Unidade 1 - Cargas elétricas e campos elétricos

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Cargas elétricas e Campos elétricos
Cargas elétricas e campos elétricos
Cargas elétricas;
Condutores e isolantes;
Lei de Coulomb;
A carga é Quantizada;
A carga é Conservada;
O campo elétrico;
Linhas de campo elétrico;
Campo elétrico produzido por uma carga pontual;
Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico;
Campo elétrico produzido por uma linha de cargas;
Campo elétrico produzido por um disco carregado.
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Estrutura do conteúdo 
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 Carga elétrica é a propriedade atrativa ou repulsiva adquirida por um objeto ao
passar por um processo de eletrização (exemplo: atrito) ou inerente a uma partícula.
 Por volta de 600 a.C Thales de Milleto observou que:
 Ao friccionar uma pele de animal (lã) em âmbar (resina vegetal fossilizada, muito
usada para a manufatura de objetos ornamentais), este adquiria a propriedade de
atrair pequenos pedaços de palha ou fios de cabelo.
 Essa propriedade, também pode ser ilustrada através de experimentos com objetos
fabricados de outros materiais.
 Consideremos dois bastões de vidro e um pedaço de seda.
 Atritando cada bastão de vidro com o pedaço de seda, será possível observar que os
dois bastões de vidro repelem-se, quando um dos bastões de vidro é suspenso por
um fio e o outro bastão de vidro é aproximado do primeiro.
Cargas elétricas
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 Entretanto, se aproximamos a barra de plástico atritada com lã do bastão de vidro
atritado com seda, será possível observar, agora, uma atração entre eles.
 Esses experimentos realizados com o vidro, seda, plástico e lã podem ser repetidos
com muitos outros materiais. Chegaremos sempre às seguintes conclusões:
 Dois objetos fabricados do mesmo material, quando atritados, pelo mesmo
processo, com um terceiro objeto de material diferente, sempre se repelem;
 Dois objetos fabricados de materiais diferentes, quando atritados, pelo mesmo
processo, com um terceiro objeto de material diferente, podem atrair-se ou
repelir-se.
Cargas elétricas
• Atritando duas barras de plástico com um pedaço de lã, será possível observar que as
duas barras de plástico repelem-se, da mesma maneira que os bastões de vidro do
experimento anterior.
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 Em qualquer um desses processos que resultam na eletrização de um objeto, a carga
elétrica não é criada nem destruída, mas meramente transferida de um objeto para
outro, rompendo, no processo, a neutralidade de carga dos dois objetos.
 Quando atritamos um bastão de vidro com um pedaço de seda o bastão fica carregado
positivamente e as medidas mostram que um carga negativa de mesmo valor absoluto
se acumula na seda.
 A quantidade (𝑞𝑞) de carga elétrica observada em qualquer objeto macroscópico é
sempre igual a zero ou a um múltiplo inteiro (positivo ou negativo) 𝒒𝒒 = 𝒏𝒏𝒏𝒏 da carga
elementar 𝑒𝑒 = 1,602 × 10−19 𝐶𝐶, onde 𝑛𝑛 = ±1, ±2, ±3, … é o número de elétrons, em
excesso (sinal −) ou falta (sinal +), no objeto.
 Tanto o elétron como o próton possuem uma carga cujo valor absoluto é 𝑒𝑒.
Cargas elétricas
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 A unidade de medida de carga elétrica no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o
Coulomb, cujo símbolo é 𝑪𝑪, em homenagem ao físico francês Charles Augustin
Coulomb.
 O Coulomb, pode ser obtido a partir da unidade de corrente elétrica no SI, o Ampère.
• Corrente elétrica é a taxa de variação com o tempo da carga que passa por um ponto
ou região do espaço.
• Matematicamente, temos a relação
𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
,
• onde 𝑖𝑖 é a corrente elétrica (em ampères) e 𝑑𝑑𝑞𝑞 (em coulombs) é a quantidade de
carga que passa pelo ponto ou região do espaço no intervalo de tempo 𝑑𝑑𝑑𝑑 (em
segundos).
• De acordo com a equação anterior,
1𝐶𝐶 = (1𝐴𝐴)(1𝑠𝑠).
Cargas elétricas
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 O processo pelo qual se coloca ou retira elétrons de um objeto neutro chama-se
eletrização.
