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ESTAASVTCA
illétodos y Z\pficaciones
Iidütin Galinclo
I'¡3O CII:N CIA EDITOI3ES
20ll
Capítulo 1
Análisis Exploratorio de Datos
Nuestra fe en Dios. El resto debe produc'ir datos.
Anónimo
En cualquier actividad de Ia ciencia, la técnica, Ios negocios o de la vida cotidiana, que dé como
resultado una serie de mediciones, se obtiene más información que las simples cifras recolectadas. El
cómo conseguir la información, su análisis e interpretación se puede realizar de muchas maneras, pero
primero se debe tener una idea clara de las características más importantes de los datos obtenidos.
Los datos pueden ordenarse en tablas; sin embargo, éstas no muestran su comportamiento global.
Su representación gráfica ayuda a captar fácilmente tendencias y establecer modelos probabilísticos.
Conjuntamente con el empleo de métodos numér'icos sencillos, se puede presentar datos, resumir in-
formación y dar una respuesta rápida del comportamiento global de Ias unidades de donde provienen
dichos datos.
En este capítulo examinaremos varios de estos métodos, que son aquellos que frecuentemente aparecen
en los paquetes computacionales de estadística.
1.1. Introducción
En primer lugar, demos una definición de la ciencia Estadística que recoge mucho de lo que ella realiza.
La Estadística es la ciencia cuyo objetivo es reunir una información
individuos, grupos, series de hechos, etc. y deducir de ello, gracias al
significados precisos o unas previsiones para el futuro.
cuantitativa concerniente a
análisis de estos datos. unos
1.1.1. División de la EstadÍstica
Para su mejor estudio, a Ia EstadÍstica se Ia divide en dos grandes ramas: la Descriptiva y la Inferencial.
La Estadíst'ica Descriptiua -también conocida como Anó.lisis Erploratori,o de Datos- consiste, sobre
:odo, en la presentación de datos en forma de tablas y gráficos. Está diseñada para resumir o describir
los datos sin factores adicionales; esto es, sin intentar inferir nada que vaya más allá de los datos, como
:ales.
Capitulo 7. AnáIísis Exploratorio de Datos
La Esto,dística I'nferencial se deriva de mur:stras, de observ¿rciones hechas sólo ¿rcerca de una parte de
un conjunto numeroso de elementos y esto irnplica qrre su análisis requiere de generalizaciones que van
más allá de Ios datos. Como consecnerrcia, la caracter'ística más importante del reciente crecimiento
de la Estadística ha sido un cambio err el énfasis de los métodos que describen a métodos que sirven
para hacer generalizaciones. La Estadística Inferencial investiga o analiza una población partiendo de
la información obtenida a través de muestras.
!.L.2. Algunos problemas que resuelve la Estadística
Para aplicar los métodos estadísticos a la información disponible, es necesario tener presente los tipos
de problemas que esta ciencia resuelve.
Descripción de datos. El primer problema que, históricamente, aborda la Estadística es la des-
cripción de datos. Supongamos que se han tomado ciertas mediciones, que pueden ser los gastos de
alimentación en las familias, la producción de las máquinas de un taller, o las preferencias en un grupo
de votantes. Se trata de encontrar procedimientos para resumir Ia información contenida en los datos.
Análisis de muestras. Es frecuente que, por razones técnicas o económicas? no sea posible estudiar
los elementos de una población. Por ejemplo, para determinar Ia opinión de la población ante las
elecciones solo se investiga a un grupo pequeño, ya que es imposible consultar a todas las personas
en capacidad de votar. Análogamente, se acude a una muestra para estudiar la rentabilidad de un
proceso de fabricación o para de terminar el nivel de ocupación de la población.
La Estadística se utiliza para elegir una muestra representativa y para hacer inferencias respecto a la
población a partir de lo observado en la muestra. Este es el procedimiento aplicado para, por ejemplo:
Decidir si un proceso industrial funciona o no adecuadamente, de acuerdo a las especificaciones.
Estudiar la relación entre consumo de tabaco y cáncer.
. hzgar respecto a la demanda potencial de un producto, mediante un estudio de mercado.
Orientar la estrategia electoral de un partido polltico.
Interpretar una prueba de inteligencia.
Medición de relaciones. Los gastos en alimentación de una familia dependen de sus ingresos, pero,
es imposible determinar con exactitud cuál será el ga.sto de una familia de ingresos dados. Entonces,
no existe una relación exacta, sino estadística. Determinar y medir estas relaciones es importante
porque, debido a los errores de medición, las relaciones que observamos entre variables fÍsicas, sociales
o técnicas son, casi siempre, estadísticas.
Preguntas como: ¿Depende la calidad de un producto de las condiciones de fabricación y transporte?
¿Cómo se relaciona el rendimiento escolar con variables familiares o sociológicas? ¿Cuál es la relación
entre desocupación e inflación?, se responden en términos estadísticos.
Predicción. Muchas variables económicas y físicas tienen cierta inercia en su evolución y aunque
sus valores futuros son desconocidos, el estudio de su historia es informativo p¿rra prever su compor-
tamiento futuro. Este es el mecanismo que se emplea para prever la demanda de un producto, la
temperatura en un horno industrial o las magnitudes macroeconómicas.
7.2. Definiciones básicas
1.1.3. Obtención de información
Cuando se examina un proceso o un fenómeno podemos producil una variada información, entonces
es preciso determinar cuál es la de interés para Ios fines que tengamos y cómo conseguirla; así mismo,
se debe tener una idea del número de observaciones que son necesarias para disponer de informaciórr
confiable.
Para la obtención de información estadÍstica se emplean dos formas bien diferenciadas: los métodos
de muestreo y los experimentos diseñados.
Una investigación por muestreo es un estudio cuya finalidad es la recolección de datos y en el que
el investigador no tiene control sobre las condiciones o los individuos participantes. Ejemplos de
muestreos son los censos, las encuestas electorales o de consumo de un producto.
Un experimento es cualquier proceso o estudio en el que se realiza una recolección de datos donde el
investigador, usualmente, tiene control sobre algunas de las condiciones bajo las cuales el experimento
tiene lugar. Por ejemplo, en el desarrollo de un nuevo medicamento, en la preparación de una nueva
aleación de acero para usar en los automóviles, es necesario realizar experimentos para comparar su
efectividad con otros previamente existentes.
L.2. Definiciones b:ísicas
Las que antes indicamos son las principales aplicaciones de la Estadística, cuando esta ciencia se
utiliza para analizar procesos o fenómenos naturales a profundidad. Pero este no es nuestro caso, por
el momento, nosotros podemos pensar que la EstadÍstica es la ciencia de <<deducir hechos a partir de
datos y de figuras>>.
Aquí surgen varias ideas importantes en todo análisis estadístico: la unidad muestral,la población (o
uniaerso) y la muestra.
Definición (de unidad muestral o experimental) Una unidad es una persona, animal, planta o
cosa que es examinada por un investigador; es el objeto básico sobre el cual el estudio o experimento
se lleva a cabo.
Por ejemplo, una persona, un mono, un plato de semillas, un grupo de facturas.
Definición (de población o universo) Una población es una colección completa de personas,
animales, plantas o cosas de las cuales se desea recolectar datos. Es el grupo entero al que queremos
describir o del que deseamos sacar conclusiones.
Definición (de muestra) Es un grupo de unidades seleccionadas de la población de acuerdo con
un plan o regla, con el objetivo de obtener conclusiones sobre la población de la cual proviene.
EI núrmero de unidades que constituyen la muestra se denomina tamaño muestral.
Generalmente, se selecciona una muestra porque la población es demasiado grande para estudiarla
enteramente. La muestra debe ser representativa de la población general, lo que se logra medianteuna selección al azar de las unidades. También, es importante que el investigador defina, completa
y cuidadosamente, la población antes de recolectar una muestra, incluyendo una descripción de los
miembros a ser seleccionados.
A continuación damos varios ejemplos:
4 Capítulo 7. Análisis Exploratorio de Datos
7. Se desea establecel la estructula demográfic4, pol edad, de lti población ecuatoriana. El universo
Io forman los datos de nacimientos existentes en las ofi.cinas clel Registro Civil. Una mr-restra
puede ser tomada considerando las persolas cuyo apellido comienza con ia letra A.
2. En un estudio se quiere conocer el <<rating>> de sintonía de los canales de teievisión de una
ciudad. La población está constituida por los hogares que poseen televisor y una muestra Ios
hogares de 40 manzanas distribuidas en la ciudad.
3. Una dueña de almacén desea estimar el gasto medio de compra de sus clientes en su almacén
en el último año. La población es todas las facturas de compra en el indicado periodo. Una
muestra de ciento veinte facturas seleccionadas aleatoriamente, serviría para tener una idea del
gasto medio de los clientes.
En los ejemplos anteriores solo se enunciaron posibles muestras para las distintas poblaciones, sin
importar que tan buena pudiera ser ésta.1
I-.3. Datos y escalas de medición
A Ias mediciones o valores obtenidos en un estudio estadístico se los denomina datos provenientes de
una variable estadística.
1.3.1. Tipos de datos
Los datos pueden ser:
1. Cualitativos (Descriptivos o categóricos): Cuando ellos describen caracterÍsticas que no son
medibles; por ejemplo, el sexo de un animal, el color de los zapatos, la profesión de una persona.
2. Cuantitativos (Numéricos): Cuando ellos describen caracterÍsticas que son medibles; por ejem-
plo, la temperatura del ambiente, el número de hijos de un matrimonio, el salario de una persona.
A su vez, las variables cuantitativas se clasifican en discretas y en continuas.
Datos discretos. Un conjunto de datos se denomina discreto si los valores u observaciones
que pertenecen a él son distintas y separadas; es decir, ellas pueden ser contadas (1, 2,3, ...).
Ejemplos de datos discretos son: el número de clientes que ingresa a un almacén en un día, el
número de años que vive una persona.
Datos continuos. Un conjunto de datos se denomina continuo si Ios valores u observaciones que
pertenecen a él pueden tomar cualquier valor en un intervalo considerado. Ejemplos de datos
continuos son: el tiempo que se demora en ejecutarse un programa en la computadora, el peso
de una persona.
L.3.2. Escalas de medición
Definición (de escala de medición) Una escala de medición es un instrumento de medida con
el que se asignan valores a las unidades estadÍsticas.
I La elección apropiada de las muestras se explicará en profundidad en el CapÍtulo 13
t
S
)
7.4. Característ,icas de los datos
Escala nominal' Un conjrrnto de clatos cstá mecliclo en esca,l,a nomin,al si a los vaiorcs que pertcnccen
a é1 se lcs puedc asignar un código, en la forma cle nn nrimero, clonde los núrmeros sor simpleme¡te ula
cticlueta' Los datos en escala nominal ptteclen ser contados, pcro no pueden ser orclen¿clos o medi¿os.
Por ejemplo) elr Lln registro de pclsonas, los hornbres pueden ser codificados como 0 y las mujeres
como 1; el estado civil de un indirriduo puede codifi.carsc como "1" si es casado y como ,,2,' si no lo es.
Escala ordinal. IJn conjunto de clatos cstá medido <:n esca,la ord.inal si a los valores qne per.tenecen a
él se les puede asignar un orden o asociar una escala. Los datos en escala ordinal pueden ser contados
y ordenados, pero no pueden ser medidos.
Las categorías, para un conjunto ordinal, deben tener un orden natural; por ejemplo, suponga que a
ur grupo de personas se les pide que clasifiquen la calidad de la señal de las emisiones de radio, en
una escala de 5 a 1, que representan excelente, buena, regular, mala y pésima. Un puntaje de b indica
mejor señal que un puntaje de 4. Así, los datos resultantes son ordinales.
Escala de intervalo. Un conjunto de datos está medid o en escala d,e interualo si los valores que
pertenecen a él pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo finito o infinito, con la particula-
ridad de que existe un <<cero relativo>>. Los datos en escala de intervalo pueden ser contados, ordenados
y son válidas las operaciones de adición y sustracción) pero no las de multiplicación y división.
Ejemplos de datos en escala de intervalo son: la temperatura medida en grados centígrados (donde
hay un cero elegido arbitrariamente), los puntajes obtenidos en una pruebalaonae un puntaje de cero
no significa que quien lo obtuvo no sabe nada).
Escala de razón. Un conjunto de datos está medido en escala d,e razón si los valores que pertenecen
a él pueden tomar cualqnier valol dentro dc un intcrvalo finito o infi.nito, con Ia particula'idad de que
existe un <<cero absoluto>>. Los datos en escala de intervalo pueden ser coritados, ordenados y son
válidas las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división.
Ejemplos de datos en escala de lazón son: la temperatura medida en grados Kelvin (doncle hay un
cero absoluto), la estatura de una persona, cl tiempo de vida úrtil de una máqnina.
1.3.3. Valoresatípicos
Un valor atípico -también denominado valor inusual o valor extremo- en un conjunto de datos, es
una observación que es lejana, en valor, del resto de datos; es clecir, es un d.ato inusualmente grande
o innsnalmente pequeño, cotriparado con Ios dern¿is.
Un valor atípico ¡>uede ser el rcsultado de un error en una medición, en cuyo caso distorsiona Ia
interpretación de los datos al tetrer una influencia excesiva sobre los cálculos a partir de la muestra.
Si el valor atípico cs un lesultado genuino es importante, porque podría indicar nn compoltamicnto
extremo del proceso en estudio. Por esta razón, toclos los valores atípicos deben ser exarni¡ados
cuidadosamente antes de rcalizar un análisis formal y no se los debería eliminar sin una.justificación
pre\¡1a.
L.4. Características de los datos
Todo conjunto de datos presenta ciertas características que perrniten, en rlna pr.imera aproximación,
deducir el comportirmiento dcl proceso del cr-ral fueron obteniclos. Las tres principales características
son: la localización, la dispersión y la simetría.
Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
o tr ocalización. La krcaliz¿tción <le nn conjrrnto clc clatos cs la Posición lelatir'¿r cltic cllos lllesentan.
En gc'rrcr:rl, se rrricle ¿L la localiz¿rción lror cl valcil que tiene el pLrnto mr:clio clel corrjurrto c.1e clatos.
Por cljernplo, r,:rr la rnedici<in cl<r la r¡st¿rttu'¿r rl<,r lrrr grlipo de personirFj) l¿)s medicioncs est¡rr'án
localiza,cl¿¡.s entre los trcirrta centírnetlos (clc los rcciérr naciclos) y los cLos mctlos veinl,e centíne-
tros (clc los adultos muy altos), si se srrl>one qucl esta,turas rxayorcs no se prcsentar, y se pirede
caracterizal a todos ellos con una estatura prornedio de 1.70 mctros.
La iclea de localización fr-ic introcluci<la por R. A. Fisher er 7922.
Dispersión. Los valores obtenidos en url¿ mnestra no son todos iguales. La valiación cntre
estos valoles sc denomnzt dispe'rsión. Cu¿rndo sc mide la dispersión sc desea dctectar el grado
de disemirración de los valores individuales alrededor del centro de ias observaciones.
En los procesos de manufactura o de medición) una alta precisión está asociada con una baja
dispersión.
El concepto de dispersión fue introdr.rcido por F. Galton (en 1886) y por W. Lexis (en 1887) e
identificado como aqrrel en el que se reflejan las cliferencias entre las mediciones) provenientes de
una misma fuente o tomadas en condiciones semejantes.
Simetría y asimetría. Un conjunto de datos es sirnétrico cuando los valores de los datos están
distribuidos en la misma forma por encima y por debajo de su punto medio.
Los datos simétricos:
1.
2.
d.
Son fáciles de interpretar, pLles los dal;os c¡re están por encima y por debajo del pr.rnto medio
puedensel considelaclos con un misrrio critcrio;
Pelmitcn la fácii detección de valores atÍpicos;
Adrniten la comparación con conjurrtos de datos similales, en tér'minos de la dispersión.
Figula 1.1: Forma csqucrnática cle clatos simétricos y asimétricos.
La asimctría cn un conjrtnto cie datos es el ¿lgrtrpaniiento que ellos Jrresentan a un lado de su centro
Los valores situados a un lado de la rnitacl clc los datos ticnclen a estar rnás alejados qrre 1os \¡¿rlores
clue se enclrerrtran cn ei otro l¿rdo.
1"5. Distribución de f,recuenaias
La distribuci,ón de ,f'rec'u,en"cias cs Lrrre herrarnicnta que se emplea para resurnir', mediantc una tabla,
nurnerosos d¿tos dc rnancra qlle sc ponga de maniliesto l¿ loc¿rlización y Ia clispersión de l¿rs ol¡serva-
cloLcs.
7.5. Distríbución de frecuencias
Con ltna tabla de frccuencia,s se puedcn resurnir- da,tos ctrtegór'icos, nominales u ordiuales. Si los clatos
son continrros se pr-rede lesumillos l.ln¿r \rez qlle se los ha dividido cn grupos serrsiltlcs.
Si se dispone (le un núrrnelo alto dc obsclvacioues) r¿, se procede ¿r cstablccel cr,rántas vcccs se rcpite
cada nrta de ellas, pala cletelrninar sn frecu,en,ci,u o,bsolutct, n". A par:til dc esta información bá,sic¿r se
puede obtencl o1,la, que es converriente poncrla etl nna tabla.
Par'¿r la confección de ltna tabla, de distribución dc frecuencias es lecomcrrdablc segu.ir los sigrrientes
Pasos:
Procedirniento.
1. Se ordenan los datos tr7) :[2) . . ., rk en ur]a columna, de forma ascendentc, poniendo a continuación
k
sus frecuencias absolutas n1, TL2¡ ...¡ n¡. Nótese que D rLi: n.i:r
2. Luego se forma una tercera columna en la que se pone Ia frecuenc'ia relat'iua; que resulta de
dividir la frecuencia absoluta n¿ para el núrmero total de observaciones: /¿ - 3. Xo es más que
TL
la proporción de aparecimiento de cada observación.
3. Pueden, también, calculalse dos columrlas correspondientes a las fi'ecuencias acumuladas, tanto
absoluta como relativa, que resultan de sumar las frecuencias de todas las observaciones ante-
riores hasta la considerada inclusive. Muchas veces, a las frecuencias relativas se las pone como
porcentajes, en lugar de números flaccionarios.
Una tabla de distribución de frecuencias tiene cl siguiente aspecto:
Valor de la
variable (r¿)
Frecuencia
absoluta (n¿)
Fbec. absoluta
acumulada (¡/,)
FYecuencia
relativa (/')
Flec. relativa
acumulada (8,)
rI TL1 l/r : nr ft Ft: ft
tr2 n2 Nz: Nt * nz Jz Fz: Ft t fz
rk TLI, l/¡:l/¡-1 *n¡ fr F*:Fn:I.fn
Total n 1
Ejemplo. En nna fábrica de muebles de rnaclera, se contloló e1 tiempo (en minutos) neccsario para
completar un trabajo cle armado de ciertos anaqueles. Se obturrieron las siguientes mediciones del
tiempo empleado por los obreros:
32.9 JJ.4 33.9 tao JJ.J 32.8 J.).1 .1.). i ) J,]..) 33.5
Dt ¡<.)r).J 33.6 1') n .),). I 33.6 óó.4 33.6 33.8 33.9 t') o.)J. J
at o 33.6 Dt(r),).rl tto 34.4 JJ.I) JÓ.4 ÓJ -L
,]to
t)ú.! 33.6
JJ.r) ,taJJ. I 2q7 33.8 33.0 JJ. / ot 1r)r).1 ,),). t )
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32.9 33.9 33.8 c.t o.ltr-L tD tr).).r) 33.9 34.0 ,1.).J ,u 
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34.0 ,1,1. il :'t3.0 tD ^,),).4 OD DJJ.J JÓ.+ 33.6 33.6 óó. / DD r',rlJ.+
.)t r
r)r).J 33.6 33.0 '12 r)
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JJ.1 33.6 JJ.U 33.6 33.1 33.8
J.J. / ,-),1., ) 33.8
,), 1
JJ. 1 .),)..) 33.0 .).) ,.) 33.4 ÓJ. iJ 33.0
Capitulo 7. Análisis Exploratorio de Datos
La sigr-riente taJrla rrnrestra l¿i clistril¡rrción cle flecrrerrci¿ts dc clatos illrliviclrt¿rlns (crr 17 r':rl,rres).
Tierrrpcr
(rnin)
f,tecuencia
absoluta (n¿)
F\'ec. ¿rbsoluta
acurmrlada (;\)
Fl"ecuencia
rela.tiva ( l¿ )
F!'cc. rel¿rtiva
acurnulada (,F,)
,t:.1
32.8
32.9
33.0
,t 1r)J. I
aD o
JJ.J
JJ.4
33.6
.)¿). r
33.8
33.9
34"0
34.t
tÁ a
34.3
34.4
I
I
e
5
9
q
10
t2
I4
13
8
6
4
2
2
0
0
1
t
2
5
10
19
28
38
50
64
77
85
9r
95
97
99
99
99
r00
0.01
0.01
003
0.05
0.09
0.09
0.10
0.12
0.14
0.13
0.08
0.06
0.04
0.02
0.02
0.00
0.00
0.01
0.01
0.02
0.05
0. 10
0.19
0.28
0.38
0.50
0.64
0.77
0.85
0.91
0.95
0.97
0.99
0.99
0.99
1.00
Total r00 1.00
Sc ha presentado una distribución de frccuencias para 100 datos individuales, pero la tabla pr-rede
Ilegar a scr exterlsa; y si bicn prescnta la, información resunicla, puede ser conveniente resumirla aúrr.
rrrtis, c;r'eando cl¿rses. La agrr-rpac:ión cle clatos cn cl¿rscs sirnplificir Ia presentación y el estuclio cle la
distribución) allnqlle se pierden algunos rleta,lles.
A continuaciórr sc enLlnleran los ptrsos a scguir para constrllir una clistribr-rción de fiecnenci¿rs cle dat,os
agmpatlos en cl¿rses:
Decida el número de clases (ft). La siguienl,e talrl¿r puccle clar rura olientación adccuada cn
Ia rnayor'ítr de los casos.
Número de
observaciones
Número de clases
recomendado
20-50
51 - 100
101 - 2U0
201 - 500
501 - 1000
rnás clc 1000
6
7
B
o
10
t|-20
Calcule la iongitud de ia clase. La longitrrcl clc la cl¿lsc cs igual a Ia obsclrración rnayol menoil
li1 ttrcnor, dividido por cl nLilrrero de clases. Rcdonclcc este rcsulLado pala obtenel rrn rrúrnrero
cor)venicnte) que tenga el mismo níurelo de decimales qlre los d¿rtos.
.4 
/nráx - frnín
k
Construya las clases indicando los cxtremos de Ias misrnas. Cor¡ro ayllda parzr cálculos
J)ostcIioICS:
a) El extremo inferior' (16) de 1a plimera clase será cl lírrrrero ilrnediatarnentc rnerror- a1 r'alor'
mÍnimo, quc tierle rrn clecirn¡rl rnás y qlle terlnrna cn cnco-
,)
4
5.
7.5. Distribución de frecuencias
b) f,os restantes extremos de las clases se obtienen ailadiendo repetidarnente la longitud de
clase al extrenro cle c1¿rse anterior, hasta cnbrir todo el rango cle valolcs.
L, : Li-t I A, .j : i,2,...,k.
Marque cada observación dentro de la clase que le corresponda. Determine la frecuencia
absoluta, 7r,¿, corr€spondiente a cada clase.
Calcule las columnas restantes. IJna vez que tiene la frecuencia absoluta, proceda a calcular
las frecuencias lelativa y acumuladas) como se explicó anteriorrnente.
Observación. El número de intervalos puede variar del inicialmente estimado al redondear el valor
de la longitud del intervalo y que se cumpla el paso 3 a).
Ejemplo. (Continuación.) Construir una distribución de frecuencias por clases de los datos de las
mediciones del tiempo necesario para armar anaqueles.
Solución: De acuerdo a la tabla los datos se distribuirán en k:7 clases. Los máximos y los mínimos
son:
r^5* -- 34.4, rmí. : 32.7, rmáx - trni. : L.7,
1n
longitud de la clase : ::: :0.24,
7
que se redondea a A:0.2.
Fijemos los extremos de los intervalos: el extremo inferior debe ser el número inmediatamente menor al
valor mínimo, que termina en 5 y tiene un decimal más que los datos; es decir, Lo:32.65. Luego, Ios
extremos siguientes se determinan sumando, sucesivamente, 0.2 al extremo inferior hasta sobrepasar
el máximo valor de las observaciones:
L1 : Lo * A: 32.65 * 0.2 : 32.85
L2 : Lt * A: 32.85 * 0.2 : 33.05
:
Ls : Le -l A:34.25 *0.2:34.45
Finalmente, se determinan las frecuencias de cada clase.
A continuación se muestran los resultados.
Tiempo
(min)
FYecuencia
absoluta (n¿)
FYec. absoluta
acumulada (.11,)
-tYecuencia
relativa (/¿)
Flec. relativa
acumulada (fl)
JZ.ti5 - J2.E5
32.85 - 33.05
33.05 - 33.25
33.25 - 33.45
33.45 - 33.65
33.65 - 33.85
33.85 - 34.05
34.05 - 34.25
34.25 - 34.45
r8
22
27
t4
2
10
28
50
77
91
97
99
100
0.02
0.08
0.18
0.22
0.27
0.14
0.06
0.02
0.01
0.02
0.10
0.28
0.50
0.77
0.91
0.97
0.99
r.00
Total 100 1.00
Nótese que por efecto del redondeo en Ia longitud del intervalo ha dado un total de 9 clases. Queda
para el Iector realizar el mismo ejercicio redondeando la longitud de Ia clase a 0.3.
Capítulo 7. Análisis Exploratorio de Datos
Representaciones gráficas de los datos
una rnanera rntly eficiente cle co'oce. el corn¡lo.ta'riento de un conjunto cre datos es re¡rrese'tar.lográficamente' ya que permite dar rtna descripciin a. -"r,lr"rápida y ráit de entender. La importanciai: ::rff ;Tfi:,::l il:T:T.5 f*13¡,T# l.:, :ll" : ".o an ¿,isis ". t J.t i"o de b e ir acomp añado
1.6.1. Diagrama de puntos
un di'aqrama d'e puntos es una forma de resumir datos cuantitativos, en ra que cad.a observación se
;'":T::1,1J*?ll""Til*'q,,:T: ffiñJ: 
il#;' si se disponu a"'lo,"r,os datos, cada punro
El diagrama de puntos deja apreciar:
1' Larocarización general de ras observaciones.
2. La dispersión de las observaciones.
3' La presencia de observaciones inusuales o valores atípicos.
se aconseja utilizar este diagrama para representar hasta un máximo de 20 0bservaciones individuales,
ffi :JJ.:ffi .H;.:".rTT:i :::il'Ji :* ::,,'*x;:::.: *. i;;#;, s e p ue d en combi n ar
lli"t-,;,TJrij:"ffi"#::;HX'uu au ru"' i","n,",."iuJl'TT:#il"l'?;:X[::?l".;; iT;':
cuando se construye un.diagrama de puntos se deben toma¡ dos decisiones. La primera es determinar;i,:JffffJil,:HTJ;:::il;.1*:: ;:;**:."","11fT1,,"*u,0" ;.;l;; ,í,*u "."u,u apropiada que
Para datos nominales u ordinales, un diagrama de puntos es.simirar a un gráfico de barras, con ras
barras reemplazadas por una serie de puntos. Para iatos contin,os, un diagiama de puntos es similara un histograrl&, con ros rectangurás ieemplazado, oorl.,-riior. (vcase r" ,'"*io" r.o.a¡
#:;::i:;"tü;1:"::"t'"T"1il mediciones (en milímetros) de ros días de lruvia en er verano de 2006
6'4 4'0 3'2 4'6 3'2 8.2 6.0 0-2 4.6 5.2 0.6 2.0 11.8 16.4 3.2.
El diagrama de puntos está dado en la Figura 1.2.
i'if?sii u.,n*
10
1.6.
En el diagrama observamos que:
Figura 1.2: Diagrama de puntos.
7,6. Representaciones gráficas de los datos
1. Los datc¡s están agnrpados ccrca del valor 3, antes que, digamos B o 10.
2. Las observaciones sc cxtiencleu en ah'ecledor clc 17 uriidacles) con Llua concentración entre 0 y 8.
3. EI valor 16.4 puede ser calificado de atípico, porque se clcuentra alejado del grupo principal de
datos.
L.6.2. Diagrama de tallo y hojas
El diagrama de puntos tiene algunas desventajas: es difícil regresar de los puntos a los datos y puede
hacerse confuso si se tiene un número alto de datos. Entonces, es conveniente utilizar otras herramien-
tas para realizar su representación gráfica.
El diagrama de tallo g hojas, que es una técnica semigráfica que se emplea para ilustrar las principales
características de los datos (localización, dispersión y simetría). Además, tiene la ventaja de presentar
Ios valores de los datos. Por la forma en que se construye, se debe emplear para un conjunto de hasta
100 datos.
Mediante un ejemplo, veamos cómo se realiza el diagrama, p6o a paso.
Consideremos los siguientes datos:
A los datos los clasificaremos considerando las decenas; así tendremos dos grupos, uno que empieza
con 0 y otro que empieza con 1. Ellos forman el tallo, al colocarlos de manera vertical:
0
1
A continuación, para cada observación anotamos el segundo dígito (de las unidades) a la derecha de
la barra vertical, que vienen a constituir las hojas. La primera observación 08 da
Al agregar la segunda observación 19, da
0
1
Y así, se van añadiendo las observaciones hasta obtener:
8L79542041
976352
Los valores que forman las hojas pueden reordenarse de menor a mayor, así:
0
1
0LI2445789
235679
11_
o
a
o
;e
to
es)
tar
trá
)o
rar
lue
las
üar
006
0
1
8
9
0
1
08 19 77 01 07 09 05 16
13 04 15 02 00 o4 01 12
12 Capítulo 7. Análisis Exploratorio de Datos
Podemos crear dos categorías en cada una de las decenas, en las cuales los dígitos de las unidades del
0 al 4 formen un F,rupo y los dígitos del 5 a 9 foimen otro; de esta manera se tiene:
t)
0
1
1
r42047
8795
to¿¿
9765
Cuando los datos constan de más de dos cifras, se deben escoger los rangos para las agrupaciones
que se realizarán;luego aI llcnar las hojas se separan mediante una coma para evitar confusiones. Si
disponemos de los siguientes datos:
Se pueden realizar dos diagramas de tallo y hojas:
0
1
2
33,47,47,55,58, 60, 79, 82, 88
06, 13, 18, BB
08, 48
que está agrupado por centenas. El siguiente diagrama está agrupado en intervalos de 50:
33,47,47
55,58,60, 79, 82,88
06, 13, 18
88
08, 48
Asimismo, se pueden usar diagramas múltiples para comparar dos conjuntos de datos, para ello se
coloca un tallo común y las hojas de un conjunto se ponen a la izquierda del tallo y las hojas del
segundo conjunto a la derecha del tallo, de la siguiente manera:
0
0
1
1
2
2
ft
4371
9888655
310
99875
311
44
5779
0L23344
678
03
5
1
1
2
2
3
.)
4
Se observa que los datos de la izquierda están más agrupados en los valores bajos, con un rango mayor
y fuerte asimetría; mientras que el conjunto de la derecha es muy simétrico y con menor dispersión.
También, se emplean estos diagramas para representar datos con decimales; por ejemplo, si tenemos
los datos:
qD
DJ 55 79 106 188 47 118 248
47 58 82 113 208 60 88
1.3 0.8 1.6 2.0 r.7 7.2 0.5 1.9 0.6 2.2 0.5 1.6.
7.6. Representaciones gráficas de los datos
El cliaglanra rcsrrltalte <rs:
13
0.
1.
2.
5568
236679
02
1.6.3. Gráfico de sectores y gráfico de barras
Los gráficos de sectoles y de barras son dos formas de ¡lrcsentar gr-tlficamente datos categóricos.
Supongamos que los datos aparecen resumidos en una tabla como Ia siguierrte:
Categorías
FYecuencias
absolutas (n¿)
Fbecuencias
relativas (/¿)
Ct
Cz
Cn
u
n2
;,
f,
fz
ir
Total n, 1
Un gráfico de sectores es un círculo dividido en segmentos, donde el área de cada uno de los sectores
es proporcional a la frecuencia relativa de esa categoría. El ángulo central de la categoría es igual a
fi x 360".
Junto a cada uno de los sectores que constituyen el gráfico, se suele indicar el nombre, el número de
elementos y el porcentaje de cada categoría.
También, se puede resumir datos cualitativos mediante rn gró.fi,co de baryas. En éstos, los datos
se exhiben mediante rectángulos, del mismo ancho, cada uno de los cuales representa una categorÍa
particular. La longitud (y por lo tanto el área) de cada rectángulo es proporcional al número de casos
en la categoría que representa.
Si los datos son nominales, las categorÍas se pueden colocar en cualquier orden; pero si los datos son
ordinales, las categorías deben estar ordenadas.
Los gráficos de barras se pueden presentar de manera horizontal o vertical y usualmente hay un espacio
entre los rectángulos. Junto a cada uno de los segmentos que componen el gráfico se coloca el nombre
el número de elementos y el porcentaje de cada grupo.
Con el gráfico de barras se distinguen las principales caracterÍsticas de los datos, como aquellas causas
que son más importantes o que más frecuentemente se presentan en un proceso. También, tiene la
ventaja de que se pueden realizar gró,,ficos de barras agntpadas, que consiste en representar sobre el
mismo gráfico más de dos variables -siempre que estén medidas en las mismas unidades-, permitiendo
realizar comparaciones,
Ejemplo. En una empresa financiera, los empleados disponen de computadortrs portátiles de distintas
marcas. Un resumen del número de máquinas, de acuerdo a su respectiva marca, se presenta en el
siguiente cuadro.
Marca Número de %
respuestas
Marca Número de %
respuestas
Toshiba 135 42
Dell 76 23
HP 53 16
Lenovo 43 13
No sabe 19 6
t4 Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
Representar mediante gráficos de sectores y de barras.
Solución: Los gráficos se encuentran err Ia Figura 1.3.
Toshiba Dell HP Lenovo No sabe
Figura 1.3: Gráficos de barras y de sectores.
L.6.4, Histograma
Un histograrna es un conjunto de rectángulos, cada uno de los cuales representa un intervalo de
agrupación. Sus bases son iguales al intervalo de clase empleado en la distribución de frecuencias
y las alturas son proporcionales a la frecuencia absoluta,fi,¿ o relativa /¿ de la clase.
El histograma es apropiado para datos continuos, medidos con una misma escala y se lo emplea
cuando un diagrama de tallo y hojas es tedioso de construir. Igualmente, puede ayudar a detectar
observaciones atípicas y cualquier brecha entre los datos.Ejemplo. (Continuación.) El histograma correspondiente a la tabla de distribución de frecuencias
de los tiempos de ensamblaje de anaqueles se presenta a continuación.
Figura 1.4:
1.6.5. PolÍgono de frecuencias y ojiva
Un polígono de frecuenci¿s es un gráfico que se obtiene uniendo con segmentos de recta los puntos que
tienen proporcionalmente como abscisa a la marca de clase y como ordenada la frecuencia respectiva.
Se cierra en ambos extremos en las marcas adyacentes con frecuencia cero.
Toshiba
7.7. Ejercicios
La ojiua es un polígono de frecuencias acumuladas; es decir, en las abscisas se colocan los límites
superiores de cada intervalo de clase y en Ias ordenadas se coloca la frecuencia acumulada (absoluta o
relativa) de la clase. La ojiva es útil para:
Calcular el número o el porcentaje de observaciones que corresponden a un intervalo determinado
de Ia variable.
Calcular los percentiles de la distribución de los datos.
Ejemplo. (Continuación.) El polígono de frecuencias y la ojiva, correspondientes a la tabla de
distribución de frecuencias de los tiempos de ensamblaje de anaqueles se presenta a continuación.
Figura 1.5: Polígono de frecuencias y ojiva.
Una vez que se ha confeccionado una tabla de frecuencias y se ha realizado Ia representación gráfica
correspondiente, es necesario disponer de valores que permitan describir y compara¡ los conjuntos de
datos, mediante números que indiquen su posición, su variabilidad y su forma. Ésto se realiza con las
llamadas medidas estadísticas o simplemente estadísticos.
15
1.
2.
1.
2.
3.
l
i
I
tre
ta.
L.7. Ejercicios
Dé ejemplos (preferentemente de su propio campo) de poblaciones y muestras.
Para cada uno de los distintos tipos de datos: discretos (categóricos, ordinales y nominales) y
continuos, enuncie al menos dos ejemplos. Justifique sus respuestas.
En una encuesta de opinión acerca de las preferencias de bebidas gaseosas, por sus colores: negro
(N), blanco (B) V R (rojo), 20 consumidores dieron las siguientes respuestas:
N, B, B, N, R, B, B, N, N, B, N, B, B, R, N, B, N, R, N, B.
Construya el gráfico de sectores circulares.
4. Los siguientes datos corresponden al porcentaje de alumnos de cuarto grado de escuela, clasifi-
cados según su rendimiento académico en la materia lenguaje.
Calificación %
Insuficiente 53
Regular 26
Bueno 15
Muy bueno 5
Sobresaliente 1
16 Capítulo 7. Análisis Exploratorio de Datos
a) ¿,Con quó tipo d<; datos est¿i ustcd tlalra,jauclo? Explique.
b) Retrlir:e los gr'áficos cle pastel y dc barrtr,s clc los d¿rtos.
c) ¿.Qué porcenta.jc de los alurnrros cle cuarto graclo tien<:u urr renclirnierrto <<bucno>> o mejor
que bueno?
En Ia siguiente tabla se describe diferentes razas d<r perros, según varias caracterÍsticas obser-
vadas.
E
i).
R,aza Tamaño Peso Velocidad Agresividad Función
basset
boxer'
bauceron
bulldog
caniche
chiguagua
cocker
colley
doberman
dogo
fox hound
galgo
labrador
mastin
pekinés
podenco
pointer
san bernardo
teckel
teI'ranor¡a
11
22
32
11
11
11
2I
32
32
33
32
32
22
32
11
22
32
33
11
22
I
2
2
I
2
1
2
3
3
3
3
3
2
3
1
2
3
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
I
r)
1
1
1
1
1
3
,
r)
2
2
2
3
I
2
2
3
1
3
donde la codificación es la siguiente:
Tamaño: 1 tamaño pequeño; 2 tamaño mediano; 3 tamaño grande.
Peso: 1 peso pequeño; 2 peso mediano; 3 peso grande.
Velocidad: 1 velocidad leve;' 2 velocidad mediana; 3 velocidad grande.
Agresividad: 1 agresividad leve; 2 agresividad grande.
Función: 1 compariía;2 caza;3 utilidad.
a) ¿A qué tipo de datos pertenece cada caracterÍstica definida en la tabla?;
b) Para cada variable, realice el gráfico de pastel o el gráfico de barras;
c) Compare los distintos gráficos y deduzca cuáles variables están relacionadas.
respuesta.
6. Se tiene la siguiente información acerca de la composición del cuerpo humano.
Explique su
Figura 1.6: Distribución de materiales en el cuerpo y distribución de las proteinas.
7.7. Ejercicios
¡,Qué porcentaie del peso total del cuerpo humano corresponde al peso total de la piel?
7. Se registró Ia distancia diaria (en km) que el representante comercial de una empresa recorre
para visitar a sus clientes:
t7
8.2 13.3
4.6 10.5
5.9 10.0
6.5 L2.7
10.1
72.6
10.8
15.0
11.5
13.0
13.1
10.4
r0.4
7.7
t2.0
13.6
13.5 7.6
t2.0 4.3
14.1 5.0
t3.2 8.3
8.
a) Realice un diagrama de puntos para los datos;
b) Realice un diagrama de tallo y hojas;
c) Determine la tabla de frecuencias;
d) Dibuje el histograma;
e) Compare este último con los diagramas de puntos y de tallo y hojas.
La inversión anual, en miles de dólares, de una muestra de 40 pequeñas empresas fueron:
36 19 29 37
2042534
27 77 31 10
46 26 12 23
33 22 29
24 27 27
28 15 41.
18 33 25
31 2L 35
24 26 31
30 18 39
28 23 28
9.
10.
a) Elabore una distribución de frecuencias con 7 intervalos de clase;
b) Realice el diagrama de tallo y hojas;
c) Determine el porcentaje de empresas con una inversión entre 14 mil y 20 mil dólares.
Los ingresos mensuales de una muestra de pequeños comerciantes se tabularon en una distribu-
ción de frecuencias simétrica de 5 intervalos de clase de igual amplitud, resultando como ingreso
mÍnimo 125 dólares, marca de clase del cuarto intervalo: 300. Si el 8 % de los ingresos son
menores que 165 dólares y el 70 % de los ingresos son menores que 275 dólares. ¿Cuál es el
porcentaje de los ingresos que son superiores a 285 dólares?
Se tiene la siguiente tabla acerca de las edades de los obreros de cierta empresa:
Edades
No. de
obreros
22-27 L4
27 -32 17
32-37 25
37-42 10
42-47 I4
Encuentre el porcentaje de obreros cuyas edades están comprendidas entre 35 y 40 años.
11. La siguiente tabla muestra la distribución de las notas en un examen.
Nota No. alumnos
0-5
5-10
10-15
r5-20
7
18
i5
10
¿Qué porcentaje tuvieron una nota comprendida entre 8 y 17?
18
12
Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
Al clasifical las no+"as cle 0 a 100 cn un exarnen, se obtuvo una distribución simét,rica, con 5
intervalos de clase de iglral ancho. Si el 10% desaprotró con rnenos de20, rnientra-s qurcel 40o/o
obtlrvo notas comprendidas entre 40 y 60, ¿,qrré porcentaje de alurrinos obtuvo una nota rnenor
de 60?
13. En la tabla se indi,can los tiempos de espera en las ventanilias de un banco.
Tiempo (rnin) Frec. absoluta Frec. relativa
03 32
3-6 0.30
6-9
9-12 8 005
12- 15 0.10
Halle el tamaño de Ia muestra y complete la tabla de distribución de frecuencias.
14. Los pesos de n artículos se ordenaron en una tabla de distribución de frecuencias de 7 intervalos
de igual ancho de clase, donde: mín : 50 g, máx : 120 g.
Además, ft : fz, fs: fs, fs t fa I fz :0.36, n1-l nz I n3 -r n4 -_- 560 y U. :64.
a) Determine el valor de n;
b) ¿Cuántos de estos artículos tendrán un peso mayor o igual a 60 g y menor a 110 g?
15. Halle el tarnaño de la muestra y reconstruya Ia siguiente tabla simétrica de distribución de
frecuencias.
Intervalo Frec. absoluta Frec. relativa
Frec. relativa
acumulada
10- t2 7
12- 0.24
0.52
5
18-20
16. La tabla muestra la distribución del ingreso familiar mensual de 80 familias.
Intervalo Frec. absoluta
Frec. absoluta
acurnulada
Frec. relativa
640 - 680
680 - 720 48 60
720 - 760 0.r25
760 - 800 0.075
800 - 840
Determine el número de familias que tienen un ingreso
17. Dado el siguiente histograma de frecuencias relativas.
[c, /], si el total de la rnuestra es de 400?
menor a 800 dólares mensuales.
¿Cuántas observaciones hay en el rango
2(
7.7. Ejercicios
Figura 1.7:
i8. En el siguiente gráfico se muestra el consumo de energÍa en una fábrica.
¿Qué porcentaje del consumo diario se utiliza desde las 19h hasta las 24h?
En la siguiente ojiva se
personas) según su edad.
representan los porcentajes de personas que componen un grupo
100
55
45
25
10
12 17
Figura 1.9:
Determine qué porcentaje de personas tienen edades comprendidas entre 10 y 15 años.
1_9
de19
go
20. Dada la ojiva correspondiente a los gastos en servicios de los hogares de una ciudad.20 Capítulo 7. Análisis Exploratorio de Datos
Figura 1.10:
Reconstruya la tabla de distribución de frecuencias.
1.8. Medidas de localización
Cuando se dispone de un conjunto de observaciones, es de interés encontrat el valor en torno al cual
se agrupan la mayorÍa de ellas o el centro de las mismas. Las medidas descriptivas que permiten
especificar estos valores se denominan medidas de localización o md,idas de tendencia central.
Existe una amplia variedad de medidas de localización; nos concentraremos en las m¿ís empleadas: el
promedio, la mediana, la moda, la media geométrica y la media armónica.
1.8.1. La media muestral o promedio
. Si las observaciones están agrupadas en una tabla de frecuencias de datos individuales como la
siguiente:
Observación Flec. absoluta
rI
I2
rk
fLy
n2
nk
donde n¿ es la frecuencia absoluta de la observación ,ri, el promedio se calcula por
/D
k
Dnn'n &
¿:t saI: ---=-, COn n: z_rn.n d:l
Definición (de promedio o media aritmética) El promedio, notado como 7, de un conjunto
de n mediciones 21, r2t...,,rn es igual a la suma de sus valores dividido entre n; es decir,
&-
rt*rz*.'.*rn
n
Drn
i=l
n
7,8. Medidas de localización
. Si los datos se presentan en una tabla de frecuencias, agrupados por clases:
Clase LIC LSC Punto medio Frec. absoluta
1
2
k
l1
I2
t"¡
5t
S2
9p
rl
r2
;r
Tr1
TL2
rLk
2L
se calcula el punto medio cle cacla clase r l¿ I s¡' ' 'romo iri :; Q,:1,2,, .. , k) y el promedio es
k
I rr,¡ r¡
i1
tn
k
con 7¿:l n¿.
i:7
ual
ten
;EI
Ventajas e inconvenientes del empleo del promedio:
1. Se expresa en Ias mismas unidades que la variable.
2. En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución.
3. Es el centro de gravedad de toda la distribución, representando a todos Ios valores observados.
4. Es único.
5. Su principal inconveniente es que se ve afectado por la presencia de valores atípicos.
Ejemplos
1. Calcular el sueldo promedio de diez personas que ganan (en dóIares):
170 r72 168 165 173 t78 180 165 767 172.
Soluci,ón: Se dispone de n : 10 observaciones sin agrupar, entonces
11*rzl..'*rn
ro la
&-
n,
170 + 172 +168 + 165 + 173 + 178 + 180 + 165 + 767 + r72
10
: I7L.
2. Calcular la estatura promedio de 46 señoras, cuyas medidas se dan a continuación.
Estatura 1.45 1.48 1.50 1 Itt,du 1,55 1 taL,(, f 1.60 i.63 1.65
Flecuencia 2 4 5 B 72 7 4 tt) 1
Solución: Como las mediciones están agrupados en una tabla de datos individuales, aplicamos
Ia fórmula que considera la frecuencia de cada una de ellas.
Téngase presente que el número de clases €s k : 9 y el tamaño de la muestra es n: 46.
I
I n'¡r¡
r:i:l
n,
2 x I.45*4 x 1.48+... +3 x 1.63 * 1 x 1.65
Los 46 señoras examinadas
46
r.545.
tienen una estatura promedio de 1.545 metros.
22
3.
Capítulo 7, AnáIisis Exploratorío de Datos
En una cooperativa de ahorro y crédito se realizó Ia tabla de frecuencias de
ahorros de sus socios (en dóIares), según se presenta en la tabla,
Desde Hasta Fbecuencia
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
100
200
30
400
500
600
700
800
900
1000
72
28
46
77
186
224
209
r22
53
19
Calcular el promedio de los ahorros de los socios de la cooperativa.
Soluci'ón: Los datos están agrupados en 10 clases. En primer lugar encontraremos el punto
medio de cada clase y los pondremos en la tabla:
Desde Hasta Punto medio (z¿) Flecuencia (n¿)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
100
200
30
400
500
600
700
800
900
1000
50
150
250
350
450
550
650
760
850
950
72
28
46
7r
186
224
209
722
53
19
Ahora, empleamos Ia fórmula que considera la frecuencia de cada una.
10
Tenemos que k : 10 y D n¿:970. Por tanto,i:1
10
D'¿*n
Á t--l
TL
12 x 50*28 x 150+.,. +53 x 950* 19 x 950
970: 555.155.
El ahorro promedio de los cooperados es de b5b.16 dólares.
1.8.2. La mediana
La mediana fue por primera vez utilizada, como una medida de localización, por A. A. Cournot en
1843 y redescubierta por F. Galton en L882, año desde el cual su empleo se ha generalizado.
Definición (de mediana) La mediana de un conjunto de datos xr, z2: .. ., rn es el valor que se
encuentra en el punto medio, cuando se ordenan los valores de menor a mayor.
Ios montos de los
1.8. Medidas de localización
Se la nota como Q2 o Med y tiene la propiedad de que a cada lado del valor se encuentra el 50 % de
las observaciones.
Si disponemos de un conjunto de datos individuales, para el cáIculo de Ia mediana se procede de
Ia siguiente manera:
1. Se ordenan las n observaciones rt,12,. ..,rn de manera creciente.
2. Si el número de observaciones es impar, entonces n:2rnl1, La mediana es la observación
que se encuentra en eI lugar m * I. AsÍ, si disponemos de r¿ : 29 observaciones ordenadas
de manera creciente, m : 14 es decir, Ia mediana es la observación que se encuentra en el
lugar14*1:15.
3. Si el número de observaciones es par, entonces n:2m. La mediana es igual a la suma de
las observaciones que se encuentran en los lugares m y rn * 1, dividido para dos. Así, si el
número de observaciones es de n : 30, entonces rn: 15; Ia mediana es el promedio de Ias
observaciones que se encuentran en los lugares 15 y 16.
Si los datos están resumidos en una tabla de distribución de frecuencias de datos individuales.
1. Ordene las observaciones de manera creciente, con sus respectivas frecuencias acumuladas.
2. Calcule I v red.ondee al entero más cercano. Determine en Ia columna de Ia frecuencia2"
acumulada a qué dato pertenece, comparando el valor obtenido con el valor de la frecuencia
acumulada que es igual o inmediatamente superior; éste valor es la mediana.
Si los datos están resumidos en una tabla de distribución de frecuencias por clases, la mediana
se determina por interpolación, asÍ:
1. Establezca en qué intervalo está el valor mediano. Para ésto, se determina la primera
clase cuya frecuencia acumulad.a se na mayor o igual a 5. Dicho intervalo se denomina clase
med'iana.
2. La mediana se calcula con la fórmula
n,; - nl-r
Med,: L¡_t-r 
=-A,donde:
,L¿-1 es el límite inferior de la clase mediana.
At-r es la frecuencia acumulada del intervalo inmediatamente anterior al intervalo de la
mediana.
n¿ es la frecuencia absoluta de la clase mediana.
A es Ia longitud de la clase de Ia mediana.
La interpretación gráfica del cálculo de la mediana se encuentra en la Figura 1.11.
Nótese que la mediana de un conjunto de datos no necesariamente pertenece a éste. La propiedad
fundamental de la mediana es dividir al conjunto de observaciones en la mitad.
Ventajas e inconvenientes del empleo de Ia mediana:
Es la medida m¿is representativa en el caso de variables que solo admitan la escala ordinal.
Es fácil de calcular.
En Ia mediana solo influyen los valores centrales y es insensible a la presencia de valores atÍpicos.
En su determinación no intervienen todos los valores de Ia variable.
23
1.
2.
.).
4.
24 Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
Figura 1.11: Interpretación geométrica del cálculo de la mediana.
Ejemplos
1. Determinar la mediana de los siguientes datos:
5.5 6.9 7.0 3.0 4.8 4.t 3.2 4.3 5 5 6.5 4.3.
Soluci,ón: Se tienen n : IL observaciones, por Io que Tn : 5, entonces Ia mediana está en el
lugar 5*1. Ordenemos los datos
3.0 3.2 4.7 4.3 4.3 4.8 5.5 5.5 6.5 6.9 7.0.
La mediana es la observación que se encuentra en el sexto lugart Qz:4.8.
2. (Continuación.) Calcular Ia mediana de los sueldos de diez personas que ganan (en dólares):
t70 r72 168 165 L73 178 180 165 167 L72.
Solución: Se tiene n: 10 observaciones, que ordenadas dan
165 165 767 168 r70 772 772 773 178 180.
Por lo tanto, la mediana es el promedio entre las observaciones quinta y sexta:
^ 770+172er: i:171.
3. (Continuación.) Calcular la mediana de la estatura de 46 señoras, cuyas medidas son:
Estatura
(r¿)
Fbecuencia
absoluta (n¿)
FYecuencia
acurnulada (¡lr)
7.45
1.48
1.50
1.53
1.55
r.57
1.60
1.63
1.65
2
4
5
8
T2
n
l
4
r)
J
1
2
6
11
19
31
38
42
45
46
1,
I
fi
I
*
ET
la
L¡¡ MC L¡
lal
7.8. Medidas de localización 21:Soluci,ón: Las mediciones están agrupados en una tabla de datos individuales y el tamañ0,d,9,1,1i
muestra es n: 46. , . .iJ,ríiri,!
Calculamos 2 : ZZ y vemos en Ia columna de Ia frecuencia acumulada que hay los valoles 19 y
2
31, que cumplen que 19 < 23 < 31.
Así, Ia mediana es el valor cuya frecuencia acumulada es 31; es d,ecir, Q2: 1.55-.i " i"r;i'r;'irt:;'/
4. Para la liquidación del impuesto a Ia renta, en una pequeña empresa, se calcularon lcs'ingbesoS
anuales (en dólares) de todos los empleados. La tabla de distribución de frecuencias es la
siguiente:
Ingreso anual
Número de
personas (n¿)
Fbecuencia
acumulada (Nr)
2400 - 3000
3000 - 4200
4200 - 5400
5400 - 7250
7250 - 9000
9000 - 12000
3
20
35
25
15
2
3
23
58
83
98
100
Solución: Los datos están dados en una tabla de frecuencias por clases con r¿: 100.
Entonces, ?2:50; por tanto, la mediana se encuentra en el intervalo (a200;5¿00)';'de!t'nánera
que A: 5400 - 4200: 1200.
1.8.3. La rnoda
Definición (de moda) L" moda de un conjunto de ddüob'es aquel valor que tiene la mayor
frecuencia absoluta.
Se la nota como Mo. Hay ocasiones en las cuales los datos pueden tener dos o más modas, o no puede
existir, cuando todos los datos tienen igual frecuencia. Para su determinación es útil construir una
tabla de frecuencias de los datos.
. Si los datos están resumidos en una tabla de distribución de frecuencias por clases, la m'6dr 
"edetermina mediante la fórmula: ii ,,'t:) i, ri ) lfl;'{
I = :,(' i,¿ ;i,
li) il);jii-),1fli ii lfrli/.
donde:
tr¿-1 es el límite inferior de la clase modal.
d1 es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase anterior.
d,2 es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de Ia clase siguiente.
,i'¡_l-
,,,r.1 t,
,,r,; r ¡ix llri.il
i-nel
Ahora, tenemos que
* - *n-,Med: L;I*TO
!{-es): : 4200 + tO:"rrg¡ :5L25.7. 'i rr,','i;trÍ :'.i r1i',¡'¡1,\q;?.
35
La mediana del ingreso anual de los empleados de la empresa oist25'.1¿lil*áJ] "i' 
t;i ir1¡;({ l:
'" -- 1--.\' lrii:Lli-'rr r j ..'ilrrrrrri
'rli;rl.lirll;l
r"i I
Mo:L¿¡* ,O' , Odt t trz
A es la longitud de la clase de la mediana.
, r ¡;iri:,rt ¡;,I
Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
Aunque la icle¿r de <<valol rn¿1s fiecuente>> es mny trrrtigurr, no fue ernpleacla en estaciística, dc rn¿lnela
forrnal, hasta c¡re Ia po¡lrlirlizó K. Pe¿u'son en 1894.
Ventajas e inconvenientes del empleo de la moda:
1. Es fácil de calcular e interpletar.
2. Es la única medida de Iocalización que ptiede obtenerse en Ias variables de tipo cualitativo.
3. En su determinación no intervienen todos los valoles de la distribución.
Ejemplos
1. Supóngase que las notas de un examen de estadística fueron las siguientes:
9.4 8.1 9.0 5.6 7.0 9.0 6.5 9.0 3.8 7.0.
Soluc'ión: La moda de este conjunto es Mo:9.0, que es el valor que más veces se repite.
2. Calcular la moda de los siguientes datos:
Observación 2.7 4.5 6.0 8.7 9.2
Fbecuencia 5 6 .) 2 4
Solución: La mayor frecuencia es 6, correspondiente al valor 4, por lo tanto Mo:4.
3. Para la liquidación del impuesto a la renta, en una pequeña empresa, se calcularon los ingresos
anuales (en dólares) de todos los empleados. La tabla de distribución de frecuencias es la
siguiente:
Ingreso anual Número de
personas (n¿)
2400 - 3000
3000 - 4200
4200 - 5400
5400 7250
7250 - 9000
9000 - 12 000
3
20
35
25
15
2
Solución: La clase modal es el tercer intervalo, ya que tiene la mayor frecuencia (hs : 35).
Entonces, I : 50; por tanto, la mediana estará el el intervalo (4200; 5400), de manera que,2
dr :35 -20:15, d¿:35 - 25:10 y A:5400 - 4200:7200.
Ahora, tenemos que
A[o : L¡.--t* ,O' , O
d't -l d'z
: 4200+,,,15,.1200 : 4920.
15+10
La moda del ingreso anual de los empleados de la empresa es 4920 dólares.
I
l
:
I
i,
:-
1.8.4.
7.8. Medidas de Iocalizaciót't
La media geornétrica
Definición (de media geométrica) La media geornét,rica, notaclzr corno .{lG, clc urr conjunto dc
n, meclicion€s r1, 12:.. ., nr es igrral a Ia taíz r¿-ésirna de su ltroclucto; es decir,
AIG: Vqxrrx-xrk.
Si las obselvaciones están agrupadas en una tabla de fi'ecuencias de datos individuales,
MG: {r:7, "";, x...xr'tlt.
Si las observaciones están agrupadas en una tabla de frecuencias por clases, la expresión es la
misma, pero utilizando el punto medio de Ia clase z¿.
El empleo más frecuente de la media geométrica es el de promediar variables tales como porcentajes,
:asas, números Índices; es decir, en los casos en los que se supone que la variable presenta variaciones
acumulativas.
Ventajas e inconvenientes del ernpleo de la media geométrica:
1. En su cálculo intervienen todos los valores de Ia distribución.
2. Los valores extremos tienen menor influencia que en la media aritmética.
3. Es úrnica.
1. Su cálculo es más complicado que el de la media aritmética y solo se la puede calcular cuando
todos los valores son positivos.
Ejemplo. Calcular la media geométrica de la estatura de cinco personas que miden (en metros):
t.70 r.72 1.68 1.65 r.73.
Solución: Se dispone de n:5 observaciones; por tanto,
MG : (r¡x12x-xrn
otT: 11.70 x I.72 x 1.68 x 1.65 x I.73: 1.696.
La media geométrica de las citadas estaturas es 1.696 m.
1.8.5. La rnedia armónica
Definición (de media armónica) La media armónica, notada como NI H, de un conjunto de n
mediciones rrt r2t . . . , rt. es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de esos n valores;
es decir,
27
50s
;la
que
Su empleo no es aconsejable en distribuciones de variables con valores pequeños. Se suele utilizar para
promediar variables tales como productividades, velocidades, tiempos, rendimientos, cambios, etc.
28 Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
Ventajas e inconvenientes del empleo de la media armónica:
1. En su cálculo intervienen todos los valores de Ia distribución.
2. Su cálculo no tiene sentido cuando algún valor de la variable toma valor cero.
3. Es única.
Ejemplo. Calcular la media armónica de la estatura de cinco personas que miden (en metros):
1.70 t.72 1.68 1.65 r.73.
Solución: Se dispone de n:5 observaciones; por tanto,
11111
-_r-r-_r-_L-
L.70 I.72 1.68 1.65 r.73
: 1.696.
La media armónica de las citadas estaturas es 1.696 m.
1.8.6. Percentiles, cuartiles y quintiles
Antes de finalizar esta sección, es conveniente referirnos a varios términos que son de uso común
en la prríctica estadística: los cuartiles, Ios quintiles y los percentiles. Estas medidas estadísticas
corresponden a lo que se denomina medidas de posición no central.
A un conjunto de datos ordenado se lo puede dividir en un número fijo de partes iguales; cuando se lo
divide en cien partes se tienen los percentiles.
Definición (de percentiles) Los percentiles son cada uno de los 99 valores que dividen a la
distribución de los datos en 100 partes iguales.
A los percentiles se les nota como P¡. Con ellos se puede encontrar regiones donde se acumulan los
datos; así, el 30 % de los datos están por debajo del trigésimo percentil.
Para su cálculo se procede de Ia siguiente manera:
. Si los datos no estrín agrupados o están en una tabla de datos individuales, se efectúa la siguiente
descomposición:
nk
100 
: j *r,
donde:
j es la parte enter u a" !.
100
r es la parte fraccionaria a. *.
100
Entonces, se tiene que
"+-, si r: o;rj+L, sir>0.
7.8. Medídas de localización
Si los rl¿rtos i:sttirr rr¿Jrup¿rclos crr c:lascs, sc c:¡rlctila ruccli¿rnt<r
,tk, _ l{r. ,
I'A,:LA-ta 1oo " ',1,
nk
100
10x20
29
7Lk'
rlor rcler:
,L¿ 1 es cl lírrrite inferior del intervalo ñ (cuva fi'ecucrrcia ¿rcurnulada es la primera mayor o igr.ral
tt,A:
a _).
