Movimento Harmônico Simples (MHS) e Pêndulo Simples

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CIÊNCIAS DA NATUREZA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Douglas gomes
assunto: movimento Harmônico simples (mHs)
frente: Física iii
OSG.: 120006/17
AULA 17
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Força no MHS
Da função horária da aceleração e da elongação:
α = –ω2 · x
Da Segunda Lei de Newton:
F = m · α = –m · ω2 · x
Já que a massa e a pulsação do MHS são constantes, 
chama-se mω2 de constante de força do MHS. Logo:
F = –Kx
Ou seja, a força é diretamente proporcional à elongação, 
entretanto, possui sentido contrário a ela. Recebe, com isso, o nome 
da força restauradora. Isso ocorre também porque ela está sempre 
no sentido de restaurar a posição de equilíbrio, x = 0.
Ponto de equilíbrio
O ponto de equilíbrio de um MHS é o ponto central da 
trajetória, ou seja, é o ponto de elongação x igual a zero.
Assim, para x = 0, a força resultante sobre o oscilador é igual 
a zero.
Período do MHS
No item anterior, definiu-se a constante de força K do MHS 
como sendo K = mω2.
Daí se obtém uma expressão para a pulsação do MHS:
ω = K
m
Lembrando que:
ω π π= = ⇒ =2 2
T
K
m
T
m
K
Como a frequência f é igual ao inverso do período:
f
K
m
= 1
2π
Oscilador massa-mola
Após descolar o corpo preso à mola de sua posição de equilíbrio 
e abandoná-lo à ação da força elástica, ele executará um MHS.
A elongação no MHS é, em módulo, igual à própria deformação 
(distensão ou contração) da mola.
A força resultante no corpo é a própria força elástica aplicada 
pela mola.
No ponto de equilíbrio, a força elástica (resultante) é nula, e a 
mola não está deformada.
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
A
B
C
D
E
F
G
H
-A 0 +A
X
I
Pêndulo simples
T
P
t
P
n
P
Ox
θ
máxθ
θ
�
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Módulo de estudo
OSG.: 120006/17
O movimento de um pêndulo simples não é, a rigor, um 
Movimento Harmônico Simples, mas quando o ângulo de abertura é 
pequeno (no máximo, igual a 10º), ele pode ser considerado um MHS.
Período de oscilação do pêndulo simples
É possível demonstrar que o período do pêndulo simples 
depende apenas do comprimento do fio e do valor da gravidade no 
local:
T
L
g
= 2π
Observações:
Destaque-se que o período de oscilação do pêndulo simples:
– independe da massa pendular;
– é proporcional à raiz quadrada do seu comprimento;
– é inversamente proporcional à raiz quadrada da intensidade do 
campo gravitacional.
Exercícios
01. (EsPCex) Um objeto preso por uma mola de constante elástica 
igual a 20 N/m executa um movimento harmônico simples em 
torno da posição de equilíbrio. A energia mecânica do sistema é 
de 0,4 J e as forças dissipativas são desprezíveis. A amplitude de 
oscilação do objeto é de:
A) 0,1 m B) 0,2 m
C) 1,2 m D) 0,6 m
E) 0,3 m
02. (IFSul) O pêndulo simples é um sistema ideal constituído de uma 
partícula suspensa a um fio flexível, inextensível e de massa 
desprezível. Quando o sistema é afastado de sua posição de 
equilíbrio e liberado a oscilar, seu período de oscilação é
A) independente do comprimento do pêndulo. 
B) diretamente proporcional à massa pendular. 
C) inversamente proporcional à amplitude de oscilação. 
D) inversamente proporcional à raiz quadrada da intensidade do 
campo gravitacional. 
03. (Enem) “Christiaan Huygens, em 1656, criou o relógio 
de pêndulo. Nesse dispositivo, a pontualidade baseia-
se na regularidade das pequenas oscilações do pêndulo. 
Para manter a precisão desse relógio, diversos problemas foram 
contornados. Por exemplo, a haste passou por ajustes até que, no 
início do século XX, houve uma inovação, que foi sua fabricação 
usando uma liga metálica que se comporta regularmente em um 
largo intervalo de temperaturas.”
