Victor Nunes de Souza - Simulação de tornados utilizando as equações de Navier-Stokes

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Universidade Federal de Uberlândia 
Faculdade de Engenharia Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
Simulação e estudo da formação de tornados 
 
 
 
 
 
 
 
Ana Luiza Martins Pires 
Cláudio Ferreira dos Santos Júnior 
Evandro Evangelista 
Guilherme Scarafiz 
Kévin Yvnec 
Victor Nunes de Souza 
Vitor Marques Silva 
 
 
 
 
Uberlândia 
Dezembro de 2019 
2 
 
Resumo 
 
 O trabalho a seguir tem como objetivo estudar e simular a formação de 
tornados. A motivação para a realização do estudo se dá pela curiosidade em 
entender a formação dessas estruturas complexas que, em várias ocasiões, 
promovem catástrofes e geram estragos materiais e humanos. O estudo 
engloba três vertentes de pesquisa: estudos sobre o fenômeno, construção de 
um modelo de laboratório simplificado e simulação computacional, embasada 
nas formulações matemáticas da Mecânica dos Fluidos, com o objetivo de se 
comparar os resultados computacionais com os obtidos na experimentação 
desenvolvida utilizando o modelo físico. Para tanto, foram introduzidas 
condições de contorno bem definidas, utilização das equações de Navier-
Stokes nas três direções para realizar um balanço da quantidade de 
movimento, utilização das equações da continuidade e energia. Com o modelo 
matemático completo, que é introduzido no software a ser utilizado (MFSim), 
consegue-se produzir simulações que mostram resultados de vorticidade, 
campo de velocidades, campo de pressões e campo de temperaturas. Os 
resultados obtidos computacionalmente são comparados aos obtidos 
experimentalmente com o modelo físico, de forma a avaliar a consistência das 
simulações e obter resultados importantes no que diz respeito à formação e à 
estrutura de tornados, mostrando resultados satisfatórios, que validam os 
estudos e o trabalho aqui mostrado. 
 
Abstract 
 
 The following work aims to study and simulate the formation of 
tornadoes. The motivation for conducting the study is the curiosity to 
understand the formation of these complex structures that, on several 
occasions, promote catastrophes and generate material and human damage. 
The study encompasses tree strands of research: studies on the phenomenon, 
construction of a model simplified physics and computational simulation, based 
on the mathematical formulations of Fluid Mechanics, in order to compare the 
computational results with those obtained in the experimentation using the 
physical model. To this end, weel-defined boundary conditions were introduced, 
using the Navier-Stokes equations in the three directions to balance the amount 
of motion, using the continuity and energy equations. With the complete 
mathematical model, which is introduced in the software to be used (MFSim), it 
is possible to produce simulations that show results of vorticity, velocity field, 
pressure field, and temperature field. The results obtained are compared to 
those obtained experimentally with the physical model, in order to evaluate the 
consistency of the simulations and to obtain important results regarding the 
formation and structure of tornadoes, showing satisfactory results, which 
validate the studies and work here show. 
3 
 
Sumário 
 
1 INTRODUÇÃO...............................................................................................................pg. 4 
1.1 A DEFINIÇÃO DE UM TORNADO..................................................................pg. 4 
1.2 FORMAÇÃO DE UM TORNADO....................................................................pg. 4 
1.3 ESTRUTURA DOS TORNADOS....................................................................pg. 6 
1.4 CLASSIFICAÇÃO DOS TORNADOS.............................................................pg. 6 
1.5 TORNADOS NO BRASIL................................................................................pg. 8 
 
2 INTRODUÇÃO A SIMULAÇÃO CFD..............................................................................pg. 8 
 
2.1 ESCOAMENTO DE POISEUILLE EM UM CANAL TUBULAR.......................pg. 8 
2.2 MODELO FÍSICO............................................................................................pg. 8 
2.3 MODELO MATEMÁTICO DIFERENCIAL E CONTÍNUO (DINÂMICO)..........pg. 9 
2.4 MODELO COMPUTACIONAL E RESULTADOS......................................... pg. 11 
 
3 SIMULAÇÃO DE UM TORNADO..................................................................................pg. 17 
 
3.1 MODELO MATEMÁTICO DIFERENCIAL (DINÂMICO E TÉRMICO)...........pg. 18 
3.2 MODELO NUMÉRICO...................................................................................pg. 18 
3.3 RESULTADOS...............................................................................................pg. 20 
3.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS......................................................................pg. 22 
 
4 CONCLUSÃO................................................................................................................pg. 23 
 
5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...............................................................................pg. 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
1 Introdução 
 