100'
lü-l cs la fi'ecuencia acumulada hasta .L¡-1.
n¡ es la frecuencia absohrta del intervalo h.
A es la longitud del intervalo h.
Ejemplos
1. Calcular los percentiles de orden 20 y 33 de la estatura de diez personas que miden (en cm):
165 165 167 168 170 L72 r72 r73 178 180.
Solu,c'ión: Tenemos eue n: 10.
. Par-a P2g, k :20
: j *r
: 2+0
100
Entottces,r':0y j:2;
P¡,Pzo
. Para P33, li; : 33
Entonces, r:0.3 y j:3.
10 x33 :3+0.3.
n los 100
úente
P¡ : rj+t
PS¡ : r¿:168.
2. (Continuación.) Calcular el percentil de orden 86 de los ingresos anuales de los empleados de
Lrna enlpresa.
Ingreso anual
Número de
personas (n¿)
FYecuencia
acumulada (¡/r)
2400 3000
3000 - 4200
4200 - 5400
5400 - 7250
7250 9000
9000 - 12000
3
20
35
25
15
2
,)
23
58
83
9B
100
Soht,ción: Teuemos qlte ?¿ : 100.
30 Capítulo 1. Análisis Exploratorio de Datos
n,k 100 x 86
Parzr,l)66. k :86 y 
- 
: 
- 
: 86.100 100
EI intcrrr¿rio h cloncle se cricu<rutrrr P5¡; cs (7250, 9000) y Lt-t:7250.
Tarnlriétt, sc tierre qr,tc ly'¡,-1 :83, r¿*.:15 y A:9000 -72;.¡0:1750
Con estos datos, obtenemos:
'k - n,.I) . 100, A, L¡-I - 
--'l
nk
D- 72t¡o + uu - 83 trrnrSri tLUv | 
15
: 7600.
Dos casos particulares, y muy utilizados, resultan cuando al conjunto de datos se Io clivide en cuatlo
o cinco partes iguales, que corresponden a los cuartiles y a los quintiles, respectivamente.
Definición (de cuartiles) Son valores que dividen a la distribución de los datos en 4 partes, cada
una de las cuales engloba eI25% de los mismos.
Los cuartiles son 3:
. El cuartil inferior (Qr), qre deja a su izquierda el 25% de los ctatos v se curnple eue Qr : P2ó.
. El cuartil medio (Qz), qre deja a sr.r izquierda el 50 % de Ios datos, coincide con la mediana y se
cttmple que Q2 : Pso.
. El cuartil superior (Q3), que deja a su izquierda el 75 % de los datos y se cumple eue Qe - Pzó.
AsÍ, para el cálculo de los cuartiles solo se deberá tener en cuenta que ellos son los percentiles de orden
25, 50 y 75, respectivamente (Figura 1.12).
500Á 500
mln Qt Qt Q¡ max
Figura 1.12: Disposición de los cuartiles en un conjunto de datos.
Definición (de quintiles) Los quintiles son valores que dividen a la distribución de Ios datos en
cinco grupos, cada uno de los cuales contiene el 20% de las observaciones.
Los quintiies son 4:
. El primer quintil (qr), q.t" deja a su izquierda el 20% de los datos y se cumple que qr - P2o.
¡ El segundo quintil (qz), qrr" deja a su izquierda el 40% de los datos y se cumple eue 9z - P4o.
. El tercer quintil (qs), qn" deja a su izquierda el 60% de los datos y se cumple que qB - Poo.
r El cuarto quintil (g¿), qr" deja a su izquierda el 80% de los datos y se cumple que q4 - P80.
7.8. Medidas de localización
Dctcrrniuar los cuartilcs infcliol y su¡rcliol cle las estaturas de 46 señoras,
31
Ejernplos
1. (Continuación.)
cuyas ntedid¿rs son:
Estatura
(r¡)
Fbecuencia
absoluta (n¿)
Frecuencia
acumulada (¡i,)
r.45
1.48
1.50
1.53
1.55
L.57
1.60
1.63
1.65
2
4
5
E
72
7
4
.)
1
2
b
11
19
31
3B
42
,,1 l
46
Pz¡.
)'se
Pn.
rrden
D'lu.
P+0.
'60.
D-^
EU'
Sohtción: Tenemos que n : 46.
. Para el cuartil inferior, Q1 : P25, por tanto, k:25 y
nk , lr
i00
46x25 : 11 + 0.5.
De manera que, r : 0.5 y
p¡, : r j+t
PZs : rn: I.53.
. Para el cuartil superior, Q¿ : Pzs, k :75 y
100
Es decir, r : 0.5 y
(Continuación.) Determinar
empleados de una empresa.
tlr
35 + 0.5.
* l-rt
: rsa : 1.57.
inferior y superior de los ingresos anuales de los
nk
100
46x75
2
100
P¡,
Pzs
Ios cuartiles
Ingreso anual Número
personas
de
(r¡)
FYecuencia
acumulada (Nr)
2400 - 3000
3000 4200
4200 - 5400
5400 - 7250
7250 - 9000
9000 - 12000
t)
20
DTJd
25
15
2
J
23
58
83
9B
100
Solu,ción: Tenemos que n : 100.
32 Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
. Cuartil inferior: Qt : Pz;, k::25 J, Y: 
109ri.25 : Z¡.100 100
El irrtelr'¿rlo l¿ doncle se enc:uentra Q1 es @200;5a00) y Lt-t:4200.
Tambiérr, se tiene que N¡- t : 23,nt : 35 y A :54U0 - 4200 : 1200.
Entonces, lesrrlta que:
t'/t 
- Ar,.-,
P¡, : Lt-tI loo "'¿
nk
t<_t?
Pzs : 4200 +'",;;'" 1200
Ji): 4268.6.
Cuartil superior: Qs: Pzs, k :75 t #: 
tO?ñtt : tt.
El intervalo h donde se encuentra P75 es (5a00; 7250) y Lxt:540A.
También, se tiene que N¡-1 : 58, n¡ :25 y A :7250 - 5400 : 1850.
Con estos datos, obtenemos:
nb
P¡ : Ln-t-t rá - e-t,
nk
Pzs : b4oo+ 75;58raso
: 6658. 
25
1.9. Medidas de dispersión
Luego de determinar Ia localización de las observaciones, es conveniente medir su grado de clispcrsión
alrededor del centro. Las medidas que permiten especificar esta característica se denomínan n¿edidas
de dispersión.
Estas medidas deben tener la propiedad de que si los datos están ampliamente extendidos, la medida
será alta; y cuando los datos se encuentren muy agrupados, será baja.
Existen varias medidas de dispersión, nosotros vamos a analizar la desviación estándar, el rango y el
rango intercuartil.
1.9.1. La desviación estándar
llna vez que se ha calculado el promedio de las mediciones, un indicador de su variabilidad es la
desviación de cada medición particular corr respecto al promedio, r¿- r. Pero ésta da r.rna información
válida para cada medición y no para toda la muestra. Para tal efecto se emplea la desviación estándar,
medida de dispersión fue introducida por K. Pearson en 1894.
Definición (de desviación estándar o desviación típica) La desviación estándar, notada como
s, de nn corljunto de n mediciones 11, 12, ...¡ 2,, es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados
de Ias desviaciones de las mediciones, respecto al promedio z, di'l'idida entre n - 1; es clecir,
n-I D,@,i:l
7.9. Medidas de dispersión 33
\ótese que la desviación estándal es siempre positiva y sus nnicladcs de medicla son las rnisnrrrs clrLt:
aquellas que corresponden a los datos originales.
Para su cálculo tambiéu se cnrplea la fórnrula equivalente
- n \r)'
n-I
De la misma manera que para Ia media aritmética se consideran los siguientes casos:
' Si las observaciones están agrupadas en una tabla de frecuencias de datos individuales:
Observación FYec. absoluta
Il
r2
x) te
TL1
n2
;o
la desviación estándar se calcula por
o s:
k
DnnrT - n(T)2
i:I
k
con n:, ni.
i:r
k
con n: \-nr./-¿
;-l
n-7
ión
úas
ida
rel
¡la
ión
ilar,
' Si los datos se presentan en una tabla de frecuencias, agrupados por clases:
s se calcula por
k
O /-\ñ
Ln¿rí - nlI)'
i:l
-itn¿(r¡-r)2 o 8: n-Ii:7
Ventajas e inconvenientes del empleo de la desviación estándar:
l. Se expresa en Ias mismas unidades que los datos originales.
2. En su cálculo intervienen todos los valores de la distribución y por ello puede ser complicado.
3. Es única.
4. Se ve muy afectada por la presencia de valores atípicos.
Clase LIC LSC Punto medio Flec. absoluta
1
2
k
ly
l2
:
l¡"
Sl
S2
:
Sk
I1
I2
:
rk
TL1
n2
:
nk
34
Ejemplos
1. (Continuación.)
(en dólares):
Capítulo 7. Análisis Exploratorio de Datos
Calcular la clesviación estárrdar cle los
r70 t72 168 165 173 178 180
srreldos cle diez l)crsonrrs que ganan
165 167 t72.
L7I. Con ésto, resulta que:Solu,ción: Previamente se habÍa calculado el promedio 7:
*i@n-,¡'
(170 - t7L)2 + (I72 - I7r)2 +...+ (167 - tTL)2 + O72 - LTr)2
Esos sueldos tienen
(Continuación.)
son:
Estatura t.45 1.48 1.50 1.53 1.55 L.57 1.60 1.63 1.65
Frecuencia 2 4 5 8 t2 7 4 3 1
Solu,c'ión: Anteriormente se determinó que 71. :46, k - 9 y r:1.545.
Para realizar el cálculo, obtengamos el valor a. f nor'n,
i:t
k
D"nr? :2(t.+s)2 + 4(t.458)'+'" + 3(1'63)2 + 1(1.65)2 : 109.9615
i:1
Entonces, se tiene que
10-1
1.
una desviación estándar de 5.1 dólares.
Calcular la desviación estándar de Ia estatura de 46 señoras, cuyas medidas2.
Dn *?-n@)2 ffio:, , :.@:0.04627.n-r V ¿o-tD- n-l
La estatura de las señoras analizadas tiene una desviación estándar de 4.6 cm.
3. (Continuación.) Calcular la desviación típica de los montos de ahorros de los socios de una
cooperativa de ahorro y crédito:
Desde Hasta Punto medio (r¡) FYecuencia (ni)
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
100
200
30
400
500
600
700
800
900
1000
50
150
250
350
450
550
650
750
850
950
12
28
46
77
186
224
209
r22
53
19
Solución: Antes se determinó que n : 970, k : 10 y V -- 555.155.
7.9. Medidas de dispersión
Calculemos lzr siguiente sumatona:
9
I,,r r,l : 12(rtQ2 + 28(150)2 +'. . + b3(850)2 + 19(950)2: 330025000
'i-7
De manera que la desviaciórr típica es
k
D ro"? - "(")2,i.:1 /33002ffi:V éro-i :riYü¡'
35
n-7
tlonjuntamente con la desviación estándar se suele definir la uarianza muestral de un conjunto de
ratos, notada s2, como Ia suma de los cuadrados de las desviaciones respecto a su promedio, dividido
:or el uno menos que el número de observaciones en el conjunto de datos y se calcula mediante
las "ln
" 
: ;\f {'o - 7)2,;-1
EI rango y el rango intercuartilr,9.2.
Definición (de
'.'alores mayor y
rango o recorrido) El rango de n mediciones es
menor de las mismas:
igual a la diferencia entre los
Rango : T..'áx
Ei rango se puede utilizar para hallar una aproximación de la desviación estándar mediante las si-
--rrientes relaciones :
R.anso
s = --É-) para n 176,1/n
R,anso
"=--, para100<n(400,
para 16 q 7¿ ( 100,
para n > 400.
Ventajas e inconvenientes del empleo del rango:
1. En su cálculo solo intervienen los dos valores extremos de Ia distribución y por ello se ve muy
afectado por Ia presencia de valores atípicos.
2. trs fácil de calcular.
Definición (de rango intercuartil) EI rango intercuartil, notado por RIQ, de un conjunto de
latos es igual a Ia diferencia entre ios cuartiles superior e inferior; es decir,
RIQ: Qs - Qt.
Las definiciones de los cuartiles superior e inferior y del rango intercuartil fueron dadas por F. Galton
en 1882.
36 Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
Ventajas e inconvenientes del empleo del rango intercuartil:
1. Es fh<:il cle calcul.¿rr'.
2. Se vc Poco afect¿rcio por la Plerselcia dc r,¿r.lores atípicos.
3. En su deterrninación no intclvierre l¿r tot¿iliclad cle los clatos.
Ejemplo. (Continuación.) Calcular' la desviación estárrd¿rl de l¿r cst¿rtur¿r clc 46 señoras, cllvas
meclidas sc reslrmen en la siguierrtc t¿tbl¿r:
Estatura r.45 r.48 r.50 1.53 1.55 1.57 1.60 r.o.) 1.65
Fbecuencia 2 4 Ir 8 12 7 4 3 1
Solución: Antes se dcterminó que Q1 :1.53 Y Qs:I.57. Además, zmí':7.45y r,'á*:1.65.
Entonces,
Rango
RIQ
Tmáx - fnrín : 1.65 - I.45 : 0.20.
Qs - Qt : 1.57 - 1'53 : 0.04.
Además, podemos calcular una aproximación de la desviación estándar de los datos:
RangosFr 
4
0.20
Como se ver el valor aploximado cs bastante cercano
: 0.05.
exacto, calcuiado con la fórmula respectiva.
4
al
1.9.3. El coeficiente de variación
Esta rnedicl¿r se utiliz¿r l)¿lra conlp¿r'¿rr las rnccliciones de
unidades o por distintos individuos.
Si u.rr conjurrto de cl¿rtos es honrog(rneo, CV < 1; si Cf/ >
tun¿r misrna magnitrici rc¿liz¿rri¿r cn distintas
1.5. los dzrtos poclrían ser hctclogóncos.
Ventajas e inconvenientes dei empleo clel coeficiente de variación:
1. Es urr¿r medida ¿rdimensioual.
2. En sn cálculo interviencn toclas las obscrvaciones. pr-rclicnclo ser nluv iufluido pol valoles atípicos.
3. Puede ser difícil de interpretar.
4. Picrde su significtrdo si el prorredio es iguai a cero.
Definición (de coeficiente de variación) El coeficiente de variación, notado y>ot CV, es ig-ual
a la desviación estándar- dividid¿r por la medi¿r, rrritmética; es riecir,
sCT':1
T
7.7A. Medidas de fornta
Ejernplo. (Continuaciórr.) C¿rlcrrl¿rr r:l c:oerficrierrtc clc r'¿rriaciórr clcrl srrclclo clc
-irr¿1rr (crL ckilzrrcs) :
Dta
JI
cliez pcrsorr¿rs clllc
170 rT2 168 165 r73 r78 180 165 167 r72.
: :,1 uc,i¡ir¿: Pleviarrx:rrtc s<t It¿rbía cirlculaclo clur:
CV:!
T
r : 177 1' ,s - 5.1. Con ésto, r'esulta que:
- 
5'1 :0.02982.
777
--omo el valor de coeficiente es muy ba.jo, los datos son homogéneos.
1.10. Medidas de forma
-{asta ahora, heruos arralizado la localización y la dispersión cle una distribución, pero necesitamos
. r'locer más sobre el comportamiento de los datos. En esta sección, analizaremos las medidas de-,)
- )inla'.
- as medidas de forma de ttna distlibución se clasifican en dos grllpos: medidas dc asinietr'ía y medidas
-- cttrtosis.
1.10.1. Asirnetrra
coet'íczente d,e a,s'intetría, dc nrra variable midc cl grado de asimetr'ía de la distribuciórr r,le sus datos
tolno ¿r sti meclia. Es aclirncnsional v se definc corno srg=Lre:
As:
\-1.r, _ ,):t ln,
/_-' ' ' I
,i.: t
,s3
--,--. crtl,o,s cle nn¿L variable cstárr
--:,a l'¿rriable es ¿l,sinií:tric¿r si srr
-es solr igual cle largas.
coltstituidas por los r.alores
col¿ ;r nn 1¿rclo cs rnás larga
alejaclos de la medía (r,a.1oles cxtrcmos).
que sr1 col¿r al otro y sinrétric¿r si amb¿rs
si As > 0. la clistribui:ión ser¿i asiurótiic¿r a l¿r clcrccli¿r. La
cola a la izquierrl:r.
. si As - 0la distlilncicin ser'á sirnéttic¿r. AnLbas colas son
cola a la clerech¿r es más lirrga que 1a
igual dc luugirs.
. si As < 0 la clistribrrciórt ser¿i ¿rsirnétlica a ltr izcluicrcla. La cola a lur izqnierd¿l es más lrrrgir que
la cola a I¿r clelech¿r.
rEn la definición cle las trreclicl¿rs rte ti¡rma no hal,'unidac.l cle criterios cntre los especi:rlista,s, por lo clrLc hay una amlrlia
r i cclacl
38 Capítulo 1. AnáIisis Exploratorio de Datos
L,lO.2. Apuntamiento o curtosis
EI coeficiente de apuntamiento o curtosis de una variable sirve para medir el grado de concentración
de los valores que toma en torno a su media. Se elige como referencia una variable con distribución
normal, de tal modo que para ella el coeficiente de apuntamiento es cero.
Ap:
ir", - *)n l,
i:t ,
-J.
Según su apuntamiento, una variable puede ser:
Leptocúrtica, si Ap ) 0; es decir, es más apuntada que Ia normal. Los valores que toma la
variable están muy concentrados en torno a su media y hay pocos valores extremos.
Mesocúrtica, si Ap:0; es decir, es tan apuntada como la normal.
Platicúrtica, si Ap ( 0; es decir, es menos apuntada que la normal. Hay muchos valores extremos,
Ias colas de la variable son muy pesadas.
Figura 1.13: Curtosis de curvas simétricas.
Ejemplo. (Continuación.) Calcular los coeficientes de simetría y apuntamiento de los sueldos de
diez personas que ganan (en dólares):
t70 172 168 165 r73 178 180 165 t67 172.
Solución: Previamente se había calculado que 7 : l7l y s : 5.1. Además,
e4
i@n-e)'
i:7 (170 - 171)3 + 072 -171)3 + . + (167 - i71)3 + O72 - t7D3
55.8.
(170 - LTDA + $72 - I7I)4 +. . . + (167 - LTD4 + G72 - I7D4
1191. 
10
10
i{,n-n)n
i:l
n
In
)11
Ia
x)
de
7.77. Otras representaciones gráfrcas 39
- ntOnCeS,
As:
T).\-.\ ( r; - T\'' lr¡,1J"
'i-I
t
so
0.42r.
55.8
(5.1)3
ir", - ,)n l,
i:tAp: t-J-
1191
(5.1)n -.)s4
-t.239.
-,cs datos son levemente asimétricos, con asimetría hacia la derecha; también, son platicúrticos,
;,,rsible presencia de valores atípicos.
1.11. Otras representaciones grÍificas
- os gráficos analizados anteriormente no requieren realizar cálculos de medidas estadÍsticas. Los
==áficos que a continuación se presentan, sí los emplean; por tanto, son más poderosos al realizar un
'-nálisis.
1.11.1. Diagrama de balanza
FI di,agrama de balanz¿ fue introducido en el año 2000, como una herramienta que muestra, en un
lismo gráfico, la forma de los datos, su valor central y su variabilidad al representar el promedio, el
:-ínimo, el máximo y Ia desviación estándar de los datos.
?ara su construcción se procede de la siguiente manera:
1. Se calcula el promedio, la desviación estándar, el mínimo y el mríximo del conjunto de datos que
se analiza.
Sobre una recta se ubican los valores del promedio, el mínimo y el máximo. Los segmentos que
unen el promedio con el mÍnimo y con el máximo se denominan brazos de Ia balanza.
Sobre la misma recta se ubican dos puntos -uno a la izquierda y otro a Ia derecha de la media-,
a una distancia igual a la desviación estándar.
Debajo del valor del promedio se dibuja un triángulo.
EI diagrama queda así:
.x+.s
)
3
I
x
Figura 1.14:
40 Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
El rliagrarri¿r clc. brrl¿rnzir st: iritc:r'plet¿r clc 1a sigrricrrtc luirrrcr'¿r:
Si los cl¿tos solL sinrírtlic:os, r:l valor del plonreclio se sitú¿r r¡rr r:l <:c:rrtLo rlci grálico.
Si los d¿rtc¡s est¿ilr agrrrptrdos en torno ¿ri ccntlcl. los l¡r¿-Lzos rlr: l,r bal¿rnz¿ ser'¿ilr cortos; pr"u cl
contrzlricl, si ir"rs tlat,os estiirrdispclsos eu tor-rr<l ¿r.l coutlor lt-,s lrr'¿rzos clc l¿r bal¿rnza s<)r'¿'rir liilgos.
Si nno dc los rlos bl¿rzos clc 1¿r b¿rlarrz¿ es muchr¡ rl¿rs largo c¡rc r:l otlo, nos inclica (llre los (l¿1tos
sorl asirr)étricos y clue hay posible prcsencia cle r'¿rloles atípicos en l¿s obselv¿ciones.
Puede ser irtil combin¿rr' (solrre el mismo gr'áfico) con un cliagrzrma clc prrni;os pzrra visualiz¿rl Ia, Irillr(:lr'&
en que se distlibuycn ias observaciones.
Ejemplo. Realizal el diagrama de balanza de los siguientes datos:
5 5 5 5 1010202027 35
39 55 55 60 60 60 68 75 90 90
Soluci,ón,: Estos datos tieneu las siguientes carac;ter'ísticas:
rnírr:5, rnáx:90, r:39.7, s:29.3
Entonces,
1
2
,)
:L
T
-S
*s
39.7 - 29.3:10.4.
39.7+29,3:69.0.
El ciizrglirlr¿r <lc balarrz¿r ¡ie nuÉrstl¿t it crorrtirn.r¿rcirjn:
st0 28 3ü 4C 5S 60 1fi 80 gCI
Figura 1 .15;
Scgirrt sc obscrvit crr i'i giálico, el prornedio no se encuentra crr cl centro del ralgo. entonces sc dr:drrc<:
quc los cltrtcs sotr asirtrétricros. Arlcrriás, lcs br'¿rzr¡s cie i¿r b¿l¿rnza rro ticrierr ig'ral longitnri, lo <1rri.r ri<rrtot¿r
la posrble plcserrcia cle vakrrcs atípicos elr cl ex1 r'errro clcrecho.
1.11"2. Diagrarna de ca.ja
El rli,o,qt'ant,a" de c:o,.jo, fr-re irrtroduciclo r:n 1977, pol JoLrn \\I. Tuliey conLo lur¿l herranrierrtzr quc rrurcslr'tr,
er Lrn misuro gr:ific:o, l¿r foltna de los clatos, sn r'¿r,lol ccntlal y srr rrariabilicl¿rcI irl rcprr:sentar i¿r rne<li¿rrra.
los crr¿rtilc¡s) el r'¿1rlgo intercualtil y el rango c1e las observacicxrcs.
Para su constlucción se procede de la sigr.riente rn¿Inera:
l. Soble lrn¿ líne¿l holizontal se loc¿rliz¿rn l¿ mcdiana. Ios cuartiles inferior y supr:rior ¡'los clatos
nrínilro I'm¿ixirno.
7.77. Otras representaciones gráfrcas
Se constrrtye rtna ca..ja angosta qlre une a Qt y Qz; a continu¿rción, se clivicle estar caja cn clos
mecliatrte una línea qne pase por Qz.
Finalrnente, se ttazan las uallas, que son dos rectas, una desde cada extremo de la ca.ja, hacia el
valor rnínimo y hacia el valor máximo de los datos.
:n la Figura 1.16 se mnestra un diagrama de caja.
4L
,l
t.J.
I
min
trt
Qt Qz Qr
I
max
Figura 1.16: Diagrama de caja.
;--n diagrama de caja es especialmente útil para examinar la simetrÍa de los datos, la presencia de
-"-:lores atípicos y para comparar dos conjuntos de muchos datos.
Ejemplos
1. (Continuación.) Trazar el diagrama de caja correspondiente a los datos de la estatura de 46
señoras, cuyas medidas son:
Estatura r.45 1.48 1.50 1.53 1.55 L.57 1.60 1.63 1.65
Flecuencia 2 4 5 8 12 7 4 3 1
Solución: Antes se determinó que Qr : 1.53, Qz : L.55, Qs : t.57, rrnín: I.45 y z¡16* : 1.65.
El diagrama de caja es el siguiente:
. -lttc:cr
, lr rt¿i
: .tliI)
.l(lIJ¿Ir
r.60 1.65
Figura 1.17:
Como se observa, los datos son bastante simétricos, con una fuerte concentración en torno al
centro y -puesto que las vallas son largas- con la posible presencia de valores atípicos (el mínimo
y el máximo).
Se recogieron los datos de los ingresos mensuales de 200 hombres y 250 mujeres, que realizan
I
t.4s
I
1.55
clirlos
42 Capítulo 7. Análisis Exploratorio de Datos
tlab:r.jos rro c:¿llificaclos, olrtcniéudosc ltr sigtticttto tabl¿:
Ingreso flombres Mujeres
180
190
200
270
220
230
240
5
20
')r.f i)
AN
75
20
10
55
75
25
40
45
Comparar los ingresos de los dos grupos mediante sus diagramas de caja.
Solución: Se tiene la siguiente tabla que resume las medidas descriptivas reqtteridas:
mIn Qt Qz Qs max
Flombres i90 270 220 230 240
Mujeres 180 190 200 220 230
Con todos estos elementos, los diagramas de caja son
230
Figura 1.18:
En el diagrama correspondiente a las mujeres, observamos que la mediana no se encuentra en Ia
mitad de la caja, denotando una asimetrÍa, con fuerte concentración hacia valores bajos. Como
Ias vallas son cortas, podemos inferir que no hay presencia de valores atípicos.
En el diagrama que corresponde a los hombres, se observa que Ia mediana está en Ia mitad de la
caja, indicando que Ios datos son simétricos. Como la valla inferior es más larga qr-re la superior,
rros indica que rlrl valor de 190 es atípico para los hombres.
De acuerdo a las posiciones de los diagramas, se observa que) en general, las mujeres tienen
ingresos menores. Tarnbién, se aprecia que los ingresos de los hombres están más concentrados
alrededor de la rnediana qne los de las mujeles, denotando que aquellos son más homogéneos.
240
o 22O
ut
fl zros
tr
200
190
'180
Sexo
L.1-2. Ejercicios
i. Una persona está rnanejando un carro en una autopista a 70 km/h y nota que el número de autos
a los que pasa es igual al número de autos que a ella le pasan. Los 70 km/h son el promedio, la
mediana o la moda de las velocidades de los autos en la carretera. ¿Por qué?
tenla
Como
Idela
)ertor,
trenen
trados
teos.
: autos
dio, la
3
2.
7.72. Ejercícios 43
Dadas r¿ : 8 nrccliciones: 4, 2, 6. 5, 7, 5, 4, 6.
Deterrnine: rr) f; lr) l¿r niecliarr¿r; c) ,s; cl) el lango; e) la asimetría; f) Ia cr-rrtosis.
Dadas n : I mediciones: 5, 8, 8, 4, 4, 9, 7, 5, 4.
Deterrnine: a) 7, b) la mediana; c) s; d) el rango; e) el RIQ; f) la asimetría; f) curtosis.
1. En 1904, Cushny y Peebles publicaron en el artículo <The action of optimal isomers>> (Journal
of Physiologg), un estudio sobre el efecto de dos isómeros de Ia molécula hidrocinamida hidro
bromida en prodrtcir sueño. Se presentó la variación en el núrmero de horas de sueño por noche
al usar las dos versiones de Ia droga:
Paciente Dextro Levo
+0.7 +1.9
-1.6 +0.8
-0.2 +1.1
-L2 +0.1
-0.1 -0.1
+3.4 +4.4
+3.7 +5.5
+0.8 +1.6
+0.0 +4.6
+2.0 +3.4
Realice un diagrama de puntos para cada uno de los dos tipos de drogas y comparárelos.
¿Cuál de los dos isómeros es más efectivo en producir aumento en las horas de sueño?
Realice un diagrama de tallo y hojas con los datos.
Calcule el promedio, la mediana y la desviación estándar de los datos de las dos drogas.
¿Cuál es más efectiva? Explique.
Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 2000, 5000 y 10000 dólares, respectiva-
mente. Si el primero le rinde un 5To anual, el segundo un 4To anual y el tercero un 2To anual.
¿Cuál es el tipo de interés que recibe?
En una empresa se registró la edad (en años completos) de sus empleados, resultando la siguiente
tabla:
1
2
.)
4
5
6
7
8
I
10
a)
b)
c)
¿.
31 49 36
45 61 40
51 18 29
36 40 46
56 35 48
39 56 29 57
39 47 27 36
34 42 38 62
37 49 25 2r
44 42 43 49
4t 40 51
37 16 37
31 28 25
39 35 37
22 25 28
a) Determine el número de clases que se debe utilizar en la distribución de frecuencias;
b) Construya la tabla de frecuencias y el histograma;
c) ¿Qué porcentaje de los empleados es menor que 50?;
d) ¿Qué porcentaje de los empleados es mayor que 35.5?
7. En una bodega de venta de licores se registró las principales. características de 25 marcas de
44 Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
rn'hiskys:
a) Identifique el tipo de dato que representa a cada una de las variables;
b) Realice un diagrama de tallo y hojas para el precio de venta y ei tiempo de añejamiento;
c) Calcule el promedio, la moda y la mediana del precio, la proporción de malta y el tiempo
de añejamiento;
d) Encuentre la desviación estándar, el RIQ V el coeficiente de variación del precio, la propor-
ción de malta y el tiempo de añejamiento;
e) Calcule los coeficientes de asimetría y de apuntamiento del precio, la proporción de malta
y el tiempo de añejamiento;
f) Realice un gráfico de barras de Ia categoría y de la nota de calidad.
Calcule el promedio, la mediana y la moda de las edades de 25 personas:
32 33 34 31 32 31 34 32 34 32 31 34 31
31 32 32 34 34 32 33 34 33 33 34 31
9. Dados los datos y sus frecuencias:
Halle: a) e; b) Mo; c) s; d) el rango.
10. Dados los datos v sus frecuencias:
8.
No. de
whisky
Precio
de venta
Proporción
de malta Categoría
Tiempo de
añejarniento
Nota de
calidad
I
2
,
4
5
6
7
8
9
10
11
T2
13
t4
15
16
t7
18
19
20
2I
22
23
24
25
70
60
65
74
70
,J
70
55
93
62
87
7883
90
110
113
96
82
r27
160
90
86
100
100
95
20
20
20
25
25
30
30
30
J,l
ttJd
ttJJ
35
40
40
40
40
40
45
45
100
100
100
100
i00
100
1
1
1
I
I
1
1
I
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
2
3
3
3
3
3
3
5
5
7.5
I2
t2
5
8
5
6.5
8
8.5
8.5
8
5.5
T2
8.5
T2
12
8.5
L2
12
12
10
11
T2
.,
J
2
2
2
3
0
0
2
I
3
3
2
4
2
1
1
td
,
d
4
3
4
2
3
q
d
0
Halle: a) Qz; b) 7; c) s; d) RIQ.
o;
lpo
ror-
rlta
7.72. Ejercicios
il. Sc rcirlizti rttta irrr'<rstigaciírn sobtc cl prccic'r rlc zapzrlos <lcportivos. clcr sirnilarets <:¿rr¿rctetrístic¿rs
crr rlivrtlsos ¿tllutr:ctttts clc l¿r trirrrl¿rcl, ob1<:nií:rrr[os<t los sigrricnt<:s cL¿ttos (cl<ilarcs):
45
50
49
49
+t
46
43
44
44
45
46
4:l 39
43 39
43 39
41 39
47 38
40 38
40 38
4U 38
40 37
40 37
,)- oi .)- .)or),J ,¡l r) I r)i
33 26 36 30
33 27 36 30
.).) ,)a ') E J)^,),) ,l ,)r) .)t,
32 28 35 28
Determine la dislribución de frecuencias inclivicluales de los datos;
Elabore la distribución de frecueuci¿rs con datos agnrpaclos l)or clases;
A partir de la distribución obtenida, trace el histograma.
-2. A continuación se dan los resultados de la estatrrra de 100 estudiantes:
170 \75 180
a)
b)
c)
a)
b)
c)
a) los
b) Ia
c) la
a)
b)
Esratura (en cm) | 155 160 165 185
No. de eslrrdiantes I 10 14 26 28128
Halle:
Ia estatura promedio y Ia desviación estándar;
la media armónica y la media geométrica;
Ia mediana y eI RIQ.
A partir de la siguiente distribuciórr de liecuencias,
Encuentre:
cuartiles inferior y superior y la mediana;
media armónica;
media geométrica.
-=. La siguiente tabla muestra la temperatura nocturna (en "C) clr.rrantc 200 días:
Intervalo Flecuencia Intervalo Frecrrencia
qA
4-- b
6-B
8-10
l0 12
21
16
15
26
ODL¿
12-14
74 16
16 18
18 20
20 22
I4
20
22
1E
:,-)
Deterrrile: cl plomedio, Ia mecliana y los cuartiles inferior y superior;
Constmya el cliagrama de ca.ja de los datos.
Los siguientes datos se obtuvieron de una encuesta sobre las condiciones de vida, en el área nrral
dc los cantones dc Zapotillo y N{zrcará y corresponden al núrrnero de hornbres y de rnujeres que
Capítulo 7. AnáIisis Exploratorio de Datos
intcgran las f¿rmilias encuestadas.
a) Realice un diagrama de puntos de los datos, clasificados por sexo;
b) Realice la tabla de frecuencias y el histograma de los datos, según el sexo de los encuestados;
c) Construya el diagrama de caja de los datos;
d) Interprete y compare los resultados obtenidos en a), b) y c);
e) Determine el número total de miembros en cada familia. Con estos nuevos datos trace eI
diagrama de puntos, el diagrama de tallo y hojas, la tabla de frecuencias, el histograma y
el diagrama de caja. Interprete lo obtenido.
16. Las siguientes temperaturas fueron tomadas al medio día en Quito (en 'C) durante una semana:
22, 24, 2r, 24, 20, 22, 19.
a) Calcule el promedio y la desviación estándar de dichas temperaturas;
b) Para transformar los grados Celsius (c) en grados Fahrenheit (/) ." usa la ecuación / :
1.Bc * 32. Determine el promedio y Ia desviación estándar de las temperaturas en grados
Fahrenheit;
c) Encuentre alguna relación entre los promedios y las varianzas calculados en a) V b).
17. En una investigación sobre la razón por Ia que frecuentemente habÍan colas muy largas en las
cajas de un banco, se obtuvo información del tiempo (en minutos) requerido para atender a los
clientes. Se tomaron 50 mediciones en una caja, las cuales se dan a continuación:
6.0 5.9 4.0 3.1 1.9 5.3
4.8 4.8 5.1 6.0 4.2 4.4
5.2 2.8 4.7 1.8 5.1 5.8
3.6 4.4 2.0 2.8 4.8 3.1
3.7 4.5 3.9 2.3 5.5 5.3
2.7 5.2 2.9 5.2
5.3 7.4 4.4 4.1
2.9 5.7 3.8 5.8
1.5 5.9 3.6 4.6
5.8 2.4 5.5 3.7
a) Calcule la desviación estándar y su aproximación a partir del rango;
b) Determine (,' * s), (r I2s) y (e + 3s);
c) Determine el número de observaciones que se encuentran en cada uno de los intervalos;
d) Construya el diagrama de caja de los datos y compare con los resultados de la parte b).
¿Qué observa?
Hombres \4ujeres Hornbres X4ujercs Hombres X4ujercs Homblr:s \tlujercs
4
5
1
2
1
4
I
2
8
2
4
.)
,
4
4
7
.)
3
2
c
t)
2
4
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2
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6
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4
7
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2
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4
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4
2
J
1
ios;
:e el
ray
+-
J-
ados
r las
a los
6:
e b).
7.72. Ejercicios
18. La siguientc tabla muestra los tiempos de duración (en minutos) de las versiones en DVD de 22
películas dirigidas por Alfred Hitchcock:
Película Tiempo Película Tiempo
The Birds 119
Family Plot 120
Frenzy 116
The Man Who Knew Too Much 120
North by Northwest 136
The Paradise Cane 116
Rear Window 113
Rope 81
Spellbound 111
To Catch a Thief 103
Under Capricorn Il7
Dial M fbr Murder 105
Foreign Correspondent 120
I Confess f08
X4arnie 130
Notorious 103
Psycho 108
Rebecca 132
Shadow of a Doubt 108
Strangers on a Train 101
Topaz 126
Vertiso 128
Construya un diagrama de tallo y hojas de los datos;
Calcule la mediana de los tiempos;
Calcule los cuartiles inferior y superior. Use esta información para detectar algún valor
atípico y para trazar el diagrama de caja;
Determine el promedio y la desviación estándar;
Represente los datos mediante un diagrama de balanza. ¿Cuáles datos influyen más en los
valores calculados?
f) Calcule los coeficientes de asimetría y de apuntamiento.
19. Las notas de un examen de 6 alumnos son: 6, 5, 9, 19, 3 y 18. Un alumno aprueba si su nota es
mayor o igual que el promedio y que Ia mediana de las notas. ¿Qué porcentaje de los alumnos
aprobaron el examen?
10. Un automóvil ha recorrido los 832 km que separan Loja de Esmeraldas, permutando regularmente
las 5 llantas (incluida la de emergencia) para que todas tengan igual desgaste. ¿Cuál es el
recorrido promedio de cada llanta?
11. El kilometraje que marca un auto, luego de 4 años de uso, es 100 mil kilómetros. Si el dueño
lo compró nuevo y lo hace descansar 1 dÍa, luego de usarlo 4 días seguidos, ¿cuál es el recorrido
promedio diario de los días manejados, considerando años de 365 días?
')2. De 400 alumnos de un colegio, cuya estatura promedio es 165 cm, 150 son mujeres y su estatura
promedio es 160 cm. ¿Cuál es la estatura promedio de los varones?
47
a)
b)
c)
d)
e)
AI
29.
13 Se
los
los
tiene cuatro números.
números 17, 2I, 23 y
tres restantes?
añadir el promedio de tres de ellos al número restante, se obtienen
Si se excluye al mayor de estos números) ¿cuál es el promedio de
)/ El promedio de 53 números es 600. Si se eliminan 3 números consecutivos, se observa que el
nuevo promedio aumenta en 5To. ¿Cuál es el mayor de dichos números consecutivos?
Temp. ("C) 20.5 20.0 19.5 19.0 18.5 18.0 t7.5
No. días 2 4 3 13 3 4 2
25. Calcule la mediana de las siguientes temperaturas:
48
26
Capítulo 7. Ar¡álisis Exploratorio de Datos
Calculi: I¿r mecliatr¿r v I¿r urocla <lc krs sigrri<lrtcs clatcls
Iutclr¡¿rlo I'r'ccucucia
10 - 2i)
20 -30
30 - 4i)
40 50
50 60
3
.)
'J
12
B
5
27. Los sueldos en una emprcsa son las siguierrtes:
1 gelente: 10 000
1 secretaria: 650
3 empleados: 500 (cada uno)
2 ayudantes: 400 (cada uno)
1 conserjc: 300
¿Cuál es la medida de localización más representativa?
En una reunión hay 50 varones con una edad media de 20.5 años y 25 mu.jeres, las que en
promedio ,or, ] miís jóvenes qne los \¡arones. Halle el núrmero entero más próximo a la edacl'10
media de las personas de dicha leunión.
Un ftrmador dice que su vicio empezó con un cigarrillo en la primera sernana, 2 en la segunda,
4 en la tercera, 8 en la cuarta, y así sucesivamente; hasta fumar casi 2 ca.jetillas diarias de 20
cigarrillos cada una, en promedio.
a) ¿,A cuántas semanas de habcl empezado ocnrrió ésto?;
b) ¿Cuántos cigarr-illos diarios, cn prornedio, fumó hasta la primera ser)ana que llegó al nláximcr
de su consumo?
Si cada uno de los 28 millones de habitantes de cierto país come) el promedio, 12 kg de pescadcr
al año, entre conservas enlatadas y pescado fresco, siendo este rubro 4 veces el de conserva.
¿Cuántas toneladas de pescado fresco se consumen? en promedio, por año?
En una muestra de20 empresas florÍcolas se obtuvieron los siguientes datos sobre el núrnero de
empleados y sus ingresos anuales, en miles de dólares:
No. dc
empleaclos
Ingresos anlrales
50 - 100 100 - 250 250 - 1000
10 30
30 s0
50 - 100
6
i
0
2
1
0
0
0
10
Calcule:
a) el ingreso medio anual de las ernprcsrrs;
b) el número de empleados promedio.
32. De los datos de rrna tabla de distribución de frecuencias, con 5 intervalos de clase ;r ancho de
clase cornítn, se observó que: Qz:24, x:¡ : l$, 13 :24, nB : 2'n,r, n5 : )71r. ¿.Qué porcerrtaje
del total sor nrenores de 30?
28
29.
30.
31.
ue en
, edad
¡rnda,
de 20
irimo
scado
lser\¡4.
rero de
rcho de
centaje
7.72. Ejercicios 49
cuánto es igual la suma de cifras dc la media aritmética de la siguiente serie de números'/
r¿ cifr¿rs n cifr¿rs r¿ <rifi¿ls r¿ cifr¿rs
34. La siguiente tabla muestra la distribución de sueldos de 210 trabajadores de una empresa.
Sueldo Trabajadores
600 700 100
700 800 20
800 - 900 60
900 1000 20
1000 1100 10
a) Halle Ia moda de los sueldos;
b) Debido al aumento de Ia productividad, los sueldos sufrieron un incremento del 70%o y,
adicionalmente, un aumento de 50 dólares. Halle el nuevo sueldo promedio.
35. En una muestra de 1000 trabaiadores, se registró sus sueldos en una tabla de frecuencias:
Sueldo Trabajadores
0 400 150
400 - 800 300
800 - 1200 200
1200 - 1600 250
1600 2000 100
a) Calcule la moda de los datos;
b) ¿Qué porcentaje de los trabajadores tiene sueldos comprendidos entre el promedio y la
mediana?
En la siguiente ojiva se muestran los sueldos de Ios traba.jadores de un organismo estatal.
Figura 1.19:
Halle la diferencia entre el promedio y Ia mediana.
En Ia sección de pediatría de un hospital, Ios niños atendidos
obteniendo la siguiente tabla:
se clasifi.caron según su edad,
36
37
Edad Frec. absoluta
Frec. absoluta
acumulada
Frec. relativa
Frec. relativa
acumulada
03 0.2
3-6 20
6-9 0.85
9-12 80
50
lc¡s38
CapÍtulo 7. Análisis Exploratorio de Datos
Calcrrle el pronrr:clio, la rnecliarr¿r v la clesvi¿rciól estánclar cle la cclacl de los niuos ¿rtcndirlos.
Err la sigr.rierite tabla se rnuestr'¿r i¿r clistlilncióu ck: frecnencias clc l¿rs vcntas rc¿rlizad¿ls pol'
60 locales de uu ccntro comelcial popr-tlal de Ia ciudad cle Quitrt.
Ios intervalos tienen igual longitud, halle el promedio, la mediana y la desviación estándar de
ventas.
Ia siguiente tabla se muestra la distribución de frecuencias de los pesos de 100 personas:
Peso
(t e)
Frec. absoluta Frec. relativa
Frec. relativa
acumulada
0-24 0.18
24-48 26
48-72 0.78
72-96
Calcule la mediana del peso de estos individuos.
La siguiente tabla incompleta muestra Ia distribución de frecuencias de los dcpósitos bancarios
realizados por 50 clientes, siendo el ancho de clase es constante e igual a 200.
Intervalo
Punto
medio (r¿)
Frec. absoluta
("0)
Frec. absoluta
acumulada (l/r)
Frec. relativa
(f)
9
0.22
I 100 t2
7
0.06
Si
Ias
39 En
40
Luego de completar la tabla, calcule:
a) ¿cuántos clientes realizaron depósitos
b) ¿qué porcentaje de clientes realizaron
c) el promedio, la mediana y la moda de
dólares?;
1200 5' 1600 dólares?;
menores a 1000
depósitos entre
los depósitos.
Frec. absoluta
Frec. relativa
Punto
medio (r¿)
Capítulo 2
El Concepto de Probab¡l¡dad
Las preguntas más importantes de Ia uida son, para la
tnaAor parte, realmente solo problemas de probabili,dad
Pierre Simon Laplace
-r la naturalezay en la vida cotidiana se presentan fenómenos cuyo resultado se determina antici-
-.damente mediante la aplicación de ciertas leyes o fórmulas; por ejemplo, los resultados de mediciones
:-rmétricas, los cálculos financieros o ciertos procesos físicos.
-enrbién existen fenómenos cuyo resultado no puede ser anticipado con cetteza, sino que existe una
:tbabi,Iidad de que un cierto resultado se dé; por ejemplo, la ganancia que obtendrá un inversionista
-=-pués de dos años, el tiempo que sobrevivirá un cónyuge a la muerte de su pareja o el número de
;-ros eu€ pasan por una esquina durante una hora determinada. Es evidente que nadie puede dar
-, resultado certero con anticipación a los tres euentos considerados, entonces si se da una respuesta,
-:'iste una incertidumbre en el resultado.
?ara dar una explicación matemática a aquellos resultados que aparecen en experiencias en que está
-r'olucrado el azar, se desarrolló la teoría de probabilidades.
2.L. Reseña histórica
- a presencia del hueso de astrágalo de oveja, que constituye el antecedente inmediato del dado, en las
=-<cavaciones arqueológicas más antiguas, parece confirmar que los juegos de azar tienen una antigüedad
-: más de 40 mil años. En Ia India, en el Rig-Veda (aproximadamente 1000 años a.C.), se menciona un
;:ego de dados como un intento de medir la probabilidad. En Grecia, Sófocles atribuye a Palámedes
-= invención del juego de dados, durante el sitio de Tloya. Así, en casi todas las culturas antiguas
= posible encontrar referencias que nos indican que el estudio de los fenómenos aleatorios (dados,
-Jresencia de lluvia, el clima, etc.) fue muy importante.
=n el Renacimiento se produjo un abandono progresivo de explicaciones teológicas, lo que condujo a
';¡a reconsideración de los experimentos de resultado incierto, y los matemáticos italianos del siglo
\VI empezaron a interpretar los resultados de experimentos aleatorios simples. Por ejemplo, Cardano,
:n 1526, estableció, por condiciones de simetría, la equiprobabilidad de aparición de las caras de un
jado. Por su parte, Galileo (1564 - 7642), respondiendo a un jugador que le preguntó por qué es
n¿ís difícil obtener 9 tirando tres dados que obtener 10, razonó que de las 216 combinaciones posibles
51
52 Capítulo 2. El Concepto de Probabilidad
ccluiplobables, 25 coticltrcett a 9 y 27 a 10. Galileo publicó estos rcsult¿rcios en un tlat¿rclo liarnaclo
C o n,si, d, eraz'i, o ne. s o'p'ra,'il q i,r t, oco d,e,t, d,o,rli.
El desarrolio clel an¿ilisis rnatenrático c,le los juegos dc azal se produjo dur¿rnte los siglos XVI y XVII.
Algunos autores consideran como origen del cálculo de probabilidades la lesolución del prolrlema de los
puntos en la correspondencia entre Pascal y Fermat en 1654. El problema planteado a estos autores
por Chevalier de Meré, fue cónro debería repartirse el dinero cle las apuestas, depositado en la mesa,
si los jugadores se ven obligados a finalizar la partida sin que existiera un ganador. Aunque ningur<-r
de estos dos matemáticos publicó al respecto, sí lo hizo Huygens en su tratado Ratioci,n'iis 'in In,do alae
(Razonamientos relativos al juego de dados). Su escrito tiene Ia trascendencia de ser el primer liblo
de probabilidades de la historia.
Durante el siglo XVIII, el cálculo de probabilidades se extendió a problemas físicos y de seguros
marítimos. El factor principal de su desarrollo fue el conjunto de problemas de astronomía y de
física que surgieron ligados a la constatación empírica de la teoría de Newton. Un primer problerna
fue el tratamiento de los errores de medición: se disponía de varias medidas independientes de una
determinada magnitud física y se presentaba el interrogante de cómo combinarlas para obtener un
resultado más preciso. Daniel Bernoulli (1700 - 1782) proporcionó la primera solución al problema de
calcular una cantidad desconocida a partir de un conjunto de mediciones de su valor que) por el error
experimental, presentan variabilidad.
Pierre Simón Laplace (I749 - 7827), introdujo la primera definición explícita de probabilidad y desar-
rolló la ley normal como modelo para describir la variabilidad de los errores de medida. En esta época
también hubo importantes contribucfones de matemáticos como Legendre (1752 - 1833) y Gauss (1777
- 1855) para tratar de realizar predicciones del comportamiento de ciertos fenómenos.
Durante el siglo XIX, los matemáticos y astrónomos continuaron ampliando la teorÍa, de manera que
a mediados de este siglo ya existían Ias herramientas que permitieron su consolidación como una rama,
científica. A pesar de ello, laaplicación de estos principios se restringÍa a Ia Física y la Astronomía.
Una descripción axiomática de la idea de probabilidad fue dada en 1933, por A. N. Kolmogorov. Ello
constituyó la base de la moderna teoría, tal como hoy la conocemos. Con ésto, se consiguió elaborar
modelos complejos y aplicar las probabilidades a muchas ciencias y campos de Ia vida.
En las últimas décadas, el empleo de la teoría de probabilidades en las modernas ciencias naturales,
en las ciencias sociales y en ramas de aplicación, como la ingeniería, el cálculo actuarial o la economía
ha crecido enormemente y su conocimiento es una necesidad imprescindible.
Antes de iniciar el estudio de la probabilidad, revisemos los principales conceptos del análisis combi-
natorio.
2.2. Fundamentos de análisis combinatorio
Primero, definamos eI factori,al de un número entero positivo z¿ como el producto
n!:nx(n-1) x x2xl. con0!:1
Ahora, consideremos un conjunto finito compuesto por n elementos diferentes: {a1,a2,...,a,-}. Se
desea formar una colección constituida por k elementos (k I "). El número de estos subconjuntosdepende de si los conjuntos son ordenados o no. Las colecciones ordenadas se llaman uariaciones y
las no ordenadas combinaci,ones.
E
--_I
: .
2.2. Fundantentos de análisis contbinatorio
{o,b}, {o,"}, {b,r}.
53
Definición (de variación) Se clenornin¿r variaci(rrr a c¿r.cla nrro cle los irrrcgJ,os orclcrr¿rrlos clc /'
lenreutos, tornaclos cle otlo cle n r:lernentos (k ( n). cle rnanel'¿l cluc estos arrcrglos rlificrcrL cn algúur
.-enientr.i o en el orden de colocación.
r- rrúrrnero cle r'¿rri¿rciones de A; elementos qne pueden obtenelsc a partir: de rin coujlurto rl<r it, clcrrtcutos,
--.lotado por Vf,, es igual a
,nlWn:-'n (n-A:)!
a) Se pueden formar V! : 3! 6.-- : ; : 6 variaciones, qlle soII:(3-2)! 1
(a, b), (b, a), (a,r), (c,a), (b,c), (c,b).
'o) Se pueden formar ^2 
3! 
^-L 
: 3 combinaciones:"3 - 2(3 - 2)! 2.r
Definición (de combinación) Se denomina combinación a cada uno de los subcorr.juntos de k
.-ementos, tomados de otro de n elernentos (A: ( n), sin tener eu cttenta el ordcn de los rnismos, de
--.anera que no pueden haber dos combinaciones con los mismos elernentos.
:- número de combinaciones de k elementos que pueden obtenerse a partir de un conjunto de n
.-:mentos, denotado por Cf., es igual a
nl.
kt(n - k)t'
{ Cf se le denomin a coef.ciente bi,nomi,al.
E.jemplo. Encontrar el núrmero de variaciones y de combinaciones de dos elementos que se pueden
-.'tener a partir del conjunto {a,b,c}.
-:'lución: Se tiene n : 3 y lr : 2.
Definición (de permutación) Una permutación de n elementos es cada una de las variaciones
r: los n elementos distintos.
=- número de permutaciones de n elementos es igual a
Pn: n!'
Ejemplo. Encontrar Ias permutaciones que se pueden forurar a paltir del conjunto {a,b,c}.
I 'iuc'ión: Son P3 : 3! : 6 permutaciones; éstas son:
(a,b,c), (a,c,b), (r,o"b), (c,b,a), (b,c,a), (b,a,c).
-dirora, consideremos dos conjuntos de rn y n elementos, respectivamente:
A: {at,a2,.".,a,r} y B : {h,bz,...,brr}.
54 Capítulo 2. El Concepto de Probabilidad
Parejas. Con los n¿ elementos <.lc A y los tr elerucntos cle B cs posible forrn¿rl nt,xTt ptrlejirs (rt,¡,lt¡,)
<¡rr: contcngan lln cleniento rle c:¿rd¿r con.jrrnto.
Gencralicemos estc concepto a arreglos mírltiplcs.
Arreglos múltiples. Consideremos los conjuntos A: {at,a2,...,a,rr} de n¿ elementos, B :
{ú,b2,...,b,r}dcnelementos,yasísucesivamentehastaG:{g,g2,...,g"}deselementos. Con
ellos es posible formar rnxn x...x s arreglos (a¡,b¡,...,gr) que contienen un elemento dc cada
corr.lunto.
Otra forma de ver este concepto es considerar un procedimiento A que se puede realizar de m maneras;
un procedimiento B de n maneras; y así sucesivamente, hasta un procedimiento G de s rnaneras.
La acción consistente en realizar el procedimicnto A, seguido del procedimiento B, hasta llegar al
procedimiento G; se puede efectuar de m x n x - -' x s maneras diferentes.
Ejemplo. Suponga que se clasifica a un grupo de estudiantes universitarios según su sexo, estado
civil y la carrera que estudian. El sexo puede ser masculino o femenino; el estado civil puede ser
soltero, casado o divorciado; y, digamos que hay 7 carreras. Entonces, hay un total de 2 x3 x7 : 42
clasifi.caciones diferentes.
Anteriormente, se examinó las permutaciones de elementos de un conjunto, pero sin repetición; si ahora
queremos determinar las permutaciones con repetición, bastará considerar en los arreglos múltiples el
mismo conjunto.
Definición (de perrnutación con repetición)
obtenidos a paltir de un conjunto de n elementos,
los elementos pueden repetirse arbitrariamente.
con repetición, de k elementos
elementos ordenados en el que
llna permutación
es un arreglo de k
El número de permutaciones con repetición es igual a
P,\, : nk
Ejemplo. Con los elementos del conjunto A: {a,b,c}, ¿cuántas permutaciones con repetición, de
dos elementos, se pueden formar?
Ejemplo. En uu¿r f¿ibrica cle calz¿rc,lo se confcccir¡n¿rn 4
cliferentes. Por lo tanto, se pr-reden fabricar 4 x 6 : 24
Lnodcl<¡s de zapatos lttlla. clirmas, en 6 tztrrrarius
distintos tipos de zapatos.
considerando dos veces el conjunto A, por Io tanto se tiene n:
32 : 9 permutaciones con repetición; ellas son:
(a,c), (b,o), (b,b), (b, c), (c,a), (c,b), (c,c).
Soluc'ión: Se van a formar parejas
y k :2; entonces, hay un total de
(a, a), (a,b),
2.3. Eventos y espacios muestrales
Examinemos un ejemplo: el lanzamiento de un dado una sola vez. Como resultado de la prueba se
pueden producir diferentes resultados: <<sale dos>>, <<sale cinco)>, <<€l número que aparece es par>>, etc.
Esto nos conduce a definir \os euentos.
Definición (de evento) Se llama evento, notado como (r, a cualquiera de los resultados posibles
de un experimento u otra situación que involucre incertidumbre.
Los eventos se clasifican en:
que consisten de más de un
aquellos que constan de
Por ejemplo, <<sale dos>>
un solo resultado: r compuestos,
es un evento elemental: mientras
elementales,
resultado.
2.4. Defrnición axiotnática de la probabilidad
llre <<cl nrimcro qrre aparece es pal>> es un evento conpuesto,
-lementales <(sale dos>>, <s¿rle c;uatro>> y <<sale seis>.
,Jbselvernos que todo cvento relacionado con una pn,reba se
.lenrenta,les.
l)orque cstá conformado de Los cventos
pr"rede desclibir en términos de evertos
bl)
Definición (de espacio muestral) La colección de todos los eventos elementales, notirdo por Q,
-e denomina espacio muestral:
A: {rl o es evento elemental}.
lntonces, un evento no es más que un subconjunto del espacio muestral O.
Señalemos que el concepto de espacio muestral fue introducido por Gaiileo para resolver el problema
-e por qué en el lanzamiento de tres dados "10" y "11" aparecen más frecuentemente qr-re "9" y "72" .
?ara resolverlo listó todos los casos posibles.
-, olviendo al ejemplo, si consideramos el número de puntos que aparecen al arrojar un dado, tenemos:
Espacio muestral: Q : {1, 2,3,4,5,6}.
A-- { el número que sale es par }: {2,4,6}.
-''rmo los eventos se asocian a conjuntos, es natural pensar que sus operaciones tienen algún significado
rmo eventos.
::an A y B dos eventos de O, en el siguiente cuadro se presentan 1as equivalencias entre las proposi-
--rnes de las teorías de probabilidades y de conjuntos y en la Figura 2.1 se encuentran los diagramas
-r Venn correspondientes.
Notación lnterpretación en la teoríade conjuntos
Elemento o punto
Conjunto de puntos
Conjunto vacío
Unión de conjuntos
Intersección de conjuntos
Diferencia de conjuntos
Conjunto complementario
Conjuntos disjuntos
A es subconjunto de B
Interpretación en la teoría
de probabilidades
Evento o suceso
Espacio muestral (suceso seguro)
Evento imposible
Por lo menos uno de los eventos A o B ocurre
Ambos eventos A y B ocurren
A ocurre y B no ocurre
No ocurre A
A y B se excluyen mutuamente (incompatibles)
Si A ocurre, también B
0
0
.4r B
-4. B
.4\B
-4':CI\A
A)B:A
,4C B
:
s
IS
:s claro que estos conceptos se extiendena cualquier sucesión de eventos.
2.4. Definición axiomática de la probabilidad
Lna probabilidad provee una descripción cuantitativa de la posibilidad de ocurrencia de un evento
;,articular y se puede pensar que es su frecuencia relativa, en una serie larga de repeticiones de una
-rrueba, en la que uno de los resultados es el evento de interés.
Formalmente, la probabilidad de un evento ,4 se define como una función que cumple:
i
I
I
56 Capítulo 2. EI Concepto de Probabilidad
Figura 2.1: Interpretación de los conjuntos como eventos: a) Ocurre eI evento A. b) Ocurre A u ocurre
B (A U B). c) Ocurre A y ocurre B (An B). d) Si A ocurre, también B (A e B). e) Eventos
incompatibles (A ) B :0). f) No ocurre A (ocurre A").
. A1. Para todo evento A: 0 < Pr(A) S 1.
. A2. Pr(Q) : r.
. A3. Si A y B son incompatibles: Pr(A U B) : Pr(,a) + Pr(B).
De aquí, no es difÍcil demostrar que en general se cumple la relación:
Pr(A u B) : Pr(A) + erla¡ - Pr(Á. B)
conocida como fórmula de Ia probabilidad para Ia unión.
(2.1)
Ejemplos
1. Dados los eventos A, B y C del espacio muestral f). Expresar mediante las operaciones entre
conjuntos los eventos:
a) Tan solo ocurre A.
b) Si ocurre A, no ocurre B.
c) Por lo menos dos de los eventos ocurren.
Solución:
a) Puede ocurrir A, y simultáneamente no ocurre B y no ocurre C; es decir que el evento es
r E AA B" NC".
b) Si no ocurre B entonces ocurre B"; es decir que <<si ocurre A, también ocurre -8">>, el evento
esc€ AcB".
c) Ocurrirán (Ay B) o (Ay C) o @ V C) o (Ay B y C), pero el último evento está contenido
en los tres primeros. El resultado es: Í € (,4n B)U(AnC) U (BnC).
2. Demostrar que:
a) Pr(Á") - 1- Pr(A).
A
ii
2.5. Cálculo de probabilidades
b) Si A C B errtorices PL(A) < PL(ll).
Soht,ción,:
a) 0: A¿A' (conAyA"disjuntos), entoncesi)or A3.. PL(O) :Pl(A) +Pr(A") vpolA2.,
Pr(O) : 1; corr lo que se obtiene: 1 : Pr'(A) + Pr(Á") v el lesultaclo es inrnediato.
b) Si A C B entonces B: AO(A' tl.B) siendo Ay (A ttB) incompatibles; por lo tanto, por'
A3. Pr(B) : Pr(A) + Pr(4" n B).
Por ,A1., Pr(A n B) > 0, entonces Pr(B) > Pr(A).
.A. continuación damos varias definiciones de mucha utilidad:
1. Dos eventos son igualmente probables si Pr(,4) : Pr(B).
2. El evento A es mós probable que B si Pr(A) > Pr(B).
3. Euento c'ierto.- Es el que siempre aparece en la realización de un experimento, su probabilidad
es igual a 1.
