PC_2021-1_EP01_Modulo_Raiz_Dominio-Sinal

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Pré-Cálculo 2021-1 EP01 1 de 51 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2021-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
 
EP01 – Módulo, Raiz, Domínio e Análise do Sinal de Expressões. 
 
Caro aluno 
Este é o nosso primeiro Exercício Programado, que chamaremos de EP. O EP01 é o primeiro de 
muitos EPs que vamos trabalhar juntos. Nesse primeiro EP vamos estudar vários tópicos do Ensino 
Médio que podem estar esquecidos ou que talvez você nunca tenha estudado. Recomendamos 
fortemente que você trabalhe todo o seu conteúdo na semana 1. Os tópicos que você terá que rever 
ou aprender são: Definição e Propriedades do Módulo ou Valor Absoluto, Definição e Propriedades 
da Raiz Quadrada e Raiz Cúbica e por último, Domínio e Análise de Sinal de Expressões. 
Você não encontrará esses conteúdos no Livro "Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 3", nem no Livro 
"Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 4", esses são os livros de Pré-Cálculo distribuídos nos polos, em 
versão impressa. Excepcionalmente, os módulos 3 e 4 não serão distribuídos nos polos neste 
período, devido às restrições da pandemia do novo coronavírus. Os módulos 3 e 4 só estão 
disponíveis em PDF na plataforma. Você vai precisar desse material a partir da semana 3. 
Esperamos que as orientações dadas nos EPs ajudem nessa caminhada. Faremos uma introdução 
de cada assunto, daremos alguns exemplos e no final tem uma lista de exercícios para você fazer 
sozinho ou discutir com colegas. Será divulgado ainda nessa semana o Gabarito do EP01 com 
resoluções detalhadas desses exercícios. 
Caso você fique em dúvida nas resoluções dos exercícios, não hesite em entrar em contato com o 
mediador a distância que atende na sala de tutoria da plataforma ou pelo 0800 (enquanto as 
atividades presenciais na sede da Coordenação não estiverem funcionando por causa da pandemia do 
coronavírus, o 0800 estará indisponível, o atendimento será por CHAT na plataforma). Você também 
pode entrar em contato com o mediador presencial que atenderá na plataforma através do Fórum do 
seu polo, enquanto as atividades nos polos não estiverem funcionando por causa da pandemia do 
coronavírus. 
 
Orientação de estudo do EP01 
O conteúdo do EP01 é muito importante para tudo que será visto tanto em Pré-Cálculo como nas 
disciplinas de Cálculo. Por esse motivo, o ideal é que você estude todo o seu conteúdo nessa primeira 
semana. Caso você não consiga estudar tudo nessa semana, você deve avançar no estudo do conteúdo 
das próximas semanas e, quando se deparar com alguma dúvida que é parte do conteúdo do EP01, 
volte aqui e estude mais um pouco o EP01. Estamos orientando que você use o EP01 como material 
de consulta durante todo o período. 
 
Vamos começar? 
 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 2 de 51 
Símbolos em Matemática 
Vamos começar listando alguns símbolos e seus significados que são usados com frequência em 
Matemática. 
Orientação de uso dessa lista: não precisa decorar tudo, use essa lista apenas para consulta, 
quando não entender um texto porque não conhece o significado de algum símbolo usado no texto. 
1) ℕ conjunto dos números naturais 
2) ℤ conjunto dos números inteiros 
3) ℚ conjunto dos números racionais 
4) ℝ conjunto dos números reais 
5) ℂ conjunto dos números complexos 
6) ∈ pertence 
7) 𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 pertence a 𝐵 
8) 𝑎 ∈ 𝐵 elemento 𝑎 pertence ao conjunto 𝐵 
9) 𝑎 ∈ 𝐵 𝑎 é elemento de 𝐵 
10) ⊂ contido 
11) 𝐴 ⊂ 𝐵 𝐴 está contido em 𝐵 
12) 𝐴 ⊂ 𝐵 conjunto 𝐴 está contido no conjunto 
𝐵 
13) 𝐴 ⊂ 𝐵 conjunto 𝐴 é subconjunto do 
conjunto 𝐵 
14) 𝐴 ⊂ 𝐵 𝐴 é subconjunto de 𝐵 
15) ∪ união 
16) 𝐴 ∪ 𝐵 𝐴 união 𝐵 
17) 𝐴 ∪ 𝐵 conjunto 𝐴 união com o conjunto 𝐵 
18) ∩ interseção 
19) 𝐴 ∩ 𝐵 𝐴 interseção 𝐵 
20) 𝐴 ∩ 𝐵 conjunto 𝐴 interseção com o 
conjunto 𝐵 
21) ∃ existe 
22) ∃𝑥 existe 𝑥 
23) ∃𝑥 existe pelo menos um 𝑥 
24) ∃𝑥 existe algum 𝑥 
25) ∄ não existe 
26) ∄𝑥 não existe 𝑥 
27) ∄𝑥 não existe nenhum 𝑥 
28) ∀ qualquer 
29) ∀𝑥 qualquer 𝑥 
30) ∀𝑥 para todo 𝑥 
31) ⟹ implicação 
32) 𝑝 ⟹ 𝑞 𝑝 implica em 𝑞 
33) 𝑝 ⟹ 𝑞 a sentença 𝑝 é verdadeira implica 
que a sentença 𝑞 é verdadeira 
34) 𝑝 ⟹ 𝑞 se a sentença 𝑝 é verdadeira então a 
sentença 𝑞 é verdadeira 
35) 𝑝 ⟹ 𝑞 se 𝑝 então 𝑞 
36) ⟺ equivalência 
37) 𝑝 ⟺ 𝑞 𝑝 equivale a 𝑞 
38) 𝑝 ⟺ 𝑞 a sentença 𝑝 ser verdadeira equivale 
à sentença 𝑞 ser verdadeira 
39) 𝑝 ⟺ 𝑞 a sentença 𝑝 é verdadeira se e 
somente se a sentença 𝑞 é verdadeira 
40) 𝑝 ⟺ 𝑞 𝑝 se e somente se 𝑞 
41) 𝑝 ⟺ 𝑞 a sentença 𝑝 é verdadeira se e só se 
a sentença 𝑞 é verdadeira 
42) 𝑝 ⟺ 𝑞 𝑝 se e só se 𝑞 
Módulo (ou Valor Absoluto) de um número real 
Gostaríamos que prestassem bastante atenção na definição do Módulo (ou Valor Absoluto). É muito 
comum os alunos usarem incorretamente essa definição. É um tópico muito importante, vamos tentar 
esclarecer as possíveis dúvidas que vocês ainda possam ter sobre esse assunto! 
Definição de módulo de um número real 
Seja 𝑎 um número real qualquer, |𝑎| (leia módulo de 𝑎), é definido por |𝑎| = {
𝑎 , 𝑠𝑒 𝑎 > 0
0 , 𝑠𝑒 𝑎 = 0
−𝑎 , 𝑠𝑒 𝑎 < 0
 
OBSERVAÇÃO 1: As frases "Seja 𝑎 um número real qualquer" ou "Seja 𝑎 pertencente ao conjunto dos números 
reais" ou "Seja 𝑎 ∈ ℝ" têm o mesmo significado. 
OBSERVAÇÃO 2: O que está escrito dentro da chave é uma maneira resumida de escrever: 
|𝑎| = 𝑎, se 𝑎 > 0 ou |𝑎| = 0, se 𝑎 = 0 ou |𝑎| = −𝑎, se 𝑎 < 0. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 3 de 51 
IMPORTANTE: É muito comum o aluno achar que, se 𝑎 ∈ ℝ , −𝑎 é um número negativo, por causa 
do sinal “menos“ antes de 𝑎 . O sinal de −𝑎 depende do valor que 𝑎 assume. Leia mais 
sobre isso na explicação a seguir. 
 
 Se 𝑎 > 0 então −𝑎 < 0. Por exemplo, se 𝑎 = 3 > 0 então −𝑎 = −3 < 0. 
Se 𝑎 < 0 então −𝑎 > 0. Por exemplo, se 𝑎 = −5 < 0 então −𝑎 = −(−5) = 5 > 0. 
Levando em consideração a definição de Módulo e a observação que fizemos sobre o sinal de −𝑎 
temos uma propriedade muito importante do Módulo: 
|𝑎| ≥ 0, para todo número real 𝑎 e |𝑎| = 0 ⇔ 𝑎 = 0. 
Exemplos: 
|5| = 5 , pois 5 > 0 |−7| = −(−7) = 7 , pois −7 < 0. 
Observe |5| = 5 > 0 e |−7| = 7 > 0. 
|𝜋 − 3| = 𝜋 − 3, pois 𝜋 ≅ 3,14 𝑒 𝜋 − 3 ≅ 0,14 ⟹ 𝜋 − 3 > 0. 
|3 − 𝜋| = −(3 − 𝜋) = 𝜋 − 3 , pois 𝜋 ≅ 3,14 , 3 − 𝜋 ≅ −0,14 ⟹ 3 − 𝜋 < 0. 
|410 − 411| = −(410 − 411) = 411 − 410 , pois 410 < 411 ⟹ 410 − 411 < 0. 
|
9
17
−
27
51
| = 0, pois 
9
17
−
27
51
=
9
17
−
3×9
3×17
=
9
17
−
9
17
 ⟹ 
9
17
−
27
51
 = 0. 
 
