apostila Estatística2020

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UNIVERSIDADE 
DE TAUBATÉ 
 
 
 
 
APOSTILA DE 
ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Taubaté 
2020
Apostila de Estatística 2 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
SUMÁRIO 
 
1. Estatística 05 
1.1. Introdução 05 
1.2. Definição de Estatística 05 
1.3. Fase do Método Estatístico 06 
 
2. Amostragem 08 
2.1. Tipos de Variáveis 08 
2.2. População 09 
2.3. Amostra 09 
2.4. Exercícios 09 
2.5. Técnicas de Amostragem 10 
2.5.1. Amostragem Probabilística 10 
 
3. Estatística Descritiva: Gráficos Estatísticos 12 
3.1. Gráficos Estatísticos 12 
3.2. Dicas para a Apresentação dos Dados 14 
3.3. Exercícios 15 
 
4. Estatística Descritiva: Distribuição de Frequências 18 
4.1. Frequência Absoluta 18 
4.2. Frequência Acumulada 18 
4.3. Frequência Relativa 18 
4.4. Frequência Acumulada Relativa 19 
4.5. Distribuição de Frequências e Histograma para Dados sem Intervalos de Classe 19 
4.5.1. Histograma 19 
4.5.2. Ogiva 20 
4.5.3. Exercícios 21 
4.6. Distribuição de Frequências e Histograma para Dados com Intervalos de Classe 22 
4.6.1. Histograma e Polígono de Frequência 24 
4.6.2. Exercícios 24 
 
5. Estatística Descritiva: Medidas de Tendência Central 27 
5.1. Média 27 
5.1.1. Dados Brutos ou Rol 27 
5.1.2. Dados Agrupados sem Intervalos de Classe 27 
5.1.3. Dados Agrupados com Intervalos de Classe 28 
5.2. Mediana 29 
5.2.1. Dados Brutos ou Rol 29 
5.2.2. Dados Agrupados sem Intervalos de Classe 30 
5.2.3. Dados Agrupados com Intervalos de Classe 31 
5.3. Moda 32 
5.3.1. Dados Brutos ou Rol 32 
5.3.2. Dados Agrupados sem Intervalos de Classe 33 
5.3.3. Dados Agrupados com Intervalos de Classe 33 
5.4. Utilização das Medidas de Tendência Central 34 
5.5. Exercícios 34 
 
6. Estatística Descritiva: Medidas de Dispersão 38 
6.1. Variância e Desvio Padrão 38 
6.1.1. Dados Brutos ou Rol 38 
6.1.2. Dados Agrupados sem Intervalos de Classe 39 
6.1.3. Dados Agrupados com Intervalos de Classe 40 
Apostila de Estatística 3 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
6.2 Coeficiente de Variação 41 
6.3 Exercícios 42 
 
7. Teoria das Probabilidades 44 
7.1. Introdução 44 
7.2. Fenômenos 44 
7.3. Espaço Amostral 44 
 Espaço Amostral Equiprovável 45 
7.4. Eventos 45 
Tipos de Eventos 45 
7.5. Conceito de Probabilidade 46 
7.6. Definições de Probabilidade 46 
 Probabilidade Clássica 46 
 Probabilidade Frequencialista 47 
7.7. Cálculo de Probabilidades 48 
 Probabilidade do Complementar 48 
 Probabilidade da União de Eventos 49 
 Probabilidade Condicional 50 
 Probabilidade da Intersecção de Eventos 50 
7.8 Exercícios 51 
 
8. Distribuição de Probabilidades 54 
8.1. Variáveis Aleatórias 54 
8.2. Tipos de Variáveis Aleatórias 54 
8.3. Distribuição de probabilidade 54 
8.4. Propriedades de uma distribuição de probabilidade 54 
8.5. Média, valor esperado ou esperança matemática de uma variável aleatória 55 
8.6. Variância e desvio padrão de uma variável aleatória 55 
8.7. Exercícios 56 
8.8. Distribuições Discretas de Probabilidade 57 
Distribuição Binomial 57 
Média, variância e desvio padrão de uma distribuição binomial 58 
8.9. Exercícios 59 
Distribuição de Poisson 60 
8.10. Exercícios 62 
8.11. Distribuição Contínua de Probabilidade 62 
Distribuição Normal 62 
Gráfico e propriedades de uma distribuição normal 63 
Áreas abaixo da curva normal 63 
Função densidade de probabilidade 64 
Distribuição normal padrão 64 
8.13. Exercícios 67 
 
9. Correlação e Regressão 68 
9.1. Diagrama de Dispersão 68 
9.2. Correlação Linear 69 
9.3. Tipos de Correlação 69 
 9.4. Coeficiente de Correlação de Pearson 71 
 Interpretação do Coeficiente de Correlação de Pearson 71 
9.5. Regressão 73 
9.5.1. Regressão Linear 73 
9.5.2. Estimação dos Parâmetros 73 
9.5.3. Interpretação dos Parâmetros 74 
9.5.4. Coeficiente de Determinação 74 
9.6. Exercícios 75 
Apostila de Estatística 4 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 
10. Bibliografias 78 
11. Anexo 1 79 
12. Plano de Ensino 80 
 
Apostila de Estatística 5 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
1. Estatística 
 
1.1. Introdução 
 
 Os métodos estatísticos são usados hoje em quase todos os campos de 
investigação científica, já que eles nos capacitam a responder a um vasto número de 
questões, tais como as listadas abaixo: 
 
1) Como os cientistas avaliam a validade de novas teorias? 
2) Como os pesquisadores médicos testam à eficiência de novas drogas? 
3) Como os demógrafos prevêem o tamanho da população do mundo em qualquer 
tempo futuro? 
4) Como pode um economista verificar se a mudança atual no Índice de Preços ao 
Consumidor é a continuação de uma tendência secular, ou simplesmente um desvio 
aleatório? 
5) Como é possível para alguém predizer o resultado de uma eleição entrevistando 
apenas algumas centenas de eleitores? 
 Estes são alguns exemplos onde à aplicação da estatística é necessária. Por 
isso, a estatística tornou-se uma ferramenta cotidiana para todos os tipos de 
profissionais que entram em contato com dados quantitativos ou tiram conclusões a 
partir destes. 
 
 
1.2. Definição de Estatística 
 
“Estatística” é uma parte da Matemática Aplicada que fornecem métodos para a 
coleta, organização, apresentação, análise e interpretação de dados. Ela é dividida em: 
 
Estatística Descritiva: parte da Estatística que apenas coleta, descreve, organiza 
e apresenta os dados. 
 
Estatística Indutiva ou Inferência: analisa os dados e obtêm-se as conclusões. 
 
 
 
Apostila de Estatística 6 
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1.3. Fases do Método Estatístico 
 
1° Definição do problema: Saber exatamente o que se pretende pesquisar ou 
estudar. 
 
2° Planejamento: Como levantar as informações? Que dados deverão ser obtidos? 
Quais os custos envolvidos? Definir cronograma de atividades. 
 
3° Coleta de Dados: Consiste na busca dos dados, componentes do fenômeno a ser 
estudado. 
A coleta de dados pode ser direta ou indireta. 
- coleta direta: quando os dados são obtidos na fonte originária. Os valores 
assim compilados são chamados de dados primários, como, por exemplo, 
nascimentos, casamentos e óbitos, registrados no Cartório de Registro Civil; 
opiniões obtidas em pesquisas de opinião pública; ou ainda, quando os dados 
são coletados pelo próprio pesquisador. 
A coleta direta pode ser classificada relativamente ao fator tempo em: 
• contínua – quando feita continuamente, como por exemplo, nascimentos 
e óbitos, frequência dos alunos às aulas; 
• periódica – quando feita em intervalos constantes de tempo, como os 
censos (de 10 em 10 anos); 
• ocasional – quando feita sem época pré-estabelecida. 
 
- coleta indireta: quando os dados obtidos provêm da coleta direta. Os valores 
assim compilados são denominados de dados secundários, como, por 
exemplo, o cálculo do tempo de vida média, obtido pela pesquisa, nas tabelas 
demográficas publicadas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e 
Estatística, se constitui em uma coleta indireta. 
 
4° Apuração dos Dados: Resumo dos dados através de sua contagem e 
agrupamento. É a tabulação dos dados. 
 
 
 
Apostila de Estatística 7 
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5° Apresentação dos Dados: Há duas formas de apresentação: tabelas ou gráficos, 
para o melhor entendimento do fenômeno que está sendo estudado. 
 
6° Análise e Interpretação dos Dados: Última fase do trabalho estatístico é a mais 
importante e delicada. A análise dos resultados obtidos é feita através dos métodos da 
Estatística Indutiva ou Inferência, obtendo assim as conclusões. 
Apostila de Estatística 8 
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2. Amostragem 
 
2.1. Tipos de Variáveis 
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Por exemplo: 
- Para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e 
sexo feminino; 
- Para o fenômeno “número de filhos” há um número de resultados possíveis 
expressos através dos números naturais: 0, 1, 2, 3, ... n; 
 
As variáveis podemser: 
 
Variáveis quantitativas - refere-se a quantidades e pode ser medidas em uma escala 
numérica. Exemplos: idade de uma pessoa, preço de um produto, peso de um recém-
nascido. Elas subdividem-se em dois grupos: 
- Variáveis quantitativas discretas: são aquelas que assumem apenas valores 
inteiros. Normalmente refere-se a contagens. Por exemplo: número de vendas 
diárias em uma empresa, número de pessoas por família, quantidade de 
doentes por hospital. 
 
- Variáveis quantitativas contínuas: são aquelas que assumem valores dentro 
de um intervalo real. Normalmente refere-se a medidas. Exemplos dessas 
variáveis são: o “peso” das pessoas, a renda familiar, o consumo mensal de 
energia elétrica, o preço de um produto agrícola. 
 
Variáveis Qualitativas - refere-se a dados não numéricos. Exemplos dessas variáveis: 
o sexo das pessoas, a cor, o grau de instrução. Elas subdividem-se também em dois 
grupos: 
- Variáveis qualitativas ordinais: são aquelas que definem um ordenamento 
ou uma hierarquia. Exemplos: grau de instrução, a classificação de um 
estudante no curso de estatística, as posições das 100 empresas mais 
lucrativas, etc. 
Apostila de Estatística 9 
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- Variáveis qualitativas nominais: por sua vez não definem qualquer 
ordenamento ou hierarquia. São exemplos destas a cor, o sexo, o local de 
nascimento, etc. 
 
