estruturas_em_concreto_protendido

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Brasília-DF. 
Estruturas Em ConCrEto ProtEndido
Elaboração
Tatiana Conceição Machado Barretto
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e Editoração
Sumário
APrESEntAção ................................................................................................................................. 4
orgAnizAção do CAdErno dE EStudoS E PESquiSA .................................................................... 5
introdução.................................................................................................................................... 7
unidAdE i
CONCEITUAÇÃO E MATERIAIS ................................................................................................................ 9
CAPítulo 1
CONCEITUAÇÃO E MATERIAIS .................................................................................................. 9
unidAdE ii
PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO .................................................................................... 30
CAPitulo 1
EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO ............................................................................................. 30
CAPitulo 2
GRAUS DE PROTENSÃO .......................................................................................................... 36
unidAdE iii
LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO .................................................. 44
CAPitulo 1
LIMITES DE SOLICITAÇÃO ........................................................................................................ 44
CAPitulo 2
PERDAS DE PROTENSÃO ......................................................................................................... 47
unidAdE iV
DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS PROTENDIDAS .............................................................................. 63
CAPitulo 1
VIGAS .................................................................................................................................... 63
CAPitulo 2
LAjES ..................................................................................................................................... 67
rEfErênCiAS .................................................................................................................................. 92
4
Apresentação
Caro aluno
A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se 
entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade. 
Caracteriza-se pela atualidade, dinâmica e pertinência de seu conteúdo, bem como pela 
interatividade e modernidade de sua estrutura formal, adequadas à metodologia da 
Educação a Distância – EaD.
Pretende-se, com este material, levá-lo à reflexão e à compreensão da pluralidade dos 
conhecimentos a serem oferecidos, possibilitando-lhe ampliar conceitos específicos da 
área e atuar de forma competente e conscienciosa, como convém ao profissional que 
busca a formação continuada para vencer os desafios que a evolução científico-tecnológica 
impõe ao mundo contemporâneo.
Elaborou-se a presente publicação com a intenção de torná-la subsídio valioso, de modo 
a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na 
profissional. Utilize-a como instrumento para seu sucesso na carreira.
Conselho Editorial
5
organização do Caderno 
de Estudos e Pesquisa
Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em unidades, subdivididas em 
capítulos, de forma didática, objetiva e coerente. Eles serão abordados por meio de textos 
básicos, com questões para reflexão, entre outros recursos editoriais que visam a tornar 
sua leitura mais agradável. Ao final, serão indicadas, também, fontes de consulta, para 
aprofundar os estudos com leituras e pesquisas complementares.
A seguir, uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos Cadernos de 
Estudos e Pesquisa.
Provocação
Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes 
mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor 
conteudista.
Para refletir
Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita 
sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio. É importante 
que ele verifique seus conhecimentos, suas experiências e seus sentimentos. As 
reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões.
Sugestão de estudo complementar
Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do estudo, 
discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso.
Atenção
Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam para a 
síntese/conclusão do assunto abordado.
6
Saiba mais
Informações complementares para elucidar a construção das sínteses/conclusões 
sobre o assunto abordado.
Sintetizando
Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando o 
entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos.
Para (não) finalizar
Texto integrador, ao final do módulo, que motiva o aluno a continuar a aprendizagem 
ou estimula ponderações complementares sobre o módulo estudado.
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introdução
Utilizam-se estruturas com vigas protendidas, normalmente, em construções de grande 
porte. Elas são requeridas devido ao baixo custo do concreto em relação ao aço, o que 
ocasiona em uma estrutura muito interessante em relação ao custo benefício e com isso 
bastante competitiva, aliados ao fato de possibilitarem benefícios a longo prazo com 
baixo/menor custo de manutenção, quando comparado a outras.
A utilização de peças de concreto protendido apresenta muitas vantagens em relação 
às peças de concreto armado em vários aspectos, tais como os de engenharia, 
econômico-financeiros, sociais e ambientais.
Nesta disciplina iremos ampliar o nosso conhecimento sobre estruturas em concreto 
protendido. Deseja-se aqui fornecer os conhecimentos básicos sobre a mecânica das 
estruturas, do comportamento mecânico dos materiais, possibilitando o dimensionamento 
dos diversos elementos estruturais (vigas, lajes).
Este caderno de estudo foi baseado na NBR 6118/2014 e outras normas e materiais de 
apoio de diversos autores.
objetivos
 » Compreender a utilização, dimensionamento e detalhamento da protensão 
em peças de concreto protendido. 
 » Estudar os conceitos básicos do concreto protendido de acordo com as 
normas técnicas vigentes. 
 » Conhecer as recomendações para execução de peças protendidas.
 » Estabelecer uma rotina de cálculo e detalhamento de uma laje em concreto 
protendido.
 » Apresentar os materiais, os processos para projetar e detalhar lajes planas 
de concreto protendido. 
 » Desenvolver no aluno a sensibilidade quanto aos elementos estruturais 
em concreto protendido. 
 » Estudar as perdas de protensão. 
8
 » Conhecer os níveis ou graus de protensão. 
 » Estudar os limites de solicitação.
9
unidAdE iConCEituAção 
E MAtEriAiS
CAPítulo 1
Conceituação e materiais
Neste capítulo, estudaremos alguns materiais que compõem o concreto protendido. 
Este tipo de concreto é formado pelos seguintes materiais: concreto simples; aço de 
protensão para a armadura ativa; e, caso contenham uma armadura passiva, utilizam-se 
CA-25, 50 ou 60. 
Outros materiais utilizados são os que compõem os dispositivos de ancoragem, 
bainhas metálicas, por exemplo. Aqui, estudaremos um pouco sobre suas composições, 
propriedades e de que forma são utilizados.
Protensão no concreto
Embora o concreto protendido fosse patenteado por um engenheiro de San Francisco 
em 1886, não emergiu como um material de construção aceito até meio século mais 
tarde. O uso do concreto protendido teve grande impulso devido à escassez de aço 
durantea segunda guerra mundial, já que ele exige muito menos aço que as estruturas 
metálicas normalmente utilizadas na época, por esse motivo foi o material de construção 
de escolha durante a reconstrução da pós-guerra europeia. A primeira estrutura 
de concreto protendido da América do Norte, a Walnut Lane Memorial Bridge em 
Filadélfia, Pensilvânia, no entanto, não foi concluída até 1951.
No de concreto armado convencional, a alta resistência à tração do aço é combinada 
com grande resistência à compressão do concreto para formar um material estrutural 
que é forte na compressão e tensão. O princípio subjacente ao concreto protendido é 
que as tensões de compressão induzidas por aços de protensão de alta resistência num 
componente de concreto antes da aplicação das cargas equilibrarão as tensões de tração 
impostas no elemento durante o serviço.
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UNIDADE I │ CoNCEItUAção E mAtErIAIs
A protensão é um artifício utilizado quando se deseja aplicar a uma estrutura um estado 
prévio de tensões que irá elevar a sua resistência e seu comportamento para distintas 
condições de carga. 
Juntamente com o aço, o concreto é um dos materiais mais importantes e utilizados 
na construção civil, devido ao baixo custo dos seus constituintes e a possibilidade de se 
encontrar esses materiais em qualquer lugar. 
O concreto apresenta uma boa resistência à compressão, principalmente quando 
comparado à resistência à tração (cerca de 10% da de compressão). A resistência à 
tração também é de caráter aleatório. Devido a falhas construtivas, juntamente com a 
retração do concreto, podem ser originadas fissuras, as quais extinguirão a resistência 
à tração do concreto, mesmo que ele não receba nenhuma carga.
Aplicar-se a protensão no concreto, consiste em introduzir esforções que irão anular 
ou diminuir de forma drástica as tensões de tração do concreto, diminuindo assim, a 
importância da fissuração que é uma condição necessária a ser estudada quando irá se 
dimensionar uma viga. 
A protensão remove uma série de limitações de design locais de concreto convencional 
em carga e permite a construção de telhados, pisos, pontes e paredes com mais extensões 
não suportadas. Isso permite que arquitetos e engenheiros possam projetar e construir 
estruturas de concreto mais leve e raso, sem sacrificar a força.
As tensões de compressão são induzidas no concreto protendido quer por pretensão ou 
pós-tensão do reforço de aço.
Na pré-tensão, o aço é esticado antes de o concreto ser colocado. O aço de alta resistência é 
colocado entre dois pilares e esticado para 70 a 80 por cento de sua força final. O concreto 
é derramado em moldes ao redor dos tendões e deixa-se curar. Uma vez que o concreto 
atinge a força necessária, as forças de alongamento são liberadas. À medida que o aço 
reage para recuperar seu comprimento original, as tensões de tração são convertidas em 
uma tensão de compressão no concreto. Produtos típicos para concreto pré-tensionado 
são lajes de telhado, pilhas, postes, vigas de ponte, painéis de parede e laços ferroviários.
No pós-tensionamento, o aço é esticado após o concreto endurecer. O concreto é moldado 
ao redor, mas não em contato com o aço não esticado. Em muitos casos, são formadas 
condutas na unidade de concreto utilizando formas de aço de paredes finas. Uma vez 
que o concreto endureceu até a resistência necessária, os tendões de aço são inseridos 
e esticados contra as extremidades da unidade e ancorados externamente, colocando 
o concreto em compressão. O betão pós-tensionado é usado para betão vazado e para 
pontes, vigas grandes, lajes, conchas, telhados e pavimentos.
11
ConCeituação e materiais │ uniDaDe i
O concreto protendido tem sido muito utilizado nos edifícios comerciais. Para edifícios 
como centros comerciais, o concreto pré-esforçado é uma escolha ideal porque fornece o 
comprimento de extensão necessário para flexibilidade e alteração da estrutura interna. 
O concreto pré-esforçado também é usado em auditórios escolares, ginásios e cafeterias 
por causa de suas propriedades acústicas e sua capacidade de fornecer espaços longos 
e abertos. Um dos usos mais difundidos do concreto protendido ocorre em garagens de 
estacionamento.
