MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA E AVANÇADA COM HP12C - PROF. GEORGE HESSEL

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Finanças
 MATEMÁTICA
COMERCIAL
Razão, proporção, regra de sociedade, regra de três simples e composta,
porcentagem, calendário, convenção linear e exponencial, taxa de juros
acumulada, média, e real, coeficiente de financiamento, e descontos.
 
 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA
BÁSICA
Juros simples e compostos, equivalência de taxas de juros, equivalência de
capitais, série de pagamentos iguais, descontos simples e compostos,
amortização.
 
 
 MATEMÁTICA FINANCEIRA
AVANÇADA
Análise de investimentos. Aplicação dos métodos PB, VPL, TIR, CAE, BAE,
e IL.
Depreciação e substituição de equipamentos.
 
 
 
 Solução dos exercícios pelo método algébrico e
pela calculadora HP 12c
 
 
 
 
 
 
 Professor George Hessel 
PREFÁCIO
 
O presente trabalho tem como objetivo principal, oferecer ao leitor
conhecimento avançado referente à Análise de Investimentos sobre o tema
Matemática Financeira, contendo, portanto, a abordagem de todos os
conteúdos, inclusive com o tema introdutório de Matemática Comercial.
 No seu desenvolvimento foi adotado o critério de aplicação de um
exercício criteriosamente selecionado para cada conteúdo, sendo que cada
exercício dispõe simultaneamente das soluções por fórmulas, e no fim de
cada exercício a solução pela calculadora HP 12c, para que o aluno, além de
conferir se os resultados obtidos no cálculo algébrico estão corretos, mas
também adquirir o próprio conhecimento do seu manuseio.
 O leitor após entender cada exercício de cada conteúdo, terá todas as
condições de resolver quaisquer exercícios sem grandes dificuldades, pois
somente haverá alternância das incógnitas, o que implicará somente na
diferenciação do cálculo matemático, e desde que seja obedecido todos os
passos estabelecidos no capítulo introdução.
 Este trabalho foi minuciosamente construído com aplicações de técnicas
modernas para que o leitor possa solucionar quaisquer exercícios de forma
prática e com extrema facilidade, sendo a mais interessante no que diz
respeito à Matemática Financeira e especificamente ao conteúdo mais amplo
e complexo que trata de ”juros simples e compostos”, com a utilização de
uma fórmula geral e simplificada que substitui várias outras fórmulas
tradicionais, e que ainda diminui consideravelmente o grau de dificuldade do
entendimento, e do próprio desenvolvimento das questões. Neste mesmo item
é abordado a equivalência de capitais e série de pagamentos, sendo nesta
última utilizada apenas uma fórmula a mais, sendo desnecessário o emprego
de todas as outras fórmulas tradicionais para cada caso. Quanto ao conteúdo
“taxas de juros” também são aplicadas fórmulas modernas e inéditas,
facilitando o desenvolvimento das questões mais complexas. Somente nos
conteúdos “Descontos” e “Amortização” as fórmulas tradicionais devem ser
mantidas. A partir de então entramos na matemática financeira avançada,
onde é desenvolvido de uma forma semelhante, os cálculos sobre “Análise
de Investimentos”, através dos métodos do PB, VPL, TIR, IL, CAE, e BAE,
assim como também a abordagem sobre “depreciação” e “substituição de
equipamentos”.
 Antes de entrar diretamente nos conteúdos com o desenvolvimento dos
exercícios, apresentamos inicialmente no capítulo Introdução algumas
recomendações e dicas muito importantes, assim como também a
apresentação de todas as fórmulas correspondentes a todos os conteúdos,
tanto da matemática financeira, como também da matemática comercial, e
análise de investimentos.
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO
 
PREFÁCIO .............................................................................................................. 2
 
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO ........................................................................................ 6
 1.1 Recomendações Iniciais ................................................................. 6
 1.2 Fórmulas ......................................................................................... 6
 1.2.1 Matemática Comercial ........................................................ 6
 1.2.2 Matemática Financeira Básica ............................................. 8
 1.2.3 Matemática Financeira Avançada ....................................... 11
 
CAPÍTULO 2 - MATEMÁTICA COMERCIAL ................................................................... 16
 2.1 Razão .............................................................................................. 16
 2.2 Proporção ...................................................................................... 16
 2.3 Regra de sociedade ........................................................................ 17
 2.3.1 Conceito ..............................................................................17
 2.3.1.1 diretamente proporcional ..................................................17
 2.3.1.2 inversamente proporcional ................................................18
 2.3.1.3 diretamente e inversamente proporcional ...................... 19
 2.4 Regra de três .................................................................................. 20
 2.4.1 Regra de três simples ......................................................... 20
 2.4.1.1 diretamente proporcional ..................................... 20
 2.4.1.2 inversamente proporcional ................................... 20
 2.4.2 Regra de três composta ..................................................... 20
 2.5 Porcentagem ................................................................................. 21
 2.5.1 Porcentagem ...................................................................... 21
 2.5.2 Valor líquido ....................................................................... 22
 2.5.2.1 Redução percentual ............................................. 22
 2.5.2.2 Aumento percentual ............................................ 22
 2.5.3 Variação percentual ........................................................... 23
 2.5.3.1 Aumento do valor ................................................ 23
 2.5.3.2 Redução do valor ................................................. 23
 2.5.4 Porcentagem do total ......................................................... 23
 2.6 Calendário ...................................................................................... 24
 2.6.1 Número de dias entre duas datas ..................................... 24
 2.6.2 Cálculo de uma data a partir de outra ............................... 25
 2.7 Convenção ...................................................................................... 25
 2.7.1 Convenção exponencial .................................................... 252.7.2 Convenção linear .............................................................. 26
 2.8 Taxa de juros ................................................................................. 27
 2.8.1 Taxa de juros acumulada ................................................... 27
 2.8.2 Taxa de juros média .......................................................... 27
 2.8.3 Taxa de juros real .............................................................. 28
 2.9 Coeficiente de financiamento ....................................................... 29
 2.10 Descontos ...................................................................................... 29
 