 Assim, quando um objeto macroscópico está com excesso de elétrons, dizemos
que está eletrizado negativamente e quando está com falta de elétrons, dizemos
que está eletrizado positivamente.
 Os processos mais comuns para eletrizar um objeto são os seguintes:
 Por atrito.
• Quando dois objetos fabricados de materiais diferentes são atritados, ambos se
eletrizam.
 Por indução.
• Quando um objeto neutro é colocado próximo de um objeto eletrizado, sem que
haja contato entre eles, o objeto neutro se eletriza em duas regiões distintas,
uma com deficiência e a outra com excesso de elétrons (polarização).
Cargas elétricas
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 Por contato.
 Ocorre depois que dois objetos entram em contato e suas cargas elétricas se
equilibram.
 Por aquecimento.
• Certos objetos (cristal: turmalina), quando aquecidos, eletrizam-se, apresentando
cargas elétricas diferentes em dois pontos diametralmente opostos (efeito
piroelétrico).
 Por pressão.
• Certos objetos (cristais: turmalina, calcita e quartzo), quando comprimidos, eletrizam-
se, apresentando cargas elétricas diferentes nas extremidades (efeito piezoelétrico).
Cargas elétricas
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 Podemos classificar os materiais de acordo com a facilidade com a qual as cargas
elétricas migram de uma região para outra em seu interior.
 Os condutores são materiais nos quais as cargas elétricas se movem com
facilidade.
 Os condutores mais comuns são: os metais, o carbono, as soluções aquosas de
ácidos, bases e sais, os gases rarefeitos, etc.
 Os não condutores, também conhecido como isolantes, são materiais nos quais as
cargas elétricas não conseguem mover-se, naturalmente, com facilidade.
 Os isolantes mais comuns são: vidro, louça, porcelana, borracha, madeira seca,
algodão, seda, lã, parafina, enxofre, resinas, água pura, ar seco, etc.
Condutores e isolantes
Lei de Coulomb
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 Duas partículas carregadas exercem forças uma sobre a outra.
• Se as cargas das partículas têm o mesmo sinal, as partículas se repelem, ou seja,
são submetidas a forças que tendem a afastá-las.
 Esta força de repulsão ou atração associada à carga elétrica dos objetos ou
partículas é chamada de força eletrostática.
• A lei que permite calcular a força eletrostática é chamada de lei de Coulomb.
• Se as cargas das partículas têm sinais opostos, as partículas se atraem, ou seja,
são submetidas a forças que tendem a aproximá-las.
Lei de Coulomb
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 Na figura abaixo a partícula 1 tem uma carga 𝑞𝑞1 e a partícula 2 tem uma carga 𝑞𝑞2,
a força a que está submetida a partícula 1 é dada por
�⃗�𝐹 = 𝑘𝑘 𝑑𝑑2𝑑𝑑1
𝑟𝑟2
�̂�𝑟,
onde �̂�𝑟 é um vetor unitário que tem a mesma direção da reta que liga as duas
partículas e sentido da partícula 2 para partícula 1, 𝑟𝑟 é a distância entre as duas
partículas e 𝑘𝑘 é uma constante, chamada de eletrostática.
• Se as partículas têm cargas de mesmo sinal, a força a que a partícula 1 é
submetida tem o mesmo sentido de �̂�𝑟;
• Se as partículas têm cargas de sinais opostos, a força a que a partícula 1 é
submetida tem o sentido oposto ao de �̂�𝑟.
Lei de Coulomb
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 Por razões históricas, a constante eletrostática 𝑘𝑘 é escrita na forma 1/4𝜋𝜋𝜀𝜀0. Nesse
caso, o módulo da força na lei de Coulomb se torna
𝐹𝐹 = 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑1𝑑𝑑2
𝑟𝑟2
.
• A constante 𝜀𝜀0 , conhecida como permissividade do vácuo, às vezes aparece
separadamente nas equações e tem o valor 𝜀𝜀0 = 8,85 × 10−12 𝐶𝐶2/(𝑁𝑁𝑚𝑚2).
• Desta forma temos o valor de 𝑘𝑘 = 8,99 × 109 𝑁𝑁𝑚𝑚2 /𝐶𝐶2.
 A força eletrostática também obedece ao princípio de superposição.
