CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO DE INÉRCIA

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INTRODUÇÃO À ESTRUTURA
PROFESSOR MSc. JOSÉ ANTONIO FARIAS COELHO
AULA 07
CENTRO DE GRAVIDADE E MOMENTO DE INÉRCIA
Centro de Gravidade ou Baricentro
• Cada partícula de um corpo rígido sofre 
ação da gravidade;
• Todas essas pequenas forças podem ser 
substituídas por uma única força 
equivalente (resultante);
• Centro de Gravidade ou Baricentro – é 
o ponto no espaço onde se localiza a 
resultante dos pesos de cada pedaço 
deste objeto. É o ponto onde o objeto 
se equilibra;
• Centro de Massa – é um conceito 
similar ao Centro de Gravidade, mas 
que também considera as forças 
externas e a aceleração do corpo.
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Centro de Gravidade ou Baricentro
• Podemos imaginar o peso total concentrado de um corpo num único ponto, de modo 
que se o corpo fosse apoiado no ponto estaria em equilíbrio estático;
• Para cada elemento haverá um único Centro de Gravidade;
• Enquanto a projeção vertical do Centro de Gravidade de um corpo cair em sua base o 
corpo não tomba.
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Centro de Gravidade ou Baricentro
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Centro de Gravidade ou Baricentro
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Centroide e Centro de Gravidade
• Centroide – é o centro geométrico da área da 
seção transversal de um corpo;
• O centroide é um conceito puramente 
geométrico enquanto que o centro de 
gravidade se relaciona com as propriedades 
físicas de um corpo;
• Se estivermos trabalhando com um campo 
gravitacional uniforme, o Centro de Gravidade e 
o Centro de Massa serão no mesmo ponto;
• Se o corpo for uniforme e homogêneo, este 
ponto também coincidirá com o Centroide.
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Centroide e Centro de Gravidade
• Curiosamente, o Centro de Massa e o 
Centro de Gravidade de um corpo podem 
estar em um ponto fora do objeto, onde 
não existe nenhuma massa. Este é o caso, 
por exemplo, de objetos cilíndricos ou 
esféricos, ou mesmo de objetos 
assimétricos e compostos por várias partes;
• Identificar a posição do Centro de 
Gravidade de um objeto é importante, 
principalmente para calcularmos depois o 
Momento de Inércia de uma seção.
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Simetria
• Diz-se que uma área A é simétrica em relação 
a um eixo BB´ se para cada ponto P da área 
existir um ponto P´ da mesma área tal que a 
linha PP´ seja perpendicular a BB´ e fique 
dividida em duas partes iguais por esse eixo;
• Se uma área tem um eixo de simetria, seu 
centroide C ficará localizado sobre esse eixo;
• Se uma área tiver dois eixos de simetria, seu 
centroide C deverá se localizar na interseção 
dos dois eixos (círculos, quadrados, retângulos 
e triângulos equiláteros).
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Centroides de áreas compostas
• Devemos dividir uma forma em componentes de áreas usais;
• Construir uma tabela contendo as áreas, os respectivos eixos dos 
centroides e momentos estáticos (produto da área com eixo);
• Sempre que possível, usar propriedades de simetria para ajudar 
na determinação de um centroide;
• As áreas “removidas” (furo ou sem material) devem ser tratadas 
como negativas.
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Exercício resolvido
Localize o centroide da área da placa mostrada:
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1. Dividir a placa em formas mais usuais. No 
caso são três: triângulo, quadrado e retângulo. 