1.1 A definição de um tornado 
 
Para iniciar o trabalho é conveniente expressar o significado de um 
tornado usando uma expressão formal e bem definida. Portanto, várias 
fontes de pesquisa definem um tornado de forma diferente, sendo a 
definição a seguir a mais aceita pelo grupo. 
Um tornado pode ser definido como uma coluna de ar que gira 
violentamente, estando em contato com a superfície do solo, pendente ou 
debaixo de uma nuvem cumuliforme e geralmente visualizada como uma 
nuvem em forma de funil e/ou com detritos/poeiras circulando junto ao chão 
(AMERICAN METROLOGICAL SOCIETY, 2013; MARCELINO, 2004). 
Segundo AHRENS, 2007, os tornados são rotações rápidas de ventos 
que ocorrem em torno de uma região de intensa baixa pressão e podem 
estar presentes ou não em super células de tempestade. Portanto, cabe ao 
leitor interpretar as definições e entender que os tornados são estruturas 
complexas e interessantes, sendo o estudo sobre o assunto interessante e 
instigante. 
 
1.2 Formação de um tornado 
 
Nesta parte do trabalho, será explicado como um tornado se forma, em 
termos gerais. Sabe-se que os tornados tendem a se formar em intensos 
temporais, ou seja, a instabilidade atmosférica é essencial para o 
desenvolvimento do fenômeno. Na gênese de formação do tornado se 
observa que parcelas de nuvens rotacionam em um eixo simbólico na base 
da célula da nuvem. Em seguida observa-se a parede da nuvem descendo 
em direção ao solo, formando a nuvem funil, (OLIVEIRA et al., 2001, p. 
288), movimento descendente da nuvem (parte visível do funil), mesmo não 
tocando o solo; ao mesmo tempo os vórtices de ar seco e quente levantam 
bastante poeira e sujeira até que o tornado atinja completamente seu 
estágio organizado. 
Segundo Markowski e Richardson (2009, p. 4), uma condição necessária 
para a formação do tornado é que uma forte vorticidade vertical seja gerada 
no solo. Ainda segundo Roturno apud Wakimoto e Wildson (1989) para que 
se forme um tornado é necessária uma superposição de massas de ar 
ascendentes e campos de rotações de ventos. Os tornados geralmente se 
formam sob nuvens cumulonimbos. O processo que se inicia no movimento 
descendente da nuvem é denominado de nuvem funil ou de nuvem de 
5 
 
parede; finalizando o processo quando o mesmo se dissipa. A nuvem 
cumulosnimbos, geralmente conhecida como nuvem de tempestade, é uma 
nuvem convectiva que produz precipitação, relâmpagos e por muitas vezes 
temporais severos. Dependendo das condições atmosféricas do ambiente 
essas nuvens podem produzir fortes frentes de rajada, tornados e precipitar 
granizo (FELÍCIO, 2007, p. 28). 
Eles tendem a se formar nesta região devido a posição do ar seco e frio 
da nuvem sobre o ar quente e úmido, produzindo uma instabilidadeatmosférica. O ar quente e úmido ao encontrar-se com uma massa de ar 
seca e fria ascende, provocando uma inversão de temperatura. Esse 
fenômeno de inversão é o principal responsável pela formação de nuvens 
cumulosnimbos logo após algumas horas do início da manhã. Segundo 
Ahrens (2007, p. 278) a inversão térmica tem um papel importante na 
atmosfera, pois evita a formação de pequenas e constantes tempestades. 
Os jatos de baixos níveis arrastam o ar quente e úmido para dentro da 
nuvem, gerando uma condição de instabilidade do ar, e rapidamente pode 
se desenvolver uma tempestade. No entanto, essa condição de 
instabilidade não indica a formação de um tornado. Em sequência, para 
uma tempestade desenvolver um tornado, a massa de ar ascendente deve 
estar em rotação, no entanto, nas tempestades severas os tornados 
somente se desenvolvem em locais com fortes cortes verticais do vento. 
Um estudo do National Weather Service (NWS) dos Estados Unidos, define 
que as tempestades severas são as que possuem ocorrências de tornados, 
com ventos resultantes acima de 26 m/s e danos associados à rajadas ou 
granizos de 1,9 cm de diâmetro ou mais (MCNULTY, 1995). Segundo 
Ahrens (2007, p. 273) as tempestades severas formam-se em regiões de 
longos cortes verticais de ventos. 
O rápido aumento da velocidade do vento e a mudança na direção do 
vento pela altitude – do vento vindo de uma direção em baixos níveis e para 
outra direção em altos níveis – causa a ascensão da massa de ar, 
originando uma vorticidade devido ao cisalhamento do vento, para dentro 
da tempestade gerando um ciclone. Esta ascendente rotação da coluna de 
ar vertical com 5 a 10 km de diâmetro é denominado de mesociclone. O 
mesociclone ao se esticar verticalmente e estreitar horizontalmente faz a 
velocidade tangencial aumentar rapidamente. Dentro dele a velocidade do 
vento aumenta e pode ser visto uma parede de nuvem descendo 
gradativamente. 
 
