Modelagem Maqinas 1 (4)

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Modelagem de Máquinas Elétricas 
 
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gerada podem ser expressos explicitamente como a tendência de dois campos 
magnéticos a se alinhar, do mesmo modo que imãs permanentes tendem a se 
alinhar, e a tensão gerada pode ser expressa em termos do movimento relativo entre 
um campo e um enrolamento. Essas expressões levam a uma descrição física 
simples do comportamento normal das máquinas elétricas em regime permanente. 
 
1.8.1 PONTO DE VISTA DO CIRCUITO ACOPLADO 
 
Considera-se a máquina elementar de entreferro uniforme da figura 1.40 com 
um enrolamento no estator e um no rotor, em que  m é o ângulo mecânico entre os 
eixos dos dois enrolamentos. Esses enrolamentos estão distribuídos por um dado 
número de ranhuras de modo que suas ondas de fmm possam ser aproximadas por 
senóides espaciais. Na figura 1.40, item a), os lados das bobinas s, -s e r, -r marcam 
as posições dos centros dos feixes de condutores constituídos pelos enrolamentos 
distribuídos. Um outro modo de se desenhar estes enrolamentos está mostrado na 
figura 1.40, item b), que também mostra os sentidos de referência para as tensões e 
as correntes. Assume-se aqui que uma corrente com o sentido da seta produz um 
campo magnético no entreferro também com o sentido da seta, de modo que uma 
única seta define os sentidos de referência da corrente e do fluxo. 
 
Figura 1.40: Máquina elementar de dois polos com entreferro uniforme: a) distribuição de 
enrolamentos e b) representação esquemática. 
 
O estator e o rotor são cilindros concêntricos e as aberturas das ranhuras são 
desprezadas. Consequentemente, o modelo elementar não inclui os efeitos dos 
polos salientes. Supõe-se também que as relutâncias dos ferros do estator e do rotor 
são desprezíveis. Finalmente, embora a figura 1.40 mostre uma máquina de dois 
polos, os desenvolvimentos seguintes serão feitos para o caso geral de uma 
máquina de múltiplos polos, substituindo  m pelo ângulo elétrico do rotor 
 me = (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 )  m (1.78) 
Com base nessas suposições, pode-se ver que as indutâncias próprias Lcc e 
Lrr do estator e do rotor são constantes, mas a indutância mútua entre o estator e o 
rotor depende do ângulo elétrico  me entre os eixos magnéticos dos enrolamentos 
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do estator e do rotor. A indutância mútua está em seu máximo positivo quando  me 
= 0 ou 2 𝜋, é zero quanto  me =  𝜋 / 2, e está em seu máximo negativo quando  me 
=  𝜋. Supondo ondas senoidais de fmm e um entreferro uniforme, a distribuição 
espacial do fluxo de entreferro é senoidal, e a indutância mútua será da forma 
Ler ( me) = Ler cos ( me) (1.79) 
em que a letra manuscrita L denota uma indutância que é função do ângulo elétrico 
 me. A letra maiúscula L denota um valor constante. Assim, Ler é o valor da 
indutância mútua; seu valor é máximo quando os eixos magnéticos do estator e do 
rotor estão alinhados ( me = 0). Em termos de indutâncias, os fluxos concatenados 
e er do estator e do rotor são 
e = Lee ie + Ler (me) ir = Lee ie + Ler cos (me) ir (1.80) 
r = Ler (me) ie + Lrr ir = Ler cos (me) ie + Lrr ir (1.81) 
Em notação matricial 
[
𝑒
𝑟
] = [
𝐿𝑒𝑒
L𝑒𝑟(𝜃𝑚𝑒 )
 