 
 CAPÍTULO 3 - MATEMÁTICA FINANCEIRA ............................................................. 31
 3.1 Juros simples ................................................................................. 31
 3.2 Juros compostos ........................................................................... 32
 3.2.1 Montante, capital e juros ................................................. 32
 3.2.2 Equivalência de Capitais ................................................... 32
 3.2.2.1 Capital posterior ................................................... 33
 3.2.2.2 Capital anterior ..................................................... 33
 3.2.3 Série de pagamentos diferentes ......................................... 34
 3.2.4 Série de pagamentos iguais e consecutivos ........................ 35
 3.2.4.1 Pagamento postecipado ....................................... 35
 3.2.4.2 Pagamento antecipado .........................................36
 3.2.4.3 Pagamento com carência ..................................... 37
 3.3 Taxas de juros ................................................................................ 38
 3.3.1 Taxas de juros proporcionais (juros simples) ...................... 38
 3.3.2 Taxas de juros equivalentes (juros compostos) .................. 39
 3.3.2.1 Capitalização igual ............................................... 39
 3.3.2.2 Capitalização diferente ........................................ 39
 3.4 Descontos ...................................................................................... 40
 3.4.1 Desconto racional (por dentro) ......................................... 40
 3.4.1.1 simples ................................................................ 40
 3.4.1.2 composto ............................................................ 41 
 3.4.2 Desconto comercial (por fora) ........................................... 42
 3.4.2.1 simples ................................................................ 42
 3.4.2.2 composto ............................................................ 42
 3.5 Sistemas de amortização ............................................................... 43
 3.5.1 Sistema de amortização SAC ..............................................43
 3.5.1.1 sem carência ........................................................ 43
 3.5.1.2 com carência e sem juros .................................... 44
 3.5.1.3 com carência e com juros .................................... 46
 3.5.1.4 Exercício prático ...................................................47
 3.5.2 Sistema de amortização SAP - Price ....................................49
 3.5.2.1 sem carência ......................................................... 49
 3.5.2.2 com carência e sem juros ..................................... 50
 3.5.2.3 com carência e com juros ..................................... 51
 3.5.2.4 Exercício prático ................................................... 53
 3.5.3 Sistema de amortização americano .................................... 54
 3.5.3.1 sem carência ........................................................ 54
 3.5.3.2 com carência e sem juros ..................................... 55
 3.5.3.3 com carência e com juros .................................... 56
 
CAPÍTULO 4 – MATEMÁTICA FINANCEIRA AVANÇADA ............................................. 58
 Análise de investimentos 
 
 4.1. ANÁLISE DE VIABILIDADE DE UM INVESTIMENTO: .......................... 58
 4.1.1 Fluxos de caixa diferentes ...................................................... 58 
 4.1.1.1 Enunciado ...................................................................... 58
 4.1.1.2 Dados .............................................................................. 58 
 4.1.1.3 Cálculo dos métodos ....................................................... 58
 4.1.1.3.1. Método do Payback (PB) ....................................... 58
 4.1.1.3.2. Método do Valor Presente Líquido (VPL) ........... 59
 4.1.1.3.3 Método da Taxa interna de retorno (TIR) ........... 60
 4.1.1.3.4 Método do Índice de lucratividade (IL) ............... 61
 4.1.1.3.5. Cálculo do Custo anual equivalente (CAE) .......... 62
 4.1.1.3.6. Cálculo do Benefício anual equivalente (BAE) ... 62
 4.1.2. Fluxos de caixa iguais ................................................................ 63
 4.1.2.1 Enunciado .................................................................... 63
 4.1.2.2 Dados ............................................................................ 64 
 4.1.2.3 Cálculo dos métodos .....................................................64
 4.1.2.3.1. Método do Payback (PB) ...................................... 64
 4.1.2.3.2. Método do Valor Presente Líquido (VPL) ............ 65
 4.1.2.3.3 Método da Taxa interna de retorno (TIR) ........... 66
 4.1.2.3.4 Método do Índice delucratividade (IL) ............... 66
 4.1.2.3.5. Cálculo do Custo anual equivalente (CAE) ......... 67
 4.1.2.3.6. Cálculo do Benefício anual equivalente (BAE) ... 68
 4.2. DECISÃO ENTRE DOIS OU MAIS INVESTIMENTOS ............................ 69 
 
 4.2.1. Análise pelo método do Payback (PB) .................................... 69
 4.2.2. Análise pelo método do valor presente líquido (VPL) ............ 69
 4.2.3. Análise pelo método da taxa interna de retorno (TIR) ........... 69
 4.2.4. Análise pelo método do índice de lucratividade (IL) .............. 69 
 4.2.5. Análise pelo método do custo anual equivalente (CAE) ........ 69
 4.2.6. Análise pelo método do benef. anual equivalente (BAE) ...... 69
 4.3. DEPRECIAÇÃO DE EQUIPAMENTOS .................................................. 69
 4.4. SUBSTIUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS .................................................... 71
 
CAPÍTULO 5 – EXERCÍCIOS PARA RESOLVER ............................................................ 74
 
 5.1. Exercícios de juros simples e compostos ............................................74
 5.1.1. Revisão ..................................................................................... 74
 5.1.2. Exercícios ................................................................................. 74
 5.2. Exercícios de taxas de juros equivalentes ...........................................75
 5.2.1. Revisão .................................................................................... 75
 5.2.2. Exercícios ................................................................................. 75
 5.3. Exercícios de série de pagamentos .....................................................75
 5.3.1. Revisão .....................................................................................75
 5.3.2. Exercícios ................................................................................. 76
 5.4. Exercícios de descontos .......................................................................76
 5.4.1. Revisão .................................................................................... 76
 5.4.2. Exercícios ................................................................................. 77
 5.5. Exercícios de amortização ...................................................................77
 5.4.1. Revisão .................................................................................... 77
 5.4.2. Exercícios ................................................................................. 78
 5.6. Exercícios de análise de investimentos ...............................................78
 5.6.1. Revisão .................................................................................... 78
 5.6.2. Exercícios ................................................................................. 79
 
CAPÍTULO 6 – CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................... 81
 6.1. como resolver os exercícios de Matemática Financeira ................. 81
 6.2. curso online de matemática financeira ........................................... 81
 6.3. apresentação de vídeo .................................................................... 82
 6.4. sobre o autor..................................................................................... 82
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO
 
 1.1 RECOMENDAÇÕES INICIAIS:
 
 
 
 1.2. FÓRMULAS 
 
 
 1.2.1. MATEMÁTICA COMERCIAL
 1.2.1.1 Razão:
 
 1.2.1.2 Proporção:
 
 1.2.1.3 Regra de três
 Simples:
 
 1.2.1.4. Regra de três composta:
 
 
 1.2.1.5 Regra de
sociedade:
 
 1.2.1.6 Porcentagem:
 
 
 
 1.2.1.7 Convenção exponencial:
 
 
 
 1.2.1.8 Convenção linear:
 
 
 
 
 1.2.1.9 Taxa de juros
acumulada:
 
 
 
 1.2.1.10 Taxa de juros média:
 
 
 1.2.1.11 Taxa de juros real:
 
 
 