Materiais
Concreto
Para a construção de estruturas protendidas é necessário que haja um maior controle 
sobre a qualidade do concreto. 
Para o concreto utilizado para protensão é necessário se realizar ensaios e/ou técnicas 
mais rigorosas que no concreto armado, desejando-se garantir, assim, um controle de 
qualidade mais eficiente, um controle contínuo dos agregados e cimento usados, assim 
como o acompanhamento contínuo durante a produção do concreto. 
Todo esse processo para garantir a qualidade do concreto. (HANAI, 2005) (VERISSIMO, 
CÉSAR, 1998) (BASTOS, 2015)
Em termos de resistência, em geral, deseja-se que os concretos utilizados em estruturas 
protendidas possuam a resistência maior do que para as estruturas de concreto armado. 
Para concreto protendido, o código modelo CEB-78 sugere resistência à compressão 
simples do concreto (fck) ≥ 25 MPa. 
A fck para concreto protendido encontra-se entre 30 e 50 MPa, já a de concreto armado 
a resistência fica em torno de 20 a 30 MPa. (HANAI, 2005) (VERISSIMO, CÉSAR, 
1998) (BASTOS, 2015)
Tabela 1. Resistência do concreto em função da idade, em condições normais de cura.
Idade em dias do concreto
Cimento 3 7 28 90 360
CP 0,40 0,65 1,00 1,20 1,35
ARI 0,55 0,75 1,00 1,15 1,20
Fonte: (BASTOS, 2015).
12
UNIDADE I │ CoNCEItUAção E mAtErIAIs
A elevada resistência para estruturas em concreto protendido ocasiona-se em 
estruturas com vãos maiores (resistência aos esforços atuantes com redução de seções) 
e peso próprio menor (devido à redução de suas seções com dimensões menores, que 
também é importante para peças pré-moldadas), quando comparadas às estruturas 
de concreto armado. 
A redução do peso próprio possibilita economicamente a confecção de estruturas 
com grandes vãos, fato que faz diminuir muito os custos. Para peças protendidas 
pré-fabricadas, na maioria das vezes utilizam-se concretos de resistência maior do 
que 50 MPa. (HANAI, 2005) (VERISSIMO, CÉSAR, 1998) (BASTOS, 2015)
A boa resistência é muito importante para o concreto, mas é necessário também que haja 
outras características com boa qualidade como: compacidade e baixa permeabilidade, 
para que se tenha uma proteção suficiente contra corrosão das armaduras. 
Essas características são importantes devido ao fato da necessidade de se proteger a 
armadura, já que o aço da armadura ativa, quando solicitado por tensões elevadas, é 
mais propenso a sofrer a corrosão. (VERISSIMO, CÉSAR, 1998)
Tabela 2. Relação entre classe de agressividade e qualidade do concreto.
Concreto Tipo
Classe de agressividade 
(Tabela 6.1 da NBR 6118)
I II III IV
Relação água/cimento em massa
CA ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45
CP ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,50 ≤ 0,45
Classe de concreto (NBR 8953)
CA ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40
CP ≥ C25 ≥ C30 ≥ C35 ≥ C40
Notas:
1. O concreto empregado na execução de estruturas deve cumprir com os pontos pedidos pela NBR 12655.
2. CA corresponde aos componentes e elementos estruturais de concreto armado.
3. CP corresponde aos componentes e elementos estruturais de concreto protendido.
Fonte: (BASTOS, 2015).
Alguns parâmetros em relação ao concreto devem ser considerados e especificados 
no projeto quando irá se projetar uma estrutura de concreto protendido, como 
(BASTOS, 2015): 
 » resistências características à compressão (fckj) e à tração (fctkj);
 » módulo de elasticidade do concreto na idade to (Eci(to));
 » relação água cimento (a/c).
13
ConCeituação e materiais │ uniDaDe i
fatores que justificam resistências elevadas
 » Quando se introduz uma força de protensão,esta pode ocasionar solicitações 
prévias muito grandes, em geral mais elevadas que as equivalentes a uma 
situação de serviço (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
 » Com já foi visto, a utilização de concretos e aços de elevada resistência 
ocasiona a diminuição das dimensões das peças, e com isso a redução do 
seu peso próprio (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Muitos concretos de alta resistência apresentam módulo de deformação mais elevado, fato 
que provoca a redução das deformações imediatas e das que aparecem ao longo do tempo. 
Por isso, serão reduzidos os efeitos de perda de protensão ocasionados pela retração 
e fluência do concreto, ou seja, as flechas e as “perdas de protensão” são reduzidas 
(VERISSIMO, CÉSAR, 1998). 
É comum utilizar o CP V ARI pelo fato dele possibilitar a aplicação da força de 
protensão em menor tempo. Principalmente, em peças de concreto protendido, 
deve-se ter bastante cuidado com a cura do concreto, com o objetivo de se 
conseguir a melhor qualidade. 
Aços de protensão
O ferro existe em abundancia na natureza, mas ele dificilmente é encontrado puro. Em 
geral, ele é encontrado combinado com oxigênio na forma de óxidos de ferro, como 
a hematita (Fe2O3), por exemplo. O ferro usado na fabricação do aço é extraído de 
minérios como a hematita. 
Flexibilidade, versatilidade e durabilidade são algumas das características principais 
do aço. Comparado a outros materiais como madeira e alguns plásticos, por exemplo, o 
aço possui resistência muito maior.
designação genérica dos aços de protensão
Na tabela 3 pode ser visto um exemplo de como é feita a genérica dos aços de protensão.
Tabela 3.
CP-175 (RN)
CP Aço para concreto protendido
175 Resistência mínima a ruptura por tração fptk=175Kn/cm2
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UNIDADE I │ CoNCEItUAção E mAtErIAIs
RN Relaxação Normal
RB Relaxação Baixa
L Fio liso
E Fio entalhe
Fonte: Próprio autor.
Propriedades mecânicas do aço
Resistência característica à ruptura por tração do aço (fptk), limite de escoamento 
convencional (que diz respeito à deformação residual, pós-descarga, de 0,2%- fpyk) e o 
valor médio do módulo de elasticidate (Ep) são as principais propriedades mecânicas 
dos aços de protensão.
Tabela 4.
Elemento Ep (MPa)
Fios 205000
Cordoalhas 195000
Fonte: próprio autor.
Nos casos de fios e cordoalhas, o limite de escoamento convencional é aproximadamente 
a tensão que diz respeito à deformação de 1%.
Figura 1. Diagrama tensão-deformação para aços sem patamar de escoamento.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Para cordoalhas, o módulo de elasticidade aparente é menor que o módulo de 
deformação dos fios, isso ocorre pois, no período de carregamento, há acomodação dos 
fios que compõem a cordoalha, o que faz com que a deformação seja mascarada.
Para a CEB, é possível a utilização de um módulo de deformação longitudinal médio de 
ep=200000 MPa.
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ConCeituação e materiais │ uniDaDe i
Segundo a NBR 7197, pode-se adotar para o aço de proteção o diagrama de deformação 
parecido com o de aços do tipo B. 
No caso do CA-XXB, a validade da lei de Hooke é na faixa de 0 a 0,7. Sendo que 0,7 fyd 
é denominado limite de proporcionalidade, figura 2.
A tensão na fase elástica é dada por:
∅���� � ���� Eq. 2.1.1
∅� =
����
���
 Eq. 2.1.2
Para tensões acima de 0,7 fyd
∅� � �� + ���� + 4��� − 0,49 Eq. 2.1.3
�� = 0,7 − 22,5 ����� Eq. 2.1.4
Para aços A ou b, caso ∅� � 1,0��������∅� = 1,0
As equações podem ser utilizadas para aços CAXXA, CAXXB e CP.
Corrosão dos aços de protensão
A corrosão é a principal manifestação patológica em estruturas de concreto, principalmente 
desde o fim do século XX (NOBREGA, 2002). É um problema que vem ocorrendo 
com maior frequência e que chama a atenção devido aos altos custos que envolvem a 
deterioração do material e o risco de comprometimento da estabilidade estrutural. 
Devido ao fato de se desejar cortar custos, as estruturas em concreto atuais apresentam 
menores seções do que as do passado e apresentam menor caráter protetor. Estruturas 
cada vez mais esbeltas e menos duráveis se tornaram uma tendência e, no caso do 
Brasil, grande motivo de preocupação, já que as cidades mais importantes do país estão 
situadas no litoral, submetidas à ação agressiva da atmosfera marinha, ou ambiente 
urbano industrial, sujeitos à intensa poluição (BOTELHO, 2008). 
Mais graves são os ataques em concreto protendido. Neste caso, a corrosão pode dar-se de 
forma tão intensa que pode ocasionar a perda da resistência e pode levar a peça ao colapso.
O número de acidentes envolvendo a corrosão “consome” as reservas de instituições 
ao redor do mundo e o desenvolvimento de técnicas que avaliem de uma forma mais 
16
UNIDADE I │ CoNCEItUAção E mAtErIAIs
precisa a durabilidade e vida útil das estruturas de concreto são de vital importância 
para a diminuição do número de acidentes que vêm ocorrendo durante os anos.
Os metais são encontrados na natureza associados a outros elementos, sob a forma de 
óxidos ou sais metálicos, na forma de sulfetos, carbonatos e silicatos. Essas interações 
entre metais e outros elementos mais eletronegativos têm, por finalidade, a minimização 
da energia interna dos metais. 
Gentil (2007) afirma que, em alguns casos, pode-se associar a corrosão ao processo 
inverso ao siderúrgico, já que o último tende a extrair o metal a partir de minério e 
outros materiais, enquanto que na corrosão o metal é oxidado. 
A partir de sua concepção e ao longo de sua vida útil, as estruturas de concreto estão 
expostas a algumas condições agressivas que podem comprometer a sua durabilidade 
e estabilidade. 