L𝑒𝑟(𝜃𝑚𝑒)
𝐿𝑟𝑟
] [
𝑖𝑒
𝑖𝑟
] (1.82) 
As tensões 𝑣e e 𝑣r dos terminais são 
𝑣e = Re ie + 
𝑑𝑒
𝑑𝑡
 (1.83) 
𝑣r = Rr ir + 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 (1.84) 
em que Re e Rr são as resistências dos enrolamentos do estator e do rotor 
respectivamente. 
Quando o rotor está girando,  me deve ser tratado como uma variável. A 
diferenciação das equações (1.80) e (1.81), substituindo os resultados nas equações 
(1.83) e (1.84), leva a 
𝑣e = Re ie + Lee 
𝑑𝑖𝑒
𝑑𝑡
 + Ler cos (me) 
𝑑𝑖𝑟
𝑑𝑡
 – Ler ir sen (me) 
𝑑𝑚𝑒
𝑑𝑡
 (1.85) 
𝑣r = Rr ir + Lrr 
𝑑𝑖𝑟
𝑑𝑡
 + Ler cos (me) 
𝑑𝑖𝑟
𝑑𝑡
 – Ler ie sen (me) 
𝑑𝑚𝑒
𝑑𝑡
 (1.86) 
em que 
𝑑𝑚𝑒
𝑑𝑡
 =  me = (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 )  m (1.87) 
é a velocidade instantânea em radianos elétricos por segundo. Em uma máquina de 
dois polos (como a da figura 1.40),  m e  me são iguais aos valores instantâneos do 
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ângulo  m no eixo, e da velocidade  m no eixo, respectivamente. Em uma 
máquina de múltiplos polos, eles estão relacionados entre si por meio das equações 
(1.78) e (1.70). Os segundos e terceiros termos, nos segundos membros das 
equações (1.85) e (1.86), são tensões induzidas L (di / dt) como as induzidas em 
circuitos estacionários acoplados, tais como enrolamentos de transformadores. Os 
quartos termos são causados pelo movimento mecânico e são proporcionais à 
velocidade instantânea. São os termos das tensões de velocidade que 
correspondem à troca de potência entre os sistemas elétrico e mecânico. 
O conjugado eletromecânico pode ser obtido a partir da co-energia. Usando a 
equação que determina a co-eneriga em função da corrente 
𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
′ (i1, i2, ) = 
1
2
 L11 ()𝑖1
2 + 
1
2
 L22 () 𝑖2
2 + L12 () i1 i2 (1.88) 
tem-se 
𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
′ = 
1
2
 Lee 𝑖𝑒
2 + 
1
2
 Lrr 𝑖𝑟
2 + Ler ie ir cos me = 
1
2
 Lee 𝑖𝑒
2 + 
1
2
 Lrr 𝑖𝑟
2 + Ler ie ir cos 
((
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 ) 𝜃𝑚) 
(1.89) 
Observa-se que a co-energia da equação (1.89) foi expressa especificamente 
em termos do ângulo no eixo  m, porque a expressão do conjugado da equação 
(1.88) exige que o conjugado seja obtido a partir da derivada da co-energia em 
relação ao ângulo espacial  m e não em relação ao ângulo elétrico  me. 
campo = 
𝜕𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
′ (𝑖1 ,𝑖2 ,𝜃)
𝜕𝜃
 i1,i2 (1.90) 
Assim, a equação (1.90), 
campo = 
𝜕𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
′ (𝑖1 ,𝑖2 ,𝑚)
𝜕𝜃
 i1,i2 
= - (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 ) Ler ie ir sen (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 𝜃𝑚) = - (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 ) Ler ie ir sen  me 
(1.91) 
em que  é o conjugado eletromecânico que atua acelerando o rotor (isto é, 
conjugado positivo atua aumentando  m). O sinal negativo da equação (1.91) 
significa que o conjugado eletromecânico atua em um sentido tal que leva os 
campos magnéticos do estator e do rotor ao alinhamento. 
As equações (1.85), (1.86) e (1.91) são um conjunto de três equações que 
relacionam as variáveis elétricas 𝑣e, ie, 𝑣r, ir com as variáveis mecânicas  e  m. 
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Essas equações, junto com as restrições impostas às variáveis elétricas pelas 
redes conectadas aos terminais (fontes ou cargas e impedâncias externas), e as 
impostas ao rotor (conjugado aplicado e conjugados inercial, elástico e atrito), 
determinam o desempenho do dispositivo e suas características como dispositivo de 
conversão entre os sistemas elétricos e mecânicos. Essas equações diferenciais são 
não-lineares e de difícil solução, exceto em circunstâncias especiais. 
Agora considera-se uma máquina de entreferro uniforme com diversos 
enrolamentos de estator e rotor. Os mesmos princípios gerais, que se aplicam ao 
modelo elementar da figura 1.40, aplicam-se também à máquina de múltiplos 
enrolamentos. Cada enrolamento tem a sua indutância própria em particular como 
indutâncias mútuas com outros enrolamentos. As indutâncias próprias e mútuas 
entre pares de enrolamentos do mesmo lado do entreferro são constantes, supondo-
se um entreferro uniforme e saturação magnética desprezível. Entretanto, as 
indutâncias mútuas entre pares de enrolamentos de estator e rotor variam 
proporcionalmente ao cosseno do ângulo entre os seus eixos magnéticos. O 
conjugado resulta da tendência do campo magnético dos enrolamentos do rotor a se 
alinhar com o dos enrolamentos do estator. Pode ser expresso pela soma dos 
termos como o da equação (1.91). 
Sob condições equilibradas, uma máquina síncrona de quatro polos produz 
conjugado constante quando a velocidade angular de rotação é igual à metade da 
frequência elétrica de excitação. Esse resultado pode ser generalizado resultando 
que, sob condições equilibradas de operação, uma máquinasíncrona multifásica e 
de múltiplos polos produzirá conjugado constante na velocidade de rotor em que 
este gira em sincronismo com a onda girante de fluxo produzida pelas correntes do 
estator. Por isso, ela é conhecida como velocidade síncrona da máquina. Das 
equações (1.64) e (1.65), a velocidade síncrona é igual a  s = (2 / polos)  e em 
rad/s ou ns = (120 / polos) 𝑓e em rpm. 
 
1.8.2 PONTO DE VISTA DO CAMPO MAGNÉTICO 
 
No item 1.8.1, as características de uma máquina rotativa vista de seus 
terminais elétricos e mecânicos foram expressas em termos de suas indutâncias de 
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enrolamento. Neste item vai-se explorar uma formulação alternativa em termos dos 
campos magnéticos interatuantes. 
As correntes nos enrolamentos da máquina criam fluxo magnético entre o 
estator e o rotor, sendo que os caminhos de fluxo são completados através do ferro 
do estator e do rotor. Essa condição corresponde ao surgimento de polos 
magnéticos em ambos, estator e rotor, centrados em seus respectivos eixos 
magnéticos, como mostrado na figura 1.41, item a) para uma máquina de dois polos 
com entreferro uniforme. O conjugado é produzido pela tendência dos dois campos 
magnéticos componentes a alinhar os seus eixos magnéticos. Isso é muito 
semelhante à situação de duas barras magnéticas pivotadas em seus centros no 
mesmo eixo. Haverá um conjugado, proporcional ao deslocamento angular entre as 
barras magnéticas, que atuará de modo a alinhá-los. Na máquina da figura 1.41, 
item a), o conjugado resultante é proporcional ao produto das amplitudes das ondas 
de fmm do estator e do rotor e é também uma função do ângulo  er, medido desde o 
eixo da onda de fmm do estator até o do rotor. De fato, será mostrado que, em uma 
máquina de entreferro uniforme, o conjugado é proporcional a  er. 
 
Figura 1.41: Máquina de dois polos simplificada: a) modelo elementar e b) diagrama vetorial das 
ondas de fmm. O conjugado é produzido pela tendência a se alinhar dos campos magnéticos do rotor 
e do estator. Ressalta-se que essas figuras são desenhadas com  er positivo, isto é, com a onda de 
fmm do rotor 𝑭r à frente da 𝑭e do estator. 
 