Observação sobre a definição de módulo de um número real a 
Considerando 𝑎 ∈ ℝ , definimos |𝑎| como a seguir: 
|𝑎| = {
𝑎 , 𝑠𝑒 𝑎 > 0
0 , 𝑠𝑒 𝑎 = 0
−𝑎 , 𝑠𝑒 𝑎 < 0
 
Podemos reescrever essa definição da seguinte forma 
|𝑎| = {
𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 ≥ 0
−𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 < 0
 Observe que nesse caso se substituir 𝑎 por 0 no valor 𝑎 da primeira 
linha, obtemos |0| = 0. 
Também podemos reescrever a definição inicial de uma outra forma, que não é tão usual: 
|𝑎| = {
𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 > 0
−𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 0
 Observe que nesse caso se substituir 𝑎 por 0 no valor −𝑎 da segunda 
linha, obtemos |0| = −0 = 0. 
Mas, atenção, está errado escrever |𝑎| = {
𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 ≥ 0
−𝑎, 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 0
 porque um número real só deve constar 
em apenas uma das leis da definição e nesse caso o número 0 estaria na definição |𝑎| = 𝑎 𝑠𝑒 𝑎 ≥
0 e na definição |𝑎| = −𝑎 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 0. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 4 de 51 
MODÚLO DE EXPRESSÃO: APLICAÇÃO DA DEFINIÇÃO DE MÓDULO 
Se queremos escrever o módulo de uma expressão aplicando a definição de módulo de um número 
real 𝑎 , temos que substituir 𝑎 por essa expressão em todas as partes da definição de |𝑎| em que 
aparece o númeroreal 𝑎. 
Por exemplo, queremos escrever |𝑥 − 3|. Aplicando a definição de módulo, vamos substituir o número 
real 𝑎 por 𝑥 − 3, obtendo: 
|𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 − 3 > 0
0 , 𝑠𝑒 𝑥 − 3 = 0 
−(𝑥 − 3) , 𝑠𝑒 𝑥 − 3 < 0
 
Sabemos que −(𝑥 − 3) = −𝑥 + 3 e 
𝑥 − 3 > 0 ⟺ 𝑥 > 3, 𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = 3, 𝑥 − 3 < 0 ⟺ 𝑥 < 3. 
Portanto, podemos escrever |𝑥 − 3| na forma |𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 > 3
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 3
−𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
Ou ainda podemos escrever em uma das formas: 
|𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
−𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 ou |𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 > 3
−𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 3
 
ATENÇÃO: 
Um erro muito comum encontrado nas soluções dos exercícios é: 
|𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 > 0
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 0
−𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
Observe que o que está sendo modulado é 𝑥 − 3 e não 𝑥 . 
Ou seja, se queremos escrever |𝑥 − 3| usando a definição de módulo, é preciso substituir 𝑎 por 𝑥 − 3, 
em todas as partes da definição de |𝑎|. 
Assim, é incorreto escrever |𝑥 − 3| = 𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 > 0 . 
O correto é |𝑥 − 3| = 𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 − 3 > 0 , donde |𝑥 − 3| = 𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 > 3. 
Procedendo da mesma forma nas outras linhas da definição, concluímos que o correto é: 
|𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 > 3
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 3
−𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
 
errado 
errado 
errado 
correto 
correto 
correto 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 5 de 51 
MODÚLO DE UMA EXPRESSÃO: REPRESENTAÇÃO NA RETA REAL 
Vamos representar na reta real as expressões que compõem a definição do módulo de uma 
expressão. Vamos usar como exemplo |𝑥 − 3|. 
 |𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 > 3
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 3
−𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
 
 
 
 
Note que: 
para 𝑥 < 3 , substituímos |𝑥 − 3| por −𝑥 + 3 ; 
para 𝑥 = 3 , substituímos |𝑥 − 3| por 0 ; 
para 𝑥 > 3 , substituímos |𝑥 − 3| por 𝑥 − 3 . 
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA OU DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 
Dado um número 𝑎 ∈ ℝ , sabemos que há três possibilidades, 𝑎 = 0 ou 𝑎 > 0 ou 𝑎 < 0. 
A seguir podemos observar |a| na reta numérica em cada caso de 𝑎. 
Se 𝑎 = 0 Se 𝑎 > 0 Se 𝑎 < 0 
 
Exemplo 1 𝑎 = 0 Exemplo 2 𝑎 = 1,6 > 0 Exemplo 3 𝑎 = −2 < 0 
 
Observando a distância de 𝑎 até a origem em cada caso: 
 
 
Exemplo 1 𝑎 = 0 Exemplo 2 𝑎 = 1,6 > 0 Exemplo 3 𝑎 = −2 < 0 
 
 
 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 6 de 51 
Assim, a representação geométrica ou definição geométrica do módulo de um número real 𝑎 é: 
dado 𝑎 ∈ ℝ , |𝒂| é a distância de 𝒂 até a origem da reta real (ou reta numérica). 
ALGUMAS PROPRIEDADES DE MÓDULO 
 
Aplicando a definição geométrica de |𝑎| (distância de 𝑎 até a origem), podemos concluir algumas 
propriedades de módulo. 
 
• PROPRIEDADE: 
|𝑎| ≥ 0, para todo número real 𝑎 e |𝑎| = 0 ⇔ 𝑎 = 0 
 
• PROPRIEDADE: 
|−𝑎| = |𝑎| para todo número real 𝑎 [𝑎 e −𝑎 são simétricos em relação à origem e 
assim têm a mesma distância até a origem] 
 
Veja abaixo os três possíveis casos (𝑎 > 0 𝑜𝑢 𝑎 < 0 𝑜𝑢 𝑎 = 0). 
Se 𝑎 > 0 então o simétrico −𝑎 < 0. 
Distância de 𝑎 até 0 é igual a 𝑎. 
Distância de −𝑎 até 0 é igual a 𝑎. 
Ou seja, |𝑎| = 𝑎 e |−𝑎| = 𝑎. 
Portanto, |−𝑎| = |𝑎|. 
 
Se 𝑎 < 0 então o simétrico −𝑎 > 0. 
Distância de 𝑎 até 0 é igual a −𝑎. 
Distância de −𝑎 até 0 é igual a −𝑎. 
Ou seja, |𝑎| = −𝑎 e |−𝑎| = −𝑎. 
Portanto, |−𝑎| = |𝑎|. 
 
Se 𝑎 = 0 então o simétrico −𝑎 = 0. 
Distância de 𝑎 = 0 até 0 é igual a 0. 
Distância de −𝑎 = 0 até 0 é igual a 0. 
Ou seja, |𝑎| = 0 e |−𝑎| = 0. 
Portanto, |−𝑎| = ||. 
 
 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 7 de 51 
Exemplos 
 
1) Se 𝑎 = 1,6 > 0 2) Se 𝑎 = −3 < 0. 
 
 
 
 
 
 
• PROPRIEDADE 
Considere 𝑎 e 𝑏 números reais. Temos que: 
|𝑎| = |𝑏| ⇔ 𝑎 = ±𝑏 ⇔ 𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 = −𝑏 
[𝑎 e 𝑏 têm a mesma distância até a origem (|𝑎| = |𝑏|) se e somente se 𝑎 e 𝑏 são coincidentes 
(𝑎 = 𝑏) ou simétricos em relação à origem (𝑎 = −𝑏)]. 
Exemplo 1 |𝑎| = |𝜋 − 3| ⇔ 𝑎 = 𝜋 − 3 𝑜𝑢 𝑎 = −(𝜋 − 3) = 3 − 𝜋 . 
Exemplo 2 Considerando 𝑥 ∈ ℝ , vamos resolver a equação |𝑥| = |2𝑥 − 3|. 
|𝑥| = |2𝑥 − 3| ⟺ 𝑥 = 2𝑥 − 3 𝑜𝑢 𝑥 = −(2𝑥 − 3). 
Resolvendo cada equação, 
Equação 1: 𝑥 = 2𝑥 − 3 ⟺ 𝑥 − 2𝑥 = −3 ⟺ −𝑥 = −3 ⟺ 𝑥 = 3. 
Equação 2: 𝑥 = −(2𝑥 − 3) ⟺ 𝑥 = −2𝑥 + 3 ⟺ 𝑥 + 3𝑥 = 3 ⟺ 
 4𝑥 = 3 ⟺ 𝑥 =
3
4
 . 
Portanto a solução da equação |𝑥| = |2𝑥 − 3| é 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 =
3
4
. 
 
As propriedades a seguir são decorrentes da definição de módulo. 
 