No entanto, é possível diminuir esses problemas logo na fase de projeto, com a seleção 
de material de boa qualidade, assim como sua proteção e manutenção.
Os aços de protensão sofrem muito com a corrosão eletrolítica. No caso de armaduras 
protendidas, diferentemente do concreto armado, o tipo de corrosão presente é a 
corrosão sob tensão (stress-corrosion) que provoca fragilização da seção da armadura, 
e possibilita que ocorra a ruptura frágil. Por este e outros motivos existe a necessidade 
que a armadura protendida seja protegida.
Os dois principais motivos de preocupação em relação à corrosão no aço de protensão 
são o pequeno diâmetro dos fios e, como já foi dito, a elevada tensão que esse aço é 
submetido, que pode ocasionar corrosão sob tensão.
A corrosão sob tensão ou corrosão catódica sob tensão pode ocorrer quando fatores 
como umidade, agentes agressivos, tensões de tração ocorrem de forma conjunta. 
Diferentemente da corrosão que ocorre nas armaduras de estruturas de concreto 
armado, onde o produto de corrosão (ferrugem) depois de certo tempo pode ser visto 
na superfície, nas estruturas protendidas essa corrosão não é detectada no exterior, 
originando fissuras inicias que podem levar à ruptura frágil e levar os cabos de protensão 
ao colapso, depois de um tempo.
Os aços de proteção devem ser protegidos em todas as etapas, na fábrica, no transporte, 
na obra. O armazenamento deve ser feito em lugares cobertos, livres de humidade e 
arejados, evitando-se contato com o solo e com agentes agressivos (como nitretos, 
sulfetos, cloretos). Durante a montagem dos cabos, as bainhas precisam possuir uma 
boa impermeabilização.
17
ConCeituação e materiais │ uniDaDe i
Tabela 5. Fios com Relaxação Baixa (RB).
Designação 
(ABNT)
Diâmetro 
nominal
Área 
nominal
Massa 
nominal
Limite de 
resistência 
à tração 
(fptk)
Tensão para 
alongamento 
de 1% (fpyk)*
Relaxação sob comprimento 
constante (1000h, 20°C)
Tensãoinicial σpi/fptk =
0,6 0,7 0,8
mm mm2 kg/km MPa MPa % % %
CP 150 RB 7 7 38,5 302 1500 1350 1 2 3
CP 160 RB 7 7 38,5 302 1600 1440 1 2 3
CP 150 RB 8 8 50,3 395 1500 1350 1 2 3
* Tensão para alongamento de 1%, considerada equivalente à tensão a 0,2% de deformação permanente f
pyk
, sendo que f
pyk
 = 0,90 f
ptk
Valor médio para o módulo de elasticidade: 210.000 MPa
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Tabela 6. Cordoalhas de 2 e 3 Fios - Relaxação Normal (RN).
Designação 
(ABNT)
Diâmetro 
nominal
Área 
nominal
Massa 
nominal
Tensão para alongamento 
de 1% (fpyk)*
Limite de resistência à 
tração (fptk)**
mm mm2 kg/km MPa MPa
CP 180 RN 2 x 2,0 2 x 2,0 6,3 51 1.800 1.530
CP 180 RN 2 x 2,5 2 x 2,5 9,8 80 1.800 1.530
CP 180 RN 2 x 3,0 2 x 3,0 14,1 114 1.800 1.530
CP 180 RN 2 x 3,5 2 x 3,5 19,2 155 1.800 1.530
CP 180 RN 2 x 4,0 2 x 4,0 25,1 202 1.800 1.530
CP 180 RN 3 x 2,0 3 x 2,0 9,4 76 1.800 1.530
CP 180 RN 3 x 2,5 3 x 2,5 14,7 119 1.800 1.530
CP 180 RN 3 x 3,0 3 x 3,0 21,2 172 1.800 1.530
CP 180 RN 3 x 3,5 3 x 3,5 28,9 234 1.800 1.530
CP 180 RN 3 x 4,0 3 x 4,0 37,7 306 1.800 1.530
CP 180 RN 3 x 4,5 3 x 4,5 47,7 387 1.800 1.530
CP 180 RN 3 x 5,0 3 x 5,0 58,9 478 1.800 1.530
1. Coef. de relaxação (1000h, 20°C): 4,5%, 7% e 12% para tensão inicial σ
pi
/f
ptk 
= 60%, 70% e 80%, respectivamente.
2. * Quociente entre a carga a 1% de alongamento e a área nominal de aço; considerado equvalente a 0,85f
ptk
3. ** Quociente entre a carga de ruptura e a área nominal de aço (f
ptk
)
4. Valor médio para o módulo de elasticidade: 195.000 MPa
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Tabela 7. Fios com Relaxação Normal (RN).
Designação 
(ABNT)
Diâmetro 
nominal
Área 
nominal
Massa 
nominal
Limite de 
resistência 
à tração 
(fptk)
Tensão para 
alongamento 
de 1% (fpyk)*
Relaxação sob comprimento 
constante (1000h, 20°C)
Tensão inicial σpi/fptk =
0,6 0,7 0,8
mm mm2 kg/km MPa MPa % % %
CP 160 RN 4 4 12,6 98,7 1600 1360 4 5 8,5
CP 170 RN 4 4 12,6 98,7 1700 1450 4 5 8,5
CP 150 RN 5 5 19,6 154 1500 1280 4 5 8,5
18
UNIDADE I │ CoNCEItUAção E mAtErIAIs
Designação 
(ABNT)
Diâmetro 
nominal
Área 
nominal
Massa 
nominal
Limite de 
resistência 
à tração 
(fptk)
Tensão para 
alongamento 
de 1% (fpyk)*
Relaxação sob comprimento 
constante (1000h, 20°C)
Tensão inicial σpi/fptk =
0,6 0,7 0,8
mm mm2 kg/km MPa MPa % % %
CP 160 RN 5 5 19,6 154 1600 1360 4 5 8,5
CP 150 RN 6 6 28,3 222 1500 1280 4 5 8,5
CP 160 RN 6 6 28,3 222 1600 1360 4 5 8,5
CP 150 RN 7 7 38,5 302 1500 1280 4 5 8,5
CP 160 RN 7 7 38,5 302 1600 1360 4 5 8,5
CP 150 RN 8 8 50,3 395 1500 1280 4 5 8,5
* Tensão para alongamento de 1%, considerada equivalente à tensão a 0,2% de deformação permanente f
pyk
, sendo que f
pyk
 = 0,85 f
ptk
Valor médio para o módulo de elasticidade: 210.000 Mpa. 
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Tabela 8. Cordoalhas de 7 fios - Relaxação Baixa (RB).
Designação 
(ABNT)
Diâmetro 
nominal
Área 
nominal
Massa 
nominal
Tensão para alongamento 
de 1% (fpyk)*
Limite de resistência à 
tração (fptk)**
mm (pol) mm2 kg/km MPa MPa
CP 175 RB 6,4 6,4 (1/4”) 25,0 195 1580 1750
CP 175 RB 7,9 7,9 (5/16”) 38,4 301 1580 1750
CP 175 RB 9,5 9,5 (3/8’’) 52,3 411 1580 1750
CP 175 RB 11,5 11,0 (7/16’’) 71,0 564 1580 1750
CP 175 RB 12,7 12,7 (1/2’’) 94,2 744 1580 1750
CP 175 RB 15,2 15,2 (0,6’’) 138,7 1100 1580 1750
CP 190 RB 9,5 9,5 (3/8’’) 54,8 432 1710 1900
CP 190 RB 11,5 11,0 (7/16’’) 74,2 582 1710 1900
CP 190 RB 12,7 12,7 (1/2’’) 98,7 775 1710 1900
CP 190 RB 15,2 15,2 (0,6’’) 140,0 1102 1710 1900
Coef. de relaxação (1000h, 20°C): 1,5%, 2,5% e 3,5% para tensão inicial σ
pi
/f
ptk 
= 60%, 70% e 80%, respectivamente.
* Quociente entre a carga a 1% de alongamento e a área nominal de aço; considerado equvalente a 0,90f
ptk
** Quociente entre a carga de ruptura e a área nominal de aço (f
ptk
)
Valor médio para o módulo de elasticidade: 196.000 MPa
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Aços para armaduras ativas
As principais características das armaduras ativas são sua elevada resistência e o fato 
de não apresentarem patamar de escoamento. 
É necessário que se haja uma alta elevada resistência devido ao fato de se desejar que 
seja permitido maiores alongamentos em regime elástico e a compensação de alguma 
perda de protensão que ocorra. 
19
ConCeituação e materiais │ uniDaDe i
Essas perdas podem chegar a cerca de 415 MPa. Outras características necessárias são: 
ductilidade antes da ruptura, boas propriedades de aderência, baixa relaxação e boa 
resistência à fadiga e à corrosão. 
Tabela 9.
Apresentação Quanto ao tratamento Normas brasileiras
fios trefilados de aço (rolos ou bobinas); cordoalhas; 
barras de aço-liga de alta resistência, laminadas a quente.
aços de relaxação normal (RN);
aços de relaxação baixa (RB)
NBR 7482/08
NBR 7483/08
NBR 7484/09
NBR 6349/08
Fonte: próprio autor.
Exemplos de designação: 
1. CP – 175 RN: aço para Concreto Protendido, com resistência característica 
mínima à tração (fptk) de 175 kN/cm2 (1.750 MPa) e de relaxação normal. 
2. CP – 190 RB: aço para Concreto Protendido, com resistência característica 
mínima à tração (fptk) de 190 kN/cm2 (1.900 MPa) e de relaxação baixa. 
Massa específica, coeficiente de dilatação térmica 
e módulo de elasticidade
Tabela 10.
Norma Massa específica
Coeficiente de dilatação 
térmica
Temperatura Módulo de elasticidade
NBR 6118 7.850 kg/m3 10-5 / °C entre - 20°C e 100°C. 200 GPa*
* para fios e cordoalhas, caso não tenha dados conseguidos em ensaio ou não for fornecido pelo fabricante do aço.