Em uma máquina típica, a maioria do fluxo produzido pelos enrolamentos de 
estator e rotor cruzam o entreferro e acoplam ambos os enrolamentos. Isso é 
chamado de fluxo mútuo, em analogia direta com o fluxo mútuo ou de magnetização 
de um transformador. Entretanto, uma parte do fluxo produzido pelos enrolamentos 
do rotor e do estator não cruzam o entreferro, em analogia ao fluxo de dispersão de 
um transformador. Esses componentes de fluxo são conhecidos como fluxo de 
dispersão do rotor e fluxo de dispersão do estator. Os componentes desse fluxo de 
dispersão incluem fluxos dispersivo de ranhura e de topo de dente, fluxo dispersivo 
de terminação de espira, e harmônicas espaciais no campo de entreferro. 
Apenas o fluxo mútuo é de interesse direto para a produção de conjugado. 
Entretanto, os fluxos de dispersão afetam de fato o desempenho das máquinas, 
devido às tensões que eles induzem em seus respectivos enrolamentos. Seus 
efeitos sobre as características elétricas são explicados por meio de indutâncias, de 
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forma análoga ao uso da inclusão de indutâncias de dispersão nos modelos de 
transformadores. 
Quando se expressa o conjugado em termos de correntes de enrolamento ou 
de suas fmms correspondentes, as expressões resultantes não incluem termos que 
contenham indutâncias de dispersão. A análise será então em termos do fluxo mútuo 
resultante. Será desenvolvida uma expressão para a co-energia magnética 
armazenada no entreferro em termos das fmms de estator e rotor e do ângulo  er 
entre seus eixos magnéticos. O conjugado pode então ser obtido a partir da derivada 
parcial da co-energia em relação ao ângulo  er. 
Para simplificar a análise, se suporá que o comprimento radial g do entreferro 
(o espaço livre entre o rotor e o estator) seja pequeno, quando comparado com o 
raio do rotor ou do estator. Em uma máquina com entreferro uniforme, construída 
com aço elétrico de permeabilidade magnética elevada, é possível mostrar que 
resultará um fluxo de entreferro orientado basicamente em forma radial, e que há 
uma diferença relativamente pequena entre as densidades de fluxo na superfície do 
rotor, na superfície do estator, ou a qualquer distância radial intermediária no 
entreferro. O campo no entreferro pode então ser representado como um campo 
radial Hg ou Bg, cuja intensidade varia com o ângulo ao redor da periferia. A integral 
de linha de Hg através do entreferro é então simplesmente Hg g e é igual à fmm 
resultante 𝐹er de entreferro produzida pelos enrolamentos de estator e rotor, assim: 
Hg g = 𝐹er (1.92) 
em que 𝐹 denota a onda de fmm em função do ângulo ao redor da periferia. 
As ondas de fmm do estator e do rotor são ondas senoidais nas quais  er é o 
ângulo de fase entre seus eixos magnéticos em graus elétricos. Elas podem ser 
representadas pelos vetores espaciais 𝐹e e 𝐹r desenhadas ao longo dos eixos 
magnéticos das ondas de fmm do estator e do rotor respectivamente, como na figura 
1.41, item b). A fmm resultante 𝐹er, também uma onda senoidal que atua no 
entreferro, é a soma vetorial delas. Da fórmula trigonométrica da diagonal de um 
paralelogramo, o valor de pico é obtido de 
𝐹𝑒𝑟
2 = 𝐹𝑒
2 + 𝐹𝑟
2 + 2 𝐹e 𝐹r cos  er (1.93) 
em que os 𝐹s são os valores de pico das ondas de fmm. O campo radial resultante 
Hg é uma onda senoidal, cujo valor de pico Hg,pico é da equação (1.92) 
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(Hg) pico = 
𝐹𝑒𝑟
𝑔
 (1.94) 
Agora, considera-se a co-energia do campo magnético armazenada no 
entreferro 
𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
′ = ∫
𝐻2
2
 