 
 
 
 
6 
 
 
1.3 Estrutura dos tornados 
 
A Figura 1.2 apresenta cinco regiões de escoamento em um tornado 
típico (LEWELLEN, 1976). Estas regiões são as seguintes: a) escoamento 
exterior (Ia): região acima da camada limite, prolongando-se por, pelo 
menos, 1 km para fora a partir do núcleo do vórtice. O ar girando na região 
externa se aproxima do eixo, enquanto vai subindo. A velocidade de 
rotação do escoamento aumenta à medida que se aproxima do eixo. b) 
núcleo (Ib): região que envolve o eixo do vórtice e se torna mais ampla à 
medida que se desloca a jusante (para cima). O núcleo do vórtice se 
estende para fora até o raio da velocidade tangencial máxima e varia, em 
tamanho, de dezenas a centenas de metros. Velocidades axiais 
ascendentes ou descendentes são observadas na região do núcleo, 
dependendo da estrutura de vórtice. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Classificação dos tornados 
 
 Para avaliar a magnitude e a intensidade de um tornado, existem 
escalas que os avaliam de acordo com sua velocidade e as consequências 
que são deixadas por tal magnitude e tal intensidade. Neste trabalho, 
apresentaremos a Escala Fujita Melhorada (National Weather Service), a 
fim de expor o método e os parâmetros que são levados em conta ao se 
avaliar um tornado. Seguem, abaixo, as tabelas retiradas do site National 
Weather Service, que apresentam a Escala Fujita melhorada. 
Como pode ser visto na tabela abaixo, nesta escala os tornados 
recebem um número de zero a cinco, sendo zero o tornado menos intenso 
Figura 1 - Esquema das regiões da estrutura de um tornado. 
7 
 
e cinco o tornado mais intenso. Essa numeração é obtida em função da 
velocidade que o mesmo atinge, em milhas por hora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Escala Enhanced Fujita ou EF Scale (Escala de Fujita melhorada), que 
entrou em operação em 1º de fevereiro de 2007, é usada para atribuir a um 
tornado uma 'classificação' com base nas velocidades estimadas do vento 
e nos danos relacionados. Quando os danos relacionados ao tornado são 
pesquisados, ele é comparado a uma lista de indicadores de dano e graus 
de dano, que ajudam a estimar melhor a faixa de velocidade do vento que o 
tornado provavelmente produziu. A partir disso, é atribuída uma 
classificação (de EF0 a EF5). A Escala EF foi revisada a partir da Escala 
Fujita original para refletir melhores exames dos levantamentos de danos 
causados por tornados, a fim de alinhar as velocidades do vento mais de 
perto com os danos causados pelas tempestades. 
 
Tabela 1 - Escala Fujita melhorada 
NUMBER 
(Details Linked) 
DAMAGE INDICATOR ABBREVIATION 
1 Small barns, farm outbuildings SBO 
2 One- or two-family residences FR12 
3 Single-wide mobile home (MHSW) MHSW 
4 Double-wide mobile home MHDW 
5 Apt, condo, townhouse (3 stories or less) ACT 
6 Motel M 
7 Masonry apt. or motel MAM 
8 Small retail bldg. (fast food) SRB 
9 Small professional (doctor office, branch bank) SPB 
10 Strip mall SM 
11 Large shopping mall LSM 
12 Large, isolated ("big box") retail bldg. LIRB 
13 Automobile showroom ASR 
14 Automotive service building ASB 
15 School - 1-story elementary (interior or exterior halls) ES 
EF SCALE 
EF Rating 3 Second Gust (mph) 
0 65-85 
1 86-110 
2 111-135 
3 136-165 
4 166-200 
5 Over 200 
Tabela 2 - Escala Fujita melhorada 
http://www.spc.noaa.gov/efscale/1.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/2.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/3.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/4.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/5.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/6.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/7.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/8.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/9.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/10.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/11.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/12.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/13.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/14.html
http://www.spc.noaa.gov/efscale/15.html
8 
 