YODER, J. G. Unrolling Time: Christiaan Huygens and the mathematization of nature. 
Cambridge: Cambridge University Press, 2004 (adaptado).
Desprezando a presença de forças dissipativas e considerando a 
aceleração da gravidade constante, para que esse tipo de relógio 
realize corretamente a contagem do tempo, é necessário que o(a):
A) o comprimento da haste seja mantido constante.
B) a massa do corpo suspenso pela haste seja pequena.
C) o material da haste possua alta condutividade térmica.
D) a amplitude da oscilação seja constante a qualquer temperatura.
E) a energia potencial gravitacional do corpo suspenso se 
mantenha constante.
04. (UFPR) Um técnico de laboratório comprou uma mola com 
determinada constante elástica. Para confirmar o valor da 
constante elástica especificada pelo fabricante, ele fez o seguinte 
teste: fixou a mola verticalmente no teto por uma de suas 
extremidades e, na outra extremidade, suspendeu um bloco 
com massa igual a 10 kg. Imediatamente, após suspender o 
bloco, ele observou que este oscilava com frequência de 2 Hz. 
Com base nesses dados, o valor da constante elástica vale:
A) 16π2 N/m B) 1,6π2 N/m
C) (16π)2 N/m D) 160π2 N/m
E) 0,16π2 N/m
05. (Cefet-MG) Um estudante utilizou uma mola de constante 
elástica k e um bloco de massa m para montar dois experimentos, 
conforme ilustra a figura.
m
m
k
k
θ
Inicialmente, o sistema foi colocado para oscilar na vertical e a 
frequência observada foi f. Ao montar o sistema no plano inclinado 
e com atrito desprezível, a frequência de oscilação observada foi:
A) f B) f · tg θ
C) f · sen θ D) f · cos θ
E) f · sen2 θ
06. (UFRGS-RS) Um pêndulo foi construído com um fio leve e inextensível 
com 1,6 m de comprimento; uma das extremidades do fio foi fixada 
e na outra pendurou-se uma pequena esfera de chumbo, cuja 
massa é de 60 g. Esse pêndulo foi colocado a oscilar no ar, com 
amplitude inicial de 12 cm. A frequência medida para esse pêndulo 
foi aproximadamente 0,39 Hz. Suponha agora que se possa variar 
a massa (M), a amplitude (A) e o comprimento do fio (L).
Qual das seguintes combinações dessas três grandezas permite, 
aproximadamente, a duplicação da frequência?
A) L = 6,4 m; A = 12 cm; M = 60 g.
B) L = 1,6 m; A = 6 cm; M = 60 g.
C) L = 0,4 m; A = 6 cm; M = 30 g.
D) L = 0,8 m; A = 12 cm; M = 60 g.
E) L = 1,6 m; A = 12 cm; M = 15 g.
07. (Uece) Um pêndulo simples oscila com pequena amplitude na 
vizinhança da posição de equilíbrio. Podemos afirmar que a 
grandeza, referente à partícula oscilante, que permanece invariável 
durante o movimento pendular, é a
A) velocidade linear. B) frequência de oscilação.
C) aceleração centrípeta. D) energia cinética.
08. (PUC-MG) Considere dois sistemas físicos independentes: 
o primeiro, denominado I, é um pêndulo simples de comprimento 
L, oscilando com pequena amplitude em um local onde a 
aceleração da gravidade é g; o segundo, denominado II, é um 
objeto de massa m oscilando num plano horizontal sem atrito, 
pelo fato de estar preso a uma mola de constante elástica k, que 
se encontra fixada numa parede vertical.
Para que os dois sistemas tenham a mesma frequência de 
oscilação, deve ser obedecida a relação:
A) mg = Lk B) (L/k) = (m/g)
C) Lm = gk D) (L/m) = (g/k)2
E) mg = (Lk)2
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Módulo de estudo
09. (UFSM) Uma partícula de massa m, presa a uma mola, executa um 
Movimento Harmônico Simples (MHS) com período de 16 s. Uma 
partícula de massa 4 m, presa à mesma mola, executará um MHS 
com período (em s) de:
A) 4 B) 8
C) 16 D) 32
E) 64
10. (Mackenzie) Um corpo preso a uma mola, conforme figura 
ao lado, executa na Terra um MHS de frequência 30 Hz. 
