Lançamento Horizontal e Oblíquo na Física

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CIÊNCIAS DA NATUREZA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Paulo lemos
assunto: lançamento horizontal e oblíquo
frente: Física i
OSG.: 118267/17
AULA 08
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Lançamento horizontal
Quando uma bola é lançada horizontalmente com velocidade 
V
0
 de certa altura, próximo à superfície da Terra, passa a atuar sobre a 
mesma uma única força, o peso, força esta responsável pela mudança 
da trajetória retilínea em parabólica, com orientação para baixo. Veja 
a figura a seguir.
V
x V
xVy = 0Vy = 0
V
y
V
y
V
y
V
y
V
y
V
y
gg
V
x
V
x
eixo x
Movimento uniforme
V
x
 = Constante
Queda
livre
(M.U.V.)
eixo y
‘
“
’’’
V
x
V
y
V
y
Note que a aceleração do lançamento da bola é a da 
gravidade, vertical e orientada para baixo. Logo, podemos concluir 
que este lançamento se compõe de dois movimentos independentes: 
um horizontal sem aceleração, movimento uniforme (M.U.), 
pois sofre nesta direção deslocamentos iguais em intervalos de 
tempos também iguais; e outro vertical, com aceleração praticamente 
constante, sendo movimento uniformemente variado (M.U.V.), 
percorrendo, portanto, nesta direção, espaços cada vez maiores para 
iguais intervalos de tempo.
Análise dos dois movimentos independentes, separadamente:
Movimento horizontal (M.U.)
(
�
Vx constante)
Equação horária: 
∆S V t X Vx x= → =· · t
Em que:
X = deslocamento horizontal;
V
x
 = velocidade de lançamento;
t = tempo transcorrido.
Movimento vertical (M.U.V.)
(g
�
constante)
Equação horária: 
∆S V t a t Y g t
Y
= + → =0
2 2
2 2
· ·
Pois: V0
Y
 = 0 e a = g
Lançamento oblíquo
Um corpo será lançado obliquamente quando formar certo 
ângulo θ com a horizontal, ficando sujeito a uma única aceleração, a 
aceleração da gravidade (g).
g
V
0
Horizontal
θ
 
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Decomposição do movimento oblíquo
O movimento oblíquo pode ser decomposto em dois 
movimentos independentes: um na direção horizontal e o outro na 
direção vertical.
Y
V
0
gV
0y
h
máx
A
xθ
0 V0x
em que:
V0
x
 = V
0
 · cos θ → componente horizontal de V
0
;
V0
y
 = V
0
 · sen θ → componente horizontal de V
0
;
h
máx
 = altura máxima;
A → alcance horizontal;
g → aceleração da gravidade.
Movimento horizontal (M.U.)
Na direção horizontal, tem-se um movimento uniforme (M.U.), 
pois, nesta direção, não existe aceleração.
Equação horária:
∆S V t X V t
x
= → =0 0· · cos ·θ
Movimento vertical (M.U.V.)
Na direção vertical, tem-se um movimento uniformemente 
variado (M.U.V.), pois, nesta direção, a aceleração é constante, já que 
se trata da aceleração da gravidade.
Equação horária:
∆S V t g t Y V t g t
x
= + → = +0
2
0
2
2 2
·
·
· sen ·
·θ
Exercícios
01. (FEI-SP) Em uma competição de tiro, o atirador posiciona seu 
rifle na horizontal e faz mira exatamente no centro do alvo. Se a 
distância entre o alvo e a saída do cano é de 30 m, a velocidade de 
disparo do rifle é 600 m/s, qual a distância do centro do alvo que 
o projétil atingirá? Considere g = 10 m/s2 e despreze a resistência 
do ar
H
yn
ek
 G
az
si
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
A) 0,25 cm B) 0,5 cm
C) 0,75 cm D) 1,00 cm
E) 1,25 cm
02. (Puccamp-SP/2004) Um atleta arremessa um dardo sob um ângulo 
de 45° com a horizontal e, após um intervalo de tempo t, o dardo 
bate no solo 16 m à frente do ponto de lançamento. Desprezando 
a resistência do ar e a altura do atleta, o intervalo de tempo t, em 
segundos, é um valor mais próximo de
Dados: g = 10 m/s2 e sen 45° = cos 45° = 0,7
A) 3,2 
B) 1,8
C) 1,2 
D) 0,8
E) 0,4
03. (PUC-RJ) Um superatleta de salto em distância realiza o seu salto 
procurando atingir o maior alcance possível. Se ele se lança ao ar 
com uma velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo um ângulo de 
45º em relação à horizontal, é correto afirmar que o alcance atingido 
pelo atleta no salto é de: (Considere g = 10 m/s2)
H
o 
Ye
ow
 H
ui
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
A) 2 m. 
B) 4 m.
C) 6 m. 
D) 8 m.
E) 10 m.
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04. (Fuvest) Uma menina, segurando uma bola de tênis, corre com 
velocidade constante, de módulo igual a 10,8 km/h, em trajetória 
retilínea, numa quadra plana e horizontal.
 Num certo instante, a menina, com o braço esticado horizontalmente 
ao lado do corpo, sem alterar o seu estado de movimento, solta 
a bola, que leva 0,5 s para atingir o solo. As distâncias s
m
 e s
b
 
