ∨ (𝑥 <
3
2
∧ −2 < 𝑥 < 2) 
 
(𝑥 > 2) ∨ (−2 < 𝑥 <
3
2
) 
 
Por lo cual 𝑥 ∈ (−2;
3
2
) ∪ (2; +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todos los valores de 𝒙 ∈ ℝ que satisfacen la siguiente desigualdad: 
 
(𝟐𝒙 − 𝟑) ∙ (𝒙𝟐 − 𝟒) > 𝟎, son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Para que el cociente que plantea la inecuación sea menor o igual que cero, deben 
cumplirse alguna de las siguientes condiciones: 
 
- Numerador positivo o cero y denominador negativo. 
- Numerador negativo o cero y denominador positivo. 
- 
(2𝑥 − 2 ≥ 0 ∧ 𝑥 − 3 < 0) ∨ (2𝑥 − 2 ≤ 0 ∧ 𝑥 − 3 > 0) 
(2𝑥 ≥ 2 ∧ 𝑥 < 3) ∨ (2𝑥 ≤ 2 ∧ 𝑥 > 3) 
(𝑥 ≥ 1 ∧ 𝑥 < 3) ∨ (𝑥 ≤ 1 ∧ 𝑥 > 3) 
(1 ≤ 𝑥 < 3) ∨ (∅) 
 
𝑥 ∈ [1;3) 
 
 
 
 
 
Resolución 
Para que el cociente que plantea la inecuación sea mayor o igual que cero, deben 
cumplirse alguna de las siguientes condiciones: 
 
- Numerador positivo o cero y denominador positivo. 
- Numerador negativo o cero y denominador negativo. 
- 
(2𝑥 + 4 ≥ 0 ∧ 𝑥 − 1 > 0) ∨ (2𝑥 + 4 ≤ 0 ∧ 𝑥 − 1 < 0) 
(2𝑥 ≥ −4 ∧ 𝑥 > 1) ∨ (2𝑥 ≤ −4 ∧ 𝑥 < 1) 
(𝑥 ≥ −2 ∧ 𝑥 > 1) ∨ (𝑥 ≤ −2 ∧ 𝑥 < 1) 
(𝑥 > 1) ∨ (𝑥 ≤ −2) 
𝑥 ∈ (−∞;−2] ∪ (1; +∞) 
 
 
Todos los valores de 𝒙 ∈ ℝ que satisfacen la siguiente desigualdad: 
𝟐𝒙−𝟐
𝒙−𝟑
≤ 𝟎, 
son: 
 
 
Todos los valores de 𝒙 ∈ ℝ que satisfacen la siguiente desigualdad: 
 𝟐𝒙+𝟒
𝒙−𝟏
≥ 𝟎, 
son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Para que el producto que plantea la inecuación sea mayor a cero, los factores deben ser 
ambos positivos o ambos negativos. 
Por lo cual planteamos analíticamente las dos condiciones. 
 
(6𝑥 − 3 > 0 ∧ 𝑥2 − 9 > 0) ∨ (6𝑥 − 3 < 0 ∧ 𝑥2 − 9 < 0) 
 
(6𝑥 > 3 ∧ 𝑥2 > 9) ∨ (6𝑥 < 3 ∧ 𝑥2 < 9) 
 
(𝑥 >
1
2
∧ |𝑥| > 3) ∨ (𝑥 <
1
2
∧ |𝑥| < 3) 
 
(𝑥 >
1
2
∧ 𝑥 > 3 ∨ 𝑥 < −3) ∨ (𝑥 <
1
2
∧ −3 < 𝑥 < 3) 
 
(𝑥 > 3) ∨ (−3 < 𝑥 <
1
2
) 
 
Por lo cual 𝑥 ∈ (−3;
1
2
) ∪ (3; +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Resolvemos las inecuaciones que condicionan cada uno de los conjuntos. 
 
 
 
 
 
 
Todos los valores de 𝒙 ∈ ℝ que satisfacen la siguiente desigualdad: 
 
 (𝟔𝒙 − 𝟑) ∙ (𝒙𝟐 − 𝟗) > 𝟎, son: 
 
 
 
Dados los conjuntos 𝑨 = {𝒙 ∈ 𝑹 ∕ |𝟐 + 𝒙| < 𝟔} y 𝑩 = {𝒙 𝝐 𝑹 𝟐𝒙𝟐⁄ + 𝟒𝒙 − 𝟔 ≥ 𝟎}, 
 
la expresión como intervalo o unión de intervalos del conjunto 𝑨 ∩ 𝑩, es: 
 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Resolución 
 
Conjunto A: 
|2 + 𝑥| < 6 ⟹ −6 < 2 + 𝑥 < 6 ⟹ −6 − 2 < 𝑥 < 6 − 2 ⟹ −8 < 𝑥 < 4 ⟹ 𝑥 ∈ (−8; 4) 
Conjunto B: 
2𝑥2 + 4𝑥 − 6 ≥ 0 ⟹ 2 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 3) ≥ 0 
 ↓ 
 Cálculo auxiliar: 𝑥 =
−4±√42−4∙2∙(−6)
2∙2
=
−4±√16+48
4
=
−4±√64
4
=
−4±8
4
= {
𝑥1 = 1
𝑥2 = −3
 
 
Para que el producto obtenido sea mayor o igual a cero, debe cumplirse que ambos 
factores sean positivos o ambos negativos, ya que 2 > 0. 
2 ∙ (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 3) ≥ 0 ⟹ (𝑥 − 1 ≥ 0 ∧ 𝑥 + 3 ≥ 0) ∨ (𝑥 − 1 ≤ 0 ∧ 𝑥 + 3 ≤ 0) ⟹ 
⟹ (𝑥 ≥ 1 ∧ 𝑥 ≥ −3) ∨ (𝑥 ≤ 1 ∧ 𝑥 ≤ −3) ⟹ 𝑥 ≥ 1 ∨ 𝑥 ≤ −3 ⟹ 𝑥 ∈ (−∞;−3] ∪ [1;+∞) 
Buscamos la intersección entre ambos conjuntos: 
𝐴 ∩ 𝐵 = (−8; 4) ∩ ((−∞;−3] ∪ [1;+∞)) = (−∞;−3] ∪ [1;4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Resolvemos las inecuaciones que condicionan cada uno de los conjuntos. 
Conjunto D: 
|𝑥 + 3| ≤ 8 ⟹ −8 ≤ 𝑥 + 3 ≤ 8 ⟹ −8 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 8 − 3 ⟹ −11 ≤ 𝑥 ≤ 5 ⟹ 𝑥 ∈ [−11; 5] 
Conjunto T: 
−2𝑥2 − 4𝑥 + 6 > 0 ⟹ −2 ∙ (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 1) > 0 
 ↓ 
 Cálculo auxiliar: 𝑥 =
−(−4)±√(−4)2−4∙(−2)∙6
2∙(−2)
=
4±√16+48
−4
=
4±√64
−4
=
4±8
−4
= {
𝑥1 = −3
𝑥2 = 1
 
 
Para que el producto obtenido sea mayor a cero, tiene que cumplirse que ambos factores 
sean de distinto signo, ya que −2 < 0. 
 