4. Euento zmpos'ible.- Es aquel que jamás puede ocurrir, su probabilidad es igual a 0.
2.5. Cálculo de probabilidades
-\l realizar el cálculo de Ias probabilidades es necesario distinguir de qué tipo de espacio muestral
Cisponemos; ellos pueden ser: fi.nito, infinito numerable o continuo.
:)t
2.5.L. Espacios muestrales finitos
Si consideramos el evento A: {rtru)2¡...,o¿}, su
conocemos sus valores en cada elemento Pr({r,,,1}),
probabilidad está completamente determinada si
Pr({a.'2}), . . ., Pr({c,.'¡,}); entonces,
k
Pr(A) : DPr({a.'¿}).
i:t
(2.2)
Un caso particularmente importante se presenta cuando todas las probabilidades Pr(c.r) son iguales.
Si convenimos en designar Card(A) el número k de elementos del conjunto ,4 y Card(O) el número l/
de elementos del espacio muestral; entonces,
Casos favorables de APr(A) :
Casos posibles
Card(A) k
Carcl(A) ¡/
Es decir, la probabilidad de un evento aleatorio A es igual a Ia rel¿rción cntre el núrmero de everrtos
eiementales favorables (cuando A sucede) y el nirmero total de eventos elementales del espacio mues-
rral. Esta definición es satisfactoria en ploblemas referentes a jr,regos de azan',loterías o experimentos
sencillos.
58 Capítulo
En el ejemplo clel lanzamicrtto cle rrn
2. EI Concepto de Probabilidad
dado cortsicleremos el evcnto A <<salc rtn nrimero ¡rar>>:
O : {1, 2,3,4,5,6},
A : {2,4,6},
Card(A)
Pr(A) :ffi
Card(O) : 6,
Card(A) :3.
31:-:-62
En los siguientes ejemplos, consideraremos espacios mnestrales finitos y aplicaremos los conceptos de
análisis combinatorio al cálculo de probabilidades.
Ejemplos
1. En un estante hay 2 libros de historia y 3 de biología. ,Ll azar, se toma un libro y luego se toma
un segundo libro. Encontrar la probabilidad de que un libro de biología sea seleccionado: a) la
primera vez; b) ambas veces.
Soluci,ón:
a) Por defi.lición, O : {11r, Hz,Bt,Bz,Bs}.
Sea A el evento <<escoger un libro de biología>>; es decir, A: {Bt,Bz,Bs}. Por tanto,
Pr(A) :9'1!9 : I'-' Card(f^)) 5'
b) Que ambas veces se seleccione un libro de biología significa:
. que la primera elección es un libro de biologÍa, entonces se tiene 3 casos favorables; y
. que la segunda elección también sea un libro de biología, entonces hay 2 casos favorables.
Así, el número de casos favorables es igual a 3 x 2 : 6.
El número de casos posibles, de todas las parejas sin repetición, es 5 x 4 :20.
Entonces, la probabilidad buscada es
2. En la final de un concurso escolar de matemática participan 6 alumnos, de los cuales 3 pertenecen
al colegio A. Si se premia a los dos primeros con regalos diferentes, ¿cuál es la probabilidad de
que los alumnos del colegio A obtengan los 2 premios?
Soluciórt: El conjunto f) está constituido por las parejas que se pueden formar con los 6 parti-
cipantes. El número total de parejas es Vfr : fr : tO.
Sea el evento B: <<ganan los alumnos del colegio A>>.
El número de casos favorables en el cual 2 de los 3 alumnos del colegio A ganan los premios es:
V3 : o. Luego,
Pr(B) :*:0.,
3. Entre 100 fotografías de un sobre se encuentra la foto buscada. Del sobre se extraen aI azar 70
fotos. Hallar la probabilidad de que entre ellas resulte la foto necesaria.
Solución: Ei espacio muestral Q está formado por los conjuntos de 10 elementos que pueden
formarse a partir de 100: Card(A) : Cl8o.
63u- 20 10'
2.5. CáIculo de probabilidades
El núrmero de resultados favorables que nos interesa es igual al total de formas como pueden
escogerse 9 fotos de las 99 restantes; es d'ecir, Card(A) : CBg'
La probabilidad buscada es
CP^ 1
Pr(A) :eÉ';:10.
4, En el Consejo Universitario cada una de las 10 facultades está representada por el decano y
el subdecano. Se nombra una comisión de 10 miembros elegidos aI azar. Determinar Ia pro-
babilidad de que:
a) una determinada facultad esté representada;
b) todas Ias facultades estén representadas.
Solución:
a) Considerando el evento complementario A': <<una facultad dada no está representada>>, y
calculemos su probabilidad. Hay 20 representantes, 18 de ellos no son de la facultad en
cuestión, por Io tanto existe" C18 casos favorables'
EI número de comisiones diferentes de 10 miembros que se pueden formar con los 20 miem-
bros es C|$, entonces 
r_rlq g
Pr(a") :;ifr : s,
finalmente,
59
de
)ma
i) la
s'Y
bles.
reCen
rd de
rarti-
Pr(A) -1-*:# x0.7632.
b) EI número de maneras diferentes en que pueda estar un representante de cada facultad en la
comisión es 210. La probabilidad del evento B: <<todas las facultades están representadas>>
Pr(B) : #ry 0.00554.
u10
Leden
Se arrojan dos dados. Hallar la probabilidad del evento ¡: {al menos en uno de los dos dados
salen más de dos puntos).
Solución: EI espacio muestral puede describirse como
cl: {(i, j)li, j: L,2,...,6},
donde el evento elemental (i,j) corresponde a los ¿ puntos aparecidos en un dado y los j puntos
aparecidos en el otro. Consecuentemente, Card(Q) : 36.
Designemos como 81 el evento consistente en que en el primer dado salen más de dos puntos y
con B2 el evento análogo para el segundo dado:
Bt : {U,j)l i-_ 3,4,5,6; i :1,2,-..,6},
Bz : {(i, j)l i -- L2,. . . ,6; i :3,,4, 5,6}
por lo tanto, card(B1) : card(Bz) :21. Puesto qrue B1l\82: {(i, i)l i,i :3,4,5,6}, entonces
Card(B1 ¡ B) :42 :16. Ahora bien,
Pr(81) : Pr(Bz) :'! :
36 ?, y Pr(81 ¡Bz):#:Í
60 Capítulo 2. El Concepto de Probabilidad
Dc la fór'rnula dc probtrbilidacl para la nrriórr se obtiene:
Pr(A) : Pr(l]1 ¿ Bz): Pr(Br) + PL(82) - Pr(81 ¡ Bz)
2248: 5-5-9:b
Se recomienda que el lector resuelva este ejercicio rnediante el ernpleo del evento complernentario.
2.5.2. Espacios muestrales infinitosnumerables
Sea f) : {cur, u)2¡...run,...} un espacio muestral infinito numerable; entonces, resulta que
ie,1i,,,)) :1,
i:l
luego, si A es un evento de Q, su probabilidad se calcula por
Pr(A) : t Pr({a.'¿}).
u¡,€A
Para el cálculo de las probabilidades, generalmente, se utilizan series numéricas infinitas.
Ejemplo. Juan y Andrés juegan tenis con la misma habilidad. Deciden jugar una secuencia de sets
hasta que uno de ellos gane 2 sets seguidos. Halle la probabilidad de que se necesite jugar número
par de sets para terminar el juego.
Solución: Sean los eventos: J: <<gana el set Juan>> y A: <<gana el set Andrés>>.
Segúrn el enunciado, el espacio muestral está conformado por los siguientes eventos elementales:
rL Empieza Juan ganando
1. JJ
2. JAA
3. JAJJ
4. JAJAA
5. JAJAJJ
Empieza Andrés ganando
AA
AJJ
AJAA
AJAJJ
AJA.IAA
*
*
*
El evento B: <<se jugará hasta que uno de ellos gane 2 sets consecutivos>> es la unión de los eventos
que están señalados con una estrella (*) en el espacio muestral.
Se tiene que
Pr(JJ) + Pr(AA) :
Pr(JAJJ)+ Pr(AJAA) :
Las restantes probabilidades,on l, l32', 12g'etc'
Entonces, la probabilidad de B está dada por la suma
Pr(B) : [Pr(JJ) + Pr(AA)] + [Pr(JAJJ) + er(e;eA)] +...
1111 1
: _ _l_ _ _l_ _ -.t- 
- 
_-!- -. _.1_ 
- 
_l_
2'8'32'128 ')2tt-l
1
i'
1
=.8
2.5. Cálculo de probabilidades
La srrlrr¿ cle est¿ selie geornritrir;¿r es igual a ?, ,r,,r'Io clrrc Pr(B) : ?.33
2,5.3. Espacios rnuestrales continuos
Sttpongamos c¡te sc tienc rtna" figura ¡rltrna f) v <lcntro de ella sc encucrrtr'¿1 otr¿r figura A (Figura 2.2).
Sobre Ia figura Q se h¿r rrr¿rlC¿rdo uu pttnto al azar'. Suponiendo <1ue la prolrabilidtrcl clc que el punto
':aiga en A es ¡rropolcional al ¿ilea de Ia figula y no de su forrna o posicid-rn, la prolrabiliclad de quc el
'¿r-ttlto caiga en la figu'a A cs: 
Ár-ca de A
l'r'(-4) : 
-.
Area de f)
Figura 2.2: Interpretación geométrica de Ia probabilidad.
En general, si A es un evento cle un espacio mnestral continuo O, tal que su rnedicla (longitud, ',rotrr*"r.,
,iempo, etc.) existe; entonccs, su probabilidad cs
\{edida cle ,4Pr(A):
\tledida de O'
Ejemplos
1, Sobre un plano se trazaron circunferencias concéntricas de radios 5 cm y 10 cm, respectivamente.
Halle Ia probabilidad de que un punto marcado aI azar en ia circunferencia mayor caiga también
en el anillo forrnado por las dos circunferencias (Figura 2.3).
Figura 2.3:
Sol:uciór¿: El ár'ea del círculo lnayol es ,5: I02rcm2: 100ir<'rrr2.
El área del anillo comprendido entre las dos circunferencias es igual a la diferencia entre las dos
áreas: 7 : (702n - 52n) cm2 : 75tr cnt2; entonces,
61
ItS
)ro
T 75r cttt2
Pr(A) :s:loo;"-t:o'75'
O
4
O
,,4n8 E
62 Capítulo 2. El Concepto de Proba'bilidad
2. Sr:¡L l) : {(:r;. !l) I () <:t; I 1; il í :l I ii (i,';grui.2"4) ci i:sirir.<:io irirrstliil ,i,:r rrrr fcririrrrcro akrirtoli¡r
v sitP<ttticrttlo c.irrr: io<lrl prulto <l<r (l'¡itrrr,'l;r ¡risrir¿r ¡rlolrrrlrilirltlrl ilc sLl 1r".r¡LtLo clL r;rrerL1a.
117
Figura 2.4:
Jr
il x
Detclrninar' la probabilidacl de los evcntos:
.d) A: {(r,y)/0 I r < tl2; 0< y < t};
lr) B : {(",y)10 ( r { 1; 0 < y < lla);
c) An B;
d) A¿ B.
Solttctór¿:
a) Árca cle O: 1 x 1 : 1.
Áre.r cle A:! * t: 1. eutr¡nces pr(.,{) - !12 :!.22 1:
l,) Árcu de B - 
' 
* 1: j,,,,rto,,,", Pr(1J) :+ = i
.,) Ár'ea rt: A I B :; " I: j, "r,tou.", pr.(A n B) : *
cl) Por la fór'inula dc la uniórr,
Pr(A u a) - Fr(Á n IJ)
2.8" ;i!e::cir:ios
Análisis cornbinatorio
l" Culcuie lcis siguierri,cs (iocúcitintcs bilorrri¿lcs Cf,: n) Ci; b) C1]; r) Ci:
2. C.lc.le Vf eri l<,rs sigrricrrtcs c¿r:jos: ,r) Vl; lr) V!; ,r) V3; cl) \¡.].
3. Dctcrtrtirc r:1 tttirnclo tle lrr:ilruiar.:i'rn('s ( lr rilr,,,,l.iiurt' ¡lg 1¡ r)]r:rrrr:irr r
it) rt,:3 1r) n :4 c) rt:5: 'l)'t t :(t
: Fr(,a) + Pr(B)
111ir
2488
4. Dci,clttiilrt cL rrirrrcro <1r: ¡rarr:iils fllrtrarl,Ls i;r-,i los crlctrretrtos rlc los,
2.6. Ejercicios t-).)
a) Carrl(,'l)
b) CaLrt(A)
Clar <l(13)
Car rl(ll)
CaLcl(,'l) - 8, CaLri(lJ) : lj;
Card(.,1) : 1ij. Clald(t:¡ - 5.
Cr-rántcls alrcglos se prrerlcu forrn¿u corr los eleurcntos de los cou.lrurtos cuv¿r cardin¿rlicl¿rd sc in<lica:
a) Card(A) : 4; Card(13) : 2 Crrrd(C) - 5.
b) Card(A) :5; Ctrrcl(B) :7; Carcl(C) :4; Card(D) : 5.
Cnántas palejas con rclposicrón pueden formar-se con conjuntos crtya c¿rlclina.lidad es:
a) n:3; b) rz:5; c)rt:T; d) rr,:8.
Ftxure todas las combinaciones y valiacioncs qlre se pnerlen obtener a parl,ir de los cortjuntos:
a) A: {a,,e,'i,o,z} cn grLlpos de tres elementos;
b) B : {I,2,3,4, 5,6} en grupos de tres elementos.
Para los conjuntos indicaclos forme todas las pa,r'ejas sin reposición y parejas con reposición:
^) 
A: {a,e,i,o,u}; b) B: {I,2,3,4,5,6).
r;¡r cortrruc uv.r-iu!ar--- -, .--:. eiirr-'131. ql.- -.-:ii¡r::-,i', , $:rL)iici y [1 silllg:r'ente; debe elegi' un
presidente y r-rn vicepresiderr c. ¿De cuántas maneras se pueclerr elcgrr esr,e par dc fiutcrorr¡ilios
si el presidente debe ser nn ;:iente?
Ul hospital cuenta con 21 ci r.ijanos (ion ri)s, ,,'-¡.ies hay que folrnar ter-uas para re¿lizar guardias.
¿.Cuánttrs ternas sc pueclen f:rrnar?
Un amigo le quiere regalar a ¡tro 3 cliscos y los quiele clegir cntre los 10 que más Ie gustan. ¿.Dc
cuántas marreras pucde hace¡'lo?
Al marc:ar urr núrniero telcfónico lula persona olvidó las trcs írltimas c,iirs, r'ccolclando quc éstas
sorr difclentes, J.as malcó al azar-. Halle la probabilic.lad de que se haya marcado las cifras
correct¿ts.
De entre 9 empleados se deben selecciorrar a 3 para viajar a 3 Jrlar,'¿s A, B y C fuera dc la
ciuclad. Cacla empleado irá a una planta. ¿De cuántos modos se puede iracer la selección de los
ernpleaclos que via.jarán?
Eu cl ejcrcrcio ¿rntelior considéresc qrre los 3 enrpleirclos \¡an a ir ¿l l¿ misrna planta. ¿.D<: curintas
rnaneras se puede hacer la seleccicin?
Si cn el ejelcicio antcrior, cle los 9 ernplcaclos, 7 son homl>res. ¿Cuál es Ia probabilidacl de
scle¿cciorra: cx¿rcta,rnentc r.rrrtr nrr-¡er entrc los tr<ls cscr-lgiclos'/
¿.Cuárrtos nrirneros de 6 cifras pucderr haccrse con los dígitos {I,2,3.4, 5, 6}:
rr) sin rcstlicción algrrua'/; b) sin rcpctil ling;'.url cifra?; c) maStolcs c¡rc 500000?
Sicte pcrson¿rs h¿1n soiicitado empleo para lleuar dos r.acantcs. ¿De cuárrtos modos se puerclen
llcrrar l¿ts vat:¿rrrtcs si:
rr) la pr:irncr¿l i)crlsou¿l selcccionacl¿r tecibr,r nr¿:tyor salario que la s,)grul(ia?;
b) no hay clifer'<lrrci¿l cntre las r¡acan1 cs'/
C:)
,t)
-.)
I
I
f,
- ,).
6.
l.
8.
')
_)
64
20.
18.
19.
22.
23.
Capítulo 2. EI Concepto de Probabilidad
i',Cttárrtos partidos sc .jucgatt cII ull cirruptxrrrato. crrr cl qrre prrlticipan 20 cqrripos y en el quc
.iuegan toclos contla to<[os. rul{) crr c¿rsa V otlo <lc visil ¿rlrte?
Etr tttr lestattrarttr: cie cotnicla rtipicla se inclir:a al clicrrtc (lrrc sri harnbrrlgr-resa. a rnás del pan 1,
la catne, puede ir cou todo lo siguiente r¡ sin ello: sals¡r clc tornatc, nrostaza, rnayollesa) lechuga,
cebolla, tomate o queso. ¿.Crt:intos tipos difercnt<,rs <1r: hirrnburguesas son posibles?
La producción de una rnáqnina cronsta de 4 f¿rses. Ilirl' 6 líneas cle montajc pala la primera fase,
3 para la segunda, 5 para l:t telcrerir, y 5 para la irltirrr¿r. Detelmine de cnántas forrnas distintas
se puede montar Ia máquina en este proceso de producciórr.
21. Eu un plano hay 15 puntos de los cuales rro hay tles que sean colineales. ¿Cr-riintas rectas
determinan?
¿Cuántos triángulos determinan los vértices de un polígono regular de 9 lados?
Una heladería tiene 16 sabores disponibles. ¿De cuántas formas se pueden pedir 6 helados si:
a) no se elije el mismo sabor más de una vez?;
b) se puede pedir un mismo sabor hasta 6 veces?;
c) un sabor no se puede pedir más de 5 veces?;
d) la mitad debe ser de fresa?
Un entrenador de fúrtbol debe seleccionar a 11 jugadores de entre los que había conúocado
anteriormente para Ia concentración. Si puede hacer su selección de 72376 maneras, ¿.cuántos
jugadores estuvieron preserrtes en Iaconcentración? (Se supone que ningirn .jugador tiene un
puesto fijo de juego.)
En un Ienguaje de computación, un identificador consta de una Ietra o de una letra seguida de
hasta siete símbolos, qrte ptteden ser letras o dígitos. (En este lenguaje son indistinguibles las
letras mayúsculas y minúrscrrlas, hay 26 letras y 10 dígitos.) ¿',Cuántos identificadores diferentes
se pueden utilizar en el lenguaje de computación?
En cualquier set de un partido de tenis, el oponente X puede vencer al oponente Y de siete
maneras. (Con el marcador 6 - 6, se juega uu desernpate: tie breaker) El primer tenista que
gane tres sets obtiene la victoria. ¿De cuántas maneras se pueden registrar los resultados si:
a) X gana en cinco sets?;
b) para ganar el partido se necesita jugar como mínimo tr.es sets?
¿De cuántos modos se pucden poner 5 anillos diferentes en los dedos de una narlo. omitiendo el
pulgar?
Definición de probabilidad
Sean Q un espacio muestral y A, B y C eventos cualesquiela) exprese las siguientes afirmaciones
conro uniones e intersecciones de A, B y C y de sus conrplementos.
a) Ninguno de los eventos A, B, C ocurre; c) No ocurre más que un e\-ento:
b) Por Io menos uno de los eventos A, B, C d) Ocurlert exactanlellte cios eveutos;
ocnrre; e) Ocrrrren no más de dos e\-entos.
24.
25
26.
27.
28
29. Con el empleo de Ia definición de probabilidad, dernuestre:
aj
i€,
AS
2.6. Ejercicios
a) Pr(0) : o; c) Pr(A u B) < Pr(A) + Pr(B);
b) Pr(AuB) : Pr(A) +Pr(B) -Pr(Ana); cl) Pr(A) : Pr(-4nB) +Pr'(AnB').
30. Se arrojan dos dados, sean A el evento <<la suma de las caras es impar>>, y B el evento <<sale por
Io menos un tres>>. Describa los eventos A a B, Atl B, A l\ 8". Encuentre sus probabilidades
si se supone que los 36 eventos elementales tienel igual probabilidad.
31. Se consideran dos eventos A y B, tales que Pr(A)
Pr(A'O B) en los siguientes casos:
a) A y .B son incompatibles; b) A C B; c) Pr(A n B) :
:32. Se consideran dos eventos Ay B, con Pr(A) : 0.375, Pr(B) : 0.5 y er(AnB) :0.125. Calcule:
: 1 r PrlB) : 1. Determine el valor de3" 2
1:
8
a) Pr(Á") y Pr(B");
b) Pr(A u B);
a) Pr(A);
b) Pr(,A u B);
c) Pr(B");
c) Pr(Á" ) B");
d) Pr(Á" n B) y Pr(A. Bc).
'),).
34.
Sean A y B dos eventos tales que Pr(A) :0.9 y Pr(B) :0.8. Demuestre quePr(AnB) > 0.7.
Un experimento aleatorio consiste en arrojar una moneda y un dado a la vez y observar el
resultado. Escriba el espacio muestral del experimento.
Una empresa tiene dos tiendas distribuidoras, una en el norte y otra en el sur de la ciudad. De
Ios potenciales clientes, se sabe que el 30% solo compra en la tienda norte, el 50% solo compra
en la tienda sur, el 10 % compra indistintamente en las dos tiendas y el 10 % de los consumidores
no compra en ninguna de las dos. Sean los eventos A: <<el cliente compra en la tienda norte>> y
B: <<el cliente compra en la tienda sur>>. Calcule las probabilidades (e interprételas):
,JD
36.
rdo
tos
utl
de
las
tes
ete
lue
:
rel
d) Pr(A n B);
e) Pr(A \ B);
f) Pr(Á" ñ B");
g) Pr[(A n B)"];
h) Pr(A u B').
En la intersección de una autopista, los automóviles pueden girar a Ia derecha (D) o a la izquierda
(1) Desde un puesto de observación se registra el sentido de la maniobra de los tres primeros
vehículos.
a) ¿Cuál es el espacio muestral del experimento?;
b) Sea A el suceso <<a lo más uno de Ios coches gira a la derecha>>, B: <<todos los vehÍculos
giran en Ia misma dirección>> y C: <<exactamente uno de los coches gira a la derecha>>.
¿Qué relación existe entre Ios sucesos B y C?;
c) Enuncie y halle los elementos de los sucesos B', BUC, A)8, AcaB".
Cálculo de probabilidades
Un gerente de compras desea hacer pedidos a proveedores diferentes, a los que nombra corno A,
B y C. Todos los proveedores son iguales en lo que respecta a la calidad por lo que escribe cada
letra en un papel, rnezcla los papeles y selecciona a ciegas a uno de ellos. Se hará el pedido al
vendedor que salga seleccionado. Calcule las probabilidades de los eventos:
.)/.
66
38
39
46.
47.
Capítulo 2. El Concepto de Probabilidad
a)
l,)
SC
s(l
scloc:r:iorr<i itl plovrtr:clor' /l;
s<rlc<:r:ioLra ttl 1>r'ovccrlr.rt A c¡ ():
c) cl proverr:clor ,,1 rro sc sclc<:cion¿r
girnzrr cl
. ;.r:irlcrrlc
la probabilicl¿rcl clc garr¿rl solo rrrro dc los rlos plenrios'/
Sc enr'í¿rtt 3 oficios a 3 personas diferrentcs. Sin ernb¡rr'Élo, una secret¿ria distr'¿rícla levrir:lvc los
oficins v sc pttccle consitlelal clttc los lnalr(ló ¿rl ¿z¿1r. Si tur¿r coirrcidencria <rs el hcchri rle rlrrc rrna
persona recil-,a el oficio correcto. cak:ule la probabilidad de que haya:
a) ninguna coincidcricia;
b) exactarrrente rrna coincidencia.
La fábrica errsarnbladora ha dcterminado que Ia demanda clel arrto Honda Civic es igual para
cada uno de los colores azul, blanco, verde y rojo. Se haceu tres pedidos sucesivos de autos de
ese rnodelo. Deterrnine la probrrbilidad rle que:
a) se piclan uno azul, uno blanco y uno rojo;
b) se piclan dos azules;
c) se pida por lo menos rrno vcrde;
d) exactarnente cios rle los cluc se pidicron tengan el rnisnro color.
Lr-icgo dc las 1>ntel)¿ls tr)¿I a ocupar un puesto a los 6 aspir;r.rrtes se lcs clasifica de a<rrrerclo al 1>untaje
obtenido. Los rcsrtlt¿r<los uo le llegtrn al empleador pol lo quc él contlat¿r a clos aspirantes al
azar'. ¿,Cuál cs ia ltrobabili<lad tle quc haya contratado a los dos aspirantes me,jor c¿rlificados?
Un pacltrete cle 6 focos tienc 2 rrnidacles clefectuosas. Si se cscogen 3 focos para su uso, calcrrle
la probabilidad cle qr-re ninguno tenga clef'cctos.
En ttna caja hay 20 fotografías en la cual htry 6 mal tomadas. ¿,Cuál es la probabilid¿rd de
selecciorrar 2 fotografías clefectuosas'/
Entre 100 artículos de ttn lote hay 5 <iefectuosos. Halle Ia probabilidad de que entre 10 altículos
escogidos aI azar, no sc tenga más cle un artículo defectnoso.
Un distribuiclor de electrodomésticos recibe un euvío de 20 pianchas, cie las cu¿rles hay 3 defcc-
tuosas. Para conocer si el lote está buerro pmeba 6 aparatos. trl distribuidor aceptar¿i el lote
si cltcttetitra a lo rnás ltn aparato dcfec:tnoso cntrc los prolrados. ¿Cuál cs l¿t pl'ollabili<lad cle
rechazar el envío'/
De un áttft-rrir, quc contietre 100 boletos. se extr¿err tres bolctos ganadores. ;.Crrá1 cs la lrrob:r-
biliclad de que gane una persona que conrlrró:
a) 4 boletos?; lr) solo un bolcto?
Entt'e 1as 80 t:stacioncs de sen,ir:io qrrc hay ell nnA cindarl, 10 errtrcgan un¿r ca:i-i'la,l merrol clue
la que el cliente compr¿r. tlu inspect,or clc la Dirccción de Hiclrocarbrrros r-i..it:r aie¿rtori¿rmente
cinco de ellas para velificar si la cantidad'n'enrlid¿r cs correct¿t. ¿,CLrál es la p:'',rt,airrliclad rle que
descubra al nenos una fiaudulenta?
48. En el juego del <<cuarenta>> se reparten 5 cartas, al azar, a cada jugador. a palil' ,Le rrn mazo de
40 cartas. ¿,Cuál es la probabilidad de que un jugador tenga:
Sttpong:t quo cll ttn soLt(:o itr lrrolrirlrilicl¿tcl rlc galiar c1 prirner prcrrric-r.,, f v 1a,1"3^ 3
r.cgLttLc[,r ¡rt.'tnio,'s :. Si 1a irrolrabilirl¿rr1 r[c B¿ur¿:r1 ¿rl nretrros rrrro clc los rlr¡s ltlcrnios es ;¡i -l
40
4I
,1 r)
43
44.
45
2.7. Independencia y condicionalidad
urr as) rur dos, un trr:s, un cuatLo y un c:irrro, clel rnisnio pnlo'/;
4 c¿u'tas <lel rnismo pirlo'/;
rrua <<rorrcla>>; cs rlecir', 3 calt¿.rs rle ia rnisrna clelornil¿lci<in (as, clos, etc.)?
En nrr closet hay 6 pales cle z¿rpatos. Se escogcn 4 zapatos al azar. Encuentre la probabilidad
de qnc haya pol io rnenos lrn par de zapatos errtre los 4 zapatos escogidos.
Err los países europeos existe una forma muy popular de lotería, llamada Lotto, que consiste en
seleccionar'6 números de una cartilla que contiene 44 núrmeros (del I aI 44). El día del sorteo
se seleccionan 6 bolas al azar y sin reposición. Una persona gana el premio principal si los
6 números sorteados coinciden con los seleccionados; también se puede ganar prernios si 4 o 5
núrmeros sorteados coinciden. Determine la probabilidad de:
a) ganar el premio principal; b) ganaral menos un premio.
51. Una persona presiona, aI azar, 8 cifras en una calculadora. ¿Cuál es la probabilidad de los
eventos siguientes:
a) ,4.: <todas las cifras sean distintas>?;
b) B: <<el producto de las 8 cifras es un número par>>?;
c) C: <<las 8 cifras forman un conjunto creciente>?;
d) D: <<la suma de las cifras es igual a 3>>?
i2. En un círculo de 20 cm de radio se encuentra un círculo menor de radio 10 cm. Halle la
probabilidad de que un punto marcado aI azar en el círculo mayor caiga también en el círculo
menor.
Dentro de un cancha de baloncesto, cuyas dimensiones son 20 m por 12 m, se encuentran dos
charcos que tienen forma de círculos, de 8 y 5 m de diámetro respectivamente. ¿Cuál es la
probabilidad de que una pelota lanzada a la cancha caiga dentro de uno de los charcos?
Dentro de un rectángulo de base 10 cm y altura 6 cm se encuentra un círculo que es tangente
a 3 de los lados. Si se marca un punto al azar dentro del rectángulo, calcule la probabilidad de
que el punto no se encuentre dentro del cÍrculo.
Dentro del rectángulo limitado por las rectas , : -L,, :;, A : -7, A : l, se tiene el
gráfico de la función trigonométrica seno. Sobre el rectángulo cae una gota de tinta. ¿Cuál es
la probabilidad de que Ia gota de tinta haya caído dentro del área comprendida entre el eje r y
la curva A: sel:x? (Observación: Suponga que el área, de Ia mancha de tinta es despreciable.)
2.7. Independencia y condicionalidad
Fn la teoría de probabilidad un concepto muy útil es el de independencia de eventos, que significa que
-a ocurrencia de uno de los eventos no da información sobre si otro evento ocurrirá o no; es decir, Ios
-r-entos no influyen uno sobre otro.
67
¿r)
l,)
t:)
rle
OS
na
rra
de
i9
50
aje
,al
,
=.).1.J.
=1.J+
ule
de
Llos
bc-
ote
de
lue
nte
lue
,de
Definición (de independencia)
de que ambos ocurran es igual al
Es decir,
Dos eventos A y B se llaman independientes si la probabilidad
producto de las probabilidades de los dos eventos individuales.
Pr(A n B) :Pr(A) x Pr(B).
Capítulo 2. El Concepto de Prcbabilidad
Esta dcfinición se puede extender a cualquier núrmero de eventos.
Observación.- Si A y B son independientes, se puede dernostrar que sus respectivos complementos
son independientes; es decir, que se cumple:
Pr(An B'): Pr(A) x Pr(g").
Pr(A n B) : Pr(A') x Pr(B),
Pr(A" n B') : Pr(A') x Pr(g").
No se debe confundir los conceptos de eventos independientes y de mutuarnente incompatibles (dis-
juntos).
Ejemplos
1. Sea Q : [0,1]x [0,1] y dados los eventos: A: {(r,a)10 S r 5ll2; 0 < y < I}, B : {(",A)10 <
r 1I;0 <y <Il ). Probar si A y B son independientes.
Figura 2.5:
Soluc'ión: Según la Figura 2.5 se tiene que Pr(A) : 1PrlB) : l. entonces\/4
11
48'
1
i,
Pr(A) x Pr(B) :+"
Por otro lado, antes se calculó que Pr(A n B) I
Como se cumple que Pr(A n B) : Pr(A) x Pr(B), entonces los eventos A y B son independientes.
2. En una máquina, para la señalización de emergencia se han instalado dos indicadores que fun-
cionan independientemente. La probabilidad de que el indicador funcione durante una avería es
de 0.95 para el primero y 0.9 para el segundo. Hallar la probabilidad de que durante una avería
solo funcione un indicador.
Soluctón: Sean A: {funciona el primer indicador} y B: {funciona el segr,rndo indicador}.
El evento f, : {funciona solo un indicador} puede expresarse como C : (-{ i B')U (A l\ B).
Calculemos cada una de ellas:
Pr(AnB") : Pr(A) xPr(B') :(0.95)(1 -0.9) :0095.
Pr(A'n B) : Pr(A') x Pr(B) : (1 - 0.95)(0.9) : 0.045.
2.7. Independencia y condicionalidad
Pr(C) : Pr'(,4 a 13") * Pr(4" . 13) :0.095 + 0.045 : 0.14.
69
(dis-
/0<
entes.
e fun-
lrÍa es
avería
r).
n B).
Tles bicllogos, irr<lepcnclierrtcrncutc uno clel otlo, nriclielon el c:<¡rrtcniclo <,1<'l suero c1t tlll¿l tttttestra.
La proba.bilidacl cle <¡-re cada uno comet¿r Lln el'ror eu I¿r lcctur:r dol apzrlato cs igutrl a 0.1, 0.15 y
0.2, r'r:s¡rectivarrrente. Hallal la probabilidad de que cll ttna s<,rla rnecliciótt pol lo meros ttno de:
Ios investig¿rclores coureta Lrrl erlor.
Soluc,ió,n,: Se¿r el evento ¿: {por lo menos uno de los investigaclolcs coniete urr crror}, el
complerrento es A" : {ninguno de los investigadores comete un error}.
Caicul¿rrernos Pr(4"), considerando que las medicioltcs son evctttos inclcpendientcs.
Sean p¿ la probabilidad de que el i-ésimo investigador cometa un error (i: I,2,3), entonces
Pr(A') : (1 -pr)(t-pz)(I-pz)
: (1 - 0.1)(1 - 0.15)(1 - 0.2) :0.612.
Resulta que Pr(A) - 1 - 0.612 : 0.388.
r- n concepto estrechamente relacionado con la independencia es el de condicionalidad de eventos, que
.e lo puede enunciar de la siguiente manera: <<se tiene fijo un cierto evento B, se desea conocer cuál
- la probabilidad de que ocltrra un evento A, sabiendo que ocurrió B>>.
?or ejemplo, suponga que usted va a almorzar al mismo Iugar todos los viernes y que su almuerzo
- sirve en 15 rninutos (evento A) con probabilidad 0.9. Sin embargo, daclo que usted nota que e1
_rstaurante está excepcionalmente lleno (evento B, fijo), la probabiliciad de clue sirvan su almuerzo en
-5 minutos pnede reducirse a 0.7. Ésta es la probabilidad condicional de ser servído en 15 mirr.utos,
rado qne el restartrante está excepcionalmente lleno.
Definición (de probabilidad condicionada) Consicleremos un espacio tnttestral Q y un evento
3 e Q tal que Pr(B) 10. La probabilidad condicional de que un evento A octtrra, en el supuesto
:,-re B ha ocurlido) se representa por Pr(AlB) (que se lee <<probabilidad de A, dado B>>), se define
Pcu lo trutto.
Ejemplos
-. En nn estudio
probabilístico,
Pr(AlB):HF
sociológico sobre Ia fidelidad en
calificando al hombre y a Ia mujer
el matrimonio sc obtu'u,o el siguiente modelo
como fiel (,F) o iufiel (/).
a) ¿.Cuál es Ia probabilidad condicional de qtte ttrr
b) ¿'.Cuál es Ia probabilidad de ctrr-te ttl)a esposa sea
Sol'u,ción; Corrvengarnos en la siguiente not¿ciórr de
.f1F: Hornbre fi.el, 111: Hombre iuficl,
,41F: N{u.ler fiel, 11,/1: \4Lr.jer infiel.
esposo seir fiel, clirclo qr-re sll esposa es
fiel, claclo (luc srr csposo es infiel'/
los ercrrtos:
Hombre
Mu.jer
F I
F
I
0.22 0.24
0.31 0.23
fiel?
70 Capítulo 2. El Concepto de Probabilidad
a) Dcseamos calcular
PI(II I-IAI F) : f'r(II F. n{F)
De 1a tabla se obi:ierrcr cllle
trL(i1F . AI F)
Pr(n1F)
Con ésto,
b) Calculcmos
con
Entonces,
pr.(,41 FIHI\: g'31 :0.bT4.' 0.54
2. En un taller trabajan 7 hornl)res y 3 mujcles. Se escogen al azar 3 personas. Hallar la proba-
bilidad de que todas las pcrsonas selcccionadas sean hombres.
Solución: Designemos los siguienfes eventos:
A: el primcr selcccionado es hombre,
B: el scgundo seleccionado es hombr-e,
C: el tercer selecciorraclo es honiirre.
* La probabiliclad cle que el primelo s<-.¿r hombre es Pr(A) - :\/ 10
u La probabiliciad de <+re el seguriclo sea hombre a cc¡ndición de qrre el primelo f.,e hornbre
ES:
Pr(BlA\:9:?__\_r--l 
9 3
u La pI'r¡babilidad de que el tercero sea hombre sabir:rrdo que los dos primeros t¿rnrbién lo son,
es la probabiiidacl dc C dado A y B:
Pr(111¡lrt{F)
Pr(A,I FIH i) :
Pr(MFnf{f) :0.31 y
Pr(r1F)
¡),
0.22 + 0.31 :0.53.
0.22: : 0.415.
0.53
Pr(MF n HI)
Pr(H/) )
PI(III): 0.31 + 0.23 : 0"54.
:'r(C An ll) : !.,E
tr-ir pr"obabiiid¿rci buscacla tlc clrrc las i,lcs i)crson¿rs escc.rgiclirs sean holrlrres es
?, (,{ I B. C): PL(,,t) x P: (13lri) x Pr(Cl4 i', B) :: : I :'1(l,i:
2.8. Frob¡abilidad coxmpleta y fénrutula de Bayes
Lttt cvonto A, que puccic ocrrriir sclo ¿rl ¿lll¿rlecel uno rl,:.'. . .1 ,,< r-trLrtuarnerLtr:
.. , 8,, (Figura 2.6), talcs (llre sli uniórr es el espacio rri,r.:j r.- j ,'1 (lada por
: I'r(131)Pr(,,t1-ts1) * Iri(82)Fr(Al1l2) + .."+ I'r,!,, i - : (2 3)
lt
\- n,.r /? ' nr / 1'|¡r \
1r'.\L.tt_
La probabilid¿rd clc:
f:xclltt¡'g¡¡iss B t, 82,
Pr (A)
2.8. Probabilidad cornpleta y fórtnula de Eayes
donde Pr(81) + Pr(82) + .. . + Pr(B,,) : 1.
La igualdad (2.3) se clenornirra la fór'rnttl,a dc la prolttt,bi,lidad com,pleta.
Figura 2.6: Partición del espacio muestralfl.
Supongamos que el evento A puede ocurrir a condición de que aparezca uno de los eventos Bt, Bz,
..., Bn. Si A ya ocurrió, la probabiiidad (condicional) del evento B¿ es igual a
Pr(AnB¡) Pr(B¡)Pr(AlB¡)
Pr(B6lA) :ffi:g;ffi
i:I
Fsta ieualdad se denomina fórmtil,a de Bayes.
?ara e1 cálculo mediante la fórmula de Bayes puede resultar conveniente disponer las probabilidades
:t rn diaqrama de ó"'rbol como el siguiente'. 
A
Pr(81)Pr(Al81)
Pr(81)Pr(A'lB1)
Pr(82)Pr(AlB2)
Pr(82)Pr(A'lB2)
Pr(8,)Pr(AlB")
Pr(8")Pr(A'lB")
rsta dispctsiciórr de los datos facilita la rcaiización de los cálculos ya que únicamente se debe realizar
-na slrma de los resultados en las ramas de interés
Ejer.:rIos
l. En una oficina hay 6 computador¿rs de marca y 4 ciones. La probabiliclad de que al utilizar una
mác1lrina, ósta encienda correctameirte es 0.95 para las de marca y 0"8 para las clones. Un em-
pleado utiliza aI azar una computadora, hallar la probabilidad dc que se encienda correctamente.
.4oluci,ón: Definamos los eventos:
A: el empleado ul,iliza una máquina de marca,
B: el crnpleado utiliza una máquina ción,
C: la máquina enciende correctarnente.
77
A'
A
Ac
A
.3)
72 Capítulo 2. EI Concepto de Probabilidad
Sc ticrrc,
PL(A) :*:,,0,
Pr(ClA): 0.95,
4
Pr(ll) :r0:,,.n.
Pr(ClB): 0 8.
Si reprcsent¿rmos las probabilicladcs crr un ditrglama cle árbol se tiene:
C
PL(A) Pr(ClA) : (0 6)(0.e5)
Pr(B) Pr(ClB) : (0.4)(0.80)
Por la fórmula de la probabilidad completa,
Pr(C) : Pr(A)Pr(ClA) + Pr(B) Pr(ClB)
: 0.6 x 0.95 * 0.4 x 0.8 : 0.89.
2. Dos máquinas envasan gaseosa de manera automática, resultando que la primera envasa el doble
qrre la segunda. La primera máquina envasa el 60% de las botellas con Ia cantidad exacta y
la segunda el84%. Una botella tomada del transportador resultó llena con Ia cantidad exacta.
Hallar la probabilidad de que haya sido envasada por:
a) la primera máquina; b) Ia segunda máquina.
Sohtción: Designenos por eventos:
A: la botella está llena con la canticlad exacta;
81: Ia botella ha sido envasacla por Ia primera rnáqr-rina;
82: la botella ha sido envasada por la segunda rnáquina.
a) Se tiene
2I
Pr(81) : j, Pr(82) : :.
La probabilidad condicional de que la botella contenga la cantidad exacta, si ha sido en-
vasada por Ia primera máquina es
Pr(AlB1) :0.6.
La probabilidad de clue la botella contenga la cantidad exacta, si ha sido envasada por la
segunda máquina, es
Pr(AlB2): 0.84.
Por tanto, la probabilidad de que la botell¿r tomada aI azar contenga la cantid¿d exacta es
PL(A) : Pr(81)PL(Al81) +Pr(82)Pt(AlBz)
21: 
5x0.6+j"0.84:0.68.
La probabilidad del evento <<se escogió nna botella con Ia canticlad e\acta llcna<ta por la
plimera máquina>> es igr-ral tr
Pr (81) Pr(Al81)
2
= X 0.6 ri-,_ 3 _ rLl
0.68 i;Pr(.ts114): Pr(A)
oble
tay
cta.
¡r Ia
ta es
2.8. Probabilidad cornpleta y fórmula de Bayes 73
1-,) Ltr prcibttbilidtrd del cr¡cnto <se escogió un¿r botcll¿r r:on la cantidad exacta llcuada poi' Iir
segurrcla má<¡rirrir>> es
Pr'(82) Pr(AlI]2)- i " o'84 - 
TPr(BzlA): É 
'l '' - " o.o, 17.
Este resultado tarnbién se puede calcular eurpleando cl concepto dc evento cornl lerlentario.
Err trna ciudad, el 25% de los habitantes son ancianos, el 35 % adultos y ei 40 % sorr liños. Se
sabe que la glipe afecta al5% cle Ios ancianos, al4To de los adultos y al2% de los rriños.
a) Calcular la probabilidad de que un habitante, seleccionado aleatoriamente, tenga gripe.
b) Si un habitante tiene gripe, ¿cuál es Ia probabilidad de que éste sea anciano o niño?
Solución: Designemos los eventos:
A: el habitante es anciano. D: el habitante es adulto.
l/: el habitante es niño. G: la persona tiene gripe.
a) Si utilizamos el diagrama de árbol tenemos:
G
Pr(.4) Pr(GlA) : (0.25)(0.05)
Pr(D) Pr(clD) : (0.35)(0.04)
Pr(N) Pr(GlN) : (0.40)(0.02)
Ahora, basta sumar los resultados parciales en las ramas para obtener el resultado deseado:
Pr(G) : Pr(A)Pr(GlA) +Pr(D)Pr(clD) +Pr(r/)Pr(clr/)
: 0.25 x 0.05 + 0.35 x 0.04 + 0.4 x 0.02: 0.0345.
La probabilidad de que un habitante de la ciudad tenga gripe es del3.45r/o.
b) Por la fórmula de Bayes:
Pr(,alc) :
Pr(r/lc) :
Consecuentemente,
Pr(A)Pr(GlA) _ 0.25 x 0.05 t25
Pr(G) 0.0345 345'
Pr(.nü)Pr(Gl.nr) _ 0.40 x 0.02 80
Pr(G) 0.0345 345
Pr(,4u¡/lG) : Pr(AlG) +Pr(.n/lc)
r25 80
345+3*:0'594'
La lrlobabilidad de que si urt habitante tiene gripe, éste sea anciano o rriiro, es clel 59.4%.
or l¿r
74
4
Capítulo 2. EI Concepto de Probabilidad
EI 35'/r, clc los ct'óclitos clttrt rtt<-ltger rtrr banc<l es par¿r vivicncla, eI 50%, ltara pr.ochrc:cióu y el r'esto
l)¿r1 ¿i (r()llsittlllo. R,cstrlt¿rrr lltot()sos r:l 20(X, tk: krs cl'írtlit,cts ltrua vivic¡r,la, el l5%, rlc los clérlitgs
lrillrr ¡>r'orlrrcrción y t>l 70c,4, r[c Ios cr'éditos I)¿i,t'a c:orrsurr]o.
a) Dr:tcrrnine la probabilidad de quc uu crédito elegido al azar', sc pague a tieurpo.
1;) La plobabilidad de que urr crédito c¡-re ha resnlt¿rdo en rnora) haya siclo otorgaclo para Ia
ploducción.
Solución: Designemos los eventos:
1/: el crédito es para vivienda. P: cl crédito es para producción.
C: el crédito es para consumo. A,[: e] crédito está en mora.
a) Tengamos presente que el evento <<el crédito se paga a tiempo> es el complemento del
evento <el crédito está en mora>; entonces, buscamos Pr(M.).
Por la fórmula de la probabilidad total,
Pr(M) : Pr(MlV) Pr(y) +Pr(MlP)Pr(P) +Pr(MlC)Pr(C)
: 0.2 x 0.35 + 0.15 x 0.5 * 0.7 x 0.15 :0.25.
De manera que Pr(M") : t - Pr(M) - 1 - 0.25 : 0.75.
b) Por la fórmula de Bayes,
Pr(PlM)
Pr(P)Pr(MlP)
2.9.
1.
Ejercicios
Sean A y B dos eventos con Pr(A) # 0 V Pr(B) 10. Demuestre que
Pr(A n B) : Pr(B)Pr(,alr) : Pr(/) Pr(BlA).
DemuestrequesiAyBsoneventosindependientesysiAeBentonces,pr(B) :lopr(A) :0.
Se consideran los eventos Ay B tales que Pr(,4) : ]; 
pr(a) : 
]; 
p.(A aB):i.catcule:
2.
,.).
a) Pr(AlB);
b) Pr(BlA);
c) Pr(A"lB);
d) Pr(B"lA);
e) Pr(,4'lB"):
f) Pr(8" --l').
4. Srrponga que un punto es elegido aleatoriamente en el cuadrado unitario. Si se conoce que el
pttntoestáenelrectángulolimitado porgl - 0,A:I,tr:0y r:]. 
" 
autteslaprobabilidad
cle que el punto esté en el triángulo limitaclo por y:i,,*:IU,*.: l,
5. Sea Q: {(r,a)/0 <r 1I;0<g < 1} el espacio rnuestral de un fenónrerro aleatorio. Calcule
Ia probabilidad de los eventos:
a) A:{(",ü101r <t; 0<a<Ll2};
b) B: El triángulo limitado por las rectas r:0;A:0; g:I - t:
2.9. Ejercicios
c) ¿.Son indepcndicntes los cvenlos A v B?
En el crrach¿rdo uniclacl ser cr¡rrsi<leran los siguientcs cventos:
A: El triángulo lirnitado por z:0, A: L, A: x: +713.
B: E1 triángulo limitado por r :0, a :0, !,/ : 7 - r.
a) Halle PL(B \ A), Pr(BlA) y Pr(A I B'');
b) Pruebe si A y B son independientes
Un inspector debe seleccionar a un trabajadol cle entre 4 aspirantes numerados del 1 al 4. La
selección Ia lleva a cabo mezclando los números y tomando uno aI azar. Sean: A el evento <<se
seleciona al trabajador 1o al 2>>; B, el evento <(se selecciona al trabajador 1o al 3>>; y C, el
evento <<se selecciona el trabajador 1>. ¿Son independientes: ") Ay B?;b) Ay C?
Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que en los dos dados salga el 3, si se sabe que
la suma es 6?
En una biblioteca hay B libros de literatura de ciencia fi.cción, 3 de los cuales son de Isaac Asimov.
La bibliotecaria toma al azar 2 libros. Determine la probabilidad de que ambos libros resulten
ser de Isaac Asimov.
La Empresa de Correos ha determinado que el 70% de los paquetes enviados al exterior no llegan
a su destino. Dos libros se pueden enviar separadamente o en un solo paquete. Para cada una
de las dos formas de envío postal, encuentre:
a) la probabilidad de que ambos libros lleguen a su destino;
b) la probabilidad de que al menos un libro llegue a su destino.
Suponga que el 5% de todos los hombres y el 0.25 % de todas las rnnjeres sufren daltonismo.
Una persona escogida al azar resulta ser daltónica. ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona
sea un hombre? (se considera que la cantidad de hombres ymujeres es igual).
El 35% de los créditos de un banco es para vivienda, el 50%o para industrias y el 15 % para
consumo. Resultan morosos eI 20To de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para
industrias y el 70 % de los créditos para consumo. Calcule Ia probabilidad de que se pague un
crédito elegido al azar.
En una exhibición de arte hay 12 pinturas de las cuales 10 son originales. Un visitante selecciona
una pintura al azar y decide comprarla después de escuchar la opinión de un experto sobre la
autenticidad de la pintura. El experto está en lo correcto en 9 de cada 10 casos, en promedio.
a) Dado que el experto decide que la pintura es auténtica, icuál es la probabilidad de que él
no se equivoque?;
b) Si el experto decide que Ia pintura es una copia, entonces el visitante la devuelve y escoge
otra, ¿cuál es Ia probabilidad de que Ia segunda pintura escogida sea original?
Hay una epidernia de cólera (C). Consideramos como uno de los sÍntomas la diarrea (D), pero
este síntoma se presenta también en personas con intoxicación (1) , e incluso en algunas que no
tengan nada serio (N). Las probabilidades son:
Pr(DlC): 0.99; Pr(Dl1) : 0.5; Pr(Dl,n/) : 0.004
Se dan los siguientes porcentajes: el 27o dela población tiene cólera y el 0.5% intoxicación. Si
una persona tiene diarrea calcule la probabilidad de que tenga cólera.
75
.StO
tOS
del
rla
Le el
dad
10
11.
t2.
1t1J
14.
cule
76
15.
Capítulo 2. EI Concepto de Probabilidad
Urta pru<tlril l)¿tl¿r rlctct:t¿rt cl vitrts del SIDA eu la sangle cl¿ el cliagnóstico correcto coll urra pro-
babilicl¿rcl rlcl 9ll %. Sogrin clatos módicos) lrrio clc carla 2 000 habitantes cl<ll país. en prornr:clio, es
poltaclol rlrtl virtts. Da<lo qrte la pnrebzr fire positivtr I)ar¿r una persorl¿1) 1',clr¿il es la proira.lriliclacl
cle que cll¿r, r'e¿lnrcrrte tcnga Ia enfermed¿rd?
Utra emplesa financiera opera en las tles regiones del país: Costa, Sierra y Arnazonía. El 50 %
de las opeLaciones se realizan en la Costa, el 40 To er Ia Sierra y el resto en la Amazonía. Se
ha estimaclo, derlrido a la larga experiencia, el porcentaje de clientes qne no pagan sus deudas en
cada una cle las regioues. Para Ia Costa es del I%o, para la Sierra deI 2To y para la Amazonía
del 8 %. Si la empresa tiene 1000 clientes, determine cuántos pagan sus deudas puntualmente.
Una encuesta revela que el 70% de la población tiene estudios secundarios, de los cuales eI 72%c
no tiene trabajo. Del 30 '70 q:ue no tiene estudios secundarios , eI 25 % no tiene traba.jo. Calcule:
El tanto por ciento de la población que no tiene trabajo;
La probabilidad de que una persona elegida al azar tenga estudios secundarios entre las que
no tienen trabajo.
18. De 200 aspirantes a un cargo se conoce Ia siguiente tabla respecto a experiencia en funciones
similares y la formación académica necesaria
Con formación Sin formación
Con experienc
Sin experienc
a
a
16 32
24 128
Halle las probabilidades de encontrar una persona:
16.
17.
a)
b)
a)
b)
c)
con experiencia y con folmación;
con experrencra;
con experiencia dado que tiene formación;
d) sin formación dado que no tiene experien-
cia.
C''ralenta clc los
¡ ¡.lcanzaron rur¿l
19. En una investigación sobre el crédito bancario a trabajadores agrícolas se obtu\¡o el siguiente
modelo, en el que se califica al campesitto como propietario o no propietario del terreno que
cultiva y si mantiene o no mantiene deudas con los bancos.
Deudor
Propietario
SI NO
SI
NO
12 28
20 64
Calcule la probabilidad de quc:
a) un campesino mantenga deudas con Ia banca;
b) un campesino sea dueño dei terreno que cultiva;
c) un carnpesino sea propietario, dado que no es deudor;
d) un campesino sea deudor, dado que es propietario del terreno.
A 100 empleados se les hizo un examen para determinar su destreza mar,'.,:--
ernpleados er¿n hombles. Scsenta de los empleados pasaron el exameli 1., _: ..
20
2.9. Ejercicios
cicrto rrivcL Pledetr:r'ruil¿rdo cle a¡rr'<x,'eclrarnictrtci.
Ia sigrrielrte:
77
L¿r cl¿rsific¿-Lción entrero-
CS
[¿cl
)%
Se
ien
lnía
Lte.
2%
ule:
q.ue
ones
úente
) que
de los
lt Lul¿r
Honrlrr.cs (11) N{u,lcres (,4'1)
Pasaron (P)
No pasarou (.Ay')
'24
r6
36
24
Sr-rponga que se selecciona al azar un eurpleado dc los 100 que hicielon el examen.
calific¿rcióu rriayot que
hornll'ers y rnujer-cs fue
Si se elige un
a) ¿cuál es
b) ¿cuál es
c) ¿cuál es
d) ¿,cuál es
e) ¿Son los
a) Calcule la probabilidad de que el empleado
b) Calcule la probabilidad de que el emplead.,
c) ¿Son independientes P y H?;
d) ¿Son independientes P y M?
Laya ptrsado y sea hornbre;
sea hombre dado ctrtrc pasó el examen;
2I. Los empleados de la compañía Crrz del Sur se encuentran distribuidos en 3 divisiones: Admi-
nistración, Operación de Planta y Ventas. La siguiente tabla indica el núrmero de empleados en
cada división, clasificados por sexo.
Mujeres (M) Hombres (-F1)
Administración (A) 20 30
Operación (0) 60 r40
Ventas (V) 100 50
22. Dada la siguiente tabla que indica el comportamiento respecto del hábito de fumar en un grupo
de 100 estudiantes que fueron averiguados.
Hábito
Sexo No fuma Fuma Ex-fumador TOTA
Hombre 16 10 24 50
Mujer 30 16 4 50
TOTAL 46 26 28 100
a) Encuentre las distribuciones de las variables <<sexo>> y <hábito de fumar>>;
b) Encuentre las probabilidades de los eventos: <<la persona fuma>> y <<la persona fuma, dado
que es mujer>>;
c) ¿Son independientes los eventos <<ser rnujer>> y <<fumar>>? ¿Por qué?
empleado al azar,
la probabilidad de que sea mujer?, ¿y de que trabaje en ventas?;
la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de Administracíón?;
la probabilidad de que trabaje en la Operación de Planta si es mujer?;
la probabilidad de que sea mujer si trabaja en Ia división de Ventas?;
sucesos V y H independientes? ¿y los sucesos Ay M?
23. Del total de socios de un 
"lt 
b, I son hornbre, u ? .on profesionales. Además,
soll lro ¡rrofcsiorrtrlcs. S" "lig" a? azal' uu ,r'ri"rntrr'3 a"l .tut-,,
*0"
J
a)
b)
calcule la probabilidacl de que sea hornbre y profesional;
calcule la probabilidad de qne sea hombre, dado que es profesional;
las mu.jeres
78
24
26.
27.
'"' r ii-- -I. - -. ar ¡
Cipítuto 2. El Concepto de Probabilidad
c) Deterrline si sott irrdcpendierttes los evcntos <sel mujcr>> y <<no ser'profesional>>.
Ertttt¿tfábric;a. el 707o clcloscmpleadossonlojanos. Decntrcloslo.jtrnos, cl 50%sonhombrcs,
mientras qr.re de los no lojanos, sólo son hombres el 207o.
25. En
¿Qué porcentaje de empleados no lojanos son mujeres?;
Calcule la probabilidad de que un empleado de Ia oficina sea mujer;
Fernando trabaja en dicha oficina. ¿Cuál es la pfobabilidad de que sea lojano?
un paÍs hay 4 partidos políticos que se dividen la opinión pública. Se sabe que:
El 35% de la población adhiere al partido I.
EI SI% adhiere al partido II.
El28% adhiere al partido III.
El6% adhiere al partido IV.
Entre los adherentes al partido I, un 36 % corresponde a personas con ingresos inferiores a dos
salarios mínimos. Entre los adherentes al partido II, esa proporción es del 52'/o. Para el partido
III es un 42V0, y para el partido IV es 11%. Si se elige una persona al azar y resulta tener un
ingreso mayor a dos salarios mínimos, calcule la probabilidad que sea adherente al partido I.
La señora Sonia se fue de viaje y encargó a su hijo, Pablo, que riegue el rosal. La probabilidad
de que Pablo olvide regar el rosal durante su ausen"iu 
", ]. El rosal está en un estado inseguro:3
si se riega tiene igual probabilidad de secarse que de no secarse) pero solamente tiene un 0.25 de
probabilidad de no secarse si no se riega. Después del viaje Sonia encuentra el rosal seco, ¿cuál
es Ia probabilidad de que Pablo no lo haya regado?
Se estima que sólo un20To de los que compran acciones en Bolsa tienen conocimientos bursátiles.
De ellos el 80 % obtienen beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles.
sólo un 10% obtienen beneficios. Se desea saber:
El tanto por ciento de los que compran accionesen Bolsa que obtienen beneficios;
Si se elige al azar una persona que ha comprado acciones en Bolsa y resulta que ha obtenido
beneficios, ¿cuál es la probabilidad de que tenga conocimientos bursátiles?
28. En un supermercado el 70 % de las compras las realizan las mujeres; de las compras realizadas
por estas, el 80 % supera los 20 dólares, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo
el 30% supera esa cantidad.
a) Elegido un comprobante de compra al azar, ¿cuál es la probabilidad de que supere los 2C
dólares?;
b) Si se sabe que el comprobante de compra no supera las 20 dólares, ¿cuál es la probabilidac
de que Ia compra haya sido hecha por una mu.jer?
29. En una universidad existen tres facultades: A, B y C. En A hay matriculadas 150 chicas y 5[
chicos; en B, 300 chicas y 200 chicos; y en C, 150 chicas y 150 chicos.
Calcule la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, sea chico;
Si un estudiante elegido al azar resultara ser chico, ¿cuál es su facultad más probable?
a)
b)
c)
a)
b)
a)
b)
)r-i;!:..r-rnr.- -;t j\--ii-r5v:--r- -.' i_--: 
-:-=-rr-- l- 
-i-2.9. Ejercicíos
30. E¡tr.e los cinco rrs¡tirantes a un calgo cle geleute, a <los se ios considera excelentes y a los riernás
se les consicler'¿r bucnos. Para una entrevista se escoge al azal a dos de los cinco. Calcule l¿r,
probabiiidacl de que se esco.ia:
a los dos excelentes;
por lo menos a uno de los excelentes;
a los dos excelentes dado que se sabe que por lo menos uno de los seleccionados es excelente.
Se dispone de dos métodos A y B para enseñar una destreza manual. El índice de reprobados es
del 20 To para el método A y 10 To para el método B. Sin embargo, el método B es más caro por
Io que solo se le usa el 30 % del tiempo y el A el otro 70 %. A un trabajador se le adiestra con
uno de los d.os métodos, pero no puede aprender en forma correcta. ¿Cuál es Ia probabilidad de
que se le haya adiestrado con el método A?
En los exámenes de ingreso a una universidad cada candidato es admitido o rechazado de acuerdo
a si él ha aprobado o reprobado la prueba. De los candidatos que realmente son capaces' el 80 %
pasa la prueba; y de Ios que no son capaces, el 25To pasan Ia prueba. Dado que el40% de los
candidatos son realmente capaces, encuentre Ia proporción de estudiantes capaces que ingresan
a la universidad.
Según datos de investigaciones genéticas se ha establecido que: los padres de ojos claros y los
hijos de ojos claros constituyen el 5To de las personas estudiadas; los padres de ojos claros y loB
hijos de ojos oscuros el 7.9 %o; los padres de ojos oscuros y los hijos de ojos claros el 8.9 %; los
padres de ojos oscuros y los hijos de ojos oscuros eI78.2Vo. Halle la probabilidad de que:
el hijo sea de ojos oscuros, si el padre es de ojos oscuros;
el hijo sea de ojos claros, dado que el padre es de ojos claros.