• Em um sistema com 𝑛𝑛 partículas carregadas, as partículas interagem
independentemente, aos pares, e a força que age sobre uma das partículas, a
partícula 1, por exemplo, é dada pela soma vetorial
�⃗�𝐹1,𝑑𝑑𝑡𝑡𝑑𝑑 = �⃗�𝐹12 + �⃗�𝐹13 + �⃗�𝐹14 + �⃗�𝐹15 + ⋯+ �⃗�𝐹1𝑛𝑛,
onde, por exemplo, �⃗�𝐹14 é a força que age sobre a partícula 1 devido à presença da
partícula 4.
A carga é Quantizada
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 Vimos que a quantidade de carga positiva ou negativa, detectada em um objeto ou
partícula, pode ser calculada através da equação
𝑞𝑞 = 𝑛𝑛𝑒𝑒,𝑛𝑛 = ±1, ±2, ±3 …
onde 𝑒𝑒, a carga elementar, tem o valor aproximado 1,602 × 10−19 𝐶𝐶.
 Quandouma grandeza física pode assumir apenas certos valores, dizemos que é
quantizada.
 A partir da equação acima podemos afirmar que a carga elétrica é uma grandeza
quantizada.
• É possível, por exemplo, encontrar uma partícula sem carga elétrica ou com uma
carga de +10𝑒𝑒 ou −6𝑒𝑒, mas não uma partícula com uma carga de 3,57𝑒𝑒, por
exemplo.
A carga é Conservada
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 Quando atritamos um bastão de vidro com um pedaço de lã o bastão fica carregado
positivamente e as medidas mostram que uma carga negativa de mesmo valor
absoluto se acumula na lã.
• Sugerimos que o processo não cria cargas, mas apenas transfere cargas de um
objeto para outro, rompendo, no processo, a neutralidade de carga dos dois corpos.
• Esta hipótese de conservação da carga elétrica, foi comprovada exaustivamente
tanto no caso de objetos macroscópicos como no caso de átomos, núcleos e
partículas elementares.
• Assim, podemos acrescentar a carga elétrica à nossa lista de grandezas, como a
energia, o momento linear e o momento angular, que obedecem a uma lei de
conservação.
• Ao aplicar a lei de conservação da carga devemos somar as cargas algebricamente,
ou seja, levando em conta o sinal de cada uma.
O campo elétrico
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 Vimos que surge uma força elétrica ou eletrostática de repulsão sobre uma partícula
1, de carga +𝑞𝑞, quando a mesma é colocada nas proximidades de uma partícula 2
de carga +Q.
• Como não existe uma ligação visível entre as partículas e elas não se tocam, a
partícula 2 repele a partícula 1 através de uma ação à distância.
• Esta ação à distancia se constitui no que chamamos de campo de força elétrica, ou
simplesmente campo elétrico, produzido pela partícula 2, no espaço que a cerca.
• Em um ponto qualquer desse espaço a partícula 1 "sabe" que a partícula 2 existe
porque é repelida pelo campo elétrico que a partícula 2 criou nesse ponto.
O campo elétrico
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 O campo elétrico é um campo vetorial, constituído por uma distribuição de vetores,
um para cada ponto da região em torno de um objeto eletricamente carregado, como
um bastão de vidro.
 Em princípio, podemos definir o campo elétrico em um ponto nas proximidades de
um objeto carregado, como o ponto 𝑃𝑃 da figura abaixo, da seguinte forma:
• Colocamos no ponto 𝑃𝑃 uma carga positiva 𝑞𝑞0, chamada carga de prova, medimos a
força elétrica ou eletrostática �⃗�𝐹 que age sobre a carga 𝑞𝑞0 e definimos o campo
elétrico 𝐸𝐸 produzido pelo objeto através da equação
𝐸𝐸 = �⃗�𝐹
𝑑𝑑0
.
O campo elétrico
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 Assim, o módulo do campo elétrico 𝐸𝐸 no ponto 𝑃𝑃 é 𝐸𝐸 = 𝐹𝐹/𝑞𝑞0 e a orientação
(direção e sentido) de 𝐸𝐸 é a mesma da força �⃗�𝐹 que age sobre a carga de prova (que
por convenção deve ser positiva).
• Como mostra a figura abaixo, representamos o campo elétrico no ponto 𝑃𝑃 como um
vetor cuja origem está em 𝑃𝑃.