𝑉
 dV (1.95) 
a densidade de co-energia em um ponto, em que a intensidade de campo magnético 
é H, é (0 / 2) H
2 em unidade do SI. Assim, a densidade média de co-energia em 
todo o volume do entreferro é 0 / 2 vezes o valor médio de 𝐻𝑔
2. O valor médio do 
quadrado de uma onda senoidal é a metade de seu valor de pico. Assim, 
Densidade média de co-energia = 
0
2
 (
(𝐻𝑔 )𝑝𝑖𝑐𝑜
2
2
) = 
0
4
 (
𝐹𝑒𝑟
𝑔
 )
2
 (1.96) 
A co-energia total é obtida então como sendo 
𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
′ = (densidade de co-energia) (volume de entreferro) 
= 
0
4
 (
𝐹𝑒𝑟
𝑔
 )
2
𝜋 D l g = 
0 𝜋 𝐷 𝑙
4 𝑔
 𝐹𝑒𝑟
2 
(1.97) 
em que 𝑙 é o comprimento axial do entreferro e D é o seu diâmetro médio. 
Da equação (1.93), a co-energia armazenada no entreferro pode ser expressa 
agora em termos das amplitudes de pico das ondas de fmm de estator e rotor e do 
ângulo de fase espacial entre elas; assim 
𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
′ = 
0 𝜋 𝐷 𝑙
4 𝑔
 (𝐹𝑒
2 + 𝐹𝑟
2 + 2 𝐹e 𝐹r cos  er) (1.98) 
Verificando que manter uma fmm constante é equivalente a manter uma 
corrente constante, uma expressão para o conjugado eletromecânico  pode ser 
obtida agora, em termos dos campos magnéticos interaturantes, calculando-se a 
derivada parcial da co-energia do campo em relação ao ângulo. Para uma máquina 
de dois polos 
campo = 
𝜕𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
′
𝜕𝑒𝑟
 𝐹e, 𝐹r 
= - (
0 𝜋 𝐷 𝑙
2𝑔
 ) 𝐹e 𝐹r sen  er 
(1.99) 
A expressão geral para o conjugado de uma máquina de múltiplos polos é 
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 = - (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 ) (
0 𝜋 𝐷 𝑙
2 𝑔
 ) 𝐹e 𝐹r sen  er (1.100) 
nessa equação,  er é o ângulo de fase espacial entre as ondas de fmm do rotor e do 
estator e o conjugado  atua no sentido em que o rotor é acelerado. Assim, quando 
 er é positivo, o conjugado é negativo e a máquina está funcionando como gerador. 
De modo semelhante, um valor negativo de  er corresponde a um conjugado 
positivo e, correspondentemente, funciona como motor. 
Essa importante equação exprime que o conjugado é proporcional aos 
valores de picodas ondas de fmm 𝐹e e 𝐹r do estator e do rotor, e ao seno do ângulo 
elétrico de fase espacial  er entre elas. O sinal de menos significa que os campos 
tendem a se alinhar entre si. Conjugados iguais e opostos são exercidos sobre o 
estator e o rotor. O conjugado sobre o estator é transmitido através da carcaça da 
máquina à fundação. 
Agora, pode-se comparar os resultados da equação (1.100) com os da 
equação (1.91). Verificando que 𝐹e é proporcional a ie e 𝐹r é proporcional a ir, pode-
se ver que são semelhantes na forma. De fato, eles devem ser iguais, como pode 
ser verificado substituindo-se 𝐹e, 𝐹e e Ler por expressões apropriadas. Observa-se 
que esses resultados foram deduzidos supondo que a relutância do ferro fosse 
desprezível. No entanto, as duas técnicas são igualmente válidas para uma 
permeabilidade finita do ferro. 
Referindo-se à figura 1.41, item b) pode-se ver que 𝐹r sen  er é a componente 
da onda 𝐹r em quadratura elétrica espacial com a onda 𝐹e. De modo semelhante, 𝐹e 
sen  er é a componente da onda 𝐹e em quadratura com a onda 𝐹r. Assim, o 
conjugado é proporcional ao produto de um campo magnético pela componente do 
outro em quadratura consigo, muito semelhante ao produto vetorial da análise 
vetorial. Observa-se também que, na figura 1.41, item b) 
𝐹e sen  er = 𝐹er sen  r (1.101) 
𝐹r sen  er = 𝐹er sen  e (1.102) 
na qual, como visto na figura 1.40,  r é o ângulo medido desde o eixo da onda de 
fmm resultante até o eixo da onda de fmm do rotor. De modo semelhante,  e é o 
ângulo medido desde o eixo da onda de fmm do estator até o eixo da onda de fmm 
resultante. 
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O conjugado, que atua acelerando o rotor, pode então ser expresso em 
termos da onda de fmm resultante. Substituindo-se a equação (1.101) ou a equação 
(1.102) na equação (1.100), obtêm-se 
 = - (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 ) (
0 𝜋 𝐷 𝑙
2 𝑔
 ) 𝐹e 𝐹er sen  e (1.103) 
 = - (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 ) (
0 𝜋 𝐷 𝑙
2 𝑔
 ) 𝐹r 𝐹er sen  r (1.104) 
A comparação das equações (1.100), (1.103) e (1.104) mostra que o 
conjugado pode ser expresso em termos dos campos magnéticos componentes 
devidos a cada corrente isoladamente, como na equação (1.100), ou em termos do 
campo resultante e de qualquer um dos componentes, como nas equações (1.103) e 
(1.104), desde que se use o ângulo correspondente entre os eixos dos campos. 
Nas equações (1.100), (1.103) e (1.104), os campos foram expressos em 
termos dos valores de pico de suas ondas de fmm. Quando se despreza a saturação 
magnética, os campos podem, naturalmente, ser expressos em termos dos valores 
de pico de suas ondas de densidade de fluxo, ou em termos do fluxo total por polo. 
Assim, o valor de pico Bg de campo devido a uma onda de fmm distribuída 
senoidalmente em um entreferro uniforme de máquina é 0 𝐹g,pico / g, em que 𝐹g,pico é 
o valor de pico da onda de fmm. Por exemplo, a fmm resultante 𝐹er produz uma onda 
de densidade de fluxo resultante cujo valor de pico é Ber = 0 𝐹er / g., assim, 𝐹er = g 
Ber / 0 e, substituindo na equação (1.104), obtém-se 
 = - (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 ) (
𝜋 𝐷 𝑙
2 𝑔
 ) Ber 𝐹r sen  r (1.105) 
Uma das limitações inerentes ao projeto de aparelhos eletromagnéticos é a 
densidade de fluxo de saturação dos materiais magnéticos. Devido à saturação nos 
dentes da armadura, o valor de pico Ber da onda de densidade de fluxo resultante no 
entreferro é limitado a cerca de 1,5 a 2,0 T. O valor máximo admissível para a 
corrente de enrolamento, e consequentemente a correspondente onda de fmm, é 
limitado pela elevação de temperatura do enrolamento e por outros requisitos do 
projeto. Como a densidade de fluxo resultante e a fmm aparecem explicitamente na 
equação (1.105), essa equação está em uma forma conveniente aos propósitos de 
projeto. Ela pode ser usada para estimar o conjugado máximo que é possível de se 
obter com uma máquina de um dado tamanho. 
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Formas alternativas da equação de conjugado surgem quando se verifica 
que o fluxo resultante por polo é 
p = (valor médio de B em um polo) (área do polo) (1.106) 
e que o valor médio de uma senóide no intervalo de meio comprimento de onda é 2 / 
𝜋 vezes o seu valor de pico. Assim, 
p = 
2
𝜋
 Bpico (
𝜋 𝐷 𝑙
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
 ) = (
2 𝐷 𝑙
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
 ) Bpico (1.107) 
em que Bpico é o valor de pico da respectiva onda de densidade de fluxo. Por 
exemplo, usando o valor de pico do fluxo resultante Ber e substituindo a equação 
(1.107) na equação (1.105), obtém-se 
 = - 
2
𝜋
 (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 ) 2  er 𝐹r sem  r (1.108) 
em que  er é o fluxo por polo resultante que é produzido pelo efeito combinado das 
fmms do estator e do rotor. 
 Revisando, tem-se diversas formas para expressar o conjugado de uma 
máquina de entreferro uniforme em termos de seus campos magnéticos. Todas são 
simplesmente expressões que o conjugado é proporcional ao produto dos módulos 
dos campos interatuantes, e ao seno do ângulo espacial elétrico entre os seus eixos 
magnéticos. O sinal negativo indica que o conjugado eletromecânico atua em um 
sentido tal que a distância angular entre os campos diminui. Neste estudo a equação 
(1.108) será a forma preferida. 
Durante a dedução, não houve restrições em relação as ondas de fmm ou de 
densidade de fluxo estacionárias no espaço. Elas podem permanecer estacionárias 
ou serem ondas em deslocamento. Como foi visto, se os campos magnéticos do 
estator e do rotor forem constantes em amplitude e se deslocarem ao redor do 
entreferro na mesma velocidade, um conjugado constante será produzido pela 
tendência dos campos do estator e do rotor a se alinhar entre si de acordo com as 
equações do conjugado. 
 