 
1.4 Tornados no Brasil 
 
No Brasil, segundo Marcelino et al. (2004, p. 750), o país é atingido 
anualmente por fenômenos extremos que ocasionam desastres naturais de 
origem atmosférica. Dentre os estados, o mais atingido é, Santa Catarina 
afetada por variados fenômenos de origem atmosférica, uma vez que, 
oferece condições climáticas propícias às ocorrências de tornados. Em 
Santa Catarina, o levamento dos prejuízos socioeconômicos causados por 
alguns tornados são da ordem de US$ 1.800.000,00. Estes eventos 
afetaram diversos setores socioeconômicos, tais como agropecuário, 
comercial, industrial e público, como o abastecimento de água, energia 
elétrica e telefonia. Além disso, causaram 11 mortes e deixaram 294 feridos 
(MARCELINO, 2004, p. 27). No Brasil o maior tornado já registrado ocorreu 
em 30 de setembro de 1991, na Cidade de Itú – SP, atingindo a escala de 
classificação Fujita F4 (BECK; VERZENHASSI, 2008, p. 194). O evento 
provocou cerca de 16 mortes e vários feridos que representou a grande 
maioria, além de, um ônibus que foi capotado pelos fortes ventos, árvores 
foram arrancadas e outras retorcidas, empilhou carros e destruiu um posto 
de combustível (POMPÉIA, 2008). 
 
2 Introdução à simulação CFD (Computational Fluid Dynamics) 
 
 Neste trabalho, faremos o uso da simulação CDF (Computational Fluid 
Dynamics). Como sugestão do professor responsável pela disciplina, o grupo 
desenvolveu uma simulação de um escoamento de Poisseulli ao longo de um 
tubo, a fim de adiquirir conhecimentos e fazer uma introdução ao software 
MFSim, de propriedade do Laboratório de Mecânica dos Fluidos da 
Universidade Federal de Uberlândia (MFlab). 
 
2.1 Escoamento de Poiseuille em um canal tubular 
O escoamento de Poiseuille tem como característica a formação de um 
escoamento devido a um gradiente de pressão. Para escoamentos laminares é 
possível obter o perfil de velocidades por meio das propriedades do fluido e do 
escoamento. 
Primeiro, serão derivadas as equações referentes ao escoamentoem análise 
e posteriormente serão detalhadas as informações que devem ser inseridas na 
interface do software MFSim para análise. 
 
2.2 Modelo físico 
9 
 
 
Como o escoamento em análise desenvolve-se em um canal tubular, os 
modelos serão desenvolvidos considerando coordenadas cilíndricas. Na 
Figura 1 é possível observar o perfil de velocidades no interior do canal de 
raio R considerando um escoamento em regime laminar. 
 
 
Figura 2 - Esboço do modelo físico 
Podem ser assumidos para este escoamento: escoamento permanente, 
escoamento desenvolvido (vr=vθ=0), escoamento isotérmico, escoamento 
incompressível, fluido newtoniano, canal na direção de z. 
 
2.3 Modelos Matemáticos diferencial e contínuo (dinâmicos) 
 
As equações de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas são 
representadas por: 
 
𝑟: 𝜌 (
𝑑𝑣𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝑑𝑣𝑟
𝑑𝑟
+
𝑣𝜃
𝑟
𝑑𝑣𝑟
𝑑𝜃
−
𝑣𝜃
2
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝑑𝑣𝑟
𝑑𝑧
)
= −
𝑑𝑃
𝑑𝑟
+ 𝜌𝑔𝑟 + 𝜇 [
𝑑
𝑑𝑟
(
1
𝑟
𝑑(𝑟𝑣𝑟)
𝑑𝑟
) +
1
𝑟2
𝑑2𝑣𝑟
𝑑𝜃2
−
2
𝑟2
𝑑𝑣𝜃
𝑑𝜃
+
𝑑2𝑣𝑟
𝑑𝑧2
] 
 
𝜃: 𝜌 (
𝑑𝑣𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝑑𝑣𝜃
𝑑𝑟
+
𝑣𝜃
𝑟
𝑑𝑣𝜃
𝑑𝜃
+
𝑣𝜃𝑣𝑟
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝑑𝑣𝜃
𝑑𝑧
)
= −
𝑑𝑃
𝑑𝜃
+ 𝜌𝑔𝜃 + 𝜇 [
𝑑
𝑑𝑟
(
1
𝑟
𝑑(𝑟𝑣𝜃)
𝑑𝑟
) +
1
𝑟2
𝑑2𝑣𝜃
𝑑𝜃2
+
2
𝑟2
𝑑𝑣𝑟
𝑑𝜃
+
𝑑2𝑣𝜃
𝑑𝑧2
] 
𝑧: 𝜌 (
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
+
𝑣𝜃
𝑟
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝜃
+ 𝑣𝑧
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑧
)
= −
𝑑𝑃
𝑑𝑧
+ 𝜌𝑔𝑧 + 𝜇 [
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟
𝑑(𝑣𝑧)
𝑑𝑟
) +
1
𝑟2
𝑑2𝑣𝑧
𝑑𝜃2
+
𝑑2𝑣𝑧
𝑑𝑧2
] 
10 
 