Fonte: Bastos, 2015.
Dados sobre ductilidade do aço e resistência à fadiga estão contidos nos itens 8.4.6 e 
8.4.7, respectivamente, da NBR 6118.
Acondicionamento
Figura 2. Rolo de fio.
Fonte: Bastos, 2015.
20
UNIDADE I │ CoNCEItUAção E mAtErIAIs
Tabela 11. Dados do acondicionamento dos fios (Catálogo Arcelor Mittal).
Diâmetro Nominal do Fio 
(mm)
Peso Nominal 
(kg)
Diâmetro Interno 
(cm)
Diâmetro Externo 
(cm)
Largura de Rolo 
(cm)
4 700 150 180 18
5 – 6 – 7- 8 - 9
700
180
210
18
Fonte: Bastos, 2015.
Tabela 12. Dados do acondicionamento das cordoalhas (Catálogo Arcelor Mittal).
Tipo de Cordoalha
Peso Nominal 
(kg)
Diâmetro Interno 
(cm)
Diâmetro Externo 
(cm)
Largura de Rolo 
(cm)
Cordoalhas 3 e 7 fios 3000 76 139 79
Fonte: Bastos, 2015.
Figura 3. Rolos de cordoalha engraxada e não engraxada (Catálogo ArcelorMittal).
Fonte: Bastos, 2015.
Figura 4. Rolos de fio e cordoalha (Catálogo ArcelorMittal).
Fonte: Bastos, 2015.
21
ConCeituação e materiais │ uniDaDe i
diagrama tensão-deformação 
Segundo a NBR 6118, o diagrama tensão-deformação é fornecido pelo fabricante, e 
conseguido a partir de ensaios baseados na NBR 6349. 
Caso o fabricante não disponibilize o diagrama, a norma autoriza, para os estados-limite 
de serviço e último, a utilização do diagrama simplificado, para temperaturas entre - 
20° C e 150° C.
Figura 5. Diagrama tensão-deformação simplificado indicado pela NBR 6118 para aços de protensão.
Fonte: Bastos, 2015.
tg a = Ep = módulo de elasticidade = 200 GPa para fios e cordoalhas (caso não haja 
dados disponibilizados pelo fabricante e do ensaio). 
fpyk = resistência característica de escoamento convencional, para a deformação 
residual de 0,2 %. 
Os valores mínimos da resistência ao escoamento convencional fpyk, da resistência à 
tração fptk e o alongamento após ruptura εuk das cordoalhas devem condizer com os 
descritos na NBR 7483, e essas variáveis são descritas pela NBR 7482.
Aços para armaduras passivas
As armaduraspassivas são formadas pelos mesmos materiais das armaduras de 
concreto armado e regidas pela norma NBR-7480, a qual trata de barras e fios de aço 
utilizados na armadura para concreto armado. 
Normalmente, as armaduras passivas são formadas por: estribos, armaduras construtivas, 
armaduras de pele, armaduras de controle de aberturas de fissuras e, algumas vezes, 
armaduras que irão garantir a resistência última à flexão.
22
UNIDADE I │ CoNCEItUAção E mAtErIAIs
Bainhas e outros elementos
As bainhas são tubos nos quais são colocadas as armaduras de protensão, e é preciso 
que se deslize sem atrito. São utilizados em protensão com aderência posterior e/ou em 
casos sem aderência (algumas vezes são utilizadas bainhas plásticas lisas). 
Em geral, são confeccionadas a partir de chapas de aço laminadas a frio, possuindo 
espessura entre 0,1 a 0,35 mm, costurados em hélice, ainda são realizadas ondulações 
transversais em hélice (BASTOS, 2015). 
A produção de ondulações é feita devido a fornecer diversas vantagens, como:
 » promove rigidez à seção da bainha sem alterar a flexibilidade longitudinal, 
proporcionando curvaturas com raios pequenos, o que permite enrolar 
cabos de grande comprimento e, consequentemente, o transporte em forma 
de rolos;
 » proporciona uma utilização mais fácil de luvas rosqueadas nas emendas;
 » as saliências e reentrâncias provocam o melhoramento da aderência 
entre a nata de injeção e o concreto. 
Com a finalidade de se criar aderência com a armadura de protensão, é necessário que haja 
o preenchimento dessas bainhas com calda de cimento. É necessário determinar os locais 
de injeção e os respectivos respires (tubos de saída de ar), para a injeção de nata de cimento. 
Os respingos devem ser alocados em pontos mais elevados do cabo. Já os pontos de 
injeção nos locais mais baixos (BASTOS, 2015). 
Figura 6. Ligação de um respiro num ponto intermediário da bainha.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998)
23
ConCeituação e materiais │ uniDaDe i
Calda de cimento para injeção
Como vimos no tópico sobre bainhas, a calda ou nata de cimento é injetada no interior 
da bainha metálica. Seu principal objetivo é possibilitar aderência entre a armadura de 
protensão e o concreto da peça, na pós-tração, e proporcionar proteção à armadura em 
relação à corrosão. 
Existe uma norma para a calda de cimento para injeção, a NBR 7681. A nata é feita com 
uma relação a/c de entre 36 a 44 kg de água para cada 100 kg de cimento (BASTOS, 
2015). 
Ancoragens
A maneira mais básica e barata de fixação dos fios e cordoalhas é através de cunhas e 
porta-cunhas. 
Elas podem ser bi ou tripartidas, e estão instaladas em porta cunhas, que são cavidades 
de blocos ou placas de aço. Para armaduras pós-tracionadas, há um grupo de elementos 
que formam os denominados “sistemas de protensão”.
disposições construtivas
Todos os critérios utilizados para concreto armado relativos a dimensões mínimas, 
cobrimento de concreto da armadura e diretrizes para a execução das armaduras podem 
ser utilizados para estruturas de concreto protendido.
Sobre os materiais: nBr 7197
Tabela 13.
Elemento/ Material Especificações
Armadura de protensão Deve-se, no armazenamento, tomar precauções e cuidados especiais para evitar corrosão do aço.
Armadura passiva NBR 6118
Cimento NBR 6118
Aditivos
Os aditivos são, em geral, utilizados para melhoramento da trabalhabilidade, redução na relação água/cimento ou 
aumento da compacidade e impermeabilidade. 
Agregado NBR 6118
Água
NBR 6118
é estritamente proibido o emprego de água do mar, ou que haja presença de concentrações de cloretos.
Concreto
NBR 6118
não se autoriza relação a/c≥ 0,55 e fck < 21 MPa.
24
UNIDADE I │ CoNCEItUAção E mAtErIAIs
Lubrificantes e isolantes
Os lubrificantes e isolantes, às vezes, são utilizados para evitar aderência, estes materiais não podem favorecer a 
corrosão da armadura de protensão.
Cobrimento da armadura 
de protensão
Vide tabela
Fonte: próprio autor.
Tabela 14.
Valores básicos para peças estruturais em geral
Ambiente não agressivo = 3,0 cm
Ambiente pouco agressivo = 4,0 cm
Ambiente muito agressivo = 5,0 cm
Reduções permitidas em relação aos valores básicos
Lajes e cascas = - 0,5 cm
Concreto com f
ck
 > 30 Mpa = - 0,5 cm
Pré-fabricação em usina = - 0,5 cm
Valores mínimos absolutos
Agregado com d
g
 < 3,2 cm = d
g
Agregado com d
g
 > 3,2 cm = d
g
 + 0,5 cm
Caso de pós-tração com φ
ext
 < 4,0 cm = φ
ext
Caso de pós-tração com φ
ext
 > 4,0 cm = 4,0 cm
Caso de pré-tração = 2φ = 2,0 cm
* Nota: Nos cabos com bainhas esses cobrimentos referem-se à própria bainha. 
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
O texto, a seguir, foi retirado do site theconstructor.org, ele apresenta informações 
importantes e de forma resumida sobre o concreto protendido.
O processo de indução de tensões de compressão na estrutura antes que seja 
posto a seu uso real é conhecido como protensão. O elemento de concreto 
protendido é um componente de concreto no qual são introduzidas tensões 
internas de forma planeada, de modo que as tensões resultantes das cargas 
sobrepostas são neutralizadas num grau desejado.
introdução ao concreto protendido
 » A protensão é a criação intencional de estresse permanente em uma 
estrutura ou montagem, para melhorar seu comportamento e força 
em várias condições de serviço.
 » No concreto armado comum, que consiste em concreto e aço 
macio como componentes básicos, as tensões de compressão são 
ocasionadas por concreto enquanto tensões de tração são ocasionadas 
inteiramente pelo aço. O concreto só funciona como um material 
vinculativo. Ele não toma parte em resistir às forças externas.
25
ConCeituação e materiais │ uniDaDe i
 » No concreto protendido, a compressão é induzida antes do 
carregamento nas zonas onde cargas externas normalmente 
causariam tensões de tração.
 » No caso de vigas longas, onde existem grandes forças de cisalhamento, 
os tamanhos do feixe têm de ser grandes para limitar as tensões 
diagonais de tração sob certos limites. A protensão diminui as tensões 
de tração diagonal. Isto levou a adotar a seção I modificada e a seção 
em T, na qual há uma redução substancial na área.
 » A fim de obter a vantagem máxima de um membro de concreto 
protendido, é necessário usar não só concreto de alta resistência, mas 
também fios de aço de alta resistência.
 » O concreto utilizado para trabalhos de protensão devem ter uma 
resistência de cubo de 35 N/mm2 para o sistema pós-tensionado e 
45N/mm2 para o sistema pré-tensionado.
 » Na concepção de um elemento de concreto protendido, a perda 
estimada de protensão devida à contração do concreto e do 
deslizamento de concreto e aço é da ordem de cerca de 200 N /mm2. 
necessidade de protensão
 » Para compensar a deficiência de resistência à tração no concreto, o 
reforço de aço é fornecido perto do fundo de vigas simples para 
transportar as tensões de tração.