 1.2.1.12 Coeficiente de
financiamento:
 
 
 
 
 
 1.2.1.13 Desconto racional simples:
 
 
 
 1.2.1.14 Desconto
comercial simples:
 
 
 
 
 
 1.2.2. MATEMÁTICA
FINANCEIRA BÁSICA:
 
 1.2.2.1 Juros Simples:
 Entradas (E)
 
 
 
 
 
 
 
 1.2.2.2 Juros compostos:
 
 Vi Vf
 
 
0 n 
 
 ∑Pi
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observações:
 
 
 
 
 1.2.2.3 Taxas de juros simples equivalentes
(proporcionais):
 
 
 
 1.2.2.4 Taxas de juros compostos equivalentes:
 (Mesma capitalização)
 
 
 
 
 1.2.2.5 Taxas de juros compostos Nominal,
Capitalizada e Efetiva:
 
(Capitalização diferente)
 
 
 
Observações:
 
 
 
 1.2.2.6 Desconto racional simples: 
 
 
 
VN
 n 
 VA
 1.2.2.7 Desconto racional composto:
 
 
 1.2.2.8 Desconto comercial simples:
 
 
 1.2.2.9 Desconto comercial composto:
 
 
 1.2.2.10 Equivalência de taxas com capitalização
simples:
 
 1.2.2.11 Equivalência de taxas com capitalização
composta:Observações:
 
 
 
 
 
 
 
 1.2.2.12 Sistema de Amortização Price: (P = =
cte)
 
 
 
 
 
 
 
 
 1.2.2.13 Sistema de Amortização SAC (m = cte):
 
 
 
 
 
 
 
 
 1.2.2.14 Sistema de Amortização Americano:
 (m=0; P=cte; J=cte;
SD=cte)
 
 
 
 
 1.2.3. MATEMÁTICA FINANCEIRA AVANÇADA:
 
 1.2.3.1 MÉTODOS PARA AVALIAÇÃO DA
VIABILIDADE DE PROJETOS
 
 1.2.3.1.1 Payback (PB)
 1.2.3.1.1.1 Cálculo do PB de um projeto p/série
uniforme:
 
 
 
 
 1.2.3.1.1.2 Cálculo do PB de um projeto p/série
irregular:
 
 a) Cálculo do Payback Simples
(PBS): 
 
 
 Considerando o FCSc, o PBS inteiro ( ) será o valor do último n
referente ao FCSc negativo, e o PBS fracionário ( , será calculado
através da fórmula a seguir:
 
 
 
 b) Cálculo do Payback Descontado (PBD):
 Considerando o FCDc, o PBD inteiro ( ) será o valor do último n
referente ao FCDc negativo, e o PBD fracionário ( , será calculado
através da fórmula a seguir:
 
 
 
 1.2.3.1.1.3 Critério de viabilidade de um projeto.
 
 
 
 1.2.3.1.1.4 Critério de comparação de projetos
 
 
 
 1.2.3.1.2 Valor presente líquido (VPL)
 1.2.3.1.2.1 Cálculo do VPL de um projeto
 
 
 1.2.3.1.2.2 Critério de viabilidade do projeto
 
 
 1.2.3.1.2.3 Critério de comparação de projetos 
O melhor projeto é aquele que contém o maior VPL. 
 
 
 
 
 1.2.3.1.3 Taxa interna de retorno (TIR):
 
 1.2.3.1.3.1 Cálculo da TIR de um projeto:
 Ou: Método da interpolação:
 
 
 
 1.2.3.1.3.2 Critério de viabilidade do projeto:
 
 
 
 1.2.3.1.3. Critério de comparação de projetos:
 
 
 
 1.2.3.1.4 Custo anual equivalente (CAE)
 1.2.3.1.4.1 Cálculo do CAE de um projeto:
 
 
 
 1.2.3.1.4.2 Critério de comparação de projetos:
 
 
 1.2.3.1.5 Benefício anual equivalente (BAE)
 
 1.2.3.1.5.1 Cálculo do BAE de um projeto:
 
 
 1.2.3.1.5.2 Critério de comparação de projetos:
 
 
 1.2.3.1.6 Índice de lucratividade (IL):
 1.2.3.1.6.1 Cálculo do IL de um projeto:
 
 
 
 1.2.3.1.6.2 Critério de viabilidade de um projeto:
 
 
 1.2.3.1.6.3 Critério de comparação de projetos:
 
 
 1.2.3.1.7 OUTROS CASOS:
 
 1.2.3.1.7.1. 
Taxa interna de retorno modificada (MTIR):
 
Obs:
∑E: concentrar todos os valores de entrada no tempo n.
∑S: concentrar todos os valores de saída no tempo 0.
 
 1.2.3.1.7.2. Perpetuidade:
 
 
1.2.3.2 DEPRECIAÇÃO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.3.3 SUBSTITUIÇÃO DE EQUIPAMENTOS
 
 Calcular individualmente o VPL e o CAE para cada período.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2: MATEMÁTICA COMERCIAL
 
2.1 RAZÃO
 2.2.1 Conceito: Razão é a relação (divisão) que existe entre
dois números quaisquer a e b, com b ≠ 0, ou seja: 
 
 
 
2.1.2 Enunciado do exercício:
 Numa frota de 180 táxis da cidade de Caxias do Sul,
72 destes têm mais de 5 anos de uso. Qual a razão entre esses veículos e a
frota total de táxis da cidade?
2.1.3 Dados: a = 72 táxis
 b = 180 táxis
 R = ?
 
2.1.4 Solução pela Fórmula:
 
 
 
 R= .: R = .: R = 0,4
 
2.1.5 Solução pela HP:
 
r: 2 5 visor = 0,4
 2.2 PROPORÇÃO
 
2.2.1 Conceito:
É a igualdade de duas ou mais razões. 
2.2.2 Enunciado do exercício:
Numa observação na fila de um banco comercial,
constatou-se que a cada 5 minutos eram atendidos 3
clientes. Mantendo-se essa razão durante todo o expediente
bancário, quantos clientes serão atendidos em 40 minutos?
 