Levando-se esse sistema à Lua, onde a aceleração da gravidade 
é 1/6 da aceleração da gravidade da Terra, a frequência do 
MHS descrito lá é:
Re
pr
od
uç
ão
/M
ac
ke
nz
ie
A) 5 Hz B) 10 Hz
C) 30 Hz D) 60 Hz
E) 180 Hz
11. (Uece/90) Observe os quatro pêndulos da figura.
Re
pr
od
uç
ão
/U
ec
e 
90
Desprezando as forças dissipativas, afirmou-se que:
I. o período de oscilação do pêndulo N é igual ao dobro do 
período do pêndulo M;
II. o pêndulo Q tem menor período de oscilação que o pêndulo N;
III. os pêndulos M e P possuem mesma frequência de oscilação.
Estão corretas:
A) somente
I e III. B) somente I e II.
C) somente II e III. D) todas (I, II e III).
12. (Mackenzie) O pêndulo a seguir é constituído de um fio ideal e 
a massa suspensa m oscila periodicamente, gastando um tempo 
mínimo de 2,0 s para ir da extremidade C à extremidade D. 
Supondo g = 10 m/s2, então o comprimento do fio, em metros, 
é aproximadamente:
Re
pr
od
uç
ão
/M
ac
ke
nz
ie
A) 8,0 B) 4,0
C) 3,0 D) 2,0
E) 1,0
13. (Uepe) Um objeto de massa M = 0,5 kg, apoiado sobre uma 
superfície horizontal sem atrito, está preso a uma mola cuja 
constante de força elástica é K = 50 N/m. O objeto é puxado por 
10 cm e então solto, passando a oscilar em relação à posição de 
equilíbrio. Qual a velocidade máxima do objeto, em m/s?
Re
pr
od
uç
ão
/U
ep
e
A) 0,5 
B) 1,0
C) 2,0 
D) 5,0
E) 7,0
14. (Mackenzie) Um corpo de 250 g de massa encontra-se em equilíbrio, 
preso a uma mola helicoidal de massa desprezível e constante 
elástica k igual a 100 N/m, como mostra a figura ao lado. 
O atrito entre as superfícies em contato é desprezível. Estica-se a 
mola, com o corpo, até o ponto A, e abandona-se o conjunto nesse 
ponto, com velocidade zero. Em um intervalo de 1,0 s, medido a 
partir desse instante, o corpo retornará ao ponto A
Re
pr
od
uç
ão
/M
ac
ke
nz
ie
A) uma vez. 
B) duas vezes.
C) três vezes. 
D) quatro vezes.
E) seis vezes.
15. (UFRGS/2012) Um determinado pêndulo simples oscila com 
pequena amplitude em um dado local da superfície terrestre, 
e seu período de oscilação é de 8 s. Reduzindo o comprimento 
desse pêndulo para 
1
4
 do comprimento original, sem alterar sua 
localização, é correto afirmar que sua frequência, em Hz, será de:
A) 2 
B) 
1
2
C) 
1
4
 
D) 1
8
E) 
1
16
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Módulo de estudo
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Resoluções
01. A energia mecânica (potencial) armazenada em uma mola é dada 
por: E
k x= ⋅
2
2
 Analisando o enunciado e fazendo as devidas substituições, 
teremos:
 E
k x x
x x m= ⋅ → = ⋅ → = → =
2 2
2
2
0 4
20
2
0 04 0 2, , , , em que x 
representa a amplitude de oscilação do objeto que se encontra em MHS.
Resposta: B 
02. O período (T) de um pêndulo simples de comprimento (L), para 
oscilações de pequena amplitude, é dado pela expressão
T
L
g
= 2π , sendo g a intensidade da gravidade no local.
 Pela expressão, o período é diretamente proporcional à raiz 
quadrada do comprimento, inversamente proporcional à 
raiz quadrada da intensidade da gravidade no local, sendo 
independe da massa e da amplitude.