• Para definir o campo elétrico em uma região do espaço, definimos o campo em
todos os pontos da região.
 Embora seja usada uma carga de prova para definir o campo elétrico produzido por
um objeto carregado, o campo existe independentemente da carga de prova.
• O campo no ponto 𝑃𝑃 da figura acima existia antes de ser introduzida a carga de
prova e continua a existir depois que a carga de prova é introduzida.
O campo elétrico
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 A unidade de campo elétrico no SI é o newton por coulomb (𝑁𝑁/𝐶𝐶). A Tabela abaixo
mostra os campos elétricos associados a alguns objetos.
Linhas de campo elétrico
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 As linhas de campo elétrico são uma maneira de visualizar os campos elétricos,
produzidos por objetos ou partículas carregadas.
• A relação entre as linhas de campo e os vetores de campo elétrico é a seguinte:
 Em qualquer ponto, a orientação de uma linha de campo retilínea ou a
orientação da tangente a uma linha de campo não-retilínea é a orientação do
vetor campo elétrico 𝐸𝐸 nesse ponto.
 As linhas de campo são desenhadas de tal forma que o número de linhas por
unidade de área, medido em um plano perpendicular às linhas, é proporcional ao
módulo de 𝐸𝐸.
o Assim, 𝐸𝐸 tem valores elevados nas regiões em que as linhas de campo estão
mais próximas e valores pequenos nas regiões em que as linhas de campo
estão mais afastadas.
Linhas de campo elétrico
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 A figura abaixo mostra uma esfera com uma distribuição homogênea de cargas
negativas.
• Quando colocamos uma carga de prova positiva nas proximidades da esfera a
carga de prova é submetida a uma força eletrostática dirigida para o centro da
esfera.
 Isso significa que em todos os pontos nas proximidades da esfera o vetor campo
elétrico aponta para o centro da esfera.
Linhas de campo elétrico
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 O resultado é o padrão mostrado na figura abaixo, onde as linhas de campo
apontam na mesma direção que os vetores força eletrostática e campo elétrico.
• Além disso, o maior espaçamento das linhas em pontos mais distantes mostra que
o módulo do campo elétrico diminui com a distância do centro da esfera.
 Se a esfera da figura anterior estivesse carregada com cargas positivas, os vetores
campo elétrico apontariam para longe da esfera. Assim, as linhas de campo elétrico
também apontariam para longe da esfera. Temos, portanto, a seguinte regra:
• As linhas de campo elétrico se afastam das cargas positivas (onde começam) e se
aproximam das cargas negativas (onde terminam).
Linhas de campo elétrico
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 A figura abaixo mostra parte de uma placa infinita não-condutora com uma distribuição
uniforme de cargas positivas em uma das superfícies.
• Quando colocamos uma carga de prova positiva, nas proximidades da placa, a carga
é submetida a uma força eletrostática perpendicular à placa, já que as forças
aplicadas em todas as outras direções se cancelam por causa da simetria.
Linhas de campo elétrico
23
• Além disso, o sentido da força é, para longe da placa. Assim, os vetores campo
elétrico e as linhas de campo em qualquer ponto do espaço, dos dois lados da placa,
são também perpendiculares à placa e apontam para longe da placa (figuras abaixo).
 Como a carga está homogeneamente distribuída na placa, todos os vetores campo
elétrico têm o mesmo módulo.
• Este tipo de campo elétrico, no qual os vetores têm o mesmo módulo e a mesma
orientação em todos os pontos do espaço, é chamado de campo elétrico uniforme.
Linhas de campo elétrico
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 As figuras abaixo mostram as linhas de campo para duas cargas positivas iguais e
para duas cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos (uma configuração
conhecida como dipolo elétrico).
• Embora as linhas de campo raramente sejam usadas de forma quantitativa, são
muito úteis para visualizar as configurações de campo elétrico.
• Observe que a partir da configuração das linhas de campo, é possível ver as cargas
se repelirem na figura da esquerda e se atraírem na figura da direita.
Campo elétrico produzido por um carga pontual
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 Para determinar o campo elétrico produzido em um ponto a uma distância 𝑟𝑟 de uma
carga pontual 𝑞𝑞, colocamos uma carga de prova positiva 𝑞𝑞0 nesse ponto.