 2.2.3 Dados: a = 5 minutos
 b = 3 clientes
 c = 40 minutos
 d = ?
 
 2.2.4 Solução pela fórmula: 
 
 
 
 .: 5 x d = 3 x 40 .: d = .: d = 
 .: d = 24 clientes
 
 2.2.5 Solução pela HP:
 
 d: 3 40 5 visor = 24
 
 2.3 REGRA DE SOCIEDADE
 
 2.3.1 Conceito:
 É a aplicação das divisões proporcionais, através da
divisão dos lucros entre dois ou mais sócios que formam a sociedade,
podendo ser diretamente ou inversamente proporcional.
 2.3.1.1. Diretamente proporcional:
 
 
 2.3.1.1.1 Enunciado:
 O proprietário de uma fábrica resolveu
distribuir entre seus dois Gerentes parte do lucro no valor de R$ 95.000,00. O
rateio entre os sócios será feito em partes diretamente proporcional ao tempo
de trabalho de cada um.
Gerente Tempo
 G1 ........ 16 anos
 G2 ........ 10 anos 
 
 2.3.1.1.2 Dados: L1 + L2 = R$ 95.000,00
 G1: c = 16 anos
 G2: d = 10 anos
 L1 = ? .: L2 = ?
 
 2.3.1.1.3 Solução pela fórmula:
.: = L1 = .: L1 = R$ 58.461,54 
 
 = .: L2 = .: 
L2 = R$ 36.538,46
 
 2.3.1.1.4 Solução pela HP:
 L1 : 16 95.000 26 visor =
58.461,54
 
 L2 : 10 95.000 26 visor
= 36.538,46
 
 
 2.3.1.2 Inversamente proporcional 
 
 
 2.3.1.2.1 Enunciado:
 O proprietário de uma fábrica resolveu distribuir
entre seus dois Gerentes parte do lucro no valor de R$ 95.000,00. O rateio
entre o s sócios será feito em partes inversamente proporcional aos salários
de cada um.
 
Gerente Salário
 G1 ........ 9.000,00
 G2 ........ 7.000,00 
 
 2.3.1.2.2 Dados: L1 + L2 = R$ 95.000G1: a = R$ 9.000
 G2: b = R$ 7.000
 L1 = ? .: L2 = ? 
 
 2.3.1.2.3 Solução pela fórmula:
 
 
 
 
 
.: L1 = .: L1 = .: L1 = R$ 41.800,00 
 
 
.: L2 = .: L2 = .: L2 = R$ 53.200,00 
 
 
 2.3.1.2.4 Solução pela HP:
 
L1: 1 9000 95.000 1 9000 1 7000 
 
 
Visor: 41.562,50
L2: 1 7000 95.000 1 9000 1 7000 
 
 
 
Visor: 53.437.50
 
 2.3.1.3. Diretamente e Inversamente
proporcional 
 
 
 
 
 2.3.1.3.1 Enunciado:
 O proprietário de uma fábrica resolveu
distribuir entre seus dois Gerentes parte do lucro no valor de R$ 95.000,00. O
rateio entre os sócios será feito em partes inversamente proporcional aos
salários de cada um, e diretamente proporcional ao tempo de trabalho de cada
um.
Gerente Salário Tempo
 G1 ........ R$ 9.000,00 ..... 16 anos
 G2 ........ R$ 7.000,00 ..... 10 anos
 2.3.1.3.2 Dados: L1 + L2 = R$ 95.000
 G1: a = R$ 9.000 
.: c = 16 anos
 G2: b = R$ 7.000 
.: d = 10 anos
 L1 = ? .: L2 = ? 
 
 2.3.1.3.3 Solução pela fórmula:
 
 
 
.: L1 = .: L1 = .: L1 = R$ 
52.250,00 
 
 
.: L2 = .: L2 = .: L2 = R$ 42.750,00
 
 
 2.3.1.3.4 Solução pela HP:
 
L1: 16 9000 95000 16 9000 10 7000 
 
 
Visor = 52.673,00
L2: 10 7000 95000 16 9000 10 7000 
 
 
Visor = 42.327,00
 
 
 
 
2.4 REGRA DE TRÊS
 
 2.4.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES
 Conceito: são proporções com 4 grandezas, sendo
que uma delas é a incógnita, podendo ser diretamente ou inversamente
proporcional.
 2.4.1.1 Diretamente Proporcional
 2.4.1.1.1 Enunciado:
 Um vendedor ambulante vende em média
por semana (6 dias trabalhados) o equivalente a R$ 942,00. Trabalhando
efetivamente 20 dias no mês, terá vendido quanto?
 2.4.1.1.2 Dados: dias 
R$ dias R$
 b 
a 6 942
 c 
x 20 x
 2.4.1.1.3 Solução pela fórmula:
 
 
 .: x x 6 = 20 x 942,00 .: x = .: x = R$ 3.140,00 
 
 2.4.1.1.4 Solução pela HP:
X: 20 942 6 Visor = 3.140,00 
 2.4.1.2 Inversamente Proporcional
 2.4.1.2.1 Enunciado: Num estaleiro, 28 homens
demoram 36 dias para construir um barco de tamanho médio. Se o pedido
tivesse que ser entregue em 21 dias, qual a quantidade de homens que teriam
que trabalhar para construir este barco?
 2.4.1.2.2 Dados: Homens dias 
Homens dias
 a c 
28 36 
 x 
b x 21
 
 2.4.1.2.3 Ajuste: Homens dias 
Homens dias
 a 
b 28 21
 x 
c x 3
 2.4.1.2.4 Solução pela fórmula:
 .: x = .: x = 48 homens
 
 2.4.1.2.5 Solução pela HP:
X: 28 36 21 Visor = 48
 2.4.2 REGRA DE TRÊS COMPOSTA
 2.4.2.1 Conceito: Quando no mesmo exercício
estão envolvidas no mínimo 6 grandezas, sendo uma delas a incógnita,
podendo ser diretamente ou inversamente proporcional.
 2.4.2.2 Enunciado: Um grupo de 6 pessoas
trabalhando 8 dias produzem 1.344 bonés. Se fossem 7 pessoas, quantos dias
produziriam 2.548 bonés?
 
 2.4.2.3 Dados: pessoas dias bonés pessoas dias
 bonés
 c a d 
6 8 1.344
 b x e 
7 x 2.548
 
 2.4.2.4 Ajuste: pessoas dias bonés pessoas 
dias bonés
 b a d 7 
8 1.344
 c x e 
6 x 2.548
 
 2.4.2.5 Solução pela fórmula:
.: x = .: x = .: x = 13 dias
 
 2.4.2.6 Solução pela HP:
 
X: 8 6 2548 7 1344 Visor = 13
 
2.5 PORCENTAGEM 
 
2.5.1 PORCENTAGEM
2.5.1.1 Conceito: É o valor correspondente a um
percentual de outro valor.
2.5.1.2 Enunciado: Calcular o valor correspondente a
14% de R$ 300,00.
 
2.5.1.3 Dados: i = 14% 
 = R$ 300,00 
 
 
 = ?
 