−2 ∙ (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 1) > 0 ⟹ (𝑥 + 3 > 0 ∧ 𝑥 − 1 < 0) ∨ (𝑥 + 3 < 0 ∧ 𝑥 − 1 > 0) ⟹ 
⟹ (𝑥 > −3 ∧ 𝑥 < 1) ∨ (𝑥 < −3 ∧ 𝑥 > 1) ⟹ −3 < 𝑥 < 1 ⟹ 𝑥 ∈ (−3; 1) 
Buscamos la intersección entre ambos conjuntos: 
𝐴 ∩ 𝐵 = [−11; 5] ∩ (−3; 1) = (−3; 1) 
 
Dados los conjuntos 𝑫 = {𝒙 𝝐 𝑹 ∕ |𝒙 + 𝟑| ≤ 𝟖} y 𝑻 = {𝒙 𝝐 𝑹 −𝟐𝒙𝟐⁄ − 𝟒𝒙 + 𝟔 > 𝟎}, 
 
la expresión como intervalo o unión de intervalos del conjunto 𝑫 ∩ 𝑻, es: 
 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Conjunto S: 
|2𝑥 − 1| ≤ 5 ⟹ −5 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 5 ⟹ −5 + 1 ≤ 2𝑥 ≤ 5 + 1 ⟹ −4 ≤ 2𝑥 ≤ 6 ⟹ 𝑥 ∈ [−2; 3] 
y 
3𝑥 + 5 > 8 ⟹ 3𝑥 > 8 − 5 ⟹ 3𝑥 > 3 𝑥 > 1 
 
Buscamos la intersección entre ambos conjuntos: 
𝑆 = [−4 ; 6] ∩ (1 ; +∞) = (1 ; 3] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Conjunto B: 
|𝑥 +
1
2
| > 1 ⟹ 𝑥 +
1
2
> 1 ∨ 𝑥 +
1
2
< −1 ⟹ 𝑥 >
1
2
 ∨ 𝑥 < −
3
2 
⟹ 
𝑥 ∈ (−∞; −
3
2
) ∪ (
1
2
; +∞) 
Y 
 
2𝑥 − 2 < 2 ⟹ 2𝑥 < 4 ⟹ 𝑥 < 2 
 
Buscamos la intersección entre ambos conjuntos: 
𝑆 = (−∞ ; −
3
2
) ∪ (
1
2
; 2) 
 
 
Dado el conjunto 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ ∶ |𝟐𝒙 − 𝟏| ≤ 𝟓 𝒚 𝟑𝒙 + 𝟓 > 𝟖 } , su expresión como 
 
 intervalo o unión de intervalos, es: 
 
 
 
 
Dado el conjunto 𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ ∶ |𝒙 +
𝟏
𝟐
| > 𝟏 𝒚 𝟐𝒙 − 𝟐 < 𝟐 } , su expresión como 
 
intervalo o unión de intervalos, es: 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Planteamos la distancia entre los puntos A y B y resolvemos la ecuación que se obtiene: 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(6ℎ − 8 − 2ℎ)2 + (−3 − 5)2 
4√13 = √(4ℎ − 8)2 + (−8)2 
4√13 = √(4ℎ)2 − 2 ∙ 4ℎ ∙ 8 + 82 + (−8)2 
4√13 = √16ℎ2 − 64ℎ + 64 + 64 
4√13 = √16ℎ2 − 64ℎ + 128 
(4√13)
2
= 16ℎ2 − 64ℎ + 128 
208 = 16ℎ2 − 64ℎ + 128 
0 = 16ℎ2 − 64ℎ − 80 
ℎ =
−(−64)±√(−64)2−4∙16∙(−80)
2∙16
=
64±√4096+5120
32
=
64±√9216
32
=
64±96
32
= {
ℎ1 = 5
ℎ2 = −1
 
Por lo tanto, los valores pedidos son 5 y −1. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Planteamos la distancia entre los puntos A y B y resolvemos la ecuación que se obtiene: 
 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(2𝑘 + 1 − 3)2 + (1 + 1)2 
√20 = √(2𝑘 − 2)2 + (2)2 
√20 = √(2𝑘)2 − 2 ∙ 2𝑘 ∙ 2 + 22 + 4 
√20 = √4𝑘2 − 8𝑘 + 4 + 4 
√20 = √4𝑘2 − 8𝑘 + 8 
 
Los valores de 𝒉 ∈ 𝑹, tal que la distancia entre los puntos 𝑨 = (𝟐𝒉; 𝟓)y 
𝑩 = (𝟔𝒉 − 𝟖; −𝟑), sea 𝟒√𝟏𝟑, son: 
 
 
 
Los valores de 𝒌 ∈ ℝ , tal que la distancia entre los puntos 𝑨 = (𝟑; −𝟏) y 
 𝑩 = (𝟐𝒌 + 𝟏; 𝟏) sea √𝟐𝟎, son: 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
(√20)
2
= 4𝑘2 − 8𝑘 + 8 
20 = 4𝑘2 − 8𝑘 + 8 
0 = 4𝑘2 − 8𝑘 − 12 
𝑘 =
−(−8)±√(−8)2−4∙4∙(−12)
2∙4
=
8±√64+192
8
=
8±√256
8
=
8±16
8
= {
𝑘1 = 3
𝑘2 = −1
 
Por lo tanto, los valores pedidos son 3 y −1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Planteamos la distancia entre los puntos A y B y resolvemos la ecuación que se obtiene: 
 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(2 − 𝑎)2 + (−1 − 3)2 
5 = √(2 − 𝑎)2 + −42 
5 = √(2)2 − 2 ∙ 2. 𝑎 + 𝑎 + 16 
5 = √4 − 4𝑎 + 𝑎2 + 16 
5 = √𝑎2 − 4𝑎 + 20 
(5)2 = 𝑎2 − 4𝑎 + 20 
25 = 𝑎2 − 4𝑎 + 20 
0 = 𝑎2 − 4𝑎 − 5 
 
Por lo tanto,los valores pedidos son 5 y −1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados los puntos 𝑷 = (𝒂; 𝟑) y 𝑸 = (𝟐; −𝟏), todos los valores de 𝒂 ∈ ℝ para los 
cuales la distancia entre 𝑷 y 𝑸 sea igual a 𝟓, son: 
 
 
Dado el punto 𝑸 = (𝟏; 𝟐), todos los puntos de la forma 𝑷 = (𝒂; 𝒂 + 𝟐) tales que 
la distancia entre 𝑷 y 𝑸 es √𝟓, son: 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Resolución 
 
Planteamos la distancia entre los puntos A y B y resolvemos la ecuación que se obtiene: 
 
𝑑(𝐴; 𝐵) = √(𝑎 − 1)2 + (𝑎 + 2 − 2)2 
√5 = √(𝑎 − 1)2 + (𝑎)2 
√5 = √(𝑎)2 − 2𝑎 + 12 + 𝑎2 
√5 = √2𝑎2 − 2𝑎 + 1 
 
(√5)
2
= 2𝑎2 − 2𝑎 + 1 
5 = 2𝑎2 − 2𝑎 + 1 
0 = 2𝑎2 − 2𝑎 − 4 
𝑎 = 2 y 𝑎 =-1 
 
𝑃1 = (2; 4) 𝑦 𝑃2 = (−1 ; 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Dominio de 𝒇(𝒙): 
Para determinar el dominio de una función es necesario analizar en su fórmula qué 
operaciones figuran y si alguna de ellas tiene alguna restricción. En el caso de esta 
función, las operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación no tienen 
restricciones ya que son válidas para cualquier número real; pero la raíz cuadrada sí 
presenta una condición a cumplir, y es que el radicando (la expresión que se encuentra 
dentro de la raíz) no puede ser negativo. Es decir que la condición que debe cumplirse es: 
2𝑥2 − 2 ≥ 0 
Resolver esa inecuación nos dará el conjunto correspondiente al dominio de la función. 
2𝑥2 − 2 ≥ 0 ⟹ 2𝑥2 ≥ 2 ⟹ 𝑥2 ≥ 1 ⟹ |𝑥| ≥ 1 
 
El dominio y el conjunto imagen de la función 
 𝒇(𝒙) = 𝟏 + 𝟐√𝟐𝒙𝟐 − 𝟐 , son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
 
Aplicando las propiedades de valor absoluto: 
|𝑥| ≥ 1 
𝑥 > 1 𝑜 𝑥 < −1 
Por lo tanto: 𝑥 ∈ (−∞;−1] ∪ [1; +∞) ⟹ 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) = (−∞;−1] ∪ [1; +∞) 
 
Conjunto Imagen de 𝒇(𝒙): 
El conjunto imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar la función. 
Para su determinación debemos analizar qué resultados puedo obtener en las distintas 
operaciones que aparecen en su fórmula. 
En el caso de f(x), la expresión √𝟐𝒙𝟐 − 𝟐 será un valor mayor o igual a 0 (no puede ser 
negativo); si multiplicamos por 2 cualquier resultado, también obtendremos un número 
mayor o igual a 0. Si luego se suma 1 a ese resultado, los valores posibles de la función 
serán mayores o iguales a 1. 
Es decir: 𝑰𝒎 𝒇(𝒙) = [𝟏; +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Dominio de 𝒇(𝒙): 
Para determinar el dominio de una función es necesario analizar en su fórmula qué 
operaciones figuran y si alguna de ellas tiene alguna restricción. En el caso de esta 
función, las operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación no tienen 
restricciones ya que son válidas para cualquier número real; pero la raíz cuadrada sí 
presenta una condición a cumplir, y es que el radicando (la expresión que se encuentra 
dentro de la raíz) no puede ser negativo. Es decir que la condición que debe cumplirse es: 
 