Vantagens do concreto protendido
durabilidade
 » Como esta técnica elimina a fraqueza do concreto em tensão, esses 
membros permanecem livres de rachaduras. Portanto, podem 
resistir aos efeitos de impacto, choque e reversão de tensões mais 
eficientemente do que R.C.C. estrutura.
 » Eles fornecem desempenho confiável a longo prazo em condições 
extremamente severas que poderiam destruir materiais menores.
 » São resistentes à deterioração dos climas extremos, ataque químico, 
fogo, dano acidental e os esforços determinados de vândalos.
26
UNIDADE I │ CoNCEItUAção E mAtErIAIs
Adaptabilidade
 » Pré-fabricados de produtos de concreto protendido podem ser 
projetados e fabricados para qualquer aplicação, variando em 
tamanho de pontes de curto alcancepara alguns dos maiores projetos 
do mundo.
 » Permite que os fabricantes de pré-moldados ampliem amplamente 
a variedade de projetos possíveis utilizando componentes pré-
fabricados.
 » A plasticidade inerente do concreto permite criar componentes pré-
fabricados em formas e tamanhos, os quais seriam proibitivamente 
caros usando outros materiais.
resistência ao fogo
 » As pontes de concreto protendido não são facilmente danificadas pelo 
fogo. Têm excelente resistência ao fogo, baixos custos de manutenção, 
elegância, alta resistência à corrosão etc.
impacto direto à economia local
 » O concreto protendido é produzido pela pequena empresa local – 
empregando mão de obra local.
 » A maior parte de suas matérias-primas também são compradas 
localmente e a saúde da indústria local de concreto protendido afeta 
diretamente a economia local.
 » Devido a cargas menores, devido a dimensões menores serem usadas, 
há uma economia considerável no custo de membros de suporte e 
fundações.
 » As formas estruturais padrão, tais como o núcleo oco, as vigas, as 
colunas e os painéis podem ser produzidos em massa a baixo custo.
Construção rápida e fácil
 » Componentes de concreto pré-fabricados se prestam a horários de 
construção rápidos.
 » A fabricação pré-fabricada pode prosseguir enquanto a preparação 
do local está em andamento.
27
ConCeituação e materiais │ uniDaDe i
 » As unidades pré-fabricadas podem ser entregues no local de trabalho 
e instaladas no momento em que são necessárias em qualquer tempo.
 » Construção rápida significa conclusão mais cedo e economia de custos 
resultante.
 » Economiza o custo de cofragem e centralização para grandes estruturas.
Estética
 » Os componentes pré-fabricados podem ser fornecidos com uma ampla 
gama de formas e acabamentos que vão desde unidades estruturais 
suaves e densas a qualquer número de tratamentos arquitetônicos.
 » Podem-se obter texturas e tratamentos superficiais surpreendentemente 
ricos e variados, expondo areias de cor, agregados, cimentos e agentes 
corantes usando jateamento e retardadores químicos.
 » Forros de formulário personalizado podem ser usados para introduzir 
padrões e outros efeitos arquitetônicos.
 » Pedra, tijolo, telha e outros materiais podem ser moldados em painéis 
pré-fabricados na fábrica, permitindo designers para alcançar o olhar 
caro de alvenaria.
desvantagens do concreto protendido
Embora o protendido tenha muitas vantagens, ainda há algumas desvantagens 
deste processo: 
 » O custo unitário dos materiais de alta resistência a serem utilizados é mais 
elevado, uma vez que é utilizado principalmente aço de alta resistência.
 » O custo inicial adicional é incorrido devido à utilização de equipamentos 
de protendido e sua instalação.
 » Trabalho extra e custo de transporte para o protendido também está lá.
 » A protensão não é econômica para vãos curtos e cargas leves.
Comparação de vigas de concreto 
pré-esforçadas com vigas rCC
1. Em vigas RCC, o concreto no lado de compressão do eixo neutro 
sozinho é eficaz e o concreto no lado de tensão é ineficaz. Mas, nas 
vigas protendidas, toda a seção é eficaz.
28
UNIDADE I │ CoNCEItUAção E mAtErIAIs
2. As vigas de concreto armado são, geralmente, pesadas. Vigas protendidas 
são mais leves.
3. RCC vigas sendo pesado e maciço são mais adequados em situações 
onde o peso é mais desejado que a força. As vigas protendidas são 
muito apropriadas para cargas pesadas e extensões longas.
4. Em vigas RCC, não há nenhuma maneira de testar o aço e o concreto. 
Em vigas de concreto protendido, o teste pode ser feito enquanto pré-
esforço.
5. A construção do RCC não envolve muitas unidades auxiliares. Mas 
vigas protendidas requerem muitas unidades auxiliares.
Pressupostos na concepção de elementos de 
concreto protendido
Os elementos de concreto protendido são analisados e concebidos com base 
nas seguintes hipóteses apresentadas a seguir:
 » Uma seção plana transversal do elemento permanecerá um plano 
depois de dobrar. 
 » Dentro dos limites da deformação, a lei de Hooke é aplicável a 
componentes de concreto e aço.
 » A tensão no reforço não muda ao longo do comprimento do reforço. 
As alterações de tensão ocorrem somente para o componente de 
concreto. Variação de tensão no reforço devido a mudanças na carga 
externa é ignorável.
Princípios do concreto protendido
 » Grande força de pré-esforço é aplicada ao membro pelos tendões, tensões 
elevadas de rolamentos são desenvolvidas nas extremidades pelos 
dispositivos de ancoragem. As ancoragens são geralmente concebidas 
para apenas a utilização em trabalhos de concreto de alta resistência.
 » As tensões de rebentamento susceptíveis às extremidades da viga não 
podem ser resistidas satisfatoriamente por trabalhos de concreto de 
baixa resistência.
 » Quando a transferência de tensão para o concreto tem de ocorrer por 
ação de ligação, o concreto deve ser de alta resistência.
29
ConCeituação e materiais │ uniDaDe i
 » Fissuras de encolhimento serão poucas quando o concreto de alta 
resistência é usado.
 » Devido ao elevado módulo de elasticidade do concreto de alta 
resistência, a deformação elástica e de deformação são muito pequenas, 
resultando em menor perda de protensão em todos os reforços de aço.
30
unidAdE ii
ProCESSoS E 
EquiPAMEntoS dE 
ProtEnSão
CAPitulo 1
Equipamentos de protensão
Macacos hidráulicos
O macaco hidráulico para protensão é o equipamento responsável e principal elemento 
tensionador que traciona o cabo de protensão. O Sistema que é responsável pelo 
tensionamento é composto por: macaco, bomba hidráulica de alta pressão, mangueiras 
e manômetro de pressão. 
O macaco é um dispositivo mecânico, em geral é hidráulico, que introduz no concreto uma 
força de protensão, gerando o tracionamento do cabo. O macaco proporciona ao concreto 
uma força de protensão. A proteção inicial será a força que atua no cabo logo depois da 
transferência da força de protensão para o concreto, que acontece após o assentamento 
das cunhas na placa de ancoragem pelo recuo da cordoalha e a retirada do macaco.
Figura 7. Corte esquemático de um macaco hidráulico, com pistão maciço e em coroa de círculo.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
31
PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO │ UNIDADE II
Figura 8. Macaco de Protensão.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Figura 9. Vista frontal e lateral de um macaco para o sistema Rudloff-VSL.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
32
UNIDADE II │ PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO
Figura 10. Esquema de um macaco de protensão do tipo Stronghold, com cilindro especial para cravar as 
cunhas de ancoragem.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Ancoragens
As ancoragens são dispositivos onde são fixados os cabos de protensão que estão 
tensionados. Eles têm, por objetivo, que manter a carga que o macaco hidráulico aplica 
e as ancoragens impedem que os cabos fiquem frouxos e percam sua tensão.
As ancoragens podem ser divididas em ancoragem por: aderência, meio de cunhas, meio 
de roscas e porca, meio de cabeçotes apoiados em calços de aço ou em argamassa injetada.
Ancoragens por aderência
Este tipo de ancoragem é utilizada, normalmente, na protensão com aderência inicial. 
A força de proteção é muito grande, chegando a ser cerca de 4 vezes maior que ancoragens 
de barras nervuradas no concreto armado. Para forças tão grandes, a ancoragem de 
33
PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO │ UNIDADE II
nervuras na armadura só será efetiva se conseguir produzir uma aderência mecânica, 
pelas nervuras das armaduras ou de um perfilado que irá produzir um edenteamento 
entre a armadura de protensão e o concreto.
Ancoragens por meio de cunhas
Neste tipo deancoragem a protensão é realizada utilizando-se duas peças, um cone macho 
e outra fêmea. Pode ser dividido em dois grupos: ancoragem com cunhas deslizantes e 
ancoragem com cunhas cravadas.
Figura 11. Princípio de ancoragem por meio de cunha.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Onde:
1 - fios de aço; 
2 - cunha de ancoragem (cone macho); 
3 - apoio de cunha (cone fêmea); 
P = força de protensão dos fios de aço do cabo; 
F = força aplicada sobre a cunha para ancorar o cabo.
Figura 12. Ancoragem com cunha central.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
34
UNIDADE II │ PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO
Figura 13. Sistemas de ancoragem com cunhas periféricas.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Onde:
1 - fios de aço; 
2 - cunhas de ancoragem; 
3 - peça de apoio.
Ancoragens por meio de rosca e porca
Para ancoragens por meio de rosca e porca, é permitido se utilizar fios ou cordoalhas ou 
barras maciças de protensão, este último é o mais utilizado para esse tipo de ancoragem. 
Para o caso de fios e cordoalhas é necessário realizar antes a ligação dos fios com um 
parafuso ou outra peça de rosca.
Figura 14. Ancoragem por meio de rosca e porca.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Onde:
1 - fios de aço; 
2 - peça metálica ligada aos fios; 
3 - rosca; 
35
PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO │ UNIDADE II
4 - cabeçote; 
5 - porca; 
6 - peça de apoio; 
P + força de protensão.