 Resposta: D
03. Uma vez que o período de um pêndulo simples é função 
exclusiva da gravidade e do comprimento do fio, para que 
esse relógio marque a passagem do tempo com regularidade, 
o comprimento desse fio deve permanecer constante.
Resposta: A 
04. f
K
m
K mf Nm= → = = ⋅ ⋅ ⋅ =
1
2
4 10 2 4 1602 2 2 2 2
π
π π π
 Resposta: D 
05. Em um sistema massa-mola em MHS, o período do movimento 
é dado por:
T
m
k
= 2π
 Assim, o período e, consequentemente, a frequência não 
dependem do ângulo de inclinação.
 Como nos dois casos a mola é a mesma, assim como a massa 
do bloco, a frequência de oscilação será a mesma em ambos os 
casos.
Resposta: A 
06. Para pequenas amplitudes, o período do pêndulo não depende 
da amplitude. Sabemos também que o período não depende da 
massa:
T
L
g
= 2π
 Reduzindo o comprimento a 
L
4
 (0,4 m), o período se reduz à 
metade e, consequentemente, a frequência dobra.
Resposta: C 
07. A velocidade linear é nula nos extremos e máxima em x = 0; o 
módulo da aceleração centrípeta varia com a velocidade: 
 a
cp
 = v2/R; a energia cinética varia também com a velocidade: 
mv2/2. A única opção constante é a frequência de oscilação.
Resposta: B 
08. 
2 2π πL
g
m
k
L
g
m
k
L
g
m
k
mg Lk
=
=
=
=
Resposta: A
09. No primeiro caso:
2 16
8
π
π
m
k
m
k
=
=
No segundo caso:
T
m
k
m
k
m
k
s’ = = = = ⋅ =2 4 2 2 4 4 8 32π π π π
π
Resposta: D
10. A frequência de uma massa-mola independe do valor da 
gravidade: f
T
k
m
= =1 1
2π
Resposta: C 
11. 
I. Verdadeiro
T
L
g g g g
T
L
g g g
T T
M
M
N
N
N M
= = = =
= = =
=
2 2
0 25
2
0 5
2 2
1 2
2
π π π
π
π π
π
, ,
Logo: 
II. Falso. O período é o mesmo, porque têm o mesmo 
comprimento L. Para o período do pêndulo simples, não 
importa o valor da massa.
III. Verdadeiro. Como têm o mesmo comprimento, têm o mesmo 
período e a mesma frequência.
Resposta: A 
12. O período corresponde ao tempo para que uma oscilação se 
complete, ou seja, para que o móvel passe por todos os pontos 
da trajetória e retorne ao local inicial. Assim, se o pêndulo demora 
2 s para ir de uma extremidade a outra, demorará 2 s para voltar, 
totalizando, como período, 4 s.
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Módulo de estudo
T
L
g
= 2π
L
T g
m= = ⋅ = ⋅ = ⋅ ≅
2
2
2
2 2 24
4 10
4
4 10 4 10
3 14
4
π π π ,
Resposta: B 
13. A velocidade será máxima quando toda a energia potencial for 
transformada em energia cinética:
k
x
m
v
k
A
m
v
kA mv
v
kA
m
ini
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
50 0 1
0 5
1
=
=
=
= = ⋅ =
máx
máx
máx
,
,
m/ss
Note que 10 cm foram transformados em 0,1 m.
Resposta: B 
14. T
m
k
= = =2 2 0 25
100
2
0 5
10
π π π, ,
T  0,31 s
Em 0,31 s 1 vez
Em 1,0 s n vezes
n vezes� 3 2 3, ⇒
Resposta: C 
15. Para oscilações de pequena amplitude, o período (T) de um pêndulo 
simples de comprimento L, num local onde a gravidade é g, 
é dado pela expressão:
T
L
g
= 2π
Assim, para as duas situações propostas:
8 2
2 4
8 4
4
=
=








⇒ = ⋅ ⇒ =
π
π
L
g
T
L
g
T L
g
g
L
T s
’
’
’
f
T
f Hz’
’
’= ⇒ =1 1
4
Resposta: C 
SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Douglas Gomes
DIG.: Raul – REV.: Alexsandra