Dada la función 𝒉(𝒙) = 𝟐√𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 − 𝟏 , el dominio y la imagen de la función, 
son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
3𝑥2 − 3 ≥ 0 
Resolver esa inecuación nos dará el conjunto correspondiente al dominio de la función. 
3𝑥2 − 3 ≥ 0 ⟹ 3𝑥2 ≥ 3 ⟹ 𝑥2 ≥ 1 ⟹ |𝑥| ≥ 1 
 
 
 
Aplicando las propiedades de valor absoluto: 
|𝑥| ≥ 1 
𝑥 > 1 𝑜 𝑥 < −1 
Por lo tanto: 𝑥 ∈ (−∞;−1] ∪ [1; +∞) ⟹ 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) = (−∞;−1] ∪ [1; +∞) 
 
Conjunto Imagen de 𝒇(𝒙): 
El conjunto imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar la función. 
Para su determinación debemos analizar qué resultados puedo obtener en las distintas 
operaciones que aparecen en su fórmula. 
En el caso de f(x), la expresión √𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 será un valor mayor o igual a 0 (no puede ser 
negativo); si multiplicamos por 2 cualquier resultado, también obtendremos un número 
mayor o igual a 0. Si luego se resta 1 a ese resultado, los valores posibles de la función 
serán mayores o iguales a -1. 
Es decir: 𝑰𝒎 𝒇(𝒙) = [−𝟏; +∞) 
 
 
 
 
 
Resolución 
Dominio de 𝒇(𝒙): 
Para determinar el dominio de una función es necesario analizar en su fórmula qué 
operaciones figuran y si alguna de ellas tiene alguna restricción. En el caso de esta 
función, las operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación no tienen 
 
El dominio y el conjunto imagen de la función 
 𝒇(𝒙) = √𝟏𝟔 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑 , son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
restricciones ya que son válidas para cualquier número real; pero la raíz cuadrada sí 
presenta una condición a cumplir, y es que el radicando (la expresión que se encuentra 
dentro de la raíz) no puede ser negativo. Es decir que la condición que debe cumplirse es: 
16 − 4𝑥2 ≥ 0 
Resolver esa inecuación nos dará el conjunto correspondiente al dominio de la función. 
16 − 4𝑥2 ≥ 0 ⟹ −4𝑥2 ≥ −16 ⟹ 𝑥2 ≤ 4 ⟹ |𝑥| ≤ 2 
 
 
 
Aplicando las propiedades de valor absoluto: 
|𝑥| ≤ 1 
−2 ≤ 𝑥 ≤ 2 
Por lo tanto: 𝑥 ∈ [−2 ; 2] ⟹ 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) = [−2 ; 2] 
 
Conjunto Imagen de 𝒇(𝒙): 
El conjunto imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar la función. 
Para su determinación debemos analizar qué resultados puedo obtener en las distintas 
operaciones que aparecen en su fórmula. 
En el caso de f(x), la expresión √𝟏𝟔 − 𝟒𝒙𝟐 será un valor mayor o igual a 0 (no puede ser 
negativo). Si luego se suma 3 a ese resultado, los valores posibles de la función serán 
mayores o iguales a 3. 
Es decir: 𝑰𝒎 𝒇(𝒙) = [𝟑; +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El dominio e imagen de la siguiente función 𝒇(𝒙) = 𝟒√𝟑𝒙 −
𝟏
𝟏𝟔
, son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
Resolución 
 
 
Dominio de 𝒇(𝒙): 
Para determinar el dominio de una función es necesario analizar en su fórmula qué 
operaciones figuran y si alguna de ellas tiene alguna restricción. En el caso de esta 
función, las operaciones de suma, resta, multiplicación y potenciación no tienen 
restricciones ya que son válidas para cualquier número real; pero la raíz cuadrada sí 
presenta una condición a cumplir, y es que el radicando (la expresión que se encuentra 
dentro de la raíz) no puede ser negativo. Es decir que la condición que debe cumplirse es: 
3𝑥 −
1
16
≥ 0 
Resolver esa inecuación nos dará el conjunto correspondiente al dominio de la función. 
3𝑥 −
1
16
≥ 0 ⟹ 3𝑥 ≥
1
16
 ⟹ 𝑥 ≥
1
48
 
 
 
Por lo tanto: 𝐷𝑜𝑚 𝑓(𝑥) = [
1
48 
; +∞) 
 
Conjunto Imagen de 𝒇(𝒙): 
El conjunto imagen de una función es el conjunto de valores que puede tomar la función. 
Para su determinación debemos analizar qué resultados puedo obtener en las distintas 
operaciones que aparecen en su fórmula. 
En el caso de f(x), la expresión √3𝑥 −
1
16
 será un valor mayor o igual a 0 (no puede ser 
negativo); si multiplicamos por 4 cualquier resultado, también obtendremos un número 
mayor o igual a 0. 
Es decir: 𝑰𝒎 𝒇(𝒙) = [𝟎; +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación de la recta que pasa por el punto (𝟏 ; 𝟑) y es perpendicular a la 
 recta de ecuación 𝒚 =
𝟒
𝟕
𝒙 + 
𝟏𝟏
𝟕
, es: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
Resolución: 
La recta que debemos hallar tiene por ecuación a la expresión 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente y 
𝑏 la ordenada al origen. 
La recta buscada es perpendicular a la recta 𝒚 =
𝟒
𝟕
𝒙 + 
𝟏𝟏
𝟕
 , para obtener su pendiente tenemos en 
cuenta que el producto entre sus pendientes es igual a – 1. 
Entonces como la pendiente de la recta dada es 
4
7
 , se debe cumplir que: 
𝑚.
4
7
= −1 
Despejando 𝑚 = −
7
4
. 
Conlo cual la ecuación nos queda: 𝑦 = −
7𝑥
4
+ 𝑏. 
Para hallar la ordenada al origen reemplazamos las coordenadas del punto dado 
(1 ; 3) en la ecuación 𝑦 = −
7𝑥
4
+ 𝑏. 
Entonces 3 = −
7
4
. 1 + 𝑏 con lo cual 𝑏 = 3 +
7
4
=
19
4
 
Finalmente la ecuación buscada es 𝑦 = −
7𝑥
4
+
19
4
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación de la recta que tiene ordenada al origen 3 y es paralela a la recta de ecuación 
 𝒚 = 𝒙 +
𝟑
𝟐
, es: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Resolución 
 
La recta que debemos hallar tiene por ecuación a la expresión 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente y 
𝑏 la ordenada al origen. 
La recta buscada es paralela a la recta 𝒚 = 𝒙 + 
𝟑
𝟐
 , para obtener su pendiente tenemos en cuenta que si 
dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales. 
Entonces la pendiente de la recta buscada es 1. 
Como la ordenada al origen es 3, podemos reemplazar en la ecuación. 
Finalmente la ecuación buscada es 𝑦 = 𝑥 + 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
La recta que debemos hallar tiene por ecuación a la expresión 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente y 
𝑏 la ordenada al origen. 
La recta buscada es perpendicular a la recta 𝒚 = −
𝟑
𝟐
𝒙 + 
𝟕
𝟐
 , para obtener su pendiente tenemos en 
cuenta que el producto entre sus pendientes es igual a – 1. 
Entonces como la pendiente de la recta dada es −
3
2
 , se debe cumplir que: 
𝑚. (−
3
2
) = −1 
Despejando 𝑚 = 
2
3
. 
Con lo cual la ecuación nos queda: 𝑦 =
2
3
𝑥 + 𝑏. 
 