 
Por meio das características do escoamento definidas no modelo físico, pode 
ser obtido o modelo dinâmico a partir da equação de Navier Stokes na 
direção z: 
𝑑𝑃
𝑑𝑧
= 𝜎 = 𝜇 [
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟
𝑑(𝑣𝑧)
𝑑𝑟
)] 
em que: 
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
|
𝑟=0
= 0 𝑒 𝑣𝑧(𝑟 = 𝑅) = 0 
 
Por meio da equação diferencial temos: 
 
𝜎
𝜇
= [
1
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟
𝑑(𝑣𝑧)
𝑑𝑟
)] 
𝜎𝑟
𝜇
=
𝑑
𝑑𝑟
(𝑟
𝑑(𝑣𝑧)
𝑑𝑟
) 
𝜎𝑟
𝜇
𝑑𝑟 = 𝑑 (𝑟
𝑑(𝑣𝑧)
𝑑𝑟
) 
Integrando a equação, temos: 
𝜎
𝜇
𝑟
2
2
+ 𝑎 = 𝑟
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
 
𝜎
𝜇
𝑟
2
 + 𝑎 =
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
 
 
Sabendo que: quando r = 0, 
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
= 0 então a constante resultante da 
integração (a) é nula: 
𝜎
𝜇
𝑟
2
 =
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑟
 
Integrando novamente: 
𝑣𝑧 =
𝜎
𝜇
𝑟2
4
+ 𝑏 
Como 𝑣𝑧(𝑅) = 0, logo: 
𝑏 = −
𝜎
𝜇
𝑅2
4
 
11 
 
 
Com isso o perfil de velocidades é dado por: 
𝒗𝒛(𝒓) =
𝝈
𝟒𝝁
 (𝒓𝟐 − 𝑹𝟐) 𝒐𝒖 𝒗𝒛(𝒓) = −
𝟏
𝟒𝝁
 
𝒅𝑷
𝒅𝒛
(𝟏 −
𝒓𝟐
𝑹𝟐
) 
 
Para o cálculo da velocidade média temos primeiro que determinar a vazão 
volumétrica no canal: 
𝑄 = ∫ �⃗� 
2𝑅
𝐴
𝑑𝐴 = ∫ 𝑣𝑧2𝜋𝑟𝑑𝑟
2𝑅
0
= ∫ −
1
4𝜇
 
𝑑𝑃
𝑑𝑧
(1 −
𝑟2
𝑅2
)2𝜋𝑟𝑑𝑟
2𝑅
0
 
𝑄 = −
1
8𝜇
 
𝑑𝑃
𝑑𝑧
 
Desse modo, a velocidade média é dada por: 
 
𝒗𝒛̅̅ ̅ =
𝑸
𝑨
=
𝑸
𝝅𝒓𝟐
= −
𝑹𝟐
𝟖𝝁
(
𝒅𝑷
𝒅𝒛
) 
 
Por último a velocidade máxima é dada por: 
 
𝒗𝒛(𝒓 = 𝟎) = 𝒗𝒛(𝒎á𝒙) = −
𝟏
𝟒𝝁
 
𝒅𝑷
𝒅𝒛
, 
logo: 𝒗𝒛(𝒎á𝒙) = 𝟐 𝒗𝒛̅̅ ̅ 
 
2.4 Modelo numérico-computacional e resultados 
 
Para resolver o problema usando um computador, precisamos de 
software que atenda as necessidades do caso estudado. Para isso, como já foi 
dito, o grupo fez uso do software MFSim, que permite a criação das malhas 
euleriana e lagrangiana, que são a base de toda a simulação. O software 
permite também impor todas as condições de contorno necessárias para a 
solução do problema, sejam elas condições de Dirichlet ou condições de 
Neumann. Portanto, a interface do programa nos permite fazer todas as 
alterações e todas as configurações por meio de botões, caixas de texto e 
outros mecanismos, ou seja, não é necessário, neste trabalho, escrever um 
código computacional do início para a simulação. 
12 
 