• PROPRIEDADES 
|𝑎 × 𝑏| = |𝑎| × |𝑏|, para quaisquer 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ (módulo do produto é o produto dos módulos) 
|
𝑎
𝑏
| =
|𝑎|
|𝑏|
 , para quaisquer 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0 (módulo do quociente é o quociente dos módulos) 
Exemplos: 
Ex. 1) 𝑎 = 2 e 𝑏 = 3: 
|2 × 3| = |6| = 6 e |2|× |3| = 2 × 3 = 6. Logo, |2 × 3| = |2| × |3| = 6. 
|
2
3
| =
2
3
 e 
|2|
|3|
=
2
3
. Logo, |
2
3
| =
|2|
|3|
=
2
3
 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 8 de 51 
Ex. 2) 𝑎 = −2 e 𝑏 = 3: 
|−2 × 3| = |−6| = 6 e |-2|× |3| = 2 × 3 = 6. Logo, |−2 × 3| = |−2| × |3| = 6. 
|
−2
3
| = |−
2
3
| =
2
3
 e 
|−2|
|3|
=
2
3
. Logo, |
−2
3
| =
|−2|
|3|
=
2
3
. 
Ex. 3) |10 𝑥| = 10 |𝑥| pois |10 𝑥| = |10 × 𝑥| = |10| × |𝑥| = 10 × |𝑥| = 10|𝑥|. 
Ex. 4) Usando essas propriedades, vamos simplificar a seguinte expressão com módulo. 
2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| = 2 |
2
5
𝑥| − |
3
4
𝑥| = 2 ∙
2
5
|𝑥| −
3
4
|𝑥| =
4
5
|𝑥| −
3
4
|𝑥| = (
4
5
−
3
4
) |𝑥| =
1
20
|𝑥|. 
Mas, muita atenção: |𝑎 + 𝑏| = |𝑎| + |𝑏| , não é sempre verdadeira. 
Exemplo em que não -é verdadeira: 𝑎 = −7 e 𝑏 = 3. 
|(−7) + 3| = |−7 + 3| = |−4| = −(−4) = 4 𝑒 |−7| + |3| = −(−7) + 3 = 7 + 3 = 10. 
Logo, |(−7) + 3| ≠ |−7| + |3| pois 4 ≠ 10. 
Nesse exemplo, |𝑎 + 𝑏| < |𝑎| + |𝑏| pois 4 < 10. 
Exemplo em que é verdadeira: 𝑎 = 7 e 𝑏 = 3 
|7 + 3| = |7 + 3| = |10| = 10 𝑒 |7| + |3| = 7 + 3 = 7 + 3 = 10. 
Logo, |7 + 3| = |7| + |3|. 
Nesse exemplo, |𝑎 + 𝑏| = |𝑎| + |𝑏| 
O correto é a seguinte propriedade. 
• PROPRIEDADE 
|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏| , para quaisquer 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ . Esta é a chamada Desigualdade Triangular. 
 
Exemplo 5: Usando propriedades, vamos simplificar a seguinte expressão com módulo. 
|3𝑥 + 9| + 2 |2𝑥 − 10| = |3(𝑥 + 3)| + 2 |2(𝑥 − 5)| = 3 |𝑥 + 3| + 2 ∙ 2|𝑥 − 5| = 
= 3 |𝑥 + 3| + 4|𝑥 − 5|. 
Não conseguimos continuar simplificando essa expressão porque não existe propriedade de 
igualdade para módulo da soma ou módulo da diferença. 
 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 9 de 51 
PROPRIEDADES PARA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES COM MÓDULO. 
 
A definição geométrica de módulo explica facilmente as seguintes propriedades que são muito úteis 
na resolução de equações e inequações. 
• PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS 
 Suponhamos a constante 𝑘 ∈ ℝ , 𝒌 > 𝟎 e a variável 𝑥 ∈ ℝ, então: 
▪ |𝑥| = 𝑘 ⇔ 𝑥 = 𝑘 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑘 (𝑥 dista 𝑘 unidades da origem ⇔ 𝑥 coincide com 𝑘 ou com −𝑘) 
 
 
 
 
▪ |𝑥| < 𝑘 ⇔ −𝑘 < 𝑥 < 𝑘 (𝑥 dista menos do que 𝑘 unidades da origem ⇔ 𝑥 está situado entre −𝑘 
e 𝑘 , não podendo coincidir com −𝑘 e nem com 𝑘 ). 
 
 
 
▪ |𝑥| > 𝑘 ⇔ 𝑥 < −𝑘 ou 𝑥 > 𝑘 (𝑥 dista mais do que 𝑘 unidades da origem⇔ 𝑥 está situado a 
esquerda de −𝑘 ou 𝑥 está situado a esquerda à direita de 𝑘 , não podendo coincidir com −𝑘 e nem 
com 𝑘). 
 
 
 
Na propriedade acima vimos que para 𝑘 > 0, |𝑥| = 𝑘 ⟺ 𝑥 = 𝑘 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑘 
e já tínhamos visto que |𝑥| = 0 ⟺ 𝑥 = 0. 
Logo, essas duas propriedades podem ser resumidas em uma única propriedade: 
• PROPRIEDADE 
Para 𝑥 ∈ ℝ , 𝑘 ∈ ℝ e 𝑘 ≥ 0, temos que |𝑥| = 𝑘 ⟺ 𝑥 = 𝑘 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑘 
 
Exemplo 1 Considerando 𝑥 ∈ ℝ, responda cada pergunta 
(a) Quais são os valores de 𝑥 cuja distância até a origem é igual a 5? 
Ou seja, se |𝑥| = 5 então 𝑥 = ? 
Pela propriedade, 
|𝑥| = 5 ⟺ 𝑥 = 5 𝑜𝑢 𝑥 = −5. 
Logo, os valores de 𝑥 cuja distância até a origem é igual a 5: 𝑥 = 5 𝑜𝑢 𝑥 = −5 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 10 de 51 
(b) Quais são os valores de 𝑥 cuja distância até a origem é menor do que 5? 
Ou seja, se |𝑥| < 5 então 𝑥 está em qual subconjunto da reta? 
Pela propriedade, |𝑥| < 5 ⟺ −5 < 𝑥 < 5, 
ou seja |𝑥| < 5 ⟺ 𝑥 ∈ (−5 , 5) 
(c) Quais são os valores de 𝑥 cuja distância até a origem é maior do que 5? 
Ou seja, se |𝑥| > 5 então 𝑥 está em qual subconjunto da reta? 
Pela propriedade, |𝑥| > 5 ⟺ 𝑥 < −5 𝑜𝑢 𝑥 > 5 , 
ou seja |𝑥| > 5 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞− 5) ∪ (5 ,∞) 
 
Exemplo 1 Considerando 𝑥 ∈ ℝ, simplifique e resolva a equação ou inequação 
(a) 2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| = 5 (b) 2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| < 5 (c) 2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| > 5 
Resolvendo: 
(a) 2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| = 5 
2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| = 5 ⟺ 2 |
2
5
𝑥| − |
3
4
𝑥| = 5 ⟺ 2 ∙
2
5
|𝑥| −
3
4
|𝑥| = 5 ⟺ 
4
5
|𝑥| −
3
4
|𝑥| = 5 ⟺ (
4
5
−
3
4
) |𝑥| = 5 ⇔ 
1
20
|𝑥| = 5 ⟺ |𝑥| = 100. 
Aplicando a propriedade geométrica, |𝑥| = 100 ⟺ 𝑥 = 100 𝑜𝑢 𝑥 = −100. 
Portanto, 2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| = 5 ⟺ 𝑥 = 100 𝑜𝑢 𝑥 = −100 
(b) 2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| < 5 
2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| < 5 ⟺ 2 |
2
5
𝑥| − |
3
4
𝑥| < 5 ⟺ 2 ∙
2
5
|𝑥| −
3
4
|𝑥| < 5 ⟺ 
4
5
|𝑥| −
3
4
|𝑥| < 5 ⟺ (
4
5
−
3
4
) |𝑥| < 5 ⇔ 
1
20
|𝑥| < 5 ⟺ |𝑥| < 100. 
Aplicando a propriedade geométrica, |𝑥| < 100 ⟺ −100 < 𝑥 < 100. 
Portanto, 2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| < 5 ⟺ −100 < 𝑥 < 100 
(c) 2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| > 5 
2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| > 5 ⟺ 2 |
2
5
𝑥| − |
3
4
𝑥| > 5 ⟺ 2 ∙
2
5
|𝑥| −
3
4
|𝑥| > 5 ⟺ 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 11 de 51 
4
5
|𝑥| −
3
4
|𝑥| > 5 ⟺ (
4
5
−
3
4
) |𝑥| > 5 ⇔ 
1
20
|𝑥| > 5 ⟺ |𝑥| > 100. 
Aplicando a propriedade geométrica, |𝑥| > 100 ⟺ 𝑥 < −100 𝑜𝑢 𝑥 > 100. 
Portanto, 2 |
2𝑥
5
| − |
3𝑥
4
| > 5 ⟺ 𝑥 < −100 𝑜𝑢 𝑥 > 100 . 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
 
Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais quaisquer. 
Observe que |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏| pois |𝑏 − 𝑎| = |−(𝑏 − 𝑎)| = | − 𝑏 + 𝑎| = |𝑎 − 𝑏|. 
Comparando os valores de 𝑎 e 𝑏, há três possibilidades, 𝑎 < 𝑏 ou 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 > 𝑏, que na reta real 
corresponde a três possíveis posições relativas entre 𝑎 e 𝑏. 
Em cada possibilidade vamos determinar |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏| e representar 𝑎 e 𝑏 na reta real. 
• 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎 − 𝑏 < 0, Logo, |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏| = −(𝑎 − 𝑏) = −𝑎 + 𝑏 = 𝑏 − 𝑎. 
 
 
• 𝑎 = 𝑏 ⇔ 𝑎 − 𝑏 = 0, Logo, |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏| = |0| = 0. 
 