• De acordo com a lei de Coulomb, o vetor força eletrostática que age sobre 𝑞𝑞0 é dado
por
�⃗�𝐹 = 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑𝑑𝑑0
𝑟𝑟2
�̂�𝑟.
• O sentido de �⃗�𝐹 é para longe da carga pontual se 𝑞𝑞 é positiva e para perto da carga
pontual se 𝑞𝑞 é negativa.
 De acordo com sua definição, o vetor campo elétrico é dado por
𝐸𝐸 = �⃗�𝐹
𝑑𝑑0
= 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑
𝑟𝑟2
�̂�𝑟.
• O sentido de 𝐸𝐸 é o mesmo da força que age sobre a carga de prova positiva 𝑞𝑞0: para
longe da carga pontual, se 𝑞𝑞 é positiva, e para perto da carga pontual, se 𝑞𝑞 é negativa.
 A equação anterior (𝐸𝐸 ) pode ser usada para
calcular o campo em qualquer ponto do espaço.
• A Figura ao lado mostra o campo produzido por
uma carga positiva em forma vetorial (e não como
linhas de campo).
Campo elétrico produzido por um carga pontual
26
 Não é difícil calcular o campo elétrico total, ou resultante, produzido por duas ou mais
cargas pontuais em um ponto.
• De acordo com o princípio da superposição, quando colocamosuma carga de prova
positiva 𝑞𝑞0 nas proximidades de 𝑛𝑛 cargas pontuais 𝑞𝑞1, 𝑞𝑞2, … , 𝑞𝑞𝑛𝑛, a força total �⃗�𝐹0 a que a
carga de prova é submetida é dada por,
�⃗�𝐹0 = �⃗�𝐹01 + �⃗�𝐹02 + ⋯+ �⃗�𝐹0𝑛𝑛.
• Assim, de acordo com a sua definição, o campo elétrico total na posição da carga de
prova é dado por
𝐸𝐸 =
�⃗�𝐹0
𝑞𝑞0
=
�⃗�𝐹01
𝑞𝑞0
+
�⃗�𝐹02
𝑞𝑞0
+ ⋯+
�⃗�𝐹0𝑛𝑛
𝑞𝑞0
= 𝐸𝐸1 + 𝐸𝐸2 + ⋯+ 𝐸𝐸𝑖𝑖 + ⋯+ 𝐸𝐸𝑛𝑛.
Onde 𝐸𝐸𝑖𝑖 é o campo elétrico que seria criado somente pela carga pontual 𝑖𝑖 na posição da
carga de prova.
Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico
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 A Figura ao lado mostra um dipolo
elétrico, o qual consiste de duas
partículas carregadas de módulo 𝑞𝑞 e
sinais opostos, separadas por uma
distância 𝑑𝑑.
• Vamos calcular o campo elétrico
produzido pelo dipolo elétrico no ponto
𝑃𝑃, situado a uma distância 𝑧𝑧 do centro
do dipolo, sobre a reta que liga as
duas partículas, conhecida como eixo
do dipolo.
Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico
28
 O campo elétrico total 𝐸𝐸 no ponto 𝑃𝑃 (e também os campos 𝐸𝐸(+) e 𝐸𝐸(−) produzidos
pelas partículas que formam o dipolo) é paralelo ao eixo do dipolo, que foi tomado
como sendo o eixo 𝑧𝑧.
• Aplicando o princípio de superposição, vemos que o módulo 𝐸𝐸 do campo elétrico
total no ponto 𝑃𝑃 é dado por
𝐸𝐸 = 𝐸𝐸(+) − 𝐸𝐸 − =
1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑞𝑞
𝑟𝑟 +
2 −
1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑞𝑞
𝑟𝑟 −
2
= 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑
𝑧𝑧−𝑑𝑑2
2 −
1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑
𝑧𝑧+𝑑𝑑2
2.
• Reagrupando os termos, obtemos:
𝐸𝐸 = 𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑧𝑧2
1
1− 𝑑𝑑2𝑧𝑧
2 −
1
1+ 𝑑𝑑2𝑧𝑧
2 .
• Reduzindo as frações ao mesmo denominador e simplificando, temos:
𝐸𝐸 = 𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑧𝑧2
2𝑑𝑑/𝑧𝑧
1− 𝑑𝑑2𝑧𝑧
2 2 =
𝑑𝑑
2𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑧𝑧3
𝑑𝑑
1− 𝑑𝑑2𝑧𝑧
2 2.