Observe a figura 16 e entenderá melhor como ocorre o sistema de ancoragem. O macaco 
de protensão está ligado ao parafuso por meio de uma peça especial, e com isso o cabo 
é esticado. Quando se consegue chegar ao esforço e alongamento especificados no 
projeto, o sistema é apertado por uma porca na placa de apoio.
Ancoragens mortas ou passivas
Para alguns casos, visando à economia, os cabos são protendidos em uma só extremidade, 
e na outra se põe uma ancoragem passiva ou morta.
Essas ancoragens podem ser executadas por: dispositivos mecânicos especiais; ancoragens 
normais com cunhas pré-cravadas; meio de laços colocados dentro do concreto e atrito e 
aderência das extremidades dos fios, em contato direto com o concreto.
Figura 15. Ancoragem ativa e ancoragem morta.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Figura 16. Ancoragem morta com extremidades das cordoalhas em forma de laço.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
36
CAPitulo 2
graus de protensão
As forças de protensão são empregadas com o objetivo de evitar ou limitar a fissuração 
em condições de utilização, logo, é muito importante determinar, em números, sua 
intensidade e excentricidades, claro que levando sempre em consideração os estados 
limites de utilização.
Algumas questões sempre nos vêm à cabeça quando estamos fazendo um projeto para 
estruturas protendidas, como: quais são os limites de aplicação de forças de protensão? 
Em quais momentos se deve evitar a fissuração ou somente é necessário adotar um limite? 
Estes questionamentos estão relacionados com os conceitos de grau de protensão. O Grau 
ou nível de protensão são os critérios que serão levados em consideração no projeto 
para determinados efeitos que serão adicionados pela protensão a uma estrutura para 
que esta atenda os critérios mínimos de utilização.
O grau de protensão pode ser definido pela equação a seguir, que relaciona momento 
fletor de descompressão e o característico máximo.
�� =
��
������� Eq. 2.2.1
O momento de compressão é aquele que anula a tensão normal em algum ponto da 
seção transversal. É observada a relação entre os momentos, avaliando uma peça 
em relação ao surgimento ou não de tensões normais de tração, sobre solicitação do 
momento fletor máximo.
A equação abaixo faz uma relação entre a armadura de protensão existente e a seção 
transversal, levando em consideração a resistência à tração.
�� =
������
������ � ������ Eq. 2.2.2
Existem três níveis de protensão, como mostrados na figura 18: 
 » Nível 1 – Protensão Completa. 
 » Nível 2 – Protensão Limitada. 
 » Nível 3 – Protensão Parcial.
Eles estão diretamente relacionados à classe de agressividade ambiental, o que se deseja 
em relação à fissuração e às combinações de ações de serviço.
37
PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO │ UNIDADE II
Na tabela 15, encontramos a relação com as classes de agressividade. Na tabela 16, 
exigência relacionada à fissuração e à proteção da armadura.
Figura 17. Resumo das possibilidades de combinação dos processos e tipos de protensão de utilização.
Concreto
Protendido
Com pré-tensão 
(com aderência)
Protensão
completa
Protensão
limitada
Protensão
parcial
Com pós-tensão
Sem aderência Protensãocompleta
Com aderência
Protensão
completa
Protensão
limitada
Protensão
parcial
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Figura 18.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
38
UNIDADE II │ PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO
Tabela 15. Classes de agressividade ambiental (Tabela 6.1 da NBR 6118).
Classe de agressividade 
ambiental (CAA)
Agressividade
Classificação geral do tipo de 
ambiente para efeito de projeto
Risco de deterioração da 
estrutura
I Fraca
Rural
Insignificante
Submersa
II Moderada Urbana Pequeno
III Forte
Marinha
Grande
Industrial
IV Muito forte
Industrial
Elevado
Respingos de maré
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
Tabela 16. Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em função das 
classes de agressividade ambiental (Tabela 13.3 da NBR 6118).
Tipo de concreto 
estrutural
Classe de agressividade ambiental 
(CAA) e tipo de proteção
Exigências relativas à 
fissuração
Combinação de ações 
em serviço a utilizar
Concreto simples CAA I a CAA IV Não há ---
Concreto armado
CAA I ELS-W, w
k
≤0,4mm
Combinação frequenteCAA II a CAA III ELS-W, w
k
≤0,3mm
CAA IV ELS-W, w
k
≤0,2mm
Concreto protendido nível 1 
(protensão parcial)
Pré-tração com CAA I ou pós-tração com 
CAA I e II
ELS-W, w
k
≤0,2mm Combinação frequente
Concreto protendido nível 2 
(protensão limitada)
Pré-tração com CAA II ou pós-tração com 
CAA III e IV
Verificar as duas condições abaixo
ELS-F Combinação frequente
ELS-D¹ Combinação quase permanente
Concreto protendido nível 3 
(protensão completa)
Pré-tração com CAA III e IV
Verificar as duas condições abaixo
ELS-F Combinação rara
ELS-D¹ Combinação frequente
1) A critério do projetista, o ELS-D pode ser substituído pelo ELS-DP com a
p
 = 25mm (figura 3.1 da NBR 6118)
NOTAS:
1. As definições de ELS-W, ELS-F e ELS-D encontram-se no item 3.2 da NBR 6118.
2. Para as classes de agressividade ambiental CAA III e CAA IV, exige-se que as cordoalhas não aderentes tenham proteção especial na região de 
suas ancoragens.
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
I. Protensão completa (nível 1) 
 › Para casos onde os elementos de Concreto Protendido pré-tracionados, 
cujas classes de agressividade ambiental são as III e IV. 
 › As principais exigências que devem ser atendidas estão listadas abaixo:
 · Estado-limite de descompressão (ELS-D) com combinação frequente 
de ações (ELS-D pode ser substituído por ELS-DP com ap = 50 mm). 
39
PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO │ UNIDADE II
 · Estado-limite de formação de fissuras (ELS-F) com combinação 
rara de ações.
II. Protensão limitada (nível 2) 
 › Para casos onde os elementos de Concreto Protendido pré-tracionados, 
cuja a classe de agressividade ambiental II ou pós-tracionados em 
ambientes III e IV; 
 › As principais exigências que devem ser atendidas, estão listadas abaixo:
 · Estado-limite de descompressão (ELS-D - ou ELS-DP com ap = 50 
mm), com combinação quase permanente de ações;· Estado-limite de formação de fissuras (ELS-F) com combinação 
frequente de ações.
III. Protensão parcial (nível 3) 
 › Para casos onde os elementos de Concreto Protendido pré-tracionados, 
cuja classe de agressividade ambiental I ou pós-tracionados em 
ambientes I e II;
 › As principais exigências que devem ser atendidas, estão listadas abaixo:
 · Estado-limite de abertura de fissuras (ELS-W), com wk £ 0,2 mm, 
para combinação frequente de ações. 
Tabela 17. Níveis de protensão e estados limites de serviço a verificar (caso particular de viga sujeita a momento 
fletor externo positivo).
Estados limites de serviço
Descompressão Formação de fissuras Abertura de fissuras
Nível de protensão
Combinações de ações de serviço
Quase permanente (CQP) Frequente (CF) Rara (CR)
Completa (Pré-tração de CAA III e IV) Descompressão (ELS-D) Descompressão (ELS-D)
Formação de fissuras 
(ELS-F)
Limitada (Pré-tração de CAA II e pós-
tração de CAA III e IV)
Descompressão (ELS-D) Formação de fissuras (ELS-F) ---
Parcial (Pré-tração de CAA I e pós-
tração de CAA I e II)
--- Abertura de fissuras (ELS-W, w
k
≤0,2mm) ---
Fonte: (VERISSIMO, CÉSAR, 1998).
40
UNIDADE II │ PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO
Deve-se prestar atenção em algumas observações: 
a. em casos em que ocorre a protensão completa não se considera as 
tensões normais de tração, só em casos que ocorrem combinações 
raras (onde há a ocorrência de apenas algumas horas na vida útil), até 
o ELS-F (início de formação de fissuras); 
b. em casos que ocorre a protensão limitada admitem-se tensões 
normais de tração, sem ultrapassar o ELS-F (início de formação de 
fissuras). Podem surgir fissuras somente para a combinação rara, que 
seriam fechadas após cessada essa combinação; 
c. em casos que ocorre a protensão parcial consideram-se tensões 
normais de tração e fissuras com aberturas de até 0,2 mm.
Macaco
A norma que descreve as condições exigidas para a preparação da calda de cimento 
e sua injeção, para preenchimento de bainhas de armadura de protensão de peças de 
concreto protendido é a ABNT NBR 14931:2004 em seu Anexo B sobre Execução da 
injeção de calda de cimento Portland em concreto protendido com aderência posterior.
injeção das armaduras de protensão
O objetivo da nata de injeção é garantir uma proteção eficaz das armaduras protendidas 
contra a corrosão e garantir a ligação mecânica das armaduras protendidas com 
o concreto.
Para que haja uma boa injeção, perfeita, é preciso que a nata possua algumas características: 
ausência de agentes agressivos, fluidez suficiente durante toda a injeção, boa estabilidade, 
pouca retração, resistência mecânica conveniente e pouca absorção capilar.
Existem muitos fatores que têm bastante influência sobre a qualidade das natas como: 
a natureza, a idade. Outros fatores que podem ser citados são: a temperatura do 
cimento, a temperatura da água, as condições de misturação, a temperatura ambiente 
e a temperatura no interior da bainha.
Segundo a NBR 14931, é necessário que os equipamentos de injeção e seus acessórios 
suportem uma pressão mínima de 15 Kgf\cm². A injeção deve ser realizada de forma 
contínua e regular, e a pressão não ultrapasse 2,0 MPa. Em geral, a pressão utilizada é 
em torno de 3 a 8 Kgf/cm², sendo a pressão de 5 Kgf/cm² a mais adequada. 
