Cálculo II - P1

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MATEMÁTICA II 
 
Aluno: Wesley Barbosa da Silva 
RA: 200555 
Curso: Engenharia Agronômica 
Período: Noturno 
Proposta do Trabalho: Avaliação 
 
Exercício I. (Adaptado de Chiang, pág. 229) Suponha que na produção de um insumo 
agrícola, a função receita total seja dada por RT = 1000q − 2q² com 0 < q < 500. A função 
custo total é dada por CT = q³ − 59q³ + 1315q + 2000. Com RT e CT medidos em reais, 
enquanto q é em toneladas por semana. 
 
a. Faça o gráfico das funções RT e CT, no mesmo plano cartesiano, utilizando um software de 
sua escolha. 
R: 
 
 
b. Calcule o valor de q que fornece o lucro máximo. 
R: 𝐿𝑡(𝑞) = −𝑞
3 + 57𝑞2 − 315𝑞 − 2000 = Função matemática 
→ −3𝑞2 + 114𝑞 − 315 = Derivada 
→ 𝑋1 = 3 e 𝑋2 = 35 = Raízes 
 
Portanto, o valor de “q” que fornecerá o lucro máximo em sua função, será 35. 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício II. (Apostol, 1983) Um agricultor dispõe de L metros de rede para cercar uma 
pastagem de forma retangular, adjacente a uma longa parede de pedra. Que dimensões darão 
a área máxima da pastagem? O mesmo problema tratado de forma a dimensionar a área 
retangular A, quais seriam as dimensões convenientes do modo a gastar o menos possível de 
rede? 
 
a. Área máxima. 
R: 𝑨 =
𝑳
𝟒
 . 
𝑳
𝟐
 
 
Resolução: 𝐿 = 2𝑙1 + 𝑙2 → 𝒍𝟐 = 𝑳 − 𝟐𝒍𝟏 e 𝐴 = 𝑙1. 𝑙2 → 𝐴 = 𝑙1. (𝐿 − 2𝑙1), 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑨 = 𝑳. 𝒍𝟏 − 𝟐𝒍𝟏
𝟐 = 
expressões matemáticas 
 
𝑳 − 𝟒𝒍𝟏 = Derivada 
 
𝒍𝟏 =
𝑳
𝟒
 = Igualando a 0 
 
Sabendo que 𝑙1 =
𝐿
4
, podemos afirmar que, 𝐿 = 2𝑙1 + 𝑙2 → 𝐿 = 2
𝐿
4
+ 𝑙2 → 𝑙2 =
𝐿
2
 
 
Sendo assim, podemos concluir que 𝑨 =
𝑳
𝟒
 . 
𝑳
𝟐
 
 
b. Menor custo do material. 
R: 𝟐 . 𝑨 = 𝒍𝟏 
 
Resolução: 𝐿 = 2𝑙1 + 𝑙2 → 𝑳 = 𝟐𝒍𝟏 +
𝑨
𝒍𝟏
 e 𝐴 = 𝑙1. 𝑙2 → 𝒍𝟐 =
𝑨
𝒍𝟏
 = expressões matemáticas 
 
𝐿 = 2𝑙1 +
𝐴
𝑙1
→ 𝑳 = 𝟐 − 𝑨𝒙−𝟐 = Derivada 
 
 
𝐿 = 2 − 𝐴𝑥−2 → 𝒍𝟏 = √
𝑨
𝟐
 = Igualando a 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício III. Um método muito eficiente para integração numérica de uma função é o 
chamado método de quadratura de Gauss. No desenvolvimento das fórmulas para este 
método é necessário calcular os zeros de uma família de polinômios ortogonais. Uma família 
importante de polinômios ortogonais é a de Legendre. Encontre os zeros do polinômio de 
Legendre de grau 6 (seis): 𝐏𝟔(𝐱)=(1/𝟏𝟒𝟖) * (𝟔𝟗𝟑𝐱^𝟔−𝟗𝟓𝟒𝐱^𝟒+𝟑𝟏𝟓𝐱^𝟐−𝟏𝟓). 
R: 
Gráfico 
 
 
 
Raízes 
 
XK Função (fx) Derivada Newton Erro 
1 0,8125 20,25 0,959876543 0,041800643 
0,959876543 0,154211943 12,8753 0,947899154 0,012635721 
0,947899154 0,011248954 11,022 0,94687856 0,001077851 
0,94687856 7,71599E-05 10,8709 0,946871462 7,49607E-06 
0,946871462 3,71438E-09 10,8699 0,946871462 3,60886E-10 
0,946871462 0 10,8699 0,946871462 0 
 
XK Função (fx) Derivada Newton Erro 
0,6 0,147796 -2,561 0,657709368 0,087742962 
0,657709368 -0,024147859 -3,325 0,650446783 0,011165534 
0,650446783 -0,000248494 -3,255 0,650370441 0,000117382 
0,650370441 -2,98857E-08 -3,2542 0,650370431 1,41206E-08 
0,650370431 0 -3,2542 0,650370431 0 
 
 
 
 
 
 
XK Função (fx) Derivada Newton Erro 
0,2 -0,080876 2,01672 0,240102741 0,167023254 
0,240102741 0,002536381 2,12005 0,238906364 0,005007722 
0,238906364 6,09162E-07 2,11901 0,238906077 1,2033E-06 
0,238906077 3,82287E-14 2,11901 0,238906077 7,55156E-14 
0,238906077 -3,70074E-17 2,11901 0,238906077 1,16178E-16 
0,238906077 0 2,11901 0,238906077 0 
 
 
Observação: Todos os zeros dos polinômios de Legendre são menores que 1 (um) em módulo e 
são simétricos em relação a origem. Faça o gráfico do polinômio para te ajudar na solução 
deste exercício.