Campo elétrico produzido por um dipolo elétrico
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 Em geral, estamos interessados nos efeitos elétricos de um dipolo apenas a
distâncias relativamente grandes em comparação com as dimensões do dipolo, ou
seja, a distâncias tais que 𝑧𝑧 ≫ 𝑑𝑑.
• Nesse caso, 𝑑𝑑/(2𝑧𝑧) ≪ 1 na equação anterior, e podemos desprezar o referido termo
no denominador, o que nos dá
𝐸𝐸 = 1
2𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑧𝑧3
.
• O produto 𝑞𝑞𝑑𝑑 envolve os dois parâmetros que definem o dipolo. Este produto é o
módulo 𝑝𝑝 de uma grandeza conhecida como momento dipolar elétrico 𝑝𝑝 , cuja
unidade é o 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 × 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑑𝑑𝑟𝑟𝑐𝑐. O sentido 𝑝𝑝 é tomado da carga negativa para a carga
positiva do dipolo.
 Assim, podemos escrever a equação anterior na forma
𝐸𝐸 = 1
2𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑝𝑝
𝑧𝑧3
.
• Desta equação podemos observar que:
• O campo em pontos distantes permanece inalterado quando, por exemplo, o valor
de 𝑞𝑞 é multiplicado por 2 e, ao mesmo tempo, o valor de 𝑑𝑑 é dividido por 2.
• O campo elétrico de um dipolo diminui mais rapidamente com a distância que o
campo elétrico produzido por uma carga pontual isolada.
Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
30
 Vamos agora discutir o campo elétrico produzido por uma distribuição contínua de
cargas, que consiste em um grande número de cargas muito próximas distribuídas ao
longo de uma linha, superfície ou volume.
• Calculamos o campo elétrico total produzido pelas cargas usando os métodos do
cálculo em vez de somar, um a um, os campos produzidos pelas cargas individuais.
 Quando lidamos com distribuições contínuas de cargas é conveniente expressar a
carga de um objeto em termos de uma densidade de cargas.
• No caso de uma linha de cargas, por exemplo, usamos a densidade linear de cargas
(ou carga por unidade de comprimento), cuja unidade no SI é o coulomb por metro.
• A Tabela ao lado mostra as três
densidades de cargas que são
usadas.
Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
31
 A figura abaixo mostra um anel fino de raio 𝑅𝑅 com uma densidade linear de cargas
positivas 𝜆𝜆. O anel é feito de um material não condutor, de modo que as cargas
permanecem imóveis.
 Para calcular o campo elétrico 𝐸𝐸 em um
ponto 𝑃𝑃 , sobre o eixo central, a uma
distância 𝑧𝑧, do plano do anel, devemos:
• Dividir (mentalmente) o anel em elementos
de comprimento 𝑑𝑑𝑠𝑠, pequenos o suficiente
para que a carga 𝑑𝑑𝑞𝑞, contida no elemento, se
comporte como pontual.
• Aplicar, para cada uma desses elementos, a
equação
𝐸𝐸 = 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑
𝑟𝑟2
�̂�𝑟.
• A soma vetorial dos campos elétricos
produzidos no ponto 𝑃𝑃, pelas cargas 𝑑𝑑𝑞𝑞 dos
elementos 𝑑𝑑𝑠𝑠 , é o campo elétrico total
produzido pelo anel no ponto 𝑃𝑃.
Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
32
 Como 𝜆𝜆 é a carga por unidade de comprimento, a carga 𝑑𝑑𝑞𝑞 no elemento de
comprimento 𝑑𝑑𝑠𝑠 é dada por
𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝜆𝜆𝑑𝑑𝑠𝑠.
 A carga 𝑑𝑑𝑞𝑞 produz um campo elétrico diferencial d𝐸𝐸 no ponto 𝑃𝑃, que está a uma
distância 𝑟𝑟 do elemento 𝑑𝑑𝑠𝑠. Tratando o elemento como uma carga pontual, podemos
escrever o módulo de 𝑑𝑑𝐸𝐸 na forma
𝑑𝑑𝐸𝐸 = 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑟𝑟2
= 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝜆𝜆𝑑𝑑𝜆𝜆
𝑟𝑟2
.