 2.5.1.4 Ajuste do i: i = .: i = 0,142.5.1.5 Solução pela fórmula:
 .: = 0,14 x 300 .: = R$ 42,00 
 
 2.5.1.6 Solução pela HP:
 
: 300 14 Visor: 42,00 
 
 
 2.5.2 VALOR LÍQUIDO 
Conceito: É o valor correspondente a redução ou
aumento percentual de outro valor.
 
 2.5.2.1 Redução percentual:
 
 2.5.2.1.1 Enunciado: Você está comprando um
carro que é vendido por R$ 50.000,00. A concessionária lhe oferece um
desconto de 8%. Qual o valor do custo total do carro?
 2.5.2.1.2 Dados: = R$ 50.000,00
 i = 8 %
 = ?
 
 2.5.2.1.3 Ajuste do i: i = .: i = 0,08
 
 2.5.2.1.4 Solução pela fórmula:
.: = 50000 – 4000 .: 
 
 = R$ 46.000,00
 
 2.5.2.1.5 Solução pela
HP: 
 
 : 50000 8 Visor: 46.000,00
 2.5.2.2 Aumento percentual:
 2.5.2.2.1 Enunciado: Você está comprando um
carro que é vendido porR$50.000,00. Mas você terá que pagar taxas e
impostos correspondente a 8% do valor do carro. Qual é o valor do custo
total?
 2.5.2.2.2 Dados: = R$ 50.000,00
 i = 8 %
 = ? 
 2.5.2.2.3 Ajuste do i: i = .: i =
0,08
 
 2.5.2.2.4 Solução pela fórmula:
.: = R$ 54.000,00
 
 2.5.2.2.5 Solução pela
HP: 
 : 50000 8 Visor: 54.000,00
 
 
 
 
 2.5.3 VARIAÇÃO PERCENTUAL
 Conceito: É o percentual de aumento ou redução
entre 2 valores.
 2.5.3.1 Aumento do valor:
 2.5.3.1.1 Enunciado: Sua família tinha há 12
meses atrás uma renda conjunta de R$ 4.000,00. Hoje, esse valor está em R$
4.570,00. Qual foi o aumento percentual? 
 2.5.3.1.2 Dados: i = ?
 = 4.570,00
 = 4.000,00
 
 2.5.3.1.3 Solução pela fórmula:
 
.: 4570 = 4000 + i x 4000 .: i x 4000 = 570 .: i = 0,1425 .: i
= 14,25 %
 
 
 2.5.3.1.4 Solução pela HP:
i: 4000 4570 Visor = 14,25 
 
 
 2.5.3.2 Redução do valor:
 
 2.5.3.2.1 Enunciado: Sua família tinha há 12
meses atrás uma renda conjunta de R$ 4.570,00. Hoje, esse valor está em R$
4.000,00. Qual foi a redução percentual?
 2.5.3.2.2 Dados: = R$ 4.570,00
 = R$ 4.000,00
 i = ?
 
 2.5.3.2.3 Solução pela fórmula:
.: 4000 = 4570 – i x 4570 .: i x 4570 = 570 .: i = 0,1247 .: i = 12,47 %
 
 2.5.3.2.4 Solução pela HP:
 
 i: 4570 4000 Visor = - 12,47 
 
 2.5.4 PORCENTAGEM DO TOTAL
 
 2.5.4.1 Conceito: é a percentagem de cada
variável com relação a um valor total.
 
 2.5.4.2 Enunciado: No mês passado sua empresa
teve vendas de R$ 3,92 milhões nos EUA, R$ 2,36 milhões na Europa, e R$
1,67 milhões no resto do mundo. Qual a percentagem das vendas totais que
ocorreram na Europa?
 
 2.5.4.3 Dados: EUA: = R$ 3,92
milhões
 Europa: = R$ 2,36
milhões
 Resto: = R$ 1,67
milhões
 = ?
 
 
 2.5.4.4 Solução pela fórmula:
 
.: = .: 
 
 = 0,2968 .: = 29,68 %
 
 2.5.4.5 Solução pela HP:
 
 : 3,92 2,36 1,67 2,36 Visor = 29,68
 
2.6 CALENDÁRIO
 
2.6.1 Número de dias entre 2 datas:
 2.6.1.1 Enunciado: calcular quantos dias existem
entre as datas 03/06/2005 e 07/11/1973.
 
 2.6.1.2 Dados: D1 = 03/06/2005
 D2 = 07/11/2006
 d = ?
 
 2.6.1.3 Solução pela fórmula:
 
2005: d1 = 28 + 3 x 30 + 3 x 31 = 211
2006: d2 = 5 x 31 + 29 + 4 x 30 + 7 = 311 .: d = d1 + d2 .: d = 211 + 311 
.: d = 522 dias
 
 2.6.1.4 Solução pela HP:
 
 d: 03,062005 07,112006 Visor = 522
 
 
 
 
 
 
 2.6.2 Cálculo de uma data a partir de outra
 
 2.6.2.1 Enunciado: Você aplica uma
determinada quantia em um banco no dia 25/11/2005. O dinheiro deverá ser
resgatado depois de 115 dias. Determinar a data de resgate.
 
 2.6.2.2 Dados: D1 = 25/11/2005
 d = 115 dias
 D2 = ?
 
2.6.2.3 Solução pela fórmula:
 2005: d1 = 5 + 31 .: d = 36
 2006: d2 = 115 – 36 .: d2 = 79 .: d2 = 31 +28 + 20 .: D2
= 20/03/2006
 
 2.6.2.4 Solução pela HP:
 
 
 D2: 25,112005 115 Visor = 20.03.2006
 
2.7 CONVENÇÃO
 
 2.7.1 CONVENÇÃO EXPONENCIAL
 2.7.1.1 Conceito: É quando no cálculo, o período n
apresenta o seu valor total.
 2.7.1.2 Enunciado: sabendo que o montante de
uma aplicação
é de R$ 5.000,00, com uma taxa de juros de 10 % ao ano no regime de
capitalização composta, durante 2 anos e 7 meses, qual o capital utilizado na
convenção exponencial?2.7.1.3 Dados: M = R$ 5.000,00
 J = composto
 i = 10 % a.a.
 n = 2 a + 7 m
 C = ?
 
 2.7.1.4 Ajuste do n:
 
 Anos meses
1 12 x = 0,58333 anos .: n = 2 + 0,58333 .: n =
2,58333 anos
X 7
 
 2.7.1.5 Fluxo de caixa: M
 0
 2,58
 C 
anos
 
 
 2.7.1.6 Cálculo pela fórmula: 
 Concentrando as entradas e saídas no tempo 0:
 
 = .: = .: =
C .: C = R$ 3.908,75
 
 
 
 2.7.1.7 Cálculo pela HP:
 
C: 5000 0 2,58333 10 visor = - 3.904,47
 
 2.7.2 CONVENÇÃO LINEAR
 
2.7.2.1 Conceito: É quando no cálculo, o valor do
tempo “n” é
desdobrado em 2 valores, em n1 (inteiro) e em n2 (decimal).
 