1.9 MÁQUINAS LINEARES 
 
Em geral, cada um dos tipos de máquina discutidos aqui pode ser produzido 
em versões lineares, além das versões rotativas que comumente são encontradas. 
Talvez o uso mais largamente conhecido dos motores lineares seja no campo dos 
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transportes. Nessas aplicações, motores de indução lineares são usados. 
Tipicamente o estator CA está no veículo em movimento, e um rotor estacionário 
condutor constitui os trilhos. Nesses sistemas, além de propiciar a propulsão, as 
correntes induzidas nos trilhos podem ser usadas para produzir levitação, 
oferecendo assim um mecanismo de transporte a alta velocidade, sem as 
dificuldades associadas com as interações que ocorrem entre as rodas e os trilhos 
no transporte mais convencional efetuado com trilhos. 
Os motores lineares também encontraram aplicação na indústria de máquinas 
de ferramentas e em robótica onde o movimento linear (necessário para o 
posicionamento e a operação de manipuladores) é um requisito comum. 
Acrescentando, as máquinas alternativas (recíprocas) lineares estão sendo 
construídas para o acionamento de compressores e alternadores recíprocos. 
A análise de máquinas lineares é muito similar à das máquinas rotativas. Em 
geral, dimensões e distâncias lineares substituem as angulares, e forças substituem 
os conjugados. Com essas exceções, as expressões para os parâmetros de 
máquina são desenvolvidas de modo análogo aos apresentados aqui para as 
máquinas rotativas, e os resultados são semelhantes em forma. 
Considerando o enrolamento linear, mostrado na figura 1.42, que consiste em 
N espiras por ranhura e conduz uma corrente i, é diretamente análogo ao 
enrolamento circular mostrado em forma desenvolvida na figura 1.31. De fato, a 
única diferença é a substituição angular  a pela linear z. 
 
Figura 1.42: A fmm e o campo H de um enrolamento linear concentrado de passo pleno. 
 
A componente fundamental da onda de fmm da figura 1.42 pode ser 
encontrada diretamente da equação (1.36) simplesmente verificando que esse 
enrolamento tem um comprimento de onda igual a  e que a componente 
fundamentaldessa onda de fmm varia de acordo com (2 𝜋 z / ). Assim, substituindo 
o ângulo  a na equação 1.36 por 2 𝜋 z / , pode-se obter a componente fundamental 
da onda de fmm diretamente como 
Hg1 = 
4
𝜋
 (
𝑁 𝑖
2 𝑔
 ) cos (
2𝜋 𝑧

 ) (1.109) 
Se uma máquina real tiver um enrolamento distribuído (similar a seu 
equivalente circular, mostrado na figura 1.26) consistindo em um total de Nfase 
Modelagem de Máquinas Elétricas 
 
61 
 
 
61 
espiras distribuídas em p períodos ao longo do eixo z (isto é, em um comprimento 
de p ), a componente fundamental de Hg pode ser encontrada, por analogia com a 
equação (1.38), como sendo 
Hg1 = 
4
𝜋
 (
𝑘𝑒𝑛𝑟 𝑁𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖
2 𝑝 𝑔
 ) cos (
2𝜋 𝑧

 ) (1.110) 
em que kenr é o fator de enrolamento. 
Um enrolamento trifásico linear pode ser construído a partir de três 
enrolamentos como os da figura 1.37. Cada fase está deslocada em posição de uma 
distância  / 3, e as fases são excitadas por correntes trifásicas equilibradas de 
frequência angular  e 
ia = Im cos  e t (1.111) 
ib = Im cos ( e t – 120º) (1.112) 
ic = Im cos ( e t + 120º) (1.113) 
Seguindo o desenvolvimento das equações (1.50) até (1.62), pode-se 
constatar que haverá uma única fmm progressiva positiva que pode ser escrita 
diretamente da equação (1.62), simplesmente substituindo  a por 2 𝜋 z /  
F+ (z, t) = 
3
2
 𝐹max cos (
2 𝜋 𝑧
𝛽
− 𝑤𝑒 𝑡) (1.114) 
em que 𝐹max é dada por 
𝐹max = 
4
𝜋
 (
𝑘𝑒𝑛𝑟 𝑁𝑓𝑎𝑠𝑒 
2 𝑝
 ) Im (1.115) 
Da equação (1.114), pode-se ver que o resultado é uma onda de fmm que se 
desloca na direção z com uma velocidade linear 
𝑣= 
𝑤𝑒 
2 𝜋
 = 𝑓e  (1.116) 
em que 𝑓e é a frequência de excitação em Hertz. 
 