percorridas, respectivamente, pela menina e pela bola, na direção 
horizontal, entre o instante em que a menina soltou a bola (t = 0 s) 
e o instante t = 0,5 s, valem:
Desconsiderar efeitos dissipativos.
A) s
m 
= 1,25 m e s
b
 = 0 m. 
B) s
m 
= 1,25 m e s
b
 = 1,50 m.
C) s
m 
= 1,50 m e s
b
 = 0 m. 
D) s
m 
= 1,50 m e s
b
 = 1,25 m.
E) s
m 
= 1,50 m e s
b
 = 1,50 m.
05. A figura representa a fotografia estroboscópica de uma bola 
lançada horizontalmente nas proximidades da Terra.
c d
b
a
 Sendo a = 1 m e c = 4 m, calcule b e d.
06. (FEI-SP) Um objeto voa numa trajetória retilínea, com velocidade 
v = 200 m/s, numa altura H = 1500 m em relação ao solo. Quando 
o objeto passa exatamente na vertical de uma peça de artilharia, 
esta dispara um projétil, num ângulo de 60° com a horizontal. 
O projétil atinge o objeto decorrido o intervalo de tempo ∆t. 
Adote g = 10 m/s2 e calcule
A) a velocidade de lançamento do projétil.
B) o menor intervalo de tempo ∆t em que o projétil atinge o 
objeto.
07. (PUC-SP) O esquema apresenta uma correia que transporta 
minério, lançando-o no recipiente R.
4m4m
5m
1m
 A velocidade de correia é constante. Para que todo o minério caia 
dentro do recipiente, a velocidade v da correia, dada em m/s, deve 
satisfazer a desigualdade:
A) 2 < v < 3 
B) 2 < v < 5
C) 1 < v < 3 
D) 1 < v < 4
E) 1 < v < 5
08. (UFMG-MG) Clarissa chuta, em sequência, três bolas – P, Q e R – cujas 
trajetórias estão representadas nesta figura:
P
Q
R
 Sejam t(P), t(Q) e t(R) os tempos gastos, respectivamente, pelas 
bolas P, Q e R, desde o momento do chute até o instante em que 
atingem o solo.
 Considerando-se essas informações, é correto afirmar que
A) t(Q) > t(P) = t(R) B) t(R) > t(Q) = t(P)
C) t(Q) > t(R) > t(P) D) t(R) > t(Q) > t(P)
E) t(R) = t(Q) = t(P)
09. (UFPA) A figura representa um projétil, que é lançado do ponto A 
segundo um ângulo de 30o com a horizontal, com uma velocidade 
v
0
 = 100 m ⋅ s–1, atingindo o ponto D.
 Dados: AB = 40 m; BC = 55 m; g = 10 m ⋅ s–2.
30°
v
A
B
C D
Determine
A) o tempo que o projétil levou para atingir o ponto D.
B) a distância CD.
10. (Cefet-CE) Duas pedras são lançadas do mesmo ponto, no solo, 
no mesmo sentido. A primeira tem velocidade inicial de módulo 
20 m/s e forma um ângulo de 60º com a horizontal, enquanto, 
para a outra pedra, este ângulo é de 30º. O módulo da velocidade 
inicial da segunda pedra, de modo que ambas tenham o mesmo 
alcance, é
 Obs.: despreze a resistência do ar.
A) 10 m/s 
B) 10 3 m/s
C) 15 m/s 
D) 20 m/s
E) 20 3 m/s
11. Uma bola rola do alto de uma escada com velocidade horizontal de 
módulo v
0
 = 4 m/s. Cada degrau tem 50 cm de largura e 50 cm 
de altura.
 Desprezando a influência do ar, determine que degrau a bola 
tocará primeiro.
45°
1º degrau
g = 10 m/s2 50 cm50 cm
v0
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12. Um jogador de futebol, após driblar o goleiro, encontra-se no 
ponto J indicado na figura e chuta em direção ao meio do gol, 
como sugere a linha tracejada, com a meta completamente 
desguarnecida.
 Dados: g = 10 m/s2; sen 30° = 0,50; cos 30° = 0,87
J
8,7 m
 Sabendo que a bola, ao ser chutada, sai com velocidade de 
20 m/s, formando 30° com o gramado, e que a altura da trave 
é de 2,44 m, diga, justificando com cálculos, se o gol aconteceu 
ou não. Despreze a influência do ar.
13. (PUC-RJ) Em um campeonato recente de voo de previsão, os pilotos 
de avião deveriam“atirar” um saco de areia dentro de um alvo 
localizado no solo.
Supondo que o avião voe horizontalmente a 500 m de altitude 
com uma velocidade de 144 km/h e que o saco é deixado cair do 
avião, ou seja, no instante do “tiro” a componente vertical do 
vetor velocidade é zero, podemos afirmar que:
 (Considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e despreze a 
resistência do ar)
A) o saco deve ser lançado quando o avião se encontra a 100 m do alvo.
B) o saco deve ser lançado quando o avião se encontra a 200 m do alvo.
C) o saco deve ser lançado quando o avião se encontra a 300 m do alvo.
D) o saco deve ser lançado quando o avião se encontra a 400 m do alvo.
E) o saco deve ser lançado quando o avião se encontra a 500 m do alvo.
14. (Cefet-CE) Um aluno do Cefet em uma partida de futebol lança 
uma bola para cima, numa direção que forma um ângulo de 60º 
com a horizontal. Sabendo que a velocidade na altura máxima 
é 20 m/s, podemos afirmar que a velocidade de lançamento da 
bola, em m/s, será
A) 10 B) 17
C) 20 D) 30
E) 40
15. (CFT-MG) Uma Pedra, lançada para cima a partir do topo de um 
edifício de 10 m de altura com velocidade inicial
θ = 30°
V
0
 = 10 m/s, faz um ângulo de 30º com horizontal. Ela sobe e, 
em seguida, desce em direção ao solo. Considerando-o como 
referência, é correto afirmar que a ou (o):
A) máxima altura atingida é igual a 15 m.
B) intervalo de tempo da subida vale 3,0 s.
C) tempo gasto para chegar ao solo é 5,0 s.
D) velocidade ao passar pelo nível inicial é 10 m/s.
RESOLUÇÃO
01. Distância X
X = 30 m com V
0 
= 600 m/s (constante)
1 · X = V
0
t → 30 = 600 t → t = 0,05 s 
Altura Y
Y = gt22 = 5 · (0,05)2 → Y = 5 · (0,0025) = 0,0125 m = 1,25 
m 
 Resposta: E
 Tempo de queda:
 