 
• 𝑎 > 𝑏 ⇔ 𝑎 − 𝑏 > 0, Logo, |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏| = 𝑎 − 𝑏. 
 
 
Agora, em cada possibilidade vamos calcular a distância entre 𝑎 e 𝑏, denotando a distância por 𝑑(𝑎, 𝑏), 
e vamos representar 𝑎 e 𝑏 na reta real. 
• 𝑎 < 𝑏 
 
• 𝑎 = 𝑏 
 
• 𝑎 > 𝑏 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 12 de 51 
Comparando caso a caso o valor de |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏| com a distância entre 𝑎 e 𝑏 
𝑎 < 𝑏 ⟹ |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏| = 𝑏 − 𝑎 e 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑏 − 𝑎. Logo, 𝑑(𝑎, 𝑏) = |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎|. 
𝑎 = 𝑏 ⟹ |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏| = 0 e 𝑑(𝑎, 𝑏) = 0. Logo, 𝑑(𝑎, 𝑏) = |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎|. 
𝑎 > 𝑏 ⟹ |𝑏 − 𝑎| = |𝑎 − 𝑏| = 𝑎 − 𝑏 e 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑎 − 𝑏. Logo, 𝑑(𝑎, 𝑏) = |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎|. 
Assim, concluímos a propriedade a seguir que nos dá uma fórmula para a distância entre 𝑎 e 𝑏. 
Sejam 𝑎 e 𝑏 dois números reais quaisquer, então a distância entre 𝑎 e 𝑏 sobre a reta real é: 
𝑑(𝑎, 𝑏) = |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎| 
Observação: em vez de "distância entre 𝑎 e 𝑏 " também podemos nos referir a "distância de 𝑎 até 
𝑏" ou "distância de 𝑏 até 𝑎". 
Exemplos: 
▪ Distância de 3 a origem: |3 − 0| = |3| = 3 . 
▪ Distância de − 6,8 a origem: |−6,8 − 0| = |−6,8| = 6,8 . 
▪ Distância de 4 a 37: |37 − 4| = 33 
▪ Distância entre 50 e 37: |37 − 50| = |−13| = 13 
▪ Distância de − 6,8 a 2 : |2 − (−6,8)| = |2 + 6,8| = 8,8. 
▪ Distância de 2 a −6,8 : |−6,8 − 2| = |−8,8| = 8,8. 
▪ Distância entre a variável real 𝑥 e a constante 𝑘 = 3: 𝑑(𝑥, 3) = |𝑥 − 3|. 
 
▪ Resolver geometricamente a equação |𝒙 − 𝟑| = 𝟕, significa encontrar os valores da variável 
𝑥 cuja distância ao número 3 é exatamente igual a 7. 
Problema geométrico: 
 
Solução geométrica: 
 
Portanto a solução da equação |𝑥 − 3| = 7 é 𝑥 = −4 ou 𝑥 = 10. 
Outra resolução de |𝒙 − 𝟑| = 𝟕 é usando a propriedade: 
para 𝑘 > 0, |𝑥| = 𝑘 ⟺ 𝑥 = −𝑘 𝑜𝑢 𝑥 = 𝑘 
Para resolver |𝑥 − 3| = 7, na propriedade acima devemos substituir 𝑥 por 𝑥 − 3 e 𝑘 por 7. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 13 de 51 
|𝑥 − 3| = 7 ⟺ 𝑥 − 3 = −7 𝑜𝑢 𝑥 − 3 = 7 ⟺ 𝑥 = −7 + 3 𝑜𝑢 𝑥 = 7 + 3 
⟺ 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = 10. 
Portanto a solução da inequação |𝑥 − 3| = 7 é 𝑥 = −4 ou 𝑥 = 10. 
 
▪ Resolver geometricamente a inequação |𝒙 − 𝟑| < 𝟕, significa encontrar os valores da 
variável 𝑥 cuja distância ao número 3 é menor do que 7. 
Problema geométrico: 
 
 
Solução geométrica: 
 
Portanto a solução da equação |𝑥 − 3| < 7 é −4 < 𝑥 < 10. 
Outra resolução de |𝒙 − 𝟑| < 𝟕 é usando a propriedade: 
para 𝑘 > 0, |𝑥| < 𝑘 ⟺ −𝑘 < 𝑥 < 𝑘. 
Para resolver |𝑥 − 3| < 7, na propriedade acima devemos substituir 𝑥 por 𝑥 − 3 e 𝑘 por 7. 
|𝑥 − 3| < 7 ⟺ −7 < 𝑥 − 3 < 7 ⟺ −7 + 3 < 𝑥 < 7 + 3 ⟺ −4 < 𝑥 < 10 
Portanto a solução da inequação |𝑥 − 3| < 7 é −4 < 𝑥 < 10. 
 
▪ Resolver geometricamente a equação |𝒙 − 𝟑| > 𝟕, significa encontrar os valores da variável 
𝑥 cuja distância ao número 3 é maior do que 7. 
Problema geométrico: 
 
 
Solução geométrica: 
 
 
Portanto a solução da equação |𝑥 − 3| > 7 é 𝑥 < −4 𝑜𝑢 𝑥 > 10. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 14 de 51 
Outra resolução de |𝒙 − 𝟑| > 𝟕 é usando a propriedade: 
para 𝑘 > 0, |𝑥| > 𝑘 ⟺ 𝑥 < −𝑘 𝑜𝑢 𝑥 > 𝑘. 
Para resolver |𝑥 − 3| > 7, na propriedade acima devemos substituir 𝑥 por 𝑥 − 3 e 𝑘 por 7. 
|𝑥 − 3| > 7 ⟺ 𝑥 − 3 < −7 𝑜𝑢 𝑥 − 3 > 7 ⟺ 𝑥 < −7 + 3 𝑜𝑢 𝑥 > 7 + 3 
⟺ 𝑥 < −4 𝑜𝑢 𝑥 > 10. 
Portanto a solução da inequação |𝑥 − 3| > 7 é 𝑥 < −4 𝑜𝑢 𝑥 > 10. 
 
Miscelânea de exemplos: 
Vamos resolver mais algumas equações e inequações, algumas vezes usando a definição de módulo, 
outras vezes aplicando as propriedades de módulo estudadas aqui. 
(1) Considere 𝑥 ∈ ℝ . Vamos resolver cada equação ou inequação e interpretar a solução 
geometricamente. 
(a) |𝑥 + 3| < 5 (b) |𝑥− 4| > 7 (c) |𝑥 + 3| = −5 
(d) |𝑥 + 3| < −5 (e) |𝑥 + 3| > −5 
Resolução: 
(a) |𝑥 + 3| < 5 ⇔ −5 < 𝑥 + 3 < 5 ⇔ −5 − 3 < 𝑥 + 3 − 3 < 5 − 3 ⇔ −8 < 𝑥 < 2 . 
A solução é o intervalo aberto (−8 , 2). 
Portanto os números reais que distam menos do que 5 unidades do número real −3 , ou seja, os 
números reais que satisfazem a inequação |𝑥 − (−3)| < 5 , são os números que estão no intervalo de 
centro em −3 e raio 5 , que é o intervalo aberto (−8 , 2). 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) |𝑥 − 4| > 7 ⇔ 𝑥 − 4 < −7 ou 𝑥 − 4 > 7 ⇔ 𝑥 − 4 + 4 < −7 + 4 ou 
𝑥 − 4 + 4 > 7 + 4 ⇔ 𝑥 < −3 ou 𝑥 > 11. 
A solução é (−∞ ,−3) ∪ (11 , +∞). 
Portanto os números reais que distam mais do que 7 unidades do número real 4 são os números 
que estão na seguinte união de intervalos (−∞ , −3) ∪ (11 , +∞) . 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) |𝑥 + 3| = −5 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 15 de 51 
A solução é o conjunto ∅, pois para todo 𝑥 ∈ ℝ temos que |𝑥 + 3| ≥ 0 mas −5 < 0. 
Não existem números com distância negativa. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(d) |𝑥 + 3| < −5 
A solução é o conjunto ∅, pois |𝑥 + 3| ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. Temos que |𝑥 + 3| ≥ 0 e 0 > −5. 
Logo, para todo 𝑥 ∈ ℝ temos que |𝑥 + 3| > −5. 
Não existem números com distância menor do um número negativo. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(e) |𝑥 + 3| > −5 . A solução é o conjunto ℝ , pois |𝑥 + 3| ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ e |𝑥 + 3| ≥ 0 >
−5 . Logo, para todo 𝑥 ∈ ℝ temos que |𝑥 + 3| > −5. 
A distância entre quaisquer números é sempre positiva ou nula, maior do que um número negativo. 
__________________________________________________________________________________ 
(2) Considere 𝑥 ∈ ℝ e vamos resolver cada equação ou inequação: 
(a) |2𝑥 − 6| = −4 (b) |2𝑥 − 6| = −4𝑥 (c) |2𝑥 − 6| =
𝑥
2
 
(d) |2𝑥 − 6| < 4 (e) |2𝑥 − 6| < −4 (f) |2𝑥 − 6| > −4 
(g) |2𝑥 − 6| < 4𝑥 (h) |2𝑥 − 6| >
𝑥
2
 