La ecuación de la recta que pasa por el punto (−𝟐 ; 𝟓) y es perpendicular a la 
recta de ecuación 𝒚 = −
𝟑
𝟐
𝒙 + 
𝟕
𝟐
, es: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Para hallar la ordenada al origen reemplazamos las coordenadas del punto dado 
(−2 ; 5) en la ecuación 𝑦 =
2
3
𝑥 + 𝑏. 
Entonces 5 =
2
3
. (−2) + 𝑏 con lo cual 𝑏 = 5 +
4
3
=
19
3
 
Finalmente la ecuación buscada es 𝑦 =
2
3
𝑥 +
19
3
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
La recta que debemos hallar tiene por ecuación a la expresión 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑚 es la pendiente y 
𝑏 la ordenada al origen. 
La recta buscada es paralela a la recta 𝒚 = 𝟐𝒙 + 
𝟏
𝟑
 , para obtener su pendiente tenemos en cuenta que 
si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales. 
Entonces la pendiente de la recta buscada es 2. 
Como la ordenada al origen es -4, podemos reemplazar en la ecuación. 
Finalmente la ecuación buscada es 𝑦 = 2𝑥 − 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación de la recta que tiene ordenada al origen - 4 y es paralela a la recta 
 
 de ecuación 𝒚 = 𝟐𝒙 +
𝟏
𝟑
, es: 
 
La fórmula de la función cuadrática que satisface: 
 La gráfica pasa por los puntos 𝑨 = (𝟐; 𝟎) y 𝑩 = (𝟎; 𝟔) 
 La abscisa del vértice está en 𝒙𝒗 = −𝟏. 
Es: 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Resolución 
Hay varias maneras de encarar este ejercicio. 
Por ejemplo: Como conocemos la 𝑥𝑣 = −1 podemos utilizar la expresión canónica: 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 , 𝑎 ≠ 0 
Reemplazando en ella obtenemos: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)2 + 𝑦𝑣. 
Debemos hallar el valor de 𝑎 y de 𝑦𝑣. 
Como los puntos dados 𝐴 = (2; 0) y 𝐵 = (0; 6) pertenecen a la gráfica de la función 
cuadrática entonces podemos reemplazarlos en la ecuación: 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)2 + 𝑦𝑣 
Luego 
0 = 𝑎(2 + 1)2 + 𝑦𝑣 
y 
6 = 𝑎(0 + 1)2 + 𝑦𝑣 
Nos queda el sistema : 
{ 
0 = 9𝑎 + 𝑦𝑣 (1)
6 = 𝑎 + 𝑦𝑣 (2)
 
Restando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) nos queda: 
 −6 = 8𝑎 con lo cual 𝑎 = −
3
4
. 
Con el valor hallado de 𝑎 reemplazmos en (1) o en (2) y despejamos el valor de 𝑦𝑣. 
En (2) 6 = −
3
4
+ 𝑦𝑣  𝑦𝑣 = 6 +
3
4
  𝑦𝑣=
27
4
 
Con los valores hallados la expresión es: 
𝑓(𝑥) = −
3
4
(𝑥 + 1)2 +
27
4
 
 
 
 
 
 
 
La función cuadrática 𝒈(𝒙) cuyo gráfico tiene vértice en el punto 𝑽 = (𝟏; −𝟖) y 
que además verifica que 𝒈(𝟑) = −𝟔, es: 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Resolución 
En este ejemplo como conocemos las coordenadas del vértice 𝑽 = (𝟏; −𝟖) nos conviene 
utilizar la expresión canónica: 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 , 𝑎 ≠ 0 
Reemplazando en ella obtenemos: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)2 − 8. 
 
Debemos hallar el valor de 𝑎. 
Como 𝒈(𝟑) = −𝟔 podemos decir que el punto (𝟑, −𝟔) pertenece a la gráfica de la función 
cuadrática entonces podemos reemplazarlo en la ecuación: 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)2 − 8 
Luego 
−6 = 𝑎(3 − 1)2 − 8 
 
−6 + 8 = 𝑎(2)2 
𝑎 =
2
4
=
1
2
 
Con lo cual la expresión nos queda: 
 
𝑓(𝑥) =
1
2
(𝑥 − 1)2 − 8 
 
 
 
Resolución 
Para hallar las raíces del 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 debemos igualarlo a cero y resolver la ecuación que 
resulta: 
𝑝(𝑥) = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥4 − 2𝑥3 − 8𝑥2 = 0 
En este caso la ecuación polinómica es de grado 4. Podemos sacar factor común 𝑥2 con 
lo cual quedará expresada como: 
 
Las raíces del polinomio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟖𝒙𝟐 , son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
𝑥.2 (𝑥2 − 2𝑥 − 8) = 0 
Al quedar el producto de dos factores igualados a cero podemos sabemos que alguno de los dos es 
cero: 
𝑥2 = 0 𝑜 𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0 
Si el primer factor 𝑥2 = 0 entonces 𝒙 = 𝟎 es una raíz de p(x), (doble pues está elevada al cuadrado). 
Si es el segundo factor 𝑥2 − 2𝑥 − 8 = 0, como es una ecuación cuadrática podemos hallar las dos 
raíces, si existen en R, aplicamos la fórmula resolvente: 
𝑥1−2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
En nuestro caso: 𝑎 = 1, 𝑏 = −2 𝑦 𝑐 = −8 con lo cual la resolvente nos queda: 
𝑥1−2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4.1. (−8)
2.1
 
𝑥1−2 =
2 ± √4 + 32
2
=
2 ± 6
2
 
Con lo cual 𝒙𝟏 = 𝟒 y 𝒙𝟐 = −𝟐 son otras dos raíces reales del polinomio 𝑃(𝒙). 
Las raíces 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) son: −𝟐, 𝟎 𝒚 𝟒 
 
 
 
Resolución 
Para hallar las raíces del 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 debemos igualarlo a cero y resolver la ecuación que 
resulta: 
𝑝(𝑥) = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥4 + 3𝑥3 − 10𝑥2 = 0 
En este caso la ecuación polinómica es de grado 4. Podemos sacar factor común 𝑥2 con lo cual quedará 
expresada como: 
 
Las raíces del polinomio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟑𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 , son: 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
𝑥.2 (𝑥2 + 3𝑥 − 10) = 0 
Al quedar el producto de dos factores igualados a cero podemos sabemos que alguno de los dos es 
cero: 
𝑥2 = 0 𝑜 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 
Si el primer factor 𝑥2 = 0 entonces 𝒙 = 𝟎 es una raíz de p(x), (doble pues está elevada al cuadrado). 
Si es el segundo factor 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0, como es una ecuación cuadrática podemos hallar las dos 
raíces, si existen en R, aplicamos la fórmula resolvente: 
𝑥1−2 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
En nuestro caso: 𝑎 = 1, 𝑏 = 3 𝑦 𝑐 = −10 con lo cual la resolvente nos queda: 
𝑥1−2 =
−3 ± √(−3)2 − 4.1. (−10)
2.1
 
𝑥1−2 =
−3 ± √9 + 40
2
=
−3 ± 7
2
 
Con lo cual 𝒙𝟏 = 𝟐 y 𝒙𝟐 = −𝟓 son otras dos raíces reales del polinomio 𝑃(𝒙). 
Las raíces 𝑑𝑒 𝑃(𝑥) son: −𝟓, 𝟎 𝒚 𝟐 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Extraemos factor común x: 𝑃(𝑥) = 𝑥. (𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6). 
Si nos dicen que x = 1 es raíz del polinomio entonces aplicando la Regla de 
Sabiendo que 𝒙 = 𝟏 es una de las raíces del polinomio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙, 
 
las raíces restantes, son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Ruffini: 
 1 -2 -5 6 
 1 1 -1 -6 
 1 -1 -6 0 
 
Por lo tanto el polinomio P(x) nosqueda 𝑃(𝑥) = 𝑥. (𝑥 − 1). (𝑥2 − 𝑥 − 6) 
Si hallamos las raíces de la expresión cuadrática utilizando la fórmula resolvente 
obtenemos: 𝑥1 = 3 𝑦 𝑥2 = −2. 
En definitiva, el polinomio nos queda factorizado: 𝑃(𝑥) = 𝑥. (𝑥 − 1). (𝑥 − 3). (𝑥 + 3) 
 