Como un acto de buena vecindad Dios y Satanás acordaron un intercambio cultural entre el
Cielo y el Infierno. Demonios del Infierno van a vivir en el Cielo, mientras que ángeles del Cielo
van a vivir en el Infierno. Los demonios tienden a no decir la verdad más frecuentemente que los
ángeles. Los demonios mienten el 80 % de las veces y los ángeles mienten el20% de las veces (¡en
estos días es difícil encontrar ángeles buenos!). Después del intercambio, la proporción entre los
demonios y ángeles en el Cielo es 2:3. Mi amigo José murió y fue al Cielo. Él encuentra a una
persona en la calle y Ie pregunta donde encontrar un baño para hombres. Desafortunadamente,
Ios demonios y los ángeles no se pueden distinguir por su aspecto físico. Deseamos determinar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que Ia respuesta haya sido una verdad a la pregunta de José?
b) Dado que la respuesta fue una mentira, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido dada por
un demonio?
Una compañía de tarjetas de crédito encuentra que cada mes el 50% de quienes poseen la tarjeta
cubren totalmente sus deudas.
a) Si se seleccionan dos usuarios al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos paguen total-
mente su deuda ese mes?;
b) Si se selecciona un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que dicha persona pague
totalmente sus deudas en dos meses consecutivos?
c) ¿En qué hipótesis se apoyó para responder a los dos apartados anteriores? ¿Le parece que
alguna de ellas no es razonable?;
a)
b)
c)
31
32
JJ
dos
ido
un
dad
uro:
5de
cuál
,iles.
:iles,
rnido
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ilidad
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a)
b)
:l-1
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ef
80 Capítulo 2. El Concepto de ProbabíIidad
<1) Urr cxarrrerr rn¿is <1et¿rllaclo der los rcgistlos cle la conipañía rnuestr'¿r quc el 90 % cle los clicutcs
que l)agau t<it¿.rllneut,e un¿r cLr<lrrt¿l nrensual tarnbién lo hacen al mes siguiente v <1uc sólcr
eI 70%, clc los cluc l)o l)ag¿]lr tot¿r.lrnente en llrl rnes cttl-¡ren totalmente srr dcrrcl¿ al mes
siguierrte. Calculc, cn este c¿so. la probabilidad pedida en b).
e) Con las hipótesis de d), calcule la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar no
pague totalmente ningr-rna cle las dos cuentas rnensuales consecutivas;
f) Calcule Ia probabilidad de que sólo pague una de las dos cuentas.
Basándose en varios estlrdios, una compañía ha clasificado, de acuerdo con Ia posibilidad de
crrcorrtrar petróleo, las formaciones geológicas en 3 tipos. La compañía pletende perforar tr.n
pozo en un determinado lugar, al que le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para
los tres tipos de formaciones, respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el
petróleo se encuentra en Lrn 40% de las formaciones de tipo I, en un 20% de las de tipo II y en
un 30 % de las de tipo III. Si tras perforar el pozo, la compañía descubre a su pesar que allí no
había petróleo, determinar Ia probabilidad de que ese lugar se corresponda con una formación
del tipo II.
El cardinal de un espacio muestral finito es rn. Los eventos A y B son independientes y cumplen
que:
36
37.
Pr(A) +Pr(B):p y
Halle la cardinalidad de A.
38. Demuestre que si se tienen Bt, Bzr..., B, eventos mutuamente excluyentes, tales que su unión
es el espacio muestral, ertonces se tiene que
f e'1an¡a) : t.
i,:r
Pr(A n q :+
Capítulo 3
Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
(Jna uariable aleatoria es el alma de una obseruación
(Jna obseruación es el nacimiento de una uariable aleatoria
D. G. Watts, (1991)
:- este capítulo introduciremos el concepto de l'ariable aleatoria, que nos facilitará Ia realización del
.-álisis de las principales características de los experimentos aleatorios y permitirá definir las Ieyes de
::,,babilidad que ellos siguen, de manera muy general'
3.1. Variables aleatorias
- resultado de una prueba aleatoria no siempre es un número; por ejemplo, en el lanzamiento de una
-:,neda los resultados son <<cara>> y <<escudo>>. Sin embargo, a cada uno de los eventos Ie podemos
-.rciar un número y sobre ellos aplicar las leyes que rigen 
Ia probabilidad.
l.-,nsideremos la definición clásica de función real, donde la cantidad y se llama función del número
: si a tod.o valor z de la variable independiente, le corresponde un valor 3r de la variable dependiente'
j- esta idea la extendemos, se define una función donde la variable independiente no sea un número
:=¿l sino que, en nuestro caso, sea un espacio muestral'
Definición (de variable aleatoria)
':: espacio muestral f) con recorrido en
Se llama variable aleatoria a cualquier función definida en
un subconiunto finito o infinito de R.
- decir, Ia función
X:Q --) R
u F-f X(r)
--,nd,e a es un evettto) es Ltna variable aleatoria' Figura (3'1)'
81
82 Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Figrira 3.1:
a hemos estado trabajando con variables aleatolias sin leferirnos cxplícitarncnte a ellas; por ejernplo,
arrojar un dado son posibles seis casos. Designando por o¿ ei evento element¿l consistente en saiir
puntos, tenemos:
CI : {cuf ,u)2,u)Srw4rrr'5rw6}.
Lavariable aleatoria X(rn): i identifica al núrmero z de puntos obtenidos al lanzar cl dado, se define
así:
X(rt) : 1, correspondeal evento elemental {aparece un punto},
X(rz) : 2, corresponde al evento elemental {aparecen dos puntos},
X(rs) : 3, corresponde al eveuto elemental {aparecen tres puntos},
X(rs) : 4, corresponde al evento elemental {aparecen cuatro puutos},
X(rs) : 5, corresponde al evento elemental {aparecen cinco puutos},
X(ra) : 6, corresponde al evento elemental {aparecen seis puntos}.
Y
al
¿
Al arro,jar una rnoneda tenerlos dos eventos:
aleatoria X, que cuenta el número de caras
manera:
C: <<sale cara>> o -E: <<sale escudo>>; definimos la variable
aparecidas en una serie de lanzamientos, de la siguiente
x(r) :
x(r) :
si <<sale cara>>;
si <<sale escudo>>.
1,
0,
La definición de la variable aleatoria depende del fenómeno a investigar.
Notación. Para evitar una escritura engorrosa, a los cu tales que X(cr-,) : ú se los notará como X : t.
La probabilidad Pr({o I X(r) : ¿}) se pondrá como Pr(X : ú). De manera análoga se escribirá
la Pr({c..'/ X(u) e (o,b]}) como Pr(n < X < b). Y así para cualquier intervalo convenierrtemente
defiuido.
Las variables aleatorias se clasificanten d'isc'retas y co'nti,rtuas, de acuerclo a los v¿lores qne ellas tomen.
3.1.1. Variables aleatorias discretas
Definición (de variable aleatoria discreta) La
de los pr-rntos que tieuen probabilidad estrictarnente
valiable aleatoria discreta.
en cLr\ro recorrido el conjrlrrto
o infinito nunrerable se llarna
variable aleatoria
positiva es finito
Si el recorrido de la variable aleatoria X es el conjunto de números {rr,rr,....x,....}, ." tiene que
Pr{X:z¿}>0.
3.7. Variables aleatorias 83
\rkrtniis, ti p,, : Pr'(X : x:¿). cs lir ytt'tillzrlrilirl¿rrl <lc tlrtc X tonrc <rl vtlol ru¡, sc ctuttplc <¡ue
'PI +'P)+ "' -1- 1),, l "' - 1.
rn ottas palablas, X os disc:r'cta si rrna unirlarl rkr ur¿ls¿r clc plobabilicl¿rd cst¿i <listribrricla sobre el e.ie
-=al, cc'rrLcerrtránclose rrri¿l rn¡rs¿r I)ositi\'¿1 err cacla prrut,o <le c:ielto c:on.jrrnto finito o infinito nrrrnerable y
.:- los restaltes purrtos uo l)¿ry lnas¿r.
-,-¿r'iables aleatorias discretas sorr usualmente (pelo no rrecesariamente) conteos de ciertos elementos'
- -,r ejemplo, el nirmero de hi.jos de una familia, el rniulcro de ventas realizadas por Lrn almacén, etc.
- la vez qlre se ha determinado las probabilidades ¿isociadas a cada uno de los rralores de nna variable
-:atoria discreta, es ritil ponerlas en forma dc una distribu.ci,ón de probabilidad, que es una tabla con
:,,ios sus posibles valores y sus correspondientes probabilidades, como la siguiente:
f 1 2 n
Pr(X : r) Pt PZ P,,
Ejemplos
- Consideremos la prueba consistente en arrojar tres monedas. Tenemos qr.re
a : {{ccc}, {cc E}, {c E E}, {E E E}}.
Si X es la variable aleatoria que cuenta el nirmero de escudos resultantes, X puede tomar los
valores 0, 7, 2 y 3. De rnanera que
Po : Pr(X :0) : PL({CCC}):
Pt : Pr(X: 1) : PL({CCE}):
Pz : Pr(X : 2) : Pr({C EE}) :
Ps : Pr(X : 3) : Pr(iE EEI) :
Se tiene que su ley de probabilidad es
T 0 1 2 3
Pr(X : r) 1/8 318 318 r18
y se cumple que
1331
Po*h-lPz+Pt : 
B 
+ 
d 
+ 
S 
+ g : 1
Consideremos la sigrriettte plueba: se dispara corr nna pistola a un blanco situado a cierta dis-
tancia. Nos interesa analizal los eventos uJ¿: <<rlúmero de balas empleadas por un tirador hasta
(lne se da en el lrlarrco por prirnelavez>,.
Definimos la variable aleatoria X: <<núrnero de balas gastadas>>:
EI corrj nnto de posibles valores que puede tc¡mar Ia variable aleatoria es { 1, 2,3, . . .} .
Este es un conjunto infinito numerable, pues no se conoce un máximo para el número de balas
empleadas que pudiera ser extremadamente grande para una persona con muy mala puntería-;
es decir, X es una variable aleatoria discreta definida sobre un conjunto infinito numerable.
Más adelante se demostrará que también se cumple que i p¡: I col p¿: Pr{X : ¿}.i:r
1
8'
tJ
g'
3
8'
1-:.
8
84 Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Definición (de función de distribución) Sea X una variable aleatoria discreta, la función leal
-F tal que
VÚ e R, F(t): Pr(X < ú)
se denomina función de distribución de Ia variable aleatoria X.
Propiedades
1. La función F es creciente, con ,fT.".F(¿) : 0 V ,ffL,P(t) : 1.
2. F(¿) : Pr(x S t) : 
Prp¡
3. Pr(a< X<b):F(b) -f.(o).
4. Pr(o ( X <b): F'(b) - F(") *Pr(X: a)'
Observación. La probabilidad Pr(X: a) se calcula mediante Pr(X: a): F(a) - F(o_), donde
F("-) es el límite, por la izquierda, de la función de distribución en el punto a. Este concepto tiene
importancia para el cálculo de las probabilidades en los puntos donde ,F tiene saltos.
Ejemplos
1. Continuando con el ejemplo del lanzamiento de tres monedas, se tiene que
1F(0) : Po: ,-,
F(1) : po+pr:j*::;,
F(2) : potpttpz:*.:*: :;,
F(3) : po:-pt-rpz+o.::*3*3** :t
Los gráficos de las funciones de probabilidad y de distribución se dan en la Figura 3.2:
Con esto, Ia función de distribución es
F(t) :
0, si ú<0;
Il8, si 0(ú<1;
Il2, si L<t<2;
718, si 2(ú<3;
1, si ú23.
I
0.75
0.4
0.3
0.2
0.1
0.
F(t)
F
H
H
o€
Figura 3.2:
3.1. Valial-¡ies aleatorias
Elr rrrL¿r lltrr<:l-,ir rkt c:¿tli<l¿r<l rk. ttrr ltLorltt, l,r sl tillrr'(lllr'{'n tLrt [o1<: tlt¡ l') Piczas lr¿n'!i ].,1[tttttt.
t¡ .1 rlcf<r<:tlros¡rs. L)rr cl rkrP;uliunollt() rlc <:r¡rrtlol tlt' r:irlir[¿rrI st: lr¡rrr¿t tur¡t nrttcsl t¿l tlc ]] lriczits
Clorrstlrril l¿r lct'rkr l¿r r'¿rriirlrlc alc¿rtoLi¿r <<L¡rirrrr:Lo rl<r lrir:z;ts lrlrcLr,lsr,.
Sol,tLr:irin,: La r'¿ilialrlr: a,lc¡rtolia crL crLcstirilr prr<rrlc torrrar'krs r'¿rlolr.s 0. 1.2 \¡,J: rIctr:nnirolnos
srrs prol)¿rl )ilir [¿<ics.
El llrill<:r'<.1 r[c srrbc:onjrrrrtos cl<l 3 c]crnerrtos rilrtcrrilrlcs rlc rrrr c;ou,jrtrtto <[c 12 clrlurcrrtos cs C:fr.
que es Card(O).
r Si X:0, cutolrccs tocl¿rs las Piczas sou dcfcctuosas, lr¿iv C[ lorrnirs clc <:scogctlirs.
. Si ,Y : 1, crrtorrc:es 1 es lrucrr¿r y 2 sorr clefcctrros¿rs. c\istcu Cl f.rlrn,rs cle csc:ogt:t l:rs Piclzirs
buen¿ls v Cl de cscoger las clefectnosas) crrton(ies lr¿v C¡C; forur¿ts clc: cornlrilr¿rr l¿rs lrttett¿rs
y las defectuosas.
. Si X : 2,ltay C! conjuntos de las piezas
Cl|6C| formas cle combinarlas.
buen¿rs y C] dc dcfcctuosas) p¿rr'¿-r, rrn total cle
. Si X : 3, hay C! cornbinaciones de piezas bueuas.
Entclnces,
8Ír
Pr(X: O) : g: *,
Pr(X: \:W:#,
Pr(r : 1) : 9A9? ::.ciz 55'
Pr(X:t):#:#
Lo qrre se lesune etr slr clistlibucirirt cle probabilicl;rcl:
A; loll l2l3
Para clefinir urr¿r variablc ale¿rtoriir no cs nccesario cxhil.¡il urr fcrtcirrrcrto ¿rleat<lrio pat'ticttltrr',
es suficiente clar ulla función cle probabilictad o cle clistlibucicln r¡re cr-rrnpla las plopic<l¿rclcs
enunciad¿rs.
3. La funcióu cle distribución de una 
"'ariable 
aleatori¿r Y se clefine rnocli¿rute:
si l,<-3;
si -3<ú<0;
si 0(t<2;
si ú>2,
Coustruil Ia tal-¡la de clistribución de probabilidacl clc )'.
Sol'ució¡t: De acuerdo a la definición de la ftrncióu cle clistribuciórr ¡roclenlos \'ol cluc l¿r r-¿rri¿rblc
aleatoria torn¿r los valoles -3,0 y 2.
/(-3) : Pr:(Y: -3) : F(-3) - F(-¡-) : + -,, :;,
,i(0) : Pr(Y:0) :r(0) -F.(0-):;- j:j,
.f (2) : Pr.()', : 2) : F(2) - F(2-) : 1 j: j
De rn¿tt¡cr¿r <¡te lrr t¿rbl¿-L clc clistlil¡trci<in cle ¡rt'olrtrl riliclacl cs
r l-rlo l2
Pr()':trlIl2 lll4lIl4
86 Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
4. Un¿r variable ¿rleatoria X está dcfinida medi¿rnte lir siguierrte lcy de plobabilidacl
Jr l r l z l ¡ | q I s
a)
b)
c)
Determinar F(r).
Graficar f(r)y F(r).
Hallar: Pr(X:1), Pr(X < 1), Pr(X < 1), Pr(1 < X < 2), Pr(1 < X < 2), Pr(1 < X <2).
Soluci,ón:
a) Evidentemente, f'(r)
oSi11r12,
o Si2(r(3,
¡ Si3{r14,
¡ Si41r15,
o Sir)5,
Es decir,
b) Los gráficos son:
0.
0.
0.1
0.1
c) Se tiene:
:0pararlI,ahora
F(r): pr : 0.3.
F(r) : pt -f pz: 0.5.
F(r):pL+p2*ps:0.6.
F(r) : h I p2* ps + p+ : 0.75.
F(r) : h I p2 * ps + p+ I ps : I.
Pr
F(r):
0, sir<1;
0.3, si 1( r 12;
0.5, si2(r13;
0.6, si3<r14;
0.75, si4(r{5;
1, sir)5.
F
H
HH
H
Figura 3.3:
F'(1) - F(1-) : 0.3 - 0 : 0.3,
.P(1) : 6.3,
F(1) - Pr(X : 1) : 0.3 - 0.3 : 0,
F(2) - ¡'(1) : 0.5 - 0.3 :0.2,F(2) -F(1) +Pr(X : 1) : 0.¡ - 0.3 + 0.3 : 0.5,
F(2) - F(1) - Pr(X : 2) :0.2 - 0.2 : 0.
Pr(X: f) :
Pr(X < 1) :
Pr(x < 1) :
Pr(l <X<2):
Pr(1 < X<2) :
Pr(1 < X <2) :
Definición (de variable aleatoria continua) La variable aleatoria ouyo recorrido es un intervalo
inito o infinito de R se llama variable aleatoria corrtinua.
3.7. Variables aleatonas
3,1.2. Variables aleatorias continuas
También, se dice que Lrna variable aleatoria X es continua si para todo valor real r se tiene que
Pr(X: z) :0.
- sualmente, las variables continuas representan mediciones; por ejemplo, la estatura de una persona,
-l tiempo que se demora un programa en buscar un registro en una base de datos, la cantidad de
:¿ngre que tiene un animal.
Definición (de función de distribución) Sea X una variable aleatoria continua, Ia función real
F tal que
V¿ € R, F(t): Pr(X < ú)
=e denomina función de distribución de la variable aleatoria X.
Fropiedades
F es creciente, con . Iím F(ú) : 0 y . lím F(t) : 1./+-oo - l-*m
l. Pr(a< X <b):Pr(¿<X <b) :Pr(¿ < X < b) :Pt(a <X < b) :f'(b) - F(").
Definición (de función de densidad) La función de densidad de una variable aleatoria continua
-'t es una función real / que cumple:
") f (r) ) 0 Para cualquier valor z.
b) /A f@)dr:r.
c) Para cualquier intervalo A: lo,b], se tiene que
Pr(A) :Pr(¿<X<b)
-, 
-amos cómo estárr relacionadas las funciones de distribución y de densidad. (Ver Figura 3.4)
Teorema. Si F y / son las funciones de distribución y de densidad de la variable aleatoria
:.spectivamente, ellas están ligadas mediante las igualdades
87
: 
.l.o 
f {') o'
F(r): l"*r@ot y f (*): F'(r).
88 Capít,tttra 3. Varían¡Jes Aleadorias, Espet'anza I \-ariattza
f {t}
Figura 3.4: Rel¿ición cntr-c las firncion<:s clc clclsidaci y c1e clistrilruc:iórr.
Tengamos presente qtte para el cálculo de plobabilid¿rdes se emplea la siguiente equivalencia:
¡b
Pr(a<X<q: I I(r)dr:F(b) -F(").
En las valiables aleatorias continuas es suficiente indicar la función de densidad o Ia función de dis-
tribución para que la variable aleatoria qr-rede completamente definida.
Ejemplos
1. Un¿r variable aleatoria X está defirricl¿r mediante Ia función de distribución
p¿lrir z < -1;
1
par¿r -1(r(;i
1t
uara .r: ) -.' -3
3
jt
Hall¿rr la probabilidaci cle clue la varial¡le aleatoria X torne un valor en el interva / 1\t' ('' j/
Solr¿c'ión: La probabilidad de que X tome un valol en (a,b) es Pr(a < X <b): F(b) - F(").
Sia:0.b:1obt"r,"rnu,
ó
"'(0.".1)
2 L¿r fiurción de densidacl de una vali¿rble aleatoria
(0,-) v f @): 0 fitera cle cste itttetvalo. Hallar'
clefilricl¿r sc¿l unA función <le densid¡ld.
Sol.rt,ci,ón: Primero verifi<lrremr)s clue ./(r) > 0.
. En (-oo,0l no Lay ploblem¿l Pucs /(r) : 0.
está clada por /(z) : (\.e-s:L cn el intern,alc
el v¿rlor de la constante cv para que /(z) as-
. En (0, oo) se debe tener f (") >- 0, es decir (\e-3* ) 0. Pero Vr € (0, rc), e t" > 0; entouces,
se dobe tener que a ) 0.
Ahora, verifiquemo. or," /'* f (r)ctr: 1, o "". /'- .,e-3*d.r: l.' .l-o."' .lo
La integral
3.7. Variables aleatorias
-3"d, :
,lo* 
o"
/.ó f
o l'* "_J*d.r: ., lj".lo L 3
-o. a.
3 [o-lJ :T.
r dis-
Consecuentemente, Í 
: tt entonces a : 3.
Dada la función de densidad de la variable aleatoria continua X:
( o, sic(o;
f(*): { cosr, si0(r<rf2;
I o, sir>rf2.
a) Hallar la función de distribución F'(r).
b) Determinar: pr (t 
= 
*. ;), e, (x ,;),"'(; < x < #)
Solución:
a) Utilizando la fórmula F(z) : 
.l:*JQ) 
d,t:
o Si r < 0, "f(r) :0, de manera que 
rrF(r): l_*Odt:0.
'(n).
erval<¡
(r) así
n/2
0dú: senr - 1.
0
( o, sir(o;
F(r):l ';" ', si o < '<X,
I r, six>[.
rfr1
2 -5
o Si 0 1r 1r12, f (x): cosrü, ento ces
¡o fE
F(r) : I Oat+ | costdt:senr.J-a Jo
o Si r > 7r/2, f (r) :0.,
F(r): l_*tü+ Io"/'costd,t* I_,,
La función de distribución es:
b) Para calcular las probabilidades emplearemos Ia función de distribución.
r Pr(a < X <b) :F(b) - F("). Si ¿: I y U:[,6" 3
"'(á=".á) 
: 
"(á) -"(á)
: 
'"" (á) - *" (á) 
:
: 0.36603.
90 Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
o Pr(X ) n) : 1- Pr(X . o) : 1- F(a). Si o: 1',4
'-'(;)
1-sen/1): r-Jt\ 4/ 2
0.29289.
r 17trvb-_.3" t2
:'(#) -.(;)
:1-sen(;) :t-+
: 0.13397.
"("'i) :
_
e Pr(a < X < b) : F'(b) - F(o), con ¿¿:
/ r 112¡\t.(; s*<;)
4. La función de densidad de una variable aleatoria ? está dada por f (t) : t-f, "n(1,2) y /(¿) 
: O
fuera de este intervalo. Hallar las probabilidades:
a) Pr(0<?<1.8);
b) Pr(1.2<T<1.5);
c) Pr(? t 1.¡);
d) Pr(1.4<7<3).
Solución: Para el cálculo de las probabilidades utilizaremos la función de densidad.
a) Pr(0<?<1.8):
Pr(O<7<1.8) f(t) dt
iQ' - ql,',"
b) Pr(1.2<?<1.5):
Pr(1.2<?<1.5)
: 0.255.
c) Pr(T > 1.5):
"I.8 rl 11 8: l" Iudt:,loftüot*.1,
: 
lo' 
oo, * 
.1," (, - ;) dt: o t
: j lltt al' - 1.8) - o) : o.zz.
r 1.5: l' f{ua'
: 
l,',' (' -;) " 
: LQ'-',1,;
: ] lltr sl' - 1 b) - ((1.2)' - t.z))
1-Pr(?<1b) -1- ([:_odt+ [," (t-;) 
,,)
,-;U'-t) l,': r - ] frrr ul'- r.s) - (1'- 1)]
t-f,O.rrl:o62b
Pr(? > 1.5) :
3.2. Distribuciones de funciotres de variables aleatorias
Pr(r.4<7<3):
PL(1.4 < I < 3) :
5. Hallar la función de densidad /(r) de una variable aleatoria cuya función de distribución es
91
,t)
r.1 r ¿
I fUl,tL: I J()rt ),Lt
.l t.¿ .l t.¿
[,'^('-;)"* 1,'o _ t)',n+o
1.. ..
ilt'-2)-({r+)2- 72.
Soluctón: Utilicemos la relación f (") : F'(").
. Si r < 0, F(r) : 0, entonces /(r) : F'(r) : 0.
'17
4'
):0
. Si 0 1r 1I, ,@): sen 2r, entonces f (r): F'(r):2cos2r.
+
. Si r ,\, 16¡:1, entonces /(r) : F'(r):0.4'
Es decir,
f (r): { zcoszr' si 0 < 'lTn,
|. 0, caso contrario.
6. La vida útil de un elemento electrónico está dada por la función de densidad
( !"-,,r, si ú > o;
f (t): \ '2
|. 0, en Io demás;
donde ú es el tiempo (en horas). Calcular la probabilidad de que un elemento dure más de tres
horas, dado que ya ha estado en uso m¿is de dos horas.
Solución: Nos interesa Pr(? > 3lf > 2), que según Ia fórmula de la probabilidad condicional se
tiene:
Pr(?>3lT>rl :#fi;
porque Ia intersección de los eventos (7 > 3) y (T > 2) es el evento (" > 3). Entonces,
l'* | -rtz
Pr(? > s) _ ./r rt : "-t1," _ e-rlz: 0.606.Pr(I > 2) - [* !"-* - r'.lz 2
3.2. Distribuciones de funciones de variables aleatorias
Sea g una función real cuyo dominio contiene el recorrido de la variable aleatoria X, podemos definir
-l-na nueva variable aleatoria Y mediante
y : g(X),
92 Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
lo que quiere decir que, si la variable aleatoria X está definida según
X:O ---r ACR
u r-+ X(r)
y9por
gtB ------+ R conAe B
r r---' g(r)
la variable aleatoria Y se define por
Y : Q ------+
ul-----'
Si conocemos la ley de distribución F¡ de X,
¡ Si X es variable aleatoria discreta,
R
Y(u): s6@)).
vamos a determinar la ley de distribución Fy de Y.
Pr(I/: A):Pr(X : n¡),
donde A¡: g(r¿).
¡ Si X es una variable aleatoria continua. Supongamos que g es una función continua y estricta-
mente creciente en todo el eje real; entonces, existe la función inversa de g que la llamaremos l¿.
Ésta también es continua y estrictamente creciente, por lo que
A: g@) si, y solo si r: h(A).
Examinemos la definición de Fy:
Fv(t): Pr(Y < ú) : Pr(e(X) ! t).
Aplicando la función inversa a los dos miembros de la desigualdad del argumento de la última
expresión se obtiene
Pr(e(X) (ú) :Pr(X<h(¿)) : Fx(h(t)).
Luego, se tiene la siguiente equivalencia entre las funciones de distribución de X y de Y:
Fv(t): ¡k(h(¿)).
Si las funciones F¡ y h son derivables, se pueden derivar ambos miembros de la igualdad anterior,
empleando la regla de Ia cadena:
Fi@ : Fk(h(t)) .h'(t).
Ello nos conduce a la siguiente relación entre las funciones de densidad:
fv(t) : f x(h(t)) . h' (t).
Observación. Si la función g no es monótona en el intervalo de los posibles valores de X,
hay que dividir este intervalo en subintervalos tales que g sea monótona v aplicar el resultado
anterior.
3.2. Distribuciones de funciones dc valiables aleaúorias
Ejern¡rlos
1. Da<[a l¿l [rrrrc:iót¡ <lc<listlilrrr<:ión F¡ clc l¿r vari¿tll]cr ¿rlc¿rtoli¿t -\. hall¿rl l¿.rs ftttt<:i<.¡trcs rl<r rlisl tilrrrt iritr
r' <lc rkrusiclir<l d<l \" : u,X * b, pala: a) rr, ) 0; lr) tr, < 0.
Soht.r:i.titt:
a) Sca \" : aX *b, o > 0. Tenenros:
9:]
Fv'(¿) : Pr(Ylú) :Pr(aX+b<¿)
: n'(" =+):r"(?)
g(t) : at t b, h(L) : +, h'1t¡ : !,
También,
!t.(t):;r"(?)
b) Si y : aX *b, con a ( 0, resulta que g(ú) : at* b, que es continua, pero estrictamente
decreciente; sin embargo, podemos hallar Ia ftrnción de distribución de Y rnediante su
definición:
Fy(t) : Pr(Y<ú) :Pr(¿X+b<t)
: p,(x>¿-ü)-1-p,(x.4)
\ a) \ a)
: r - Fx fL!) +p, ( x: '-') ."\ a / \ e' /
La función de densidad es
ft.o): Fí,(ü: -!,r* (")
Corrsidere la variable aleatoria Y : X2. Hallar su función de distribrrción.
Solu,ciór¿: Aquí, 9(r) : 12, función que no es stt'ictamente crecie¡te. Por clefinición tenemos:
Fv(t): Pr(Y ( ú) : Vr(Xz < t).
. Si ¿ < 0, el evento <<X2 ú>> es vacío; por tanto, Pr(X2 < ú) : 0, lo que implica que
Fl,(¿) :0.
r Siú20,
Aclernás,
a-
h.
Si F.v es coutiuua
Si lr.v <s rl<lrivable
: -r/t).
SC
<0;
>0.
er rlcusiclad:
<0;
>0.
94 Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
3. Detelntinar la ley de distribución de la variablc aleatoria Y : X2, si X está definid¿r ruerliarrte:
x I -s I -21 o | 2
Sol'ución: Como Ia variable aleatoria es discreta, basta aplicar la relación Pr(Y : A¿) : Pr(X :
ri), a cada uno de Ios valores que toma Y : X2. Entonces, tenemos que
v2 l(-¡)rl(-z)rlo, lz,
Es decir,
Y lglq lol+
Como el valor Y : 4 se repite 2 veces, unificamos sus probabilidades y la tabla queda así:
4. Hallar la función de distribución de la variable aleatoria Y : e-X, si X está definida mediante
( 0, si ú<-1;
¡k(ú):{ +,si -1<ü<1;( t, siú>1.
Solución: Se tienen las siguientes igualdades:
Fv(t) : Pr(Y < ú) : Pr ("-* < t)
: Pr(X > -lnú) - 1- Pr(X < -lnú)
: 1-f¡(-lnú).
Por otro lado,
F¡(- lnü)
0,
-lnú*1
2'
1,
0,
-lnú*1
2'
1,
si -lnt<-I;
si - 1< -lnú < 1;
si -lnt>L.
siú>e;
si e-l 1t 1 e:
si ú < e-1.
:{
:t
1, siú>e:
1 + lnú sie-'1t1e:
2
0, siú<e-1.
Por tanto,
Fv(t) - 1- Fx? lnú) :
3.3. Ejercicios
3.3. Ejercicios
1. Irrclique si las siguierrtes variables aleatolias son discretas o corrtiuuas y su rarrgo cle <lefinición:
a) El núrrnero de bytes defectuosos en el disco duro de una computadora de 100 Gb;
b) La distancia de lanzamiento de Ia jabalina por un atleta;
c) EI nirmero de goles que anota un equipo de fiitbol en Lln partido;
d) La cantidad de dinero, en dólares, ganada (o perdida) por un apostador;
e) trl tiempo de nso diario de una computadora;
f) El tiempo de espera del autobús en una parada;
g) El núrmero de años que sobrevive una persona a la muerte de su cónyuge;
h) La variación en el tiempo de sueño de una persona sometida a un tratamiento.
Indique al menos tres variables aleatorias discretas y tres variables aleatorias continuas. Especi-
fique su rango de definición.
Se arroja un dado y se designan por ¿ : {el número de los puntos aparecidos es par} y por
6 : {el número de los puntos aparecidos se divide por 3}. Para los dos eventos, halle Ia Iey de
distribución y grafíquelas.
Determine Ia función de distribución de la variable aleatoria X que está definida por la ley que
se presenta en la tabla.
rl4 213 rlL2
Un escritor ha lanzado al mercado una nueva novela. La probabilidad de que Ia novela sea muy
exitosa es 0.6, de que sea medianamente exitosa es 0.3 y de que sea un fracaso es 0.1. Los bene-
ficios esperados son: si la novela es muy exitosa, 100 mil dólares; si la novela es moderadamente
existosa, 50 mil dólares; y, si es un fracaso, 10 mil dólares. Forme la ley de distribución de los
beneficios esperados por el escritor.
Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos; entre éstos, 2 tienen defec-
tos. La agencia debe seleccionar, aleatoriamente, 3 automóviles de entre los 20 para venderlos.
Forme la ley de distribución de la variable aleatoria <<número de carros defectuosos entre los
escogidos>>.
IJn apuesto príncipe visita a un rey que tiene cuatro hijas casaderas, con la intención de integrarse
en la familia. Las probabilidades que tiene el príncipe de ser aceptado por cada una de las
princesas son 0.6, 0.8, 0.2 y 0.4. El príncipe pide la mano de cada una de ellas de forma
consecutiva y se casa con la primera que acepte. Sea X la variable aleatoria definida como
X:i si se casa con Ia i-ésima hija (i - 1,.. .,4) y X:0 si todas le rechazan. Calcule la ley
de probabilidad de X y su función de distribución.
Una chapa para puertas consta de tres piezas mecánicas. Suponga que las probabilidades de que
Ia primera, la segunda y la tercera piezas cumplan con las especificaciones son 0.95, 0.98 y 0.99,
respectivamente. Determine la distribución de probabilidad del número de piezas que cumplen
las especificaciones en una chapa.
Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es p(r) : #,r 
:1,2,3,4,5.
a) Encuentre el valor de & para que la función p(r) sea la función de probabilidad de X;
b) CalculePr(l < X34).
95
2
,l
4.
¡.
6
7
8
9.
rt-2
l(.
C)a¡>ítulo 3. Vari¿tltl¡:s Aleatorias, Esperattza y Varianza
l,¡r lr¡:¡.'i,irr ,lr'¡rrol,irlrilirl:r<1 ./'cl<: rulr r'¡uiirl¡lc ¿rl<r¿tloti¿r -f <:s rrttl¿t s¿rh'o cn lr.rs lrtttrtos /.:0. f .i'
'1. lirr cl[r,¡ l()nr¿r lr)s vitl()los:
.l'(0) : 4,":. /(l) :'k:- 1011. .[(2) : 4r:- I.
l)iu ir nlr cictlcl \'¿tlot' (lc r'.
;r) l)t,t<:rrrrire c.l valot ,lc c:
lr) (':rk'rrlo: PL(X < l). Pr(-X < 2). t'r'((l < .{ < 3).
t':r,r r''u'ialllc ¿r,leatoli:r -Y se dicc <¡ur: sigrr<: lrr lcy cle B<rnfot'cl si se cttrnple qtte
Pr'(x : ft) : ¡.,*,0 (t . i) , k: r,2,...,s.
a) \'irrifir¡ue que es rtrra firnciórr rle ¡rt'oba,bilidad;
b) Calcrrle la probalrilicl¿rd ctc obtcner utitnero impares;
c) Grati<¡rrc la funciórr de ¡rrobabilidad.
Urra r'¿rinble ¿leatoria )'se dcfine l)¿lra un errtero positivo fijo c (a > 1) cualquiera mediante
I'r(Y : A) : ;\- i, k : a*r,a*2,...
rt) \'i.r'ifit¡rre que cs utut funcióu de probabilidad;
lr) l)crrrucstl'e cluc Pr()' > tr) : !* pat'tr A; : e, (L* 1, ...i
r:) Fije u¡r valor ¡>ara <'l ¡rtrr-árnctrrr (¿ !'gl'aficlue la fuución de probabilidacl.
Iirr,r r''rti,tlll<,akt¿rtori¿r cli¡t't'cta X cst¿i clefinida segittt la ley
Pr(.f : A;):p(l -p)r', A; :0. 1,2,.. .y p€ (0, 1).
rr ) \i,r ilir¡rre clue es ull¿l función clc probalrilidir<t:
lr) l)r:rcrrrrine la ftrnción de distribttciótr;
r') (';rk'ttlc: Pr(X > 2), Pr(X > ). Pr(.f, < 3).
l)rr<l¿s l¿s funciones de derrsidad /, errcuerrtre el valor de la constante c de tal manera que ellas
t:st r':rr l¡ien definidas.
a) /(c) : { ;," 
- t,' ::::.ffii,,
b) ./(r) - 1- cll- rl. si 0 ( r ( 2;
,:) /(t ) = {iZ;:, :i ;: l]
t'2.
il.
15. Dncla la fttttcióu de distlillrrt:ititr rk: r¡¡¡:¡ r'¿tt'ia,lrlc ale¿rtori¿ .{:
0. si z(0;
1:l
11.
L 14.
t l:J.
:r fr.t.
si 0lr(1;
si | 3r <2;
si 2(1t14;
(t: -').)/3. si 4l:r. ( 5;
l. si ;u)5.
C)al<:r tlc lits ¡rt'o! r;.l,rriid¿ul<ts:
F(.r:) =
3.3. Ejercicios 97
lr a) Pr(l . X. S)'
b) Pr(2<X<+);
c) Pr(O.X.¡)'
d) Pr(a<x<6).
16. Se tiene la función de distribución de una variable aleatoria definida por
0, si r<-J2;
Il8, si -J2<r10;
215, si 0(r1I;
Il2, si t <, < J2;
314, si t/2<r<512;
1, si r>512.
( o, si r<I;
f (r): I sr"r,3", si + .0" =+tr\/ 
[0, .iit;'
te
Determine la función de probabilidad asociada y grafíquela.
77. La función de densidad de una variable aleatoria X está definida mediante
a) Halle la función de distribución .F;
b) Determine: Pr(X :0.2), Pr(X < rl4),Pr(X > n13),Pr(nlL2 < X < n).
Una variable aleatoria X tiene distribución continua F, siendo
( o. si ú(o:
FQ): I ct, si 0< t<I;t 1, si ú>1.
a) Determine la constante c y halle la función de densidad /;
b) Calcule las probabilidades Pr(X: Il3),Pr(X < ll3), Pr(lxl <ll4).
Considere una variable aleatoria continua Z con densidad de probabilidad
( (t+b)zb, si z € [0, o];/('):{ o, siz(lo,al.
a) Calcule los valores de los parámetros a y b sabiendo que p, (Z 
= 
1) : 1,\ -2) 8',
b) Encuentre la función de distribuciónde Z.
Una variable aleatoria X tiene por función de distribución a
5
9
: ellas
10, sir<-2;F(r):l ar+b, si -2Sr<2;
I t, sir>2.
a) Determine los valores de a y b;
b) Encuentre la densidad /;
c) Halle: Pr(X
Pr(lxl > 1.2).
El tiempo en minutos que una persona espera un autobús es una variable aleatoria cuya función
de densidad viene dada por las fórmulas: /(¿) : j ouru 0 < ú < t, f(t) : I o.ru I < t < 4,,
f (t):0 para los demás valores de ú. Calcule Ia probabilidad de que el tiempo de espera sea:
98
22
Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
a) rnayor qu<l nn minr.rto;
b) rnenor que clos miuutos;
Los registros de ventas diarias de una empresa
venderán 0, 1 o 2 computadoras de acuerdo a Ia
No. de ventas 0t1t2
Probabilidad
c) rnayor que tres mirrutos.
que comercializa computadoras muestran que
siguiente tabla:
a) Determine la distribución de probabilidad de X, el número de ventas;
b) Calcule la probabilidad de que al menos se realice una venta en el día.
23. Un blanco circular de radio 1 se divide en 5 anillos,circulares por medio de 5 discos concéntricos
1234
de radios: -. --, ;,;, i t t. Un jugador lanza un dardo al blanco, si el dardo alcanza el anillob¡
circular comprendido entre los círculos de radios : y tl]. (k:0.7.2.3.4), tiene k puntos yo 5 '\'"-v'L)L\v'
gana 5 - ,k dólares. Determine las distribuciones de probabilidad:
a) del puntaje del jugador; b) de Ia ganancia del jugador.
24. Una empresa alquila el tiempo de cómputo de un tipo especial de computadora a una universidad.
La empresa debe planear su presupuesto, por lo que ha estudiado el tiempo de empleo de Ia
computadora. El tiempo semanal de alquiler (en horas) sigue la función de densidad dada por:
f(t):{ *U'n-U' si o( t<4;
[ 0, caso contrario.
a) Determine la función de distribución del tiempo de empleo de la computadora;
b) Calcule la probabilidad de que el tiempo de uso de la computadora, en una semana, sea
mayor que 2 horas;
c) EI presupuesto de la empresa solo cubre 3 horas de tiempo semanal de uso de la computa-
dora. ¿Con qué frecuencia se rebasará ese límite de presupuesto?;
d) ¿Cuánto tiempo de alquiler se debe presuponer por semana si esta cifra solo se puede rebasar
con una probabilidad de 0.1?
25. La cantidad de pan (en cientos de kilogramos) que vende una panaderÍa en un día es una variable
aleatoria con función de densidad
cÍ, si 0Sr13;'
c(6-r), si 3l r16;
0, caso contrario.
a) Encuentre el valor de c;
b) ¿Cuál es la probabilidad que el número de kilos de pan que se vende en un día sea: (i) más
de 300 kg?, (ii) entre 150 y 450 kg?;
c) Denote por A y B los eventos definidos en (i) e (ii), respectivamente. ¿Son independientes
Av B?
26. La cantidad (en gramos) de fertilizante químico que una planta puede recibir es una variable
aleatoria cuya función de densidad es
f srla - z;
f (r): { ff, si r € [o' 8];
[ 0, caso contrario.
Ejercicios
a) Halle la probabilidad de que Ia planta reciba merlos de 3 gramos;
b) Si la planta n)Ltere si recibe nl¿is dc 6 g, ¿,cuál es la ltlobabilida<l de qne la planta muela por
exceso de fertilizante?;
c) Si se trata de establecel Lrna norrrla para Ia cantid¿rd de fertilizante utilizada, ¿cuál es Ia
c¿ntidad máxima recomendada utilizar para qne solo se sobrepase esta cantidad el 35 % de
las veces?
l;. Se extrae una bolita al azar de un bolillero que contiene 3 bolitas numeradas de 1 a 3. Llarnamos
X al número de la bolita extraída. Una vez conocido el valor de X, extraemos una nueva bolita
alazardeotrobolilleroquecontiene4-XbolitasnumeradasdeXa3(porejernplo: siX:2,
la segunda bolita se extrae de un bolillero que contiene dos bolitas con los números 2 y 3).
Llamamos Y al número de la bolita extraída en el segundo bolillero.
a) Calcule Pr(Y : 3lX : 1);
b) Calcule Pr(Y :3);
c) ¿Son X yY independientes? Justifique;
d) Halle la distribución de probabilidad de Y.
-1. Una variable aleatoria X tiene densidad
f(n\:Ir'siz€[o'1];\"¿/-lo, sizl[0,t].
a) Si Y - X2, halle la función de distribución de Y;
b) catcule las probabilidades: 
"'(+ 
< x2 <i) r "' (á 
. t . :)
-i. Una variable aleatoria Z tiene función de densidad
(L
f Q): l i' si z e [-1' 1];
[ 0, si z ( [-1,1].
Halle Ia ley de la variable T : -52.
i.'. IJna variable aleatoria X tiene función de densidad
sir€l-z,Z);
si n ( l-2,21.
Halle la probabilidad Pr(X2 < 1).
Una variable aleatoria Y está distribuida según Ia ley
99
(!
rf") : I o1
sig€l-t,Z];
caso contrario.
1
5,
0,
-')
Halle Ia función de densidad de la variable U : Y2.
Una variable aleatoria X tiene densidad f x(") : s-t, si r ) 0. Encuentre las funciones de
distribución y de densidad de la variable aleatoria Z : e-x.
Una variable aleatoria X tiene función de distribución Fy(r) - 1 - e-o', si r ) 0. Halle las
funciones de densidad de:
100 Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
{Y:f7; b) Z :1tnt.
En las secciones precedentes vimos que una variable aleatoria queda definida por su función de dis-
tribución, pero muchas veces solo se desea tener una idea del comportamiento general de las variables
aleatorias, sin dar detalles de su distribución de probabilidad; para tal propósito, examinaremos dos
características teóricas de las variabtes aleatorias: la esperanza y la varianza, que son dos parámetros
que miden la Iocalización y la dispersión de Ios valores que toma la variable.
3.4. La esperartza maternática
La esperanza matemática -o simplemente esperúnz&- de una variable aleatoria X, se simboliza por
E(X) y su definición es la siguiente:
Definición (de esperanza de una variable aleatoria discreta) Sea X una variable aleatoria
discreta, la esperanza es un número real que se calcula según:
1. Si X toma un número finito de valores rr¡ 12, ..., rn con probabilidades h:Pr(X : rt),
pz : Pr(X : r2), . . ., pn: Pr(X - ,n)t
E(x) : f,o*rr.
l^-1
2. Si X toma un número infinito de valores rr, 12, .. . con probabilidades p¡ : Pr(X : rk),
k:I,2,-..; 
oo
E(X) : ln*"r.
/c: f
Definición (de esperanza de una variable aleatoria continua) Sea X una variable aleatoria
continua, cuya función de densidad es /(r), la esperanza es un número real que se calcula según:
E@: l: rf (r) dr.
A la esperanza también se la denomina media poblacional o ualor esperado de la variable aleatoria y
se la suele notar como p.
Observación. Si /(r) toma valores distintos de cero en un intervalo [a., b], Ia esperanza se calcula
como
rf (r)d,r.
La esperanza posee varias propiedades, independientes del tipo de la variable aleatoria. A continuación
vamos a enunciarlas y demostrar algunas de ellas, en el caso de una variable aleatoria continua, los
otros dos casos quedan como ejercicio para el lector.
Propiedades
1. La esperanza de una eonstante es el valor de la constante:
Fj(x): L
E(c) :6, cconstante.
3.4, La esperanza rnatertática 101
la^s2.
D en¿ostt'o,ciór¿:
[@
E(c) : I t'.[ (r) rlr
.l _-
Aditividad. La esperanza de la suma de
esperarrzas de los dos surnandos:
r@: ,t I .l'(t') tl,.r : (:' L : c.
./ _m
dos variables aleatorias es igual a la suma dedis-
bles
dos
tIoS
ücula
aclon
a, los
1
rria y
E(x+Y) :E(X) +E(Y).
3. Un factor constante c se puede sacar del símbolo de la esperanza matemática:
E(cX) : cE(X).
Demostración:
l'c. f@
E(cX) : 
.l_*crf 
(r) O, : 
" .l_*rf 
(r) dx : cE(X).
4. Sea g una función real, la esperanza de la variable aleatoria Y : S(X) está definida por
E(Y) : E(g(x)) : [* s@)f (r)d,r.J_a
En particutar si g(r) : 12 se tiene
E (x,) : l:,2¡q,¡d,.
5. Si X y Y son dos variables aleatorias independientes
E(xv) : E(x)E(r).
Observaciones:
1. Por las propiedades 2. y 3., si Y: aX t b, entonces
E(Y):aE(x) +b.
2. Si la función de densidad es simétrica respecto a Ia recta r : rr¿, entonces E(X) : rn. (Figura
3.5)
Figura 3.5: Función de densidad simétrica respecto a la recta n : TrL.
Dos variables aleatorias con la misma esperanza pueden tener distribuciones diferentes. Para diferen-
-iarlas es lecesario introducir otra característica teórica que informe sobre la dispersión de su posibles
r-alores.LO2
3.5.
Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
La varianza
L¿r iclea de <lspelanza no ittclica cótuo cst¿i clistlibuicl¿ Ia m¿ts¿r en torrro ¿ su <l<ntro; ósto sc explrcs¿)
rrrecli¿rnte la uari,an,zo, de Ia valiable ale¿rtoria X, que se nota Var(X) o o2.
Definición (de varianza) La varianz¿t de nn¿t variable aleatoria X es rrn núrmero no negrrtivo que
se calcula por:
Var(X) : E(X -E(X))',
o, equivalentemente, por
Var(x) :E(x2) - (E(x))''
Segúrn el tipo de variable aleatoria, se calcula de la siguiente manera:
1. Para una variable aleatoria discreta que toma un número finito de valores rtt r2t
probabilidades p1 : Pr(X : rt), pz:Pr(X : rz), ..., pn: Pr(X : r,-)i
var(x) :ilrr-E(x))2pn o var(x) :ir*r\- (E(x))2.
k:t k:L
2. Para una variable aleatoria discreta que toma un número infinito de valores rr, 12, .. . con
probabilidades p¡ : Pr(X : rk), k : L,2,. ..:
.) trn con
Var(X) : !["r - E(X))2pt o
lc=1
3. Para una variable aleatoria continua con función
var(x) : |lO - E(x))'f (r) d.r o
Observación. Al igual que en la esperanza, si /(z) está definida en [a, b]:
var(x) : l'o@- E(x)12/ @)d,r.
.la
r) dr
- (E(x))'.
- (E(x))'z
La varianza da la idea de cuán ampliamente dispersos se encuentran, en torno de la media, los valores
que toma Ia variable aleatoria:
Una mayor varianza indica que Ios valores tienden a estar más alejados de la media.
Una menor varianza indica que los valores tienden a estar más concentrados alrededor de la
media.
Defrnición (de desviación estándar) La desviación estándar de una variable aleatoria X es
igual a Ia raíz cuadrada de la varianza:
o:\@.
1.
2.
3.5. La varianza
Propiedades
]. L¿r variarLz¿r de un¿r, corrst¿rrrte es cero. Es decir,
103
Var(c) : g,
para tocla constante c:
c constante.
Den¿ostración:
var(c) : [* V - E(c)]2 f (r) dr 
: 
[* V - c]2 ¡@) ar
: l'* o¡qr¡d"r:0.
.l _*
2. Un factor constante c se puede sacar del símbolo de la varianza, elevándolo al cuadrado:
de la
Var(cX) : c2Var(X).
Dernostración:
var(cx) : l* O" - E(cx))2 f (r) d,r : 17r", - cnr.)12 f (r) d"r
/'oo: I "'1" - e(x)l/(r) dr : c2yar(X).J-* '
3. Aditividad. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la
suma de las varianzas de los dos sumandos. Es decir, si X y Y son independientes
Var(X +Y) : Var(X) + Var(Y).
D emostración: En efecto,
Var(X + Y) : E[(X + Y) - E(X +Y\2
: E[(x - E(x))+ (r - E(y))]2
: Var(X) + Var(Y) + 2Bl(x - E(x))(y - E(y))l
Como las variables X y Y son independientes, también lo son las cantidades X - E(X) y
Y - E(Y), por lo tanto,
E[(x - E(x))(y - E(y))] : EIX - E(x)l .Ely - E(r)l : s.
En consecuencia, Var(X + y) : Var(X) + Var(Y).
,lbservación. De las propiedades 1- y 2. se verifica que
Var(oX + b) : a2 Yar(X).
Fj,emplos
-. La variable aleatoria discreta X está definida según Ia ley
10
Hallar la esperanza y la
0.5x +2.
Solución:
0.5
aleatoria
x I -41 6
p10.2 10.3
varianza de: a) la variable X; b) Ia variable aleatoria Y :
LO4 Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
3
E(X) : D "xp*, : -4 x0.2 +6 x 0,3 * 10 x 0.5 : 6.A:1
Calculemos E(X2):
3
n62): I ,?,p*,: (-q2e.2) + (6)2(0.3) + (10)2(0.b) :64.
k:1
Entonces,
Var(X) : P(X2) - (E(x))2 :64 - (6)2 :2a.
b) Vamos a aplicar las propiedades de la esperanza y la varianza para calcularlas:
E(v) : E(0.5X +2) :0.5E(X) + E(2)
: 0.5x6*2:5.
Var(Y) : Var(O.5X + 2) : (0.5)2 Var(X)
: 0.25 x 28 -- 7.
2. En una rifa se venden 300 boletos, a un dólar cada uno. El primer premio es 100 dólares, el
segundo premio es 50 dólares y hay otros cinco premios de 10 dólares. ¿Cuál es la ganancia
esperada de una persona que compra un boleto?
Soluci,ón: Sea X la cantidad ganada por un boleto premiado; entonces, X sigue la siguiente ley
a)
xl 1oo I so I ro I o
p | 1/Boo | 1/3oo I sTaoo I zoaTaoo
Así,
E(X) rooxfr*5ox
0.67.
#.rox.*I+ox
293
300
Como la persona paga 1 dólar por el boleto, Ia ganancia (total) esperada es E(G) : 0.67 - 1 -
-0.33 dólares; es decir, una pérdida.
3. Una persona quiere abrir una puerta y tiene 5 llaves, de las cuales solo una corresponde a la
cerradura. La persona va eligiendo al azar y probando abrir Ia puerta. Calcular la esperanza y
la varianza del número de intentos si separa las llaves que probó anteriormente.
Solu,ción: Como cadavez separa las llaves utilizadas, cada llave tiene la misma probabilidad de
abrir la cerradura; por lo que la variable aleatoria X: <<número de llaves utilizadas>), sigue la
siguiente ley:
xl1 I 213 I 4l b
Entonces,
515
E(x) : D*ou:;I/c:3,
l--1 t- r
515
E(x') : Dk'rr:;tk2:rr,
l': I [:1
Var(X) : lI - 32 :2.
4.
3.5. La varianza 105
Una variable aleatori¿r X toma solarnente dos valores rt- y r2t tales que 12 > r1. La probabilidad
de que X tome el valor zl es 0.6. Hallar la ley c¡re sigr.re X, si la esperanza rnatemática y la
varianza son conocidas: E(X) :1.4 y Var(X) :0.24.
Sol'uci,ón: Esclibamos Ia ley de X:
Explesemos la esperanza y Ia varianza en función de 11 y 12:
E(X) : 0.6rr + 0.412 : 1.4.
La ley de X2 es
Entonces,
v
Var(X) : n(X2) - [E(X)]2 : 0.6r? + g.arl - r.42 : 0.24
De aquÍ, se obtiene el sistema de ecuaciones
I o.aq t olq:1.4
\ o.o"l -t o.4r| :2.2
Resolviendo eI sistema se obtienen dos pares de soluciones:
It : l, 12:2 y z1 : 1.8, rZ:0.8.
Puesto qLLe 12 ) 21, hallamos Ia ley de clistribución de X:
.6
a) Hallar Ia esperanza y Ia varianza de
F(r) :
b) Se deflne la variable aleatoria Y :
Soluczón:
a) Hallamos 1a función de densidad
ble
si
si
si
Hal
E(X') :0.6r? + g.arl
que tiene
3;
anza y su
X
per
toria
, -1;
l<r
' .).
JU CSI
t.4
leal
t<
-1
,)
rrs
(,1. z
ale
Í
r
lar
rf (,) 1) o":
r2r@ (i) r"
función de distribución:
varlalza.
f (r): si -1(r(3;
caso contrario.
E(x) : 
l_,
e (x') : 
[_,
De manera que
b.
106
7. Determinar la esperanza y lti ',
csF(ú) -1-e2t,t>0.
Capítttlo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Pot lo t¿urto,
v.u(-K) : p (x') - (E(x))2 :: - r' ::
J .)
b) Tenerrros la vari¿rblc ¿le¿rtor-i¿r Y :5X *2, cuyzr. función de densiclad no la corrocerno$. pero
podenos enrplezrr' las propiedacLes cle Ia esperanza y de Ia varianza:
E(Y) : E(5X +2) :5E(X)+E(2) :5 x It2:7,
Var(Y) : Var(5X + 2) :25 Var(X) :25 x * : +.) .)
Una valiable aleatoria X está definicla por slr densidad J'@):r+l "n el intervalo (0, 1), fuela2
de este intervalo f (r):0. H¿llar la esperanza matemática de la variable aleatolia Y : X3.
Soluctón:
E(v) : rs f @) o, : 
.lo' 
,t (, **) o,
,)ar:1" *1 4l ')"- ls 2 a)o
I3u--.
40
' a valiable aleatoria 7 cr.rya fnnción de distlibrrción
Soluczón: La función de deusidad es:,/(/) : F'(t):2"-2t, ú > 0; y 0, caso contr¿rrio.
Calculemos Ia esperarrzn:
fx /.oo
tr(x) : .l_,"r.tb)nt: .lo 2re-2''d,r.
Irrtcgrando por partes, ponicriclo rL: :1. rl,u : e-2'cl,r; pol lo tanto: ilu,: dn, Lu : _ 'r"-r',
l'* r".,,rh : -rc 
2' 
l-*1 l'n 
"-r."rl,.lo 2 ln'2.1u
,"-" l* 1 __r,.1-
z io-4c l.
;'^'^
Entonces,
E(X): , 
lo* 
,"-'2'rL*:r(i) - I
Necesitamos el cálculo cle E(X2):
E(x') : [:,2 ¡q,¡a, :, .lo* ,2. 
2" tlr
Integrando por partes, clos veces. se llega a
2 ln ,,', "r!, = ?:!Io 4 2
1 /1\2 1tt
o \ol ¡
" \o /
La varialza buscada es
var(X) : E (X,) - (tr(.Y))2
S.S. La varianza
Etr ttlt slll)crlriercacro se r¡o,,.1,. ,,-.- -. 
ro7
crescrir,e ; ;;;;'.,". .:ff:fii:::;1ij,."":J1,*,:,i:"..T;"^,jj,f,:i,,ililTjc arcaroria quc
.f(r):[;*'sjo<'<5o;
I o, caso contrario.
;.Crrál es Ia c¿nt jdact de calnc quc se esr)llién, halle ia desviació" 
"r*0""..oq 
Ü¡l)el'a vender diariamente en el supermercaclo? Tam_
Si la ganancia en el producto se expresa por la ecuación C ).ganancia esperada. -r"4vvu vvL r'L ccuaclÓn C : fi¡X2 + 10. Calcrile Ia
Soltt,ción:
a) Calcularemos 
l¿
efectúra 
", 
,ro"r.lr,lifjlllza 
de la variable aleatoria como er indicador de
E(x): ['oto " Gil o*: # fo,o ,, o,
,hl#]; :3333
Así' el supernrercatro espe.aría vender 33.33 kg diarios cre car'e.Calcrrlernos E (X2): 
-- 'v'uL
a)
b)
las ventas que
: 
?(x'z) - (E(x))2:1250 _ (33.33)2: 138.89.
vC(D : i,/138.80 : 11.79kg.
E(c) : n(2.-, \ .r-\v'/ "rl*o" *'o): IEE (x2) +to
: 
1E(1250) + I0 :24.29.
Por' la 'r'enta cre la cirrle, cr supermer-caclo csr)era ganar 24.2g crórares diarios.
-- uontinu¿ción, se cla ulr ejernltlo de valiable alcato- r ál<.rrlo dc ia cs
::tc¡1¡.¡l¿1¡¡ c1 e¡nl> valiatrza dc cs ro iltfinito cle valores.
-= s,rrn,inie*;';;;; dc análisis ma ]::? ¡l" artificios qrre::ométricas, leatorias geom rétodo em¡rle,rdo por
La r.ar.iarrza es
Val(X)
La desviación estándar €s d:
Entonces,
métricas: ruatollas geont ruLoclo empleado por
- 
¡rttrlttetládes lrásicas .lu las sci ics
satrr ar r icgo. F i I 992 ¡, -Et.f.l[]11".¡[.o,,.
of Georrre ric: Xloue¡ts, ,, Tl¿e Atuerial¡t Stattstician, 46, 10g-10g
b)
r08 Capítulo 3.
Propiedad 1. Va € (0,1),
Plopieclad 2. Ya € (0,1),
Variables Aleatorias,
P,_1
, It,41,-
l.;:0 | - (L
i lr - a,)ak : a'''.
k:r¿
Esperanza y Varianza
9. Una variable aleatoria X toma valores I,2,3,. . .) con probabilidades
I (1 -P)A L- 1.'po,:-ñ7, h:I,'2,..,; P€ (0,1).
Determinar sll esperanza y su vattatza'
Soluc'ión:
E(x) : io-,k:i(-#) (r -P)k ¡
A=1 A:1 '
: l-r) i,'- p)k :- (*) ir, -or*\ I'p)3' \nP/7_o
Si p € (0, 1), entonces I - p e(0, f) y aplicando la propiedad 1:
E(x) : (#) r-i-r:-(#) (")
p¿rr-a el c¿ilculo d.e la varianza varrios a calculal E (X'), usando Ia notación Q: l- p; pol tanto
Veamos a qué es igual la surnatoria:
oo oo oo oo
Dt rnr :\nar +lnuk + lrek + '
k:7 k:r k:2 lc:3
Por la propiedad 2, se tiene que
: ( *t) É*n-:(-#) ',i'ronr
Dttono : ct + q2 + q3 +... - Dnr :
L-p
k:1
Consecuenternente, E (X') queda como
k:r
E(x,) :-(#) (;)+: I-pp2 in;r
: /. \ ¿r,\
'P)
3.6. Función generadora de rnornentos
3.6" F\rnción generadora de momentos
109
alrt o
Los momentos de una variable aleatoria son númelos que representan algunas calacterísticas de la
jistribución de probabilidad asociada. Bajo ciertas condiciones el conjunto de momentos determinan
ie manera única a la ley de probabilidad.
Definición (Mornentos) Sea X una variable aleatoria y sea r¿ un número natural. Cuando existe,
el nútrnero pr:E (Xk) es el k-ésimo momento de X.
f ntonces, tenemos que Ia media p es el primer momento de la variable aleatoria; es decir, F: lJt.
-isociada a cada variable aleatoria podemos encontrar una función que permite calcular sus rnomentos.
fsta función tiene Ia propiedad de que, al igual que la función de distribución, caracteriza de manera
:rica a la ley de probabilidad de la que proviene
Definición (Función generadora de momentos) La función generadora de momentos (f.g.m)
ie la variable aleator"ia X es la función
M(t):E("t"),
iefinida para valores reales de ú tales que la esperanza existe.
- . función generadora de momentos se utiliza tanto para variables aleatorias discretas como continuas.