Resolução: 
(a) |2𝑥 − 6| = −4 . A solução é o conjunto ∅, pois para todo 𝑥 ∈ ℝ temos que |2𝑥 − 6| ≥ 0 e 
−4 < 0 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(b) |2𝑥 − 6| = −4𝑥 . Como |2𝑥 − 6| ≥ 0 então −4𝑥 = |2𝑥 − 6| ≥ 0 , portanto −4𝑥 ≥ 0 e 
assim 𝒙 ≤ 𝟎. Esta é uma exigência ou restrição para essa equação. 
Usando a definição de módulo, temos: 
|2𝑥 − 6| = {
2𝑥 − 6 , 2𝑥 − 6 ≥ 0
−(2𝑥 − 6), 2𝑥 − 6 < 0 
 ⇒ |2𝑥 − 6| = {
2𝑥 − 6 , 𝑥 ≥ 3
−(2𝑥 − 6), 𝑥 < 3 
 
Como a exigência da equação é 𝑥 ≤ 0 , basta considerar na definição de |2𝑥 − 6| apenas a parte 
em que 𝑥 < 3, ou seja, |2𝑥 − 6| = −(2𝑥 − 6) = −2𝑥 + 6 e então, temos que resolver a equação 
−2𝑥 + 6 = −4𝑥 , 𝑥 ≤ 0. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 16 de 51 
Assim, 
𝑥 ≤ 0 𝑒 − 2𝑥 + 6 = −4𝑥 ⇔ 𝑥 ≤ 0 𝑒 4𝑥 − 2𝑥 = −6 ⇔ 𝑥 ≤ 0 𝑒 2𝑥 = −6 ⇔ 
 𝑥 ≤ 0 𝑒 𝑥 = −3 ⇔ 𝑥 = −3 
A solução da equação é 𝑆 = {−3} . 
Outra forma de resolver essa equação é usando a propriedade: 
para 𝑥 ∈ ℝ, 𝑘 ∈ ℝ e 𝑘 ≥ 0, temos que |𝑥| = 𝑘 ⟺ 𝑥 = 𝑘 𝑜𝑢 𝑥 = −𝑘 
Assim, para resolver |2𝑥 − 6| = −4𝑥 , temos que substituir na propriedade acima 𝑥 por 2𝑥 − 6 e 
𝑘 por −4𝑥. Logo, 
Para −4𝑥 ≥ 0 temos que |2𝑥 − 6| = −4𝑥 ⟺ 2𝑥 − 6 = −(−4𝑥) = 4𝑥 𝑜𝑢 2𝑥 − 6 =
 −4𝑥. 
Assim temos a exigência ou restrição −4𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ 0 e temos que resolver duas equações. 
Resolvendo cada equação, 
Equação 1: 2𝑥 − 6 = 4𝑥 ⟺ −6 = 4𝑥 − 2𝑥 ⟺ 2𝑥 = −6 ⟺ 𝑥 = −3. 
Equação 2: 2𝑥 − 6 = −4𝑥 ⟺ −6 = −4𝑥 − 2𝑥 ⟺ −6𝑥 = −6 ⟺ 6𝑥 = 6 ⟺ 𝑥 = 1. 
A solução da equação 1 é 𝑥 = −3 < 0 atende a restrição. 
A solução da equação 2 é 𝑥 = 1 > 0 não atende a restrição. 
A solução 𝑆 da equação |2𝑥 − 6| = −4𝑥 é 𝑆 = {−3}. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(c) |2𝑥 − 6| =
𝑥
2
 . Como |2𝑥 − 6| ≥ 0 então 
𝑥
2
= |2𝑥 − 6| ≥ 0 , portanto 
𝑥
2
 ≥ 0 e assim 𝒙 ≥ 0. 
Esta é uma exigência ou restrição para essa equação. 
Usando a definição de módulo, temos: 
|2𝑥 − 6| = {
2𝑥 − 6 , 2𝑥 − 6 ≥ 0
−(2𝑥 − 6), 2𝑥 − 6 < 0 
 ⇒ |2𝑥 − 6| = {
2𝑥 − 6 , 𝑥 ≥ 3
−(2𝑥 − 6), 𝑥 < 3 
 
Como a exigência da equação é 𝒙 ≥ 0 , é preciso considerar na definição de |2𝑥 − 6| tanto a 
parte em que 𝑥 ≥ 3 quanto a parte em que 𝑥 < 3 . Assim, temos que resolver as equações: 
(𝑰) |2𝑥 − 6| = 2𝑥 − 6 =
𝑥
2
 , 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 ≥ 3 ou seja, é 2𝑥 − 6 = 
𝑥
2
 , 𝑥 ≥ 3 . 
(𝑰𝑰) |2𝑥 − 6| = −(2𝑥 − 6) =
𝑥
2
 , 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 < 3 ou seja, é −2𝑥 + 6 = 
𝑥
2
 , 0 ≤ 𝑥 < 3 . 
Resolvendo (𝑰): 
𝑥 ≥ 3 𝑒 2𝑥 − 6 =
𝑥
2
 ⇔ 𝑥 ≥ 3 𝑒 4𝑥 − 12 = 𝑥 ⇔ 𝑥 ≥ 3 𝑒 4𝑥 − 𝑥 = 12 ⇔ 
𝑥 ≥ 3 𝑒 3𝑥 = 12 ⇔ 𝑥 ≥ 3 𝑒 𝑥 = 4 ⇔ 𝑥 = 4 . 
Resolvendo (𝑰𝑰): 
 0 ≤ 𝑥 < 3 𝑒 − 2𝑥 + 6 = 
𝑥
2
 ⇔ 0 ≤ 𝑥 < 3 𝑒 − 4𝑥 + 12 = 𝑥 ⇔ 0 ≤ 𝑥 < 3 𝑒 5𝑥 = 12 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 17 de 51 
⇔ 0 ≤ 𝑥 < 3 𝑒 𝑥 =
12
5
 ⇔ 𝑥 =
12
5
 . 
A solução da equação original é a união das soluções das equações dos casos (1) e (2). 
A solução é 𝑆 = {
12
5
 , 4} 
Outra forma de resolver essa equação é usando uma das propriedades de módulo. 
Para 
𝑥
2
≥ 0 temos que |2𝑥 − 6| =
𝑥
2
 ⟺ 2𝑥 − 6 = −
𝑥
2
 𝑜𝑢 2𝑥 − 6 =
𝑥
2
. 
Assim temos a exigência ou restrição 
𝑥
2
≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 0 e temos que resolver duas equações. 
Resolvendo cada equação, 
Equação 1: 2𝑥 − 6 = −
𝑥
2
 ⟺ 4𝑥 − 12 = −𝑥 ⟺ 4𝑥 + 𝑥 = 12 ⟺ 5𝑥 = 12 ⟺ 𝑥 =
12
5
. 
Equação 2: 2𝑥 − 6 =
𝑥
2
 ⟺ 4𝑥 − 12 = 𝑥 ⟺ 4𝑥 − 𝑥 = 12 ⟺ 3𝑥 = 12 ⟺ 𝑥 = 4. 
A solução da equação 1 é 𝑥 =
12
5
> 0 atende a restrição. 
A solução da equação 2 é 𝑥 = 4 > 0 atende a restrição. 
Logo a solução da equação |2𝑥 − 6| =
𝑥
2
 é 𝑥 =
12
5
 𝑜𝑢 𝑥 = 4. 
Representando a solução 𝑆 em forma de conjunto, 𝑆 = {
12
5
 , 4}. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(d) |2𝑥 − 6| < 4 
Pela propriedade da definição geométrica temos: 
 |2𝑥 − 6| < 4 ⇔ −4 < 2𝑥 − 6 < 4 ⇔ −4 + 6 < 2𝑥 − 6 + 6 < 4 + 6 ⇔ 2 < 2𝑥 < 10 ⇔ 
1
2
∙ 2 <
1
2
∙ 2𝑥 <
1
2
∙ 10 ⇔ 1 < 𝑥 < 5 
A solução é o intervalo aberto 𝑆 = (1 , 5) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 1 < 𝑥 < 5 } 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(e) |2𝑥 − 6| < −4 
Não tem solução pois ∀ 𝑥 ∈ ℝ , |2𝑥 − 6| ≥ 0 > −4. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(f) |2𝑥 − 6| > −4 
Solução: ℝ , pois para |2𝑥 − 6| ≥ 0 > −4. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(g) |2𝑥 − 6| < 4𝑥 
Como 4𝑥 > |2𝑥 − 6| ≥ 0, então 4𝑥 > 0 e portanto uma exigência dessa inequação é 𝑥 > 0 . 
Considerando 4𝑥 > 0, podemos usar uma propriedade da definição geométrica: 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 18 de 51 
𝑥 > 0 𝑒 |2𝑥 − 6| < 4𝑥 ⇔ 𝑥 > 0 𝑒 − 4𝑥 < 2𝑥 − 6 < 4𝑥 .Temos que resolver as 
inequações: 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
(𝑰) 𝑥 > 0 𝑒 − 4𝑥 < 2𝑥 − 6 e (𝑰𝑰) 𝑥 > 0 𝑒 2𝑥 − 6 < 4𝑥 
A solução da inequação original é a interseção das soluções das inequações dos casos (1) e (2). 
Resolvendo (𝑰) 
𝑥 > 0 𝑒 − 4𝑥 < 2𝑥 − 6 ⇔ 𝑥 > 0 𝑒 − 4𝑥 − 2𝑥 < −6 ⇔ 𝑥 > 0 𝑒 − 6𝑥 < −6 ⇔ 
 𝑥 > 0 𝑒 6𝑥 > 6 ⇔ 𝑥 > 0 𝑒 𝑥 > 1 ⇔ 𝑥 > 1 . 
Resolvendo ((𝑰𝑰) 
𝑥 > 0 𝑒 2𝑥 − 6 < 4𝑥 ⇔ 𝑥 > 0 𝑒 2𝑥 − 4𝑥 < 6 ⇔ 𝑥 > 0 𝑒 − 2𝑥 < 6 ⇔ 
𝑥 > 0 𝑒 2𝑥 > −6 ⇔ 𝑥 > 0 𝑒 𝑥 > −3 ⇔ 𝑥 > 0 
Sendo a solução da inequação original a interseção das soluções das inequações dos casos (1) e (2), 
temos 
𝑆 = (0 , +∞ ) ∩ (1, +∞) = (1 , + ∞) 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
(h) |2𝑥 − 6| >
𝑥
2
 