2.2. População 
É um conjunto de indivíduos ou de objetos que tem pelo menos uma 
característica comum. A população pode ser finita ou infinita. Na prática, quando uma 
população é finita, com um número grande de elementos, considera-se como 
população infinita. Exemplo: alunos de uma escola. 
 
2.3. Amostra 
É uma pequena parte selecionada de uma população que se pretende estudar. 
Fazemos uma amostragem quando: 
- O número de elementos da população é muito grande; 
- Quando queremos economizar tempo e dinheiro. 
A amostra é escolhida através de técnicas adequadas que garantam o acaso na 
escolha. 
 
2.4. Exercícios 
 
1. Classifique as variáveis em qualitativas (nominal ou ordinal) ou quantitativas 
(contínuas ou discretas): 
a) Universo: alunos de uma escola 
Variável: cor dos cabelos Classificação: ________________________ 
b) Universo: casais residentes em uma cidade 
Variável: número de filhos Classificação: ________________________ 
c) Universo: as jogadas de um dado 
Variável: o ponto obtido em cada jogada Classificação: ___________________ 
d) Universo: peças produzidas por uma máquina 
Variável: diâmetro externo Classificação: ___________________ 
e) Universo: funcionários de uma empresa 
Variável: grau de instrução Classificação: ________________________ 
 
Apostila de Estatística 10 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
2. O Windows é um software produzido pela Microsoft Co. Na elaboração do Windows 
10, a Microsoft telefonou para milhares de usuários da versão anterior e perguntou a 
eles como o produto poderia ser melhorado. Considere que as seguintes perguntas 
foram feitas aos clientes: 
a) Você sempre usa o Windows na sua casa? 
b) Qual a sua idade? 
c) Os tutoriais e instruções que acompanham o Windows são úteis? 
d) Se a velocidade do Windows pudesse ser alterada, qual das seguintes mudanças 
você preferiria: mais lento, inalterado, ou mais rápido? 
 
Cada uma dessas perguntas define uma variável de interesse para a empresa. 
Classifique os dados gerados por cada variável como qualitativas (nominal ou ordinal) 
ou quantitativas (contínuas ou discretas). 
 
3. Os institutos de pesquisa de opinião regularmente fazem pesquisas para determinar 
o índice de popularidade do presidente em exercício. Suponha que uma pesquisa será 
conduzida amanhã com 2000 indivíduos e eles serão questionados se o presidente 
está fazendo um bom ou mau governo. Os 2000 indivíduos serão selecionados e 
entrevistados por números de telefone aleatórios. 
a) Qual a população relevante? 
b) Qual a variável de interesse? É quantitativa ou qualitativa? 
c) Qual é a amostra? 
d) Qual o método de coleta de dados que foi empregado? 
 
2.5. Técnicas de Amostragem 
 
Amostragem é o processo de obtenção de amostras de uma população. 
 
2.5.1. Amostragem Probabilística: É uma amostra selecionada de tal forma que cada 
item ou pessoa na população estudada têm uma probabilidade (não nula) conhecida de 
ser incluída na amostra. 
 
Dentro da amostragem probabilística destacam-se três: 
Apostila de Estatística 11 
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Amostragem Casual Simples ou Aleatória 
Definição: Todos os elementos da população têm igual probabilidade de pertencer à 
amostra e todas as amostras possíveis têm igual probabilidade de ocorrer. 
Exemplo: Os elementos da amostra são sorteados entre todos os elementos da 
população por algum dispositivo adequado (Tabela de números aleatórios). 
 
Amostragem Sistemática 
Definição: É aquela em que os elementos da população se apresentam ordenados e a 
retirada é realizada através de um sistema preestabelecido. 
Exemplo: Numa lista telefônica, sorteia-se um entre os 100 primeiros assinantes e a 
partir deste retira-se outro a cada 100. 
 
Amostragem Estratificada 
Definição: É um processo de amostragem usado quando as populações são 
heterogêneas. Divide-se a população em subpopulações denominados estratos. Após 
a determinação dos estratos, seleciona-se uma amostra aleatória de cada um dos 
estratos. Tipos de variáveis que podem ser usadas em estratificação: idade, classes 
sociais, sexo, profissão, salário, procedência, etc. 
 
Exemplo: Numa pesquisa de renda média familiar podemos dividir uma cidade nos 
seguintes estratos: bairros de classe A, bairros de classe B, bairros de classe C, etc. e 
em seguida retirar um número proporcional de elementos de cada estrato para formar a 
amostra estratificada. 
 
Apostila de Estatística 12 
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3. Estatística Descritiva: Gráficos Estatísticos 
 
3.1. Gráficos Estatísticos 
 
A representação gráfica das séries estatísticas tem por finalidade dar uma idéia, 
a mais imediata possível, dos resultados obtidos, permitindo chegar a conclusões sobre 
a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da série. A escolha 
do gráfico mais apropriado fica a critério do analista. Contudo, os elementos 
simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados quando da elaboração de 
um gráfico. Os principais tipos de gráficos são: 
 
a) Gráfico em Colunas ou em Barras: esses dois tipos de gráficos são 
geralmente utilizados para comparar diferentes valores da mesma variável. 
 
Apostila de Estatística 13 
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b) Gráficos em Setores: É a representação gráfica de uma série estatística, em 
um círculo, por meio de setores. É utilizado principalmente quando se pretende 
comparar cada valor da série com o total. 
 
Apostila de Estatística 14 
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c) Gráfico em Curvas ou Linear: é utilizado para representar o crescimento ou o 
decrescimento da variável. Exemplo: 
 
FONTE: IBGE, Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento, Pesquisa Mensal de Emprego. 
 
3.2. Dicas para a Apresentação dos Dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dados 
Dados 
Qualitativos 
Dados 
Quantitativos 
Métodos 
Tabulares 
Métodos 
Gráficos 
Métodos 
Tabulares 
Métodos 
Gráficos 
- Distribuições de 
frequências 
- Gráficos de 
barras e pizza 
- Distribuições de 
frequências 
- Histograma 
Apostila de Estatística 15 
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3.3. Exercícios: 
 
1. Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns 
canais de televisão, entre 20h e 21h, durante determinada noite. Os resultados 
obtidos estão representados no gráfico de barras a seguir: 
 
I. O número de residências pesquisadas foi, aproximadamente de: 
a) 100 b) 135 c) 200 d) 220 
II. O número de entrevistadosque declararam estar assistindo a TvB é 
aproximadamente igual a: 
a) 30 pessoas b) 20 pessoas d) 18 pessoas d) 22 pessoas 
 
2. Um grande magazine resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a 
seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) ao longo do ano de 
2017. 
 
 
 
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a 
menor venda absolutas em 2017 foram: 
Apostila de Estatística 16 
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a) março e abril. 
b) março e agosto. 
c) agosto e setembro. 
d) junho e setembro. 
e) junho e agosto. 
 
2. (BB 2013 – Fundação Carlos Chagas). O supervisor de uma agência bancária 
obteve dois gráficos que mostravam o número de atendimentos realizados por 
funcionários. O Gráfico I mostra o número de atendimentos realizados pelos 
funcionários A e B, durante 2 horas e meia, e o Gráfico II mostra o número de 
atendimentos realizados pelos funcionários C, D e E, durante 3 horas e meia. 
 
Observando os dois gráficos, o supervisor desses funcionários calculou o número de 
atendimentos, por hora, que cada um deles executou. O número de atendimentos, por 
hora, que o funcionário B realizou a mais que o funcionário C é: 
(A) 4. 
(B) 3. 
(C) 10. 
(D) 5. 
(E) 6. 
 
3. (PM Pará 2012). O gráfico abaixo mostra a produção diária de lixo orgânico de duas 
pessoas. O dia da semana que o gráfico mostra que as produções de lixo das duas 
pessoas foram iguais é: 
Apostila de Estatística 17 
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a) 2ª feira 
b) 4ª feira 
c) 6ª feira 
d) Sábado 
e) Domingo 
 
 
http://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2014/09/prova-resolvida-pm-para-2012-uepa-questao-20.jpg
Apostila de Estatística 18 
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4. Estatística Descritiva: Distribuição de Frequências 
 
Um estudo completo das distribuições de frequências é imprescindível devido que 
este é o tipo de tabela mais importante para a Estatística Descritiva. A seguir são 
descritos os procedimentos usuais na construção dessas tabelas. Primeiramente 
vamos ver alguns conceitos fundamentais. 
 
a) Dados brutos: O conjunto dos dados numéricos obtidos após a crítica dos valores 
coletados. Os seguintes valores poderiam ser os dados brutos: 24, 23, 22, 28, 35, 
21, 23, 33. 
 
b) Rol: É o arranjo dos dados brutos em ordem de frequência crescente ou 
decrescente. Os dados brutos anteriores ficariam assim: 21, 22, 23, 23, 24, 28, 33, 
35. 
 
c) Amplitude Total ou "range" (R). É a diferença entre o maior e o menor valor 
observado. No exemplo, R = 35 - 21 = 14. 
 
4.1 Frequência Absoluta (fi) 
 
É o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de 
elementos pertencentes a uma classe. 
 
4.2 Frequência Acumulada (fac) 
 
É a soma da frequência absoluta da classe com a frequência absoluta das classes 
anteriores. 
 
4.3 Frequência Relativa (fr) 
 
A frequência relativa é o valor da frequência absoluta dividido pelo número total de 
observações: 
n
f
fr i= . 
Apostila de Estatística 19 
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4.4 Frequência Acumulada Relativa (far) 
A frequência acumulada relativa é o valor da frequência acumulada dividido pelo 
número total de observações: 
n
f
far ac= . 
 
4.5 Distribuição de Frequências e Histograma para Dados sem Intervalo de Classe 
 
Utilizamos esse tipo de distribuição quando o número de elementos distintos da 
amostra for pequeno. 
Exemplo: Os dados a seguir se refere à idade de 20 alunos de uma faculdade: 21, 
21, 21, 22, 22, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 28, 28, 30. Construa uma 
distribuição com todas as frequências. 
X fi fac fr far 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
28 
30 
 
 
Observando a distribuição de frequências, responda: 
a) Quantos alunos têm 21 anos? 
b) Qual a porcentagem de alunos com menos de 24 anos? 
c) Qual a porcentagem de alunos com mais de 26 anos? 
4.5.1 Histograma 
 
Histograma é uma representação gráfica de uma tabela de distribuição de 
frequências. Desenhamos um par de eixos cartesianos e no eixo horizontal (abcissas) 
colocamos os valores da variável em estudo e no eixo vertical (ordenadas) colocamos 
os valores das frequências. O histograma tanto pode ser representado para as 
Apostila de Estatística 20 
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frequências absolutas como para as frequências relativas. No caso do exemplo 
anterior, o histograma seria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5.2. Ogiva 
 
Ogiva é uma representação gráfica de uma tabela de distribuição de frequências 
acumuladas. No caso exemplo anterior, a ogiva seria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística 21 
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4.5.3. Exercícios 
 
1. Considere os resultados finais, numa determinada disciplina, obtidos por 20 
estudantes de uma dada Universidade: 9, 14, 12, 8, 14, 12, 16, 16, 8, 14,11, 12, 14, 
11, 11, 18, 14, 18, 15, 15. Construa uma distribuição de frequências e um 
histograma para esses dados. 
 