41
PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO │ UNIDADE II
Para cabos verticais e casos especiais podem ser necessárias pressões maiores, por 
este motivo, deve-se ter cuidado e evitar a incorporação de ar, por meio do controle da 
velocidade da injeção.
Constituintes das natas
I. Tipos de cimento: 
 › CPI – 25, 32 ou 40. 
 › Opção – CP II F – 25,32 ou 40. 
 › Opção – CP II E – 25, 32 ou 40.
Os cimentos tipo CP II Z, CP III, CP IV e CP V não devem ser usados na 
injeção de cabos protendidos.
O cimento deve apresentar:
 › Teor do composto ≤ 10%. 
 › Teor de enxofre de sulfetos ≤ 0.20%. 
 › Cloro de cloretos ≤ 0.10%.
II. Outras especificações:
 › Segundo a NBR 7681, a água potável, com concentração de cloro < 500 
mg/litro, livre de detergentes.
Já a utilização dos aditivos deve estar relacionada aos tipos de cabos de protensão que vão 
ser injetados. Os aditivos podem ser: plastificantes, retardadores de pega e expansores. 
É necessário a realização de ensaios de compatibilização com o cimento utilizado. 
Características das natas tradicionais
a. Fluidez: o índice de fluidez diz respeito ao tempo de enchimento de uma 
proveta de um litro, através do cone de Marsh. Segundo a NBR 7682, o 
tempo deve está entre 9 a 15 segundos.
b. Exsudação: segundo a NBR 7683, a porcentagem de água exsudada 
deverá ser menor que 2%.
c. Expansão: segundo a NBR 7683, o valor máximo deve ser de 3 a 4%.
42
UNIDADE II │ PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO
Figura 19. Exemplo de expulsão da água de exsudação da calda de cimento pelas cordoalhas.
Fonte: ABNT NBR 14931:2004.
Figura 20. Exemplo de expulsão da água de exsudação por injeção complementar com calda de cimento.
Fonte: ABNT NBR 14931:2004.
Figura 21. Exemplo de expulsão da água de exsudação por injeção complementar com calda de cimento.
Fonte: ABNT NBR 14931:2004.
43
PROCESSOS E EQUIPAMENTOS DE PROTENSÃO │ UNIDADE II
Figura 22. Exemplo de expulsão da água de exsudação por injeção complementar com calda de cimento.
Fonte: ABNT NBR 14931:2004.
outras características
Tabela 18.
Característica Norma
 Retração -
 Tempo de pega NBR 7685
 Início de pega NBR 7685
 Fim de pega NBR 7685
 Tempo de injetabilidade NBR 768
 Resistência mecânica NBR 7684
 Absorção capilar -
Fonte: próprio autor.
Proteção final das ancoragens
Depois de 24h do fim da injeção e depois de se verificar se houve o preenchimento total 
do tubo e respiros de injeção, eles precisam ser cortados de forma cuidadosa. 
Todas as ancoragens e respiros precisam ser protegidos com concreto ou argamassa. 
Em locais que podem ocorrer a ação de água ou agentes agressivos é obrigatória a 
utilização de material epóxico para sua vedação e proteção.
44
unidAdE iii
liMitES dE SoliCitAção 
E introdução ÀS 
PErdAS dE ProtEnSão
CAPitulo 1
limites de solicitação
níveis de protensão
Níveis de protensão têm relação com os níveis de intensidade da força de protensão, a 
qual está diretamente relacionada com a proporção de armadura ativa usada em relação 
à passiva. Existem três níveis de protensão, como mostrados na figura 24: 
Nível 1 – Protensão Completa;
Nível 2 – Protensão Limitada; e 
Nível 3 – Protensão Parcial.
Figura 23.
Fonte: França, 2002.
45
LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO │ UNIDADE III
Deve-se preestabelecer alguns critérios para se escolher o melhor e mais adequado 
nível de protensão para uma estrutura. Leva-se em consideração fatores como: a 
agressividade do meio ambiente e ou limites para a sua utilização, quando colocada 
em serviço. 
Estados limites de serviço (ou de utilização)
Estados limites de serviço estão intimamente ligados à durabilidade das estruturas, 
aparência, conforto do usuário e boa utilização funcional desta, seja em relação aos 
usuários, seja em relação às máquinas e aos equipamentos utilizados.
O Estados Limites de Serviço (ELS) é garantido quando os limites descritos nos tópicos 
abaixo não são excedidos. 
Estado limite de descompressão (ElS-d):
O Estado limite de descompressão é aquele em que toda seção transversal estará 
comprimida, e a tensão normal será nula em alguns pontos da seção transversal. Elas são 
calculadas no estádio I, não existindo tração no restante da seção. 
Estado limite de formação de fissuras (ElS-f)
Neste estado é conseguida a máxima tensão de tração, seu calculo é realizado no Estádio 
I. A resistênciaà tração na flexão é dada por fct, fl = 1,2 fctk, inf para peças de seção T e, 
igual a fct, fl = 1,5 fctk, inf para peças de seção retangular.
Figura 24.
Fonte: França, 2002.
46
UNIDADE III │ LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO
Figura 25.
Fonte: França, 2002.
47
CAPitulo 2
Perdas de protensão
introdução
A força efetiva de protensão varia em todo o comprimento do cabo e é menor do que a 
que foi aplicada pelo dispositivo de protensão. Dá-se o nome de perda de protensão à 
diminuição desta força. As perdas ocorrem por diversos fatores. Em geral, se divide as 
perdas em dois grupos: 
1. Perdas imediatas que acontecem durante o estiramento e ancoragem dos 
cabos. 
2. Perdas progressivas, que acontecem ao longo do tempo. 
As perdas imediatas para o concreto protendido com aderência posterior são aquelas 
que derivam de: atrito que ocorre entre o cabo e a bainha; forma como se acomoda os 
cabos nas ancoragens; encurtamento do concreto que ocorre no período de operação 
de protensão. 
Já as perdas progressivas são ocasionadas pelos seguintes pontos: retração e fluência 
do concreto e relaxação da armadura de protensão.
Perdas por atrito em cabos pós-tracionados 
As perdas por atrito são diferentes quando se observa todo o comprimento do cabo. 
Ocorre o atrito do cabo com a bainha. Muito parecido com um sistema de polias-correia, 
onde a polia adquire um momento torçor por meio de uma correia.
Figura 26.
Fonte: (França et al, 2016).
48
UNIDADE III │ LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO
A partir do esquema na figura 27, é possível supor o seguinte:
p. μ. ds + dp = 0 Eq. 3.2.1
onde:
μ = coeficiente de atrito entre a correia e a polia.
Com: 
p = �� e ds = r. dα Eq. 3.2.2
Tem-se
�
� . μ. r. dα + dP = 0	ou
��
� = −μdα Eq. 3.2.3
Logo,
ln�P� = −μ. α + C Eq. 3.2.4
com P=P0, quando α=0,
C = ln	(P�) Eq. 3.2.5
Logo, 
ln�P� − ln�P�� = μα ou P = P�. e��� Eq. 3.2.6
Figura 27.
Fonte: (França et al, 2016).
A figura 28 mostra um exemplo usual, onde
μ ≈ 0,2 e α ≤ 20° (0,35 rad). 
Logo, o produto μα ≤ 0,07. Caso se trabalhe com valores desta ordem, é permitido 
considerar:
e��� ≅ 1 − μα Eq. 3.2.7
49
LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO │ UNIDADE III
Originando
P ≅ P��1 − μα� Eq. 3.2.8
O que ocorre de verdade é que o cabo possui ondulações inevitáveis por todo o seu 
comprimento, também na região curva. Para um comprimento x, que foi projetado e 
inclui trechos retos e curvos, é possível considerar um ângulo equivalente às ondulações 
do trecho, kα x.
A força de protensão num ponto de abscissa x é dada por:
P ≅ P��1 − μ�α + k�X�� Eq. 3.2.9
k = k�μ Eq. 3.2.10
Resultando
P ≅ P��1 − μα − kx� Eq. 3.2.11
Na NBR6118/2003 são encontrados os valores abaixo para o coeficiente μ, caso não 
haja dados experimentais:
 » μ = 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha); 
 » μ = 0,30 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica; 
 » μ = 0,20 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica; 
 » μ = 0,10 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada; 
 » μ = 0,05 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada. 
μ: coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha (μ é 1/radianos ou rad-1)
O coeficiente de perda por metro é dado por k, é ocasionado por curvaturas que não são 
propositais do cabo. 
Caso não existam dados experimentais, é permitido que se adote k=0,01 μ (1/m ou m-1). 
Na tabela 19, são encontrados alguns valores para μ e k.
Tabela 19. Coeficientes μ e k segundo o CEB e o ACI.
Cabos em dutos de concreto
0,50 0,005 CEB
0,15 a 0,25 0,0033 a 0,0049 ACI
Cordoalhas em bainha metálica
0,20 0,002 CEB
0,15 a 0,25 0,00066 ACI
50
UNIDADE III │ LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO
Monocordoalhas engraxadas
0,20 0,002 CEB
0,05 a 0,15 0,00066 ACI
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
Calcula-se o valor da força de protensão nas extremidades de cada trecho através da 
força que foi definida para a extremidade inicial do trecho calculado. 
Em geral, considera-se que, em cada trecho, pode-se aproximar o diagrama da força 
por uma variação. 
Perda por acomodação das cunhas 
de ancoragem 
Em geral, se realiza a ancoragem do cabo por meio de encunhamento individual das 
cordoalhas. 
Ele ocorre juntamente com o recuo do cabo (δ), que é da ordem de alguns mm, 
ocasionando na diminuição da força de protensão, numa região de comprimento x 
renta à ancoragem, e impulsionando forças de atrito em sentido oposto aos da operação 
de protensão. 
Na figura 29, são vistas muitas situações que são possíveis de acontecer com a acomodação 
nas ancoragens de um cabo simétrico, protendido juntamente pelas suas extremidades.