• Se 
𝑥
2
< 0 , então, 
𝑥
2
< 0 ≤ |2𝑥 − 6|. Logo, |2𝑥 − 6| >
𝑥
2
 para todo 
𝑥
2
< 0 , ou seja para 
todo 𝑥 < 0. 
• Se 
𝑥
2
= 0 , então, 𝑥 = 0 e |2𝑥 − 6| = |0 − 6| = 6 > 0 =
𝑥
2
 . Logo |2𝑥 − 6| >
𝑥
2
 para 𝑥 = 0. 
Assim, |2𝑥 − 6| >
𝑥
2
 para todo 𝑥 ≤ 0 . 
• Se 
𝑥
2
> 0 podemos usar uma propriedade da definição geométrica: 
|2𝑥 − 6| >
𝑥
2
 ⇔ 2𝑥 − 6 > 
𝑥
2
 ou 2𝑥 − 6 < − 
𝑥
2
 
Temos que resolver as inequações: 
(𝟏) 2𝑥 − 6 > 
𝑥
2
 e (2) 2𝑥 − 6 < − 
𝑥
2
 
A solução da inequação |2𝑥 − 6| >
𝑥
2
 , para 
𝑥
2
> 0 é a união das soluções das inequações dos 
casos (1) e (2). 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 19 de 51 
Resolvendo (1) 
2𝑥 − 6 > 
𝑥
2
 ⇔ 4𝑥 − 12 > 𝑥 ⇔ 4𝑥 − 𝑥 > 12 ⇔ 3 𝑥 > 12 ⇔ 𝑥 > 4 
Resolvendo (2) 
2𝑥 − 6 < − 
𝑥
2
 ⇔ 4𝑥 − 12 < −𝑥 ⇔ 4𝑥 + 𝑥 < 12 ⇔ 5𝑥 < 12 ⇔ 𝑥 <
12
5
 
Sendo a solução da inequação |2𝑥 − 6| >
𝑥
2
 , para 
𝑥
2
> 0 a união das soluções das inequações 
dos casos (1) e (2), então a solução é (0,
12
5
) ∪ (4, +∞) . 
Solução final: 
𝑆 = (0,
12
5
) ∪ (4, +∞) ∪ (−∞ , 0] = (−∞ ,
12
5
 ) ∪ (4, +∞) = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 <
12
5
 ou 𝑥 > 4} 
__________________________________________________________________________________ 
(3) Vamos usar a definição de módulo para reescrever |𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| sem usar o símbolo de 
módulo. 
Resolução: 
Dada a expressão |𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| , sabemos que: 
|𝑥 + 1| = {
𝑥 + 1 , 𝑠𝑒 𝑥 + 1 > 0
0 , 𝑠𝑒 𝑥 + 1 = 0
−(𝑥 + 1), 𝑠𝑒 𝑥 + 1 < 0
 ⇒ |𝑥 + 1| = {
𝑥 + 1 , 𝑠𝑒 𝑥 > −1
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = −1
−𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < −1
 
|𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 − 3 > 0
0 , 𝑠𝑒 𝑥 − 3 = 0
−(𝑥 − 3), 𝑠𝑒 𝑥 − 3 < 0
 ⇒ |𝑥 − 3| = {
𝑥 − 3 , 𝑠𝑒 𝑥 > 3
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 3
−𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 3
 
 
Veja agora uma forma, que julgo eficiente, para encontrar a expressão de |𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| sem o 
uso de valor absoluto: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 20 de 51 
|𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| =
{
 
 
 
 
−2𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 < −1
4 , 𝑠𝑒 𝑥 = −1
4, 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 3
4 , 𝑠𝑒 𝑥 = 3
2𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 3 
 ⇒ 
|𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| = { 
−2𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 < −1
4 , 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 < 3
2𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
 
__________________________________________________________________________________ 
(4) Após reescrever |𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| sem usar o símbolo de módulo, feito no exercício 2), vamos 
resolver a equação |𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| = 5. 
Resolução: 
Agora resolvendo a equação |𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| = 5. 
|𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| = 5 ⇒ { 
−2𝑥 + 2 = 5 , 𝑠𝑒 𝑥 < −1
4 = 5 , 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 < 3
2𝑥 − 2 = 5 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
 
Logo, 
 −2𝑥 + 2 = 5 , 𝑠𝑒 𝑥 < −1 ⇒ −2𝑥 = 3 , 𝑥 < −1 ⇒ 𝑥 = −
3
2
 , 𝑥 < −1 . 
Como −
3
2
 < −1, então 𝑥 = −
3
2
 é uma solução da equação original. 
 4 = 5 , 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 < 3 ⇒ a equação não tem solução no intervalo [−1 , 3). 
 2𝑥 − 2 = 5 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3 ⇒ 2𝑥 = 7 , 𝑥 ≥ 3 ⇒ 𝑥 =
7
2
 , 𝑥 ≥ 3 . 
Como 
7
2
 ≥ 3 , então 𝑥 =
7
2
 é uma solução da equação original. 
Portanto, o conjunto solução da equação |𝑥 + 1| + |𝑥 − 3| = 5 é {−
 3 
2
 ,
 7 
2
 } . 
 
Raiz Quadrada e Raiz Cúbica 
Definição da raiz quadrada de um número real. 
Seja 𝑎 ∈ ℝ e 𝑎 ≥ 0. 
A raiz quadrada de 𝑎 é o único 𝑏 ∈ ℝ , 𝑏 ≥ 0 tal que 𝑏2 = 𝑎 (indica-se √𝑎 = 𝑏). 
Definição da raiz cúbica de um número real. 
Seja 𝑎 ∈ ℝ. 
A raiz cúbica de 𝑎 é o único 𝑏 ∈ ℝ , tal que 𝑏3 = 𝑎 (indica-se √𝑎
3
= 𝑏). 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 21 de 51 
Observações: 
• Raiz quadrada de um número real também é chamada simplesmente de raiz de um número real. 
• O número 𝑎 é chamado de radicando, tanto na raiz quadrada quanto na raiz cúbica. 
• Na raiz quadrada tanto o radicando 𝑎 quanto 𝑏 (o resultado da raiz quadrada), são 
necessariamente positivos ou nulos. 
Por exemplo, não é possível calcular √−100 pois −100 < 0 e √40 = 𝑏 ≥ 0. 
Na expressão √ 10 − 3𝑥, temos uma restrição 10 − 3𝑥 ≥ 0. 
Na equação √2𝑥 − 1 = 4 − 𝑥 temos duas restrições: 2𝑥 − 1 ≥ 0 e 4 − 𝑥 ≥ 0. 
• Aplicando a definição de raiz quadrada, 
√9 = 3 e √9 ≠ −3, pois 32 = 9 e 3 > 0 , (−3)2 = 9, mas − 3 < 0 
Um erro muito usual é escrever √9 = ±3 o correto é escrever √9 = 3 e −3 = −√9. 
Não confunda, o que podemos dizer é: 
a equação 𝑥2 = 9 tem duas soluções reais 𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −3, que indicamos resumidamente 
por 𝑥 = ±3 , pois 𝑥 = 3 𝑒 𝑥 = −3 satisfazem a equação 𝑥2 = 9: 
 𝑥 = 3 ⟹ 𝑥2 = 32 = 9 e 𝑥 = −3 ⟹ 𝑥2 = (−3)2 = 9. 
• Na raiz cúbica tanto o radicando 𝑎 quanto 𝑏 (o resultado da raiz cúbica), podem ser positivos, 
negativos ou nulos. 
Por exemplo, na equação √20 + 𝑥
3
= 2𝑥 − 10 não há nenhuma restrição. 
• Aplicando a definição de raiz cúbica, 
√8
3
= 2 pois 23 = 8 e √−8
3
= −2 pois (−2)3 = −8. 
• Considere 𝑎 = 𝑥2. Sabemos que 𝑥2 ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ, logo sempre será possível determinar 
√𝑥2 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Aplicando a definição de raiz quadrada: √𝑥2 = 𝑏 ⟺ 𝑏2 = 𝑥2 𝑒 𝑏 ≥ 0. 
Vamos supor 𝑏2 = 𝑥2 𝑒 𝑏 ≥ 0 e separar em dois casos distintos, 𝑥 ≥ 0 ou 𝑥 < 0. 
𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0 𝑒 𝑏2 = 𝑥2 ⟹ √𝑥2 = 𝑏 𝑒 𝑏 = 𝑥 𝑒 |𝑥| = 𝑥 ⟹ √𝑥2 = 𝑏 = 𝑥 = |𝑥| 
pois { 
 𝑥 ≥ 0 ⟹ |𝑥| = 𝑥
 𝑏 ≥ 0 𝑒 𝑏2 = 𝑥2 ⟹ √𝑥2 = 𝑏
𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0 𝑒 𝑏2 = 𝑥2 ⟹ 𝑏 = 𝑥
 