2. Foi realizado um inquérito a um grupo de compradores de 30 carros novos para 
determinar quantas reparações ou substituições de peças foram feitas durante o 
primeiro ano de utilização dos carros, tendo-se obtido os seguintes resultados: 1, 4, 
1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 0, 4, 3, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 3, 1, 0, 1. Apresente os 
dados numa tabela de distribuição de frequências. Faça uma representação gráfica 
para esses dados. 
 
3. Uma empresa está planejando diminuir o tempo de entrega de um produto que 
comercializa. Para tal, fez um levantamento das últimas 50 entregas obtendo a 
informação sobre o número de dias que o produto levou para ser entregue. Os 
dados, já ordenados, são apresentados a seguir: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 
3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 
8 e 15. . Apresente os dados numa tabela de distribuição de frequências. 
 
4. Uma pesquisa com usuários de transporte coletivo na cidade de São Paulo indagou 
sobre os diferentes tipos usados nas suas locomoções diárias. Dentre ônibus, metro 
e trem, o número de diferentes meios de transporte utilizados foi o seguinte: 2, 3, 2, 
1, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2, 1, 2, 3. 
 
a) organize os dados em uma distribuição de frequência; 
b) faça uma representação gráfica; 
c) admitindo que essa amostra represente bem o comportamento do usuário 
paulistano, você acha que a porcentagem dos usuários que utilizam mais de um tipo de 
transporte é grande? 
 
 
 
Apostila de Estatística 22 
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4.6. Distribuição de Frequência e Histograma para Dados com Intervalo de Classe 
 
 Quando o número de elementos distintos da amostra for grande, os dados 
devem ser tabulados em intervalos de classes. Exemplo: O conjunto de dados abaixo, 
se refere ao lucro mensal de 40 empresas (mil reais). Construa sua distribuição de 
frequências. 
47 43 50 50 50 46 45 48 
51 48 48 44 41 45 44 46 
43 43 45 47 43 42 45 44 
48 45 45 57 47 45 46 43 
51 40 52 47 52 46 53 49 
 
Alguns passos devem ser seguidos para a tabulação de frequências de dados. 
1. Definir o número de classes. O número de classes não deve ser muito baixo nem 
muito alto. Um número de classes pequeno gera amplitudes de classes grandes o 
que pode causar distorções na visualização do histograma. Um número de classes 
grande gera amplitude de classes muito reduzidas. Foram definidas regras práticas 
para a determinação do número de classes, sendo que este deve variar entre 5 e 20 
(5 para um número muito reduzido de observações e 20 para um número muito 
elevado). Se n representa o número de observações (na amostra ou na população, 
conforme for o caso) o número aproximado de classes pode ser calculado por 
Número de Classes(k), k = n arredondando os resultados.No caso do nosso 
exemplo temos n = 40 e k= 32640 ,= então o número de classes será 6. 
 
2. Calcular a amplitude das classes(h). A amplitude será obtida conhecendo-se o 
número de classes(k) e amplitude total (AT) dos dados. A amplitude total dos dados 
é o resultado da subtração valor máximo - valor mínimo da série de dados. A 
amplitude de classe será: 
k
TA =h 
Em geral, o valor do resultado é também arredondado para um número inteiro 
mais adequado. No nosso exemplo temos: 
Apostila de Estatística 23 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
382
6
40-57
 =h = , 
 
3. Preparar a tabela com os limites de cada classe. Na tabela abaixo apresentamos 
para os dados do nosso exemplo os limites inferior (Linf) e superior (Lsup) de cada 
uma das 6 classes de frequência. 
Classe Limite inferior Limite Superior 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
 
Para a construção da distribuição de frequências usamos a simbologia de intervalos 
abertos e fechados. Exemplo: 40 |------ 43 significa que pertencem ao intervalo todos os 
valores de 40 a 42. 
 
4. Tabular os dados por classe de frequência. De acordo com nosso exemplo, 
teremos: 
Classe fi fac fr far 
40 |--- 43 
43 |--- 46 
46 |--- 49 
49 |--- 52 
52 |--- 55 
55 |--- 58 
Total 
 
Observando a distribuição de frequências, responda: 
a) Quantas empresas têm um lucro mensal ≥ 43 mil e < 46 mil? 
b) Qual a porcentagem de empresas com lucro mensal ≥ 49 mil? 
c) Qual a porcentagem de empresas com lucro mensal < 52 mil? 
Apostila de Estatística 24 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
4.6.1 Histograma e Polígono de Frequência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6.2. Exercícios 
 
1. A listagem seguinte refere-se aos montantes de 40 empréstimos pessoais de uma 
companhia financeira, em milhares de reais. 
900 1000 300 2000 
500 550 1100 1000 
450 950 300 2000 
1900 600 1600 450 
1200 750 1500 750 
1250 1300 1000 850 
2500 850 1800 600 
550 350 900 3000 
1650 1400 500 350 
1200 700 650 1500 
 
Construa a distribuição de frequências para os dados da tabela. 
 
2. Dado o rol de medidas das alturas (dadas em cm) de uma amostra de 100 indivíduos 
de uma faculdade: 
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161
161 162 163 163 163 164 165 165 165 166
166 166 166 167 167 167 167 167 168 168
168 168 168 168 168 168 168 168 169 169
169 169 169 169 169 170 170 170 170 170
170 170 171 171 171 171 172 172 172 173
173 173 174 174 174 175 175 175 175 176
176 176 176 177 177 177 177 178 178 178
179 179 180 180 180 180 181 181 181 182
182 182 183 184 185 186 187 188 190 190 
Construa a distribuição de frequências para os dados da tabela. 
Apostila de Estatística 25 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
3. A distribuição abaixo se refere a uma amostra da taxa de juros praticada em 25 
países: 
Taxa de juros (%) Nº de países 
1,0 |----- 2,4 4 
2,4 |----- 3,8 3 
3,8 |----- 5,2 6 
5,2 |----- 6,6 10 
6,6 |----- 8,0 2 
Pede-se: 
a) Determine as frequências acumuladas, relativas (em %) e acumuladas relativas 
(em %); 
b) Complete as seguintes frases: 
b1) O limite inferior da classe 2 é _________; (R. 2,4) 
b2) O limite superior da classe 5 é ________; (R. 8,0) 
b3) O ponto médio da classe 3 é __________; (R. 4,5) 
b4) O ponto médio da classe 4 é __________; (R. 5,9) 
b5) Em 92% dos países a taxa de juros é inferior a _________. (R. 6,6) 
b6) Em _____% dos países a taxa de juros é superior ou igual a 3,8%. (R. 72%) 
b7) Em _____% dos países a taxa de juros é  5,2% e  6,6%. (R. 40%) 
b8) O número de países que possuem taxa juros  6,6% e  8,0% são ___. (R. 2) 
 
 
4. A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequência dos salários mensais em 
reais, de 65 empregados da companhia P & R. 
 
Salários (R$) No de Empregados 
5.000 |---- 6.000 8 
6.000 |---- 7.000 10 
7.000 |---- 8.000 16 
8.000 |---- 9.000 14 
9.000 |---- 10.000 10 
10.000 |---- 11.000 5 
11.000 |---- 12.000 2 
Total 65 
 
Determinar: 
Apostila de Estatística 26 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
a) as frequências acumuladas, relativas (em %) e acumuladas relativas (em %); 
b) O limite inferior da 6ª classe; (R. R$ 10000) 
c) O limite superior da 4ª classe; (R. R$ 9000) 
d) A frequência absoluta da 3ª classe; (R. 16) 
e) A frequência relativa da 3ª classe; (R. 25%) 
f) O intervalo de classe que tem a maior frequência; (R. 7000 |----- 8000) 
g) A porcentagem de empregados que ganham menos de R$8.000 por mês; (R. 52%) 
h) A porcentagem de empregados que ganham mais de R$10.000 (R. 11%) 
Apostila de Estatística 27 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
5. Estatística Descritiva: Medidas de Tendência Central 
 
 No estudo de uma série estatística é conveniente o cálculo de algumas medidas 
que a caracterizem. Essas medidas, quando bem interpretadas, podem fornecer 
informações muito valiosas com respeito a séries estatísticas. Elas são chamadas de 
medidas de tendência central e são usadas para indicar um valor que tende a 
representar melhor um conjunto de dados. Geralmente localiza-se no centro ou em 
torno do centro de uma série, onde maior parte dos dados tende a se concentrar. 
Quando o cálculo dessas medidas é feito a partir de uma amostra, elas recebem o 
nome de estimativas e quando é feito a partir de uma população, recebem o nome de 
parâmetros. As principais medidas de tendência central são: média, mediana e moda. 
 
5.1. Média: 
5.1.1. Dados Brutos ou Rol 
 
 A média é definida como a soma das observações dividida pelo número de 
observações. Ela é dada por: 
n
x
X
n
i
i
== 1 para amostra 
N
x
N
i
i
== 1 para população 
Para facilitar, usaremos  =
=
i
n
i
i xx
1
 
 Exemplo: Calcule a média da variável x: 2,4,6,8. 
 
 =X 
 
5.1.2. Dados Agrupados sem Intervalos de Classe 
A média para dados agrupados sem intervalo de classe é obtida por: 
 


=
i
ii
f
fx
X para amostra 
i
ii
f
fx


= para população 
Apostila de Estatística 28 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 
onde nfi = ou N 
 
 Exemplo: Determinar a média da distribuição: 
xi fi xifi 
2 1 
5 4 
6 3 
8 2 
 
 
Então: ==


i
ii
f
fx
X 
 
5.1.3. Dados Agrupados com Intervalos de Classe 
Para o cálculo da média para dados agrupados com intervalos de classe, é 
necessário calcular o ponto médio de cada classe. A média é obtida por: 
 


=
i
im
f
fP
X para amostra 


=
i
im
f
fP
 para população 
 
onde: Pm é o ponto médio de cada classe. 
 