Ejemplos
- Encontrar l¿ función generadora de momentos de la variable aleatoria cuya función probabilidad
CS
Solución: Resulta que
I[(t) : E("t"):|pr"tr
k
: 0.2 e-at * 0,3 e6¿ f 0.5 e1o¿
Hallar la función generadora de momentos de una variable aleatoria cuya función de densidad es
rIr, ' I -. si -1<r(3;f\L;): \ 4
[ 0. caso cont rario.
Solttciór¿: Tenernos que
r- siguiente resu.ltado
:-:rpleo de la f.g.m.
M(t) : E ("'')
^!)¿ ^- Lt: -(
4t
de cualquier orden
: lt ,et' f @) o' : l:, "t'!d,, :4
momentos
x I -4 I 6 I 10
p 102 | 0.3 | 0.5
nos indica córno se pueden obtener los con el
110 Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
Es decir, el k-ésimo momento de una variable aleatoria se calcula como la derivacla de orden k de la
f.g.-., evaluada en cero.
Observación. Se tiene que E(X) : Ft y Var(X) : Fz - F?.
Ejemplos
1. Hallar la varianza de la variable aleatoria cuya función probabilidad es
Teorema. Sea X con furrción generaclora de rnomentos,4f (rl), con derivadas continuas dc cualquier
orden; entonces,
.,_ qlxu): j-nt,,,lI-Ik-L \-'/- dj", tr,,,=o
Soluc'ión: Antes calculamos que il{(ú) : 0.2 e-4t * 0.3 e6¿ * 0.5 e10ú; por tanto,
: _0.8e-at * 1.8e6¿ * belo¿
: 3.2e-at * 10.8e6¿ f 50e10Ú.
eJL _ e-LM(t):
(3t-1)e3¿*(1-t)e-r
¡t2+t,
(st' - 6t + 2) e3t - ',:r - l:
.1
aual
t,)
o.-
dt2 
AI ft)
Entonces,
Solución,: Ya calculamos que
ftnup¡: -0.8e-a(o) + 1.8"u(o) -¡ 5"10(0) : 6,
#* ro, : 3,2e-_4(o) + 10.8e6(0) f b0e10(0) : G4.
(l
I@):l q,'si -1<r(3;
[ 0, caso conrrario.
ltt :
ltz :
Por tanto, Var(X) : p2 - u?:64 - (6)2 :29.
2. Hallar la varianza de la variable aleatoria cuya función de densidad es
!u,rt
dt
#,u,
.-)
x I -4 I 6 I r0
p10.2 10.3 10.5
Por tanto,
Puesto que 1,1(ú) no está definida
regla de L'Hospital; entonces,
3,7. Ejercicios
para l, : 0. para hallar *r*r|,
111
¿2
,ljz 
M (0) aplicaremos la
trt : 4*g:
CN
*Lurn*l
¿3
ttz : #*ror: ls w(Q* 
- 6t + 
?r"" 
- (t2 + zt + 2) et)
ors @tó)
Por lo tanto,
¿2
ñ ((st-1)e3¿+(t+t)e-¿) -1,
Var(X) : pz- Lr?:
c) Var(-X);
d) o(-2x);
b) fy(r):lrl. c)fx@):t-lzl.
Iím
f+0
56:-
24
56.4
243
l. Halle la esperanza y la varianza de las variables aleatorias discretas definidas por
Se escoge aleatoriamente un número de conjunto $ : {-1;0; 1}. Sea X el número escogido.
Encuentre su valor esperado, La varianza y la desviación estándar de X.
¿Existe una variable aleatoria X que cumple qLre E(X - 2) :8 y que E ((X + 1)2) : 120?
Si X es una variable aleatoria con E(X) : 50 y Var(X) : 15. Encuentre:
3.7. Ejercicios
a) E (x2);
b) E(-x);
e) E(3x + 10);
f) Var(3x + 10).
Sean X, Y y Z tres variables aleatorias independientes, cada nna con media p, y varianza o2.
a) Encuentre la esperanzay la varianza de,S: X -lY 1- Z;
b) Encuentre Ia espera\za y la varianza de ? : 3X;
c) Calcule la esperanza y Ia varianza d.e A: \IjA,
3
d) Encuentre la esperanza de 52 y de A2.
Sea X una variable aleatoria definida en el intervalo l-1;11 y sea f x(") su función de densidad.
Encuentre P(X) V Var(X) si:
I
a) Jx\r): r; d) f x@) :t '.
Encuentre la esperanza y desviación estándal de las variables aleatorias definidas mediante las
leyes:
f 0. si r ( l;
.) r(,) :{ +, si 1(.c14;
I t, sir>4.
xl-0.7t10.24 10.61
pl 0.2 10.5 10.3
Yt 2 t 4 t 5 I 6
p 10.3 10.1 10.2 10.4
t12 Capítulo 3, Variables Aleatorías, Esperattza y Varianza
c)
11.
Una variable aleatoria X toma los valores 4, 6 y o con probabilidades Pr(X - 4) : 0.5, Pr(X :
6) : 0.3 y Pr(X : a) : p. Si se sabe que 1a esperanza de X es igual a 6, halle los valores de p
ya.
Halle la varianza de una variable aleatoria Z q:ue solo puede tomar dos valores, el uno el doble
del otro, con la misma probabilidad, si se sabe que E(Z) :0.9.
I-a variable aleatoria discreta X tiene solamente dos posibles valores: rr y fr2, además 11 1 12.
La probabilidad de que X tome el valor 11 es igual a 0.2. Halle Ia ley de distribución de X.
conociendo la esperanza E(X) :2.6 y la desviación estándar o : 0.8.
Una variable aleatoria X puede tomar tres valorest r,1 : -I, 12:0 y 13:1. Si se conocen las
esperanzas matemáticas E(X) :0.1y E(X') :0.8, enci-r.entre las probabilidades Pt,Pz yp¡, de
los I'alores rt, 12 y 13) respectivamente.
12. La variable aleatolia X tiene ítnicamente tres posibles'u.alores rr:1,:x2 y x3 (rt < rz <'J4).
Las probabilidades de que X torne los valores rr y 12 son respectivamente iguales a 0.3 ¡,'
A.2. Determine la ley de distribución de X, conociendo Ia esperanza E(X) :2.2 y la varianza
Var(X) :0.76.
i3. La variable aleatoria X tiene función e distribución
0, parar12l
arlb, para21r14;
1, parar>4.
F(r) :
a) I{alle e1 valor de las constantes cr y b;
b) Determine su función de densidad;
c) Halle 1as probabilidades: Pr(1 < X < 3) y Pr(X ,2.5);
d) Encuentre su esperanza y sr-l varlanza.
74. Suponga que se escoge un núrmero real X en el intervato [2; 10] con urra función de densidad de
Ia forma f (r) : Cz, donde C es una constante.
a) Halle el valor de C;
b) Calcule Pr(D), donde ¡1 : 13;71;
c) Encuentre Pr(X > 5), Pr(X < 7) y Pr(X2 - 72X * 35 > 0):
d) Encuentre la espera\za y la varianza de X.
b)
( o sir!1;
, L2-r'l:lr): { - si11.r.<2;t2
I t. sir)2.
r,-.. I Zr. si z e (0. l):/(rt :l o. sir((0, 1).
¡, ..\ Í - *frt * Br - l2).si r € (-5. -3):f (t:): < ))'' 
I O, 
-- 
caso contrario.
(t. si re [1,2]:f(r):1 '
I o, si zl11.2l.
(Determine primero el valor de c.)
d)
e)
8
q
10
d
3.7. 4jercicios 113
15. Uu cstudiante rinde ttnil plr-reba consisterrte en 2 probleuras de elección múrltiple. La primcra ticrrc
3 posiblcs resprtest:rs y la scgurrda 5. El estrrcliante cscoge las 2 r'espuestas al ¿rz¿rr. Encuentl-e:
La ley qr,re ciescribe cl núrmero de respuestas cortcctas X del estucliantc;
El nírmero esperado, E(X), de respr-restas correctas;
La valianza. Vur (.Y).
tlna organizac:íón benéfica realiza una rifa para conseguir fondos. cn la que sc vendieron 10000
boletos, a 4 dólales cada uno. E1 prerrio es un antomóvil de 12 000 dólares. Si un ciudadarro
compra 2 boletos, ¿cuál es la ganancia esperada del comprador de los boletos?
IJna persona participa en un concurso de la televisión. Le hacen una pregunta con 5 respuestas
(solo una es verdadera) si acierta, gana 10 000. Si falla le vuelven hacer otra pregunta con tres
posibles respuestas de las cuales solo una es verdadera. Si acierta, gana 1000 y si falla se le
vuelve hacer otra pregunta con solo dos respuestas si acierta, entonces no gana nada y si falla
pierde 500. El juego termina cuando la persona acierta c después de fallar la tercera pregunta.
a) Indique cuái es el espacio muestral;
b) Calcule la probabilidad de que dé una respuesta correcta;
c) Halle la ganancia esperada;
d) Halle la esperanza y la varianza de Ia variable aleatoria que describe el número de preguntas
realizadas al concursante.
Se asegura un vehículo de 50 000 dólares por su valor total, pagando una plima de C. Si la
probabilidad de robo en un año es de 0.02, ¿cuál es el valor de la prima que debe cobrar la
compañía de seguros, si espera ganar 200 dólares?
Si Roberto termina sus estudios en Junio, podrá disfrutar de una beca para poder realizar un
curso de especialización con todos los gastos pagados. Si aprueba en Septiembre, la beca sólo le
cubrirá el 40% de los gastos. Si no consigue aprobar, también realizará el curso pero abonando
50000 dólares, que es 1o que cuesta. Roberto sabe que la probabilidad de aprobar en Junio es
sólo de un 10%, mientras que la de aprobar en Septiembre es de:un 4ATa.
Halle la distribución de probabilidad del costo del curso de especialización;
Determine el valor esperado de dicha variable.
:0, Una agencia que renta autos tiene disponibles 4 carros todo terreno, para alquilarlos. El precio
de alquiler de cada carro es 60 dólares diarios. En un estudio de mercado el propietario ha
determinado el siguiente modelo probabilÍstico sobre la demanda de estos autos:
a)
b)
c)
6
9
a)
b)
Demanda Probabilidad
0
1
2
c
r)
4
5
()
0.05
0.10
0.20
0.25
0.20
0.15
0.05
Además, en el mismo estudio ha encontrado que sus gastos diarios son: 20 dólares por alquiler
del local y 15 por pago a ul empleado.
lL4 Capítulo 3. Variables Alcatarias, Esperanza y Vatiai;za
C¡rlcttltt r:l tLítrrtelo csp<:r'aclo dc carlc-'s tocl,r tellerro <¡re la agencia alqr-',il.rrri urr rlÍa (;Lralquiera;
CalcrLl<-r ltr girrrnirciir cli¿rli¿ csperad a:
Caicule Ia <l¡:sviación cst¡inclal cle lii gzrrranr;iir
poltafolio r-lc invcrsi<irr sig-ue r:l .,iguicltc: (iselr€r1ir lrlolrabilístic:o:
Cornpañía Ganancia Probabilidad , Cornpañía Ganancia Probabilidad
a)
l,)
,')
Urr'21
Calcule Ia esperanza y la dcsviación cstJrndar de la ganancia de una invcrsión en este portafolio.
22.Uncírculoderaclio1eszonificaclcen10"írculoscorcélrtricosd.eradios
10' 10" "' 10
lanza un dardo sobre el círculo, si éstc cac en la zona ccmprerdida ertre los cír'culos de radios
i^"lJellar:zad.organa10-idólalcs, i:0,l,...,g.SeaXlacantidaddedineroganaclo,i0 10
a) Halle Ia ley de la variable aleatolia X;
b) Calcule su esperanza y su varianza.
23. EI espesor del recubrimiento de unos cables tiene funciórr de densidud ry, corr 100 l1rn <:r <
2ao ¡tm. 
'r'¿
a) Determirre la media y la varianza del espesor del recublimiento;
b) Si el costo del recubrimiento es de 0.5 délares por micrómetro de espesor, ¿,cuál es el costo
medio por recubrir los cables?
Un supermercado tiene una dcmanda dialia variable X de la cantrdad de caile que vende, de
tal manera que X (medida en cientos de krlogramos) tiene una funcrón cie densidad
( 1r'. sio( r<4'f@):1oq
|. 0, caso contrario.
a) Calcule eI valor esperado de Ia cantidad de carne demandada y su desviación estárrdar;
b) Si la ganancia está dada por Y :2X - 0.5. Calcule Ia ganancia esperada y su varianza,
La longitud de ciertos gusanos se distribuye según la función dc densidad
0.0r02
0.0346
0.0860
0.rs42
0.212:1
¡z
I@): I ¿@ - 1)(3 - 'c)' si 1 ( '¿'( 3:
L 0, c¿rso contrarirt.
a) Calcule la esperanza y la varianza dc la longitud clc los gnsanos:
b) Si para un estudio se considerarán aqrrellos eje:nplares clue ierrr¿r.n una longitud entre 1.7
cmy 2.4 cm, calcule el porcentaje cle gusanos que tienen es1-a calacter'ística.
26. El tiempo de uso diario de la red Internet en Lrna oficina tiene p,-r1 :r,;r-ción cie densidad (medida
en horas) a
( gr2(g - ,\f("):{'-ñr-' sio(¡(s:
[ 0, carco conira:- .
24.
25.
F
G
H
I
.I
250
350
450
55t)
650
0.2r23
0.1542
0.0860
0.0346
0.0156
3.7. Ejercicios r-15
:3
I
a) Calcrrle cl v¿rlot eslrclaclo y la virriarrza rlcl tieurpo <.lialio clc rlso de l¿r lecl Intelnel,.
lt) El tictlitct cle ttso ilc Irrtcrrrcl' crlcsta 2 clólares pol hora. C¿Llcule el v¿r,lor esperiiclo v lzl
clesviat:ióu estárrdat ck:l costr¡ scur¡-n¿ri (cn 5 clÍas laLorablcs) por el citilrio rrso.
La lcy cle 1tloltabiliclacl rlue rlesclibc la clistarrr'lia (cn inctros) a Ia. <¡-re un atlet¿r lanza la,jabirlina
CS
[. *t ,.,, (+) . si :¿ c [0, lon2];,[(t'¡: { 20zr \10n/
I O. caqo corrtr.flrio.
a) Halle la probairilicl¿rd de qLre rula jal;alir'a lanz¡id¿r llcgue a nna dist¿rncia mayor quc 60 m;
b) Determinc el valor esperado dc Ia distancia a la que llr:ga la jabalina;
c) Halle Ia varianza y la desviación estándar de la distancia cubielta por la jabalina.
Dcmuestre quc la ebperanza y la valianza de Ia variable aleatoria discreta definida por
Pr(X : k) :pqk, h : 0,1,2,...
con q: L -p,r.ieren claclas por E(X) :! y Var(X) : +.pp'
Sea X una variable aleatoria discrcta que pucde tomar valores enteros, definicla por
Pr(X: r¡-l a' Pata'r_-1;
I ft - a)2n', para ?' :0.7,2,,..
para elgún a cn (0,1).
a) Pruebe que la función de probabilidad está bien definida.
b) Demuestre que E(X) : g
:'-. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes. Si X toma los valores 3, 1y 2 con pro-
babilidacles que son los 3 términos de una progresión aritmética cuya diferencia es j; mientras
tanto, Y tonta los valores 2,7 y 0 con probabilidades que forman una progresión geométrica de
I
razón.r. Calcule la esperanzade XY +2Y - X.
:'- . Dadas las variables aleatorias independientes X y Y, cuyas funciones de densidad son:
Calcule:
a) E(x t Y); b) E(2x - 3Y + 5); c) Yar( X -2Y -3).
Las variablcs aleatorias X1, X2, . . . , X,, son independientcs e igualmente distribuiclas, tales que
Pr(X¿- 1) : Pr(X¿: -f) : *,
Pr(Xn : O) : *, i: I,2,...,fr.z
Halle la esperanza matemática y la varianzadela variable aleatoria Sn: Xrt Xz*... * Xr.
rx(,) : {3:' LJ"'"ik*," rv(v) : { t^' ..-l]l ''[ 0, caso contlario.
116 Capítulo 3. Variables Aleatorias, Esperanza y Varianza
33. Las variablcs aleatolias X1 , X2, . .. , Xrr,Y,Yz,. . . ,Y,, son independicntes. Pongamos
Sr,: Xt t Xz + "'I Xr,,,
7,, - X1Y1 I X2Y2+ -. . + X,,Y,,.
Halle E(,5,,,), E(7',), Var(.9,,) y Var(T,,) si
E(X¡,) : a, Var(X¡) : s2
Pr(Y¿ :1) :p, Pr(Y¿ -0) : q:l-It, k:I,2,'..,n.
:14. Para las variables aleatorias que tienen las siguientes Ieyes, encuentre Ia función generadora de
momentos v, mediante esta función, halle la esperanza y la v rtanza".
¡1
I ;. si z € 1-2,4):
I o. si r ( (-2,4).
( e-3'. siz)0
I o, sir<ob)
d) /(") :
e) /(r) :
c)
Sean X y Y dos variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con f.g.-. M(t)
Demuestre qtte My¡y(t): Mx(t)llv(t) y qlue My-Y(t): Mx(t)M\'(-t)-
sea X con f.g.m.Mx(t), y sean a y b dos constantes. Demuestre que Moy¡6(t):"'btwx(ot).
t) f(r):f tsen3r' si tt"tI'
[. 0, caso contrario.
35.
36.
Yl2l4l5 I 6
p 1 0.3 1 0.1 1 0.2 10.4
p 10.2 10,5 10.3
Capítulo 4
Principales Distribuciones de Probab¡lidad
Hay que erplorar sistemáticamente el azar.
Facultad de Letras, París.
:r este capítulo se presentan, en detalle, algunos tipos de leyes que siguen las variables aleatorias, que
:f,arecen frecuentemente en problemas prácticos y cuyas propiedades deben ser conocidas.
-{ una variable aleatoria X que sigue una ley L de parámetros (pr,pz) Ia notaremos como X - L(pt,pz).
{.1. Distribución uniforme discreta
lla variable aleatoria X, que puede tomar un núrmero
-,,-. cuales tiene la misma probabilidad de ocurrir, se dice
:':creta. Es decir,
Pr(X: k-
finito de valores, 7,2, ..., n, cada uno de
que sigue una ley de distribución uniforme
L,2,''',n'1k): -,
TL
E(X) : n*7
: :U Vaflanza
^2 -'tVarlX)
t2
- 
' equiprobabilidad es la forma m¿ís obvia de asignar probabilidades dentro de un fenómeno aleato-
:-,- cuyo comportarniento es desconocido. Esta ley aparece en los jr.regos de azar en los que todos
r,s jugadores tienen iguales posibilidades; además, esta ley es la básica en la simulación de eventos
u,=atorios mediante comput adora.
E¡emplos
-. Se lanza rrn dado en folm¿r de octaedro, considerando la variable ale¿-Ltoria que describe el nrimero
de puntos que aparece. Detelnlirrar su esperanza y varlarlza.
717
118 Capítulo 4. Principales
Sol,tt,c'i,ón: Sc tir:rre que ?¿ - B )' sr: asigrtzr
E(,Y)
Var(X) :
E(x) :
Var(X) :
D istr ibttciones de P rob abilidad
lir probabiliti¿rl Pt (X : i) : 1; ,,trt,rt,""r,,8
¡r-F1
2
n,2 -I
8+1
,2
64-r
(l
,
27
12
2. Una máquina registra, en rninutos conipletos, la di.felencia de tiernpo en e1 paso cic c¿rrrriones
por cierto lugar de la carretera. Se sabe clue ia diferencia máxima puede ser 9 rninutos. Si se
asrlme qne los arril-ros son aleatolios, calculal cl tiempo qlle se es1;eraría exista errtlc dos ¿rniJ¡os
consecutivos, su varianza y desviación estándar.
Soluci,ón: La variable aleatoria puede tomar los valores 7,2, ..., 9, que suponemos tiene dis-
tribución uniforme, por Io tanto,
E(x) : '+]:nrt:5min,22
Var(X) : +: \/:6.62min2,
o : J6.6? : 2.58 min.
3. Un reloj está descompuesto y suena) aleatoriamente, a la hora en punto; es decir, puede sonar
a Ia una, a las dos, . .., a las doce; dando ese mismo número de campanadas. Determinar la
esperanza y varianza de la vari¿rble aleatoria que describe el núrmero de campanadas que se habrá
de esperar que dé el relo.j.
Solttción: Encontremos la esperanza y la varianza, considerando n: 12:
nll 12+l
- 6.5 h,22
n2 -r L44-I
72 72
4.2. Distribución hipergeométrica
Nos planteamos el siguiente problema: en una urna se tienen ly' bolas, n de las cuales son rojas y las
N -n restantes negras, de las cuales se extraen al azar r bolas; investigaremos la probabilidad de qne
el grupo eiegido contenga exactamente k bolas rojas. Aquí, k puecle ser cualquier entero entrc cclo l
TL A T.
l,a probabilidad es
Pr'(X : /,') : Cf,C'f!,,ci
Si consideramos l¿ proporción de irolas rojas en la composición inícial de bolas contenidas en la urna
n,
p : I y q : I- p, la fórmula de Ia probabilidad puede expresalse colno' N"
Ck,,,Ch-"*
Pr(X: tt): ff, A:0. 1,...,mín{Np,r},
por Io que la probabilidad p de obtener una bola roja se puede introducir como un parárnetro que
define la ley.
1')
11.92 h2
4.2. Distribución hipergeornétrica 119
-\ ttrta variable ¿rlc¿toti¿r X c¡-rer sigue una ley hipelgeornétlica cle lralá,rnetlos (Iy',n,r) se la uota
.rrcr li;rItl c tl(A'. r¿. r').
Lir csp<rlauza cs
'.' la rrarianza
EIX) :'"' -,'n.i\/
vartx\:rL(l_ " ' /A/-r\ /l/-r\,u¡\-, i, ¡/ \' 1,,) (,^,, _ r ) 
: rr(, -ttt (¡v _ r /
Esta distribución de probabilidad surge en el análisis de muestras en control de la calidad de lotes
ie productos (en Ios cuales hay artículos útiles y defectuosos), en estudios censales de poblaciones
:nimales y al realizar muestreo sin reposición.
- a siguiente fórmula de recurrencia facilita el cálculo iterativo de las probabilidades de la leyl:
(,nú-n)!(N-r)!
Po: ¡/!(¡/ -n-r)l
n'll-k r-17-k
Pk : Pn-r f ñ_n_r+k, k : I,2,.. .,T.
Ejemplos
-. En ttn grupo de 12 estudiantes 8 son sobresalientes. Por Iista se escogieron 9 al azar. a) ¿Cuál es
la probabilidad de que entre los estudiantes seleccionados hayan 5 sobresalientes?; b) ¿Cuántos
estudiantes sobresalientes se espera encontrar entre los seleccionados?
SoIución:
a) Si consideramos la variable aleatoria Z: <<Número de estudiantes sobresalientes entre los 9
escogidos>>, se tiene:
Total de estudiantes, N :72;
Total de estudiantes sobresalientes, n:8;
Total de estudiantes escogidos, r :9;
Número de estudiantes sobresalientes escogidos, k : 5.
Por Io tanto, Z - 11(72,8,9) y
Pr(Z :5)
b) Calctrlemos la esperanza de Z:
E(Z):
Se esperaría encontrar 6 sobresalientes.
Drane, J. W., Cao, S., lVang, L. y Postelnicu, T. (1993), "Limiting Forms of Probability \,Iass Functions via Recur-
-:- re Formulas," T he American Statist'icia'n, 47, 269-27 4.
8! 4l
: elqi : 5!3t4CI - 14c?, 12t - 55
9!3!
rn 9x8
¡'¡ 12
L20 Capítulo 4. Púncipales Distribuciones de Probabilídad
En trn contlol de calidacl inch.rstli¿rl se ton¿r un lote dc 10 lriezas l)¿lra nna irrsirelción. ELr el lotc
Luy 8 piczas correct¿rs. Sr: tottiart al azat2 piezas. Form¿rr lil lcy clc clistlil.,rrcirin clel nírrnero clc
picz:rs corlcctas cntrc 1¿rs escogi<lir"s .y calcrrltrl su esl)eranz¿1.
Sc¡ht,c'ió'r¿: La variable aleatori¿r. l'(nirmcro c-le piezas correctas entre las escogiclas) tiene los
siguientes r,¿lores: zt : 0, L2:7, :t:3 : ).
Ernplearerrios la ley hipergeométlica con A¡:10 (rrúrmero total cle piezas), ¡¿: B (núrrncro total
de piezas correcta^s) y r :2 (tarnairo de Ia muestra); es decir, Y - ft(10,8,2), obteniendo:
Pr'()/ : 0) :
Pr(Y: 1) :
C3C3
45
Bx7
Ix2
c?n
1
- 10x9 -
1
4,)
28
4545
7x2
c¿c¿ 8x2 16
45c?o
Pr()':2):W
Formemos la ley de distribución buscada:
Yl o | 1 | 2w
La esperanza es
E(Y) :6 ¡ 28+'2x-:1.6.
45
116
-+1x-45 45
4.3. Distribuciones de Bernoulli y binomial
Si al realizar un experimento una vez, solo hay dos resultados posibles, se tiene una prueba de Bernoulli.
Se acosttrmbra referirse a uno de los resultados corno <<ér'ito>>) qlle aparece con probabilidad p, y al
otro resultado como <<fracaso>>, que sucede con probabilidad g. Es evidente que p y q sol no negativos
y que Pl q: L.
Generalmente, se define la variable aleatoria que sigue una ley de Bernoulli asÍ:
La ley de probabilidad es
Pr(X:r):p,
La esperanza y la varianza son iguales a:
E(X) :'p,
Pr(X:0) :t-p:q.
Vat'(X): pq.
La ley de Belnoulli desempeña un papel fundamental en el análisis de fenómenos en los cuales solo se
tienen dos resultados mutuamente excluyentes, como es el caso de muchas preguntas en todo tipo de
encuestas o Ia cleterminación del sexo de los recién nacidos.
4.3. Distribuciones de Bernoulli y binomial
Ejernplos
':. El m¿is ciolrocido es r:1 clel l¿trrzaruiicnto de una monecla hornogí:tr<tir, ac¡rí 2r
X-
L2L
Si Lay
Pr(X : 0) :0.48, Pr(X : 1) :0.S2.
reah.za una sucesión de n pruebas de Bernoulli e interesa conocer el número de
al margen del orden en que ellos se presenten. EI nirmero de éxitos puede ser 0,
I
'I ,
desequiiiblio en Ia monecla p v .1 son clistintos cle I.
2
Consi<lór'cse el experimento cousistente en Lanzar un dado y la variabie aleatori¿r X: <<el nírmero
de Jrnntos es nr.ayor que 4>>. Entorrces.
v I t. si c*., € t5. tj):
^ : 1 o, si c..r € {1,2,3,4}.
y las probabilidades son
Pr(X : o) : 3, Pr(X : t) : 1.
Según datos censales se ha establecido que en la población ecuatoriana el 52% lo constituyen
Ias mujeres y eJ. 48 % restante los hombres. Si se toma una persona al azar y se quiere conocer
su sexo, se tiene
! t, si es mujer;
I 0, si es hombre
v
: -pongamos que se
-ritos>> obtenidos,
'- 2' "', n'
:- ilama binomial a la ley de distribución de una variable aleatoria discreta X que describe el número' ie éxitos en una sucesión de n pruebas de Bernoulli independientes, en cada una de las cuales la
-:.,babilidad de éxito es igual a p.
-' ley de distribución binomial fue descubierta por James Bernoulli, quien Ia dejó escrita en su obrat-'; Conjectandi,, ptblicada en 1713, después de su muerte ocurrida en 1705.
-' probabilidad se calcula mediante
Pr(X : k) : Ckpkq'"-k, k :0,I,...,fr.
tr- -a variable aleatoria X que sigue una ley binomial de parámetros n y p se la notará como X -
3ir(.n,p).
:- -\ - Bin(n,p), se tiene que
E(X) : n'P, Var(X) - nPQ'
-- ,iistribución binomial tiene amplia aplicación en Ia teoría de mr.restreo cuando se puede contestar
r '-:ra pregunta írnicamente con dos opciones (por ejemplo SI-NO).
; -álculo de ias probabilidades puede ser un proceso difícil porque los factoriales en los coeficientes
--- -,rriales crecen muy rápido, mientras que las potencias de p y q decrecen rápidamente. Por estas
:-r-)nes se utiliza la siguiente fórmula recursiva para su cálculo2:
Po : (l-p)"
n-._l-l; p
pk : pk,I--------;- l--, ff : I. Z)... jll.K I-P
-)rane, J. U/. y otros (1994), op. cit
122 Capítulo 4. Principales Distribuciones de Probabilidad
Ejemplos
1. Su¡>ongamos que en r,rna población existen igual nirmero cle holnbres y de rnqjeres y consideremos
aquellas familias que tienen 4 hi.jos.
a) Formar Ia ley de Ia variable aleatoria que describe el núrmero de hijos varones en dichas
familias.
b) Calcular la probabilidad de que en una de estas familias haya miís de un hijo varón.
c) ¿Cuántos hijos varones se espera que haya en una familia que tiene 4 hijos?
Soluci,ón: Sat 1)emos que p : t y el número total de hijos es n 
: 4. Entonces, Ia variable
aleatoria X: <<Número de hijos varones>>, sigue una ley binomial de parámetros (4,|f 2); o sea,
X - Bin(4,t12).
a) Determinemos la probabilidades correspondientes.
o Si en la familia no hay ningún varón, k : 0:
o Si hay un varón, k: I:
o Si hay dos varones, k:2:
Pr(X
o Si hay tres varones, /c : 3:
o Si hay cuatro varones) le:4:
Pr(x: o) : c3 (;)'(;)'-': *
Pr(x:1) : cl (;)'(;)^-': i
:2) : 
"1(;)' (;) 
n-' :z
Pr(X:3) : cl (;)'(;)'-': i
Pr(X : 4) : ct(;)' (;)*^: *
xl o I r I z ls | ¿
e I Llt6 l114l3lB I rl4 | t¡to
b) Debemos calcular Pr(X > 1) : Pr(X :2) -f Pr(X:3) +fr(X: a;. Esta probabilidad,
también se puede calcular mediante el evento complementario:
Pr(X>1) : 1-Pr(X<1) :1-[Pr(X:0) *Pr(X:1)]
/r 1\ 11
lfrl'\to't)-tc'
c) EI número esperado de hijos varones se calcula mediante la esperanza de Ia variable aleato
ria:
E(X): nP:4'1:Z'/'2
De manera que se esperaría que en una familia que tiene cuatro hijos, dos sean varones.
De manera que
4.3. Distribuciones de Bernoulli y binornial L23
Un dispositivo est¿i cornpuesto 1>or tres elementos que traba.jan independientemente. La pro-
l¡abiliclad cle f¿rlla de c¿rda elemento en Lrrr día es igual a 0.1. Formar la ley de distribución del
rrúmero de elementos qr-re fallan en r-ru día.
Soluciórt: La variable aieatoria X (<nirmero de elernentos que fallan>>) puede tomar los siguientes
valoles:
z1 : 0 (ningún elemento falló), 12: I (falló un solo elemento), 13 : 2 (fallaron dos elementos),
fr4:3 (fallaron tres elementos).
Las probabilidades de fallo de cada uno de los elementos son iguales entre si, entonces es aplicable
la ley binomial; por lo tanto, X - Bin(3,0.1):
pt : Pr(X : 0) : c3(o.t)o(0.9)' : 1. (0.1)0. (0.9)' :0.729,
pz : Pr(x : 1) : cl(o.t)t(0.9)' : 3.0.1. (0.9)2 :0.243,
ps : Pr(x : 2) : c3(o.t)'(0.9)t : 3. (0.1)2 .0.9 : 0.027,
p+ : Pr(X : 3) : c3(0.l)t(0.9)o : 1. (0.1)3. (0.9)0 :0.001.
Bn resumen,
3. Un examen consta de ocho preguntas de elección múltiple, cada una de ellas ofrece cinco al-
ternativas, de las cuales solo una es correcta. Para aprobar ei examen es necesario contestar
correctamente al menos tres preguntas. Si un estudiante se propone responder a las preguntas
al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente todas las preguntas?;
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen?
Solución: La probabilidad de responder correctamente a cualquier pregunta es p:
Sea Z: <<número de pregurrtas correctamente contestadas>>, con Z -Bin(8,0.2).
a) Debemos determinar la probabilidad del evento Z :8:
Pr(Z :8) : C3(0.2)t(O.g)t-t : 1 . (0.2)8 . 1 : 0.00000256.
Lo que nos indica que es muy difícil que adivine todas las respuestas.
b) Para aprobar se debe contestar correctamente al menos tres preguntas, por lo tanto Z > 3-
Pr(Z>3): I-P¡(Z<3)
: r - lPr(Z : 0) * Pr(Z : I) +Pr(Z :2))
I : o.r.
b
: 1 - c3(0.2)o(o.e)t - cA(0.2)1(0.8)' - c!10.2¡210.s¡6
: 0.20308.
Una agencia de turismo ofrece viajes a la amazonía. La utilidad mínima que le reporta uno
de estos viajes es 6 dólares por cliente. Ademiis, ofrece dos planes especiales, A y B. Por un
plan de tipo A, obtiene una ganancia adicional de B dólares y por un plan de tipo B, 13 dólares.
Además, se sabe que el 60% de los clientes que contratan planes especiales prefieren uno de
tipo A. Si una semana, la agencia vendió 25 viajes a la amazonía, 20 de los cuales no fueron
especiales, ¿cuál es la ganancia esperada?
Solución: La agencia vendió 25 planes: 20 normales y 5 especiales.
f24 Capítulo 4. Principales Distribuciones de Probabilidad
Sea X la irariable <<núrrnero de planes de tipo A venclidosrr, X - Bin(5,0.6).
L¿r utilidacl [/ c¡re le producen los via.jes vendiclos es:
U : ?5 z b.t .EX. + t3(5 - X).
,, ',1, Pi,, ,t *;*
Dado que E(X) : np : 5 x 0.6 : 3, la utilidad espe'acla es:
E(U) : 150+E(BX) +13E(5-X) :215-5E(X)
4.4. Distribuciones geométrica y binomial negativa
Consideremos una secuencia de pruebas de Bernoulli, con probabilidad de éxito p, pero en lugar de
contar el número de éxitos, nos interesa conocer el número de intentos hasta obtener el primer éxito.
Una sucesión de pruebas de este tipo se dice que forman un erperimento geométrico.
Una variable aleatoria discreta X que puede tomar un número infinito de valores I,2, . .., se dice que
sigue una ley de distribución geométrica de parámetro p (0 < p < 1), si la probabilidad de que X
tome el valor k es
Pr(X : k) : p(I - dk-t, k: I,2,. . .
A esta variable aleatoria se la nota como X - A(p). Su esperanza y su varíanza son iguales a
1
p
L-p
p2
La distribución geométrica se aplica en investigaciones de mercado y en muestreo, para conocer cuántas
compras se han de realizar en una promoción para obtener un premio.
Ejernplos
1. Si la probabilidad de que un estudiante pase una prueba de ingreso a una universidad es 0.25.
¿cuál es la probabilidad de que el estudiante pase la prueba en el cuarto intento?
Soluc'ión: En nuestro caso p : 0.25 y el número de intentos es k : 4, por lo que
Pr(X:4) : p(L-p)a-1
: 0.25(1 - 0.25)3 : 0.105.
2. En una promoción una marca de papas fritas incluye, en cada una de las fr"rndas, una de las
figuras de los tres chiflados. Si un comprador cree que hay igual número de figuras cle cada uno
de los personajes en Ia promoción, ¿cuántas fundas ha de esperar comprar para obtener las tres
figuras?
Solu"ci;ón: En Ia primera compra) siempre obtiene una figura que no se tenÍa, por Io tanto
E(X1) :1.
Para la segunda compra se tiene una probabiiidad de p2: I O" .orrr"*uir rrna figura nueva; así.
ó
el nirrnero de compras que se debe realizar para obtenerla es E(-Y3; : 1 : I
l)1
E(X) :
Var(X) :
4.4. Distribuciones geontétrica y binotttial negativa
Un¿) r'cz (luo sc ticrrcrr rlos figruirs, la Prolrabilirlad <lc crLr:(¡rrtr'¿ll la figrrtzr clrc fallrr es p.l :
lrlirlrolo rlc <:on)l)ras (1uo sc osl)et¿t lcaliz¿rr'palir olrtc:rrcll¿r cs E(-Yr) : l:3.
,P:I
El rrtirrrclc-, tc.rt¿rl rlc courl)r¿ls qtle sc elsl)e1 ¿r r'€l¿rlizal cs
125
I
-\¡cl,)
r)
E(x) : E(xr) +E(X2) +E(x;r) : I -r- 1.5 +3 : 5.5.
Así,seeSI)erarea]izar.altncrios6cotriprasc1elproc1ttcto])araobte1leI'lacoIecciórrcclrtlpleta.<
-\hora, gclrcr'¿rlicernos la iclea de l¿r lev geométrica )/ nos intcresa cl núrrnero de pnrebtrs cle Bemoulli
:recesari¿ls hast¿ obtencl exactanlente r' éxitos.
-ua variable aleatoria cliscretaX que puede tomar nn núrmero infinito de valores r,
=: dice que sigue una ley de distribución binomial ncgativa de parámetros (r, p) (r >
-r probabilidad de que X tome el valor k es
Pr(X : ¡x) : C'r--tpr'(t - r¡n-t, k : r','t" + l)r *2,...
r]_7,r'12,...,
1,0<p<1),si
:l parámetro r es el nirmero de éxitos que se desea obtener y
-\ esta variable aleatoria se la nota como X - BN(r,p). Su
E(X) : L
p
l-nVar(X) : ,;
\ la ley cle distlibución l;inornial negativtr tamJrién se le llama
¡r es la probabilidad de obtener un éxito.
esperanza y su varianza son iguales a
distr"ibttczón d,e Pa,sco,l y tierre las nrisrnas
.:licaciones que la ley geornétlica.
Ejemplo. Una máquina. que está clañacla) ellvasa lat¿rs cle collserva de una en una y de rnauela
--,lependiente. Se considera que el 5% de lo envasado resulta defectuoso. Si Ia máquina se detiene
::lenas produce el tercer defectuoso:
¿Cuál es el nirmero de Iatas producidas hasta qlle se detiene Ia máquina?
¿Cuál es Ia probabilidad de que la máquina se detenga en la novena lata producida?
¿Cuál es Ia probabilidad de que se detenga sin producir ninguna lata buena?
: 'l.ució'n: Definimos la variable aleatoria X: <<número <le latas producidas hasta que hayan 3 clefec-
--rsas>>; X - BN(3,0.05).
a) Calculemos la esper¿rnza de X:
E(X) :l:,1 --Or-t.p 0.05
Se espcrarítr ploclucir 60 lat¿rs htrsttr quc sr: detenga la máquirra.
b) Calcrrlemos Pr(X : 9):
Pr'(X : O; : CN I(0.05)3(1 - 0.Os;0-'r : 0.00257.
c) Quc ningunl lata ploducid¿r fuc bLrcna, significa qr.re las 3 plirueras l¿Lt¿s fueron defectuosas; es
decir, A; : 3.
Pr(X : 3) : C3_1(0.05)3(1 - 0.OS;:-;t : 0.000125.
a)
b)
c)
t26 Capítulo 4.
4.5. Distribución de
Principales Distribuciones de P robabilidad
Poisson
Uria r'¿rriable ¿le¿rtoria <liscret¿ X quc puedc
quc sigue una ley cle Poisson de pirrámetro )
tonr¿rr rin núrrneLo infinito de valor.<ts 0, 1, 2, .,., sc dice
() > 0), si la probabilid¿d cle qrre X tome el r,¿lor k es
"- 
)' sl':
k! , k:0,r,2,...Pr(X: k) :
A esta variable aleatoria se Ia nota como X - P(^).
Su esperanza y su varianza son, respectivamente, iguales a
E(x)
Var(X) ^,
^.
La distribución de Poisson se aplica a sucesos que se presentan en el tiempo o en el espacio, tales como
número de accidentes de tráfico, número de llamadas telefónicas a una central, número de goles que
marca un equipo en un partido, número de bacterias en una placa, entre otros.
El significado del parámetro ,\ es el promedio de aparecimiento del evento en n pruebas.
Esta ley de probabilidad es una bttena aproximación a la binomial cuando n es relativame¡te grande
(n > 30) y p pequeño (p < 0.05), poniendo ),:np
Puesto que muchas aplicaciones de esta ley dependen del tiempo, es conveniente ponerla en la siguiente
forma
^-).1r r¡rk
Pr(X : *) : \-111|, A; : 0,I,2,...,
que se la interpreta como la probabilidad de que sucedan exactamente k eventos en un intervalo de
tiempo fijo de duración ú.
Para la ley de distribución de Poisson también existe una fórmula de recurrencia para el cálculo de
las probabilidades3, dada por
-,\:e
: P*-t x k: L,2,. . .
Ejemplos
1. En la construcción de ttn edificio el núnlero de accidentes es de tres por mes. Calcular l.
probabilidad de que en un mes: a) hayan dos accidentes; b) hayatr menos de 2 accidentes; c
hayan más de 3 accidentes.
Solución: si x es la variable <<número de accidentes en un mes>>) x -p(s).
a) La probabilidad solicitada es:
PO
Pt k̂'
3Drane, J. W. y otros (1994), op. cit
e-3:12Pr(X:2):;:0.224.
b) La plobabilidad PL(X < 2) es:
Pr(X < 2)
Pr(X:4) :
b) La probabilidad buscada es:
D istribución de Poisson
"-z's(2. 
3)n _ .-66a
41 24
: Pr(X : 0) + Pr(X : 1)
e-330 e-331:
0! 1!
t27
c) Esta probabilidad cs más córnodo calcularla mediante el evento complementario:
Pr(X > 3) 
: i 'rii,i I ;;; f :li; "J'";f_:^'].: "''" 
:2) .' Pr(x : 3)l
t-( 
" 
-- 1r " 2! * o i:o'352'
El promedio de llamadas que pasan por una central telefónica en un minuto es igual a dos.
Hallar la probabilidad de que en tres minutos se hagan: a) 4 llamadas; b) menos de 4 llamadas;
c) al menos 4llamadas.
Solución: En este caso es necesario utilizar la segunda forma de la ley de Poisson con ) - 2 y
+ 
- 
D.
L 
- 
¿.
Pr(X: a) ^ll"-
a) La probabilidad de que en 3 minutos se hagan 4 llamadas es
:0.1339.
Lr=
Pr(X < 4) : Pr(X : 3) +Pr(X :2) +Pr(X : L) +Pr(X :0)
63e-6 62e-6 6re-6 60e-6:J!-21-I!-u!
: 0.1512.
c) Los eventos <<se hicieron menos de 4 llamadas> y <<se hicieron al menos 4 llamadas>> son
complementarios; por eso, su probabilidad es:
Pr(X > 4) : t- Pr(X < 4) : 1 - 0.1512 : 0.8488.
Un libro se edita con un tiraje de 1000 ejemplares. La probabilidad de que un libro esté en-
cuadernado incorrectamente es igual a 0.01. Hallar la probabilidad de que el tiraje contenga
exactamente cinco libros defectuosos.
Solu,ción: Según los datos del probleman:1000, p:0.01 y k:5. El núrmero z¿ es grande yp
pequeño, por lo que utilizaremos la distribución de Poisson. Estimamos ),: np: 1000 x 0.01 :
10.
La probabilidad buscada es
0.000045 . 105 : 0.0375.
El gerente de una fábrica planea comprar una máquina r.ueva de entre dos tipos A y B. Por
cada día de funcionarniento, el núrmero de reparaciones X que necesita Ia máquina A es una
variable aleatoria de Poisson cuya media es 0.1ú, siendo ú el tiempo de funcionamiento diario
(en horas). El número de reparaciones diarias Y de la máquina B es una variable aleatoria de
Poisson con media 0.12t. El costo diario de operación de A es C¡(t): 10ü +30X2 y para B
"-10195Pr(X:5) : < :
128 Capitttlo 4. Principales Distribtrciones de Probabilidad
as Cp(¿) : S¿ + 301'2. ¿'Cuál cle las rni'rcluirra,s cl¿r cl rnerror (:osto esPclackr, si iur clí¿r clr: tralrtr.icr
corrsisl c crL: a) 10 lror'¿is'/ 1r) 20 Lolas'l
Sol,u,t:iri¡t,: El costo cspr:raclo pzrlrL;t os
E(C.1(¿)) E(10¿ + 30X2) - 10¿ + 30E (X2)
: 10¿ + 30 lvar(x) + (E(-x))'?]
: 10¿ + 30 [o u + (0.1¿)'?]
: 13/ - 0.3/r.
Igualrnente,
E(cB(t)) : E(sr + 3oY2): 8r * 3oE ()'2)
: 8ú + 30 [Var(Y) + (E(Y))'?]
: 8¿ + 30 lo.rzr + (0.12¿)21
: 11.6¿ + 0.432*.
a) Calculemos E(C¿(10)) y E(Cs(t0)):
E(CA(10)) : 13(10)+0.3(10)2: 160
E(CB(10)) : 11.6(10)+0.432(10)2 :159.2.
Si /, : 10, el menor costo tiene Ia máquina B.
b) Ctrlculemos E(C¿(20)) y E(C6(20)):
E(C.4(20)) : 13(20) +03(20)2:380
E(CB(20)) : 11.6(20) +0.432(20)2 :404.8.
Si ú : 20, la máquina A tiene una operaciórr rnás económic¿.
4.6. Ejercicios
2.
I
Ley uniforme discreta
IJn leloj automático registra la hora a la cual llegan los empleados de una oficinzr, err troras 1'
minutos completos. Una persona puede atrasarse irasta 59 minutos luego de la hora prefijada
para entrar, caso contrario se le corrsidera corno falta. Por cada minuto de ¿rtlaso se le col¡ra
trua multa de 50 centavos. Si los tiernpos de atraso se consideran aleatorios:
a) ¿Cuánto esperará una persona que se lc ciescuente por un día que se atrasó?;
b) Si en ia oficina hay 8 persoDas) que se atlasaron 2 r'eces al mes cada nna, ¿.cuánto ser'á el
descuento global esperado ¿r estos ernpleados de la oficina?
Pala el sen'icio de transporte entre dos ciudades hay 10 buses, cle los cuales 5 son de tiPo normai
(costo clel ptrsa.le 2 dólares) y 5 sou clc tipo r:spocial (costo clel pasa.je 3 dólales). Una pclsorra
tietre que r¡i¿r.iar etrtre las dos ciudades (ida y vuelta) durante los 5 dÍas la.borables clc I¿r senran¿r.
y p¿rr'¿r tLruts¡roltalse tonta el primcr lms c¡-re apalece en es¿r mt¿l) sin difelenci¿r' el tilto; ¡.cntinto
(:)Spelzllií gastar esta lrelsona en la sem¿rua?
li.
'
4.6. 4jercicios t29
Eu ttna escuela prirnaria se registró el nrimero de palabras por minuto que lcían los estucliantes,
cricontr'¿irrclose qtle leían r-rrr rnÍnirno de B0 palablasi y Lrrr máximo dc 139. Ba.jo la suposición cle <¡rc
la variable aleatoria clrte clcsclibe el núrrnero rlc palabrtrs leíc,l¿ls est¿i uuiformcmente clistribuicla.
a) Halle la probabilidad de qlle un estudiante, seleccionado al azar', 1ea ¿l menos 100 paltrbras;
b) Determine el nrinero de palabras qlre seesperar'ía lea nn estudiante selcccionaclo al az¿lr..
Sea X una varia,trle aleatoria que sigue una ley uniforne sobre {-1,0,1}. Calcule: a) E (Xa)
para k : I,2,... ; b) Var (X*)
Ley hipergeométrica
Una variable aleatoria X tiene distribución hipergeométrícaH(7,4,5). Calcule:
a) Pr(X:3);
b) la esperanzartllízando la definición y verifíquela empleando la fórmula de E(X);
c) la varianza de X.
En una línea de control de calidad se revisan 10 artículos, determinándose que hay 3 que no
cumplen con las especificaciones. Si se escogen al azar dos artÍculos, identifique los parámetros
de la ley y halle la esperanza de la variable aleatoria X, que describe el número de piezas correctas
entre las dos escogidas.
Para llenar 4 vacantes de contador se presentan 10 personas, 7 hombres y 3 mujeres. Salen
seleccionados 3 hombres y 1 mujer. Las mujeres aclrsan a1 empleador de discriminación sexual,
por lo que le llevan a juicio. Si el juez supone que la elección fue al azar, ¿puede decirse que
existió discriminación al hacer la elección?
El examen de graduación de los abogados consta de 50 temas. La forma de examinar es la
siguiente: por sorteo se eligen 6 temas de los que hay que contestar 3 para aprobar. Si el
estudiante ha estudiado solo 30 temas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de los 6 temas sepa contestar correctamente a 3?;
b) ¿Cuál es J.a probabilidad de aprobar el examen?
Un auditor comprueba la contabilidad de una empresa y toma como muestra 3 cuentas de una
lista de B cuentas por cobrar. Calcule la probabilidad de que el auditor encuentre por Io menos
una cuenta vencida, si hay:
a) 2 cuentas vencidas entre las 8 seleccionadas;
b) 4 cuentas vencidas;
c) 7 cuentas vencidas.
Una empresa renta autos, a los que no les da el mantenimiento clebido, por lo que algunos
funcionan mal. IJn día tiene disponibles B autos para ser rentados, de los cuales 3 funcionan
mal. Ese día se rentaron 4 autos. Calcule la probabilidad de que:
a) ningún cliente haya recibido un auto que funcione mal;
b) por lo menos un cliente reciba un auto que funcione mal;
c) tres clientes reciban autos que funcionen mal.
Leyes de Bernoulli y binomial
Una variable aleatoria X tiene distribución binomial Bin(4,0.2). Calcule:
130 Capítulo 4. Principales Distribuciones de Probabilidad
a) Pr(X :2);
b) PL(X > 2);
c) Pr(X < 2);
d) E(x);
r.) Var(X).
Urra rnáquin¿r llena las ca.jas cle palillos de fósforo. En una Jrroporción del 10 % la rnáquina no
llena las cajas por completo. Se toman al azar 25 ca.jas de fósforos, calcule Ia probabilidad de
que no haya más de dos cajas incompletas.
IJna encuesta revela que el 20%o de la población es favorable a un polÍtico y el lesto es desfavo-
rable. Si se eligen seis personas al azar, se desea saber:
a) La probabilidad de que las seis personas sean desfavorables;
b) La probabilidad de que cuatro de las seis personas sean favorables.
Una determinada raza de perros tiene cuatro cachorros en cada camada. Si la probabilidad de
que un cachorro sea macho es de 0.55, se pide calcular:
a) la probabilidad de que en una camada dos exactamente sean hembras;
b) la probabilidad de que en una camada al menos dos sean hembras.
En una investigación sobre el <<rating>> de los programas de televisión se detectó que se veía una
telenovela en el canal 6 en un 28% de los hogares. En una muestra aleatoria de diez hogares,
halle Ia probabilidad de que:
a) en cinco hogares se vea Ia telenovela del canal 6;
b) ningún hogar esté sintonizando la novela.
c) al menos en dos hogares se vea la novela.
En una instalación militar que dispone de 5 radares, Ia probabilidad de que un solo radar descubra
a un avión de combate es de 0.7.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean exactamente 4 radares Ios que descubren al avión?;
b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno lo descubra?;
c) ¿De cuántos radares ha de constar la instalación para asegurarse en detectar aviones al
menos en un 98 % de las veces?
IJna aeronave dispone de 4 motores que funcionan independientemente, la probabilidad de que
falle un motor durante el vuelo es 0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que en un vuelo dado:
a) no se observen fallas?;
b) no se observe más de una falla?
c) Si un avión puede seguir volando si al menos 2 motores continúran funcionando, ¿cuál es la
probabilidad de que el avión se accidente?
Supóngase que ia tasa de infección de una enfermedad contagiosa es del 25 %. En una oficina
hay 10 personas que se vacunaron contra la enfermedad y ninguna se contagió.
a) Determine la probabilidad de que ninguna pelsona se hubiera contagiado a pesar de que no
se hubiera vacunado;
b) De este resultado, ¿deduce usted que la vacuna es efectiva?
La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de arquitecto es de 0.3. Calcule Ia
probabilidad de que de un grupo de siete estudiantes matriculados en primer curso:
t2
13
t4
15.
16
17
18
19.
a)
1.,)
c)
4.6. Ejercicios 131
los siete finalicen la calrera;
¿l rnenos dos ¿rcaben Ia carlr:r'a;
¿.De cuárrtos ¿rh.rmnos ha de ccinst¿-ir nna pronloción para ¿rsegurarse de qtte al rnenos uno
culmine sll carrera) corr una probabilidact clel 99 %?
En un estudio rnedioarnbiental se deterniinó que la plesencia de mercurio en el agua enveneua al
207o de los peces en 24 holas. Para confirmar el resultado se colocaron 20 ¡reces en un tanque
con agua contaminada. Calcule ia probabilidad de que en 24 horas:
a) sobrevivan exactamente 14 peces;
b) sobrevivan por Io menos 10 peces
c) sobrevivan cuando mucho 16 peces;
d) Calcule el núrmero de peces que se espera que sobrevivan;
e) Calcule la varianza del número de sobrevivientes.
Una compañía petrolera va a perforar 29 pozos, cada uno de ellos tiene una probabilidad de 0.1
de producir petróleo de manera rentable. A la compañía Ie cuesta 100 mil dólares perforar cada
pozo. Un pozo comercial extrae petróleo por un valor de 5 millones de dólares. Calcule:
la ganancia que espera obtener Ia compañía por Ios 29 pozos;
la desviación estándar del valor de Ia ganancia.
Una línea aérea, habiendo observado que el 5% de las personas que hacen reservación no se
presentan para el vuelo, vende 100 boletos para un avión que tiene 95 asientos. ¿Cuál es Ia
probabilidad de que, el momento del vuelo, haya un asiento disponible para cada pasajero?
En un examen se plantean 10 preguntas a las que debe responderse verdadero o falso. Un alumno
aprobará el examen si aI menos 7 respuestas son acertadas. ¿Qué probabilidad de aprobar tiene
un estudiante que responde todo al azar? ¿Y uno que sabe el 30 % de la asignatura?
Leyes geornétrica y binornial negativa
Cuando se graba un comercial de televisión, la probabilidad de que un actor recite correctamente
el diálogo de su toma es 0.3. ¿Cuál es la probabilidad que el actor recite correctamente su diálogo
en la sexta vez?
En un examen el profesor real\za varias preguntas a un estudiante. La probabilidad de que el
estudiante responda correctamente a cualquier pregunta es igual a 0.9. El profesor interrumpe
el examen apenas el estudiante manifi.esta el desconocimiento de la pregunta hecha. Se reqr-riere:
a) formar la Iey de distribución de la variable aleatoria que describe el número de preguntas
que realiza el profesor;
b) hallar el número esperado de preguntas que ha de realizar el profesor.
a)
b)
tl-)
'l
-'a. La probabilidad de que un tirador haga blanco en un solo disparo es igual a 0.2. Al tirador se
le entregan cartuchos hasta tanto no yerre el tiro.
Forme la ley de distribución que describe el número de cartuchos utilizados;
¿Cuántos cartuchos se espera que utilice el tirador?
En un examen, en el que se realizan preguntas sucesivas, para aprobar hay que contestar correc-
tamente a 10 preguntas. Suponiendo que el alumno sepa el 80 % de las respuestas, ¿cuál es la
probabilidad de que apruebe en las 12 primeras preguntas?
a)
b)
t32
28
Capítulo 4- Principales Distribuciones de Probabilidad
Urra.jr,rgacloladctenisgarracl 33%delos¡rartidosqucrealiza. Ella.jrrgtrrtienLrntornr:omientlas
rro sea eliminaclapor peldel r.rn partido.
a) Halle la probabilidad de quc sca elirninacla en cl segr-rndo particlo;
b) Si para ganar el torneo se deben ganar 5 paltidos consecritivos, ¿,cuál es la probabilidad de
que la.jugadola pierda en la final del tornco?;
c) ¿.Cuántos partidos se espela que 11egue a jugar durante cl torneo'?
{Jna marca de refrescos tiene impresas, en cada una de las tapas, una de las fi.guras de los 4
jinetes del apocalipsis, y quien retina la colección completa ganar'á un premio. Si nn comprador'
cree qlre hay igual nútnero de figulas de cada uno de los pelsona,jes en la promoción, ¿cuántos
refrescos ha de esperal comprar para ganar el premio?
Un pájaro de cierta especie come gusanos de una población muy grande. Estos glrsanos pueden
comer) a su vez) de una planta venenosa) de manera que si el pájaro come un gusano envenenado,
deja de comer gusanos ese día. Suponiendo que el 33% de la población de gusanos come de ia
planta venenosa) hallar el número medio de gusanos comidos por un pájaro en un día.
Un lepidopterista solo está interesado en los ejemplares de una clase de mariposas, que consti-
tuyen el75To de todas las mariposas de la zona. Hallelaprobabilidad de que estapersonatenga
que cazar 8 mariposas de las que no le interesan antes de encontrar:
a) un ejemplar de la clase deseada; b) tres ejemplares de la clase deseada.
En una fábrica, el departamento de contlol de calidad, revisa los lotes de piezas que entran, de
acuerdo con el siguiente criterio: se van extrayendo piezas sucesivamente y el lote es rechazado
si se encuentra Ia primer pieza defectuosa antes de la vigésima extracción. Si conocemos que el
2% de piezas son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que un lote sea rechazado?
En una fábrica, se examinan las piezas que salen de una determinada máquina. Supongamos que
si en una hora salen mas de 5 piezas defectuosas, la máquina debe ser recalibrada. Si suponemos
qrre la probabilidad de que una pieza sea defectuosa es 0.2, y es la misma para todas las piezas
fabricadas ; encontrar:
a) la probabilidad de que se tenga que recalibrar Ia máquina cuando se han inspeccionado 20
piezas;
b) la probabilidad de que se recalibre la máquina sin haber producido ninguna pieza buena;
c) El número esperado de piezas que se deben inspeccionar.
Se sabe que) aproximadamente, el 20 % de los usuarios de Windows no cierran el programa
adecuadamente" Supongamos que el Windows está instalado en una computadora pública que
es utilizada aleatoriamente por personas que actúan independientemente nnas de otras.
a) ¿Cuál es ia probabilidad de que el terccr usuario sea el primero que cierra adecuadamente
el Windows?;
b) ¿Cuál es el número medio de personas que usan Ia computadora desde el momento en qlle
se enciende hasta que alguien no cierra el programa adecuadamente?
Ley de Poisson
29
30.
31.
32.
t.f
QA
35. Sea Y una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson de medía ),:2. Calcule:
a) Pr-(Y :4):
lr) Pr'(\/ 14):
16. El prornedio cle ll¿rnaclas clue recibe urra
plolrabilidad de que en cuatro rninntos se
a) 3 llamadas:
b) rnenos de 3 llarnadas;
4.6. Ejercicios 133
c) Pr()' > 4);
d) PL(l' > 4lY > 2),
ccntlal telcfórrica cn Lur rninuto es cle 1.5. Halle la
rec:il;¿rn:
38
c) rro mouos tle crratLo y no rnás rle sjclr'.
J-
)1. Snponga quc el nir.rnelo de pilcientes que ingrcsan a I¿l sala de emergerrcia de trn hospital cn la
noche del viernes tiene una distribución de Poisson con media igual a 4. Evalúe las probabilidades
de que:
a) durante una noche haya exactamente 2 pacientes en la sala de emergencia;
b) durante la noche hayan más de 3 personas.
En un hotel, el promedio de pedidos de servicio a la habitación es igual a 2 cada media hora.
Halle la probabilidad de que en una hora se reciban:
a) 3 pedidos; b) menos de 3 pedidos; c) no menos de 3 pedidos.
19. Una fábrica de gaseosas recibió 100 botellas vacías. La probabilidad de que al transportarlas
resulte una botella rota es 0.03. Halle la probabilidad de que Ia fábrica reciba rotas:
a) exactamente dos botellas; b) más de dos; c) por lo menos una.
El lrromedio de automóviles que entran en un túrnel en una rnontaña es de un carro cada 2
minrrtos. Si un núrmero excesivo de autos entra al túrnel en un período corto de tiempo se genera
una situación peligrosa. Encuentre la probabilidad de que el núrmero de autos que entran al
tirnel en un período de 2 minutos exceda de tres.
Se supone que el núrmero de bacterias por mm3 de agua en un estanque es una variable aleatoria
X con distribución de Poisson de parámetro ) : 0.5.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en 1mm3 de agua del estanque no haya ninguna bacteria?;
b) En 40 tubos de ensayo se toman muestras de agua del estanque (1mm3 de agua en cada
tubo) . ¿,Qué distribtición sigue la variable Y: <<número de tubos de ensayo, entre los 40,
qlre no contienen bacterias>>? Calcule Pr(I' > 20);
c) Si sabemos qlre en un tubo hay bacterias, ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de
tles?