 2.7.2.2 Enunciado: sabendo que o montante de
uma aplicação
é de R$ 5.000,00, com uma taxa de juros de 10 % ao ano no regime de
capitalização composta, durante 2 anos e 7 meses, qual o capital utilizado na
convenção linear?
 2.7.2.3 Dados: 
 M = R$ 5.000,00
 J = composto
 i = 10 % a.a.
 n = 2 a + 7 m
 C = ?
 2.7.2.4 Ajuste do n:
 Anos meses
 1 12 x = 0,58333 anos .: n = 2 + 0,58333 .: n
= 2,58333 anos
X 7
 Logo: = 2 e = 0,58333
 
 2.7.2.5 Fluxo de caixa:
 0
 2,58
 C 
anos
 
 2.7.2.6 Solução pela fórmula:
Concentrando as entradas e saídas no tempo 0:
 
 = .: 
 = .: = C
 C = R$ 3.904,48
 
 
 2.7.2.6 Solução pela HP:
 
C: 1 0,1 2 1 0,1 0,58333 visor =
1,28058
C: 5000 1,28058 visor = 3,904,48
2.8 TAXA DE JUROS 
 2.8.1. TAXA DE JUROS ACUMULADA ( )
 2.8.1.1 Conceito: A partir de duas ou mais
taxas efetivas, obtém-se a taxa acumulada.
 2.8.1.2 Enunciado: calcular a taxa acumulada
referente às taxas efetivas de 8% e 12% a.p.
 2.8.1.3 Dados: = 8 % a.p.
 = 12 % a.p.
 = ? a.p.
 
 2.8.1.4 Cálculo pela fórmula:
 = (1+ 0,08) x (1+ 0,12) - 1 .: = 0,21
 = 21% a.p.
 
 2.8.1.5 Cálculo pela HP:
 
: 1 0,08 1 0,12 1 visor = 0,21
 
 2.8.2 TAXA DE JUROS MÉDIA ( )
 2.8.2.1 Conceito: A partir da taxa
acumulada de duas ou mais taxas efetivas, obtém-se a taxa média. 
 2.8.2.2 Enunciado: Calcular a taxa média
referente às taxas efetivas de 8% e 12% a.p.
 2.8.2.3 Dados: = 8 % a.p.
 = 12 % a.p.
 = ? a.p.
 
 2.8.2.4 Cálculo pela fórmula:
.: = 0,10 .: = 10 % a.p.
 
 2.8.2.5 Cálculo pela HP:
: 1 0,21 2 1 visor = 0,10 
 2.8.3 TAXA DE JUROS REAL ( )
 2.8.3.1 Conceito: A partir da taxa
acumulada de duas ou mais taxas efetivas, e da taxa de inflação, obtém-se a
taxa real.
 2.8.3.2 Enunciado: Calcular a taxa real
referente às taxas efetivas de 8% e 12% a.p.
 2.8.3.3 Dados: = 8 % a.p.
 = 12 % a.p.
 = ? a.p.
 = 11 % a.p.
 
 2.8.3.4 Cálculo pela fórmula:
.: = 0,09 .: = 9 % a.p.
 
 
 2.8.3.5 Cálculo pela HP:
 
: 1 0,21 1 0,11 1 visor = 0,09
 
2.9 COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO (CF):
 
 2.9.1 Conceito: É o valor tabelado que deve ser
relacionado a outras variáveis no intuito de definir o valor da prestação.
 2.9.2 Enunciado: Uma loja está vendendo um aparelho de
TV por R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5 % ao mês,
calcular o valor das prestações, se fizermos o pagamento em 3 vezes sem
entrada, utilizando o coeficiente de financiamento.
 
 2.9.3 Dados: = R$ 1.000,00
 i = 5 % a.m.
 = ?
 n = 3 meses
 
 2.9.4 Cálculo pela fórmula:
 
.: CF = 0,36721 
 
 
 .: 
 
 2.9.5 Cálculo pela HP:
 
CF: 1 1 1 0,05 3 visor = 0,1361
CF: 0,05 0,1361 visor = 0,36721
: 1000 0,36721 visor = 367,21
 2.10 DESCONTOS
 
 2.10.1 Conceito: São títulos que são resgatados
antecipadamente, através de um valor menor, em função de um desconto que
é cobrado pelo agente bancário.
 2.10.2 Enunciado: Supondo que se queira resgatar
uma duplicata no valor nominal de R$ 15.000,00, com 50 dias de
antecedência ao seu vencimento. A taxa dedesconto nominal cobrada pelo
banco é de 3,3 % ao mês, sendo que a taxa de IOF é de 0,0041 % ao dia, e a
taxa de administração é de 1,5 %. Calcular o valor líquido de resgate, e o
custo efetivo desta operação.
 
 2.10.3 Dados: T = 15.000,00
 = 3,3 % a.m.
 = 0,0041 % a.d.
 = 1,5 %
 VR = ?
 = ?
 n = 50 dias
 
 2.10.4 Cálculo pelas fórmulas: 
 
 
 = 15.000 x 0,033 x .: = 825,00
 
 IOF = 0,000041 x 15.000 x 50 = 30,75
 TA = 0,015 x 15.000 = 225,00
 = 825,00 + 30,75 + 225,00 .: = 1.080,75
 VR = T - .: VR = 15.000,00 – 1.080,75 = R$ 13.919,25
 
 .: = .: = 0,07764 para 50 dias 
 
 Logo, para 30 dias (a.m.): = .: = 0,04658 .: 
 = 4,66 % a.m.
 
 2.10.5 Cálculo pela HP:
 
: 15000 0,033 50 30 visor = 825,00
IOF: 0,000041 15000 50 visor =30,75
TA: 0,015 15000 visor = 225,00
: 825 30,75 225 visor = 1080,75
VR: 15000 1080,75 visor = 13.919,25
: para 50 dias: 1080,75 13919,25 visor = 0,07764
: para 30 dias: 0,07764 30 50 visor = 0,046584
 0,046584 100 visor = 4,66
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3: MATEMÁTICA FINANCEIRA
BÁSICA
 
 3.1. JUROS SIMPLES
 3.1.1. Conceito: é o rendimento de um capital ao longo de um
determinado tempo, sendo os juros constante em cada período deste tempo.
 3.1.2. Enunciado: Calcular os juros e o montante produzidos
por um capital de R$ 10.000,00, à taxa de 2% a.m., durante 125 dias,
considerando o regime de capitalização a juros simples.
 3.1.3. Dados: = R$ 10.000,00
 i = 2 % a.m.
 n = 125 dias
 =?
 J =?
 J = Simples
 3.1.4. Ajuste do i:
.: 0,02 x 12 = x 360 .: = 0,00067 a.d.
 