Las raíces son: 𝑥1 = 0 𝑥2 = 1 𝑥3 = 3 𝑥4 = −2 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Extraemos factor común x: 𝑃(𝑥) = 𝑥. (𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 + 6). 
Si nos dicen que x = 1 es raíz del polinomio entonces aplicando la Regla de 
Ruffini: 
 1 -4 1 6 
 2 2 -4 -6 
 1 -2 -3 0 
 
Por lo tanto el polinomio P(x) nos queda 𝑃(𝑥) = 𝑥. (𝑥 − 2). (𝑥2 − 2𝑥 − 3) 
Sabiendo que 𝒙 = 𝟐 es una de las raíces del polinomio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙, 
 
las raíces restantes, son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Si hallamos las raíces de la expresión cuadrática utilizando la fórmula resolvente 
obtenemos: 𝑥1 = 3 𝑦 𝑥2 = −1. 
En definitiva, el polinomio nos queda factorizado: 𝑃(𝑥) = 𝑥. (𝑥 − 2). (𝑥 − 3). (𝑥 + 1) 
 
Las raíces son: 𝑥1 = 0 𝑥2 = −1 𝑥3 = 3 𝑥4 = 2 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
2. 𝑃(𝑥) − 3𝑄(𝑥) = 2. ((𝑎 + 2𝑏)𝑥2 + 6𝑥 + 4 ) − 3 (−𝑥2 + (5𝑎 − 𝑏)𝑥 +
8
3
 ) 
2. 𝑃(𝑥) − 3𝑄(𝑥) = 2. (𝑎 + 2𝑏)𝑥2 + 12𝑥 + 8 + 3𝑥2 − 3. (5𝑎 − 𝑏)𝑥 − 8 
 
Para que se cumpla que 2𝑃(𝑥) − 3𝑄(𝑥) = 0 entonces: 
 
{
2(𝑎 + 2𝑏) + 3 = 0
12 − 3. (5𝑎 − 𝑏) = 0
 
 
 
{
2𝑎 + 4𝑏 = −3
−15𝑎 + 3𝑏 = −12
 
 
Si resolvemos el sistema de ecuaciones obtenemos: 𝑎 =
13
22
 𝑦 𝑏 = −
23
22
 
 
 
 
 
Sabiendo que los polinomios 𝑷(𝒙) = (𝒂 + 𝟐𝒃) 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟒 ; 
 𝑸(𝒙) = −𝒙𝟐 + (𝟓𝒂 − 𝒃)𝒙 +
𝟖
𝟑
 cumplen la siguiente relación 𝟐𝑷(𝒙) − 𝟑𝑸(𝒙) = 𝟎 , 
 los valores de 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 2. 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = 2. (𝑎𝑥3 − 5𝑏𝑥) + ((𝑏 − 2𝑎)𝑥 − 4 ) 
 2. 𝑃(1) + 𝑄(4) = 2. (𝑎. 1 − 5𝑏. 1) + ((𝑏 − 2𝑎). 4 − 4 ) 
 2. 𝑃(1) + 𝑄(4) = −6𝑎 − 6𝑏 − 4 
 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = (𝑎𝑥3 − 5𝑏𝑥) − ((𝑏 − 2𝑎)𝑥 − 4 ) 
 𝑃(0) − 𝑄(1) = (𝑎. 0 − 5𝑏. 0) − ((𝑏 − 2𝑎). 1 − 4 ) 
 𝑃(0) − 𝑄(1) = 2𝑎 − 𝑏 + 4 
 
Para que se cumplan las condiciones iniciales: 2𝑃(1) + 𝑄(4) = 0 𝑃(0) − 𝑄(1) = 0 
Planteamos el sistema de ecuaciones: {
−6𝑎 − 6𝑏 = 4
2𝑎 − 𝑏 = −4
 
Por lo tanto, obtenemos los valores: 𝑎 = −
14
9
 𝑏 =
8
9
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Sabemos que la expresión en función de sus raíces es: 𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2). (𝑥 − 𝑥3) , 
 donde 𝑎 es el coeficiente principal y 𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 son las raíces. 
Sabiendo que 𝑷(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 − 𝟓𝒃𝒙 ; 𝑸(𝒙) = (𝒃 − 𝟐𝒂)𝒙 − 𝟒 , cumplen las siguientes 
 
relaciones 𝟐𝑷(𝟏) + 𝑸(𝟒) = 𝟎 ; 𝑷(𝟎) − 𝑸(𝟏) = 𝟎, los valores de 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, son: 
 
 
La función polinómica de grado 3, cuyo coeficiente principal es 9 y sus únicas 
raíces son 2 y -1, donde -1 es raíz doble, es: 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Como nos indican que el coeficiente principal es 9 y que sus raíces son 2 y -1 , donde -1 es raíz doble, 
podemos reemplazar dichos valores en la función: 
 
𝑓(𝑥) = 9. (𝑥 − 2) − (𝑥 + 1). (𝑥 + 1) 
 
𝑓(𝑥) = 9. (𝑥 − 2). (𝑥 + 1)2 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Como sabemos que 𝑓(0) = 1, podemos reemplazar a en la función: 
1 = 𝑎. 03 − (𝑏 + 1). 02 − 𝑎. 0 − 𝑎 
Donde nos queda que 𝑎 = −1 
 
Con el valor de 𝑎 = −1 , y el dato de que el punto 𝑃 = (−1; −2) pertenece a la gráfica, podemos obtener 
el valor de 𝑏. 
−2 = −1. (−1)3 − (𝑏 + 1). (−1)2 − (−1)(−1) − (−1) 
−2 = 1 − (𝑏 + 1) − 1 + 1 
−2 = 1 − 𝑏 − 1 
−2 = −𝑏 
𝑏 = 2 
 
 
 
 
 
Siendo 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟑 − (𝒃 + 𝟏)𝒙𝟐 − 𝒂𝒙 − 𝒂, los valores de 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹 para que se 
 
 cumpla que 𝒇(𝟎) = 𝟏 y el punto 𝑷 = (−𝟏, −𝟐) pertenezca a la gráfica de 𝒇, son: 
 
 
 
La función polinómica de grado 3, cuyo coeficiente principal es 5 y sus únicas 
 raíces son 4 y -2, donde -2 es raíz doble, es: 
 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
Resolución 
 
Sabemos que la expresión en función de sus raíces es: 𝑓(𝑥) = 𝑎. (𝑥 − 𝑥1). (𝑥 − 𝑥2). (𝑥 − 𝑥3) , 
 donde 𝑎 es el coeficiente principal y 𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 son las raíces. 
Como nos indican que el coeficiente principal es 5 y que sus raíces son 4 y -2 , donde -2 es raíz doble, 
podemos reemplazar dichos valores en la función: 
 
𝑓(𝑥) = 5. (𝑥 − 4) − (𝑥 + 2). (𝑥 + 2) 
 
𝑓(𝑥) = 5. (𝑥 − 4). (𝑥 + 2)2 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Como sabemos que 𝑓(0) = 2, podemos reemplazar a en la función: 
2 = 03 − 𝑎. 02 − (𝑏 − 1). 0 + 𝑎 
Donde nos queda que 𝑎 = 2 
 
Con el valor de 𝑎 = 2 , y el dato de que el punto 𝑃 = (2; −4) pertenece a la gráfica, podemos obtener el 
valor de 𝑏. 
−4 = 23 − 2. 22 − (𝑏 − 1). 2 + 2 
−4 = 8 − 8 − 2𝑏 + 2 + 2 
−4 − 4 = −2𝑏 
𝑏 = 4 
 
Siendo 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒂𝒙𝟐 − (𝒃 − 𝟏)𝒙 + 𝒂, los valores de 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑹 para que se 
cumpla que 𝒇(𝟎) = 𝟐 y el punto 𝑷 = (𝟐, −𝟒) pertenezca a la gráfica de 𝒇, son: 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Para hallar los puntos de intersección de las funciones, las igualo y resuelvo. 
−(𝑥 − 2)2 + 6 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 
−(𝑥2 − 4𝑥 + 4) + 6 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 
−𝑥2 + 4𝑥 − 4 + 6 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 
−2𝑥2 + 10𝑥 − 8 = 0 
𝑥1 = 1 ; 𝑥2 = 4 
 
Para hallar la coordenada y de los puntos reemplazo: 
𝑓(1) = 12 − 6.1 + 10 = 5 
𝑓(4) = 42 − 6.4 + 10 = 2 
 
Luego, los puntos de intersección son: (1; 5) y (4; 2) 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Como nos piden todos los puntos donde el gráfico de 𝑓 corta al eje x, sabemos que la imagen es 0. 
Por lo cual debemos igualar a cero el polinomio y encontrar las raíces. 
Al igualar a o, podemos observar que se puede sacar factor común x, donde una de las raíces es x=0 
𝑥4 − 2𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 = 0 
𝑥. (𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6) = 0 
 
Los puntos de intersección de las funciones: 𝒇(𝒙) = −(𝒙 − 𝟐)𝟐 + 𝟔 y 
 
 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎, son: 
 
Dada 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙, todos los puntos donde el gráfico de f corta 
al eje x, sabiendo que 𝒇(−𝟐) = 𝟎, son: 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
Con el dato 𝑓(−2) = 0, sabemos que x = -2 es otra raíz del polinomio. Por lo cual podemos aplicar la 
regla de Ruffini. 
 