Urra planta ernbotelladora de refrescos tiene una máquina vieja para llenar botellas. La máquina
produce una ganancia de 100 dóiares por dÍa de traba.jo; sin embargo, se descompone en promedio
2 r'eces cacla 10 días. Si )' replesent¿r el núrrnero de descompostur-as clurante el funcionamiento
de la rnáquina y ú es el núrmero de días que traba.jó lzr máquina, la ganancia generada por Ia
máqr.rina se expresa por G : 100ú -50Y2. Dctermine Ia ganancia esperada en 10 días de trabajo.
En un¿ población el I por ciento de la población sufi'e de daltonismo, ¿cuál es Ia probabilidad
de quc entre 100 personas:
a) ninguna padezca de daltonismo;
b) 2 o más Io padezcan;
134 Capitulo 4. Principales Disúrib¿¡ciorres de Probabilicl¿ul
<:) , CLtiirr grarrrlc <lel¡tt scl lttr¿l lrrtt<lstl¿r ale¿rtolia (c:orr lecrrrl,lrrzo) lr,rrir (iri,, i,r lrlrrlr;rlrili,l'1, I ,lr,
rlttc al ltren()s tur¡I l)oISorr¿r tcrrg¿l <l¿ll rtrrisrrro so¿r llrirl()r o igrral ¿t ().1.1i'
]llt tttt lrosrltte rlc c;eclt'o t:l rrúru<:ro rk: ¿ir'l>olcs <;orr plirgrr pol lrcclár'c¿r )' tj(,rlr, rrrr;r <[istr ilrrr i,,rr
c-lr: Poissorr 2(10). Los ¿itl¡olcs c:ort 1.,lir¡1r'r. se tr¿rt¿rn con insccticicl¿t ¿r urL co:jt() (lo 3 rlcil¿rr(.: l)()r
át'l¡ol; ¿rrlcrnás. clr: urt costcl fijo. por rlso del r:quipo y tr'¿lir,jl)otte. igual ¿r 50 clril¿rr<ts. I{¿rllr,,'l
vaiol cspcr¿rclo y la dcsi'i¿tcióu estárLcl¡rr'<.lel cost,o total C de firrnigai'5 hect¿ilcirs rlc lrosrlrrr'.
Para cl control cle calidacl de discos para corrrplrtadora se errrl)le¿ un dispositivo clcctr'órrico <¡rrc
cltent¿r cl nirmelo de bytes defectuosos. Una marca de discos de computadora tierie rrrL plouLcr lio
<1e 0.1 bytes defectlLosos pol disco. Calculc el porcenta.je clc <liscos que:
a) rro tienen defectos;
b) tienen algúrn defecto;
c) Halle la probabilidad de que ninguno de dos discos inspeccionados, rringuno tcnga defcctos.
EI núrmero de automóviles que llegan a un estacionamiento, que tiene una capacidad de 12 ¿rLrtos.
es una variable aleatoria que sigue r-rna Iey de Poisson, con Lln promedio de 4 pol hora. Si al
inicio del día el estacionamiento está r'acío,
a) ¿cuál es la probabilidad de que se llene durante la primera hcra?;
b) Calcule la probabilidad de que lleguen menos de 30 vehículos en un turno de 8 hor-as.
Si hay en promedio, un 1 por ciento de zurdos, ¿cuál es la probabilidad de tener porlo menos 4
zrirclos entre 200 personas?
En una investigación de mercado se detelminó que el 2 por ciento de Ia pobiación torna regultrr-
rnente Llna marca de yogurt. Se escogió una muestra de 300 personas, determine Ia prolrabiii<ltrti
de que:
a) exactamente 5 personas tomen yogurt de esa marca;
b) a Io más tomen 3 personas;
c) al rnenos tomen 5 personas.
La tasa mensual de suicidios es de 4 por un millón de personas. En una ciudad cle 500 000
habitantes, halle probabilidad de que:
a) en un mes dado, hayan menos de 5 suicidios;
b) ¿Será sorprendente que durante nn año, al menos en dos meses ocurran más de 4 suicidios.'
En estudios demográficos sobre matrimoniosque tienen algúrn tipo de planificaciórr farniliar. c,i
número X de hijos por matrimonio es igual a 2, salvo ciertas clesviaciones debidas al azar. St'
ha comprobado que, o bien
X:2-(Y+1),
donde Y es nna variable de Bernoulli de parám etro p - 0.3, y ésto ocurre con probalriiiclact 'p ::
(pues se cr.rmple en el 50% cie ios matlimonios), o bien es
X:2* Z,
dorrde Z sig:ue una distribuciórt de Poisson de parámetro ,\; v esto seguudo ocul'r'e <:ou tarnbi(ll-
con probabilidact p::. Halle:
2
a) el valor de ), sabiendo que E(X) : 2;
b) la probabilidad de clue tur matrimonio terrga Lrno o d.rs hijos.
46
44
45
49.
50
47.
48.
4.7. Distribución
4.7. Distribución uniforme
-,r k)\' rlc <listiilnrc;irirr cle Plolralrilitiacl cler
L irrtcrr''-rlo lr¿. bl la funciórr rle clensirlad es
f(r):
135
(:olItllIlt¿t X sc ll¿rrrr¿ rr,rtli.fornte si e.t
unifornte
tLu¿t'"'aliablc aleatoliir
constaute e igual a
rl,I =-1. si z e 1".ü]4 b-"
I o, sirf [o.ü]
-i esta r.¿rriable aleatoria se la
- 
¿r función de distribución es
Ejemplos
i. Una variable aleatoria X
a) Calcular Pr(X : 1),
b) Hallar un valor de ú
Solu,ción:
nota como X -Ula,bl.
0,
Í,-o,
F(r) : b-o"'
1,
<b;
b
una variable aleatoria uniforme.
(
)
siz<a;
si¿(r
siz>b.
Figura 4.1: Funciones de densidad y de distribución de
a esperanza y la varianza son iguales a:
E(x)
Var(X)
a* b
2'
(b - ")'
t2
Esta ley es ei análogo continuo de la distribución uniforme discreta, que asigna igual probabilidad a
-¿da resultado de un experimento. Tiene amplia aplicación en problemas de simulación estadística
-,-en fenómenos que presentan regularidad en su aparecimiento, pero qne no es posible usar variabies
-iscretas, como cuando dependen dei tiempo. También, el error originado por el redondeo de un
---imero se describe satisfactoriamente mediante una ley unifbrme en el interv.t" [-:,:lL 2 2l
sigue una distribución uniforme sobre [-2,3].
Pr(X < 1.3), Pr(lXl < 1.5);
tal que Pr(X > ú) : 1.
3'
136 Capítulo 4. Principales Distribttciones de ProbabíIidacl
a) Estirnernos Ia función cle clensicla<I.
Salrcrnos <¡rer ./(r:) : 0 si t: ( l-2,31.
Se ticrren los línriters a,: -2, ü:3; por 1o c|re,/(z)
La función cle densiclacl qr-recla así:
11
3-(-2) 5
| .) .)l
l-:, 'l '
,f (r) : I
I
porque
L,'!,
< 1.5)
I
t.sir€¡-2,31;
0, sir(l-2,3).
r pr(X - r) : .[,' f ,rrd.r:0.
o Pr(x < 1.g) : l'" f (r)d.r:
.t -m
o Pr(lxl < 1.5) : Pr(-1.5 < X
b) Calculemos Pr(X > ú):
X es una variable aleatoria continua.
: 0.6.
dr :0.66.
: [' rtr[(r)dt : l' r'rtr^, :l
Pr(X
3-¿ 1
bntonces. b 
:",corr
/'oo ,'3 ' /m>L) I tf"ld.*:l)ar+l o¿*' .lt ,lt s .ls
lrl3 3 -t
t-l
Lblr.
4
lo crr l r: 
3.
2. Dos amigos, Roberto v Fernando, deben encontrarse en una parada de bus entre las 9:00 r
10:00 h. Cada uno esperará r-rn máximo de 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad cie que rro se
encuentren, si Fernando llegará a las 9:30 en punto?
Soluci.ón: La variable aleatoria X que describe el tiempo de llegada de Roberto puede tomar
cualqniervalorentrelas9:00y 10:00hoentre0y60minutos. DemaneraqueX -Ula,b] ysu
f'nción de densidad es 
( :, si o ( ú < 6o;
/(f) :{ t'0
( 0. caso contrario.
Puesto que Fernando llegará a las 9:30 o a los 30 minutos después de las 9 y esperará a lo más
10 minutos, Roberto no se encontrará con Fernando si llega de g:00 a rnenos de 9:20 o si llega
después de las 9:40.
Entonces, la probabilidad de qne no se encrrentren es
Pr[(0 < x <20) o (40 < X < 60)]
3. En una empresa falm¿céutica Lln proceso se detiene cnando deja de funciorrar un esterilizado:
hasta que llegue su repuesto. El tiempo de entrega f está uniformernente distribuido en nr-
inten'alo de uno a ciuco dí¿rs. El costo C de esa falla ¡' la parada complende un costo fijo d.
200 dólales de Ia refacción v uri costo valiable que arlr-nenta en ploporción a T?, de modo que
l''o r -,, fuo t: l, 6sdt - .lno oo d'
11: 
5+5:o'667'
C :200 + l2T2
4.8. Distribución exponencial
a) Ctrlculirr la probabilid¿rcl de qrre el tiempo de espela sea cle: clos <lías o rrtás.
b) Calcrrlar el costc¡ esperirclo cle r-rna falla.
Soht,ci,<i'n:
r37
a) trl tiempo de entrega está
o":lyb:5:
distribnido cle trno a ciuco clías, de rnodo que
si1(ú<5;
caso contrario.
uniforme
f(t):
Así,
Pr(r > ,): l, f (L)dt: .[r'Lor:1,r - 2):X
b) Por las propiedades de la esperanza, E(C) : 200* I2F,(f\. Calculemos E("2) : Var(?)*
(E("))2:
E(r'): ry.(+)'
: (5-1)2-/r+s\':Ir2-r\, ) :T
E(c) : 2oo + t, (+) : 2oo + t24: r24.
Así,
EI costo esperado de una falla es de 324 dólares.
{.8. Distribución exponencial
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una ley de distribución erponencial de parárnetro
,, si su función de densidad es
f(r) lo, sir(0;-l )"-^', sir)o;
-rnde ) es una constante positiva. Notaremos como X - t(,\).
I a función de distribución correspondiente es
sir(0
-\r, si r ) 0F(r): { ?'- "
Figura 4.2: Frurciones de densidad y de distribución de urra r'¿rli¿rble ¿rlc¿rtolia expoueucitrl.
138 Capítulo 4. Principales Distribuciones de Frobabilídad
La esperanza y la'r'arianza son iguales a:
E(x) : +, Var(x) : I¡ .\l'
Esta ley sLlrge en problemas de genética, duración de aparatos electrónicos o desintegración lacliactiva
También, es Ia principal en la teoría de los procesos ie Markov.
Relación entre las distribuciones cxponencial y de Poisson
Sea X la variable que cuenta el número de eventos que ocurren en el tiempo [0,ú] , con media )ú:
entonces,
Pr(X: k) :+. k_ 0,t,2,...
Sea ? eI tiempo que transcurre hasta que sucede el primer evento de Poisson. El rango de 7 es el
intervalo [0, -[ y su función de distribución es
F7(t) :Pr(? < t) : t- Pr(? > t) :1 - Pr(X - 0) : I - "-^t,
donde el evento Q > t) indica que el primer evento de Poisson ocurre después de ú, o lo que es io
mismo, que no ocurre ningún evento en el intervalo [0,ú];es decir, (T > t): (X:0).
También, se tiene que
fr(t): F+(t): \.-Át, ¿ > 0.
Ejemplos
1. Una variable aleatoria continua Y está distribuida según una Iey exponencial t(3).
a) Hallar la probabilidad del resultado de la prueba: Y esté en el intervalo (0.13;0.7);
b) Determinar su esperanza y su desviación estándar.
Soluc,ión: Como Y - t(3),
0, siy<0;
Je-3a, si y ) 0.
PL(0.13 <Y <U.7) : 3e-3'! ily
(
/(v) : {
a) Determinemos Pr(O.13 < Y < 0.7):
0'7
.13
.55
11
) 3'E(v)
"(Y)
b) Se tiene que
: \Ñ;(n:
D ist r ibución exp onenc ial 139
El tiernpo dut'ante el cual las baterías para teléfono cehrlar trabajan en folma efectir,a hasta que
f¿rllan se distribuye sr:gúur un modelo expouencial, cr)n Lrn tiempo promcdio de falla cle 500 holas.
a) Calcular la probabilidad de que una bater'ía funcione por rnás de 600 horas;
b) Si una batería ha trabajado 350 horas, ¿cuál es la probabilidad de que trabaje más de 300
horas adicionaies?
Solución: Consideremos la variable aleatoria X: <<tiempo que dura Ia batería hasta que falla>>.
Como E(X) :500: ], ".'to'ces ): # r X -E(#). Sufuncióndedistribuciónes:
( o, sir<o;F(r): 
{,_ "_rlsoo, siu )0,
a) Calculemos Pr(X > 600):
Pr(x>600) : 1-Pr(X<600) :l-F(600)
: I - ( t- e-6oo/500'\ : 0.301.\/
b) Si la batería ya trabajó 350 horas, queremos conocer la probabilidad de que trabaje más
de 650:
Pr(X>650) 1-F(650)Pr(X > 350 + 3001x > 350) : :J;-;+ :.---/ Pr(X>350) 1-F'(350)
: 
1-(1 '-650/500\
1-(116:o'54e'
El número de clientes que llega a una ventanilla de un banco sigue una distribución de Poisson
con media de 4 personas por minuto. ¿Cuál es Ia probabilidad de que el primer cliente llegue:
a) dentro de los 30 segundos después de haber abierto Ia ventanilla?
b) mrís de dos minutos después de abrir la ventanilla?
Soluc'ión: Tenemos las siguientes variables aleatorias:
X: <<número de clientes que llegan a la ventanilla>>, X - P(4).
T: <<tiempo que transcurre hasta que llega el primer cliente>>, T - €(4), con función de densidad
.fr(t):4"-nt, ¿>0.
a) La probabilidad de que eI primer cliente llegue en los primeros 30 segundos es
,.0.5
Pr(?<0.5) : | +"-n'¿ú:0.86b.' .lo
Obsérvese que también se cumple que
Pr(? < 0.5) : 1 -Pr(T > 0.5)- 1 -Pr(?: 0) : t -e-4(0'5) :0.865.
b) Se tiene que
Pr(? > ,): I, 4e-atdt: o.ooo335.
La ley de probabilidad de una variable aleatoria continua X
f (') : -!'-''-u)212o2 ' r,/2tro
I4O Capítulo 4. Principales
4.9. Distribución normal
Figura 4.3: Funciones de densidad y de
La esperanzay la varianza son iguales a
E(X): p,
Distribuciones de P robabilidad
se llama nortnal si s:.:t
e (-oo, oo)
función de densiclad
donde É¿ es un valor real cualquiera y d es positivo. A tal variable aleatoria se notará como X
.M(p,o').
La función de distribución correspondiente es la integral
F(r):
t/2"" "-(t-ü2lzo2 
¿t.
distribución de una variable aleatoria normal.
Yar(X) :62
Por esto, se dice que es una ley normal de media ¡t y varianza o2. Obviamente o es la desviaciól
estándar de X.
Observemos que la función de densidad de una variable aleatoria X - Jtí(p,o2) es simétrica respect,
a Ia recta r: IL.
Esta ley tiene amplia aplicación en física, economía, ingeniería y biología, pues como una primer,
aproximación- se asume que los fenómenos siguen una ley normal. También, juega un papel mr-l-.'
importante en toda Ia teoría estadística ya que, bajo amplias suposiciones, el comportamiento de l-
sumas de magnitudes aleatorias es aproximadamente normal, lo que constituye el Teorema del LÍmir-
Central.
El nombre de normal fue aplicado a esta ley de distribución por F. Galton en 1889, no sin reparos p-l
otros científicos, porque este nombre puede hacer pensar a las personas que las otras distribuciont:
son) en uno Ll otro sentido, anormales. En el plano anecdótico, remitámonos a lo que se dice en =-
libro de Mosteiler, Rourke y Thornas (1970, p. 226) respecto al nombre de esta ley: <Algunas vecr:
la distribución normal es llamada gaussiana, especialmente en la ingeniería y la física. En Francia =-.
llamada laplaciana. Estos nombres son usados, probablemente, porque la distlibución fue inventac"
por de Moivre.>>
Un caso importante de esta ley de probabilidad se tiene cuando F:0 y o2 :1, que se denomi-:
4.9. Distribución norrnal
,t¡ttnol. cstti,¡tdot'(^/(0. 1)), sus funcic¡ues cle clcusid¿rci y distlibucicilr sorr
t4t
^t-.\ L n-"'¡2. .1. € (-co. rc)7\:' / ,ryi. ., <
o(,) : h [__" 
t'/2 cu,
:espcctir,aruente. Obsérvese qlre) en este caso particular, la función de densidad se nota mediante cp y
-a ftrnción clc clistribución por ó.
Si se ticnc urra variable aleatoria X - N(p,,o2), pr-redeu calcularse los valores de su función de dis-
:ril¡ución lncdiante el empleo de la ley normal estándar aplicando la trausfolmación
F(r\ :o l" - P\ .
\o /
li-a función de distribución de la ley normal estándar no se puede dar como una función explícita, sino
=tlamente en forma de una integral, por lo que se emplean tablas, como la que se encuentra en la
Tabla 1 del Apéndice, para calcular los valores de O(z).
Si X - Jt[(p,o'), se puede dar la siguiente regla empírica que da el área bajo Ia curva limitada por
-na, dos y tres veces la desviación estándar (ver Figura 4.4).
Figura 4.4: Áreas bajo la curva de la distribución normal.
l. El área limitada por el intervalo lp - o, p+ ol contiene un área igual a 0.682.
2. El área limitada por el intervalo lp-2o,¡tj-2ol contiene un área igual a 0.954.
3. El ¿irea lirnitada por el intervalo lp-3o,p"*3ol contiene un área igual a 0.997.
Ejemplos
l. La esperanza cle una variable aleatoria X normal es igual a 6 y su varianza es 16. Escribir la
ley cle la variable aleatoria y calcular:
a) Pr(X < 3); b) Pr(X > a); c) Pr(4.5 . * .r)t
d) Encontrar el valor de ú de manera que se cumpla que Pr(X { ú) : 0.9264.
SoLu,c'ión: La espelanza es E(X) - lL:6 y la valianza .s 02 :16, por lo que o:4; etttottccs,
r@) : #r""p ( g#) : #".' (-q#)
L42 Capitulo 4. Principales Distribuciones de Probabilidad
a) Calculenros Pr'(X < 3):
Pr(X < 3) : F(3) :. l+)\4 )
: (D(-0,75) :0.2266.
b) Calculernos Pr(X > 4):
Pr(X>4) : 1-Pr(X <4):1-F(4)
1-o(4-6) :t-o(-o.b)
,-o.s\aJ:o6er5.
c) Calculemos Pr(4.5 < X <7):
Pr(4.5 < X < 7) : F(7) -F(4.5)
: ;f/)# (.:,'*) 
:'{0 
") - 
o(-0 375)
d) Se tiene que
Por otro lado, en
cumple que
Pr(x < ú): é rl-j) :0.e264.\4)
la tabla de Ia ley normal, se encuentra que (D(1.45) :0.926q; es decir, se
t 
^u 
: t'nu'
Pr(X >z) : 1-Pr(X (r) - l-f'(r) :0.166,
F(") : 1-0.166:0.834,
o l" .60\ = 0.8s4.\2/
Entonces, t : 1.45 x 4 * 6 : 11.8.
2. El perÍmetro craneal de los hombres, en una ciudad, es una variable aleatoria de media 60 cm ¡'
desviación estándar 2 cm.
a) ¿Qué porcentaje de los hombres tienen un perímetro craneal entre 57 y 64 cm?;
b) ¿Qué perímetro craneal debe tener un hombre para que el 16.6 % de sus paisanos <<tengan
m¿is cabeza que él>>?;
c) ¿Y cuánto para que el 35.2 To tenga menos?
Solución: Se tiene la variable aleatoria X: <<perÍmetro craneal de un individuo>> , X - N(60,22).
a) Buscamos Pr(57 < X <64):
Pr(57<X<64) : F(64) -^F(57)
:;,*-,);:fr) :'"' -o(-1 5)
El9L% de la población tiene un perfmetro craneal entre 57 y 64 cm.
b) Debemos hallar el valor de c de manera que Pr(X > n) - 0.166.
Por otro lado, eu la tabla
Entonces,
4.9. Distribución
de la ley norm¿,rl
r-60
normal 143
est¿inclar se observa que Q(0.97) : 0.834.
: 0.97.
De donde, z:61.94cm.
c) Ahora, hallemos z tal que Pr(X < z) :0.352.
Pr(X < r) : F(r) :0.352,
o l" ,60\ : 0.352.\2)
En la tabla leemos que O(-0.38) :0.352. Entonces,
z-60 : -0.38.
Por tanto, r :59.24cm.
En una fábrica de autos un ingeniero está diseñando autobuses pequeños. Sabe que la esta[ura
de la población está normalmente distribuida con media 1.70 m y varianza 02, con o :5cm.
¿Qué altura mínima deberán tener los autobuses para que no más del l% de las personas golpee
su cabeza con la parte superior del autobús?
Solución: Sea X la variable aleatoria <<estatura de las personas>, X - N(t.70, (0.05)2). De-
nominemos h ala altura mínima para que la probabilidad de que una persona golpee su cabeza
con el techo del autobús sea del LTo; es decir,
Pr(X>h) : 0.01
Pr(X > h.) : 1- Pr(X < h) : 1- F(h) - 1-. (%*p) ,
donde .F es la función de distribución de la variable aleatoria X. Ahora bien,
1-oln;=t:to) : o.or.
\ 0.05 /
oft¿-1'70\ : 1-0.01 :o.ee.-\ o.o5 ) r v'v!
Igualando los argumentos de la función é da:
h - r.70
0.05
: 2.33.
: 1.70 + (0.05)(2.33) : 1.817.
Es decir, el ingeniero deberá diseñar el autobús con una altura de 1.82 m.
En una ciudad habitan 150 mil familias, cuyo ingreso anual sigue distribución normal con media
de 8000 dólares y desviación estándar de 1200 dólares.
a) ¿Cuántas familias tendrán ingresos anuales menores a 6600 dólares?;
b) El SRI dice que pagarán sus impuestos aquellas familias que se encuentren en el último
quintil. ¿A partir de qué r¡alor una familia debe pagar impuestos?
Solución: Se tiene la variable /: <<ingreso familiar anual>>, X -.A/(8000,12002).
l+J Capítulo 4. Principales Distribuciones de Probabilidad
a) I)clrr:rlos h¿rll¿rl lrr prol-ral-riliclacl Pr'(1 < 6600).
pL(1 6600) : F(6600) :*(6otlg---!0t10¡
\ 1200 )
o(-1.17) :0.12t.
EI 12.1% clc las faltrili¿rs tictrc ingresos anuales menores a 6600 clólares. Eso quir,.r'c clccir
que sorr 0.121 x 150 000 : 18150 farnilias.
b) Si buscarnos el riltino quintil de ingreso, qniere decir aquellas farrrilias r,¡re tienen el 207,
dc los inglesos nrás altos; o sea) tenem s que encontral rrn valor :¿: de nlancla que Pr(I >
r) :0'2'
Pr(I >r) : 1-Pr(/ 1r):0.2,
Pr(/ I r) : F(r) : 1- 0.2 : 0.8,
o l" -,99!o) : 0.8.\ 1200 )
En la tabla de la ley normal, \¡emos que se velifica que iD(0.84) : 0.8. Por tanto,
z - 8000
1200 
: 0'84'
Al resolver esta ecr.tación, nos da r : 9008. Consecuentemente, el 20 % de las familias tiene
un ingreso superior a 9008 dólares anuales
Se tomaron <Ios exámencs sobre 100 puntos, crr el ¡.rrimero se obtur,'o ¡r1 :80, ot:4 y en e-
segundo p2 : 65, 02 : 5. Un cstrrdiante sacó 84 en el primer exalnen y 75 en el segrrnclo
Cornparativamcnte, ¿en cuál de los exárncnes obtu.r'o rnejor resultado?
Sol'u,ciórt: Deterrnincrllos, p¿tl'a cada examen, el porcentaje cle corn¡rarleros (lue s¿rc¿]r'on rnclroinota que é1, sabiendo qr.re
¡r¡ : 80, ot, : 4, FZ:65, 02 :5.
Pr(X<8a) : F,(84) :t(91#) :.,t, :0.8413,
Pr(X < 75) - F2(75): O (7S - 
0S) : .(r) :0.9772.
\b/
Conro en el primer exarnen el porcentaje de compañeros que obtuvo menor nota es 84.73%o y e:
el segundo 97.7270, tuvo, comparativamente mejor resultado en el segundo examcn.
Una empresa ernbotella t'efrescos rnediante una máquina que envasa el líquiclo, con un nredia ¡r -.
desviación estándar de 10crn3. Calcular el valor de Ia media p¿rra que solo se lebase la cantida-
de 310cm3 en elSTo cle Ias lrotellas, si se supone que la canliclad de líquido ernl-¡otellaclo tierr.
distribuciórr nonn¿1.
Sol'ución: Sea X: <<la c¿ntidad de lÍquido embotellado>>, corr X - N(F,(10)2). Se brrsca el,r,¿rlc,:
de ¡r tal que
Pr(X > 310) :9.65.
Ahola bien,
Pr(x > 310): ',(+, -#) :v,(z, Y) ,
4.70. Ejercicios L45
clorrde Z - N(O,I). Por la tabla de la ley normal, Pr'(Z > 1.645) : 0.05, debiéndose cumplir
que
310-p:1.645.
10
AsÍ,
¡¿ : 310 - 10(1.645) : 293.55.
ElmarcadorqueindicaIacantidadmediadelíquidodebeestarposicionadoen293.5cm3.<
En el Cuadro 4.7 se encuentra un resumen de las leyes de probabilidad analizadas en este capítulo.
Hipergeométrica 'lt(N,n,r) # #(t-#) -rN-1
Bernoulli Ber(p)
Binomial Bin(n,p) np
Geométrica
r-p
p2
9(p)
Binomial negativa BN(r,p) L-p,,,
P(^)
Uniforme continua
Exponencial r(r) I;
I
^2Normal N(t",o")
Normal estándar
^/(0,1)
Cuadro 4.1: Principales leyes de distribución de probabilidad
4.10. Ejercicios
Ley uniforme
1. Una variable aleatoria X tiene distribución uniforme sobre [-3,1]. Calcule:
l/(a,b) + (b - o)'L2
a) Pr(X:0);
b) Pr(X < 0);
c) Pr(lxl < 1);
d) Pr(lxl > 0.5)
e) Halle un valor de ú tal que Pr(X
1)ú):-.
Realice el ejercicio anterior considerando que X - U[-3,2].
Un reloj de manecillas se detuvo en un punto que no sabemos. Determine la probabilidad de
que se haya detenido en los primeros 25 minutos luego de señalar Ia hora en punto.
Uniforme discreta, r¿
t46
4.
r
L,.
Capítulo 4. Principales Distribuciones de Probabilidad
Los ¿utobrrses de cierta líne¿r salcrr c:on holario estricto cada cinco minutos. I{alle la plolrabilicliLrl
ckr cluc 1ul l)asa.jero c1r-rc llcga n lzr pzrraclzr tenga que esperar el ¿rutobris nlclros cle tlcs rrtintrtos.
Al cstrrcli¿u' las ofertas de contlatos cle ern'ío, un fablicante de coml>ut¿doras ve que los cxlrtr'¿rtr.,-
clc los intelesados tienen ofertas que se distribuyen ltniformemente entre 20 nril y 25 nlil dólarcs
Calcule lil plobabiliclad de que el siguiente contrato sea:
6.
7.
Sqróngase que Ia velocidad de los autos en un sector de una carretera sigue urta ley uniforntt
entre 60 y 120 kmlh. ¿Cuál es la probabilidad de que un auto:
a) tenga una velocidad de 80 kmlh?;
b) tenga una velocidad menor que g5 km/h?;
c) tenga una velocidad menor que 70 km/h o mayor que 100 kmlh?
El diámetro, z de un cÍrculo se mide aproximadamente 5 1 r ( 6 cm. Considerando el diámetrc
como una magnitud aleatoria X distribuida uniformemente en el intervalo (5, 6). Halle:
a) la probabilidad de que el diámetro sea mayor que 5.8 cm;
b) la esperanza matemática y la varianza del área del círculo.
Una llamada telefónica llegó a un conmutador en un tiempo, al azar, dentro de un periodo de
un minuto. El conmutador estuvo ocupado durante 15 segundos en ese minuto. Calcule la
probabilidad de que la llamada liaya llegado mientras el conmutador no estuvo ocupado.
A partir de las 12:00 de la noche un centro de cómputo trabaja dos horas y para una. Une
per-sona llama al centro Lrn momento aleatorio entre las 12:00 y las 05:00 horas. ¿Cuál es Ia
probabilidad de que el centro esté trabajando cuando llama la persona?
En una práctica de precisión aérea se deja caer una bomba a lo largo de una Iínea de un kilómetrc
de longitud. El blanco se encuentra en el punto medio de la línea. El blanco se destruirá si la
bomba cae a una distancia menor que setenta y cinco metros del centro. Calcule la probabilidad
de que el blanco se destruya si la bomba cae al azar a lo largo de la línea.
Ley exponencial
Escriba las funciones de densidad y distribución y los valores de la esperanzay la varianza para
Ias variables aleatorias que siguen una ley exponencial:
a) t(6); b) r(3); c) á(0.5); d) t(0.25).
12. Se prueban dos elementos que trabajan independienternente. El tiempo de trabajo del primer
elemento tiene distribución á(0.02) y el segundo elemento t(0.05). Halle la probabilidad de que
en el tiempo de duración t :6 horas:
a) menor qre 22 mil dólares;
b) mayor qre 24 mil dólares;
a) ambos elementos fallen;
b) ambos elementos no fallen;
13. La duración (en minutos) de las
variable aleatoria con densidad
c) Estime el costo medio de las ofertas cr
contratos de este tipo.
solo falle un elemento;
falle por lo menos un elemento.
8.
9.
10.
11.
c)
d)
llamadas telefónicas de larga distancia desde Quito es una
r(t): {o;-,,,, :l ;:3f
Determine el valor de c y calcule la probabilidad de que una llamada dure:
4.70. Ejercicios t47
rr) rnenos clc 3 rrrirmtos;
b) rrrás dc 6 rrriuutos:
c) errtre3y6nlinutos.
d) Calcule lzr esperanza de la variable aleatoria e interprete su significado;
e) Si el cc¡sto clel minuto de las llarnadas telefónicas es de 40 centavos, ¿cuánto esperarÍa un
usuario pagar por una llamada?
14. La duración (en años) de la vida de los individuos de una población humana se puede modelar
mediante una'r,ariable aleatoria con función de densidad
f (t) :{ {oe-.t/ao, 
si ú > o;
0, siú10.
Determine la vida media de la población;
¿Cuál es la probabilidad de que un individuo no llegue alos 42 años?;
¿Cuál es la probabilidad de que una persona que tiene más de 50 años, supere los 65?
Suponga que la duración, en minutos, de una conversación telefónica sigue una ley exponencial
eOlS). Encuentre la probabilidad de que Ia duración de una conversación telefónica:
a) exceda los 5 min;
b) dureentre3y6min;
c) dure menos de 3 min;
d) dure menos de 6 min, dado que ha durado más de 3 min.
Se prueban tres elementos que trabajan independientemente entre sí. La duración del tiempo
de trabajo sin fallo está distribuida según una ley exponencial: para el primer elemento h(t) :
0.1e-0'1¿, para el segundo elemento fz(t) :9.2"-o'2t, para el tercer elemento /s(¿) : g.3"-0'3t.
Halle la probabilidad de que en el intervalo de tiempo (0,10) horas, fallen:
a) por lo menos un elemento; b) no menos de dos elementos.
La escala Richter para medir la magnitud de los terremotos sigue una ley exponencial de media
2.4. Calcule la probabilidad de que un sismo sea:
mayor que 3 grados en la escala de Richter;
entre 2 y 3 grados en la escala de Richter;
El sismo producido en Ia India el 30 de septiembre de 1993 tuvo la intensidad de 6.4 grados,
¿cuál es la probabilidad de que un sismo supere esta intensidad?
-5. El tiempo de duración, en meses. de un tipo de resistencia eléctrica se expresa mediante una
variable aleatoria X que sigue una ley exponencial á(0.5).
¿Cuál es la probabilidad de que una de tales resistencias eléctricas dure más de 4 meses?
Si se prueban 10 resistencias eléctricas, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna dure más
de 4 meses?
c) ¿Cuántas resistencias se probarían para que con probabilidad igual a 0.9 se tenga al menos
una resistencia que dure m¿is de 4 meses?
a)
b)
c)
-o
6
a)
b)
c)
a)
b)
148 Capítulo 4. Principales Distribuciones de Probabilidad
cl) Si el costo de producción cle una resistencia es C : 2 + (30 - X)' , ¿cuál es el costo espelaclo
de una resistencia?
El tiernpo 7 que se demora para completar una reparación eléctrica es una variable aleatoria
distribuida exponencialmente, con media 10 horas. El costo C de llevar a cabo este trabajo se
relaciona con el tiempo empleado mediante la fórmula
C:100 +40T' +3T'2.
a) Calcule el costo esperado de la reparación;
b) ¿Con qué frecuencia el tiempo será mayor que 20 horas?
La duración de los neumáticos de una marca determinada siguen una ley exponencial cuyo
promedio es 30 (en miles de kilómetros). Calcule la probabilidadde que un neumático dure:
a) más de 30 mil km;
b) más de 30 mil km, dado que ha durado 15 mil km.
Ley normal
Se tiene una variable aleatoria Y con media 5 y varianza 16.
a) Determine su función de densidad.
b) Halle las probabilidades: Pr(Y < 6), Pr(Y > 4) y Pr(lYl < 3).
22. Una variable aleatoria Z está distribuida normalmente, Z - 
^f(1,16). 
Calcule:
a) Pr(Z < 0); b) Pr(Z > 3); c) Pr(lZl < 3); d) Pr(lzl > 2).
Se sabe que el gasto en cigarrillos es, para los fumadores, de 5 dólares diarios por término medio.
y que la desviación estándar es de 0.8 dólares. Suponiendo que el gasto sigue una distribución
normal, ¿qué proporción de los fumadores gastan entre 4 y 6.2 dólares diarios?
Se experimenta con un medicamento que produce variación en el peso de las personas que lo
toman. Pruebas de laboratorio han demostrado que al cabo de un mes la rrariación del peso
sigue una distribución gaussiana de media 2 kg y desviación estándar 1.25 kg. Determine la
probabilidad de que una persona:
a) haya aumentado al menos 1 kg; c) haya aumentado menos de 3 kg.
b) haya rebajado de peso;
La compañía aérea Helios sabe que el tiempo de retraso de sus vuelos sigue una ley normal, con
un retraso medio de 10 minutos y desviación estándar 5 minutos. Calcule la probabilidad de
que:
a) un vuelo no tenga ietraso;
b) el próximo vuelo llegue con no más de 12 minutos de retraso;
c) el próximo vuelo llegue con más de 15 minutos de retraso.
La Cruz Roja ha determinado que tiempo necesario para que una de sus ambulancias llegue al
sitio donde hay una emergencia se distribuye según una variable normal de media 17 minutos y
desviación estándar 3 minutos.
19
20.
21.
23.
24.
25.
26
l9
rl.
4.70. Ejercicios t49
ir) (-i;rlr:rrlc lir ¡rrolral.,ilirlir,Irlc: <¡Lrr: cl tictttpo cle llcgrrcltr esté cornplCncliclo cntrc 12 y 21 rnirrntos;
lr) ¡.1:'iLLirr¡rrírvirloltIr:1 tir:rrr¡-rri/. Iiiplol-rabi]icl¿rcl clcrlucIaarnbrriancizrempleerlásclc/rrtitrlrtos
r:rr llr:girr r:t rlcl ir',2 /
Los r:r'r'olcs rlc l¿r nrcclir:i<irr clc pcso cle Ltna balanz¿l obeclccelr a una ley normal con desviaciórt
cst ¿incl¿rr' 20 nrg y csl)cr ¿irrza 0 rng. Hzrlle Ia probabiiidad cle clue cle tres niediciones iridcpendientcs,
el clrol tlc por lo rncnos una cle ellas no sea mayor) en valor absoluto, que 4 mg.
Se aplicó rrrrzr plueba clc fluiclez ver-bal a 500 alumnos de Educación Básica. Se supone que las
¡rtrrrtnaciones obtcnidas se clistlibr.ryen segúrn Lrna rrornlal de media 80 y desviación estándar 12.
a) ¿Qué puntuación separ¿r cl25% de los alumnos con menos fluidez verbal?;
b) ¿.A partir de qué puntuación se enclrentr a el 45 % de los alumnos con mayor fluidez verbal?;
c) ¿Cuántos alumrros tienen una fluidez menor que 76 puntos?
El per'ímetro craneal de los hombres, en medido en cm, es una variable aleatoria normal ¡/(60, 4) .
a) ¿Qué perímetro craneal debe tener un hombre para que el 16.6% de sus paisanos <<tengan
más cabeza que él>>?
b) ¿Y cuánto para que el25.2Vo tenga menos?
Se llama cociente intelectual (C.I.) al cociente entre la edad mental y la edad real. Se sabe que
Ia ley de distribución del C.I. es normal con media 0.95 y desviación estándar 0.22. En nna
población con 2600 personas se desea saber:
a) ¿.Cuántas tendrán un C.I. superior a 1.3'/; c) ¿Cuáltas tendrán un C.I. entre 0.8 y 1.15?
b) ¿.Crrántas tendrán un C.L inferior a0.77?;
Se va ¿ construir nn n)arco para montar una puerta. ¿Qué altura mínima ha de tener el rrrarco
para que el 7%o de Ia población tenga riesgo de chocar su cabeza al atravezarla, si la estatura de
la lroblación estadistribuiclanormalmente, con media F:1.72m y varianzao2, con o:12cm?
La cstattrra de la población masculina está normalmente distribuida con F : L67 cm y o : 3 cm.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre tenga una estatura:
(i) mayor que 167 cm?; (ii) mayor que 170 cm?; (iii) entre 161 y 173 cm?
b) En una muestra aleatoria de cuatro hombres, ¿cuál es la probabilidad que:
(i) todos tengan estatura mayor que 170 cm?
(ii) dos tengan estatura menor que la media (y dos mayor que Ia nredia)?
El peso de las fundas de papas fritas producidas por una fábrica sigue una distribución rrolmal
con media 12.8 onzas y desviación estándar 0.6 onzas.
a) ¿.Qué proporción de las fundas pesan más de 12 onzas?;
b) ¿.Qué proporción de las fundas pesan entre 13 y T4onzas?;
c) Determine el peso tal que el 12.5 % de las fundas pesen más qr-re ese peso;
d) Si el fal¡ricante dcsea rnantener la media en 12.8 onzas) pero ajusta la desviacióu estándar
tal que solo el ITo de las fundas pese rnerros de 12 onzas, ¿.cuál debe ser el valor cle la
desviación estándar-?
l1JI
i2
150
34.
Capitulo 4. Principales Dístribuciones de Probabilidad
La <:st¿rtr-rr'¿t ct: lzr pobla,ción rnascrrlina y femcnina siguen leyes de distlibución nclrrnal. La
rtascrtliu¿t tirtnc ¡t,1 - I.67 trl y 01 : 12crn v ]a fcnlr:nina" p2:1.55 In y 612 :10c1r. Se tic¡e
urra 1rarcjir ert l¿t c:ual cl varólr rnicle 1.70tn y Ia rtru.ler 1.60rn. Cornparil,tir/amente) ¿.cuál cle los
dos es rnás ¿rlto Li:spccto a los miembros cle su sexo?
Los conductoles quc se fabric¿rn para utilizar en las computadoras deben tenel resistencias clue
varían entre 0.12 y 0.74 ohm. Las medidas de las resistcncias que produce Lrna compañía siguen
una ley de distribución normal de media 0.13 ohm y desviación estándar 0.005 ohm.
OE
Ji,
¿Qué porcentaje de Ia producción de la compañÍa cumple con las especificaciones?;
Si se usau cuatro de esos conductores en una computadora, ¿cuál es la probabilidad de qne
los cuatro cumplan con las especificaciones?
36. Los tiempos de Ia primera avería de una máquina de cierta marca tienen distribución gaussiana
con un promedio de 1500 horas de uso y desviación estándar de 200 horas.
¿Qué fracción de esas máquinas fallarán antes de 1000 horas?;
¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que deba dar el fabricante si desea que solo se presentr
el \Vo de las averías dentro del tiempo de garantía?
El promedio de las calificaciones de los estudiantes universitarios se distribuye normalmente co-
media 5.4 y desviación estándar igual a 0.5 puntos.
a) ¿Qué porcentaje de los estudiantes tiene un promedio de calificaciones superior a 6?;
b) Si los estudiantes que tienen un promedio inferior o igual a 4.9 abandonan la universidac
¿qué porcenta.je de alumnos desertará?;
c) Se seleccionan al azar tres estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que los tres tengan r-:
promedio de calificaciones superior a 6?
En el grupo étnico A, la estatura de las personas (en cm) sigue una distribución,Af(t6S;25): .,-
el grupo étnico B sigue una,A/(170;25) y en el grupo C una N(175;25). Los tres grupos étnio-¡
son muy numerosos.
a) Si elegimos una persona del grupo A, ¿cuál es la probabilidad de que mida más de 160 cn
b) Si elegimos 10 personas al azar del grupo étnico A, independientemente unas de otras, ¿ct-
es la probabilidad de que 5 de ellas midan más de 160 cm?;
c) En una ciudad, el 50 To de Ia población pertenece a la etnia A, el 20 % pertenece a la E '
el30% r'estante a la C. Si elegimos una persona al azar en esta ciudad y mide m¿ís de ---
cm, ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo étnico C?;
d) Si elegimos 10 pelsonas al azar del grupo B, independientemente unas de otras, icuál a -"
probabilidad de que al menos 5 midan más de 172 cm?
39. Una máquina para llenar cajas de cereal tiene una desviación estándar de 25 gramos sobrt *r
peso de llenado de las cajas. ¿Qué medida debe indicar el marcador de llenado de las cajas p--.
que permita que ha5,a cajas de 450 gramos o más durante elI% del tiempo? Se supone qu€ iiüu
cantidad de cereal por caja sigue una ley normal.
a)
b)
a)
b)
37.
38.
40. La anclrura, en mm, de una población de coleópteros sigue una distribrción N(p,;o2).
que el 77% de la población mide menos de 12 mm y que el 84% mide más de 7 mm.
parámetros de Ia ley.
Se esti
Halle
4.77. EI teoretna del Límite Central
4.11. El teorema del Límite Central
que tiene esperauza E(Y)
aleatoria
151
Exantiucrrtosel sigtrierttc teorcrua. clue tielc rrna importaucia fuu<l¿rmcntal. ya c¡rc constitrrye el nexo
le cornunic¿lción entre las teorías dc Ia probabiliclad y la cstac-lística.
Teorema (del Límite Central) Sean Xt, X2, .. ., X,,, n r'¿rriables aleatorias independientes,
,listribuidas con media ¡t y varianzd 02, y que signen una ley de probabilidad cualquiera -no nece-
sariamente la misma-. Se forma Ia variable suma
Y:Xt]-Xz-+..-tX,,,
varianza Var(Y) : no2. Entonces, la distribución de la variable
Y -E(Y) Y -np
Jv*@ o{n
riende hacia una ley de distribución normal estándar, cuando n tiende al infinito.
ii teorema implica que si n es grande, se puede aproximar las probabilidades de Y utilizando que
pr(y rú) : pr (t =';#) = * (T#) ,
.: la que Z es una variable aleatoria normal estándar.
:" Ia práctica, se asume que la aproximación es buena si n ) 25.
- 
= formulación de este teorema es, en su forma más elemental, debida a P. S. Laplace y fue demostrado
:--a-rlrosamente, en primer lugar, por Liapunov en 1901.
Ejemplos
-. Sean X1, Xz, ..., X1o, cincuenta variables aleatorias independientes que siguen la ley
r 0 1 2
Pr(X : r) rl8 3i8 t/2
Calcule la probabilidad Pr (Xr + Xz + .. . * Xso > 70).
Solución: La esperanza y la varianza de las variables aleatorias son
E(X¿): +, Var(X,) : #
Entonces, si Y : Xt * Xz*.'. *X¡0,
E(v) :
Var(Y) :
50x+:T,
31 775bux6a:E'
I irl l'tittt i¡t:ri,'.s fij.,l til¡ttt it;¡¡cs rlc l'¡t,!¡.¡ltilitl;t'l
I'ri) i{) i
l-,1'
l-l t'osto rli¿tti,r rlc o¡rcliu llll iullr¡l¡tis lir,tl,) rurt'rrsto li.irr r[t: ]J0,l,rlalcs v rrn \alol \'¿ui¿rl]le rlcl 30:.-
rlr: los ittgl'r's<ls. EI itrglt'so lier<'r t¡tr¿r,lisl Iilrrrr i,ilr unilr,r nrc t'r¡1r'r:5r0 l'250 dólales. a) Cirlt:rr1;r:
la ¡rr,rltr,lrili,la,l rle (luc ('l ('()sto ([r: <l¡ret.;rL rur :rr¡t()l)ris. rlruarrtr,S[ <lias. sllpele los 2500 clólares
lr) ;.C'rrÍrrtos rlÍ¿s rle o¡rt'ta<:irirr s<:r'átr no('('s;uios ¡r;tt;r (,lll(\ (()lr llrrir l)tol)¿l)ilidad cle 0.95. cl c()st,-
,li,,rlrct';u:ir'll sea .lo it,l Irrclr()s 2.li() d<'¡larcs.'
.j,,lut:itítt: l)r.filt¡ltu,'s l;ts sigrtir,ltlls \':lt'¡;rl,lcs;rlr':rlorr¿rs:
r )l)('t;r( irlrr .lt:l ¿rutol)rij: .\' - ¿/i;(). 2;01 .
't ;t,'iritr,lr,l ;rr¡l,rlr¡is: C..' : .i0 : 0.:1.\.
-\ : ltr¡;rt'so rli;rtir r ¡rol
('' f'..1,r ¡!i;rl i,,,lt',,)t
Sr: t it'trt' r¡ttc
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Pr'()'>2j00) = i-
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:,ll -- l).J :< 150 = iir.
((l .t)r ;< :'r:l:3:J.:J:J : .jlll l.
ii
;t) Slrr l' : I l',. r'l r'rtsl,r r[t,olrt'l:tci,ilr trr,.tisrr¿rl ilcl it¡tol)tis. l:,rttctrrccs,
r=l
1500 - 31 x 75
\/300\,67
- o (r.815)
0.964S : 0.0352.
lr) Sctr U cl costo dt: o¡rt'r';t<'irirr eu rr rlí¿s: r:¡rtorr('es. l¿l vali¿rlrk: ¿rleatotia
z:ry_^/(o,t).
t/300{u,
.5r: rL,l,r'rlllr,r r¡rirr¡r,r'eI r,;rlot rlc lr. tal (llrc [)l(¿.i > 2350) :0.95:
|,t({'>.]:l..-l(l)=i,,(z'ffi):'_*(,l¡ooá#'',):o.n'.
3i(l - i ¿l
yf.rt)t¡ttT = -1'645'
i, '¡r. rlsrrltil rlil(, ,r : .f:l ;:j. Ls rktcir'. sr:
I'¡l'I;tttlrl.
lrcfirsiti\Il 34 clͿrs.
4.77. El teoretna del Lírnite Central 153
StLportga qr.re la vicla útil de uu componertte elcctr'óuico se clistribuye exporenci¿rlrnente con rnedia
dc 100 iror'¿rs. Apenas falla un cornponcrite, sc Io rcemplzrza con otro par:a contiulral'cl trtrbajo.
a) Caicular' la plobabilicl¿rcl c]e c¡re clurarrrte 210 clías sc necesiterr más cle 36 cle esos cou]poncltes;
b) ¿CLrántos de estos cornponeutes se necesitan para (lue duren al menos 4600 holas, con Llna
probabilidad dei 99 %?
Soluci,ón: Definamos las siguientes variables aleatorias:
X¿: <<Duracióndeloscomponenteselectrónicos>>; X¿-t(llI00) yE(X) :o(X):100.
Y,r: <Tiempo total de duración de n componentes>>; Yr: i Xo.,i:L
a) Se necesitan más de 36 componentes durante 210 días, si la vida útil es menor a 5040 horas
(210 días por 24 horas). De manera que
Pr(Y36 < bo4o) = r Itot,==tuj\ 100y'36
too) : a Q'4)
: 0.9918.
b) Se debe encontrar n tal que P.(% > 4600) :0.99, luego
Pr(Y-< 4600) = r (ffi) : o.ot.
Luego,
: -2.33
Lasolucióndelaecuaciórresn:64.5;esdecir,65componerrtes.<
-{proximación de la ley binomial por la normal
l.n caso particular del Teorema del Límite Central -conocido como teorema de Moivre-Laplace-, se
::esenta cuando todas las variables X¿ son independientes, idénticamente distribuidas según una ley
:t Bernoulli con parámetro p. Como sabemos, la variable
,:j*,
i=l
a.üe una distribución Bin(n,p), con media np y varianza npq) corr Q : I - p. Por el Teorema del- -:cite Central, la variable
Z_ Y-np
J"w
ii:re apl'oximadamente una ley normal estándar, cuando n es suficientemente grande; es decir,
pr()'<ú) :pr (ttffi) =r (ffi)
:r la Figura 4.5 se muestra los valores de Ia distribución binomial para n : 20 y p : 0.5. Para
:s:a distribución, p:np:20x 0.5: I0y o2: np(l-p):20 x 0.5 x 0.5:5. Sobrepuestaa
; listribtrción binomial se encueltra una distribución normal con media F : !0 y varianza o2 : 5.
l'-ramos qne la curva de la normal se aproxima mucho al histograrna de la binomial.
4600 - 100n
r54 Capítulo 4. Principales Distribuciones de Probabilidad
Figura 4.5: Aproximación de la ley binomial por la ley normal.
En la siguiente tabla se presenta una relación entre los parámetros n y p para que la aproximación
normal a la ley binomial sea válidaa.
p n requerido p n requerido
0+ 22t
0.01 214
0.05 188
0.10 757
0.15 728
0.20 100
0.25 74
0.30 51
0.35 32
0.40 16
0.45 13
0.50 13
,Pl2 se encuentre completamentÉ
Ejemplo. La Superitendencia de Bancos cree que el 32% de los créditos al sector agrícola están e-
mora. En un estudio se tomo una muestrade2T0 créditos a la agricultura. a) Hallar la probabilida-
de que más de 80 de ellos estén en mora; b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 95 cliente.
estén en mora?
Solución: Sea X el número de clientes con créditos en mora; X - Bin(270,0.32).
a) La probabilidad de que m¿ís de 80 clientes estén en mora es
270
pr(X > 80) : pr(x > 81) : I clro(0.32¡k10.68¡270-k,
/r:81
cuyo cálculo puede ser muy complicado. Aplicando la aproximación de la ley normal a la l.n
binomial, se tiene
p : np :270x 0.32 : 86.4, o : \MA :1mV 0Ñ68 : 7.665.
Luego,
Otro criterio para escoger n es que el intervalo (o - Z\
dentro del intervalo (0, 1).
pr(x>80): ,,(t' *q-#) =r-*(tt#3-)
: 1-0.2033:0.7967.
aUna amplia discusión del tema se encuentra en Samuels, M. y Lu, T.-F.C. (1992), "sample Size Requirements f¡
the Back-of-the-Envelope Binomial Confidence Interval," The Americon Statistician, 46, 228-23L, de Ia cual se extre!il
la tabla.
pq
n T)
4.72. Ejercicios
b) La probabilidad buscada es Pr(X : 95) : C8?0(0.32)e5(0.68)270-e5
Si emplearnos el teorelna de Moivre-Laplace, resulta:
155
pr(X :9b) : pr(94.b < x < 95.b) =o 195!:96a)\ 7.665 ): 0.8829 - 0.8554 :0.0275.
Como se observa, la diferencia entre el valor exacto y el aproximado es mínima.
1.L2. Ejercicios
1.
.).
En una caja se empacan 100 latas de conservas. Según los datos de la fábrica, cada lata tiene
un peso promedio de 1 oz con desviación estándar de 0.1 oz. ¿Cuál es la probabilidad de que
una caja pese más de I02 oz?
Un borracho camina de forma aleatoria de la siguiente forma: cada minuto da un paso hacia
adelante o hacia atrás con igual probabilidad y con independencia de los pasos anteriores. Cada
paso es de 50 cm. Calcule la probabilidad de que en una hora avance m¡ís de 5 metros.
Los clientes de cierto banco efectúan depósitos con media 157.92 dólares y desviación estándar
30.20 dólares. Aparte de ésto no se sabe nada más acerca de Ia distribución de estos depósitos.
Como parte de un estudio, se eligieron aI azar e independientemente 75 depósitos. ¿Cuál es la
probabilidad de que la suma de estos 75 depósitos sea 12 750 dólares o mayor?
Los vehÍculos que cruzan un puente tienen pesos cuya media es de 4675 kg y cuya desviación
estándar es de 345 kg. Si hay 40 vehículos sobre el puente en un instante dado, halla.r el número
o tal que la probabilidad (aproximada) de que su peso total no supere a o sea del 99 %.
La empresa Rapid Express envía paquetes de distintos pesos, con unamedia de 1.5 kg y una
desviación estándar de 1.0 kg. Teniendo en cuenta que los paquetes provienen de una gran
cantidad de clientes diferentes, es razonable modelizar sus pesos como variables aleatorias inde-
pendientes. Calcule la probabilidad de que el peso total de 100 paquetes exceda de 170 kg.
El propietario de una copiadora ha determinado que el número diario de copias que se realizan
en su local tiene una media de 1250 con una desviación estándar de 350. Halle Ia probabilidad
de que en un mes de trabajo (25 dfas) el total de copias:
a) sea menor a 30 000;
b) se encuentre entre 25000 y 32000.
Una radióloga que trabaja en el servicio de traumatologÍa de un hospital ha comprobado que el
tiempo, en minutos, que tarda en atender a cada paciente es una variable aleatoria con media
7 y desviación estándar 2. Durante su jornada laboral trabaja 6 horas atendiendo pacientes
sucesivamente y sin interrupción. Calcule, aproximadamente, la probabilidad de que durante un
dla pueda atender hasta 55 pacientes dentro del horario de su jornada laboral. Se supone que
todos los pacientes están en la consulta con suficiente antelación y que no hay <<tiempos vacíos>>
entre dos pacientes consecutivos.
La resistencia de un hilo metálico es una variable aleatoria cuya media es 3 kg y su desviación
estándar 1 kg. Suponiendo que la resistencia de un cable es igual a la suma de las resistencias
de los hilos que lo forman.
a) Calcule la probabilidad de que un cable de 100 hilos sostenga 280 kg;
Á
6.
7
8
nr
156 Capítulo 4. Principales Distribuciones de Probabilidad
b) ¿Cuáltos hilos se rrecesital pala qr-re el cable sosterrga 300 kg corr urr gg% cle seguricl¿rci/
jugador de baloncesto encesta urr lanz¿rrniento de 3 puntos con plobal,'ilidacl 0.3.
Aproxime la distribución del nirmero cle canastas corrseguidas ert 25 lanzamientos;
Calcule Ia probabilidad de encestar más de 10 canastas.
9. Utr
a)
b)
10
11.
En promedio, de las personas que ingresan a una librerÍa solo el 25o/o realiza una compla. Si
en un dÍa entraron 80 clientes, calcule Ia probabilidad aproximada de que se hagan al menos 28
cornpras.
Se ha encontrado que el 70% de las personas que entran en un centro comercial lealizan cuando
menos una compra. Para una muestra de 50 personas,
a) ¿cuál es Ia probabilidad de que cuando menos 40 de ellas realicen una ó más compras?;
b) ¿cuál es la probabilidad de que menos de 30 de entre 50 personas muestreadas realicen
cuando menos una compra?
En una fabrica microcircuitos se ha comprobado que el 4% de estos son defectuosos. Un cliente
compra un paquete de 500 microcircuitos procedentes de la fábrica. Determine:
a) el número esperado de microcircuitos no defectuososl
b) la probabilidad de que se encuentre más de 25 microcircuitos defectuosos;
c) la probabilidad de que el número de microcircuitos defectuosos esté entre 16 y 30.
Se conoce, por estudios previos, que Ia proporción de vacas que enfer-marán después de su-
ministrarles la vacuna contra la fiebre aftosa es del 2To. Una granja tiene 600 vacas qtre sor
vacunadas. Determine:
a) el número esperado de animales que no enfermarán;
b) Ia probabilidad de que el nirmeio de reses que enferman sea) como máximo, 17;
c) la probabilidad de que el número de reses que no enferman seaT como mínimo, 590.
Un zoólogo estudia cierta especie de ratones de campo. Para ello captura ejemplares de una
población grande en la que el porcentaje de dicha especie es 100p.
a) Si p :0.3, halle la probabilidad de que en 6 ejemplares capturados haya al menos 2 de lo.
que le interesan;
b) Si p : 0.05, calcule la probabilidad de que en 200 haya exactamente 6 de los que le interesan:
c) Si p :0.4, calcule la probabilidad de que en 200 haya entre 75 y 110 de Ios que le interesan
Sea ^9a5 el número de fracasos que preceden al 45" éxito en un proceso de Bernoulli con proba-
bilidad de éxito P : 0.36. Sea ,5a5 : Xr * ' ' '* Xu, donde X1 representa el número de fracaso.
que preceden al primer éxito, X2 es el número de fracasos entre el primer y el segundo éxito. r
así sucesivamente. Las X¡ son independientes.
a) Dé el nombre de la distribución de una úrnica X¡, obtenga también su media y su varianzar
b) ¿Cuál es el valor esperado y la varianza de ,9a5?;
c) Aproxime la probabilidad de que Sa5 esté a una distancia no superior a 20 de su uredia.
12
13.
t4.
15.
Capítulo 5
Distribuciones Multidimensionales de
Probab¡l¡dad
EI supuesto erróneo de que la correlación irnplica causalidad es probablemente
uno de los dos o tres errores mó,s serios g conlunes del pensam'iento humano
Stephen Jay Gould
;-, muchos casos) un fenómeno aleatorio no depende de una sola variable, sino de dos o miíÉ; por
- =:rplo, algo tan simple como el tiempo que empleamos en trasladarnos desde la casa a la universidad
l':!e¡61s, entre otras cosas, de Ia velocidad media del carro y del número de veces que nos detengamos
: -: los semáforos en luz roja. Es decir, el resultado en la prueba descrita depende de, al menos, dos
--=:l ables aleatorias.
;- .o que sigue, trataremos con conjuntos de varias variables aleatorias que se manifiestan simultánea-
- --te en un fenómeno y determinaremos si ellas están o no relacionadas. Para simplificar la exposición,
-jzaremos eI caso bivariante ya que Ia generalización a más variables es inmediata.
Variables aleatorias bidimensionales
fefinición (de variable aleatoria bidimensional) Sean X y Y dos variables aleatorias unidi-
-=:rsionales deflnidas sobre un mismo espacio muestral f,); entonces, la función
-+ RxR
LD r------ (X (r) ,y (r)),
-'--,de w es un evento elemental, es una variable aleatoria bidimensional.
\,-rtación. Parareferirnosaloso€Qtalesque X(u):ayY(w):b,simplernenteloharemoscomo
l: cL,Y :b y a Ia probabíiidad de este suceso corno Pr(X : a,Y :b).
-e -,rrma análogase definen y notan las probabilidades Pr(X < a,Y 1 b) y Pr(a < X < c,b <Y < d).
r_F
,LJ I
Definición (de función de distribución conjunta) La función de distribución conjunta de la
variable aleatoria bidimensional (X, Y) se define por
F(*,ü: Pr(X I r,Y < a) : | | nti
r¡1r y¡1y
158
5.1.1. Variables
Capítulo 5. Distribuciones Multidimensionales
bidirnensionales discretas
I
(x,v)eT
Definición (de variable aleatoria bidirrrensional discreta) Sean X y I/ clos rr¿rlialrlcs ¿rlc¿rtori¡rs
tlis<:r'et¿rs. La fur,ciól dc 1-nobrrbilidaci conjrrrrta de X y Y está clacla por
f @,a): Pr'(x : r,Y : Y)'
A Ia variable aleatoria (X,Y) se le denomina bidimensional discreta.
Sea? : {(r,ü eFr2l Í@,y) > 0}; es decir, el conjunto de puntos con probabilictad positiva, es finito
o infinito numerable y se cumple que
f (r,a) : L.
Supongamos quezl, 12¡...y At,Uzr... son los valores posibles deX y Y, respectivamente, ysea
Pt¡ :Pt(X : ri,Y : Ai)'
La probabilidad del evento (X,Y) € .E es igual a la suma de todos los p¿¡ para los cuales (r¿,y¡) € E:
Pr[(X,Y)eE): t Pr(X:ri,Y:yj): t p,¿j.
(t¡,v¡)eE (r4,y¡)eE
La función de distribución conjunta cumple qrru 
,IToo rfT." 
F(r,a) : 0 y q"e ,lgg rlIg ¡(", u) 
: r.
A partir de las p,;¡ se pueden encontrar las funciones de distribución de X y de Y.