t
V sen
g
V
Vq =
⋅
=
⋅
= ⋅0 0 0
0 7
10
0 07
θ ,
,
A partir da altura máxima, o lançamento é horizontal.
x = V
0
 · cos θ· t
q
 → 8 = V
0 
· 0,7 · t
q
 Substituindo o tempo de queda na expressão acima, teremos: 
8 = V
0
 · 0,7 · 0,07 · V
0
 → V V0
2
0
8
0 049
12 8= → =
,
, m/s
Substituindo o V
0
 na expressão do tempo de queda, obteremos:
t
q
 = 0,07 · V
0
 → t
q
 = 0,07 · 12,8 → t
q 
= 0,9 s
O tempo total é o dobro de tempo de queda
t
T
 = 2 · 0,9 = 1,8 s
Resposta: B
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03. Dados: 
v
0
 = 10 m/s; θ = 45º; g = 10 m/s2.
D0
45º
y
x
v = v
0x
v
y 
= 0
v
0y
v
0
v = v
0x
V
ox
 = v
o
 cos 45º = 10 · 
2
2
 → V
ox
 = 5 2 m/s → v
oy 
= v
o
 sen 45º = 5 2m/s
No eixo y o movimento é uniformemente variado, com a = –g. 
Notando que no ponto mais alto v
y
 = 0 → v
y
 = v
oy
 – g t → 0 = 5 2 10− t
sub
 → t
sub
 = 
2
2
 s. 
Tempo de subida é igual ao de descida. 
Tempo total (t
t
): 
t
t
 = 2t
sub
 → t
t
 = 2 s 
No eixo x o movimento é uniforme, com velocidade igual a v
0x
.
alcance horizontal (x): 
x = v
ox 
t
t 
= 5 · 2 2⋅ → x = 10 m 
Resposta: E
04. Dados:
v
x
 = 10,8 km/h = 3 m/s,
t
q
 = 0,5 s.
 A menina e a bola, horizontalmente possuem a mesma velocidade, logo:
s
m 
=
 
s
b 
= v
x 
· t
q
 = 3 · 0,5 = 1,5 m.
Resposta: E
05. Movimento uniforme na horizontal: d c m= = 4 
Queda livre na vertical: b = 3a ⇒ b m= 3 
Resposta: b = 3 m; d = 4 m.
06.
 y (m)
1 500
0
 