 1 -2 -5 6 
 -2 -2 8 -6 
 1 -4 3 0 
 
Por lo tanto podemos expresar a 𝑓(𝑥) = 𝑥. (𝑥 + 2)(𝑥2 − 4𝑥 + 3) 
Si hallamos las raíces de la expresión cuadrática, con la fórmula resolvente, obtenemos:𝑥1=3 𝑦 𝑥2 = 1 
Los puntos pedidos son: 𝑃1 = (0 ; 0) ; 𝑃2 = (−2 ; 0); 𝑃3 = (3 ; 0) ; 𝑃4 = (1 ; 0) 
 
 
 
 
 
Resolución 
Para hallar los puntos de intersección de las funciones, las igualo y resuelvo. 
−(𝑥 + 3)2 + 2 = 𝑥2 + 4𝑥 + 1 
 
−(𝑥2 + 6𝑥 + 9) + 2 = 𝑥2 + 4𝑥 + 1 
 
−𝑥2 − 6𝑥 − 9 + 2 = 𝑥2 + 4𝑥 + 1 
 
−2𝑥2 − 10𝑥 − 8 = 0 
 
𝑥1 = −4 ; 𝑥2 = −1 
 
Para hallar la coordenada y de los puntos reemplazo: 
 
𝑓(−1) = (−1)2 + 4. (−1) + 1 = −2 
𝑓(4) = (−4)2 + 4. (−4) + 1 = 1 
 
Los puntos de intersección de las funciones 𝒇(𝒙) = −(𝒙 + 𝟑)𝟐 + 𝟐 y 
 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟏, son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
Luego ,os puntos de intersección son: (-1; -2) y (-4; 1) 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Como nos piden todos los puntos donde el gráfico de 𝑓 cortaal eje x, sabemos que la imagen es 0. 
Por lo cual debemos igualar a cero el polinomio y encontrar las raíces. 
Al igualar a o, podemos observar que se puede sacar factor común x, donde una de las raíces es x=0 
𝑥4 + 2𝑥3 − 5𝑥2 − 6𝑥 = 0 
𝑥. (𝑥3 + 2𝑥2 − 5𝑥 − 6) = 0 
 
Con el dato 𝑓(−3) = 0, sabemos que x = -3 es otra raíz del polinomio. Por lo cual podemos aplicar la 
regla de Ruffini. 
 
 1 2 -5 -6 
 -3 -3 3 6 
 1 -1 -2 0 
 
Por lo tanto podemos expresar a 𝑓(𝑥) = 𝑥. (𝑥 + 3)(𝑥2 − 𝑥 − 2) 
Si hallamos las raíces de la expresión cuadrática, con la fórmula resolvente, obtenemos:𝑥1=2 𝑦 𝑥2 = −1 
Los puntos pedidos son: 𝑃1 = (0 ; 0) ; 𝑃2 = (−3 ; 0); 𝑃3 = (2 ; 0) ; 𝑃4 = (−1 ; 0) 
 
 
 
Dada 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 − 𝟔𝒙, todos los puntos donde el gráfico de 𝒇 corta 
 al eje 𝒙, sabiendo que 𝒇(−𝟑) = 𝟎, son: 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
 
 
Resolución 
Para determinar el conjunto de positividad, debemos tener en cuenta que queremos encontrar cuándo 
esa función es mayor que cero, positiva: 
(𝟒 − 𝒙). (𝒙 − 𝟐)𝟐 > 𝟎 
Considerando que un producto es positivo cuando ambos factores son positivos o 
negativos, y que (𝒙 − 𝟐)𝟐 siempre es mayor que cero (positivo), pero como no puede ser 
cero, entonces x debe ser distinto de 2. 
(𝟒 − 𝒙) > 𝟎 
−𝒙 > −𝟒 
𝒙 < 𝟒 
Notar que en el último paso, se invierte el signo, debido a que en ambos lados de la 
inecuación dividimos por -1. 
El resultado será entonces: 
𝐶+: (−∞; 2) ∪ (2; 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Para determinar el conjunto de negatividad, debemos tener en cuenta que queremos encontrar cuándo 
esa función es menor que cero, negativa: 
(𝒙 − 𝟏)𝟐. (𝟑 − 𝒙) < 𝟎 
Considerando que un producto es negativo cuando uno de sus factores es negativo, y 
que (𝒙 − 𝟏)𝟐 siempre es mayor que cero (positivo) 
 
El 𝑪+ de la función 𝒇(𝒙) = (𝟒 − 𝒙). (𝒙 − 𝟐)𝟐, es: 
 
 
 
El 𝑪− de la función 𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟐. (𝟑 − 𝒙), es: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
(𝟑 − 𝒙) < 𝟎 
−𝒙 < −𝟑 
𝒙 > 𝟑 
Notar que en el último paso, se invierte el sentido de la desigualdad, debido a que en 
ambos lados de la inecuación dividimos por -1. 
El resultado será entonces: 
𝐶−: (3; +∞) 
 
 
 
 
 
 
Para determinar el conjunto de positividad, debemos tener en cuenta que queremos encontrar cuándo 
esa función es mayor que cero, positiva: 
𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 > 𝟎 
𝟐. (𝒙𝟐 − 𝟒) > 𝟎 
𝟐. (𝒙 + 𝟐). (𝒙 − 𝟐) > 𝟎 
Considerando que un producto es positivo cuando ambos factores son positivos o ambos 
negativos 
𝟐. (𝒙 + 𝟐) > 𝟎 ∧ (𝒙 − 𝟐 ) > 𝟎 ∨ 𝟐. (𝒙 + 𝟐) < 𝟎 ∧ (𝒙 − 𝟐) < 𝟎 
𝒙 > −𝟐 ∧ 𝒙 > 𝟐 ∨ 𝒙 < −𝟐 ∧ 𝒙 < 𝟐 
 
Notar que en el último paso, se invierte el signo, debido a que en ambos lados de la 
inecuación dividimos por -1. 
El resultado será entonces: 
𝐶+: (−∞; −2) ∪ (2; +∞) 
 
 
 
 
 
El conjunto de positividad de la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖 , es: 
 
 
El conjunto de positividad de la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟗, es: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
Resolución 
 
Para determinar el conjunto de positividad, debemos tener en cuenta que queremos encontrar cuándo 
esa función es mayor que cero, positiva: 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟗 > 𝟎 
𝟑. (𝒙𝟐 − 𝟑) > 𝟎 
𝟑. (𝒙 + √𝟑). (𝒙 − √𝟑) > 𝟎 
Considerando que un producto es positivo cuando ambos factores son positivos o ambos 
negativos 
𝟑. (𝒙 + √𝟑) > 𝟎 ∧ (𝒙 − √𝟑 ) > 𝟎 ∨ 𝟑. (𝒙 + √𝟑) < 𝟎 ∧ (𝒙 − √𝟑) < 𝟎 
𝒙 > −√𝟑 ∧ 𝒙 > √𝟑 ∨ 𝒙 < −√𝟑 ∧ 𝒙 < √𝟑 
 