Figura 28.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
51
LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO │ UNIDADE III
São utilizados dois métodos para o cálculo da influência do encunhamento. O primeiro 
processo de cálculo é de simples interpretação e entendimento, fácil e de utilidade prática.
Já o segundo é o método de cálculo bem mais aprimorado, trabalhado e preciso.
1° Método 
Utilizando a figura 29 como exemplo, será aqui estudado o efeito do encunhamento, o 
qual pode ser realizado segundo procedimento listado abaixo:
a. Determinar Aδ = δ Ep. 
b. Determinar a área do triângulo (P0P1A) = A1. 
Figura 29.
Fonte: (França et al, 2016).
b.1. Caso A1 ≥ Aδ, a influência do encunhamento será restringida ao trecho 
curvo inicial e pode ser considerada a área da figura 30 (P0PP01=Aδ), 
ocasionando:
A� =
2�P� − P�x
2 =
P��μα + ka��x�
a�
 Eq. 3.2.12
x = � A�a�P��μα + ka�� Eq. 3.2.13
P = P� +
P� − P�
a� x
 Eq. 3.2.14
52
UNIDADE III │ LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO
P�� = 2P − P� Eq. 3.2.15
b.2. Se A1 ≤ Aδ, a influência do recuo na ancoragem vai além de P1 e 
deve-se passar para o item c;
c. Determinar a área da figura 30 (P0P1P2BC) = A2;
Figura 30.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
c.1. Caso A2 ≥Aδ, a extensão da influência do encunhamento é dada por:
[área da figura (P0P1PP11P01)] = Aδ
Originando;
2�P� − P� ��� + a�� = 2P�ky �
�
� + A�� = A� − A� Eq. 3.2.16
A partir dessa equação é obtido o valor de y e, consequentemente, x, de 
P11 e P01;
c.2. Caso A2 < Aδ, o encunhamento afetará todo o cabo, como na figura 
31. A força de protensão é calculada segundo a equação 3.2.17 (caso C):
2∆P�a� + a�� = A� − A� Eq. 3.2.17
53
LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO │ UNIDADE III
Figura 31.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
Nos cabos protendidos cuja ancoragem é fixa na outra extremidade, o diagrama de força 
de protensão é possível de ser construído, pela extremidade que ganha a protensão, 
utilizando-se do método anterior. 
2° Método
a. Caso A, em que x < a1
Figura 32.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
54
UNIDADE III │ LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO
O recuo do cabo é calculado dividindo-se a área da figura 33 hachurada 
pela rigidez normal. Temos:
P��μα + ka��a�
2 + P�k�x − a�� �a� +
x − a�
2 � = δ
E�A�
2Eq. 3.2.18
Logo
x = �E�A�δ − �P� − P��a� + P�ka�
�
P�k Eq. 3.2.19
P = P��1 − k�x − a��� Eq. 3.2.20
P�� = 2P − P� Eq. 3.2.21
P�� = 2P − P� Eq. 3.2.22
b. Caso C em que (x = a1 + a2)
Figura 33.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
Tem-se:
�P� − P��a�
2 + �P� − P�� �a� +
a�
2 � + ∆P�a� + a�� = δ2
E�A�
2 Eq. 3.2.23
Ou 
∆P =
E�A� δ2 −
P� − P�2 a� − �P� − P�� �a� +
a�2 �
a� + a�
 Eq. 3.2.24 
55
LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO │ UNIDADE III
P�� = 2P� − P� − 2∆P Eq. 3.2.25
P�� = 2P� − P� − 2∆P Eq. 3.2.26
P�� = P� − 2∆P Eq. 3.2.27
Perda de protensão por encurtamento do concreto 
durante a fase de protensão dos cabos (concreto 
protendido com armadura pós-tracionada)
Figura 34.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
Observe a seção transversal detalhada, na figura acima, de uma viga protendida com 
armadura pós-tracionada, formada de 5 cabos (n = 5). 
Em geral, a protensão total é conseguida esticando, de forma sequencial, um cabo de 
cada vez numa soma total de cinco operações. 
A protensão de um cabo provoca uma deformação imediata do concreto e, portanto, 
afrouxamento dos cabos anteriormente protendidos. 
Perdas progressivas em armaduras aderentes 
Sendo as operações de protensão da peça de concreto protendido finalizadas, são 
injetados nos cabos uma nata de cimento, é ela que promove a aderência entre a 
armadura de protensão e o concreto. 
Supõe-se que a aderência é total, ou seja, perfeita e por isso se pode admitir que as 
deformações adicionais no concreto e na armadura de protensão são iguais. 
56
UNIDADE III │ LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO
A fluência, a retração do concreto e a relaxação da armadura de protensão são 
responsáveis por provocar as perdas progressivas. A fluência e a relaxação expõem a 
ação do tempo nos fatores de tensões e deformações. 
A partir da figura 36, tentaremos aqui descrever uma experiência que caracterize 
o fenômeno da relaxação e o fenômeno da fluência. Observe a barra AB, onde é 
aplicado um alongamento permanente no instante t0 e é aplicada uma a força de 
tração permanente de valor P0 que, logo, esta será aplicada de forma constante ao 
longo do tempo. 
Nesse instante t0 o alongamento inicial é dado por a0. Para materiais que têm tendência 
a sofrer fluência, este alongamento é aumentado com o passar do tempo com um valor 
assintótico a∞. A fluência provoca a elevação da deformação sob tensão constante.
Figura 35.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
A partir da figura 37, tentaremos aqui descrever uma experiência que caracterize 
o fenômeno da relaxação. Observe a barra AB, onde é aplicado um alongamento 
permanente no instante t0, esse alongamento possui um valor a0 que permanece 
constante ao longo do tempo. 
Para que isto ocorra, é preciso que se aplique uma força de tração de intensidade Pi. 
Para materiais viscoelástico, há a redução dessa força à medida que o tempo passa, 
para um valor assintótico P∞. A viscoelasticidade proporciona, neste caso, a redução da 
tensão sob deformação constante, a esse fenômeno denominamos de relaxação.
57
LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO │ UNIDADE III
Figura 36.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
Admite-se aqui que o tempo tem um efeito sobre a peça de concreto protendido e 
decorra em condições que são próximas à da fluência pura no concreto e da relaxação 
pura na armadura de protensão. 
Para o concreto, as solicitações de caráter permanente são ocasionadas pela carga 
permanente (constante) e em termos de protensão há uma variação muito pequena; 
deformações adicionais aqui são muito parecidas com a fluência pura, essas deformações 
são geradas pelas tensões normais correspondentes no concreto.
É aplicada na armadura uma grande deformação inicial com o objetivo de conseguir a 
força de protensão, ela se mantém quase que constante em todo o tempo, ocasionando 
perdas de tensão assemelhando-se à relaxação pura.
Perdas por retração no concreto (Shrinkage Δσp,s)
Figura 37.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
58
UNIDADE III │ LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO
A deformação por retração (εcs) trata da diminuição de temperatura entre 15°C a 38°C. 
Quanto à umidade relativa do ambiente (U), caso a umidade relativa do ar seja reduzida, 
a retração sofre uma elevação. 
Quanto à consistência do concreto no lançamento, se houver uma elevação da porosidade 
ocorrerá um aumento do índice de vazios.
Figura 38.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
Caso a idade fictícia do concreto no instante (to) da aplicação da carga seja reduzida, 
haverá a elevação da retração.
Figura 39.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
∆σ� =
E��
β Eq. 3.2.28
β é um fator de correção ( ≥1,0 ), pode ser usado β=1 a favor da segurança.
59
LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO │ UNIDADE III
Perdas por fluência do concreto, (Creep εcc)
Figura 40.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
∆l� = φ�t�, t�∆l� Eq. 3.2.29
� =
∆l�
l Eq. 3.2.30
ε�� = φ�t�, t�ε� Eq. 3.2.31
Figura 41.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
Figura 42.
Fonte: (FRANÇA et al, 2016).
60
UNIDADE III │ LIMITES DE SOLICITAÇÃO E INTRODUÇÃO ÀS PERDAS DE PROTENSÃO
σ����� = ���� e� −
���
��
− ���������� e�� Eq. 3.2.32 
σ����� = ���� e� −
���
��
�1 + e�� ���� � Eq. 3.2.33 
�1 + e�� ���� � = η Eq. 3.2.34 
��� = 	 �
positivo
� � + �
negativo
�� � Eq. 3.2.35 
∆σ��� ≅ ����������� Eq. 3.2.36 
 Eq. 3.2.32��� =
��
��
e� − ����� − �
�������
��
e�� Eq. 3.2.32 
σ����� = ���� e� −
���
��
�1 + e�� ���� � Eq. 3.2.33 
�1 + e�� ���� � = η Eq. 3.2.34 
��� = 	 �
positivo
� � + �
negativo
�� � Eq. 3.2.35 
∆σ��� ≅ ����������� Eq. 3.2.36 
 Eq. 3.2.33
σ����� = ���� e� −
���
��
− ���������� e�� Eq. 3.2.32 
σ����� = ���� e� −
���
��
�1 + e�� ���� � Eq. 3.2.33 
�1 + e�� ���� � = η Eq. 3.2.34 
��� = 	 �
positivo
� � + �
negativo
�� � Eq. 3.2.35 
∆σ��� ≅ ����������� Eq. 3.2.36 
 Eq. 3.2.34
σ����� = ���� e� −
���
��
− ���������� e�� Eq. 3.2.32 
σ����� = ���� e� −
���
��
�1 + e�� ���� � Eq. 3.2.33 
�1 + e�� ���� � = η Eq. 3.2.34 
��� = 	 �
positivo
� � + �
negativo
�� � Eq. 3.2.35 
∆σ��� ≅ ����������� Eq. 3.2.36 
 Eq. 3.2.35
σ����� = ���� e� −
���
��
− ���������� e�� Eq. 3.2.32 
σ����� = ���� e� −
���
��
�1 + e�� ���� � Eq. 3.2.33 
�1