O ponto médio de cada classe é definido por: 
 
2
supinf
m
LL
P
+
= 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística 29 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Exemplo: Calcular a média da distribuição: 
classes fi Pm Pmfi 
0 |------ 2 1 
2 |------ 4 10 
4 |------ 6 8 
6 |------ 8 1 
 
 
Então: ==


i
im
f
fP
X 
 
5.2. Mediana (Md): 
 A mediana é um valor real que separa o rol em duas partes deixando à sua 
esquerda o mesmo número de elementos que a sua direita. Portanto, a mediana é um 
valor que ocupa a posição central em uma série. Ela é denotada por: Md. 
 
5.2.1 Dados Brutos ou Rol 
 Inicialmente devemos ordenar os elementos, em seguida determinarmos o 
número n de elementos. 
 
Se n é ímpar: a mediana é o termo central, ou seja, o termo que ocupa a posição 
o
n





 +
2
1
. 
 Exemplo: Determinar a mediana do conjunto: x: 2, 20, 12, 23, 20, 8, 12. 
 Ordenando os termos: 2, 8, 12, 12, 20, 20 ,23. 
 Como n=7 (ímpar), então a posição do termo central é 
o4
2
17
=




 +
. 
 Portanto, a mediana é o quarto elemento do Rol: Md = . 
 
Apostila de Estatística 30 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Se n é par: a mediana será a média aritmética dos dois termos centrais, ou seja, os 
termos que ocupam as posições 
o
n






2
e 
o
n






+1
2
 
 Exemplo: Determinar a mediana da série: x: 7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13. 
 Ordenando os termos: 7,8, 9, 10, 13, 13, 15, 21. 
 Como n=8 (par), então a posição dos dois termos centrais são o4
2
8
=




 e 
o51
2
8
=





+ 
 Então, a mediana será a média entre o quarto e o quinto elemento do Rol. 
 
A mediana será: Md = 
 
5.2.2. Dados Agrupados sem Intervalos de Classe 
 Basta verificar se o número de elementos é par ou ímpar e aplicar o mesmo 
raciocínio do caso anterior. Para facilitar a localização dos termos centrais calcula-se a 
frequência acumulada da série. 
Exemplo: Determinar a mediana da distribuição: 
xi fi 
2 1 
5 4 
6 3 
8 1 
 
Solução: O número de elementos é: n=fi=9 (ímpar). Então, o termo central será 
aquele que ocupará a posição 
o
n





 +
2
1
=
o





 +
2
19
= 5º. Para encontrar o quinto 
elemento da distribuição, construímos uma nova coluna na tabela e determinamos as 
frequências acumuladas. 
 
 
Apostila de Estatística 31 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
xi fi fac 
2 1 1 
5 4 5 
6 3 8 
8 1 9 
 9 
 
 Observando a frequência acumulada, nós temos o nº 2 que ocupa a 1ª posição, 
o nº 5 que ocupa as posições 2ª, 3ª, 4ª e 5ª. Então, a mediana será: Md = 
 
5.2.3. Dados Agrupados com Intervalos de classe 
 Neste caso, o cálculo da mediana é feito através da fórmula: 
h.
f
f/n
lMd
md
ant
md 
2





 −
+= 
onde: lmd = limite inferior da classe mediana. A classe mediana é obtida através de n/2; 
fant = frequência acumulada da classe anterior a classe mediana; 
fmd = frequência absoluta da classe mediana; 
h = amplitude da classe (h=Lsup – linf) 
 
Exemplo: Determinar a mediana da distribuição: 
Classes fi 
0 |------ 2 1 
2 |------ 4 10 
4 |------ 6 8 
6 |------ 8 1 
 
Solução: O número de elementos é 20, então a classe mediana será: n/2 = 20/2=10º. 
Identifica-se a classe mediana através da frequência acumulada, ou seja, qual classe 
está o 10º elemento. Observando a frequência acumulada, temos o 10º elemento na 2ª 
classe. 
 
 
Apostila de Estatística 32 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Classes fi fac 
0 |------ 2 1 1 
2 |------ 4 10 11 
4 |------ 6 8 19 
6 |------ 8 1 20 
 20 
 
lmd = fant= fmd = h= 
 Aplicando a fórmula, temos: 
=Md 
 
5.3. Moda (Mo) 
É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Ela é denotada por Mo. 
 
5.3.1. Dados Brutos ou Rol 
 Verifica-se qual o elemento que tem maior frequência. 
 Exemplos: Determinar a moda dos conjuntos de dados: 
 
a) x: 2, 8, 3, 5, 4, 5, 3, 5, 5, 1. 
O elemento de maior frequência é 5. Portanto, Mo = . É uma sequência 
unimodal, pois só temos uma moda. 
 
b) X: 6, 10, 5, 6, 10, 2. 
Este conjunto de dados apresenta o elemento 6 e 10 como elementos de maior 
frequência. Portanto, Mo = e Mo = . Por isso é chamada de bimodal. 
 
 Quando não houver elementos que se destaque pela maior frequência, dizemos 
que a série é amodal. 
 Exemplo: x: 3, 3, 3, 4, 4, 4. 
 Não há moda, pois os elementos têm a mesma frequência. 
 
 
 
Apostila de Estatística 33 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
5.3.2. Dados Agrupados sem intervalos de classe 
Neste caso, verificamos o elemento de maior frequência absoluta. Exemplo: 
Determinar a moda da distribuição abaixo: 
xi fi 
2 1 
5 4 
6 3 
8 1 
 9 
 Observamos que a maior frequência absoluta é o número 4, que corresponde ao 
elemento 5 da distribuição. Portanto, a moda é Mo = 
 
5.3.3. Dados Agrupados com intervalos de classe 
 Neste caso, verificamos a classe que tem maior frequência absoluta e aplicamos 
a fórmula. 
hlM moO 
+

+=
21
1 
 
onde: lmo = limite inferior da classe modal 
1 = diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a da classe anterior 
2 = diferença entre a frequência absoluta da classe modal e a da classe 
posterior 
h = amplitude da classe 
Exemplo: Determinar a moda da distribuição abaixo: 
Classes fi 
0 |------ 2 1 
2 |------ 4 10 
4 |------ 6 8 
6 |------ 8 1 
 20 
Solução: A classe modal é aquela que tem maior frequência absoluta, então a classe 
modal é a 2ª classe. Encontrando os valores, temos: 
Apostila de Estatística 34 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
lmo = 1 = 2 = h = 
Aplicando a fórmula, temos: 
hlM moO 
+

+=
21
1 
 
=OM 
 
5.4. Utilização das Medidas de Tendência Central 
 Na maioria das situações, não necessitamos calcular as três medidas de 
tendência central. Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para 
caracterizar o centro da série. 
 A medida ideal em cada caso é aquela que melhor representa a maioria dos 
dados da série. 
 Quando houver forte concentração de dados na área central da série, devemos 
optar pela Média. 
 Quando houver forte concentração de dados no início e no final da série, 
devemos optar pela Mediana. 
 A Moda deve ser a opção como medida de tendência central apenas em séries 
que apresentam um elemento típico, isto é, um valor cuja frequência é muito superior à 
frequência dos outros elementos da série. 
 
5.5. Exercícios 
 
1. O Serviço de Recursos Humanos da Roth Young fez uma pesquisa sobre os 
salários anuais para gerentes assistentes de lojas de departamentos. Os dados são 
mostrados na tabela abaixo (dados em mil dólares): (amostra) 
Salário (US$) fi 
1000 |⎯ 1200 2 
1200 |⎯ 1400 6 
1400 |⎯ 1600 10 
1600 |⎯ 1800 5 
1800 |⎯ 2000 2 
Apostila de Estatística 35 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Pede-se: 
a) Calcule as frequências acumuladas, relativas e as acumuladas relativas; 
b) O limite superior da classe1?(R: 1200) 
c) O limite inferior da classe 3? (R:1400) 
d) O ponto médio da classe 2?(R:1300) 
e) Qual a porcentagem de salários anuais menores que US$ 1200? (R: 8%) 
f) Qual a porcentagem de salários anuais maiores que US$ 1600? (R: 28%) 
g) Qual o salário anual médio? (R: US$ 1492) 
h) Qual o salário mediano? (R: US$ 1490) 
i) Qual o salário modal? (R: US$ 1488,89) 
 
2. A tabela abaixo representa o número de faltas anuais dos funcionários de uma 
empresa: (população) 
Nº faltas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
Nº empregados 20 42 53 125 84 40 14 3 2 
Determine: 
a) A distribuição de frequências; 
b) A porcentagem de empregados que tiveram um número de faltas anuais  2? (R: 
30%) 
c) A porcentagem de empregados que tiveram um número de faltas anuais  3?(R: 
63%) 
d) A porcentagem de empregados que tiveram um número de faltas anuais  5? (R: 
15%) 
e) A porcentagem de empregados que tiveram um número de faltas anuais  4? (R: 
37%) 
f) A média (R: 3) 
g) A mediana e a moda (R: Md= 3; Mo= 3) 
 
3. Uma companhia afirma que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica está 
dentro do limite estabelecido pelas organizações mundiais de combate ao câncer. 
Um laboratório que estuda os males do cigarro à saúde realiza uma análise, 
utilizando uma amostra de 7 cigarros dessa companhia e obtém as seguintes 
quantidades de nicotina (em mg): 
Apostila de Estatística 36 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
25 24 23 22 29 23 23 
Sabendo que o índice médio de nicotina recomendado por essas organizações deve 
variar entre 21mg/cigarro e 22mg/cigarro, responda: 
a) Qual é o índice médio de nicotina encontrado na amostra; (R: 24 mg/cig) 
b) Qual é o índice modal de nicotina encontrado na amostra; (R: Mo=23mg/cig) 
c) Qual é o índice mediano de nicotina encontrado na amostra; (R: Md=23 mg/cig) 
d) Na sua opinião, o fabricante está obedecendo ao índice médio de nicotina 
recomendado pelas organizações internacionais? Justifique a sua resposta! 
 