1
2
3
Exercício resolvido
2. Calcular os centroides e áreas 
de cada forma componente:
Triângulo
𝑥 =
ℎ
3
=
3
3
= 1𝑚
𝑦 =
ℎ
3
=
3
3
= 1𝑚
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
=
3 . 3
2
= 4,5𝑚²
Quadrado
𝑥 = 𝑦 =
𝑏
2
=
3
2
= 1,5𝑚
𝐴 = 𝑏. ℎ = 3 . 3 = 9𝑚
Retângulo
𝑥 =
𝑏
2
=
1
2
= 0,5𝑚
𝑦 =
ℎ
2
=
2
2
= 1𝑚
𝐴 = 𝑏. ℎ = 1 . 2 = 2𝑚²
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Exercício resolvido
3. Construir a tabela com os cálculos:
4. Calcular o centroide da figura completa:
𝑥 =
𝛴𝑥𝐴
𝛴𝐴
=
−4
11,5
= −0,348𝑚
𝑦 =
𝛴𝑦𝐴
𝛴𝐴
=
14
11,5
= 1,22𝑚
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Exercício resolvido
𝑥 =
𝛴𝑥𝐴
𝛴𝐴
=
−4
11,5
= −0,348𝑚
𝑦 =
𝛴𝑦𝐴
𝛴𝐴
=
14
11,5
= 1,22𝑚
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C
Momento de Inércia
• 1ª Lei de Newton – Lei da Inércia: uma 
partícula originalmente em repouso ou 
movendo-se em linha reta, com velocidade 
constante, tende a permanecer nesse 
estado, desde que não seja submetida a 
uma força em desequilíbrio;
• Inércia – tendência a manter o repouso ou 
a velocidade constante;
• Momento de Inércia (I) – expressa o grau 
de dificuldade em se alterar o estado de 
movimento de um corpo em rotação.
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Momento de Inércia
• Inércia é proporcional à massa – quanto 
maior for a distância do objeto até o 
eixo, maior será o Momento de Inércia;
• Quanto mais afastado estiver o material 
do centro de giro da seção do 
elemento, ou seja, do centro de 
gravidade, mais difícil será girar a seção 
e, consequentemente, mais difícil será 
o elemento flambar ou flexionar.
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Momento de Inércia
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Teorema dos Eixos Paralelos
As fórmulas para geometrias simples apenas determinam o MOMENTO DE INÉRCIA (I) em 
relação ao CENTRO DE GRAVIDADE das respectivas formas. Para calcular o MOMENTO DE 
INÉRCIA (I) destas formas em relação a um eixo em qualquer posição no espaço, precisamos 
usar o Teorema dos Eixos Paralelos, que determina:
I = I’ + A.d²
Para encontrarmos o MOMENTO DE INÉRCIA de seções geométricas mais complexas, 
precisamos decompor a geometria em elementos mais simples, cujos MOMENTOS DE 
INÉRCIA sejam conhecidos através do Teorema dos Eixos Paralelos, e posteriormente somar 
todos os MOMENTOS DE INÉRCIA das partes que foram criadas.
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Exercício resolvido
Calcule o momento de inércia da área composta em relação ao eixo x.
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Exercício resolvido
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Reflexão
Cada material construtivo tem características, vantagens e limitações. É fundamental 
conhecer bem cada um destes materiais para que possamos escolher adequadamente qual 
funciona com o sistema estrutural e com a arquitetura projetada. Sem este conhecimento 
estaremos sempre limitados, na mão dos construtores e engenheiros, que irão propor 
sempre a solução mais prática, porém nem sempre a mais adequada.
A resistência e a quantidade de material não são a única resposta para construir elementos 
que resistam aos esforços. Podemos ver, pelo estudo do Momento de Inércia, que a forma 
e como o material é distribuído nos elementos influenciam muito na sua resistência.
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Material de apoio
• RABELLO, Yopanan Conrado Pereira. A Concepção Estrutural e a Arquitetura. São Paulo: 
Zigurate Editora. 2000. Capítulo 1. Páginas 51 a 53.
• HIBBELER, R.C. ESTÁTICA: Mecânica para Engenharia. São Paulo: Editora Pearson. 2011. 
Páginas 396 e 397.
• http://www.infoescola.com/mecanica/momento-de-inercia/
• http://www.brasilescola.com/fisica/centro-gravidade-cg.htm
• https://www.youtube.com/watch?v=RsVabSIgJLs
• https://www.youtube.com/watch?v=JvAPbV2wK1U
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http://www.infoescola.com/mecanica/momento-de-inercia/
http://www.brasilescola.com/fisica/centro-gravidade-cg.htm
https://www.youtube.com/watch?v=RsVabSIgJLs
https://www.youtube.com/watch?v=JvAPbV2wK1U
Exercício proposto
Encontre a posição do CENTRO DE GRAVIDADE, o MOMENTO DE INÉRCIA em relação aos 
eixos na figura e o MOMENTO DE INÉRCIA em relação ao CENTRO DE GRAVIDADE das 
figuras a seguir:
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