• De acordo com a figura anterior, a equação acima pode ser expressa na forma
𝑑𝑑𝐸𝐸 = 1
4𝜋𝜋𝜀𝜀0
𝜆𝜆𝑑𝑑𝜆𝜆
𝑧𝑧2+𝑅𝑅2
.
• Além disso, o campo diferencial 𝑑𝑑𝐸𝐸, cujo módulo é 𝑑𝑑𝐸𝐸, faz um ângulo 𝜃𝜃 com o eixo
central (que foi tomado como sendo o eixo 𝑧𝑧) e possui uma componente perpendicular
e outra paralela a esse eixo.
• As componentes dos campos 𝑑𝑑𝐸𝐸 paralelas ao eixo central são todas iguais em
módulo, direção e sentido.
• Por outro lado, para cada componente perpendicular com uma dado sentido existe
outra componente com sentido oposto. Assim, as componentes perpendiculares se
cancelam e não precisam ser consideradas.
Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
33
 Restando apenas as componentes paralelas, o campo elétrico no ponto 𝑃𝑃 será a
soma algébrica dessas componentes, já que todas têm o mesmo sentido.
• O módulo da componente paralela de 𝑑𝑑𝐸𝐸 é 𝑑𝑑𝐸𝐸 cos𝜃𝜃. Além disso, temos também
cos 𝜃𝜃 = 𝑧𝑧
𝑟𝑟
= 𝑧𝑧
𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 1/2
.
• Portanto, podemos rescrever o módulo da componente paralela de 𝑑𝑑𝐸𝐸 como
𝑑𝑑𝐸𝐸 cos 𝜃𝜃 = 𝑧𝑧𝜆𝜆
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 3/2
𝑑𝑑𝑠𝑠.
• Para somar as componentes paralelas produzidas por todos os elementos basta
integrar a equação anterior ao longo da circunferência do anel, de 𝑠𝑠 = 0 a 𝑠𝑠 = 2𝜋𝜋𝑅𝑅.
• Como a única grandeza que varia durante a integração é 𝑠𝑠, as outras grandezas
podem ser colocadas do lado de fora do sinal de integral. A integração nos dá
𝐸𝐸 = �𝑑𝑑𝐸𝐸 cos 𝜃𝜃 =
𝑧𝑧𝜆𝜆
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2 + 𝑅𝑅2 3/2
�
0
2𝜋𝜋𝑅𝑅
𝑑𝑑𝑠𝑠
= 𝑧𝑧𝜆𝜆(2𝜋𝜋𝑅𝑅)
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 3/2
.
Campo elétrico produzido por uma linha de cargas
34
 Como 𝜆𝜆 é a carga por unidade de comprimento do anel, o termo 𝜆𝜆 2𝜋𝜋𝑅𝑅 da equação
anterior é igual a 𝑞𝑞, a carga total do anel. Assim, podemos escrever
𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 3/2
.
• Em um ponto sobre o eixo central muito distante da origem, tal que 𝑧𝑧 ≫ 𝑅𝑅, a equação
anterior assume a forma
𝐸𝐸 = 𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑧𝑧2
.
• Por outro lado, em um ponto no centro do anel, ou seja, em 𝑧𝑧 = 0, o campo elétrico
total assume o valor
𝐸𝐸 = 0.
Campo elétrico produzido por um disco carregado
35
 A figura abaixo mostra um disco circular de material não condutor, de raio 𝑅𝑅, com uma
distribuição uniforme de cargas positivas 𝜎𝜎 na superfície superior .
• Para calcular o campo elétrico no ponto 𝑃𝑃 ,
situado no eixo central a uma distância 𝑧𝑧 do
disco, devemos:
• Dividir o disco em anéis concêntricos
elementares, de largura radial 𝑑𝑑𝑟𝑟, e calcular o
campo elétrico produzido, no ponto 𝑃𝑃 , pela
carga contida em cada um dos anéis
elementares.
• Somar (ou seja, integrar) os campos elétricos
produzidos por todos os anéis elementares.
 Na figura ao lado vemos um anel elementar de
raio 𝑟𝑟 e largura radial 𝑑𝑑𝑟𝑟.