4. Durante certo período de tempo as taxas de juros, em %, para dez ações foram as 
que a tabela abaixo registra: 
Taxa (%) 2,59 2,64 2,60 2,62 2,55 2,61 2,50 2,63 2,64 2,69 
 
Calcule: 
a) a taxa média; (R. 2.60%) 
b) a taxa mediana; (R.2.61%) 
c) a taxa modal; (R. 2.64%) 
 
5. A tabela abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma 
empresa de ônibus nos últimos 5 anos: 
 
 
 
 
a) Construa a distribuiçãode frequências. 
b) Determine o número de motoristas com menos de 1 acidente. (R. 15) 
c) Determine o percentual de motoristas com pelo menos 3 acidentes. (R. 34%) 
d) Determine o percentual de motoristas com no máximo 2 acidentes. (R. 66%) 
e) Qual o número total de acidentes ocorrido no período? (R. 152) 
f) Qual a média de acidentes? E a moda de acidentes? E a mediana? (R. 2) 
 
6. Em um escritório de consultoria, há cinco contínuos que recebem os seguintes 
salários mensais: R$ 800,00; R$ 780,00; R$ 820,00; R$ 810,00 e R$ 790,00. Calcule o 
salário médio mensal dos contínuos desse escritório. (R. R$ 800,00) 
 
Nº DE ACIDENTES 0 1 2 3 4 5 6 7 
Nº DE MOTORISTAS 15 11 20 9 6 5 3 1 
Apostila de Estatística 37 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
7. A média mínima para aprovação em determinada disciplina é 5,0. Se um estudante 
obtém as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos mensais da disciplina 
em questão, pergunta-se: ele foi ou não aprovado? Explique. 
Apostila de Estatística 38 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
6. Estatística Descritiva: Medidas de Dispersão 
 
 As medidas de dispersão são medidas que mostram o grau de dispersão ou de 
concentração em torno da média. As mais utilizadas são: variância, desvio padrão e 
coeficiente de variação. 
 
6.1 Variância e Desvio Padrão 
 
A variância é uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios 
obtidos entre os elementos da série e a sua média. 
Quando o conjunto de dados representa uma população, a variância é denotada 
por 2(x) e o desvio padrão correspondente por (x). 
Quando o conjunto de dados representa uma amostra, a variância é denotada 
por s2(x) e o desvio padrão correspondente por s(x). 
 
6.1.1 Dados Brutos ou Rol 
 A variância é dada por: 
população. a para , 
amostra; a para , 
1
2
2
2
2
N
)x(
n
)Xx(
s
i
i


−
=
−
−
=


 
O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância. 
 
população. a para , 
amostra; a para , 
2
2
 =
= ss
 
 
Exemplo: Determine a variância e o desvio padrão da série: X: 2, 4, 6, 8, representativa 
de uma amostra. 
 
Apostila de Estatística 39 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Solução: Primeiro, calculamos a média: 
n
x
X i

= = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.1.2. Dados Agrupados sem Intervalos de Classe 
Neste caso, a variância é dada por: 
 
população. a para , 
amostra; a para , 
1
2
2
2
2
N
)x(f
n
)Xx(f
s
ii
ii


−
=
−
−
=


 
 O desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância. 
 
população. a para , 
amostra; a para , 
2
2
 =
= ss
 
 
Exemplo: Calcule a variância e o desvio padrão da série abaixo, representativa 
de uma amostra. 
Apostila de Estatística 40 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
xi fi xifi (xi - X )2 fi(xi - X )2 
2 2 
4 1 
6 3 
8 4 
 10 
 
Primeiro, calculamos a média: ==


i
ii
f
fx
X 
Como estamos trabalhando com uma população a variância é dada por: 
=
−
−
=

1
)( 2
2
n
Xxf
s
ii
 
 O desvio padrão será: 
== s 
 
6.1.3. Dados Agrupados com Intervalos de Classe 
 A variância para dados agrupados com intervalos de classe é dada por: 
 
população. a para , 
amostra; a para , 
1
2
2
2
2
N
)P(f
n
)XP(f
s
mi
mi


−
=
−
−
=


 
 
 O desvio padrão é dado por: 
população. a para , 
amostra; a para , 
2
2
 =
= ss
 
 
Exemplo: Calcule a variância e o desvio padrão da série abaixo, representativa 
de uma população: 
Apostila de Estatística 41 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
classes fi Pm Pmfi 2)P( m − 
2
)P(f mi − 
0 |------ 2 1 
2 |------ 4 10 
4 |------ 6 8 
6 |------ 8 1 
 20 
 
Primeiramente calculamos o ponto médio de cada classe e em seguida a média: 
==


i
im
f
fP
 
Como estamos trabalhando com uma população a variância é dada por: 
=
−
=

N
)P(f mi
2
2  
O desvio padrão será: 
==  
 
6.2. Coeficiente de Variação (CV) 
 É uma medida relativa de dispersão, útil para a comparação em termos relativos 
do grau de concentração em torno da média. Ele é expresso em porcentagem. 
 
amostra para 100
X
s
CV
população para 100
.
CV
=
=


 
 Se: CV  15%  Baixa dispersão – Homogênea, estável, regular. 
15%  CV 30%  Média dispersão. 
CV  30%  Alta dispersão – Heterogênea. 
Apostila de Estatística 42 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
6.3. Exercícios 
 
1. O transporte público e o automóvel são dois meios de transportes que uma pessoa 
pode usar para ir ao trabalho diariamente. Amostras de tempo para cada meio de 
transporte estão registradas a seguir. Os tempos estão em minutos. 
 
Transporte público 28 29 32 37 33 25 29 32 41 34 
Automóvel 29 31 33 32 34 30 31 32 35 33 
 
Qual o meio de transporte deve ser o preferido pelas pessoas? Justifique. (R: o 
automóvel, pois tem a menor variabilidade) 
 
2. Abaixo se tem o peso (kg) e altura (cm) de uma amostra de 6 pessoas. 
Peso (kg) 79 83 57 58 67 70 
Altura (cm) 170 179 165 156 165 179 
Pede-se: 
a) Calcule o peso médio e a altura média; (69kg; 169 cm) 
b) Quem é mais variável, o peso ou a altura? Justifique sua resposta.( o peso, 
pois seu CV é maior) 
 
3. A tabela seguinte apresenta a produção de café, em milhões de toneladas, na região 
DELTA (população). 
 
 
a) 
Calcule o valor da produção média. (R. 20) 
b) Calcule o valor do desvio padrão da produção. (R. 6.16) 
c) Calcule o valor do coeficiente de variação, e interprete o resultado. (R. 30.8%) 
 
4. Numa empresa o salário médio dos homens é de R$ 4000,00 com um desvio padrão 
de R$1500,00, e o das mulheres é na média de R$3000,00 com desvio padrão de 
R$1200,00. Qual dos sexos apresenta maior dispersão. (Analise pelo C.V.) (R. as 
mulheres) 
 
ANO 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 
Ton 12 15 18 22 17 14 18 23 29 32 
Apostila de Estatística 43 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
5. Uma empresa precisa escolher, dentre três marcas de pneus (A, B, C), qual deverá 
comprar. O manual do fabricante das três marcas de pneus afirma que o desgaste 
dos pneus a cada 10.000 km é de 1 milímetro. O gerente de suprimentos da 
empresa comprou 10 pneus de cada marca e submeteu-os a um teste de desgaste 
de 10.000 km. O resultado (em número de milímetros gastos) obtido para cada pneu 
foi o seguinte: 
A: 0,5 1,0 0,7 1,5 1,6 1,2 0,4 0,8 1,0 1,3 
B: 1,0 0,9 1,0 0,9 1,1 0,8 0,9 0,7 0,8 0,9 
C: 1,0 1,1 0,9 1,0 1,0 0,9 1,1 1,2 0,8 1,0 
 
Qual marca lhe parece recomendável? Justifique sua resposta. 
 
 
 
Apostila de Estatística 44 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
7. Teoria das Probabilidades 
 
7.1. Introdução 
 A teoria das probabilidades permite construir modelos matemáticos que explicam 
um grande número de fenômenos coletivos e fornecem estratégias para a tomada de 
decisões. 
 
7.2. Fenômenos 
Fenômeno é qualquer acontecimento natural. Encontramos na natureza dois 
tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios. 
Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre 
os mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências verificadas. 
Os fenômenos aleatórios são aqueles que repetidos sob mesmas condições 
podem conduzir a mais de um resultado. 
Quando um fenômeno é determinístico, a teoria das probabilidades não fornece 
um modelo adequado para a explicação do fenômeno. 
A teoria das probabilidades só é útil e deve ser aplicada quando lidamos com um 
fenômeno aleatório. 
Os fenômenos aleatórios são chamados de experimento. 
Exemplos de fenômenos aleatórios: 
a) Lançamento de uma moeda; 
b) Lançamento de um dado; 
c) Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas. 
 
7.3. Espaço amostral 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
Representamos o espaço amostral por S. 
 
Apostilade Estatística 45 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Exemplos: 
Determinar o espaço amostral dos experimentos: 
a) Lançamento de uma moeda: 
S = {(c,k)} 
b) Lançamento de um dado: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
• Espaço amostral equiprovável 
 O espaço amostral de um experimento é chamado equiprovável, se todos os 
seus elementos têm a mesma probabilidade de ocorrência. 
 
7.4. Eventos 
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral do experimento. 
 Exemplo: 
 Lançar um dado e observar o número obtido: 
 Evento A: obter um número par: A: {2, 4, 6,} 
 Evento B: obter um número ímpar: B: {1, 3, 5} 
 
• Tipos de eventos 
▪ Evento certo: é o evento que se tem certeza de que irá ocorrer. Exemplo: Obter 
um número inteiro no lançamento de um dado. 
▪ Evento impossível: é o evento que nunca pode ocorrer: Exemplo: Obter um 
número maior que 6 no lançamento de um dado. 
▪ Eventos mutuamente exclusivos: dois eventos A e B são mutuamente 
exclusivos quando eles não podem ocorrer ao mesmo tempo. 
▪ Eventos independentes: dois eventos A e B são independentes se a 
ocorrência de um não tem efeito sobre a probabilidade de ocorrência do outro. 
Apostila de Estatística 46 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
7.5. Conceito de Probabilidade 
 Em qualquer experimento aleatório, há sempre uma incerteza quanto à 
ocorrência ou não de determinado evento. A medida de chance, com que se pode 
esperar a ocorrência de determinado evento é chamada probabilidade, seu valor é um 
número real entre 0 e 1 ou 0 e 100%. 
 