 
 3.1.5. Fluxo de caixa: 
 0 125
 
Dias
 
 
 3.1.6. Cálculo pelas fórmulas:
 Obs: concentrar todos os valores no tempo 0:
 .: = .: = 
.: 
 
10000 = .: = R$ 10.833,33
 .: J = 10833,33 – 10000,00 = R$ 833,33
 
 3.1.7. Cálculo pela HP:
 
J e : 10000 0 24 125 visor = 833,33 
 
 visor =
10.833,33
 
 
 
 
 
 
 
 3.2. JUROS COMPOSTOS 
 3.2.1. Montante, Capital e Juros
 3.2.1.1. Conceito: é quando o capital e o montante são
relacionados entre si através de juros crescentes em cada período de um
determinado tempo, e a uma taxa de juros de cada período.
 3.2.1.2. Enunciado: Calcular os juros e o montante
produzidos por um capital de R$ 10.000,00, à taxa de 2% a.m., durante 125
dias, considerando o regime de capitalização a juros compostos.
 3.2.1.3. Dados: = R$ 10.000,00
 i = 2% a.m.
 n = 125 dias
 =?
 J =?
 J = compostos
 3.2.1.4. Ajuste do i:
 
 .: = 
 
 = .: 1,00066 = 1 + .: =
0,00066 a.d. 
 
 3.2.1.5. Fluxo de caixa: 
 0 125
 
Dias
 
 
 3.2.1.6. Cálculo pelas fórmulas:
 Obs: concentrar os valores de entrada e saída no tempo 0:
 .: = .: = .: 10000 =
 .: 
 = R$ 10.860,01
.: J = 10.860,01 – 10.000,00 = R$ 860,01
 
 3.2.1.7. Cálculo pela HP:
 
 : 10000 0 125 0,066 visor = 10.859,69
J: 10859,69 10000,00 visor = 859,69
 
 3.2.2 Equivalência de Capital
 Conceito: é quando dois capitais são relacionados
entre si através de juros crescentes em cada período de um determinado
tempo, e a uma determinada taxa de juros em cada período.
 3.2.2.1 Capital posterior
 3.2.2.1.1. Enunciado: O valor à vista de um
produto de uma loja hoje é de R$ 1.000,00. Qual será o valor deste produto
daqui a 4 meses, se a loja reajusta os produtos a uma taxa de juros de 1,5% ao
mês, sob o regime de capitalização composta?
 3.2.2.1.2. Dados: = R$ 1.000,00
 n = 4 meses
 i = 1,5% a.m.
 = ?
 J = composto
 
 3.2.2.1.3. Fluxo de caixa:
 
 
 
0 4 meses
 
 3.2.2.1.4. Cálculo pela fórmula:Obs.: concentrando todos os valores no tempo 0:
 
.: = .: = .: 1000 = 
 
 = R$
1.061,36
 
 3.2.2.1.5. Cálculo pela
HP: 
 
 : 1000 0 1,5 4 visor = 1.061,36
 
 
 3.2.2.2 Capital anterior
 3.2.2.2.1. Enunciado: O valor à vista de um
produto de uma loja hoje é de R$ 1.000,00. Qual era o valor deste produto 4
meses atrás, se a loja reajusta os produtos a uma taxa de juros de 1,5% ao
mês no regime de capitalização composta?
 
 3.2.2.2.2. Dados: = R$ 1.000,00
 n = 4 meses
 i = 1,5% a.m.
 = ?
 J = composto
 
 3.2.2.2.3. Fluxo de caixa:
 
 
 
0 4 meses
 
 
 
 3.2.2.2.4. Cálculo pela fórmula:
 Obs.: concentrando todos os valores de entrada e saída no
tempo 0:
 
.: = .: = .: = 
 
 
 = R$
942,19
 
 3.2.2.2.5 Cálculo pela HP:
 
: 1000 0 1,5 4 visor = 942,18
 
 3.2.3. Série de pagamentos diferentes
 3.2.3.1. Conceito: Quando um determinado capital ou
montante é relacionado à uma série de pagamentos diferentes em períodos
diversos ao longo de um determinado tempo, e a uma determinada taxa de
juros em cada período.
 3.2.3.2. Enunciado: Uma loja está vendendo um
produto à vista no valor de R$ 1.000,00. No caso da compra a prazo a loja
oferece as seguintes condições: uma entrada de R$ 100,00, um 1º pagamento
no fim do 3º mês no valor de R$ 300,00, um 2º pagamento de R$ 400,00 no
fim do 6º mês, e mais um 3º pagamento no fim do 10º mês. Qual será o valor
do 3º pagamento se a loja trabalha com taxa de juros de 1,2% ao mês sob
regime de capitalização composta?
 3.2.3.3. Dados: = R$ 1.000,00
 = R$ 100,00
 = R$ 300,00 (n=3)
 = R$ 400,00 (n=6)
 = ? (n=10)
 i = 1,2% a.m.
 J = composto
 
 3.2.3.4. Fluxo de caixa:
 
 
 0 3 6 
 10 meses
 
 
 
 
 3.2.3.5. Cálculo pelas fórmulas:
 Obs.: concentrando todos os valores no tempo 0:
 
.: = + + + 
 
 = + + + 
 
1000 = 100 + + + .: 900 = 289,45 + 372,37 + 
 
238,18 = .: = R$ 268,35
 
 3.2.3.6. Cálculo pela HP:
 
VPL (Vi – E): 1000 100 visor = 900,00
VPL (P1): 300 1,2 3 visor = 289,45
VPL (P2): 400 1,2 6 visor = 372,37
VPL (total): 900 289,45 372,37 visor = 238,18
P3: 238,18 1,2 10 visor = 268,35
 
 3.2.4. Série de pagamentos iguais e consecutivos
 
 Conceito: Quando um determinado capital ou montante é
relacionado à uma série de pagamentos iguais em cada período ao longo de
um determinado tempo, e a uma determinada taxa de juros em cada período.
 