• Como 𝜎𝜎 é a carga por unidade de área, a
carga do anel é dada por
𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝜎𝜎𝑑𝑑𝐴𝐴 = 𝜎𝜎(2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟),
onde𝑑𝑑𝐴𝐴 é a área do anel elementar.
Campo elétrico produzido por um disco carregado
36
 O campo elétrico produzido por um anel de cargas foi calculado na seção anterior. O
valor obtido foi
𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝑑𝑑
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 3/2
. 
• Basta agora substituirmos, na equação anterior, 𝑞𝑞 por 𝑑𝑑𝑞𝑞 = 𝜎𝜎𝑑𝑑𝐴𝐴 = 𝜎𝜎(2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟) e 𝑅𝑅 por 𝑟𝑟,
para obtemos uma expressão para o campo elétrico 𝑑𝑑𝐸𝐸 produzido no ponto 𝑃𝑃 pelo
anel elementar de cargas desta seção:
𝑑𝑑𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝜎𝜎(2𝜋𝜋𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟)
4𝜋𝜋𝜀𝜀0 𝑧𝑧2+𝑟𝑟2 3/2
,
que pode ser simplificada para a forma
𝑑𝑑𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝜎𝜎
4𝜀𝜀0
(2𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟)
𝑧𝑧2+𝑟𝑟2 3/2
.
 Podemos agora calcular 𝐸𝐸 integrando a equação anterior para toda a superfície do
disco, ou seja, integrando em relação à variável 𝑟𝑟 de 𝑟𝑟 = 0 a 𝑟𝑟 = 𝑅𝑅. Observe que 𝑧𝑧
permanece constante durante o processo. Temos
𝐸𝐸 = ∫𝑑𝑑𝐸𝐸 = 𝑧𝑧𝜎𝜎4𝜀𝜀0 ∫0
𝑅𝑅 (2𝑟𝑟)
𝑧𝑧2+𝑟𝑟2 3/2
𝑑𝑑𝑟𝑟 = 𝑧𝑧𝜎𝜎
4𝜀𝜀0
𝑧𝑧2+𝑟𝑟2 −1/2
−1/2
0
𝑅𝑅
.
Campo elétrico produzido por um disco carregado
37
 Calculando os limites da equação e reagrupando os termos, obtemos:
𝐸𝐸 = 𝜎𝜎
2𝜀𝜀0
1 − 𝑧𝑧
𝑧𝑧2+𝑅𝑅2 1/2
como o módulo do campo elétrico produzido por um disco circular carregado em pontos
sobre o eixo central.
• Fazendo 𝑅𝑅 → ∞ e mantendo 𝑧𝑧 finito, o segundo termo do fator entre parênteses da
equação anterior tende a zero e a equação se reduz a
𝐸𝐸 = 𝜎𝜎
2𝜀𝜀0
.
que é o campo elétrico produzido por uma distribuição uniforme de cargas na superfície
de uma placa de dimensões infinitas feita de um material não-condutor.
• Obs.) Podemos também obter o mesmo resultado fazendo 𝑧𝑧 = 0 e mantendo 𝑅𝑅 finito.
Isso mostra que para pontos muito próximos do disco, o campo elétrico produzido
pelo disco é igual ao que seria produzido por um disco de raio infinito.
Bibliografia Básica
Bibliografia Complementar
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 NUSSENZWEIG, Moisés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. Vol. 3, 4ª ed.,
Edgard Blücher Editora, 2002.
 WALKER, J.R.; RESNICK, R.; HALLIDAY, D. Fundamentos de Física,
Eletromagnetismo. Vol. 3, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2009.
 YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. Vol. 3, 12ª
edição. São Paulo: Addison Weslley, 2008.
 TIPLER, P. A; MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade e
Magnetismo. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, v.2, 2009.
 KNIGTH, R. D. Física uma abordagem estratégica. Eletricidade e Magnetismo. 2. ed.
Porto Alegre: Bookman, v.3, 2009.
 SERWAY, R.A. e JEWETT JR., J.W., Princípios de Física: Eletromagnetismo 1.ed.
São Paulo: Editora Pioneira, v.3, 2009.
 RAMALHO, Francisco Junior et. al., Os Fundamentos da Física. Vol. III. São Paulo:
Moderna, 2007.
 HAYT Jr, W. H.; BUCK, J. A. Eletromagnetismo. 8ª ed. Porto Alegre: AMGH. 2013.
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