7.6. Definições de Probabilidade 
▪ Probabilidade Clássica 
É baseada na hipótese de que os resultados de um experimento aleatório são 
igualmente prováveis. Ela é dada por 
)(
)(
)(
Sn
An
AP = 
onde: n(A) = número de elementos de A ou o número de casos favoráveis a A; 
n(S) = números de elementos de S ou o número de resultados possíveis do 
espaço amostral; 
 P(A) = probabilidade de ocorrer A. 
Exemplos: 
1) Lança-se duas vezes uma moeda. Qual a probabilidade de se obter cara em pelo 
menos um dos lançamentos? 
Solução 
Primeiramente, temos que definir o espaço amostral. Podemos usar o diagrama 
da árvore para defini-lo. 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística 47 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Então: 
S = n(S) = 
Evento: Obter cara pelo menos uma vez 
A = n(A) = 
Calculando P(A): 
==
)(
)(
)(
Sn
An
AP 
 
▪ Probabilidade Frequencialista 
 É baseada na frequência relativa. Ela deve ser aplicada quando não se conhece 
a regularidade dos resultados. Ela é dada por: 
 
Probabilidade de um evento = nº de vezes que o evento ocorreu no passado 
 Nº total de observações 
 
Exemplo: Numa fábrica trabalham 30 mulheres e 50 homens cuja distribuição por 
classes e por idades é a seguinte: 
 
Idades Homens Mulheres Total 
Até 21 anos 5 3 
De 22 a 50 anos 30 18 
Mais de 50 anos 15 9 
Total 
 
a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser mulher? 
 
 
 
 
 
b) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ter mais de 50 anos? 
 
 
Apostila de Estatística 48 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
7.7. Cálculo de Probabilidades 
▪ Probabilidade do complementar - )A(P 
 Probabilidade do complementar é a probabilidade de não ocorrência de um 
evento. Se 1=+ )A(P)A(P , então: 
)A(P)A(P −=1 
onde: )A(P = probabilidade do complementar; 
)A(P = probabilidade de ocorrer A 
Exemplo: No lançamento de dois dados, calcular a probabilidade de se obter soma 
diferente de 11 nas faces. 
Solução: Definir o espaço amostral para dois dados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular P(A): 
Evento A: soma igual a 11 
A = n(A) = 
Então: ==
)S(n
)A(n
)A(P 
=−= )A(P)A(P 1 
 
Apostila de Estatística 49 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
▪ Probabilidade da União de Eventos 
 A probabilidade da união de eventos é útil quando temos dois eventos e 
queremos saber a probabilidade de que um pelo menos um deles ocorra. Ela é definida 
como: 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P −+= 
Exemplos: 
1) Ao retirarmos uma bola de uma urna que contém 15 bolas numeradas de 1 a 15, 
qual a probabilidade da bola ser um número múltiplo de 3 ou ser primo? 
 
Solução: 
Definir S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} 
n(S) = 15 
Calcular P(A) P(B) e P(AB) 
Evento A: número múltiplo de 3 
A = n(A) = 
 
)(
)(
)( ==
Sn
An
AP 
Evento B: número primo 
B = n(B) = 
==
)S(n
)B(n
)B(P 
(AB) = {3} n(AB) = 1 
 = )BA(P 
Calcular )BA(P)B(P)A(P)BA(P −+= 
= )BA(P 
 
Apostila de Estatística 50 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
▪ Probabilidade Condicional 
 É a probabilidade de que um evento ocorra, sabendo que outro evento tenha 
ocorrido. Ela é definida por: 
)A(n
)BA(n
)A/B(P
)B(n
)BA(n
)B/A(P

=

= ou 
 
Exemplo: Jogando um dado, qual a probabilidade de sair o número 2, sabendo que o 
número é par? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ Probabilidade da Intersecção de Eventos 
 A probabilidade da intersecção de eventos é útil quando temos dois eventos e 
queremos saber a probabilidade de que ambos ocorram. 
 )B(P).A(P)BA(P = 
Exemplo1: Em um lote de 10 peças, 4 são defeituosas. Retirando-se 2 peças, ao 
acaso, sem reposição, qual a probabilidade de ambas serem boas? 
Solução: 
 
Apostila de Estatística 51 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 
 
Exemplo2: Em um lote de 10 peças, 4 são defeituosas. Retirando-se 2 peças, ao 
acaso, com reposição, qual a probabilidade de ambas serem boas? 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
7.8. Exercícios 
 
1. De 120 estudantes, 70 estudam matemática, 80 estudam português e 40 estudam 
matemática e português. Um estudante é escolhido ao acaso, qual a probabilidade 
dele: 
a) Estudar matemática ou português; (R: 92%) 
b) Estudar matemática; (R: 58%) 
c) Estudar português; (R: 67%) 
d) Não estudar matemática; (R: 42%) 
 
2. Numa classe há 10 homens e 20 mulheres, metade dos homens e metade das 
mulheres possui olhos castanhos. Ache a probabilidade de uma pessoa escolhida ao 
acaso ser homem ou ter olhos castanhos. (R: 67%) 
 
3. Uma faculdade coletou a seguinte informação sobre seus estudantes de graduação: 
Curso Homens Mulheres 
Contabilidade 120 80 
Finanças 110 70 
Marketing 70 50 
Administração 110 100 
Estatística 50 10 
Apostila de Estatística 52 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Computação 140 90 
 
Um estudante é selecionado ao acaso. Qual é a probabilidade de que o(a) 
estudante: 
a) Seja mulher? (R: 40%) 
b) Seja homem? (R: 60%) 
c) Seja mulher ou que esteja cursando Contabilidade? (R: 52%) 
d) Seja homem ou esteja cursando Administração?(R: 70%) 
e) Dado que o(a) estudante é mulher, qual é a probabilidade de que esteja 
cursando Contabilidade? (R: 20%) 
f) Dado que o(a) estudante é homem, qual é a probabilidade de que esteja 
cursando Computação? (R: 23%) 
 
6. Uma amostra de 140 investidores de um banco revelou que 80 investem em 
poupança, 30 investem no fundão e 10 investem na poupança e no fundão. 
Selecionado um destes investidores ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha 
investimentos na poupança ou no fundão? (R: 71%) 
 
5. Do total de 600 empregados de uma empresa, 400 se beneficiam de um plano de 
participação nos lucros, 450 beneficiam de um plano médico e 300 se beneficiam de 
ambos. Selecionado um empregado ao acaso, qual a probabilidade de que ele: 
a. Se beneficie do plano de participação nos lucros; (R. 67%) 
b. Se beneficie do plano médico; (R. 75%) 
c. Se beneficie do plano de participação nos lucros ou do plano médico.(R. 
92%) 
 
6. A probabilidade de um homem estar vivo daqui a 20 anos é de 0.4 e de sua mulher é 
de 0.6. Qual a probabilidade de que: 
a) Ambos estejam vivos no período? (R. 24%) 
b) Somente o homem estar vivo? (R.16%) 
c) Somente a mulher estar viva? (R.36%) 
 
7. A tabela a seguir apresenta dados dos 1000 ingressantes de uma universidade, com 
informações sobre área de estudo e classesócio econômica. 
Apostila de Estatística 53 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Área\ Classe Alta Média Baixa 
Exatas 120 156 68 
Humanas 72 85 112 
Biológicas 169 145 73 
Se um aluno ingressante é escolhido ao acaso, determine a probabilidade de: 
a) Ser da classe econômica mais alta; (R. 36%) 
b) Estudar na área de exatas; (R. 34%) 
c) Estudar na área de humanas, sendo da classe média; (R. 22%) 
d) Ser da classe baixa, dado que estuda na área de biológicas. (R. 19%) 
 
9. Uma empresa tem os seguintes dados sobre idade e o estado civil de 160 clientes. 
 
 Estado Civil 
Idade Solteiro Casado Divorciado 
Menos de 30 20 12 4 
Entre 30 e 40 13 22 5 
Entre 40 e 50 9 27 8 
Mais de 50 6 23 11 
 
a) Qual a probabilidade de um cliente ser solteiro? (R. 30%) 
b) Qual a probabilidade de um cliente ter entre 30 e 40 anos? (R. 25%) 
c) Qual a probabilidade de um cliente ser solteiro e ter entre 30 e 40 anos? (R. 8%) 
d) Qual a probabilidade de um cliente ser solteiro ou ter entre 30 e 40 anos? (R. 47%) 
e) Qual a probabilidade de um cliente ser divorciado ou casado e ter entre 40 e 50 
anos? (R. 22%) 
f) Dado que um cliente escolhido entre 40 e 50 anos, qual a probabilidade dele ser 
casado? (R. 61%) 
g) Dado que um cliente tem menos de 30 anos, qual a probabilidade dele ser solteiro 
ou casado? (R. 89%) 
Apostila de Estatística 54 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
8. Distribuição de Probabilidades 
 
8.1. Variáveis Aleatórias: uma variável aleatória, x, é o resultado numérico de um 
experimento probabilístico. 
Exemplos: x = o número de pessoas num carro. 
x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola. 
x = o número de vezes que você vai à escola por semana. 
 
8.2. Tipos de Variáveis Aleatórias 
• Discreta: se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado. 
• Contínua: se pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. São 
determinadas por uma medição. 
 
8.3. Distribuição de Probabilidade: a cada valor de uma variável aleatória pode ser 
atribuída uma probabilidade. Ao enumerar cada valor da variável aleatória com sua 
probabilidade correspondente, forma-se uma distribuição de probabilidade. 
 
8.4. Propriedades de uma distribuição de probabilidade 
• Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive. 
• A soma de todas as probabilidades é 1. 
 
 
Exemplo: O psicólogo de uma empresa aplicou um teste de personalidade para 
determinar características passivas/agressivas em 150 funcionários. Aos indivíduos 
foram atribuídos valores de 1 a 5, em que 1 representava o extremo passivo e 5, o 
extremo agressivo. Um escore de 3 indicava não haver nenhuma característica 
preponderante. Os resultados estão na tabela abaixo. 
Escore (x) Frequência (f) 
1 24 
2 33 
3 42 
4 30 
5 21 
Apostila de Estatística 55 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Estabeleça uma distribuição de probabilidade para a variável aleatória x. 
Solução: Divida a frequência de cada pontuação pelo número total de indivíduos no 
estudo para obter a probabilidade de cada valor da variável aleatória. 
 
 )5( )4( )3( 2 )1( ===== PPP)P(P 
 
Colocam-se os valores em uma tabela. 
x 1 2 3 4 5 
P(x) 0,16 0,22 0,28 0,2 0,14 
 
8.5. Média, valor esperado ou esperança matemática de uma variável aleatória: a 
média, valor esperado ou esperança matemática de uma distribuição de 
probabilidade é dado por: 
== )()( xxPxE  
 Cada valor de x deve ser multiplicado por sua probabilidade correspondente e os 
produtos devem ser somados. 
 