1.10 SATURAÇÃO MAGNÉTICA 
 
As características das máquinas elétricas dependem em muito do uso de 
materiais magnéticos. Esses materiais são necessários para formar o circuito 
magnético e são usados pelos projetistas das máquinas para obter as características 
específicas delas. A maioria dos materiais magnéticos estão abaixo do ideal. À 
Modelagem de Máquinas Elétricas 
 
62 
 
 
62 
medida que o fluxo magnético é aumentado, eles começam a saturar, com o 
resultado de que suas permeabilidades magnéticas começam a diminuir, assim 
como a sua efetividade em contribuir à densidade de fluxo total da máquina. 
O conjugado eletromecânico e a tensão gerada em todas as máquinas 
dependem dos fluxos concatenados em seus enrolamentos. Para fmms específicas 
nos enrolamentos, os fluxos dependem das relutâncias das partes de ferro dos 
circuitos magnéticos e das relutâncias dos entreferros. Portanto, a saturação pode 
influenciar apreciavelmente as características das máquinas. 
Outro aspecto da saturação, mais sutil e difícil de ser avaliado sem 
comparações experimentais e teóricas, relaciona-se à influência da saturação sobre 
as premissas básicas a partir das quais a abordagem analítica das máquinas é 
desenvolvida. Especificamente, as relações envolvendo a fmm de entreferro 
baseiam-se tipicamente na suposição de que a relutância do ferro é desprezível. 
Quando essas relações são aplicadas às máquinas na prática, com graus variados 
de saturação no ferro, erros significativos nos resultadas das análises podem ser 
esperados. Por essas razões, para aperfeiçoar tais relações analíticas, a máquina 
real pode ser substituída por uma máquina equivalente, uma cujo ferro tem 
relutância desprezível, mas cujo entreferro é aumentado de um valor suficiente para 
absorver a queda de potencial magnético no ferro da máquina real. 
Do mesmo modo, os efeitos das não uniformidades, tais como ranhuras e os 
condutos de ventilação, também podem ser incorporados aumentando-se o 
comprimento efetivo do entreferro. No final, essas diversas técnicas de aproximação 
devem ser verificadas e confirmadas experimentalmente. Nos casos em que se 
constatar que essas técnicas simples são inadequadas, análises detalhadas, como 
as que empregam elementos finitos ou outras técnicas numéricas, podem ser 
usadas. No entanto, deve-se ter em mente que o uso dessas técnicas representam 
um aumento significativo da complexidade da modelagem. 
As características de saturação das máquinas rotativas são apresentadas 
tipicamente na forma de uma característica de circuito aberto ou vazio, também 
chamada curva de magnetização ou curva de saturação. Um exemplo está mostrado 
na figura 1.43. Essa característica representa a curva de magnetização para a 
geometria do ferro e do ar em particular da máquina sob análise. Para uma máquina 
síncrona, a curva de saturação de circuito aberto é obtida operando a máquina em 
velocidade constante e medindo a tensão de armadura do circuito aberto em função 
Modelagem de Máquinas Elétricas 
 
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63 
da corrente de campo. A linha reta tangente à porção inferior da curva é a linha de 
entreferro, correspondendo aos níveis baixos de fluxo dentro da máquina. Sob essas 
condições, a relutância do ferro da máquina é tipicamente desprezível, e a fmm 
necessária para excitar a máquina é simplesmente a necessária para superar a 
relutância do ar. Se não fosse pelos efeitos da saturação, a linha de entreferro e a 
característica de circuito aberto iriam coincidir. Assim, o afastamento entre a curva e 
a linha de entreferro é uma indicação do grau de saturação presente. Em máquinas 
típicas, na tensão nominal, a razão entre a fmm total e a requerida apenas pelo 
entreferro está usualmente entre 1,1 e 1,25. 
 
Figura 1.43: Curva característica de circuito aberto típica e linha de entreferro. 
 
Na fase de projeto, a característica de circuito aberto pode ser calculada a 
partir de técnicas de projeto de dados, como a análise de elementos finitos. Uma 
solução típica de elementos finitos para a distribuição de fluxo ao redor do polo de 
uma máquina de polos salientes está mostrada na figura 1.44. A distribuição do fluxo 
de entreferro obtida com essa solução, juntamente com as componentes 
fundamental e de terceira harmônica, está mostrada na figura 1.45. 
 
Figura 1.44: Solução de elementos finitos para a distribuição de fluxo ao redor de um polo saliente. 
 
Figura 1.45: Onda de densidade de fluxo correspondente à figura 1.35 com suas componentes 
fundamental e de terceira harmônica. 
 
Além dos efeitos de saturação, a figura 1.45 ilustra claramente o efeito de um 
entreferro não uniforme. Como esperado, a densidade de fluxo ao redor da face 
polar, onde o entreferro é pequeno, é muito mais elevada que nas regiões mais 
afastadas do polo. Esse tipo de análise detalhada é de grande utilidade para um 
projetista obter as propriedades específicas de uma máquina. 
Como foi abordado, a curva de magnetização de uma máquina síncrona 
existente pode ser determinada operando a máquina como um gerador sem carga, e 
medindo os valores de tensão nos terminais correspondentes a uma série de valores 
de corrente de campo. Para um motor de indução, a máquina é operada na, ou 
próxima da, velocidade síncrona (caso em que uma corrente muito baixa será 
induzida nos enrolamentos do rotor), e valores de corrente de magnetização são 
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obtidos para uma série de valores aplicados de tensão de estator. Deve ser 
enfatizado, no entanto, que a saturação em uma máquina totalmente sob carga 
ocorre como resultado da fmm total, que atua no circuito magnético. Como a 
distribuição de fluxo sob carga é diferente, em geral, de quando não há cargas, os 
detalhes das características de saturação da máquina podem ser diferentes da curva 
de circuito aberto da figura 1.43. 
 