Notar que en el último paso, se invierte el signo, debido a que en ambos lados de la 
inecuación dividimos por -1. 
El resultado será entonces: 
𝐶+: (−∞; −√3) ∪ (√3; +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Primero hallamos la expresión de la función ℎ(𝑥) = ( 𝑓 ⃘ 𝑔)(𝑥) 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ⃘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑓 (
𝐶
𝑥
+ 5) =
3 (
𝐶
𝑥
+ 5) − 10
𝐶 + 1
 
Dadas las funciones 𝒇 y 𝒈 tales que 𝒇(𝒙) =
𝟑𝒙−𝟏𝟎
𝒄+𝟏
 ; 𝒈(𝒙) =
𝒄
𝒙
+ 𝟓 , la función 
 
 𝒉 = 𝒇 ∘ 𝒈 y 𝒉(𝒄) = −𝟏. El valor de la constante 𝒄 ∈ 𝓡 y la función 𝒉 , son: 
 
 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
ℎ(𝑥) =
3𝐶
𝑥
+ 15 − 10
𝐶 + 1
=
3𝐶
𝑥
+ 5
𝐶 + 1
=
3𝐶 + 5𝑥
𝑥
𝐶 + 1
=
3𝐶 + 5𝑥
𝑥
(
1
𝐶 + 1
) =
3𝐶 + 5𝑥
𝐶𝑥 + 𝑥
 
ℎ(𝑥) =
3𝐶 + 5𝑥
𝐶𝑥 + 𝑥
 
Para hallar el valor de la constante 𝐶 ∈ ℝ ℎ(𝐶)⁄ = −1 planteamos: 
ℎ(𝐶) =
3𝐶 + 5
𝐶(𝐶) + 𝐶
= −1 ⇒ 
8𝐶
𝐶2 + 𝐶
= −1 
8𝐶 = −1(𝐶2 + 𝐶) 
8𝐶 = −𝐶2 − 𝐶 
8𝐶 + 𝐶2 + 𝐶 = 0 
𝐶2 + 9𝐶 = 0 
𝐶(𝐶 + 9) = 0 
𝐶1 = −9 ∧ 𝐶2 = 0 
Como 𝐶 ∈ ℝ ℎ(𝐶)⁄ = −1 , entonces el valor de 𝐶 que verifica las condiciones dadas es: 
𝐶1 = −9 
Pues con 𝐶2 = 0 ; ℎ(0) = 𝑖𝑛𝑑 , por lo tanto: 
𝑓(𝑥) =
3𝑥 − 10
−9 + 1
=
3𝑥 − 10
−8
 ; 𝑔(𝑥) = −
9
𝑥
+ 5 ; ℎ(𝑥) =
3(−9) + 5𝑥
(−9)𝑥 + 𝑥
=
−27 + 5𝑥
−8𝑥
 
⇒ ℎ(𝑥) =
−27 + 5𝑥
−8𝑥
 ℎ(−9) =
−27 + 5(−9)
−8(−9)
=
−72
72
= −1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Dadas las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) la composición de funciones 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) es la función que le 
asigna a cada 𝑥 el resultado de aplicar 𝑓(𝑔(𝑥)), por lo que: 
 
Dadas las funciones 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙𝟐
 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟐 , y sabiendo que 
 
 (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝟐𝟓, el/los 𝒙 ∈ 𝑹 , son 
Y verifica que: 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 
1
(𝑥 − 2)2
 
Como se deben calcular todos los valores de 𝑥 ∈ ℝ que verifican 
 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 25, planteamos la ecuación: 
1
(𝑥−2)2
= 25 
Operando convenientemente: 
⇒ 1 = 25(𝑥 − 2)2 
1
25
= (𝑥 − 2)2 
√
1
25
= √(𝑥 − 2)2 
1
5
= |𝑥 − 2| 
Si |𝑥 − 2| > 0 ⇒ |𝑥 − 2| = 𝑥 − 2 ∴ 
1
5
= 𝑥 − 2 
⇒ 𝑥 =
11
5
 
 
Si |𝑥 − 2| < 0 ⇒ |𝑥 − 2| = −𝑥 + 2 ∴ 
1
5
= −𝑥 + 2 
⇒ 𝑥 =
9
5
 
 
Entonces los valores reales que cumplen con la condición dada son: 
𝑥1 =
9
5
 ∧ 𝑥2 =
11
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dadas las funciones 𝒇 y 𝒈 tales que 𝒇(𝒙) =
𝟐𝒙−𝟐 
𝟏−𝒌
 ; 𝒈(𝒙) =
𝒌 
𝒙
+ 𝟒, la función 
𝒉 = 𝒇 ∘ ⃘ 𝒈 y 𝒉(𝒌) = 4, el/los valor/es de la constante 𝒌 ∈ 𝐑 ,y la función 𝒉, son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Resolución 
 
 
Primero hallamos la expresión de la función ℎ(𝑥) = ( 𝑓 ⃘ 𝑔)(𝑥) 
ℎ(𝑥) = (𝑓 ⃘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓[𝑔(𝑥)] = 𝑓 (
𝑘
𝑥
+ 4 ) =
2 (
𝑘
𝑥
+ 4) − 2
1 − 𝑘
 
ℎ(𝑥) =
2𝑘
𝑥
+ 8 − 2
1 − 𝑘
=
2𝑘
𝑥
+ 6
1 − 𝑘
=
2𝑘 + 6𝑥
𝑥
(
1
1 − 𝑘
) =
2𝑘 + 6𝑥
𝑥 − 𝑘𝑥
 
ℎ(𝑥) =
2𝑘 + 6𝑥
𝑥 − 𝑘𝑥
 
Para hallar el valor de la constante 𝑘 ∈ ℝ ℎ(𝑘)⁄ = 4 planteamos: 
ℎ(𝑘) =
2𝑘 + 6(𝑘)
𝑘 − 𝑘(𝑘)
= 4 ⇒ 
8𝑘
𝑘 − 𝑘2
= 4 
8𝑘 = 4(𝑘 − 𝑘2) 
8𝑘 = 4𝑘 − 4𝑘2 
8𝑘 − 4𝑘 + 4𝑘2 = 0 
4𝑘2 + 4𝑘 = 0 
4𝑘(𝑘 + 1) = 0 
𝑘1 = −1 ∧ 𝑘2 = 0 
Como 𝑘 ∈ ℝ ℎ(𝑘)⁄ = 4 , entonces el valor de 𝑘 que verifica las condiciones dadas es: 
𝑘1 = −1 
 Pues con 𝑘2 = 0 ; ℎ(0) = 𝑖𝑛𝑑 , por lo tanto: 
𝑓(𝑥) =
2𝑥 − 2 
1 − (−1)
=
2𝑥 − 2 
2
 ; 𝑔(𝑥) = −
1
𝑥
+ 4 ; ℎ(𝑥) =
2(−1) + 6𝑥
𝑥 − (−1)𝑥
=
−2 + 6𝑥
2𝑥
 
⇒ ℎ(𝑥) =
6𝑥 − 2
2𝑥
 ℎ(−1) =
6(−1) − 2
2(−1)
=
−8
−2
= 4 
 
 
 
 
 
 
Y verifica que: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Dadas las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) la composición de funciones𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) es la función que le 
asigna a cada 𝑥 el resultado de aplicar 𝑓(𝑔(𝑥)), por lo que: 
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 
1
(𝑥 + 1)2
 
Como se deben calcular todos los valores de 𝑥 ∈ ℝ que verifican 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 4, 
planteamos la ecuación: 
1
(𝑥+1)2
= 4 
Operando convenientemente: 
1 = 4(𝑥 + 1)2 
1 = 4(𝑥2 + 2𝑥 + 1) 
1 = 4𝑥2 + 8𝑥 + 4 
0 = 4𝑥2 + 8𝑥 + 3 
𝑥 =
−8 ± √82 − 4.4.3
2.4
 
𝑥 =
−8 ± √64 − 48
8
 
𝑥 =
−8 ± 4
8
 
⇒ 𝑥1 =
−8 + 4
8
=
−4
8
=
−1
2
 
 
⇒ 𝑥2 =
−8 − 4
8
=
−12
8
=
−3
2
 
Los valores reales que cumplen con la condición dada son: 
Dadas las funciones 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙𝟐
 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟏, y sabiendo que 
 