8.6. Variância e desvio padrão de uma variável aleatória 
 
 A variância é dada por: 
 222 )()(  −= xxPxPx 
 O desvio padrão é dado por: 
2 = 
Exemplo: Considerando o exemplo da distribuição de probabilidade para o teste de 
personalidade, obtenha a pontuação média, a variância e o desvio padrão. 
x P(x) xP(x) x2P(x) 
1 0,16 
2 0,22 
3 0,28 
4 0,2 
5 0,14 
 1 
Apostila de Estatística 56 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
A média será igual a: = )(xxP = 
 
A variância será:  222 )()(  −= xxPxPx 
 =2 
 
E o desvio padrão: = 
 
8.7. Exercícios 
 
1. Uma companhia analisa diariamente o número de vendas de seus novos 
funcionários durante um período de teste de 50 dias. Os resultados estão 
representados na tabela abaixo: 
Vendas por dia (x) 0 1 2 3 4 5 
Número de dias (freq) 10 8 4 20 6 2 
Pede-se: 
a) Construa uma distribuição de probabilidade para a variável x; 
b) O número esperado vendas; 
c) A variância e o desvio padrão. 
 
2. O número de caminhões que chegam por hora na Unidade Armazenadora de Grãos 
da COOPAVEL tem a distribuição de probabilidade apresentada na tabela abaixo. 
Calcule: a) o número de esperado de caminhões por hora; b) variância, e c) desvio 
padrão. 
No. de Caminhões por hora (X) 0 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade P(X) 0,05 0,10 0,15 0,25 0,30 0,10 0,05 
 
3. A tabela abaixo indica a probabilidade da rede de computadores de uma empresa 
ficar fora do ar durante a semana em que está sendo instalado um novo sistema. 
Calcule: a) o número de horas esperado que a rede ficará fora do ar; e b) desvio 
padrão. 
Número de horas (X) 4 5 6 7 8 9 
Probabilidade P(X) 0,01 0,08 0,29 0,42 0,14 0,06 
 
Apostila de Estatística 57 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
8.8. Distribuições Discretas de Probabilidade 
 
- Distribuição Binomial 
Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de cada 
tentativa pode ser reduzida a dois resultados: sucesso ou fracasso. Esses 
experimentos são chamados de binomiais. 
A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidades que estuda o 
comportamento das variáveis dicotômicas, ou seja, aquelas que só podem ter 2 
valores. 
Exemplos: Masculino / Feminino 
 Satisfeito / Insatisfeito 
 Atrasado / Não-atrasado 
 
Estes eventos são denominados designativos: (sim/não ou sucesso/ fracasso) 
Características de uma distribuição binomial: 
• O número de tentativas é fixo (n). 
• As n tentativas são independentes e repetidas em condições idênticas. 
• Para cada tentativa há dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso. 
• A probabilidade de sucesso numa tentativa única é p. 
 A probabilidade de fracasso é q, onde q = 1 - p 
• O problema central está em determinar a probabilidade de k sucessos em n 
tentativas, sendo k = 0 ou 1 ou 2 … n. 
 
Em uma distribuição binomial, a probabilidade de exatamente k sucessos em n 
tentativas é dada por: 
knk
qp
knk
n
kxP
−
−
==
)!(!
!
)( 
Onde: 
n = nº de vezes que uma tentativa é repetida; 
p = probabilidade de sucesso 
q = probabilidade de fracasso (q= 1 - p) 
k = nº de sucessos em n tentativas 
k = 0, 1, 2, 3, 4, …, n. 
Apostila de Estatística 58 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Exemplo: Uma companhia fabrica rolamentos para serem usados em bicicletas. Sabe-
se que 5 % dos diâmetros dos rolamentos estarão fora dos limites de aceitação 
(defeituosos). Se 6 rolamentos são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de 
que: 
a) Nenhum seja defeituoso; 
 
 
 
 
 
b) Exatamente um seja defeituoso; 
 
 
 
 
 
c) No máximo dois sejam defeituosos; 
 
 
 
 
 
d) No mínimo três sejam defeituosos; 
 
 
 
 
 
- Média, variância e desvio padrão de uma distribuição binomial 
 
A média é dada por: np= 
A variância é dada por: npq=2 
 
Apostila de Estatística 59 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 O desvio padrão é dado por: npq= 
Para o exemplo 2: 
p = 0,05 e n = 6 
534,0285,0
285,095,005,06
3,005,06
2
===
===
===
npq
npq
np



 
 
8.9. Exercícios 
 
1. Um levantamento efetuado em um pregão da bolsa de valores mostrou que naquele 
dia 40% das empresas tiveram aumento do valor de suas ações, enquanto que as 
ações das empresas restantes ficaram estáveis ou perderam valor. Umfundo negocia 
com ações de 10 destas empresas. Calcule a probabilidade de que neste dia: 
a) Todas as ações do fundo tenham se valorizado; (R. 0,01%) 
b) No máximo ações de duas empresas tenham se valorizado; (R. 17%) 
c) No mínimo ações de 3 empresas tenham se valorizado; (R. 83%) 
 
2. Um vendedor programa seis visitas e acredita que a probabilidade de ele ser 
recebido pelo encarregado de compras das empresas visitadas é de 80%. Qual a 
probabilidade do vendedor: 
a) Ser recebido por todos os encarregados de compra? (R. 26%) 
b) Ser recebido em pelo menos 4 visitas? (R. 90%) 
 
3. 20% das fechaduras fabricadas por uma determinada empresa travam e não abrem 
com sua chave, necessitando ser substituídas. Se forem selecionadas 7 fechaduras 
desse fábrica, instaladas numa única casa, qual a probabilidade de: 
a) Nenhuma ser defeituosa? (R. 21%) 
b) 2 serem defeituosas? (R. 27%) 
c) Todas serem defeituosas? (R. 0,00128%) 
d) Pelo menos uma ser defeituosa? (R. 79%) 
 
Apostila de Estatística 60 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
4. Uma fábrica de pneumáticos produz 3% de defeituosos. Um envio a um cliente 
consta de 20 pneumáticos. Determinar a probabilidade de que: 
a) Todos estejam perfeitos; (R. 54%) 
b) Pelo menos um defeituoso; (R. 46%) 
c) Todos estejam com defeito; (R. 0,00%) 
d) No máximo 2 estejam com defeito. (R. 98%) 
 
- Distribuição de Poisson 
 Em uma distribuição binomial, estamos interessados em obter a probabilidade 
de um número k de sucessos em n tentativas. Suponha que, em vez disso, estamos 
interessados em saber qual é a probabilidade de ocorrer um número específico de 
resultados dentro de uma determinada unidade de tempo ou espaço. 
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade de uma 
variável aleatória x que satisfaz as seguintes condições: 
1. O experimento consiste em contar o número de vezes, k, que um evento ocorre num 
intervalo de tempo, área ou espaço. 
2. A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma em cada intervalo. 
3. O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em 
outro. 
A probabilidade de exatamente k ocorrências em um intervalo é dada por: 
!
)(
k
e
kxP
k−
== 
Onde:  = média de ocorrências por intervalo; 
 e = constante de Euler; (2,71828) 
 k = número de vezes que o evento ocorre 
 
Exemplo1: O número médio de acidentes mensais em um determinado cruzamento é 
três. Qual é a probabilidade de que em um determinado mês ocorram: 
a) Nenhum acidente; 
 
 
 
 
Apostila de Estatística 61 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 
 
b) Dois acidentes; 
 
 
 
 
 
 
 
c) Quatro acidentes. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo2: Numa estrada há 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de 
que em: 
a) 250 km ocorram 3 acidentes? 
 
 
 
 
 
 
 
b) 300 km ocorram 5 acidentes? 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística 62 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
8.10. Exercícios 
 
1. Suponha que 200 erros de impressão são distribuídos ao acaso em um livro de 200 
páginas, segundo um processo Poisson. Encontre a probabilidade de que uma dada 
página contenha: 
a) nenhum erro de impressão; (R. 37%) 
b) 1 erro de impressão; (R. 37%) 
c) 2 erros de impressão. (R. 18%) 
 
2. Suponha que em uma população de 50.000 pessoas seja verificada uma média de 2 
suicídios por ano. Numa cidade de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de em 
um dado ano ter havido: 
a) nenhum suicídio; (R. 2%) 
b) 1 suicídio; (R. 7%) 
c) 2 suicídios; (R. 15%) 
 
3. Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma 
hora: 
a) atender exatamente 2 clientes; (R. 27%) 
b) atender 3 clientes. (R. 18%) 
 
4. O departamento de recursos humanos de uma firma entrevista 150 candidatos a 
emprego por hora. Qual a probabilidade de entrevistar: 
a) 3 candidatos em 2 minutos? (R. 14%) 
b) 8 candidatos em 4 minutos. (R. 11%) 
 
8.12. Distribuição Contínua de Probabilidade 
 
- Distribuição Normal de Probabilidade 
 
A distribuição para variável contínua mais importante (e mais utilizada na prática) é 
a distribuição normal. 
 
 
Apostila de Estatística 63 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
- Gráfico e propriedades de uma distribuição normal 
 
 
 
• A média, mediana e a moda são iguais. 
• O gráfico tem a forma de um sino (chamada de curva normal) e é simétrica em 
torno da média. 
• Ela é assintótica ➔ a curva aproxima-se cada vez mais do eixo X, mas nunca toca 
efetivamente ele. 
• A área total sob a curva é igual a 1 ou 100%. 
 
- Áreas abaixo da curva normal 
 
 
 
Apostila de Estatística 64 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
• Cerca de 68,3 % da área sob a curva normal está entre menos um e mais um 
desvio padrão da média. Isto pode ser escrito como  1 . 
• Cerca de 95,5 % da área sob a curva normal está entre menos dois e mais dois 
desvios padrões da média, escrito como  2 . 
• Cerca de 99,7 % a área sob a curva normal está entre menos três e mais três 
desvios padrões da média, escrito como  3 . 
 