O programa utilizado trabalha em seu código com as equações 
essenciais da Mecância dos Fluidos: equações de Navier-Stokes, equação da 
continuidade e equação da energia. Nesta etapa do trabalho, não será feito o 
estudo térmico do problema, mas apenas o estudo dinâmico. Portanto, não 
será utilizada a equação da energia. Adiciona-se o termo forçante afim de 
garantir que a velocidade na fronteira imersa seja zero. 
Para estudar e simular o problema, opta-se por representar apenas um 
quarto do tubo. Com isso, pode-se realizar as simulações e as milhares 
iterações de forma mais rápida, reduzindo o custo computacional, porém 
mantendo a qualidade dos resultados obtidos em comparação com a realidade. 
Inicialmente, são definidas condições de contorno referentes à dimensões do 
tubo, valores de pressão no início e no final do trecho, número de Reynolds 10 
e 100 para comparação, entre outras condições básicas para modelar o 
problema. O comprimento do tubo mede 2 metros e seu diâmetro é de 0,64 
metros. Os valores de pressão e velocidade para cada caso podem ser obtidos 
pelos gráficos na sequência. 
Após criar a malha lagrangiana no Gmesh é necessário criar a malha 
euleriana no software MFSim, que vai permitir definir as condições de controle 
do domínio de cálculo. Observa-se que o comprimento do elemento da malha 
lagrangeana foi definido com base no comprimento da malha euleriana. Assim, 
no software MFSim, definimos condições de dirichlet na pressão sobre as faces 
no eixo Z para impor o gradiente de pressão que vai promover o escoamento 
do fluido no canal. O gradiente de pressão é determinado de tal maneira que 
nós obtemos uma velocidade média do fluido que permite obter os números de 
Reynolds escolhidos. Uma vista das duas malhas usadas para as simulações 
é mostrada abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primeiramente, foi feita uma simulação com Re = 10. Para visualizar os 
resultados da mesma, utiliza-se o software VisIt. Seguem, abaixo, imagens 
referentes aos resultados para essa primeira simulação. 
 
Figura 3- Domínio de cálculo. 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - Campo de pressão para Re= 10. 
y = -2,5585x + 6,1107
R² = 1
0
2
4
6
8
0,00E+00 5,00E-01 1,00E+00 1,50E+00 2,00E+00
P
re
ss
ao
 (
Pa
)
x(m)
P = f(x)
Figura 5– Perfil de pressão para Re = 10. 
Figura 6- Campo de velocidades para Re = 10 
14 
 
 
 
 
 Observando-se os resultados, pode-se perceber que a pressão cai 
linearmente ao longo do trecho do tubo, como previsto pela teoria. 
 Para avaliar a solução proposta pelo software MFSim, representamos 
também o perfil de velocidade analítico. Ao comparar os dois perfis, ambos 
parecem seguir a mesma tendência, com uma velocidade nula na parede e 
uma velocidade máxima ao centro do cilindro. Pequenas diferenças podem ser 
observadas na proximidade da parede, que podem ocorrer devido a uma malha 
não suficientemente refinada na parede. 
 Agora, serão apresentados os resultados de simulação para um número 
de Reynolds igual a 100. 
 
 
 
Figura 7 - Comparação entre a velocidade teórica e experimental para Re= 10. 
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,00E+00 5,00E-02 1,00E-01 1,50E-01 2,00E-01 2,50E-01
U
(m
/s
)
R(m)
U_exp vs U_teo
MFSim
Teoria
Figura 8 - Campo de pressões para Re = 100. 
Figura 3 - Distribuição de pressão para Re= 100 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y = -25,485x + 52,102
R² = 1
-8
2
12
22
32
42
52
0 0,5 1 1,5 2
P
re
ss
ao
 (
Pa
)
X(m)
P = f(x)
Figura 9 - Perfil de pressão para Re= 100. 
Figura 10 - Campo de velocidades para Re= 100. 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
-5,00E-02 5,00E-02 1,50E-01 2,50E-01
U
(m
/s
)
R(m)
U_exp vs U_teo
MFSim
Teoria
Figura 11- Comparação dos perfis de velocidade teórico e experimental para Re = 100. 
16 
 
Analisando os resultados obtidos, podemos ver que o comportamento também 
está de acordo com a teoria, com a pressão caindo linearmente ao longo do 
tubo e os resultados do MFSim extremamente próximosao da teoria. Abaixo, 
segue um gráfico comparativo entre os perfis de velocidade para os dois 
números de Reynolds. 
 
 
 
 
 
 Após a realização de todas as simulações e obtenção de todos os 
resultados, concluímos que a modelagem foi feita com sucesso, obtendo 
valores próximos aos valores da teoria. Assim, pode-se validar o aprendizado 
do grupo quando à introdução aos softwares utilizados e aos princípios básicos 
das simulações CFD, tópico extremamente importante para a pesquisa e o 
desenvolvimento na área de Mecânica dos Fluidos. Dessa forma, pode-se dizer 
que o grupo está apto a iniciar as simulações referentes à formação de um 
tornado, objetivo principal do trabalho. 
 