 3.2.4.1 Pagamento postecipado
 
 3.2.4.1.1. Conceito: Quando os pagamentos são
realizados sempre no fim de cada período.
 3.2.4.1.2. Enunciado: Uma máquina de lavar roupas
é vendida em 10 prestações iguais de R$ 199,99 com o primeiro pagamento
para 30 dias. Determinar o preço da máquina, sabendo que a loja cobra em
financiamentos 1% ao mês de juros.
 
 3.2.4.1.3. Dados: = ? 
postecipado: n= p
 = R$ 199,99
 n = 10 meses p =
nº prestações
 i = 1% a.m.
 p = 10 (mensal)
 3.2.4.1.4. Fluxo de
caixa: 
 
 
 0 1 
2 10 meses
 
 
 
 
 3.2.4.1.5. Cálculo pelas fórmulas:
 Obs.: concentrando todos os valores no tempo 0 (para o tempo anterior): 
 = .: =
 = .: 
 = .: = 199,99 x .: = R$
1894,17
 
 3.2.4.1.6. Cálculo pela HP:
 : 199,99 0 10 1 visor = 1894,17
 
 3.2.4.2. Pagamento antecipado
 3.2.4.2.1. Conceito: Quando os pagamentos são realizados
sempre no início de cada período.
 3.2.4.2.2. Enunciado: Uma máquina de lavar roupas é
vendida em 10 prestações iguais de R$ 199,99 com o primeiro pagamento no
ato da compra. Determinar o preço da máquina, sabendo que a loja cobra em
financiamentos 1% ao mês de juros.
 
 3.2.4.2.3. Dados: = ? antecipado:
n= p - 1
 = R$ 199,99
 n = 9 meses p = nº
prestaçõesi = 1% a.m.
 p = 10
 
 3.2.4.2.4. Fluxo de caixa: 
 
 0 1 2 
 9 meses 
 
 
 
 
 
Obs: Como vamos concentrar todos os valores de entrada e saída no tempo 0, e
como a fórmula da ∑ exige que a primeira prestação esteja 1 período após
o início da operação, há necessidade de deslocar o para a esquerda (tempo
anterior) de 1 período. Em outras palavras vamos transformar o pagamento
antecipado em postecipado. A seguir o novo fluxo de caixa:
 
 Agora, portanto, n = p 
 
 0 1 2 3 10 meses
 n = 10 meses
 
 
 3.2.4.2.5. Cálculo pelas fórmulas:
 
 = .: =
 .: 
= .: 
 
 = .: = 199,99 x .: =
R$ 1894,17
Logo: = .: = x 1,01 .: = 1894,17 x 1,01 .: 
 = R$ 1.913,11
 
 3.2.4.2.6. Cálculo pela HP:
 
: 199,99 0 1 10 visor =
1.913,11
 Obs: para voltar ao estado antecipado: 
 3.2.4.3 Pagamentos com carência 
 
 3.2.4.3.1. Conceito: Quando a primeira prestação
inicia a alguns períodos após o início da operação.
 3.2.4.3.2. Enunciado: uma loja está anunciando
uma câmera digital por R$ 899,99 à vista. O cliente pode pagar em 9
prestações mensais ao final de cada mês. Considerando ainda que existam 3
meses de carência, calcule o valor destas parcelas, sabendo que a loja cobra
3% de juros ao mês.
 3.2.4.3.3. Dados: = R$ 899,99
 p = 9 (mensal)
 carência = 3
meses
 = ?
 i = 3% a.m.
 
 3.2.4.3.4. Fluxo de caixa:
 
 
 
 0 1 2 3 4 
 12 meses 
 
 
 
 
 
 
 3.2.4.3.5. Cálculo pelas fórmulas:
 
Obs: como vamos concentrar todos os valores de entrada e saída no tempo 0, e como a fórmula do
∑ exige que a primeira prestação esteja 1 período após o início da operação, há necessidade de
deslocar o para a direita (tempo posterior) de 3 períodos.
 
 
 
 
 
 0 1 9 meses
O novo fluxo de caixa então é: 
 n = 9 meses 
 
 Obs: concentrando os valores no tempo 0 (tempo anterior):
 = .: =
 
 =
 x 
 .: 983,44 = x .: = R$ 126,31
 
 3.2.4.3.6. Cálculo pela HP:
 
 : 899,99 0 3 3 visor = - 983,44
 : 983,44 3 9 0 visor = - 126,31
 
 3.3. TAXAS DE JUROS
 3.3.1. Taxas proporcionais (juros simples)
 3.3.1.1 Conceito: São duas taxas de juros fornecidas
em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo capital
e durante o mesmo prazo, produzem o mesmo montante no final daquele
prazo, no regime de juros simples.
 3.3.1.2 Enunciado: Determinar a taxa de juros efetiva
anual, correspondente a taxa de 2% ao mês, no regime de juros simples.
 3.3.1.3 Dados: = 2 % a.m. 
 = = 12
 = ? 
a.a. = = 1
 
 3.3.1.4 Cálculo pelas fórmulas:
 0,02 x 12 = x 1 .: = .: = 0,24 .: = 24 % a.a.
 
 3.3.1.5 Cálculo pela HP:
 
: 0,02 12 1 100 visor = 24
 
 3.3.2. Taxas Equivalentes (Juros compostos)
 
 3.3.2.1. Capitalização igual
 3.3.2.1.1 Conceito: Quando é fornecida uma
taxa de juros efetiva ( ), e sendo capitalizada no mesmo tempo, obtém-se
uma outra taxa de juros efetiva ( ), e que produzem o mesmo montante no
final do mesmo prazo, no regime de juros compostos.
 
 3.3.2.1.2. Enunciado: Determinar a taxa efetiva
mensal, correspondente a taxa efetiva de 8,5 % ao ano, no regime de juros
compostos.
 3.3.2.1.3 Dados: = 2 % a.m. 
 = = 12
 = ? 
a.a. = = 1
 3.3.2.1.4 Cálculo pelas fórmulas:
.: = 1,26824 -1
 
 = 0,2682 .: 
 = 26,82 % a.a.
 
 3.3.2.1.5 Cálculo pela HP:
 
: 1 0,02 12 1 100 visor = 26,82
 3.3.2.2 Capitalização diferente 
 3.3.2.2.1 Conceito: Quando é fornecida uma
taxa de juros ( ), sendo capitalizada em um tempo diferente ( ), obtém-se
outra taxa diferente ( ), e que produzem montantes diferentes no final
do mesmo prazo, no regime de juros compostos.
 3.3.2.2.2 Enunciado: Determinar a taxa efetiva
mensal que é equivalente à taxa nominal de 8,5% ao ano, capitalizados
trimestralmente.
 3.3.2.2.3 Dados: = 2 % a.m.