𝑥 < 0 𝑒 𝑏 ≥ 0 𝑒 𝑏2 = 𝑥2 ⟹ √𝑥2 = 𝑏 𝑒 𝑏 = −𝑥 𝑒 |𝑥| = −𝑥 ⟹ √𝑥2 = 𝑏 = −𝑥 = |𝑥| 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 22 de 51 
pois { 
 𝑥 < 0 ⟹ |𝑥| = −𝑥
 𝑏 ≥ 0 𝑒 𝑏2 = 𝑥2 ⟹ √𝑥2 = 𝑏
𝑥 < 0 𝑒 𝑏 ≥ 0 𝑒 𝑏2 = 𝑥2 ⟹ 𝑏 = −𝑥
 
Acabamos de provar que √𝒙𝟐 = |𝒙| . 
Por exemplo: √152 = |15| = 15 e √(−15)2 = |−15| = 15. 
Propriedades da raiz quadrada e da raiz cúbica 
Sejam 𝑎 ∈ ℝ e 𝑏 ∈ ℝ. Valem as seguintes propriedades: 
Raiz quadrada Raiz cúbica 
(1) √𝑎2 = |𝑎|, para todo 𝑎 (1) √𝑎3
3
= 𝑎, para todo𝑎 
(2) √𝑎𝑏 = √𝑎 √𝑏, para 𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0 (2) √𝑎𝑏
3
= √𝑎
3
√𝑏
3
 , para ∀𝑎 𝑒 ∀𝑏 
(3) (√𝑎)
2
= 𝑎, para 𝑎 ≥ 0 (3) (√𝑎
3
)
3
= 𝑎, para todo 𝑎 
(4) √𝑎𝑏 = √−𝑎 √−𝑏, para 𝑎 ≤ 0 𝑒 𝑏 ≤ 0 (4) √𝑎𝑏
3
= √−𝑎
3
√−𝑏
3
, para ∀𝑎 𝑒 ∀𝑏 
(5) √
𝑎
𝑏
=
√𝑎
√𝑏
 , para 𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑏 > 0 (5) √
𝑎
𝑏
3
=
√𝑎
3
√𝑏
3 , para ∀𝑎 e para 𝑏 ≠ 0 
(6) √
𝑎
𝑏
=
√−𝑎
√−𝑏
 , para 𝑎 ≤ 0 𝑒 𝑏 < 0 (6) √
𝑎
𝑏
3
=
√−𝑎
3
√−𝑏
3 , para ∀𝑎 e para 𝑏 ≠ 0 
(7) √𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏, para 𝑎 > 0 𝑒 𝑏 > 0 (7) √𝑎 + 𝑏
3
≠ √𝑎
3
+ √𝑏
3
, para {𝑎 > 0 𝑒 𝑏 > 0} 
(8) √𝑎 + 𝑏 < √𝑎 + √𝑏, para 𝑎 > 0 𝑒 𝑏 > 0 (8) √𝑎 + 𝑏
3
< √𝑎
3
+ √𝑏
3
, para {𝑎 > 0 𝑒 𝑏 > 0} 
(9) 𝑎 = 𝑏 ⟺ √𝑎 = √𝑏, para 𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0 (9) 𝑎 = 𝑏 ⟺ √𝑎
3
= √𝑏
3
, para ∀𝑎 𝑒 ∀𝑏 
(10) 𝑎 < 𝑏 ⟺ √𝑎 < √𝑏, para 𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0 (10) 𝑎 < 𝑏 ⟺ √𝑎
3
< √𝑏
3
, para ∀𝑎 𝑒 ∀𝑏 
Revendo duas propriedades de potenciação 
(I) elevar ao quadrado os dois lados de uma equação: 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎2 = 𝑏2 
Cuidado, a recíproca não é verdadeira, podemos ter 𝑎2 = 𝑏2, mas 𝑎 ≠ 𝑏 . 
Exemplo (2)2 = (−2)2, nesse caso 𝑎 = 2, 𝑏 = −2, 𝑎2 = 𝑏2, mas 𝑎 ≠ 𝑏 
O correto é: 𝑎2 = 𝑏2 ⟹ 𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 = −𝑏 
Verificando porque isso é verdade. Como 𝑎2 ≥ 0 e 𝑏2 ≥ 0, podemos aplicar a propriedade (9) da 
raiz quadrada (extrair a raiz quadrada dos dois lados) 
𝑎2 = 𝑏2 ⟺ √𝑎2 = √𝑏2 ⟺ |𝑎| = |𝑏| ⟺ 𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 = −𝑏. 
Se a sequência de equivalências é verdadeira então também é verdadeira a implicação: 
𝑎2 = 𝑏2 ⟹ 𝑎 = 𝑏 𝑜𝑢 𝑎 = −𝑏. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 23 de 51 
Conclusão importante: 
Sempre que usar a propriedade de elevar ao quadrado os dois lados de uma equação, será preciso 
testar se a solução encontrada para essa equação também é solução da equação original, sem elevar 
ao quadrado. Como vimos acima, se os quadrados são iguais, as bases podem ser diferentes, podem 
ter sinais contrários. 
(II) elevar ao cubo os dois lados de uma equação: 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎3 = 𝑏3 
Aqui a recíproca é verdadeira, isto é, 𝑎3 = 𝑏3 ⟹ 𝑎 = 𝑏, 
Verificando porque é verdadeira. Podemos aplicar a propriedade (9) da raiz cúbica (extrair a raiz cúbica 
dos dois lados), 
𝑎3 = 𝑏3 ⟺ √𝑎3
3
= √𝑏3
3
 ⟺ 𝑎 = 𝑏. 
Assim, podemos escrever a equivalência, 𝑎3 = 𝑏3 ⟺ 𝑎 = 𝑏 
Se a sequência de equivalências é verdadeira então também é verdadeira a implicação: 
𝑎3 = 𝑏3 ⟹ 𝑎 = 𝑏 
Conclusão: ao elevar ao cubo os dois lados de uma equação, qualquer solução da equação elevada 
ao cubo também será solução da equação original, sem elevar ao cubo, não há necessidade de testar 
a solução encontrada da equação elevada ao cubo. 
Exemplos de simplificações de expressões usando as propriedades: 
(1) Para 𝑥 ≠ 1, 
√(𝑥−1)3
3
1−𝑥
=
𝑥−1
1−𝑥
= −1 
(2) Para 𝑥 ≠ 1, 
√(𝑥−1)2
1−𝑥
=
|𝑥−1|
1−𝑥
= {
𝑥−1
1−𝑥
= −1 𝑠𝑒 𝑥 − 1 > 0 , (𝑥 > 1)
−(𝑥−1)
1−𝑥
= 1 𝑠𝑒 𝑥 − 1 < 0 , (𝑥 < 1)
= {
−1 𝑠𝑒 𝑥 > 1
 1 𝑠𝑒 𝑥 < 1
 
(3) Para 𝑥 ≠ 1, 
√(𝑥−1)8
𝑥−1
=
√((𝑥−1)4)2
𝑥−1
=
|(𝑥−1)4|
𝑥−1
=
(𝑥−1)4
𝑥−1
= (𝑥 − 1)3 
(4) Para 𝑥 ≠ 1, 
√(𝑥−1)7
(𝑥−1)3
=
√((𝑥−1)3)2(𝑥−1)
(𝑥−1)3
=
√ ((𝑥−1)3)2√𝑥−1
(𝑥−1)3
=
|(𝑥−1)3| √𝑥−1
(𝑥−1)3
= {
(𝑥−1)3 √𝑥−1
(𝑥−1)3
 , 𝑥 > 1
−(𝑥−1)3 √𝑥−1
(𝑥−1)3
 , 𝑥 < 1
 