 
3 Simulação de um tornado 
 
Nessa seção, vamos descrever como foi feita a simulação de um tornado no 
caso experimental e no caso de uma simulação numérico computacional. 
As duas simulações foram feitas usando uma caixa retangular de dimensões 
50cmx50cmx1m com frestas em cada face e uma fonte de calor na parte baixa 
da caixa como mostrado na figura abaixo. 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,00E+005,00E-02 1,00E-01 1,50E-01 2,00E-01 2,50E-01
U
(m
/s
)
R(m)
Re_10 vs Re_100
Re_100
Re_10
Figura 12- Gráfico comparativos para Re = 10 e Re = 100. 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13: Representação da caixa 
 
3.1 Modelo Físico 
No nosso caso, não existe um modelo analítico para descrever o escoamento. 
Para resolver este escoamento, é necessário considerar a equação da 
conservação da massa e as três equações de Navier-Stokes no referencial 
cartesiano. 
As equações no referencial cartesiano são apresentadas abaixo 
 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
+ 
𝜕(𝜌 ⋅ 𝑢)
𝜕𝑥
+
𝜕(𝜌 ⋅ 𝑣)
𝜕𝑦
+
𝜕(𝜌 ⋅ 𝑤)
𝜕𝑤
= 0 
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ (𝑢 ⋅
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣 ⋅
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤 ⋅
𝜕𝑢
𝜕𝑤
) = 
−1
𝜌
⋅
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝑔𝑥 + 𝜈 ⋅ (
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
) 
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ (𝑢 ⋅
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣 ⋅
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤 ⋅
𝜕𝑣
𝜕𝑤
) = 
−1
𝜌
⋅
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝑔𝑦 + 𝜈 ⋅ (
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
) 
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ (𝑢 ⋅
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣 ⋅
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤 ⋅
𝜕𝑤
𝜕𝑤
) = 
−1
𝜌
⋅
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝑔𝑧 + 𝜈 ⋅ (
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
) 
18 
 
 Por meio dessas equações de quantidade de movimento linear é possível 
modelar fenômenos com propriedades do fluido constantes. Como o fenômeno 
do tornado a ser modelado tem efeitos térmicos torna-se necessário a 
aplicação do termo de aproximação de boussinesq para modelar corretamente 
a variação de massa específica devido ao gradiente de temperatura. 
 
 
 
 
3.2 Modelo Numérico 
 
No caso do modelo numérico as equações de Navier-Stokes são 
resolvidas discretizando o domínio de cálculo em uma malha e aplicando 
condições de contorno na malha. 
No nosso caso, a malha Eulerianna, que compõe todo o domínio de 
cálculo foi dividido em 64 células no eixo x, 64celulas no eixo y e 128 células 
no eixo z, ou seja, em um número total de células de 524,288. 
Só um nível de refinamento foi usado para a simulação. Então a malha usada é 
uniforme. Isso permite reduzir o tempo da simulação, mas pode provocar uma 
perda de informação desde que uma malha mais fina permite capturar 
variações mais importantes das grandezas envolvidos no escoamento. 
 Na caixa apresentada acima, impomos uma temperatura na parte baixa 
da placa e nas faces laterais o escoamento fica livre. Logo, na parte baixa da 
caixa, aplicamos uma condição de tipo Dirichlet para impor um valor fixo da 
temperatura. Nas faces laterais, impostamos uma condição de tipo Neumann 
para a velocidade. Na parte baixa da caixa, a velocidade deve ser nula, então 
impomos uma condição de tipo Dirichlet. 
Nas faces laterais, o escoamento estando promovido por variações de 
pressão, impomos condições de tipo Dirichlet. As condições de contorno 
usadas são resumidas na tabela seguinte. 
 
 
 
Face Velocidade Temperatura Pressão 
West Neumann Neumann Dirichlet 
East Neumann Neumann Dirichlet 
South Neumann Neumann Dirichlet 
North Neumann Neumann Dirichlet 
Bottom Dirichlet Dirichlet Neumann 
Top Neumann Neumann Dirichlet 
Tabela 3 - Relação das condições de contorno 
 
 
𝝆 ⋅ 𝑪𝒑 ⋅ ൤
𝝏𝑻
𝝏𝒕
+ (𝑽 ⋅ 𝛁) ⋅ 𝑻൨ = 𝒌 ⋅ 𝛁𝟐𝑻 + 𝝁 ⋅ [𝟐 ⋅ ൫𝝐𝒙𝒙
𝟐 + 𝝐𝒚𝒚
𝟐 + 𝝐𝒛𝒛
𝟐 ൯ + 𝝐𝒙𝒚
𝟐 + 𝝐𝒙𝒛
𝟐 + 𝝐𝒚𝒛
𝟐 ] 
19 
 
 
Durantes as simulações, testamos diferentes condições físicas para avaliar o 
processo de formação do tornado. 
Fazemos várias as dimensões da placa, a temperatura da placa, e o tamanho 
das frestas nas faces laterais. 
As diferentes condições de simulação são resumidas na tabela seguinte: 
 
 
Simulação Temperatura 
da placa 
Tempo de 
simulação 
Tamanho da 
placa 
Fresta parcial 
ou total 
1 303 50s 22cm Total 
2 330 30s 30cm Total 
3 318 40s 22cm Total 
4 360 16s 15cm Total 
5 330 50s 22cm Total 
6 318 50s 22cm Parcial 
Tabela 4 - Condições de simulação 
 