 (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝟒 , el/los 𝒙 ∈ 𝑹 , son 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 𝑥1 = −
1
2
 ∧ 𝑥2 = −
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Si 𝑔(𝑥) =
𝑥−4
3𝑥+1
 = 𝑦 , intercambiando variables y luego despejando 𝑦: 
𝑦 − 4
3𝑦 + 1
= 𝑥 
𝑦 − 4 = 𝑥(3𝑦 + 1) 
𝑦 − 4 = 3𝑥𝑦 + 𝑥 
𝑦 − 3𝑥𝑦 = 𝑥 + 4 
𝑦(1 − 3𝑥) = 𝑥 + 4 
𝑦 =
𝑥 + 4
1 − 3𝑥
 
⇒ 𝑔(𝑥)
−1 =
𝑥 + 4
1 − 3𝑥
 
Como 𝑓(𝑥) =
𝐶
2
 ∙ 𝑔(𝑥)
−1 , la expresión de 𝑓(𝑥) es: 𝑓(𝑥) =
𝐶
2
 ∙ (
𝑥+4
1−3𝑥
) y 𝑓(−1) = 3 entonces: 
𝑓(−1) =
𝐶
2
 ∙ (
−1 + 4
1 − 3(−1)
) = 3 
𝐶
2
 ∙ (
3
1 + 3
) = 3 
𝐶
2
 ∙ 
3
4
 = 3 
𝐶 = 3 ∙ 
4
3
 ∙ 2 
𝐶 = 8 
Dadas las funciones 𝒈(𝒙) =
𝒙−𝟒
𝟑𝒙+𝟏
 y 𝒇(𝒙) =
𝒄
𝟐
. 𝒈−𝟏(𝒙), el valor de la constante 
 
 𝒄 ∈ 𝑹 y la expresión de 𝒇(𝒙) sabiendo que 𝒇(−𝟏) = 𝟑, son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
 
 
Por lo tanto: 
𝑓(𝑥) =
8
2
 ∙ (
𝑥 + 4
1 − 3𝑥
) ⇒ 𝑓(𝑥) = 4 ∙ (
𝑥 + 4
1 − 3𝑥
) ⇒ 𝑓(𝑥) =
4𝑥 + 16
1 − 3𝑥
 
 
𝑓(−1) =
4(−1) + 16
1 − 3(−1)
=
−4 + 16
1 + 3
=
12
4
= 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
 
Si 𝑓(𝑥) = 𝑦 =
3−𝑥
𝑘+2𝑥
 , intercambiando variables y luego despejando 𝑦: 
𝑥 =
3 − 𝑦
𝑘 + 2𝑦
 
(𝑘 + 2𝑦) 𝑥 = 3 − 𝑦 
𝑘𝑥 + 2𝑥𝑦 = 3 − 𝑦 
2𝑥𝑦 + 𝑦 = 3 − 𝑘𝑥 
𝑦(2𝑥 + 1) = 3 − 𝑘𝑥 
𝑦 =
3 − 𝑘𝑥
2𝑥 + 1
 
⇒ 𝑓(𝑥)
−1 =
3 − 𝑘𝑥
2𝑥 + 1
 (∀ 𝑘 ∈ ℝ) 
Dada la función 𝒇(𝒙) =
𝟑−𝒙
𝒌+𝟐𝒙
, y sabiendo que 𝒇−𝟏(−𝟏) = 𝟔, su función inversa 
 
 𝒇−𝟏(𝒙) y el valor de la constante 𝒌 ∈ 𝑹 son: 
 
Y verifica: 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
Como 𝑓(−1)
−1 = 6, sustituyendo 𝑥 = −1 en 𝑓(𝑥)
−1 =
3−𝑘𝑥
2𝑥+1
 y despejando 𝑘 
𝑓(−1)
−1 =
3 − 𝑘(−1)
2(−1) + 1
= 6 
3 + 𝑘
−2 + 1
= 6 
3 + 𝑘
−1
= 6 
3 + 𝑘 = 6(−1) 
𝑘 = −6 − 3 
𝑘 = −9 
Por lo tanto: 
𝑓(𝑥) =
3 − 𝑥
2𝑥 − 9
 ⇒ 𝑓(𝑥)
−1 =
3 + 9𝑥
2𝑥 + 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
 
Si 𝑔(𝑥) =
𝑤𝑥+8
4−3𝑥
 = 𝑦 , intercambiando variables y luego despejando 𝑦: 
𝑤𝑦 + 8
4 − 3𝑦
= 𝑥 
𝑤𝑦 + 8 = 𝑥(4 − 3𝑦) 
𝑤𝑦 + 8 = 4𝑥 − 3𝑥𝑦 
𝑤𝑦 + 3𝑥𝑦 = 4𝑥 − 8 
𝑦(𝑤 + 3𝑥) = 4𝑥 − 8 
Dada la función 𝒈(𝒙) =
𝒘𝒙+𝟖
𝟒−𝟑𝒙
 , y sabiendo que 𝒈−𝟏(−𝟑) = 𝟓, su función inversa 
 
 𝒈−𝟏(𝒙) y el valor de la constante 𝒘 ∈ 𝑹, son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
𝑦 =
4𝑥 − 8
𝑤 + 3𝑥
 
⇒ 𝑔(𝑥)
−1 =
4𝑥 − 8
𝑤 + 3𝑥
 (∀ 𝑤 ∈ ℝ) 
Como 𝑔(−3)
−1 = 5, sustituyendo 𝑥 = −3 en 𝑔(𝑥)
−1 =
4𝑥−8
𝑤+3𝑥
 y despejando 𝑤 
𝑔(−3)
−1 =
4(−3) − 8
𝑤 + 3(−3)
= 5 
−12 − 8
𝑤 − 9
= 5 
−20 = 5(𝑤 − 9) 
−20 = 5𝑤 − 45 
−20 + 45 = 5𝑤 
25
5
= 𝑤 
5 = 𝑤 
Por lo tanto: 
𝑔(𝑥) =
5𝑥 + 8
4 − 3𝑥
 ⇒ 𝑔(𝑥)
−1 =
4𝑥 − 8
5 + 3𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolución 
Si ℎ(𝑥) = 𝑦 =
10−𝑥
5𝑥+3
 , intercambiando variables y luego despejando 𝑦: 
Dadas las funciones 𝒉(𝒙) =
𝟏𝟎−𝒙
𝟓𝒙+𝟑
 y 𝒇(𝒙) = 𝟒𝑴. 𝒉−𝟏(𝒙) , el valor de la constante 
 
 𝑴 𝝐 𝑹 y la expresión de 𝒇(𝒙) sabiendo que 𝒇(𝟑) = −
𝟏
𝟐
, son: 
 
 
Ejercicios Resueltos - 1° Evaluación de Carácter Formativo Obligatoria – 1°C 2020 
𝑥 =
10 − 𝑦
5𝑦 + 3
 
𝑥(5𝑦 + 3) = 10 − 𝑦 
5𝑥𝑦 + 3𝑥 = 10 − 𝑦 
5𝑥𝑦 + 𝑦 = 10 − 3𝑥 
𝑦(5𝑥 + 1) = 10 − 3𝑥 
𝑦 =
10 − 3𝑥
5𝑥 + 1
 
⇒ ℎ(𝑥)
−1 =
10 − 3𝑥
5𝑥 + 1
 
Como 𝑓(𝑥) = 4 𝑀 ∙ ℎ(𝑥)
−1 , la expresión de 𝑓(𝑥) es: 𝑓(𝑥) = 4 𝑀 ∙ (
10−3𝑥
5𝑥+1
) 
Y 𝑓(3) = −
1
2
 entonces: 
𝑓(3) = 4 𝑀 ∙ (
10 − 3(3)
5(3) + 1
) = −
1
2
 
4 𝑀 ∙ (
10 − 9
15 + 1
) = −
1
2
 
4 𝑀 ∙ (
1
16
) = −
1
2
 
𝑀
4
 = −
1
2
 
𝑀 = −2 
Por lo tanto: 
𝑓(𝑥) = 4 (−2) (
10 − 3𝑥
5𝑥 + 1
) ⇒ 𝑓(𝑥) = −8 (
10 − 3𝑥
5𝑥 + 1
) ⇒ 𝑓(𝑥) =
24𝑥 − 80
5𝑥 + 1