- Função densidade de probabilidade 
 
A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória normal é dada por: 
 
2
2
1
2
1
)(





 −
−
= 


X
eXf 
- Distribuição normal padrão 
 
É muito difícil ficarmos calculando probabilidades para distribuições normais através de 
cálculos de integração. Para evitar este trabalho foi definida uma distribuição normal 
particular chamada de distribuição normal padrão. Esta distribuição tem as 
características de ser uma distribuição normal com média (valor esperado) igual a zero 
e desvio padrão igual a 1. Em notação matemática dizemos que: 
 
N(0,1) ~ Z 
 
Se x é uma variável aleatória normal com média  diferente de zero e desvio padrão 
 diferente de 1 podemos “converter” essa distribuição em uma distribuição normal 
padrão através da transformação linear: 
 

−
=
X
Z 
Para a obtenção das probabilidades para a curva normal padrão Z consulta-se uma 
tabela que pode ser encontrada em anexo em praticamente todos os livros de 
estatística. (Anexo1) 
Apostila de Estatística 65 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 
Exemplo: O levantamento do custo unitário de produção de um item da empresa 
revelou que sua distribuição é normal com média R$ 56,00 e desvio-padrão R$ 5,00. 
Um item da produção é escolhido ao acaso. Calcular a probabilidade do custo desse 
item: 
a) estar entre R$ 56,00 e R$ 60,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) estar entre R$ 50,00 e R$ 60,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ser menor que R$ 40,00; 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística 66 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 
 
 
d) ser menor que R$ 60,00; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) ser maior que R$ 62,00; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) estar entre R$ 60,00 e R$ 67,00 
 
 
 
Apostila de Estatística 67 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
8.13. Exercícios 
1. Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostraram que o lucro 
realizado se distribui normalmente com média R$ 48000,00 e desvio padrão R$ 
8000,00. Qual a probabilidade de que na próxima semana: 
a) o lucro seja maior que R$ 50000,00? (R: 40%) 
b) o lucro esteja entre R$ 40000,00 e R$ 45000,00? (R: 19%) 
c) menor que R$ 49000,00? (R: 55%) 
 
2. O tempo que um estudante leva para vir de sua casa até a Universidade se distribui 
normalmente com média de 20 minutos e desvio-padrão de 5 minutos. 
a) Qual é a probabilidade de que um estudante leve mais de 18 minutos para chegar à 
universidade? (R: 65%) 
b) Qual é a probabilidade de que um estudante leve menos de 30 minutos para chegar 
à universidade? (R: 98%) 
 
3. Foi feito um estudo sobre a altura dos alunos de faculdade, observando-se que ela 
distribuía normalmente com média de 1,72m e desvio padrão de 5 cm. Qual a 
porcentagem dos alunos com altura; 
a) Entre 1,57m e 1,87m; (R. 100%) 
b) Acima de 1,90m. (R. 0,02%) 
 
4. Uma população comcaracterísticas normais tem peso médio de 75 kg e desvio 
padrão de 3 kg. Calcule o percentual de pessoas que tem pesos: 
a) maior que 70,0 kg; (R: 95%) 
b) maior que 72,9 kg; (R: 76%) 
c) maior que 77,0 kg. (R: 25%) 
 
5. Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com 
média 250 horas e desvio padrão 18 horas. Um equipamento é escolhido ao acaso. 
Qual a probabilidade dele ter vida útil: 
a) acima de 280 horas? (R: 5%) 
b) abaixo de 180 horas? (R: 0,01%) 
c) acima de 245 horas? (R: 61%) 
d) abaixo de 200 horas ou acima de 300 horas? (R: 0,54%)
Apostila de Estatística 68 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
9. Correlação e Regressão 
 
 Correlação é o estudo do comportamento conjunto de duas ou mais variáveis 
quantitativas. 
 Por exemplo, o peso de uma pessoa está relacionado com sua altura; o aumento 
do número de crimes está relacionado com o aumento da taxa de desemprego. 
 O comportamento conjunto das duas variáveis pode ser observado através de 
um gráfico, chamado diagrama de dispersão, e medido através do coeficiente de 
correlação. 
 
9.1. Diagrama de Dispersão 
 
 O diagrama de dispersão nos fornece uma idéia grosseira, porém útil, da 
correlação entre as variáveis. 
 Alguns passos devem ser seguidos para montar o diagrama de dispersão: 
1) Traçar os eixos cartesianos; 
2) Representar uma variável no eixo x e a outra no eixo y; 
3) Colocar os valores das variáveis nos seus respectivos eixos; 
4) Marcar um ponto para cada par de valores, obtendo uma nuvem de 
pontos. 
Exemplo: Dada a tabela abaixo TEMPO DE ESTUDO x NOTA, construir o diagrama de 
dispersão. 
Tempo (em horas), x 3,0 7,0 2,0 1,5 12,0 
Nota, y 4,5 6,5 3,7 4,0 9,3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística 69 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
9.2. Correlação Linear 
 
 Uma correlação é linear quando todos os pontos obtidos no diagrama de 
dispersão se situam ao longo de uma reta. 
 Para o exemplo anterior, temos: 
 
Tempo de estudo X Nota
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 2 4 6 8 10 12
Tempo (em horas)
N
o
ta
 
 
9.3. Tipos de correlação 
 
 Dependendo dos valores das variáveis podem-se ter vários tipos de correlação. 
 
▪ Correlação linear positiva 
 
 Uma correlação é linear positiva quando as variáveis x e y crescem no mesmo 
sentido. 
Exemplos: Peso x Altura 
Nível socioeconômico x Volume de vendas 
 
 
Apostila de Estatística 70 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 
Fraca Forte Perfeita 
 
 
▪ Correlação linear negativa 
 
 Uma correlação é linear negativa quando as variáveis x e y crescem em sentido 
contrário. 
Exemplos: Renda Familiar x Número de Filhos 
 Volume de vendas x Passivo circulante 
 
 
 Fraca Forte Perfeita 
 
 
▪ Correlação não linear 
 
Uma correlação é não linear quando diagrama de dispersão mostra que o 
conjunto de pontos não se aproxima de uma reta. 
Exemplos: Coef. de Letalidade (y) x Dose do Medicamento (x) 
Custo (y) x Lote Econômico de Compra (x) 
 
x x x 
y y y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
Apostila de Estatística 71 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
▪ Correlação nula 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.4. Coeficiente de Correlação de Pearson 
 
 Mede a intensidade e a direção da relação linear entre duas variáveis. Ele é 
definido por: 
 
 
 
 
 
▪ Interpretação do Coeficiente de Correlação de Pearson 
 
O coeficiente de correlação (r) varia de -1 a +1. 
Se r = -1, a correlação é linear perfeita negativa. 
Se r = +1, a correlação é linear perfeita positiva. 
 
x 
y 
x 
y 
Apostila de Estatística 72 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
O sinal indica o sentido (correlação positiva ou negativa). 
Se r > 0 existe uma correlação linear positiva. 
Se r < 0 existe uma correlação linear negativa. 
O valor indica a força da correlação (Fraca, Moderada ou Forte). 
 
Exemplo: Os dados de consumo de um determinado item estão relacionados na tabela 
abaixo. Determine o coeficiente de correlação para esses dados. 
 
Mês 1 2 3 4 5 
Consumo 10 15 15 18 20 
 
 x Y x.y x2 y2 
 1 10 
 2 15 
 3 15 
 4 18 
 5 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Estatística 73 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
9.5. Regressão 
 
Sempre que se deseja estudar determinada variável em função de outra, 
fazemos uma análise de regressão. 
 A análise de regressão tem por objetivo descrever através de um modelo 
matemático a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. 
 
9.5.1. Regressão Linear 
 
 Dado um conjunto de valores observados de x e y construir um modelo de 
regressão linear de y sobre x, consiste em obter a partir desses valores uma reta que 
melhor represente a relação entre essas variáveis. 
 Assim, supondo x variável independente e y a variável dependente, procura-se 
determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, obter 
uma função definida por: 
bxay += 
 
9.5.2. Estimação dos parâmetros 
 
 Para determinar o ajustamento de uma reta, é necessário encontrar os seus 
parâmetros a e b. 
 Os parâmetros a e b são encontrados através do método dos Mínimos 
Quadrados, que é um procedimento que utiliza dados de amostra para calcular uma 
equação de regressão estimada. 
( ) 
  
−
−
=
22
xxn
yxxyn
b 






−=−=

n
x
b
n
y
axbya 
Onde n = número de observações. 
 A equação de regressão estimada é escrita como: 
bxay +=

 
Onde y

 é o y estimado. 
Apostila de Estatística 74 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
Com a reta de regressão estimada, é possível prever valores de y 
correspondentes aos valores de x que pertencem a um determinado intervalo de 
dados. 
 
9.5.3. Interpretação dos parâmetros 
 
 Os parâmetros a e b são chamados de coeficientes de regressão. 
 O parâmetro b determina a inclinação da reta e o parâmetro a é o ponto onde a 
reta ajustada corta i eixo y. 
 
9.5.4. Coeficiente de Determinação (R2) 
 
 O coeficiente de determinação tem por objetivo avaliar a “qualidade” do ajuste. 
 Quanto mais próximo de 1 (ou 100%) estiver o valor de R2, melhor a “qualidade” 
do ajuste; quanto mais próximo de zero, pior será a “qualidade” do ajuste. 
 O coeficiente de determinação é dado por: 
yy
xx
S
Sb
R
.22 = 
Onde: 
( )
( )22
22


−=
−=
yynS
xxnS
yy
xx
 
Exemplo: Exemplo: Os dados de consumo de um determinado item estão relacionados 
na tabela abaixo. 
Mês 1 2 3 4 5 
Consumo 10 15 15 18 20 
Pede-se: 
a) Desenvolva uma equação de regressão estimada para esses dados; 
b) A equação de regressão estimada forneceu um bom ajuste? Por quê? 
c) Faça uma estimativa de consumo para o mês 6. 
 
 
Apostila de Estatística 75 
Profa. Rosana Giovanni Pires 
 x Y x.y x2 y2 
 1 10 
 2 15 
 3 15 
 4 18 
 5 20 
 
 
 
9.6. Exercícios 
 
1. Uma empresa que produz bens de alta tecnologia está preocupada com a 
produtividade de funcionários que exercem atividades repetitivas e procura descobrir 
como algumas variáveis podem influenciar no rendimento dessas pessoas. Para isso 
implementa em cada uma de suas três fábricas um programa específico alimentação 
especial sugerida pelos nutricionistas; intervalos para a prática de exercícios de 
relaxamento sugerido pelos fisioterapeutas, rodízio de funções sugerido pelos 
psicólogos. A tabela a seguir mostra o resultado da produtividade para diversos níveis 
implementados no programa. 
 
Produtividade 100 102 105 108 112 120 
Alimentação ( freq semanal ) 4 5 1 3 6 2 
Exercícios ( freq semanal ) 1 3 2 4 5 6 
Rodízio ( freq semanal ) 3 1 2 6 4 5 
 
a) Construa o diagrama de dispersão da produtividade contra cada uma das três 
variáveis explicativas. Qual variável parece manter melhor correlação linear com a 
produtividade? 
b) Calcule o coeficiente de correlação linear nos três casos. O coeficiente