Las fnnciones de distribución marginal Fx y Fv se calculan por
@
y Fy(t) : llnt
A¡<t i:I
Fx(t): t Drnt
x¡,4t j:l
Definición (de función de probabilidad marginal) Las funciones de probabilidad marginal
de X y de Y están dadas por las fórmulas
fx(r¡) : i"r," :r¿,y:uj)j:r
@
fy@¡) : f erlX:r¡,y:aj)
i:l
:DPo¡'
j:r
oo
:DPn¡'
i:L
Observación. Si los espacios muestrales son finitos, las series deben reemplazar,je por sumas finita-s
5.7. Variables aleatorias bidimensionales 159
,l'on rq,1161¿ cle r'¿rrial¡lcs ak:¿torias bicliurcnsiouales se ¡ruecle clal uu¿t defrrrición cle iuclependerrcitr e<1tti-
"¿rlerrtc ¿r l¿r autetiot'trlclttc cl¿rclir:
Definición (de iudependencia) L¿rs v¿rli¿rbles ¿rleatolias clis<:r'clt,¿rs X y Y son inclepenclientes si
Pr'(X : r.Y : y) :Pt'(X : z) x Pr(Y : 9;.
Ejemplos
1. Determine el valor de k para que la función
f @,A) - krA, para r : !,2,3; A :1,2,3,
pueda servir como unafunción conjunta de probabilidad.
Solución: Sustituyendo los valores de z y de y, encontramos que:
/(t, t¡ : ¡, f (I,2) :2¡t, /(1,3) : 3P,
f (2,t) :2¡t, Í(2,27 :4¡, f (2,3) :6¡t,
"f 
(3, t¡ : 3¿, f (3,2) :6¡, ,f (3, a) : 9¿.
Para que / sea una función de probabilidad, la suma de todos los términos que acabamos de
calcular deben dar 1; es decir,
k +2k+ 3k + 2k + 4k + 6k + 3k + 6k* 94. : 1.
Resolviendo esta ecuación, resulta que /c : :
36
Pongamos en una tabla la función de probabilidad resultante:
Y
X
32I
1
2
3
r/36 2136 3136
2136 4136 6136
3136 6136 e136
2. Las probabilidades de la distribución conjunta de las variables aleatorias S y T se dan por
T
s
-1 0 1
-1
1
r/8 r/t2 7124
5124 116 Llg
La intersección de las filas y Ias columnas da la probabilidaA p¿¡ : Pr(S : i,T : j) (i : -I,
0,l; j - -1, t). u) Calcular Pr(S I 0.5, ? a 0.9); b) Hallar las leyes de las variables aleatorias
svT.
Solución:
a) De acuerdo a la fórmula de la función de distribución conjunta de 
^S 
y ?:
F(s, ú) : Pr(^9 1 s,,T < t) :lln,i
i<s j<t
160 Capitulo 5. Distribuciones Multidirnensionales
Entonces,
F(0.b,0.3) : I tPr(^9:i,T:¡¡
¿<0.5 j<0,3
: Pr(S : -l,T - -1) + Pr(S :0,7 - -1)
115: 8-12:i4'
b) Por la fórmula de la función de probabilidad marginal tenemos: f s(i) : ! Pr(S : 'i.,7 : j):
J
por lo que
/s(-t) : Pr(.9: -7,7- -1) +Pr(S- -1,7 :l)
151
I
B' 24 3'
/s(o) : Pr(,s: 0,7 :-1)+Pr(S:0,?: 1)
111
I
12' 6 4'
/s(t) : Pr(S : l,T :-1) +Pr(,$: I,T :I)
7r5: %- E: 12'
De manera análoga, se obtiene la ley de ?:
/r(-t) : Pr(^9: -l,T: -1) +Pr(^9:0,7: -1) +Pr(^9:1,7: -1)
1171
ll
8-12-24-t
fr!) : Pr(.9 : -1,7 :1) + Pr(S :0,7: 1) f Pr(^9 : 7,7 :1)
: 5 *1*1:1
24- 6- 8- t'
Entonces, las variables aleatorias S y T siguen las leyes:
-1 01
5.L.2. Variables bidimensionales continuas
Definición (de variable aleatoria bidimensional continua) Sean X y Y dos variables aleato-
rias continuas, a la variable aleatoria (X,Y) se le denomina bidimensional continua si para cualquier
punto (r,a) < R2 se cumple
Pr(X : T,Y :9) :0.
A la variable aleatoria (X,Y) está asociada una función no negativa /, denominada fu,nción, de densida,:
conjunta, que cumple con Ias siguierrtes propiedades:
1. f (",ú es no negativa; es decir, V(z,g) e R', f @,ú >_ 0.
2. [* l'* I@,y) d,y d.r : t..J_-.l_*" ' "
3. La probabilidad del evento ,r(X,Y) € -B>> se calcula mediante
Pr[(X, Y) e E]: l.l f @,a) d,y d,r
E
T l-r 1
Pr(T: j) I rl2 rl2
5.7. Variables aleatorias bidírnensionales 161
La ftrnción de clistribuciótt corr.junt¿r de laDefinición (de
.-riable aleatoria
-. función
-. función
l_*rr',t) 
(tLd's'
función de distribución conjunta)
l¡idinrerrsioral (X. Y) sc clefine por
F(r.y): Pr'(X 1.r.Y < s) :
de clistribnción conjr,Lnta curnple q.l" ,IToorIT." F(r,y): 0 y que ,ULJIL F(r,u) :1.
de densidad conjunta puede obtenerse a partir de la función de distribución mediante
-.i E : [a, b] x lc,d),la probabilidad del
Pr(a<X<b,c<Y<
Definición (de función de densidad marginal) Las funciones de densidad marginal de las
-.-ariables aleatorias X y Y están dadas, respectivamente, por las relaciones
, o2 F(r,y)
tI4 
'tl --.l \&r Y J - or oa
/'oo ffx@):l l@,a)da v fv(a):l f@,a)tu.
.l -a ,l -*
evento (X,Y) € E es igual a
db
o): Il"f @,y)d,rdy: J I ,o,fid,rd,y
-\ partir de éstas, se calculan las funciones de distribución marginal Fy y Fy:
too¿oo
Fx(t): I "[ f@,y)dyd.r 
y Fy(t): I If@,s)d,rd,y
lon este tipo de variables aleatorias también se puede reformular la definición de independencia.
Definición (de independencia) Las variables aleatorias continuas X y Y son independientes si
rara todo par de valores (",a) e R2 se cumple
r equivalentemente,
F(r,ú : Fx(r) Fv(a),
f (r,v) : f x(r) fv(v).
Ejemplos
1. Un círculo de radio o está inscrito dentro de un cuadrado cuyo lado tiene una longitud de 2a
(véase Ia Figura 5.1). Se supone que Ia probabilidad de que un daldo arrojado hacia el cuadrado
es idéntica para cualquier punto. a) Calcular la probabilidad de que el dardo impacte dentro
del círculo; b) Encontrar las leyes marginales de X y de Y.
L62 Capítulo 5. Distribuciones Multidirnensionales
Solución:
a) La probabilidad de impacto esta definida por la densidad
f xv(r,o) : { *"'' 
si (r'a) e l-o'o) x l-a'a);
[ 0, si (r,a) (,1-o,o] x l-a,a).
La probabilidad de impacto dentro del círculo *2 + y2 -- a2 se calcula como
Pr(x2 +Y2 < o2): ll f @,a)d,rdy:#:;
,2¡y2-q2
b) Por simetría, las funciones de densidad de X y de Y son idénticas; calculemos la de X:
f x(d : l'" L ¿r: :, r e l-a,a).
J _o 4az 
*' 
2a'
2. Dada la función de densidad conjunta de Ia variable aleatoria bidimensional (X, Y)
(t
fxv(r,ü : I r\2' si r 
) L'Y'- li
I O, caso contrario.
Determinar: a) las funciones de densidad marginal de cada una de las variables; b) la función de
distribución asociada.
Solución:
a) Las funciones de densidad marginal son
f x(r) : [* f *r(r,y) da : [* + ay : 4.
J t .lt rU'
fv(a) : lr* Í*rlr,e) dr : lr* h o, : i.
Adicionalmente, podemos deducir que las variables aleatorias son independientes.
b) La función de distribución es
F(*,y) : 
.lr' Ir" ,*r(s, 
ú)ds or: 
Ir' Ir" * oro,: (#) (")
Consecuentemente, la función de distribución queda como
f (t-¿Xt-v). sir)1, y2L;Fxv(x,y)={ ra '
I O, caso contrario.
5.2. Dístribución condicionada
5.2. Distribución condicionada
163
Definición (de probabilidad condicionada) Sean a y b dos números reales cualesquier a y X
y Y dos variables aleatorias de manera que Pr(Y < b) + 0. La probabilidad condicionada de que
X 1 a, dado que Y < b, se representa mediante Pr(X < alY < b), y se defi.ne mediante la igualdad
Pr(X < alY < b) : Pr(X < a,Y <b)
Pr(Y < b)
r Para variables aleatorias discretas, Ia probabilidad condicionada de r, para un valor fijo de la
variable y, está dada por
Pr(X : rlY : ,, -P'(I:^!'Y 
: u) 
.' at Pr(Y:Y¡
. Para variables aleatorias continuas, la función de densidad condicionada de r, para un valor fijo
de la variable g, se calcula por
Como fv(a) : l*_rr",a) d,r :
f @la) : f ,@)',) .
TY\A )
f (al")f x@) dr; entonces,l_
(rg
I
f(, f@1
I f (al")f x@) dr
J -'x
Hallar la distribución condicionada de X cuando Y :2"
Solución: Ladistribuciónmarginalde)- Y I t 2 3e
La distribución condicionada de X cuando Y :2 será:
f (alr)f x(")
Pr(X : LIY :2)
Pr(X : 2lY :2¡ : Pr(X : 2,Y :2)
3
4
-361
3
6
: Pr(X :3,Y :2) : -AO.
1
5
a)
que puede interpretarse como el teorema de Bayes para funciones de densidad.
Ejemplos
1. (Continuación) Un vector aleatorio bidimensional sigue la ley:
Y
X
321
1
2
3
1136 2/36 3/36
2136 4136 6136
3/36 6136 s/36
2
: - 36:11 - 6'
Pr(Y :2)
1
3'
1
2'
Pr(X :3lY :2) Pr(Y: 2)
164 Capítulo 5. Distübuciones Multidimensionales
2. La 1ey de densidad conjurrta de una variable aieatoria bidirnensional (X, Y) es
, f 2, si0(r1).,0<y<r,rly<r;
"fxr'(r,ll) : I .r'\r \ ¿/ L 0, casoconl,r'ario.
Hallar la ley de distribución condicional de Y cuando : 20.
Soht,c'ión: Se tiene que
dr :2(I _ y).
La distribución condi
f@lao) , Para0(rlr-ao;
caso contrario.
5.3. Esperanza y co\¡arianza de una r¡ariable aleatoria bidimensional
Al igual que en el caso de las variables aleatorias unidimensionales, en las bidimensionales es posible
calcular la esperanza y la varianza, previa la realización de una transformación de variables.
Definición (de esperanza) Sean (X, Y) un vector aleatorio bidimensional y g(r,y) una función
real
g iPt2 --J R
@,a) '- g(r,a).
1. Si (X,Y) es un vector aleatorio discreto, cuya función de probabilidad es /(z,g), entonces
E(g(X, Y)): tt s(ri,yj) f (*¿,a): tD,s@,,a)p¡¡.
ri aj ri yj
2. Si (X,Y) es un vector aleatorio continuo, cuya función de densidad conjunta es /(r, A), en-
tonces
E(g(x,Y)) : l:l:s@,a) r@,a)d,vd,r
Observemos que si X y Y son independientes, se deduce que
als@)n( )l : E[g(x)]Eth(Y)1.
Para las variables aleatorias bidimensionales se tiene una medida estadística nueva, ia covarianza) que
permite evaluar la relación entre Ias variables aleatorias X y Y.
Definición (de covarianza) Sean X y Y dos variablesaleatorias, Ia covarianza entre X y Y se
calcula por
Cov(x, Y) : E[(x - E(x))(Y - E(Y))].
Equivalentemente, la covarianza se puede calcular como Cov( X,Y) : E(XY) - E(X)E(y).
Propiedades. (Solo se demostrará una de ellas, se recomienda al lector verificar las restantes)
5.3. Esperanza .y covarranza
1. Cor'(-X. )') - Cor-()', I).
2. Cor'(X,,{) : VaL(X).
jJ. Si r¿t v (¿2 sorr dos colrstaltcs Positiv:rs, cutouccs
Cor'(a1X1 I^:?,Yr,\') 
: o,t Cov(X1,l') * a,2Cov(X2.\/),
1. Si 1¿rs r'¿rriables aleatori¿rs son independientes, Ia covaliarrza entre elias es igual a cero.
En cfc<;to,
Cov(x,Y) :E(xY) - E(X)E(Y) : E(x)E(v) - E(x)E(v) : 0.
lCov(X,}/)l < 1/Yar(X ) Var (Y)
-\ contirmación,
'.ralesquiera.
Var(X
se deduce una expresión para la varianza de la suma de dos variables aleatorias
[E2(x) + E2(v) + 2E(x)E(v)]
E'(v)l + 2[E(xv) - E(x)E(v)]
Y).
165
el coeficiente
+Y) : E(x+Y)' -[e(X+Y)]2
: E(X') + E(v2) + 2E(XY) -
: [E(x') - E'(x)] + [E(y2) -
: Var(X) +Var(Y) *2Cov(X,
Definición (de coeficiente de correlación) Sean X y Y clos variables
r: colrelación entre X y Y se calcula por
.isí. partr dos variables aleatori¿rs cualescluiera se tiene que
Var(X + y) : Var(X) + VaL(Y) * 2Cor'(X, Y).
le ruarrcr¿r sinrilar', la 'n'arianza del producto de dos varial¡les ale¿rtori¿rs X y l' es
var'(Xl') : pf..Var(X) + pk|X)Var(Y) t2¡ty¡t.,..Cor,(X, Y) +2prD [," - /¿-x)(l'- tr.)']
-t2¡r.,-E [t" - rtt) (X - ui')+ 2E i(x - ttx)2 (\' - r,t-t2] - [co"{ x,Y))2 ,
--,trde ¡r_y: E(X) y Fv: E()').
-',.-,n base en la covarianzay Ia varianza se define el coeficiente de correlación, que es una medida de
- dependencia entre las variables aleatorias X y Y.
p(x,v¡ :
Fropiedades. (Se lecoinienda que el lectol verifique algunzr cle cllirs)
-. p(x,\') : p(\" X).
l. El r,'¿rlol clel cocficieute cle con'el¿cióu varí¿r entre -1 .y 1; cs clecir', -l < p(X,y) < 1.
-r. Si )' st: cxprcsa linc¿rlnrenbe err función de X, pol Y : a,X f ü, donde cr, y b son dos constantes,
crltorICCS lf(X )-)l : f .
Cov(X, Y)
4. si
5. si
166 Capítulo 5. Distribuciones Multidirnensionales
lp(X,Y)l :1, errtottces cxiste clePeudc:ncia lirreal entlc X y Y-.
X ), \' sorr v¿r'iablcs ¿rlc¿rtoli¿r.s irrcleP<tnrlicntes, entou<;us p(X,l') :0.
Observación. Se debc tener en cucnta c¡re si clos rraliables aleatolias sorr independientes, cntoncc.
son no correlacrionadas; pero la afirmación rccÍ¡rroca no es correcta; es decir', si dos variables ale¿toriar.
no están <rorrelacionadas, uo son obligatoriamente inclependientes.
Ejemplos
1. Las variables aleatorias ,S y 7 tienen función de probabilidad conjunta dada por
T
s
-1 0 1
-1
1
r/8 r/12 7 /24
5124 116 rl8
Calcular: a) las esperanzas y las varianzas de S y de T; b) el coeficiente de correlación.
Solución:
a) Anteriormente habíamos calculado las leyes marginales de ^9 y de ?, que son:
s l-r 0 1
Sus correspondientes esperanzas son
-1 1
E(s) : ,-', (á) * ror (i) *
E(s2) : (-t)' (i) * (o)' (i)
E(") : (-') (;) * (') (;) :
E(r\ : (-')' (;) * (')'(;)
Var(s) : E(^9') -E'(s) :#-(+)' :H,
Var(") : E(T') -E'g)- 1 -02 : 1.
_1
- 
I.
En consecuencia,
b) Calculemos, en prirner lugar, la covarianza entre S y T, para ello determinemos E(^9?):
E(S") : ftiip(i,i) (i:-r,0,1; ,:-t,t)
?,J
: (-1)(-1) (*) . (-1)(,) (;u) . (o)(-') (#)
+(0)(,) (á) . (1)(-1) (h)* ('x') (*)
157t1
: 
--I8 24 24'8 4'
Por Io tiurt,o,
Con toCo esto.
También,
Entonces,
De manera que
5.3. Esperanza y covarianza
p(s,ll) : Cov(.S,7)
1.67
Cov(S',7) : E(sr) - E(S)E( T) : _'i_ ( ;) (o) :-1
2. La función de densidad conjunta de las variables aleatorias S y T está definida por
t / , 12, si0(r.-I,0<y<!,r*a<L;
I xv\r, Y) : t o, caso contrario.
Hallar la correlación entre X y Y.
Soluci,ón: Anteriormente determinamos que
f x(") :2(I - r) y fv(y) :2(t - a).
Sus esperanzas y varianzas son
-?-+: -0.29.t/toz
E(x) :E(Y) :* y Var(X) :vur(Y):*
E(xY) : 
lo' .[ot-' 
2ry d"y d,r :
Cov(X, Y) : E(XY) - E(X)E (n : + -
1
n
111
3"3- 36
P(S,T) :
Notemos que estas dos variables no son independientes.
Determine la correlación entre las variables aleatorias X y Y, cuya densidad conjunta es
Í x,y. (r, ü : L -L"-G'2 +u2 -2RLa) / QQ- R2D2"ffie 
\-'o , .@<r<oo, m(g(m,
donde lRl < 1 (a esta ley se le denomina normal biuariante).
Solución: Calculemos Ias funciones de densidad de cada una de las variables aleatorias.
1
2'
(i#) .'
Cov(^9, T)
: l: ¿-u2/2 l'* 
"-@-no)2/eG-R2D 
dr.
2n 1ffi" J-*"
Definición (de variable aleatoria multidimensional) Sobre un mismo
están defrnidas lasl'ariables aleatorias Xt, Xz, ..., Xn, entonces, se dice q.ue Z
es un vector aleatorio o una variable aleatoria n-dimensional.
espacio muestral l)
:(Xt,Xz,...,Xn)
168 Capítulo 5. Distribuciones MultidimensionaJes
.¿ ll Lt
IJ¿rr:irtrrrLo :- - : t' r/,r' - ,/ t - ll.2dz. crtcotttrarLtr¡s:,/ t tt:
I ..2 ., / - .: /, , 7 ,,.,.tl-./,,\- .'tt t: I Ct/-,la:-, t :t z. -)O<r< \.'t ) ' tt t - )tT' .l -^ rf-'l-
AniiLogarrrente, se clcteluriti¿rqrrc./¡tt) : j:e 'tt12, -co < r < oe.
v !7t
A p;rltir <[e ésto, es f¿icil I'ctificar que E(X) : E(y) :0 y que Var(X) : Var(]') :1
Encorttlerrros la cor'¿rli¿rttz¿r:
Cor'(X. Y) : E(Xi') - E(X)E(Y) :
= h'[- o"-o'''(l:
La integral interior es igual a Ry; por lo tanto,
Cov(X, \: ]-Jr; .[*_r'"-t"/2 d,a: R.
J';I _H
l:l:rurxv
1
: R :R.
1.1
(r,y) rlr d'y - 0
- ¡r- Ry)2 I Q(1-R2)) ar\ ¿y.
/
Con todo esto,
p(x,Y): Cov(X, Y)
vry"rEtrcn
5.4. Variables aleatorias multidimensionales
Los corrceptos descritos, r'áliclos prrra variables aleatori¿rs biclirnensionales, se pneden generalizar r.
vcctorcs aleatorios de cnalc¡riel dimcnsiórl; por lo tanto, solo vamos a exponer las definicioles d.
m¿rner¿l r-esumida.
Si Xl , Xz, ..., X, son variables ¿rleatorias discretas, el vector aleatorio Z es discreto y su función ci¿
¡r'obabilidad es
.fz(r¡, "',r,'.) : Pr(Xt : t7¡.'.,X,, : r,,).
Si Xl. ... ,X, son r'¿rriablcs ¿rlc¿rlolias continttas, el vector aleatorio Z es cotttittuo y la probabilida.-
dcl cvento u(Xr, ...,X,,) e E C R">> se calcula por
PL[(X1,... , X,,) € E] : I l' .[z(rt,...,r,,) d.r1...dr,,.'.1.1""'
E
La frurciórr ./ se derrotnirta ¿/crt,st]¿la,d, co'n,,jn,rtto, de X1 , Xz, .... X,.
La frrrrr:ióu cle distlibrrciórr <lc. l¿r r'¿rri¿rl¡le aleatotia rnttltivat'iar:te Z esti definidtr por
F7(r:¡,.,.,0,,) :Pr(Xr ( zt.. ...X,, ( r,,).
5. 5. AIguna.'^ distr-i b rrciones rnultidilne-nsior?ales inrportantes
L¿rs r.¿ili¿rlrlcs ¿rlc¿rtoli¿rs X1. X2, ..., X,, se llarl¿l"rr ilclel-lctrrclicrrtes si
l''7(,:t¡, , ,iLt,,) : Ff 
' 
(:t1) " '4x,, (2,,),
,r)f z(rt,.. . ,r,,) dr1 "'dr,,,,
169
-, eqtrivzrlentcntertte,
J'z@,,.. . ):t:¡t) : .frr(tr) . .' [x,,(L:,,.).
Sea g urra fitnción clefinicla de R" err R, la espcrtrnza nr¿rtemátic¿r cle tL(Xt,...,X,,), segrin l:r lc¡' ¡[s
Z. sc calcrrla por
E((g(Xr, X2,....X,,)) : t t g(rt,...,r,,)fz(rt,...,r,,,);
J:7 Ín
:rlando Z es discleta, y por
E((g(Xr ,X2,.. .,X,)) : .l -- .f O@r,
Rn
:uando Z es continua.
La covarianza entre dos componentes cualesquiera X, y Xrn
Cov(X,, X,n) : e [(¿ - E(&-))(X," - E(X"'))]
..i.rre también se la suele lotar colrro o,.?,r.
ii coeficiente de correlación entre ellas es
deZes
: E(X,X, ) - E(X'.)E(X,,),
)
)
la
de eda como
+
:.-
:-*=
P(X,,X,n):
Cot,(X,,., X,,r)
asocia su matriz de varianza-covar-ianza (o siurplernente
5.5. Algunas distribuciones multidimensionales importantes
l.i igr,rtrl que en el caso unidinrcnsional, lrlr:sent¿rrlros l¿rs clistlibucliorres rnnlticlirnensionales cle rnayor
-'-poltancitr; ellzrs son: la multirrorni¿rl, Itr uuifolrne y la nor-nt¿rl bir,¿rli¿rulc.
Var(X,.) Var(X,")
L70 Capítulo 5. Distribuciones Multiditnensionales
5.5.1. Distribución multinornial
Se dice que el vector aleatorio k-dinensioual X - (Xt,...,X*) sigue una distribución rnultinomia-
k
de parámetros (n; pt,...,p¡), (dond" 0 1pu < 1, D p¿ : 1), si
z:l
Pr(X : N) : Pr(X t : rlr¡. . ., Xt" : nk) : ñ *! -r.pT'''' 
p'1",
k
para N : (u,...,n*), donde D no : r.
i:l
A un vector aleatorio X que sigue una ley multinomial se lo nota X - M(n;Pt,. . . ,Px).
La esperanza, varianza y covarianza son, respectivamente, iguales a:
E(X) : n(h, "' ,Pk),
Var(X') : nPi(L-Pi), i:1,...,k,
Cov(X¿,X¡) : -np¿ps, i,+ j.
La distribución multinomial es la generalización multivariante de la distribución binomial. La dis-
tribución marginal de cada una de las componentes X¿ es binomial de parámetros (n¿,p¿) y cualquier
distribución condicionada es también multinomial.
Esta Iey de distribución tiene aplicación en el análisis estadístico de datos cualitativos.
Ejemplo. En una empresa operadora de tarjetas de crédito se registró las causas para la renovaciórr
de las tarjetas. Se estableció que 60 % es por pérdida, el25'/o por vencimiento y el 15 To por deterioro
Un dÍa se recibieron 28 solicitudes de renovación de tarjetas. Evaluar la probabilidad de que 15 sean
por pérdida, 7 por vencimiento y 6 por deterioro.
Solución: Sean:
Xy : número de renovaciones por pérdida,
X2 : número de renovaciones por vencimiento,
X3 : número de renovaciones por deterioro.
Se desea evaluar la probabilidad para nr :15, n2:7,r:,'s:6, (rt+rz-ln3:29¡'
Pr(X1 :15,Xz:7,Xs:6) ffi to.u¡ 151o.zs; 710. rs¡6
0.021.
5.6.2. Distribución uniforme
Un vector aleatorio X: (Xr, ...,Xn) tiene distribución uniformeen S: [ot,br] x. ..xlan,b,r] C Rn
si la función de densidad de probabilidad "f("r,. .., r,,) es
5.6. Ejercicios 171.
Esta distribución es el análogo rnultiva,riante de la distribuciórr uniforme. Las distlibuciones marginales
de las valiables aleatolias X¡ (i:1,..,,ri) son uniformes con densidad
{1
.f*,(r) : I bo - ^' 
si r € lo¡'b¡);
I o. si "r'I lo,,b,].
5.5.3. Distribución norrnal bivariante
Un vector aleatorio Z : (X, Y) tiene distribución normal
densidad conjunta es
bivariante no degenerada si su función
_2p(, - t4@ - p) - (y - !2)21 \oto2 --A-)J'r@,ü ;cfu."r{-¿^l%t
donde p es el coeficiente de correlación entre X y Y.
Figura 5.2: Función de densidad de la distribución normal bivariante.
as leyes marginales de X y de Y son: X - N(pr,o?) Vy - N(pz,oZ).
En un ejernplo de la sección anterior se calculó que el coefi.ciente de correlación entre X y Y es p.
trxiste un mayor número de variables aleatorias multidimensionales, pero su tratamiento sale fuera del
j,rminio de esta obra.
5.6. Ejercicios
1. Si la función conjunta de probabilidad de X y Y está dada por
r*u
J lr,a) : -30=, para Í : 0, I,2,3; A :0,I,2.
Construya una tabla que muestre los valores de la función conjunta de probabilidad de las dos
variables aleatorias.
2. Las variables aleatorias ,9 y 7 tienen Ia función de probabilidad conjunta que se resume en la
siguiente tabla:
T
s
0 1 2
0
1
2
3
rlr2 Llg rl24
114 rl4 tl40
rl8 rl2o
r/20
Encuentre:
t72 Capítulo 5. Distribttciones Multidimensionales
a) Pr(S' :1,7 :2);
lr) Pr(S:0. l<I<:J):
c) Pr(S *T <2):
z 0 1 2 .l 4
Pr(X : Z) 03 0.2 0.1 0.15 0.25
ci) 1'r(5 > ?);
c) ias clistlilrucion<rs nralgirralcs cic ,9 ), <lc I
J _VÓ 0 t/z
Pr(Y :.i¡ 0.25 0.67 0.08
3. La función coljunta clc plobabiliclad cle X y Y está clacla por
l@,y) : c(:r2 + ?r2), p¿rra t: -- -7,0, 1,3; !,/ : -r,2,3,
Encuentrc:
a) el valor de c; d) Pr(X >2-Y);
b) Pr(X :0,Y < 2);
c) Pr(X íl,Y > 2); e) las distribuciones marginales de X y de l-.
4. La distribución conjunta de las variables aleatorias X1y X2 es
Xz
X1
012
0
1
2
p
2p
4p
p12 pl4
p pl2
2pp
a) Halle el valor de p;
b) Halle las leyes marginales de X1 y de X2. ¿Son independientes?;
c) Sean Y : Xt x X2, calcule la esperanza de Y.
5. Las variables aleatorias X y Y son independientes ent¡e sí y sns funciones de probabilidad son
Encuentre la función conjunta de probabilidad de (X,Y).
6. Dada la distribución de probabilidad de una variable aleatoria bivariante discreta
Y
x
-3 4 10
2
4
0.15 0.13 0.27
0.10 0.30 0.05
a) Halle las leyes de distribución de X y de Y;
b) Calcule el coeficiente de correlación cntrc X r,' }, .
Dada la distlibución cle 1>robabilidacl clc uu¿r variable aleatoria bidimcnsional cliscreta
Y
X
l0 20 30 40
0
1
0.05 0.1.2 0.08 0.04
0.09 0.30 0. r1 0.21
a) Detcrmine las le1,ss ¿. distribrrción cle X y l';
b) Calcule el coeficiente cle corlel¿rcióu r:ntre l¿rs r'¿rri¿rblcs ale¿rtori¿rs.
7.
5.6. Ejercicios 173
3. Sc r:ousicl<trzr 1a sigtLictrtc f\urcióri de plolrabili<1acl corrjrLrrta. rlc la,s r'¿rli¿rbles ¡rlc¿rtoti¡Ls X y Y
1. , , I ', Qr -,¡1. .i .r'É {0 I 1.3}. // c {1.?.3}:./.\)'(¡'lt: 
\ tt. (.;r¡O r.(rull.al.iu.
a) Hallar A; pala qne ./11' sea función dc probabiliclacl puutual conjrutta;
b) Halle l¿rs funciones clc pr:obabiliclad malginal cle X v clc )';
c;) ¿ X y )' son inclepenclientes'/ Justificlue 1a resprtesta;
c1) CalculePr(1 <X<3;2<Y <3) vPr(X+y<3).
9. D¿rcl¿ la función de distribución de ia variable aleatolia bidimensiortal contitrua
nt , f senrser\y1 si 0( r'1 rf2, 0<y<rf2;rw'lJ):l o, si r(0, y<0.
a) Halle la probabilidad de que el punto aleatorio (X,Y) caiga en el rectángulo limitado pol
las rectas r -- 0,, :;, y : [,, : tt
b) Deterrnine las fr-rncioues de densidad marginal de cada una de las variables aleatorias.
,1. Dada la función de densidad coniunta
f (r, a) : ! "-\" 
*" Y+5a2) 12 ' _.'x) < r
1T
Encuentre las funciones de densidad de cada ttna de las
L¿r 'r'ariable aleatoria bidirnensional (X, Y) tiene función
[ ?,u') : (1 + r;2) (t6 + a2)'
zr) Halle la constantc c; b) Detcrmine si X y Y son independientcs.
La clerrsiclad conjunta dc X y Y es /(r; U) : A3ne )(z+e) para r > 0 y ;¿/ > 0.
a) Halle las densidades marginales y demuestre que X y Y son independientes;
b) Haile Pr(X < a;Y 1b) para cualesquiera núrmeros positivos ct y b;
c) Halle Pr(X < o) para a > 0.
En una irrvestigación sobre la utilización clel créciito institucionai pol palte cle los canrpesiuos s('
registra e1 nr'rmero de cultivos que tiene ei campesirro en slr uniclacl proclr-rctiva (variable -X) v cl
nrimero de pr'éstamos que ha obtenido en los riltimos años (variablc I). En 1a siguiente labla
se pleserrt;ru ios resultac-los cle Ja irrvestigaciórt:
{N, -oo(lJ<(n.
conrponentes. ¿,Son independientcs'/
cle densidacl
:r.y €F'.
Y
v
-,\
L ) .l,) 4 5
0
1
')
3
2150
3/5n
r ls0
7150
5150
12150
e l50 41 50
3ltt)
:t 150
\ 150
a) Olrterrga l¿rs distlibucioucs nrarginales de ,Y
b) Dctclrnine la cListtibLrcitin probabilísticir dc:
rIn<:ios:
y cle )'-;
créclitos olrtenicl<¡s, r-lado que cultir'¿r clos plo-
174 Capítulo 5. Distribuciones l\[ulticlinterr.sjorr¿r/es
c) Olrtcrrgir l¿ distribrrr:i<irL plol-ralrilÍstica cle 1>r'och-rctos. \:¿:l (ln(' rlr ticrur próstirrrr<ls.
Uu soc:icikrgo irrvr:stigrr cl c:<lrrr¡rortirnrietrto <lcliuttrcrr<:i¿rl <[c los irrtcr rros <lc trrr pr.rral. L¿r r'¿rrial
X relltcscut¿r c-.1 ruirrrcro rle voccs rlue ha cst¿ulo clctcrri<lo v l¿r r'¿rriabkr )'- cl uliurclro rlc rlcll-
c[istitrtcls llor los (¡rc] ha siclcl s<lrrtcuci¿r.clr. Srrs r1¿rtos sc reslrrl)clr crr Ia sigrriorrte talrla:
T4
Y
.Y
i 2 .).) 4 5
1
2
3
4
I
tJ
6
7
15/100
5/100
21r00
e/100
1 1/ 100
41t00
rlrc}
41r00
51700
7 1100
3/100
21r00
21r00
1/100
21r00
3/100
5/100
41r00
3/100
21r00
1/i00
1/100
1/100
21r00
211.00
1/100
21t00
15.
16
17,
a) Obtenga las distr-ibuciorres rnalginales de X y cle )":
b) Determine la distribución del núrmero de veces que h¿ estado detenido, si solo ha cometi,:-
un delito.
Sea X una variable aleatoria que sigue una ley ul)ifolure sobre {1,2,...,n}. Sea Y la variab-.
aleatoria definida ¡ror Y : (X + l)2. Calcule la cor'¿rianza entre X y Y .
Sea X una lariable aleatoria qne sigue una ley unifornre sobre {-1,0, 1}. Calcule el coeficiel,:.
de colrelación cntre Xtn y X'tL.
En nna urriversidad se toma, a los aspirantes, pmebas de ingleso en ciencias y en humanidades. S
X y Y sou, rcspectivamente, Ias ploporciones de rcspuestas correctas que un estudiante alcaui..
en las pruebas ¡r su función de densidad conjurta vie¡e dada por'
r 4r -l6u
,,^ ^.t - JIV,A): \ 5
[ 0. caso corrtrario.
¿.Qué ¡rorcentaje cle estudiantes conseguirán:
a) nrenos del 40% de respuestas correctas en cada una de las pluebas?;
b) rrrás del 80% de respuestas correctas en cienciasr,. rnenos de 50% en hurnanidades?
18. La c'arrtidad en rniligramos de dos componentes con[enidos er] un producto es nrra valial.'--
aleat<¡ria hrir,ariantc. cuya fttnción de densidad viene dada pol Ia expresión
r@,ú: { ;:r, ::j:":;:,;'' 
o < v < r;
Errcucrrtre el valol cie la constante c;
I{¿rlle Ia ley condicional /(zlys):
C¡tlt:ule la ¡rrobabilidad de <¡ue la c¿ntidacl clcl primer componente sea menor que 0.3:
rrritigramos cuando la del segundo cs 0.8 nriligramos;
;.S,ru irr,ül¡rendientes los dos <.:omponentes'?
a)
lr)
C:)
d)
5.6. Ejercicios L75
19. Si X cs l;r pr'oilorc:i<itt rlc pcrsonas que I'csl)ontlcrr ¿r ulra cnclrost¿r le¿rlizacla por correo y )'' t:s
la ¡rtopor< iritr <lcl l)0lsorras cllre resl)onclen a otla errr:rrest¿r rr:aliz¿<l¿l l)ol correo, y la ftLrrciirn r1<''
rlcnsirl¿rrl <:orr.jrurtit <lc X y )/ est¿i dada por
r 2ri8t| -*'-!, para 0(r(1; 0<yl1;.lb,v): I 5
[ 0, caso colrl r'¿trio.
Eucueutle:
a) la funciórr cle densidad marginal de X;
b) Ia probabilidad de que aI menos un 30 % de Ias personas responda a la primera encuesta;
c) Ia probabilidad de que menos de un 40% de las personas responda a la primera encuesta y
que más de 50 % de las personas responda a la segunda.
La vida de uso (en horas) de cierta clase de circuitos integrados es una variable aleatoria con
función de densidad I 20000
l@): { G+ looF' st z ) u;
I O, caso contrario.
Si tres de estos circuitos operan independientemente, encuentre:
a) la densidad conjunta de X1, Xz y Xs, que representan la duración de cada uno de los
circuitos;
b) la probabilidad Pr(X1 < 100,X2 < 100,X3 > 200).
Sean .9 y T dos variables aleatorias cuya función de densidad conjunta está dada por
20.
2r
f(",t):{ *' si o(sl8; o<t<7;
t 0, caso contrario.
a) Encuentre el valor de k;
b) Obtenga las densidades marginales de ^9 y de ?;
c) Determine la función de distribución F(s, ú).
22. Una función de densidad conjunta está dada por
f(r,a,-,, I 
l6ryzt' si 0( r1I; 0<y<1; 0<z1I; 0l¿11;
¿' t/ - I 0, caso contrario.
a) Calcule la probabilidad cle que X 
=X,, ,i,
b) Obtenga la densidad marginal de ?;
t .;y r >2s,
c) ¿Son las variables aleatorias X, Y , Z y T mutuamente independientes?
La densidad conjunta de (X, Y) es
r(*,v): { i:t 
- r - u)' 
:'-: ;ffi?,I' 
< a < 4;
a) Halle el valor de k;
b) Obtenga l¿s densidades marginales de X y deY;
l.;}]
176 Capítulo 5. Distribuciones Multidimensionales
c) l)cterrniue 1a covarianza entre X y 7'.
24. Sr'¿r r ,2 .2.
.f (r,ü : I 
c^ÍYe-\r'-+tt- )''r' ) 0;'Y > 0;
L 0. err otros casos.
a) Halle el valol de c;
b) Obtenga las densidacles marginales de X y de Y:
c) Calcuie las esperanzas dc X v de Y;
d) ¡,Son independientes X 1, )/'/
25. Sean X y Y dos variables aleatolias cuya densidad conjunta es
. ( !6rr+yr)y, sio( r1r; o1y<
f (r,a):1 5
|. 0. caso contrario.
a) Obtenga las distribuciones marginales de X y de Y;
b) Halle la covarianza entre X y Y;
c) Calcule las esperanzas de X +Y y de X2 +Y2.
26. Sea (X, Y) distribuido uniformemente sobre el sernicírculo del diagrama.
si (r,y) está en cl semicírctilo.
a) Determine las distribuciones marginales de X y de
b) ¿Son independientes X y Y?
Para la distribución bivariante
c*rly
l;
Entonces, f (r,y):
Y
27
.f (r, v) : (1+Z)4(1 +y)4',
0,
si r)Q; a>0;
en otros casos.
¿.Son independientes X v Y?a)
b)
28. Pala
X;de
YY
al
:
+
c)
si z 0, y>0; conn),2,
caso contlario.
29
a) Determine la constirnte k;
¿Son indepcn<lientes las valiables alcatoritrs X y
,)
at:-
a) l?,a) :3 ", 0 
( r 1y 1 l?;
a"
r@,a): {3:r' :ff"h;,s 
s I 1;
5.6. Ejercicios
a) Encuentre el valor de k;
b) Calcule ias funciones de densidad marginal
c) Calcule las esperanzas de X y de Y;
d) Calcule Pr(X < 0.51Y : 0.6);
e) ¿,Son XyY independientes?
Sca (X, Y) una variablc aleatoria liidirnensional
L77
Obtenga l¿r función de distribución.
la frurción de densid¿rd conjunta es
h
"f(r,A): 
-. 
r) 0; rr>0?(r+r ta)4
deXydeY;
con función dc densidad conjunta
0<g<r<1.
lr)
Y, si
b)
30. Dada La función de densidad dei vectol aleatorio (X.)')
( 6r, para 01r1Y<1;
f (r.t): Ir \*'Y [ 0, caso contrario.
Encuentre las funciones de densidad marginal de X y de Y.
Si (X,Y) es un vector aleatorio con función de densidad conjunta f (r,y) :!6'+y¡si 0 < r 1lr \ )¿
y0<y<L(y0enotrocaso).CalculelacovarianzayeIcoeficientedecorrelacióndeambas
variables.
Dada la función de densidad de (X, Y):
.1 l-
.? r)
')t
'),)
Calcule:
a) el valor de la constante k;
b) Ias ftrnciones de densidad rnalgiual cle X y Y. ¿Son independientes?;
c) la corrarianza entre X y Y;
cl) la función clc clensicla<l <tc )''lX : 1;
2'
e) la csperanza de YIX ::.'2
ji. Si (X, Y) está uniforrnemente distribuido en cl triángulo limitado por las rectas t :0, A :0 y
r + lJ :2, encuentre:
a) iafunción cie densida"d de (X,Y); c) lacovarianzaentre X yY.
b) las funciones de densicl¿rd clc X y de Y;
l;. La distribrrción coljnnta cle las r.ariables ale¿rtoli¿rs X :,Y es uniformc en el cnadrado con vértices
en (1, 0), (-1, 0), (0, 1) v (0, -1).
178 capítulo E. r)istribuciones Multidimensionales
tr) Escrilra l¿,1 frrrrciórr clc clensicltcl conjrrnta cle X y y;
lr) calcule la firrrc:i<irr clc cle'sicl,rrl nargi'al ck: x y dibtrjela;
r;) Hallc E(X) V Var(X);
<l) Czrlcule E(XY);
e) Caicrrlc la crtr'¿r.ianza y la corrclación eutre X y y.
El clellzrrtanlento dc señalización clel municipio registró el por.centaje de focos c¡re tiene clpt
Ieent¡rlazar en los scmáforos, segt I] el colol que ellos ilnminan. Se detectó que el 45 % so¡ de-
color verde,20To del color amarillo y 35% clel color rojo. En una muestra aleatori¿r cle 1b focos.
¿,crrril es Ia probabiLiclad cle que:
a) hayan 10 r'erdes, 1 amarillo-r 4 ro.jos?; b) havan 5 focos de cada color?
Entre las operaciones qlre se realizan en un banco se ha registraclo que a lo largo del tiempo se
tienen los siguientes porcentajes <le retiros, depósitos y cambios de cheques, 3l%, 40% y 25;-:
respectivamente. Un ca.jero reali::ó 20 operaciones en una hora. Determine la probabilidad de
que se hayan hecho: a) 5 retiros, 1(ldepósitos y 5 cambios de cheques; b) 10 r.etiros y 10 depósitos
SegÚrrr el Registro Civil, la poblaciin ecuatoriana entre los 18 y 6b airos cle edacl tiene la siguicnt.
composición:30Vo son solteros,4ltTo son casados, I5%o son clivorcitrclos y 10% son viudos. E:-
una oficina labotan 18 personas, ¡,cuár es Ia probabilidad d.e que haytrn:
a) 6 solteros, 6 casados, 3 divor:iados y 3 viudos;
b) 7 solteros, 8 casados, 2 divor:iados y 1 viuclos?
De ¿rctterdo a la teoría de la here tcia de \4enclel, si plantas con sernilla ¿rmar.ill¿i lis¿ se cl.Llz¿-l
con plantas de sernill¿t t'erde rtl8os¿, se obtiene los siguientes resultados con sus r.espectir.;..
prolrabilidades:
36.
DNr) f .
38
39
rarilla y iisa
rarilla y lllgosa
'de y lisa
'de y rlrgosa
Prob¿rl-¡iiicl¿rcl
el16
3l16
3l16
1176
¿'Cuál es Ia probabilidad de que e rtre 9 plantas así obtenidas, 4 sea¡ cle semill¿r amarill¿ lisa. _
sean de semilla amarilla rugosa, 3 de semilla vercle lisa y ninguna cle semilla vercle rugosa?
40' Las variallles aleatorias Xt, Xz y X3 siguen las siguientes leyes de probabilidad: X1 - 
^f(10. 
I
Xz - N(20, 1) y X¡ -.A/(30,4). le definen
Zt: XtlX2- X3, Zz: XtlXzlXz, Zs: Xt_Xz- X¡.
Si X1 , Xz, Xs son independietrtes calcule la nlatriz cle covarianzas cle (21,22,2;).
4r' Las variabies aleatorias xt, X2, . ., Xr, yt, y2, - . ., y, son inclepenclientes. porrgamos
,,t:' 
"rlr' 
: ;:;. 
* 
Í i',",
Halle la covar.ianza entre $, y T, ;i
lt(Xk) : a, Yar(X¡,1 : 6,2,
Pr(Y¡:7) :p, Pr(Y¡-0) : e:l-p, k :I,2,...,T.
42. Sea X - N(I,1), halle la matriz ce covarianza de (X, X2, XB).
T
Capítulo 6
Distribuciones de Muestreo
En c'ierto sentido, Ia estadística y la probabilidad tratan con problernas inuersos:
si el objetiuo bó,sico de la probabi,lidad es calcular las probabi,lidades
de euentos compl'icados que siguen un modelo probabilístico,
Ia estadística trata de clarificar Ia estntctura de modelos probabilístico-estadíst'icos
rnediante la obseraación deuarios euentos complicados.
A. N. Shiryayev
La ley de distribución normal es el modelo probabilístico más empleado en Ia Estadística, debido a
ia aplicación del Teorema del Límite Central; sin embargo, este resultado no es aplicable en todos
-os casos. En el presente capítulo examinaremos las leyes de probabilidad que siguen ciertas medidas
,rtadísticas, obtenidas a partir de las muestras, que nos permitirán construir modelos inferenciales
.obre los datos.
n-as distribuciones de muestreo, constituyen el punto de transición desde la Probabilidad a Ia Estadís-
:ica.
6.1. Reseña histórica
La Estadística actual es el resultado de la unión de dos disciplinas que evolucionaron independien-
-emente hasta confluir en eI siglo XIX: la primera es el cálculo de las probabilidades, la segunda es
-¿ <Estadística>> (o ciencia del Estado, del latín status), que estudia la descripción de datos, y tiene
:arces más antiguas. La integración de ambas líneas de pensamiento dio lugar a una ciencia que estudia
-'imo obtener conclusiones de la investigación empírica mediante el uso de modelos matemáticos.
I os comienzos de la estadística se pueden hallar en el antiguo Egipto, cuyos faraones recopilaron,
:acia el año 3050 antes de Cristo, datos relativos a Ia población y la riqueza del país. De acuerdo a
leródoto, dicho registro de riqueza y población se hizo con el objetivo de preparar la construcción de
-rs pirámides.
L,c chinos, también efectuaron censos hace más de cuarenta siglos. Los griegos realizaron censos
;eriódicamente con fines tributarios, sociales y militares. La investigación histórica revela que se
:o-alizaron 69 censos para calcular los impuestos, determinar los derechos de voto y ponderar la potencia
SUerrera.
Fero fueron los romanos quienes mejor supieron emplear los recursos de la estadlstica. Cada cinco
úm realizaban un censo de la población y sus funcionarios públicos tenían la obligación de anota¡
179
1ECI Caytítulo 6. Distribucior:¡es de M¡-¡esúreo
n¿r<:itnicni<¡-s, defnnciolres 1- rna.1 r'iurorrios) sin olviclar los iecurr:ntos petióclictos clcl g;lnarlo I' de lirs
licluezils contcnic,l¿rs crr l¿rs tict r¿rs colc¡tisladas.
Durante los rnil años sigrrientcs a. la caída del impclio Rornaro sc rc¿iliz¿rron rruy po.i¿rs irn'estigaciones
est¿rdísticas. E1 primel intento de aplicar un razonamicrrtu propiirmentc cstadístico, en el seul,ido actua.
del tér'mino, a datos clernoglzificos es clebido ¿r John Granrrt, err 1662, quien sc plarrteó el problem:r de
estirnar Ja pol-rlaciórr inglcsir de la época.
Goclofredo Achenu'all, prof<:sor de la Universidad dc Gotinga, acuñé en 1760 la pzrlabra estadística.
qtre extrajo del término italiano sta,t'ista (estadista) . Creía, y oon sobrada razól, que los datos de la
nlre\/a ciencia serían el aliacio más eficaz de los gobernantes conscientes.
Durante el siglo XVIII y 1a mayor parte del siglo XIX, Ia Estadística evolucionó como ciencia separada
del Cálculo de Probabilidades. Una contribución importante al desarrollo de la Estadística es debid¿
a A. Quetelet (1846), quien sostuvo la importancia del cálculo de probabilidades para el estudio de
datos humanos. Quetelet demostró que la estatura de los reclutas de un regimiento seguía una le¡'
probabilística, e introdujo el concepto de <<hombre medio>>.
A finales del siglo XIX, Sir Francis Galton ideó el métoclo conocido por correlación, que tenía por
objeto medir ia influencia relativa de los factores. Sus irrvestigaciones se dirigieron a aplicar métodos
cuantitativos en el estudio de la herencia humana. La importancia de Galton radicó no solamente en
el nuevo enfoquc que introdujo en los problemas de estadística, sino también en su influencia direct¿-
sobre W. Weldon, K. Pearson y Edgcworth, entre otros. Además, fundó el primer departamento de
Estadística.
Pero, talvez qu.ien rnás ha influido en ei desarrollo de la Estadística moderna es R. A. Fisher (1890 -
1962). Fisher se interesó plimero por la eugenesia, Io que le condujo, siguiendo ios pasos de Galton, :.
la investigación estadística. Sus trabajos culminaron con la publicación del libro,9ú¿listi,cal Method:
t'or Research Workers. En esta obra aparece el cuerpo mctodológico básico de la Estadística actual.
A partir de 1950 se puede considclar que comienza ia época moderna de la Estadística. tln aspect,-
clifercncial respecto a ios periodos ¿rnterioles es La aparición cle las computadolas) que revolucionalor,
1a metodología estadÍstica y abren enormes posibilidades para 1a construcción de modelos complejos
En la actualidad, ia trstadÍstica es una discipiina que actira como pncnte entre los modelos matemático-
y los fenómenos reales. IJn modelo es una abstracción sirrrpliflcada de una realidad más compleja -
siempre existirá discrepancia entre lo observado y 1o previsto por el modelo. La Estadística proporcioni-
una metodología para ev¿rluar y jr.rzgar estas discrepancias entre la realidad y la teoría.
6.2. befiniciones básicas
A contiuuación damos varias ilefi,niciones de inter'és, qr-rc permitirán entendcr la terminología c1'r..
emplearemos. Algr-rnas definiciones ya se dio con anterioliclacl, pero las repetiinos para rrna rrra-\'.
claliclad cle los couceptos
li
lpI
tt
l',I
Er
E
'de
po
-En
Por
Iup
Ger
par¿
Den
nás
por
Los
La población debe
A la r:aracterística
ol¡ s cr-ur¡,cior¿cs.
tener características medibles o cántables, cle
nredible sc denomina uar-iabl,e estadística t¡
rraturaleza cuarrtitativa o cualitatir'
a los r-¿rloles ciue tom¿r se los llal
Defi.nición (de población) Una población (o universo) es una colección completa de pelsonas.
anirnalcs, plantas o cosas de las crrales se desea recolectar datos. Es el glr-rpo cutero al que querernos
dr:scribir o del que deseanros sacar conciusiones.
6.2. Definiciones básicas 181
Definición (de muestra) Es un grupo de unidades seleccionadas de un grupo mayor (la
población) . Por el estudio de la muestra se espera obtener conclusiones sobre Ia población.
Definición (de parámetro) Un parámetro es un valor, usualmente desconocido (y que por lo
tanto tiene que ser estimado), usado para representar cierta característica de la población.
Entre otros, los parámetros poblacionales son:
. La media, /_¿;
r El total, r;
. La varianza, o21
. La desviación estándar, o;
. La proporción, 7T o p.
Definición (de estadístico) Un estadístico es una cantidad que se calcula a partir de una muestra
de datos. Se los emplea para dar información sobre los valores desconocidos correspondientes a la
población.
Por ejemplo, el promedio de Ios datos de una muestra, se usa para dar información sobre Ia media de
-a población, de la cual se extrajo Ia muestra.
leneralmente, a los estadísticos se les asigna letras latinas (por ejemplo, m y s); en cambio, a ios
:arámetros poblacionales se les asigna letras griegas (por ejemplo, ¡,t,y o).
Jentro de una población, un parámetro es un valor fijo que no varÍa; mientras que es posible extraer
-'ás de una muestra de la misma población y eI valor de un estadístico variará de muestra a muestra.
lr ello, un estadístico es una variable aleatoria que sigue una ley de probabilidad.
-..rs estadísticos más importantes y sus valores, calculados a partir de una muestra de tamaño ?¿) son:
i"n
. La media muest¡al o promedio , T : L;
m
. El total muestral, i: Nr, donde,Ay' es ei tamaño de la población;
'ln
La r.arianza mucstral, s'2 - ---:- T.@, - ¡)2;
. La desviación estándar muestral. s : 1n-I - r)";
'rL
D@,
i-I
Lt
n,
. La proporción rnuestral, f : , donde y es el número de éxitos entre n intentos.
182 Capitulo 6. Distribuciones de Muestreo
6.3. Distribuciones de muestreo
Si decirnos que un estadÍstico es Lrna v¿rlialrlc aleatoria, entonces tendr'á una
asociada.
Icv de lrrobabilidad
Definición (de distribución de muestreo) A la ley de probabilidad que sigue un estadÍstico se
Ie denomina distribución de muestreo.
La derivación de la distribución de muestreo es el primer paso en la realización de inferencias sobre el
valor del parámetro asociado al estadísticoquc se estudia.
6.3.1. Distribución de muestreo de la media
Supongamos que se obtiene una muestra X1, X2, . . ., Xn de una población que tiene media p,y varianza
o2. A partir de la muestra calculamos el promedio, X. Entonces, se cumple que:
E(x) :
Var(X)
X-u,3. '+ sigue aproximadamente urla ley normal estánclar (por el Teorema clel Lírnite Central).ol\/n
Es decir,
Pr(x < L) =v, ( zs +) :o ( ++\ .\ -ol'/") \"11")'
donde Z es tna variable aleatoria normal estándar.
Téngase en cuenta qlre) para la mayoría de aplicaciones, ya se obtiene una buena aproximación cor-
un tamaño de muestra de n:25.
Observación. La desviación estándar de la media muestral se denomina er"ror estó,ndar y se le not;-
oTi
o
OV
\/n
Ejemplos
1. Supongamos que se selecciona una muestr a de n : 36 observaciones de una población con pt - -
yo:0.9.
a) Hallar Ia probabilidad aproximada de que la media muestral sea menor que 6.9.
b) Obtener la probabilidad aproximada de que el promedio X sea mayor que 6.82.
c) Hallar la probabilidad para que X esté en el intervalo (6.8;7.29).
Solución: La distribución de la media muestral X sigue una ley normal con media p : 7 :
. o2 (0.9)2 0 0.9
varlanza ; 
: 
36 ; es declr' ,fr: ,,/g6 
: u'rc'
l-L;
o2
- 
-1TL
1.
2.
6.3. Distribuciones de ntuestreo 183
Pr(X < 6.9)
b) Tenemos que
Pr(X > 6.82) : 1-Pr(X <6.82) = 1- v, ( z= 
u?''lt)
\- 0.15)
: 1-O(-1.2) :l-0,1151
: 0.8849.
c) La probabilidad de que la media muestral esté entre 6.8y 7.29 es
Pr(6.8 <X <z.zs¡ : e, (8:J < z <7'2e-7)'^\ o.lb \z\ o,lb )
: i:iffl - 
o(-1 33) :0 e732 - 0 0e18
El número de clientes que ocupan un cajero automático) en un lapso de 5 minutos, es una variable
aleatoria distribuida según la siguiente ley de probabilidad:
k 0 1 2 3 4 5
PI, r/tz 2/72 3l12 3lt2 2lt2 r/72
a) Halle la media y la varianza de la variable aleatoria; b) Se escogieron 46 muestras, de 5 minutos
de duración, y se contó el número clientes que utilizaron el cajero. ¿Cuál es Ia probabilidad de
que el promedio de clientes esté entre 2.2 y 3?
Soluc'ión:
a) La media y la varianza son:
tt : D,,r*:ox i*r"3*r"i*3x i*n"l*r"i
5
2'
a) Así,
o2:
b) Sea X
6.9 - 7\
0.15 )
Dt'or- tr2 :o " # * 1 x l*n" l*n " i*16 x
x ,r(t
: 0.2515
a-
,?r*r, " +- (;)'
23
t2'
la media de clientes que ocupan el cajero en muestras de tamaño 46. Se tiene que
23
5oo2111
lt.z:l-t:5 y oi:i:ñ:ú.
. /5 1 \
Entonces, X - N \;, ^); 
por lo tanto,
: aQ.45) - o(-1.47)
: 0.922L.
3.
184 Capítulo 6. Distribuciones de Muestreo
En una plania pasteurizadora se ha observado que la máquina que llena las fundas de leche.
envasa el líquido con una media p y una desviación estándar de o:20cnr3. Si un día se llevarL
a cabo 25 mediciones de la cantidad de leche en cada funda. a) Caicular Ia probabilidad de que
el promedio medido difiera a lo mucho en 8 cm3 de la media teórica que debe tener el volumen
de leche envasado; b) ¿cuántas mediciones deben realizarse para que 7 difiera dc ¡r, en menos de
Bcm3, con una probabilidad de 0.99?
Solucíón: Como n : 25, se puede asumir que la distribución de X es aprc:,i-:ladamente normal.
a) Entonces,
Pr(lX-/rl <B) : Pr(-8<X-p<8)
/88\: "'|.-r¡E<zsn/6)
: Pr(-2.2.2),
donde Z : X -# sigue una distribución normal estándar. La probabilidad buscada esolt/n
Pr(-2 < Z <2) : o(2) - o(-2)
0.9772 - 0.0228 : 0.9544.
b) Se tiene que
Pr(lX - pl l8) : P'(-s < X -p S 8) : 0.99.
Como o:20,
,, ( -Y ,X ,-1,_ 
= 
Y) :pr(-0.4Jñ < z < 0.4Jn): o.ee.\ 20 -olr/n- 20) --\ --v
Mediante la tabla de la ley normal se encuentra que
Pr(-2.57 < Z < 2.57) : 9.99,
por lo que se deduce qne 0.4Jn:2.57, o sea
":(#):40e6'
Se necesitan al menos 41 mediciones para que el promedio de la ¡nuestra esté a 8 cm3 de ,
rnedia poblacional con probabilidad deI99%.
6.S.2. Distribucidn tle rmlestreo de la proporción
Supóngase que tenemos una muestra alcatoria Xy, X2, ..., Xn, proveniente de una población qne s-:
una ley dc Beriroulli, Ber(p). Definimos
n:irn
i-r
donde X¿:7 con probabilid^'r p y X¿:0 con probabilidad Q: I - p, i : I, 2, ..., n. Entonce.
cuenta el número de éxitos en . intentos. La proporción de <<éxitos>> en la muestra es
f:Y: li",
TL 7I4;- 1
La
o2"
variable aleatoria Y tiene distribución binomial de parámetros (n,p). Por lo eu€, py:
: npe, y se cumple que:
6.3. Distribuciones de muestreo 185
1r E(i) : -E(Y) : p;n
1l. Var(f) = I Var()') :?3:rL' n
l. + sigrre aproximadarnente Lrna ley normal cstánclar' (por el Teorema del Lírnite Central)
\/ pq ln
Es decir. ./ \ / \
P,(Fsl) =Pr(z1l!) :of '-1 )
\ - t/pql" ) \r/pql" )
dorrde Z es tna variable aleatoria normal estándar.
Ejemplos
-. En un proceso de producción el 20% de los productos tienen algún defecto. Se selecciona
una muestra de 100 unidades y se cuenta el número de artículos defectuosos. Determinar la
probabilidad de que la proporción de defectuosos se encuentre entre el IS%a y el29%.
Solución: Tenemos que p : 0.2 y on :0 2-\^=0 B : 9 rtu.n 100 100'
Se desea evaluar la probabilidad Pr(0.15 <0 < 0.29); ésto es,
Pr(0.15 <0 < 0.29) : P.(0< 0.29) -Pr(p'l 0.15)
o(!zg::2.\-rlors-oz\
\v/0.16/loo/ \v/0.16/1oo/
aQ.25) - O(-1.25) : 0.9878 - 0.1057
0. BB2 1.
Eu lrna investigación por muestreo interesaba saber el nivel de sintonía, en los hogares, de un
partido de fúrtbol. Se realizó nna encllcsta en Qr-rito a 213 hogares y se encontr'ó qr-re el 53% de
los hogares habían visto el nencionaclo partido. Srrpongamos clue la proporción 7r de hogares
en los que se vio cl partido fue realmente igual a 0.5. ¿,Cuál es la probabilidad de observar una
proporción muestral f igual o mayor qr.re la observada 0.53?
solución: Tenemos n:2r3 v p:0.J; por lo tarrLo, T - +# : 0.001174.
Por 1o que,
pr(f )0.s3) - t-pr(f<0.53) =1-pr (¡=.9)' \ t/Pql" '/o'oottz+ 1
= 1-0(0.88) -1-0.8105
: 0.1895.
Es decir, con una muestr'¿ de 213 hogares Ia iirobabilicl¿d de que la proporción ol¡selvad¿ sea
mayol'o igual a 0.53 es del l8.95o/a.