3.3 Resultados 
 
a) Simulação 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14 : Contorno de temperatura 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15: Isolinhas 
Figura 16 : Vorticidade em diferentes instantes 
21 
 
B) Simulação 2 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Vorticidade por diferentes instantes 
Figura 17 : Contorno de temperatura 
Figura 18 : Estruturas turbilhonarias (isoq) 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19 : Isolinhas 
Figura 20 : Vorticidade em diferentes instantes 
23 
 
c) Simulação 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 21 : Contorno de temperatura 
Figura 22 : Estruturas turbilhonarias (isoq) 
24 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 23 : Isolinhas 
Figura 24 : Vorticidade em diferentes instantes 
25 
 
D) Simulação 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25: Contorno de temperatura 
Figura 26: Isolinhas 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 27: Vorticidade por diferentes instantes 
27 
 
E) Simulação 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 28: Contorno de temperatura 
Figura 29: Isolinhas 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30: Vorticidade por diferentes instantes 
29 
 
F) Simulação 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 31: Contorno de temperatura 
Figura 32 : Estruturas turbilhonarias (isoq) 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 33: Isolinhas 
Figura 34: Vorticidade por diferentes instantes 
31 
 
3.4 Analise dos resultados 
a) Influencia da temperatura 
Ao observar os resultados, podemos observar que a temperatura influencia 
muito sobre o tempo de formação de estruturas de vórtice. 
Temperatura da placa Tempo de formação do tornado 
303K 45s 
318K 20s 
330K 16s 
360K 9s 
Tabela 5 - Temperatura e tempo de simulação 
 
Essa diferencia no tempo de formação do tornado é devido ao fato que o 
gradiente de temperatura influencia muito sobre o gradiente de pressão que 
influa sobre a rotação da estrutura de vórtice. Assim, melhor é o gradiente de 
temperatura com o meio ambiente e melhor será a formação do tornado. 
A temperatura de referência que foi usada por o meio ambiente é de 300K. 
 
Na simulação com uma temperatura de 360K foi muito corto, mas 
permite ver a importância deste gradiente de temperatura com o meio exterior. 
Nesse caso a formação do tornado é muito rápido. 
 
A avaliação da influência do gradiente de temperatura é importante para 
avaliar se na naturaliza pode-se encontrar a formação de tornados por um dado 
gradiente de temperatura. 
 
 
b) Influência do tamanho da placa. 
 
A influência do tamanho da placa vai ser o mesmo que a influência da 
temperatura. O tamanho da placa influa sobre o gradiente de temperaturae 
logo no gradiente de pressão. Mas grande a placa é, mais rápido o tornado vai 
formar. 
 
c) Influência do tamanho da fresta 
O tamanho da fresta tem uma importância no desenvolvimento da 
estrutura de vórtice. Quando a fresta está aberta, isso promove um 
escoamento cisalhante que vai permitir a formação do tornado. Quando a fresta 
vai ser fechada, o ar não vai entrar mais na caixa, sendo o tornado livre e ele 
vai perder energia até que a estrutura de vórtice desaparece. 
 
 
32 
 
4 Conclusão 
 
Através do estudo realizado, foi possível entender o processo de 
formação de um tornado. Pôde-se notar a semelhança entre os resultados 
obtidos computacionalmente com os obtidos experimentalmente com o modelo 
físico, assim, verificou-se a consistência das simulações e podemos entender a 
formação e a estrutura dos tornados reais. 
Além disso, foi possível estudar a influência que a temperatura da placa 
(superfície aquecida) e tamanho da placa tinham sobre a formação do tornado. 
Tais parâmetros possuem grande influência sobre o gradiente de pressão 
gerado e, portanto, conforme eles variam muda-se o tempo que o tornado leva 
para se formar. 
Finalizando, comparando os resultados encontrados experimentalmente 
e computacionalmente com os tornados reais podemos verificar grande 
semelhança. Concluímos também, que o processo de formação de um tornado 
real se dá através dos mesmos mecanismos descritos ao longo deste trabalho 
(gradiente de temperatura, gradiente de pressão, entre outros). 
 
5 Referências bibliográficas básicas 
 
1 - CÂNDIDO, 2012, "TORNADOS E TROMBAS-D’ÁGUA NO BRASIL: 
MODELO DE RISCO E PROPOSTA DE ESCALA DE AVALIAÇÃO DE 
DANOS"; 
 
2 - AGUIRRE, 2017, "Simulação Numérica de Tornados usando o Método dos 
Elementos Finitos"; 
 
3 - Jornal da Unicamp, 2012, "Na rota dos tornados"; 
 
4 - Arhens, 2007; 
 
5 - National Weather Service website; 
 
6 - WHITE, Frank, "Mecânica dos fluidos";