t = 02 
60º
t2 
Vo
t = 02
y0V
x0V
A) V = V cos60 = v = V
1
2
= 200 V = 4000 0 0 0y ° ⋅ ⇒ m/s 
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B) y = y v t 
gt
2
1500 = 400
3
2
t 5t t =4,6 s t =2 2
2
e e
2
e menormenor
– – –⇒ ⇒ ∆ 44,6 s 
Resposta: A) 400 m/s; B) 4,6 s.
07. Tempo de queda → Y
gt=
2
2
 → 5 = 5t2 → t = 1s (é sempre o mesmo, depende apenas da altura vertical) → velocidade mínima (limite 
inferior de R) → X = V · t → 1 = V · 1 → V = 1 m/s → limite posterior (velocidade máxima) → X = V’ · t → 4 = V’ · 1 → V’ = 4 m/s, logo: 
1 < V < 4.
 Resposta: D
08. O tempo que a bola permanece no ar está relacionado com a altura → maior altura, maior tempo de permanência no ar.
Resposta: A
09. A) Vamos escrever a equação horária para a altura do projétil.
h = h
0
 + v
0y
 t – 
gt2
2
 
h = 55 + (100 · sen 30º) t – 5t2
h = 55 + 50 – 5t2
 Agora, devemos resolver a equação para h = 0. Assim, teremos:
0 = 55 + 50 – 5t2
0 = 11 + 10t – t2
t =
− ± − − ⋅
⋅ −
10 10 4 1 11
2 1
2 ( )
( )
t =
10 12
2
± ⇒ t = 11 s
B) A velocidade horizontal é dada por:
v
x
 = v
o
 cos 30º = 50 3 m · s–1
 O alcance horizontal é dado por:
A = v
x
 · t = 50 3 · 11
A = AB + CD = 550 3
∴ CD = (550 3 – 40) m
Resposta: A) t = 11 s ; B) CD = 550 3 40 m–( )
10. Se os dois ângulos de lançamento forem complementares entre si (a
1
 + a
2
 = 90º), e a velocidade inicial for a mesma, (no caso, 20 m/s) o 
alcance horizontal é o mesmo.
Y
X
1
X
2
X
X
V
C
α
1
 = 30º
α
2
 = 60º
Y
V
0
 Resposta: D
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11. 
45º
Arco de parábola
y = x
y
x
Equação da parábola:
x = 4 t ⇒ t = x
4y = 5 t2
y = 5x
16
2
Interseção da parábola com a reta y = x:
x = 5x
16
2
 ⇒ x = 0 e x = 3, 2 m
Portanto, a bola tocará primeiro o sétimo degrau.
Resposta: O sétimo degrau.
12. 
y (m)
v2
0
30º
8,7 x (m)
v2
v2
• v
2x
 = v
2
 cos 30º = 20 · 0,87 ⇒ v
2y
 = 17, 4 m/s
 v
2y
 = v
2
 sen 30º = 20 · 0,50 ⇒ v
2y
 = 10 m/s
• Calculemos o instante em que a bola passa por x = 8,7 m:
 x = x
2
 – v
ox
 · t
 8,7 = 0 + 17,4 · t ⇒ t = 0,50 s
• Calculemos a ordenada y da bola nesse mesmo instante:
 y = y
2
 – v
2y
 t – 
g
2
t2
 y = 0 + 10 · 0,50 – 
10
2
 · 0,502 ⇒ y = 3,75 m
Como 3,75 m é maior que a altura da trave, logo, não aconteceu.
Resposta: Não aconteceu.
13. Velocidade na direção x: V · sen 30º = 20 × 0,5 = 10 m/s 
 Usando a equação de Torricelli:
V2 = V
0 
2 + 2 · a · ∆S → 0 = 102 – 2 × 10 × ∆S → ∆S = 5,0 m
 Cálculo da altura máxima será H: 5 + 5 = 10 m. 
Resposta: B
14. Na altura máxima, a velocidade vetorial 
�
V não é nula, tem 
intensidade mínima e é igual à componente horizontal, ou seja, � �
V Vx= .
h
máxV
��
V
��
V
��
V
��
TV
��
TV
��
XV
��
XV
��XV
��
YV 0=
�� ��
0V V=
�� ��
0V
��
YV
��
YV
��
Y
X
 Assim, v
x0 = 20 m/s → v x0 = V0 cos 60º → 20 = V0 · 1/2 → V0 = 
40 m/s. 
 Resposta: E
15. Equação do alcance:
 A
v
g
= 0
2
2sen( )θ
 Essa expressão mostra que o alcance horizontal independe da 
massa. Logo:
A
1
 = A
2
 = A
3
 Resposta: D
Anotações
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: PAULO LEMOS
DIG.: Zilmar – REV.: AMÉLIA