Hzq qrre totnar Lrr.¿i nltcstla. alc¿rt,or'ía para estimar Ia proporciórr de artículos defcctnosos p de lur
ploceso de prochrcción. a) Establecer el tanraño mínirnc¡ de ia rnr-restla de modo que la proporción
observ¿rda difiera de la propolción velda,clcrr'¿ on irrerios cle 0.1, oon riua 1>robabi iclad c,le al rnenos
eI 957o; b) Realizar el inciso antelior si se conoce qr.re la ploporci<in dc artÍculos defectuosos es
mcnor clue c1 12 %.
Soht"ci,rin,;
186 Capítulo 6. Distribuciones de Muestreo
zr) Deseanros cletermirtar el ta,rnaño nríuirno cle 1a mrrestr¿r clc tal moclo quc Pr(lp tl < 0.1)
0.95:
P'(lp-tl <01) : P'( 0.1 <p-t<01)
: P,f+ <z< o' \
\r/pql,,- - r/nul,,1
olq$) <,(_otJ¡) -on,\/psl \ '/ps/-
Igualando con los valores de la distribución normal y haciendo uso de su propiedad
simetría,
0.I{"
n
En esta última expresión, el valor de n depende de p, que a su vez es desconocido. Pa:.
asegurarnos de tener un tamaño de muestra confiable, se maximiza el producto pq. T;
producto es máximo cuando p: q:0.5; entonces,
n > (1e.6)2(0.5)(0.5) : e6.
La muestra tiene que ser de al menos 96 artículos.
b) Antes habíamos determinado que ?¿ > (I9.6)2pq.
Como p <0.L2, se tiene quepq > 0.I2 x 0.BB:0.10b6; entonces,
n > (r9.6)2(0.1056) : 40.57.
EI tamaño de la muestra es de al menos 41 artículos.
6.3.3. Distribución de muestreo de la varianza
En el Teorema del Límite Central la convergencia de la ley de 7 está asegurada y es independie--"
de la ley que siguen las observaciones. Para otros estadísticos, se necesitan hipótesis adicionales p,:r
asegurar su convergencia hacia una ley de distribución, este es el caso de Ia varianza muestral.
La ley de distrit¡ución y2
Sean X1 , X2, . . ., Xrr., fr variables aleatorias,independientes que siguen una distribución normal e. . .¡,.
dar, la variable aleatoria definida por T : D X? tiene una distribución X2 (jl-cuadrado) con n gr1-ul,i-I
de libertad (g.1.), denotada y2(n).
Su función de densidad es
,(n-2) lz 
"-r 
lz
f(r): , 
siz)Q;
sir(0.
La ley de distribución y2
por Helmert (1875) y K.
,/w
2"trt (;)
r lugar, aparentemente,prl
l).
fue dada en pPearson (1900
i;
rime por Abbe (1863) y redescu,
6.3. Distribuciones de ntuestreo 187
Figura 6.1: Funciones de densidad de la ley X2.
:sta distribución está definida para valores mayores que cero y viene tabulada. La Tabla 3 del Apéndice
--,ntiene los valores X?qrre cortan un área a en el extremo derecho de la distribución (Figura 6.1).
- a lectura de la tabla se realiza de la siguiente manera:
i. Escoja el número n de grados de libertad (margen vertical).
'1. Considere Ia probabilidad a en el extremo derecho de la distribución (margen horizontal).
3. Proceda a localizar el valor X?@) en el cuerpo de la tabla, donde se cruzan las líneas vertical y
horizontal antes encontradas.
Ejemplo. Se desea conocer el valor de la ley X2 a 4 g.l. para el cual el área en el extremo superior es
-.ral a 0.025.
-' .lución: Se busca Xl.ozs(a) : ll.l4. Esto quiere decir que el área a la derecha del valor t : II.I4
-= Ia ley y2 cor. 4 g.l. es igual a 0.025: Yr (X2 > 11.14) :0.025.
XLa ley de distribución de s2
:;pongamos que se obtiene una muestra Xy, X2, ..., Xn de una población que sigue una ley normal
-'i ri,¡.t,o2). A partir de la muestra calculamos la varianza muestral, s2 : -i É (X, -X)2; entonces,' n-rl-t
- cumple que:
-. E(s2):oz'
)n4
l. Var Ls2)'*'\" ,, n_1,
(n - 1\.s2J # sigue una ley ¡2(n - t;.
=jemplo. Un jugador profesional de dardos decide tratar de mejorar su técnica de lanzamiento y va
. -stndial la varianza de Ias distarrcias al centro del blanco a las que cae el dardo. Para una cierta
-rrnica de lauzamiento se sabe que esas distancias tienen una distribución normal cuya desviación
+ ándar es 4 cm. Realiza 30 lanzamientos y calcula la varianza de Ias distancias entre el sitio de
--pacto del dardo y el centro del blanco. a) Calcular Ia probabilidad de que Ia desviación estándar
-. los lanzamientos sea m¿yor a 3 cm.; b) Hallar Pr(10 < s2 < 27), aploximadamente; c) Calcular Ia
:--dia y la varianza de s2.
l.lución: Sea u : +I, IJ - x2Qq para n : 30.
2.z@)
188 Capítulo 6- Distribuciones de Muestreo
a) Se quiere buscar Pr(s > 3); cs clecir, Pr(s2 > 9):
pr(s2 > 9) : p, (" 
-rt 
r' r 3r) : pr.(t/ > 16.312)\o' Iro)
En la tabla de la ley X2 para 29 g.1., se ticne que Pr(t/ > 16.05) : 0.975 y Pr(U > 17.7f): 0.95
Por lo tanto, Pr(s2 > 9) es algo menor- que 0.975.
b) Calculemos Pr(10 < s2 < 27),
pr(10 < ,2 < 2T¡ : v, (!rc <n _ut ,' t}rr\: pr(18.13 < u < 48.s4)\16 o¿ -16 /
: Pr(U < 48.94) - Pr(U < 18.13)
: [1 - Pr(U > 48.e4)] - [1 - Pr(U > 18.13)]
: Pr(U > 18.13) -Pr(U > 48.94).
De acuerdo a Ia tabla y2, para 29 g.l. se tiene:
c Pr(i/ > 17.77):0.95 y Pr(U > 18.85) :0.925.
c Pr(t/ > 45.72): 0.025 y Pr(t/ > 49.59) : 0.01.
Entonces, Pr(10 < s2 < 27) x 0.95 - 0.01 : 0.94.
Observemos que, por la forma de lectura de Ia tabla, tnvimos clue realizar Lrrla transformació:-
para encontrar Pr(18.13 < U < 48.94) y su valor se determina de forma aproximada.
c) Sal-,emos que E(s2) :62 :1ti y quc Var(s2) : #:'# 
: tT.G6.
6.4. Otras distribuciones de muestreo
En csta sección presentaremos distirrtas distribuciones cle muestrcoT qlre se presentan cuando tratantc,.
con transformaciones adecttadas cle los estadísticos. Estas transformaciones son rlecesarias para oJ¡tene:
leyes clc probabilidad que permitan traba,jar adecuadamente.
6.4.1. Distribución de muestreo de Ia media, cuando la varianza es desconocida
Se pr-rcde srtponer qrre -ciebido al Teolema del Límite Central , siempre sc tienc la convergcncia haci .
1a lcy rrolmal; pelo ésto no siempre srrcedc; cjomo) por ejemplo, crrando la vari¿rnza poblacional e.
desconocida.
La ley de distribución t de Student
trn 1908, \ /. S. Gosset, esclibieldo c:on cl nornbre de Studcnt, publicó en la rcvista Biont,ett"i,ka s'
dcclucción cle la distribución ú e inclrryó tlrblas cle probtrbilicl¿rd acurnr-rlacla de la ley.
trl gráfico de la función de densidad de la Ie5, / 1i"t n rrna forrna parecida al de la ley rrormal, simétric
rcspecto a 0 y se extiende a Io largo clel eje leal.
Los valores de probabiliclad clue tona vienen tabul¿clos. La Tabla 2 del Apénclice contienc los v¿rlole:
dc úo qrte colt¡lrr nn área igrral a o err cl extlemo clelecho clc la distribución (FigLrrrr 6.2).
6.4. Otras distribucíones de ntuestreo 189
Figura 6.2: Funcion de densidad de la ley ú.
Los valores tabulados dependen de los grados de libertad, porque la ley de probabilidad ú cambia si n
;aría. Cuando n aumenta, la distribución ú se aproxima a la normal estándar.
La lectura de la tabla se realiza de la siguiente manera:
1. Escoja el número n de grados de libertad (margen vertical).
2. Considere Ia probabilidad o en el extremo derecho de la distribución (margen horizontal).
3. Proceda a localizar el valor to(n) en el cuerpo de la tabla, donde se cruzan las líneas vertical y
horizontal antes encontradas.
Ejemplo. Encontrar el valor de Ia ley ú a 6 g.l. para el cual el área en el extremo superior es igual a
_.t125.
jolución: Se busca fo.ozs(6) :2.447. Esto quiere decir que el área a la derecha del valor t:2.447 de
--,Iey t es igual a 0.025: Pr (? > 2.447) : 0.025.
La ley de distribución de X
Srpongamos que se obtiene una muestra X1, X2, . . ., Xn de una población que sigue una ley normal
-l'(p,,o2), donde o2 es desconocida. Entonces, se cumple que la variable aleatoria 7 : j 
"igu"s/\/n
.ra ley ú de Student con (n - 1) grados de libertad. Es decir,
/ t- \
Pr(X < ú): Pr (r. Z- 41' \ - sl'/n)
Ejemplo. IJn fabricante de cigarrillos asegura que el contenido medio de nicotina, en una de sus
-arcas) es de 0.6 mg por cigarrillo. Una organización independiente mide el contenido de nicotina
-e 16 cigarrillos de esta marca y enclrentra que el promedio y la desviación est¿índar son de 0-744 y
-.i75 mg de nicotina, respectivamente. Si se supone que la cantidad de nicotina de estos cigarrillos
= una variable aleatoria normal, ¿qué tan probable es el resultado obtenido por la organización
- Cependiente?
i'.,iución: Se tiene que p:0.6, s:0.175, n: L6. Encontremos la probabilidad de hallar un valor
::omedio igual o superior a 0.744.
pr(x > 0.744) : y, ( r ro^'-!j, Y) : e, (r > B.2s) .\ - 0.175 l,/to 1
) Ia lectura de la tabla de la ley ú con 15 g.1., resulta que Pr (" > 3.29) : 0.0025. De manera que el
-'Lto proporcionado es muy poco probable.
190
6.4.2. Distribución
conocidas
Capítulo 6. Distribuciones de Muestreo
de muestreo de la diferencia de dos medias, con varianzas
SLrl>orrgtrrnos qLlc se clispone de dos pol-rlaciones que tienen rriedias Ft y lrz y varianza, ol v o)r.
respcctivarnente. Sean X1 y X2 ias lreclia muestrales de dos muestras ¿leatorias indepenclientes de
tarrr¿rños TLr y rL2l seleccionadas les¡rcctivarnelte de las poblaciones 1 y 2. trntonces, X1 - X2 cunlple
qr.le:
1. lLrl-,2: E(Xr - Xz): l-tt - llz,
o? oZ
¡I
- 
-l- 
-lTL1 n2
2. o7r-¡r: Var(Xr -¡2):
3. Para n1 y n2 suficientemente grandes, Ia variable aleatoria
7- (Ft -x2) - (pr- t'z)
sigr"re aproximadamente una ley normal estándar. Es decir,
Pr(xr -xz < a =e, (z <
t-(tq-pz)t-(tq-pz)
):.(
Para la mayoría de aplicaciones, ya se obtiene una buena aproximación si n1 >_ 25 y n2 2 25.
Ejemplo. Una marca de automóviles tiene dos plantas que ensamblan el mismo modelo de autos
El rendimiento medio de estos automóviles debe ser de 40 km por galón, con una desviación estándar
de 5 km por galón. La empresa tiene la política de regularmente comparar los rendimientos de ios
carros ensamblados, escogiendo muestras aleatorias en las dos plantas. Se tomaron sendas muestras de
tamaño 30 y se controló el consumo promedio de cada una. Hallar la probabilidad de que la diferencia
entre los promedios sea menor a 2 km por galón.
Solt¿ción: Se tiene eue É¿r : lL2: 40, o1 - 02 : 5, ny : nz : 30. Por tanto,
o(1.55) - o(-1.55)
0.8788.
<z< 2-(40-40r:d------'=tt5'
tl-L-Vro go
: 0.9394 - 0.0606
6.4.3. Distribución de muestreo de la diferencia de dos medias, con varianzas
desconocidas
Supongamos que se dispone de dos poblaciones que siguen una ley normal: la población 1 sigue una le¡-
.M (lrr, ol) y la población 2sigue una ley ,A/(¡ 12, 03) . Sean X 1 y X2 las media muestrales de dos rnuestras
aleatorias independientes de tamaños Uy n2, seleccionadas respectivamente de las poblaciones 1y 2.
6.4. Otras disúribuciones de ntuestreo
Caso 1. Las varianzas poblacionales son igualesz ol : o'3,: o2.
L¿r r'¿r'i¿rbkr alcat<llia
191
Caso 2. Las varianzas poblacionales son diferentes: ol I o|.
La variable aleatoria
sigue una ley ú corr
sigue una ley ú con g 9.1., donde
Entonces, F, - Fz cumple que:
(*.*)'
p¡,-Or: E(i'r - fz) : pr - p2;
, 1r ,^ ^\ pt(J-pt).pz1-pz)va - - vaLtul - tt)t - 
- 
T 
-
-Pt-P2 '*-\rr r''/ TL1 n2 )
Para n1 y n2 suficientemente grandes, la variable aleatoria
1ntlft2
Ft:Lfx, y Fz:!fy,.
fl,'t a nt u- i:l - i:t
9-
Cuando g no es un nirmero natural, se redondea al entero más cercano.
6.4.4. Distribución de muestreo de la diferencia de dos proporciones
Supongamos que se dispone de dos poblaciones independientes, que siguen distribuciones de Bernoulli
de parámetros p1 y p2, respectivamente. De Ia primera población escogemos una muestra de tamaño
n1:Xy,Xzr...rXrrrydelasegundapoblaciónescogemosunamuestradetamañorl2iY1,Y2r-..rYnr-
Construimos las proporciones muestrales de <<éxitos>>:
2
3
t -.-. -rr
\- -.
L92 Capítulo 6. Distúbuciones de Muestreo
Iey normal estándar (por el del Límite Central). Es decir,
t-(pt-pz)
Ejemplo. Una-6rma especializada en sondeos polÍticos afirma que el 30 % de las mujeres y el20%
de los hombres están a favor de la reelección del actual alcalde. Si se hace un sondeo aleatorio a 150
personas de cada sexo, ¿con qué probabilidad la diferencia entre las proporciones muestrales de las
mujeres y de los hombres es, en valor absoluto, menor a 0.19?
Solución: Tenemos eue Pa : 0.3 y P^:0.2, rlh: rlm: 150. Ademrís,
sigue aproximadamente una
Pr(Fr - Fz lt) =rr( , t
\
ffi
U"r-rr" Un2
o 0.3(1 - 0.3) , 0.2(1 - 0.2) An1-pt-rn 150 '* ff :0'00247'
t-(pt-pz)
Sean X1 y X2 dos variables aleatorias independientes que tienen distribución y2 con nL y n2 grados
de Iibertad, respectivamente; entonces la variable aleatoria
,, - xrlnt' - Vrln,
Buscamos la probabilidad Pr (lfn - f^l < 0.19):
pt(10¿ -0^l < 0.19) : Pr(-0.19 <Fn-A' < 0.19)
: o r0.le- (0.3-0.2)) _* l_0.le- (0.3-0.2)\\ \/0.00247 / \ r/0.00247 )
: o(1.81) - o(-1.81) : 0'9648 - 0.0352
: 0.9296.
6.4.5. Distribución de muestreo de la razón de dos varianzas
La ley de distribución F
sigue una distribución F (de Snedecor) con (n 1, n2) grados de libertad, que se Ia notará como F(n1,n2)
(Véase la Figura 6.3)
Figura 6.3: Funcion de densidad de la distribución F
6.4. Otras distribuciones de ntuestreo 193
Su función de densid
rl-\ _
J\.1 )-
-/rt -??2\ n,/2 n2f2I (-)n'i"'n,
/ ,'nt/2-1(n2 I n1r)-('nrtnz)lz, si z > 0;
sir(0.
2n|(n1+ n2 - 2) sín2>.4.nt(nz-2)z(n2-4)'
0,
.(?) ,G)
La esperanza y la varianza son:
E(Y) : "^,sin2>2 y Ya{V1:TL2- ¿
Nótese que esta ley depende de dos parámetros (nt,nz) que corresponden a sus grados de libertad del
numerador y del denominador, respectivamente.
Los valores de las probabilidades vienen tabulados. En la tabla 4 del Apéndice se presenta el valor r
para el cual la variable aleatoria V - F(n1,n2) es igual a una probabilidad a: Pr(V ) r) : q.
Para la lectura de los valores porcentuales del extremo inferior de la tabla de la ley -F se emplea la
siguiente relación:
F1r-,"¡(u,nil p,()r,nr)
Ejemplos
1. Determinar el valor de r tal que Pr(V ) r):0.05, donde V - F(6,9). En la tabla de la ley F
correspondiente a a : 0.05, se localiza los valores de n1 - 6 y ,z: 9, para los grados de libertad.
Donde se cruzan la columna y la fila correspondientes se lee el valor z : Fo.os(6,9) : 3.37.
2. Hallar el valor de r tal que Pr(V { r):0.05, donde V - F(6,9). Aquí, n1 :6, TL2:9 y si
Pr(V < z) : 0.05, entonces Pr(V > r) : 0.95. Por la relación anterior,
1L
Fo.gs(6,9) : ,. ou.g, 
: 
^:0.244.
^2
La ley de distribución d" 1si
S rpongamos que se dispone de dos poblaciones que siguen una ley normal: la población 1 sigue una
-.r-,A/(¡21, ol) y Ia población 2 sigue una ley J!'(pr,"}). Sean sl y s2rlas varianzas de dos muestras
ieatorias independientes de tamaños n).y n2t seleccionadas respectivamente de las poblaciones 1y 2.
trntonces, Ia variable aleatoria
n '?1"?' - 
'31"3
:-3-ue una distribución -F' con (rt - I,n2 - 7) g.I.
t
fengamos presente que si o?: o3: 02, entonces f' : 3 - F(n, - !,n2 - I).D2
Ejemplo. Una marca de automóviles tiene dos plantas que ensamblan el mismo modelo de autos.
=l rendimiento de estos automóviles debe tener la misma media y desviación estándar. La empresa
--ene Ia política de regularmente comparar los rendimientos de los carros ensamblados, escogiendo
t94 Capítulo 6. Distríbuciones de Muestreo
rnrr<lstlas aie¿rtori¿rs en las clos plarrta.s. Se tonl¿uorr serx.l¿s mrrestr'lrs cLc tarri¿rño 30 y se controlrj l¿r
clcsvi¿rcicin est¿irrclar clc:l corrsumo clc c:acla urr¿r. Hallar' 1zr probabilicL¿rd clc quc l¿r clesvi¿rcicin cstárrc1¿-rr
cle una rnucstr¿] se¿r al rnenos 1.5 r't:<;es nravor qrtc lir clt: l:r seguncla.
SoLttción: Se tiette c¡-rc:
", (; - ") :.,( p,.r^)
Como F : t: - F(29,29); entonces.
/.?
001<r.(ü > 2.25) < o.o2b,
La probabilidad exacta cs Pr (#a2.25) :0.01632t
6.5. Ejercicios
Distribución de la media
1. Para una prueba de aritmética se sabe, con base en Ia experiencia, que la puntuación media es 7[t
puntos con una desviación estándar de 12.5. Si se aplica la prueba a 90 personas seleccionadas
al azar, aproxime las siguientes probabilidades:
a) Pr(68.5 < X <71..5);
b) Pr(66 < X <74);
c) Pr(X > 72);
d) Pr(X < 67.5).
2.
o
!).
En una ciudad, el peso de los recién nacidos se distribuye segÍrn una ley de media ¡¿ : 3100 g :
desviación estándar o : 150 g, Halle los parámetros de la distribución que siguen las medias de
las muestras de tamaño 100.
Un actuario estableció el siguiente modelo probabilístico sobre los sueldos que reciben los traba-
jadores en el sector de la agroindustria:
Si de este sector, se toman 30 sueldos, aI azan,
a) Halle la esperanza y Ia varianza de Ia media muestral;
b) Calcule la probabilidad cle que la rncdia mnestral se ubique entre 360 y 430 dólares.
4. Las normas internacionales de calidad indican que los neumáticos deben durar al menos 33 m:l
km. Un fabricante de neumáticos señala qlre su producto tiene una dulación promedio de 34 nr-
km y desviación estándar de 4 mil km. En un iaboratorio que controla la calidad de fabricación s=
probaron 36 llantas de esta marca. ¿.Cuál es la probabilidad de que, en promedio, los neumáticc'.
probados no cumplan con las normas internacionales?
IEste valor se obtuvo mediante el empleo de r.rn proglama conputacional. Nosotros) por la lirnitaciór-r cle las tabla-.
solo podemos acotar el valor de la probabilidad.
Sueldo 200 300 400 500 600
Pr 01 0.2 0.4 0.2 0.1
7
8.
9.
10
6.5. Ejercicios 195
5. El tierripo qne los usu¿rios dc nna emplcs¿l intcrlplovirrcial de transpolte esperan l)ar'¿r cpre stl
brrs salga clel telrnin¿r1 es rrn¿ r'ariabk: alcatolia con mcclia. rle 8.2 rnin y clesr.'iación estáncl¿rr cle
5.5 rnin. Sr-rporrga qnc err uri l¡us se ernl;arc:¿trorr 49 p:rstr.jeros. Halle l¿r probabiliclacl cle clue el
tienipo plorneclio quc ellos turrielori cllre esl)elal se¿l:
a) rnenor a 10 mirr. b) entre 7 y 10 rnirr; c) mayor a 7.5 rnirr.
[1. La gente que freclrenta cierto bar tiene una probabilidad de 0.001 de salir y cantar con el grupo
que está actuando. En una noche de fin de semana hay 150 personas en el bar. ¿Cr-rál es la
probarbilidad de que al rnenos una pelsol1a salga y cante con el grr-rpo? (Suponga que cad¿r
persona en el bar toma la decisión independienternente del resto. Halle el verdadero valor y erl
aproximado)
El tiempo de permanencia de los automóviles en un gran parqueadero es una variable aleatoria de
media 176 minutos y desviación estándar 40 minutos. Calcule, aproximadamente, la probabilidad
de que el tiempo medio de permanencia en el parqueadero de 100 automóviles, elegidos al azar)
sea superior a 180 minutos.
La estatura de losvarones de 18 años de Quito sigue una distribución normal de media 162 cm
y desviación estándar 13 cm. Se toma una muestraalazar de 85 de estos chicos encuestados y
se calcula el promedio. ¿Cuál es Ia probabilidad de que este promedio se encuentre entre 159 y
164 cm?
EI centro de cómputo de su universidad dispone de un servidor para gestionar las páginas web
personales de profesores y alumnos. Supongamos que la cantidad de memoria ocupada por una
de estas páginas puede considerarse como una variable aleatoria con una media de 1.3 Mb y
una desviación estándar de 0.3. Si el servidor va a gestionar un total de 500 páginas, calcnle,
aproximadamente, la probabilidad de que la cantidad promedio de memoria necesaria supere los
1.32 Mb.
Se efectuó un análisis sobre Ia duración de las máquinas impresoras, de una cierta marca) que
tienen las empresas púrblicas. Se eligió una rnuestra de 179 máquinas utilizadas en una empresa
elegida al azar. La vida media de las impresoras resultó ser de 3.33 airos y una desviación
estándar de 2.05 años. Con una probabilidad del 99.7%o, ¿en qué intervalo de tiempo puede
considerarse que se encnentra la vida media de las impresoras de tal marca?
Con una muestra de 160 entrevistas realizadas a mujeres que trabajan, resultó que el gasto
promedio mensual en arreglo del cabello fue de 39 dólares y desviación estándar de 5.2 dólares.
Con una probabilidad del 99.7To, ¿entre qué lÍmites variará el gasto medio en arreglo del cabello
para las mujeres que trabajan?
Un proceso automático llena fundas de chifles cuyo peso medio es de 450 g y una desviación
estándar de 3 g. Pala controlar el proceso, cacla hora se pesan 36 fundas escogidas al azar'; si
el peso neto está entre 449 g y 451 g se continlra con el proceso, en caso contrario se detiene el
proceso para recalibra,r la máquina.
a) ¿Cuál es la probabiliclad de detener el proceso cuando el peso neto medio realmente es 450
b')
b) ¿Cuál es la probabilidad de aceptar que el peso neto promedio es 450 g, cuando realmerite
es de 448 g?
La vida útil de cierta ürarca de llantas sigr-re unt-r distribución normal X con media 38 mil km y
desviación estándar 3 mil km.
_.f
-'f .
14.
196 Capítulo 6. Disúribuciones de Muestreo
a) Si Ia utilidad Y (en dólares) que produce cada llanta está dada por Ia relación Y :0.2X -f
100, ¿cuál es la probabilidad de que la utilidad sea mayor que 8900 dólares?;
b) Determine el número de tales llantas que debe adquirir una empresa de transporte para
conseguir una utilidad media de al menos 7547 dólares, con una probabilidad de 0.996.
En Manabí, el peso de los esDosos y de las esposas se distribuye según las leyes 
^/(80,100)y N(64,69), respectivamente, y son independientes. Si se eligen 25 matrimonios, al azar, de
Manabí, calcule la probabilidad de que el promedio de los pesos sea a lo más 137 kg.
Distribución de la proporción
15. Se extrae una muestra aleatoria de 150 elementos de una población binomial corr pt : ¿cuál
es la probabilidad de que Ia proporción muestral satisfaga *=U= *t
El suceso A tiene una probabilidad de 0.4. Esto significa que esperamos que la frecuencia relativa
de A esté cercana a 0.4 en una larga serie de repeticiones del experimento que se está modelando.
¿Cuál es la probabilidad de que en 1000 experimentos, la frecuencia relativa esté entre 0.38 y
0.42 (inclusive)?
La FIFA está interesada en conocer si las selecciones nacionales ganan más de la mitad de
los partidos que juegan en casa. Suponga que se escogen aleatoriamente los resultados de 80
partidos, efectuados en las más recientes eliminatorias para el Mundial de Fútbol, y se encuentra
que 65% de ellos fueron ganados por el equipo local.
a) ¿Es el 65% un parámetro o un estadístico? Explique;
b) Asumiendo que no hay ventaja de campo, y por lo tanto que los equipos locales ganan el
50 % de sus juegos, determine la probabilidad de que los equipos locales hubieran ganado
el 65% o más de sus partidos en una muestra de 80 resultados;
c) ¿La información muestral (que el 65%de los juegos fueron ganados por el equipo de casai
provee fuerte evidencia que Ios equipos locales ganan más de la mitad sus partidos? Ex-
plique.
Supongamos que el 80 % de todos los residentes en Guayaquil celebran la fiesta de Navidad (el 25
de diciembre.) Se planea seleccionar una muestra aleatoria de 300 guayaquileños y determinar
la proporción de ellos que celebran la Navidad.
a) ¿Es el 80% un parámetro o un estadístico? ¿Qué símbolo usa para representarlo?;
b) De acuerdo al Teorema del Límite Central, ¿cómo variará la proporción de quienes celebrarr
la Navidad, de muestra a muestra?;
c) Determine la probabilidad que menos de las tres cuartas partes de la muestra celebre la
fiesta;
d) ¿La probabilidad calculada en c) sería mayor, menor o igual si el tamaño de la muestra
fuera de 800 personas? (Usted no necesita realizar cálculos.) Explique,
En un canal de transmisión de datos Ia probabilidad de que un bits se reciba con un error es
1 x 10-5. Si en una transmisión se envían 16 millones de bits, ¿cuál es la probabilidad de que
no ocurran m¿ís de 150 errores?
Según las estadÍsticas de tránsito, se ha establecido que en una noche de viernes, en promedio.
1 de cada 10 conductores está ebrio. Si un fin de semana la policía realiza 400 pruebas de
alcolemia, ¿cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios detectados:
1
4'
16.
17.
18.
19.
20.
6.5. Ejercicios
a) menos de B %?;
b) más de 12.5Vo?;
c) al menos 10 %, pero menos de 73%?
Supongamos que el 40% de los votantes está a favor de Ia reelección del actual alcalde.
a) Si se selecciona una muestra de 600 electores de la ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que
la proporción muestral de votos a favor del alcalde esté entre eI37To y el4570?;
b) ¿Cuál debe ser el tamairo rruestral para terrer una probabilidad det 97 % de que la proporciórr
de votos a favor del alcalde en la muestra no se diferencie de la proporción supuesta en más
deI2%?
La mediana de la edad de los habitantes del Ecuador es de 26 años. Si se seleccionan 100
residentesenEcuador aIazar, calculelaprobabilidaddequeporIomenos el 60% deellostenga
menos de 26 años.
Se ha estimado que eI 437a de los estudiantes de leyes considera que es muy importante que se
imparta un curso de ética en la abogacía. De una población de 800 estudiantes se tomó una
muestra de 80. Calcule la probabilidad de que más de la mitad de ellos opinen de ese modo.
En la segunda vuelta electoral los resultados clan que el candidato ganador obtuvo el 55 % de
los votos. ¿Cuál es la probabilidad de que en una encuesta realizada a 169 personas el resultado
no muestre una mayoría a favor dei candidato?
En una encuesta realizada con una muestra de 3000 personas adultas escogidas al azar, ha
resultado que el 35 % toma café al menos una vez al día. Con una probabilidad del 95.5 %,
¿entre qué lÍmites variará esta proporción para Ia población completa?
El tiempo que esperan los peatones para crllzar una vía muy transitada se distribuye en forma
exponencial con media de 1 minuto. Si en una hora llegan 95 peatones, calcule la probabilidad
de que por lo menos la tercera parte de ellos tenga que esperar más de un minuto.
IJnajedrecistaexperimentadohaganado eI70% delaspartidasquehajugado. Sienelpróximo
mes va a participar en un torneo en el que va a jugar 25 partidas,
a) calcule la probabilidad aproximada de que gane por lo menos el 80 % de ellas;
b) calcule la probabilidad binomial exacrta de que gane por lo menos 20 partidas;
c) ¿qué hipótesis son necesarias para que sean válidas Ias respuestas a) v b)?
Distribución de la varianza
Con el empleo de Ia tabla de la ley X2 Iocalice Ios siguientes valores y represéntelos, aproximacla-
mente:
u) rBss(e); ¡) xSgg(12); c) xfrorr(20); a) xfrou(to).
Si X1 , X2,...,X9 son nueve variables aleatorias independientes y distribuidas según una ley
It[(t2,32), calcule la probabilidad de que la varianza muestral sea menor o igual que 56.28.
Calcule Ia probabilidad de que una muestra de tamaño 13 seleccionadade una población normal
con varianza 4 tenga una varianza muestral:
L97
21.
ü
ie
a_
1.,-, ,
22.
.tD
Lt)
24.
<i
-.-Lr--
rr
l.- !-
oÉ
26
27
28
29
30
a) menor que 7.01; b) entre 1.I9 v 2.7.
198
31.
Capítulo 6. Distribuciones de Muestreo
Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 20 observaciones, de una población
normal con varianza o2 :5, tenga nna varianza nuestral s2: a) rrayor a 8.1; b) entre 2.66 y
9.52.
En los últimos 5 años, las califlcaciones del exarrren de aptitud para el ingreso a la universidad,
siguen urra distribución nolmal con variarrza o2 :8. ¿Consideraría usted o2 :8 como un valor
válido de la varianza de las notas de los exámenes que se rindieron este año, si una muestra
aleatoria de 20 calificaciones arrojó un valor de s2 : 16?
En una oficina de seiección de aspiral.tes para optar por una beca se estudia Ia varianza de las
calificaciones para identificar fácilmente a los mejores aspirantes. Para una prueba de matemáti
cas se supone que las calificaciones se distril)uyen normalmente con desviación estándar de 10.
Hay 15 aspirantes a optar por una beca. Calcule Ia probabilidad de que la desviación estándar
de las calificaciones de clichos aspirantes sea mayor clue 7.
En una granja piscícola se mide la varialrilidad en el peso de los peces capturados. Las normas
internacionales indican que el peso está distrilruiclo según la ley normal con varianza o2 : 225 82 .
Se pesan 27 peces y se calcula su vatiarrza s2.
ta
¿L,
J.t.
q/
t)1.
o<JU.
36
a) Estime aproximadamente Pr(s2 > 150);
b) HaIIe Yr(s2 > 362);
c) Calcule E("') y Var(s2).
El sueldo anual de los ernpleados cle urra iristitución se supone que sigue una distribución norrnal
con desviación estándar de 100 dólares. Si en una inspección Ia oficina de irnpuestos toma una
muestra de los sueldos de 17 empleados, determine un intervalo en el que quedarálavarianza,
de los sueldos anuales, con una probabilidad de 0.9.
Otras distribuciones de muestreo
Con el empleo de la tabla de Ia ley ú localice los siguientes valores y represéntelos, aproximada-
mente:
a) ús 1(9); b) ú¡ ¡1(12); c) üo.ozs (20) ; d) ¿o05(16).
Si X1, Xz, ..., X9 son nueve variables aleatorias independientes y distribuidas según una Iey
¡/(8, 4), calcule la probabilidad Pr (f ST < 9; 1.09 < t2 < 10.045) . (X v s2 son independientes)
En la ciudad capital. el precio rredio de venta de las casas nlrevas es 115mil dólares. Se toma
una rnuestra aleatoria de 10 casas nuevasr resultando una desviación estándar de 25 rril dólares.
¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los precios de venta sea:
a) menor de 104mil dólares?; b) mayor de 110500 dóIares?
Se tomó una muestra de 16 directores de oficinas de una ciudad con el fin de estimar el tiempo
medio diario que emplean en desplazarse hasta su trabajo. Si Ia media cle los tiempos es de 87
minutos y Ia desviación estándar de 20 minutos, calcule la probabilidad de clue la media muestral
sea menor de 100 minutos.
Con el empleo de la tabla de la ley F localice los siguientes valores y represéntelos, aproximada-
mente:
a) ,Fo r(9,5); b) ro o1(t2,t2) c) 'P¡ 025(20,7)r d) ¡b05(15,4).
47. Dos muestras aleatorias inclependientes de tamaños 27 y g, respectivamente, se toman de una
misma población normalnente distribuida. ¿Cuál es la probabiiidad de que la varianza de la
primera muestra sea ¿r,l menos el cuádruplo de la varianza de la segunda?
.)/
38
39
40
72
1.f
f'J
14
6.5. Ejercicios 199
Dos nruestras ale¿rtotias irrclependicntcs cie tanraños 7 y 13, r'cspcc:tivarnente, se toüt¿u] dt: ula
rnisrna población rronrr¿lrnente clistribrricl¿r. ¿.Cuál cs lir probabilicl¿id cle que la variarrz¿ cle l¡r
¡llirnela rnrestla sc¿l rr)¿r-\/or igrral zrl tliplc clc l¿r r'¿rlianza cle lrr strgrrnd¿r mucstra?
Sean X1 - X2(9) , X2 - \2(20) ), l': #fr Halle los valores <lc r¿ 
y b tales qr.re
Pr(o(Y<b):0.925 y Pr(Ylg) :0.05.
Sean X1 y X2 Ltna mlrestr¿r cscogida cle una población normal cstán<lar.
/ \, -. r 2
a) Determine la ley cle distribución de p : (*f# ) 
'\Xr - Xz/
b) Calcule la probabilidad Pr(F < 16).
Una muestra aleatolia de tarnaño 16 sc seleccionó a partir de una población normal de media 75
y desviación estándar B. Una segunda muestra alcatoria de tamaño 9 se tomó a partir de una
pobiación normal de media 70 y desviación estándar 12. Sean X1 y X2 dos medias mrrestrales.
Halle:
a) la probabilidad de que Xt - Xz sea mayor que 4;
b) Ia probabilidad que 3.5 1 Xt - X2 < 5.5.
Una firma comercializaclora afi.rma que el peso medio (en gramos) tq y pz de dos marcas de
atúrr enlatado, A1 y Az, es el mismo. Para verificar la afirm¿rción se escogen dos muestras
independientes de tarnaños 36 de cada marca. Si la rnedia mlrestlal de A1 es mayor que la
media muestral de y'.2, sc rechaza gue Fr : 11,2, e\ caso contrario, se accpta gue Fr : 1tr. ¿Cl'ál
es la probabilidad de aceptar eue ¡lr : lt2, cuando realmeute p¡ : ll2 l2? Suponga que las
poblacionales son o?:9 y o2n : 4.
Para comparar la duración media (en rneses) Ltt y ltz de dos marcas de baterías , A y B, se
tomaron dos muestlas aleatorias independicrrtes de tamarlos 32 y 36, respectivamcnte. Si Ia
duración promedio (mrrestral) de ,4 es mayor que la de B en más de dos rneses, se acepta que
ltt ) l-tz; caso contrario, se acepta qlre /¿t : 1t,r. Calcule la probabilidad de aceptar q:ue ¡17 ) ¡r"2,
cuando realmente Ft: ltz. Suponga que las varianzas de las duraciones son o2¡: 16 y o2B: g.
EI administrador dc r-tn edificio quiere decidir la compra de lámparas fluorescentes de m¿rca 7
o [/. Pala ayudarle a lealizar su decisión) se escogen dos muestras de tamaños 10 y 9 lámparas,
respectivamente, rcsultando las desviaciones estándar de s1 : 200 y sz : 150. Si la diferencia
entre los promedios es rllayor que 173 horas, se acepta eue pt I pz; de 1o contrario se acepta que
l-Lt: llt. ¿Cuál es la ltrobabilidad cle aceptar c¡re /¿t f ¡-t"2, ctando realmente pr: p2? (Asuma
que Ia vida irtil dc ambas narcas tiene distribución normal con valianzas iguales.)
Para cornparar los salarios que pagan a sr.rs empleados dos fáblicas cle cobijas, San Lucas y
Cebra, se escogen dos muestras aleatorias cle tamaños 16 y 13, respectivamente, de las dos
fáblicas. Resultó que la^s desviaciones est¿indar filerori sr: I20 dólales y sc : 55 dólares. Si
la difer-encia entre las rnedias rnnestrales no es tr]¿yor a 65 dólares, sc acepta que ¡,r,1 - /-¿2; caso
contrario, se accpta eue /r,1 I Itz. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar que /¿1 I p,z, cuando
lealrtretrte Ft : I,tz7 Suporrga que los salarios, cn ambas empresas, siguerr una distlibución
nornral con valianzas difeleutes.
Dos plogramas de televisión tienen como latings 40% y 20Vo, t'espectivamente. Se tomó una
muestra de 300 hogales qne poseen televisor, durante Ia transmisión del programa A y otra
muestra de 100 hogar"es durante Ia transmisión de B. ¿Cuál es la probabilidad de que los
resultados muestren qr:e el programa A tiene un rating mayor al de B, en un 70%?
6
,i
;c
Capítulo 6. Distribuciones de Muestreo
51. Un f¿rbricarrte ¿-ifirul¿r que cl 30% de mrrjcrcs y ei 20% de hornbres prcficren su jabón dc tocador.
Si se realiza lrna crrclresta a 200 pelson¿r^s d<: c¿rda sexo) ¿.colr qrré pr<,rbabilidad ia proporcióu
muestrai de mujercs rrelros la propolciórr nrrrestral de valoncs est¿in en el interrralo (-19 %.
Is%)?
52. Se escoge una mnestra de 600 electores c¡rrc acaban de votar, entre la,s 9:00 h y las 15:00 h, pare,
estimar la propolción cle votantes a favor de los canclidatos H y M. En una encuesta re¿rlizada l¿.
víspera, se estimó en 30% y 35% los polccntajes cle apoyo de los dos candid¿rtos, respectivanielte.
¿.Cr"rál es la probabilidad cle clue la proporciórr rnuestral de B excecla a la proporción rnuestral de
A en al menos I0%?
53. La música romántica es preferida por el 30% de mujeres y eL25 % de hombres. En una encuesta
realizada a 300 personas de cada-sexo, ¿cuál es la probabilidad de qne la proporción muestral de
mujeres que prefieren la música romántica, sea mayor a lade los hombres?
Crpítulo 7
Estlmación de Paránnetros
Todos ltentos estado l¿o,cie'r¿d,r¡ esto,díst'ica, todo, La ui,elo,.
er¿ el sentido que cada u"no ha estado octrpado sacando conclt¿siones
a parti,r de obserua,ciones empír'icas, casi desde el nac'im'icr¿to
W. Kruskal
:n el Capítuio 1 se expusieron varios métodos qr-re permiten descrilrir un conjurrto de datos de rna-
,-era r'ápida, generai y efi.caz; estos métodos son grtíficos y su intelpretación es fácil, pero tienerr el
:-cortverrieute c¡te la dcscripci<in cle los datos no es úrnica y no sc plcstan para realizar Jrreclicciorres.
:l rtso clc la ittforrnación que se obtiene a partir dc un¿r muestra pa.la sacar corrcinsiones soblc l¿r
rl¡lación de la quc ella 1>roviene, se cleuomira itt.ferenci,a esto,d,,ística.
- ¡s rnétoclos de la inferettcia est¿Ldística que se clescribilán cn éste y los sigrrientes capÍtnlos sc leficlerr
. ia r:stitn¿rción de ltarárrtetros, ltr formulaciól y verificaciiin c1e hipcitesis soblr: estos ptrlzintctlos 1; ¡l
-antearrrierlto cle rnodelos aclecuaclos pzrra krs d¿rtos.
;.1. Estirnación
-. teoría de 1¿r estirnación de parámetros fue clesarrollacla en las primeras décadas clel siglo XX,
Ilo rur¿t parte de otra teoría (las pruebas de hipótcsis) y sistematizaclir por J. Neyrnarr cu 1934.
-- tualmente, esta teoría es la basc de cr-ralquier estudio estadístico.
-"tartclo sr¡ toma ttna nutestra de una poblaciórr, e1 olljetivo es tenel un indicio cle los valoles cle los
.-rárnetros descorrocidos de ésta. Tal proceso se dc:nomirta est'imarción y a los valoles c¿rlcul¿rclos
'. inladores.
Definición (de estimador) IJu cstimador es rlua nieclida est¿rdístic¿r qrre permite conocer o
-:,a idea del valol de ttn paliimetro dcsconocido, basándose en la información de la mr-rcstra.
- :' ejcrnplo, si disponerrtos cle una poblaciórr cr-rya rneclia ¡.r, es desconocida, es natulal cscogcl el
:. rrnedio r conro estirnador clr-. ¡r,.
,:,,selvemos que un estirnar,lol es nna variable aleatolia; rnientras que Llua estirnaciórr es nn núrrnct'o.
:--lr.ttr¿s veces) los estirnadorcs dc los parzímetros poblacionales se distingr"ren clel verdadero r'¿rlol
:'--diante el empleo del símbolol Por ejenplo,
20r
Definición (de estirnador puntual) Sea X1, Xz, ..., X,"Ltrra muestra aleatoria seleccionada de
r.rna población con distribución de parámetro 9. Se denomina estimador puntual del parámefto 0 a
cualquier estadístico que proporciona una estimaciórr del verdadero valor de 0.
202 Capítulo 7. Estimación de Parárutetros
p : vercl¿rclcro rralol clc la propotcióri ltoblaciottal.
f : proltorción poblzrciorral cstirrracla, ir partir cle una rnnestr¿-r.
Las siguientcs secciones l¿rs declicalenros ¿r cono(icll las plopiecl:rclcs cle los cstinr¿rdores clc los pnr'ámetr,,-
poblacionales, a evaluar su r.aliclez \' ¿r cxporlcr s'.is aplicaciones.
7.2. Clases de estimadores
Cuando sc obticrre una rnuestra de nua población, el objetivo es tomar una decisióti cu b¿rse de
estadísticos calculaclos a partir de los datos rnuestlales; luego ellos se resumen en frascs como
siguientes:
trn 2930 de los 10 000 hogares de Ia ciudad se sintonizaba cierto prograrna de televrsrón.
EI nivel dc desocupación en el país es ei 14 % de la población en edad de trabajar.
La mtrestra usando el Material A tiene, en promedio, una fortaleza a la tensión 3.2 unidade.
mayor que aquella empleando el \4aterial B.
Los estimadores anteriores dan una idea concisa de los resultados de la muestra, pero no inform¿.:
de su precisión. Así, pudiera haber gran diferencia entre tales estimaciones, calculadas a partir C=
una muestra, y Io que uno podría obtener si dispusiera de una cantidad ilimitada de datos. Pr::
ejemplo, 74Vo sería una estimación razonable (o predicción) de la desocupación el próxirno mes; per'(,,
¿',cuán <<buen>> estimador es? Teniendo en cuenta Ia variación en el mercado laboral, sabemos que e:
improbable que el próximo mes haya un nivel de desocupación de eractamente el 74%. Sin embargc
podemos esperar que su valor sea <<cercano>> alI4To, y ¿qué tan cercano? ¿Podemos esperar que se:-
dentro del 10.1% ¿el estimador?, o ¿dentro del tl Vo?, o ¿dentro del +I0%?
A partir de la discusión anterior podemos deducir que existen dos tipos de estimadores: uno que ci:-
un valor numérico qlre resume lo observado en la muestra; y otro que, además, expresa la incertidunr-
bre debida a Ia variabilidad en los (generalmente limitados) datos. A continuación definimos má-.
formalmcnte estos tipos.
Al estimador puntual cle d se le nota d,,.
Por ejemplo, si la media poblacional es p : 6, obtenemos ttna muestra 5r determinamos Lrn promedi,-
z : 5.85. Ésta es una estimación puntual de ¡1.
Tambión, mencionamos que la estim¿ción puede realizarse mediante Lrn r-ango de valolcs entre lo.
cuales se encontrará cl verdadero','alor á con alta pr-obabilidad.
Por ejemplo, si la media poblacional es p : 6, obtenemos Lrna muestra y determinamos el intervalc'
¡ : (5.4;6.2), este intervalo es una estimación de ¡-r,. Posteriormente, indicaremos cómo construir tales
intervalos y evaluaremos su exactitud.
I
I..
1.
2.
t.).
Definición (de estimador por intervalo) Un estimador por intervalo de un parámetro descono-
cido á está dado por clos puntos, qne pretenden abarcar el valor leal del parámetro.
7.3. Estimación puntual
7 "3. Estimación puntual
203
No tocio estirn¿rclor're¿liza rrrra Lrnen¿ estirir¿-ciórr clel par'árnr:t,ro Un buerr estimaclor e-q ¿rquel clue está
cerc¿ clcl parámetlo estirnado; para lo crial clebr: cr.rmplil cieltas propiccladcs) clLle \¡anios a examinarl¿s
a continuación.
7.3.1. Propiedades de los estirnadores puntuales
Lo irnportante de urr estimaclor es qrie é1 pueda ernplealse de manera confiablc; por cjcrnplo. que no
difiera de manela aprcciable del verdadero valol dcl parámetro poblacional.
Definición(de estimador insesgado) IJn estirnarlor I es insesgado para cstimar d
E(6):e
De otra manera ? se llama sesgado.
La Figura 7.1 muestra un estimador insesgado y un estimador sesgado
Figura 7.1: Estirnadores insesgado y sesgado.
D--
L -_
:-'
i::
\otemos que la rlistribución muestral para
4. Este estimador sesgado, probablemente,
el estimador sesgado está desplazada hacia la derecha de
sobrestima 0.
Él
E1 sesgo de un estimador se mide corno
sesgo(?) :E(A) - a
Ejemplos
1. La media muestral X es r,rn estimador insesgado de ¡;, ya que E (X) : p
,n
>a x?,i-t
17
-El estaclísti c<¡ \/ X2 : ' no es un estimador insesgado de ¡r, ya quc E (t/F) + u
Definición(de estirnador eficielte) SeaL?1 y ?2 dos estimadores insesgados de d; ?2 se
que es más efi.ciente que d1 si Var(d2) < Var(d1). (Ver Ia Figura 7.2.)
.'l- disponemos de dos estimadores insesgados de á, interesa tener nn criterio para elegir uno de ellos
204 L)ttpítrtlo 7. Estitnación de Parátnetros
l-igrrla 7.2: Estirn¿rcloles insesga<,los corr clistirrt¿i valiarrza: Var(d2) < Val(91)
lDados dos estimaclores iusesgados de un misnro par'árnetro, es irrcferibl€ escoger el nrás eflciente. I_'
A vcces se prcsenfa el problema de elcgir entre dos est.irnaclorcs corr propiedades contrapr-restas: Llno
de cllrs es iusesgado y el otro es sesgado, per-o con nrcnor valianza. En estos ca,sos cs necesario dcfinir
una mcdida qrle Dos pcrmita lcaiizar tal conrl>aración.
Definición (de error cuadrático medio) El error cu¿rdrático medio debido a la estimación de
d nrediante D cs ECM(D) - P lf e -hV].L' l
Pol las propiedades de la esperanza se tiele quc
trCM(a) - val(D) + (.".s-oi0;)'\/
AsÍ, paia los estirn.dores insesgaclos, ECM(?; - Varl?;.
-1r*it*rt-tcr,"rpr'"f erilrt."r....lg",=1.1,r.'t"rrgn ei rnenor ECM.I
Ejemplo. Seir X1 , X2,. .. . X5 Lllta rtmestla alc¡rtoti¿r cle rrna ltoblar.ión par.il la cr-ral E(X¿) : Lr t
Var(X¿) : 02, i,: 1, ?, . . . .5. Se tienen los siguieul,cs cstinr¿rclores clc ¡-r:
Ávu] - 14 1,
^t0t: )(xr * 2_Y¡),'2-
ir: ,r(Xr +,Y.r + xr;,
I
0q:-Y: r("t F-Y2-r- Xtr-Xq-X¡).
a) Segúrn el criterio de la eficiencia, ¿cuál es el rnejor?; b) Cornparar los estimaclores0zy ?3 rnecliantcel ECM.
Sol,ttc'ión,: Calcnlemos lzrs esperanzas y las variarrzas de <:acl¿r r.uro de los esl.imadores:
E(01) : ¡.r, n(6r¡: ,,, B(?r) : *r,, EqBn¡ : ,.)'
Var'(?1)
VaL(02)
t¡ar'(0¡)
Var(?a)
Vzrr(X1) :62.
1
n(Var(.Yr)- Var(X3) - Var1X5)¡
)I DO-
;(Var (X¡) + 4 Var'(Xs)) : a,44
,2
VallX,) : --.r-
')o':- .1 1
D
E(0:) = 0
¿r)
l,)
7.3, Estitnaciótt ¡tuttLual
Elcstinta'<[,r03css.sgirclo,rttictrtt¿1s.1,,,r?,.i.t:,/,usr.rrrirscsg¿rtles; 
aclenrás,04:Xcselestinl¿ldor <[e ¡1, ¡lol'r¡rte ticnr¡ l¿l nrcrror r'¿rr'i¿rrLz¿t (r,s cl rrriis <rfir:i.rrtc).
C¿rlctrlcrtr<-¡s los scsg<_ls clc los dos cstiru;r, lorcs
205
rrc.loI
sesgo(á2) : E(0!)-g-.
te.gu(?,r) =: ll(),) - 0 :
Entonces, el ECM es
ECM(ar) : Var(?2) +(r"r_,u102¡)2
ECM(as) : Var(?3) +(."rgu1D3¡)2
El mejor estimador 
". 
?2 porq,re tienct <ll nrcuor. er.roL
7.3.2. Estimación de la media poblacional
¡r, - ¡t :0.
31
,lt-lt :ttr.
o2:=-*0
.t
i:¡o':-Ti
cu;rrh-¿iti<
o2
3'
/7 \2
l¡') :
:o nredio.
ffiffj::ffii1,1;Tl:::T]emos 
que el p|orncclio cs rLlI cstiuraclol iuscsg¿cto de la media poblacionzü y
Supongamos qr-le se obtiene una muestr a X1, 
,x2. 
. . . . x,, de una población que tiene media É¿ y varia.zaI ,\,
o2. La merlia nluestral se clefine pol X - 
¡:--t "
'tL
. La esperanza de X es
E(X) :
De manera que T es
La varianza de X es
un estimaclor insesgtrcl r.t <I<: ¡t.
f ttt'' : !@r')
! var(x¿) : \qro,¡:- Tt.(É') 
:*
I
--Elt _1?t
Vrrr(,{) : Var
,o-
77
;.3.3. Estimación de la
) _lpongamos (lnc sc ol¡tieue rur¿r nlrrestl,a
.1. El estimador.
varianza poblacional
-\-1. .\-2.. . . . .{,, (l() lur¿r ¡r<;,lrlerci,iu gut:
I-; var
? t.'
5"*l --,,,
bit:ue rtredia ¡l y variatLzir
206 Capítulo 7. Estinación de Parántetros
os rlll cstirlrrclor'lrrrrrlrral ci<r o2. ¡rerro lirtuc cl irLc:orrvclricrrl.c clc s<:r scsgado. pol Jo (¡rc sc rkrfinc
s,2 - --1-f r-ru _ x)r,,, - 1/-t--'t.-1
clr.re e,s ulr estim¿r<.lor irrscsgirclc, par',t rr2
. L¿t esJrer'¿lnza de .92 es
D(xu -x)',i.:t
rt-7
: -1=e (>.r-,"') : ,_-l-rlir(x,,) -
\t:1 / li=I
Corno E(Xi) - tL2 + o2 y E(-') : t,' - *,sc t icne
', f "E(s2) : 
" - ,lI fr' + o") -, (r'- #)lL¿=l ' )
I.).)r.)1,): -i-(npt + no2 - ,, ¡r2 - o2) : (n - l)o:
11 -t n-l
: o2.
L¿ r'arianza de ,S2 es Vzrr'(52) : 2oo a (este resultaclo no se clernostr-ar'á ya qLle su complejida,JTL- |
sale del alcarrce dc esta obrz-r) .
7.4. Métodos de estimación puntual
Para detelrniual la cstimación cle rLn pirrámetro poblacional existen varios niétodos, los dos más im-
¡roltantcs son el de los rnomentos y el de máxinra verosimilitud.
7.4.I. Método de los rnonr.entos
EI rnétoclo de estiniación de los tnornentos fire dcsarrollado pol K. Pealson en 1880. Es r.rn método
gcller'¿rl t1c estiul¿rciórr de uuo o más pirlzinreltos y se b¿rsa cn l¿r idea de torn¿rr conro estimadol cle la
media a la rnecli¿r rnuestlal. colrro estirn¿tclol de I¿t rtaliarrza ¿r I¿r valianza rnnestlal, y así succsiv¿mente.
Err genelirl, si derrot¿rrnos fr,¡: E(X¿'), denomin¿rdo el A-ósimo nn'ntento teóri,co clr¡ larrariable X. EI
/i;-ésir¡o nt,c¡n¿ett,to nnt,e,stra,L es 1¿r vali¿rble
rrl
i^ : L, A, : 1.2.3.. . .
rL
Entonces, igualamos los correspondientes momentos teórico 1'muestrali pk: p¡. y resolvemos Ia
ecuación resultante para d.
7.4. Métodos de estitnación puntual 207
El itcorrvcuicnte cl<,r cste rrrétoclo es (lrre los estirrr¿r,:loles olrtclri<[os, rnnc:hzrs \¡eces sou sesg¿t(los.
Ejerrrplo. Disp<trrcrrros <le rrtr¿t lnllestr'¿r Xt, X2,.. ., I,,. ixovtrtriculr: clc tttt¿t irrtblacióu t:orr rlistlilrrr<:iótr
Ul-9,ál , rlorr<lc d > 0 cs clcsc:ouociclo. H¿li¿rr'l¿i cstirn¿rciórr clc á.
Soluc'ió'n: Teuemos que/¿:tr(X) -0y I,b:E(X') :Var'(X) +(E(X))2 :+ Pot r,,tr'olaclo.3
n
D X;,
¿:1
t0') - n,
Si igtralarno s ltz y p2, obtenem.. + :
Entonces, el estimador de I es d :
7.4.2. Método de m:ixirna verosinilitud
El método de estimación pol máxima velosirnilitud fuc desarrollado por R. A. Fishel en 1920. La
rentaja de este método es que utiliza Ia información sobre la Iey de distiibución de Ia que proviene la
muestra.
Sea X1, Xz, ..., X,, una mnestLa proveniente de una distribr-rción con par'árnetro 0 y ley ,f (r;0). El
procedimiento a seguir es el sigttiente:
1. Determinar Ia fn:nc'ión de uet-osi'milittt,d de la muestra en sLrs valores lespectivos: Esta fuución
del parámetro d está dada por
L(0): f (Xt;0) x,f (X2;0) *...x.f (X,,d) : lI f l].¿;e).
'i,:t
2. Encontrar la .función de log-uerosi,mi,litud tomando el logaritmo de la función de r.erosimilitud.
L(0) :log(l,(d)) : i ros.f (x¡;0).
'i:7
3. Hallal el valor cle d que maximiza Ia log-r'erosiniilitud. En este casoT es el valor'?, q.," cs solución
de Ia ecuaciórr
dt
-:nd0
Observación. Si l¿r distribución de probabiiiclad contierre k lrarámetros, 01. 02, . . ., d¡., la estinración
ie rnáxirna verosiniilitucl de c¿rda uno será I¿r solución dc las ecuaciones lespcctivas:
ar, at,¡¡ _ _ t)00t 002
at
_ /l
0o*
Ejemplo. Sea X1 , X2, ..., Xr, Llna muestla provenierite de tirra población con distribuciórt N(p,o2).
Hallar los estimadoles de p. y de o2.
SoLuctón: La función cle densidad de la ley es /(X; p,o2) : +"*O (- 
(X= f)'\
/2tro -'v \ 2o2 )
208
de doncle p :
Por c¡tlo laclo.
cuya solución es o2 :
IL
Drxn-X)'
l-1
Capítulo 7. Estimación de Paráutetros
Dc ttr¿urcr¿r clrtc la fruiciciu ck: r'clr-¡silrrilil rr<l cs
r,(¡r.o2) : (1*, t,,o2))" : ü h"* ( 
r-g)
nI-t7
: S*2.
l.D.
1.
2.
, 02:
, 6n:
: á)""*n(-Dry)
La función de log-verosimilitud es
t(p,o'): Iog(.1(¡r, o2)): -|bgQno2) -
Derivando I esta función respecto á 11, e igualando a cero da
- x.
0t,
o(ot)
#:-o* # lrx,- p):0,
1 'L+;VDtx' - p)2 :o
i:l
1'r
*f(xo-¡,)'¿O' 
-
i_1
Ejercicios
<El pr-incipio subyacente etr todas las técuicas de inferencia estadística es que nllo Llsa estadís-
ticos rnuestrales para aprendel algo (es decir, para inferil algo) acerca de los partirnetros pobla-
cionales>>. Si usted entendió Io qr.re quiere decir esta afir'mación, escriba uu 1>iillafo en el que
describa una situación en la que se pueda emplear un estadístico muestlal para irrfelir algo sobre
uu palrimetro poblacional. En su ejemplo, identifique claramente Ia rnuestrtr, Ia población, el
estadÍstico y el patárnetro. Sea t¿rn específico como sea posible y no use cjelnplos clad<ls en el
Iibro.
Se tom¿r Lrrta muestla cle tamairo 4 de una lroblación de rnedia ¡t" y varianza o2. Sc lrroptnre los
siguientes estimadores de I¿ media:
0,: Xt -l Xz + 3X4 Xr -f Xz + 2XJ
03: Xt'l Xz * Xs * Xq
4'
Xt*Xz*X¡+X+-J
lndique su orden de prefelettc;ia (clel me.jor al peor) 1, explic$re los motivos dc su <rl¿rsific¿rli,irr.
7.5. Ejercicios
3. Dos muestras alcatorias independientes se extraen de una población con media p, y varíanza o2.
Los tamaños nruestraleS Sor ??,1 y rL2 : ? v tu. meclias muestrales son X1 y X2, respectivamente.2'
Para estimar a lL se proponen tres estimadores,
\'t : Xt. Tz:X'¿, Tr: Xt ! Xz
2
a) Diga si 1os estimadores son insesgados;
b) Encrrentre su varianza;
c) ¡,Cuál de los tres estimadores es mejor?
4. Si se dispone de una muestra Xt , Xz, X3 de observaciones que siguen una ley exponencial e Q' 1 0) .
Considere los siguientes estimadores
0, : .yr, 0., : ', : *t . a, : IJ:3!2, an :x .2"2
a) ¿Cuáles estimadores son insesgados para d?;
b) trntre los estimadores insesgados de 0, ¿crál estimador escogería usted y por qué?
5. Si se dispone de una muestra Xt , Xz, X3, Xs, Xs de observaciones que siguen una ley de Poisson
P(^). Considere los siguientes estimadores:
a,
0n
Xt -f2Xz * X: * 2Xq -f Xs
:xl+xl.
a) ¿Cuáles estimadores son insesgados para )?;
b) trscoja el mejor estimador insesgado de ).
A partil de una población que tiene media p, y varianza o2 se tomalon tles muestras de tamaño
rtr : 7, n2 : 74 y nz : 9. Sean sl, tS V t:3 las varianzas muestrales calculadas a partir de las
muestras. Compruebe que
t tsl+usi?r+osl
30
es un estimador insesgado de o2.
El número de clientes que ingresan a una librería en una hora es una variable aleatoria X que
sigue una distribución de Poisson