1.11 FLUXOS DISPERSIVOS 
 
Em um transformador de dois enrolamentos, o fluxo criado por cada 
enrolamento pode ser decomposto em dois componentes. Um dos componentes 
consiste no fluxo que concatena ambos os enrolamentos, e o outro consiste no fluxo 
que concatena apenas o enrolamento que cria o fluxo.O primeiro componente, 
chamado de fluxo mútuo, é responsável pelo acoplamento das duas bobinas. O 
segundo, conhecido como fluxo dispersivo, contribui apenas à indutância própria de 
cada bobina. 
Observa-se que o conceito de fluxos mútuo e dispersivo é significativo apenas 
no contexto de sistemas de múltiplos enrolamentos. Para sistemas de três ou mais 
enrolamentos, a contabilidade deve ser feita com muito cuidado. Considerando-se, 
por exemplo, o sistema de três enrolamentos da figura 1.46, os vários componentes 
de fluxo, criados por uma corrente no enrolamento 1, estão mostrados 
esquematicamente. Aqui,  123 é claramente um fluxo mútuo que concatena todos os 
três enrolamentos, e  1d é claramente um fluxo dispersivo mútuo que concatena 
apenas o enrolamento 1. Entretanto,  12 é um fluxo mútuo com respeito ao 
enrolamento 2 e fluxo dispersivo em relação ao enrolamento 3, ao passo que  13 é 
fluxo mutuo com respeito ao enrolamento 3 e dispersivo em relação ao enrolamento 
2. 
 
Figura 1.46: Sistema de três bobinas mostrando os componentes de fluxo mútuo e dispersivo 
produzidos pela corrente na bobina 1. 
 
Frequentemente as máquinas elétricas contêm sistemas com múltiplos 
enrolamentos, exigindo uma contabilidade cuidadosa para explicar as contribuições 
Modelagem de Máquinas Elétricas 
 
65 
 
 
65 
de fluxo dos vários enrolamentos. É útil discutir esses efeitos de modo qualitativo e 
descrever como afetam as indutâncias básicas da máquina. 
 Fluxos de harmônicas espaciais no entreferro: embora as bobinas 
distribuídas isoladamente produzam fluxo de entreferro com uma quantidade 
significativa de conteúdo harmônico espacial, é possível distribuir esses 
enrolamentos de modo que a componente fundamental espacial seja enfatizada ao 
passo que os efeitos das harmônicas sejam grandemente reduzidos. Como 
resultado, pode-se desprezar os efeitos das harmônicas e considerar apenas os 
fluxos fundamentais espaciais ao deduzir as expressões de indutâncias próprias e 
mútua. 
Mesmo sendo frequentemente pequenas, as componentes harmônicas 
espaciais existem de fato. Em máquinas CC, elas constituem fluxos úteis produtores 
de conjugado e, portanto, podem ser contabilizadas como fluxo mútuo entre os 
enrolamentos do rotor e do estator. Em máquinas CA, entretanto, elas podem gerar 
tensões harmônicas no tempo ou ondas de fluxo que giram assincronamente. 
Geralmente, não há como incluí-las com rigor na maioria das análises comuns. No 
entanto, é consistente com as suposições básicas dessas análises constatar que 
esses fluxos formam uma parte do fluxo dispersivo dos enrolamentos individuais que 
os produzem. 
 Fluxo dispersivo de ranhura: a figura 1.47 mostra o fluxo criado por um 
único lado de uma bobina em uma ranhura. Observa-se que, além do fluxo que 
cruza o entreferro, contribuindo para o fluxo de entreferro, há componentes de fluxo 
que atravessam a ranhura. Como esse fluxo concatena apenas a bobina que o está 
produzindo, ele se constitui também em uma importante indutância de dispersão do 
enrolamento que o produz. 
 
Figura 1.47: Fluxo criado por um lado de uma bobina em uma ranhura. 
 
 Dispersão de cabeça de espira: a figura 1.48 mostra as terminações 
dos enrolamentos (cabeça) do estator em uma máquina CA. A distribuição do campo 
magnético criada pela cabeça das espiras é extremamente complexa. Em geral, 
esses fluxos não contribuem para o fluxo mútuo entre o rotor e o estator, 
contribuindo também, desse modo, para a indutância de dispersão. 
 
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66 
 
 
66 
Figura 1.48: Vista da extremidade do estator de um gerador a turbina 26 kV, 908 MVA e 3.600 rpm 
com enrolamentos refrigerados a água. Conexões hidráulicas para o fluxo de refrigeração são 
fornecidas para cada espira de terminação do enrolamento. 
 
Dessa discussão, vê-se que a expressão da indutância própria da equação 
L = 
4 0 𝑙 𝑟
𝜋 𝑔
 (
2 𝑘𝑒𝑛𝑟 𝑁𝑓𝑎𝑠𝑒 
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
 )
2
 = 
16 0 𝑙 𝑟
𝜋 𝑔
 (
𝑘𝑒𝑛𝑟 𝑁𝑓𝑎𝑠𝑒 
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
 )
2
 (1.117) 
deve, em geral, ser modificada por um termo adicional Ld, que representa a 
indutância de dispersão do enrolamento. Essa indutância de dispersão corresponde 
à indutância de dispersão de um enrolamento de transformador. Embora a 
indutância de dispersão seja usualmente difícil de ser calculada analiticamente e 
deva ser determinada por técnicas aproximativas ou empíricas, ela desempenha um 
papel importante no desempenho das máquinas. 
 
1.12 EXEMPLOS 
 
1.12.1 EXEMPLO 1.1 
 
Um gerador de 60 Hz síncrono trifásico de dois polos ligados em Y e rotor 
cilíndrico tem um enrolamento de campo com Nf espiras distribuídas e um fator de 
enrolamento kf. O enrolamento de armadura tem Na espiras por fase e fator de 
enrolamento ka. O comprimento do entreferro é g, e o raio médio do entreferro é r. o 
comprimento ativo do enrolamento de armadura é 𝑙. as dimensões e os dados do 
enrolamento são 
Nt = 68 espiras em série; 
Na = 68 espiras em série / fase; 
r = 0,53 m; 
𝑙 = 3,8 m; 
kf = 0,945; 
ka = 0,933; 
g = 4,5 cm. 
O rotor é acionado por uma turbina a vapor a uma velocidade de 3.600 rpm. 
Para uma corrente contínua de campo de If = 720 A, calcule 
a) A fmm fundamental de pico (𝐹g1)pico produzida pelo enrolamento de 
campo; 
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67 
 
 
67 
b) A densidade de fluxo fundamental de pico (Bg1)pico no entreferro; 
c) O fluxo fundamental por polo  p; 
d) O valor eficaz da tensão gerada em circuito aberto na armadura. 
 
Solução: 
a) Da equação (1.31), 
(𝐹g1) pico = 
4
𝜋
 (
𝑘𝑟 𝑁𝑟
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
) Ir = 
4
𝜋
 (
0,945 𝑥 68
2
) 720 = 
4
𝜋
 (32,1) 720 = 2,94 x 104 
Aespiras/polo 
b) Usando a equação (1.35) 
(Bg1)pico = 
 0(𝐹𝑔1)𝑝𝑖𝑐𝑜
𝑔
 = 
4 𝜋 𝑥 10−7 𝑥 2,94 𝑥 104 
4,5 𝑥 10−2 
 = 0,821 T 
Devido ao efeito das ranhuras que contém o enrolamento de armadura, a 
maioria do fluxo de entreferro está confinada aos dentes do estator. A densidade de 
fluxo dos dentes no centro de um polo é mais elevada que o valor calculado na parte 
b), provavelmente cerca de 2 vezes mais. Em um projeto detalhado, essa densidade 
de fluxo deve ser calculada para se determinar se os dentes estão excessivamente 
saturados. 
c) Usando a equação (1.68) 
p = 2 (Bg1)pico 𝑙 r = 2 (0,821) (3,8) (0,53) = 3,31 Wb 
d) Usando a equação (1.73) 
Eef,fase = 2 𝜋 𝑓me ka Na p = √2 𝜋 (60) (0,933) (18) (3,31) = 14,8 kV eficazes 
A tensão de linha, é, portanto 
Eef,linha = √3 (14,8) = 25,7 kV eficazes. 
 
1.12.2 EXEMPLO 1.2 
 
Um motor síncrono de quatro polos, operando a 1.800 rpm e 60 Hz tem um 
entreferro de 1,2 mm. O diâmetro médio do entreferro é 27 cm, e seu comprimento 
axial é 32 cm. O enrolamento do rotor tem 786 espiras e um fator de enrolamento de 
0,976. Supondo que razões térmicas limitem a corrente do rotor a 18 A, estime o 
conjugado e a potência de saída máximos que se pode esperar obter dessa 
máquina. 
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68 
Solução: 
Primeiro, pode-se determinar a fmm do rotor máxima a partir da equação 
(1.31), 
(𝐹r) max = 
4
𝜋
 (
𝑘𝑟 𝑁𝑟
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
) (Ir)max = 
4
𝜋
 (
0,976 𝑥 786
2
) 18 = 
4
𝜋
 (32,1) 720 = 4.395 A 
espiras/polo 
Supondo que o valor de pico do fluxo de entreferro resultante esteja limitado a 
1,5 T, pode-se estimar o conjugado máximo a partir da equação (1.105) tornando  r 
igual a - 𝜋/2 (lembrando que valores negativos de  r, com a fmm do rotor atrasada 
em relação à fmm resultante, correspondem a um conjugado positivo, motor). 
max = (
𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠
2
 ) (
𝜋 𝐷 𝑙
2 𝑔
 ) Ber (𝐹r)max = (
4
2
 ) (
𝜋 𝑥 0,27 𝑥 0,32
2 
 ) x 1,5 x 4.400 = 1.790 
Nm 
Para uma velocidade síncrona de 1.800 rpm, tem-se m = ns = 1800 (𝜋/30) 
rad/s, e assim a potência correspondente pode ser calculada como Pmax= m max = 
337 kW. 
 
1.12.3 EXEMPLO 1.3 
 
Um motor CA trifásico linear tem um enrolamentocom um comprimento de 
onda de  = 0,5 m e um entreferro com 1,0 cm de comprimento. Um total de 45 
espiras, com um fator de enrolamento de kenr = 0,92 é distribuído em um 
comprimento total de enrolamento de 3  = 1,5 m. Supõe-se que os enrolamentos 
sejam excitados com correntes trifásicas equilibradas de amplitude de pico de 700 A 
e frequência 25 Hz. Calcule: 
a) A amplitude da onda de fmm resultante; 
b) A densidade de fluxo de pico correspondente no entreferro; 
c) A velocidade dessa onda progressiva de fmm. 
Solução: 
a) Das equações (1.114) e (1.115), a amplitude da onda de fmm 
resultante é 
𝐹pico = 
3
2
 
4
𝜋
 (
𝑘𝑒𝑛𝑟 𝑁𝑓𝑎𝑠𝑒 
2 𝑝
 ) Im = 
3
2
 
4
𝜋
 (
0,92 𝑥 45 
2 𝑥 3
 ) 700 = 8,81 x 103 A/m 
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69 
b) A densidade de fluxo de pico no entreferro pode ser obtida a partir do 
resultado da parte a) dividindo pelo comprimento do entreferro e multiplicando por 0 
Bg1 = 
 0𝐹𝑝𝑖𝑐𝑜
𝑔
 = 
4 𝜋 𝑥 10−7 𝑥 8,81 𝑥 103 
0,01 
 = 1,11 T 
c) Finalmente, a velocidade da onda progressiva pode ser determinada a 
partir da equação (1.116) 
𝑣= 𝑓e  = 25 x 0,5 = 12,5 m/s