= {
√𝑥 − 1, 𝑥 > 1
−√𝑥 − 1, 𝑥 > 1
 
(5) √9 + 16 ≠ √9 + √16, pois √9 + 16 = √25 = 5 e √9 + √16 = 3 + 4 = 7. 
Observe as contas acima e a propriedade (8), √9 + 16 = 5 < 7 = √9 + √16. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 24 de 51 
Se 𝑥 ≠ 0 então pelas propriedades (7) e (8), √𝑥2 + 16 ≠ √𝑥2 + √16 e √𝑥2 + 16 < √𝑥2 + √16. 
Atenção, está ERRADA essa simplificação: √𝑥2 + 16 = 𝑥 + 4. 
Esse tipo de simplificação é um erro bastante comum, quem acha que isso está correto, 
provavelmente pensou nessa simplificação 
√𝑥2 + 16 = √𝑥2 + √16 = 𝑥 + 4 para ∀𝑥. O único acerto aqui é √𝟏𝟔 = 𝟒, pois se 𝑥 ≠ 0 
então 
pelas propriedades (7) e (8), √𝑥2 + 16 ≠ √𝑥2 + √16 
e pela propriedade (1), √𝑥2 = |𝑥| = −𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0, portanto não podemos escrever que 
√𝑥2 = 𝑥 , sem saber o sinal de 𝑥 . 
Mais exemplos, vamos resolver as equações usando a definição e/ou propriedades. 
(1) √2𝑥 − 7 = 3 
(2) √2𝑥 − 7 = −5 
(3) √2𝑥 − 7 = √𝑥 − 4 
(4) √2𝑥 − 7 = √8 − 𝑥 
(5) √𝑥 − 4 = 10 − 𝑥 
(6) √2𝑥 − 7 =
𝑥−2
2
 
(7) √5𝑥 − 8
3
= 10 
(8) √5𝑥 − 8
3
= −10 
(9) √𝑥 − 6
3
= 3𝑥 + 4 
(10) 𝑥2 = 100 
(11) 𝑥2 = 34 ∙ 58 
(12) (2𝑥 − 5)2 = 36 
(13) (2𝑥 − 1)2 = 96 
Resoluções 
(1) √2𝑥 − 7 = 3 
Primeira resolução, usando a definição 
√2𝑥 − 7 = 3 ⟺ 32 = 2𝑥 − 7, 3 ≥ 0 𝑒 2𝑥 − 7 ≥ 0. 
Respeitando a restrição que o radicando deve ser positivo ou nulo, temos: 2𝑥 − 7 ≥ 0 e assim 
2𝑥 − 7 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥
7
2
 
Resolvendo √2𝑥 − 7 = 3 usando a definição, 32 = 2𝑥 − 7 ⟺ 2𝑥 − 7 = 9 ⟺ 
 2𝑥 = 9 + 7 ⟺ 2𝑥 = 16 ⟺ 𝑥 = 8 . Como 8 ≥
7
2
 , 𝑥 = 8 satisfaz a restrição e é portanto, a 
solução da equação dada. 𝑆 = {8}. 
Segunda resolução, usando propriedade de elevar ao quadrado os dois lados: 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎2 = 𝑏2 
√2𝑥 − 7 = 3 ⟹ (√2𝑥 − 7)
2
= 32 ⟺ 2𝑥 − 7 = 9 ⟺ 2𝑥 = 16 ⟺ 𝑥 = 8. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 25 de 51 
Conforme observação escrita após a propriedade, precisamos testar se essa solução satisfaz a equação 
original. 
√2 ∙ 8 − 7 = √16 − 7 = √9 = 3. Logo 𝑥 = 8 é de fato solução da equação original. 
(2) √2𝑥 − 7 = −5 
Primeira resolução, usando a definição 
√2𝑥 − 7 = −5, como −5 < 0 e √2𝑥 − 7 ≥ 0, essa equação não tem solução. 
Segunda resolução, usando propriedade de elevar ao quadrado os dois lados: 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎2 = 𝑏2 
√2𝑥 − 7 = −5 ⟹ (√2𝑥 − 7)
2
= (−5)2 ⟺ 2𝑥 − 7 = 25 ⟺ 2𝑥 = 34 ⟺ 𝑥 = 17. 
Conforme observação escrita após a propriedade, precisamos testar se essa solução satisfaz a equação 
original. 
√2 ∙ 17 − 7 = √34 − 7 = √25 = 5 ≠ −5. Logo 𝑥 = 17 não é solução da equação original. 
Portanto, essa equação não tem solução. 
(3) √2𝑥 − 7 = √𝑥 − 4 
Primeira resolução, usando a propriedade 𝑎 = 𝑏 ⟺ √𝑎 = √𝑏, para 𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0, 
Observe, em √2𝑥 − 7 = √𝑥 − 4 temos que respeitar as restrições de radicandos positivos ou nulos, 
ou seja, 2𝑥 − 7 ≥ 0 e 𝑥 − 4 ≥ 0 ⟺ 2𝑥 ≥ 7 e 𝑥 ≥ 4 ⟺ 𝑥 ≥
7
2
 e 𝑥 ≥ 4 ⟹ 𝑥 ≥ 4. 
Assim, √2𝑥 − 7 = √𝑥 − 4 ⟺ 2𝑥 − 7 = 𝑥 − 4 e 𝑥 ≥ 4 
Resolvendo a equação e respeitando a restrição, 
𝑥 ≥ 4 e 2𝑥 − 7 = 𝑥 − 4 ⟺ 𝑥 ≥ 4 e 2𝑥 − 𝑥 = −4 + 7 ⟺ 𝑥 ≥ 4 e 𝑥 = 3 . 
Como 3 < 4, a equação √2𝑥 − 7 = √𝑥 − 4 não tem solução e 𝑆 = ∅. 
Portanto a equação dada não tem solução, isto é, a solução 𝑆 = ∅. 
Segunda resolução, usando a propriedade de elevar ao quadrado os dois lados da equação 
√2𝑥 − 7 = √𝑥 − 4 ⟹ (√2𝑥 − 7)
2
= (√𝑥 − 4)
2
 ⟺ 2𝑥 − 7 = 𝑥 − 4 ⟺ 2𝑥 − 𝑥 = 
−4 + 7 ⟺ 𝑥 = 3 . 
Conforme observação escrita após a propriedade, precisamos testar se essa solução satisfaz a equação 
original. Substituindo 𝑥 = 3 nos dois lados da equação dada, 
√2 ∙ 3 − 7 = √−1 e √3 − 4 = √−1, como não existe raiz de número negativo, a equação 
dada não tem solução, isto é, a solução 𝑆 = ∅. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 26 de 51 
(5) √2𝑥 − 7 = √8 − 𝑥 
Primeira resolução, usando a propriedade 𝑎 = 𝑏 ⟺ √𝑎 = √𝑏, para 𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0, 
Observe, em √2𝑥 − 7 = √8 − 𝑥 temos que respeitar as restrições de radicandos positivos ou nulos, 
ou seja, 2𝑥 − 7 ≥ 0 e . 8 − 𝑥 ≥ 0 ⟺2𝑥 ≥ 7 e 8 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑥 ≥
7
2
 e 𝑥 ≤ 8 ⟹ 
7
2
≤ 𝑥 ≤ 8 
Assim, √2𝑥 − 7 = √8 − 𝑥 ⟺ 2𝑥 − 7 = 8 − 𝑥 e 
7
2
≤ 𝑥 ≤ 8 
Vamos resolver 2𝑥 − 7 = 8 − 𝑥 e depois testar se sua solução satisfaz 
7
2
≤ 𝑥 ≤ 8. 
2𝑥 − 7 = 8 − 𝑥 ⟺ 2𝑥 + 𝑥 = 8 + 7 ⟺ 3 𝑥 = 15 ⟺ 𝑥 = 5. 
Como 
7
2
< 5 < 8, a solução 𝑥 = 5 satisfaz 
7
2
≤ 𝑥 ≤ 8. 
Portanto a equação dada tem solução 𝑆 = {5}. 
Segunda resolução, usando a propriedade de elevar ao quadrado os dois lados da equação 
√2𝑥 − 7 = √8 − 𝑥 ⟹ (√2𝑥 − 7)
2
= (√8 − 𝑥)
2
 ⟺ 2𝑥 − 7 = 8 − 𝑥 ⟺ 2𝑥 + 𝑥 = 8 + 7 
⟺ 3 𝑥 = 15 ⟺ 𝑥 = 5 . 
Conforme observação escrita após a propriedade, precisamos testar se essa solução satisfaz a equação 
original. Substituindo 𝑥 = 5 nos dois lados da equação dada, 
√2 ∙ 5 − 7 = √3 e √8 − 5 = √3, portanto 𝑥 = 5 é de fato solução da equação dada, isto 
é, a solução da equação dada é 𝑆 = {5}. 
(5) √𝑥 − 4 = 10 − 𝑥 
Primeira resolução, usando a definição, temos a equação (10 − 𝑥)2 = 𝑥 − 4 e temos que respeitar 
as restrições 𝑥 − 4 ≥ 0 e 10 − 𝑥 ≥ 0. 
Resolvendo as restrições, 
𝑥 − 4 ≥ 0 e 10 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 4 e 10 ≥ 𝑥 ⟺ 4 ≤ 𝑥 ≤ 10. 
Resolvendo a equação, 
(10 − 𝑥)2 = 𝑥 − 4 ⟺ 100 − 20𝑥 + 𝑥2 = 𝑥 − 4 ⟺ 𝑥2 − 21𝑥 + 104 = 0. 
Lembrando a fórmula da equação de segundo grau, 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⟺ 𝑥 = 
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
. 
𝑥2 − 21𝑥 + 104 = 0 ⟺ 𝑥 =
−(−21)±√(−21)2−4∙1∙104
2∙1
=
21±√441−416
2
=
21±√25
2
=
21±5
2
= {
26
2
= 13
16
2
= 8
 
Logo a solução de (10 − 𝑥)2 = 𝑥 − 4 é 𝑥 = 8 ou 𝑥 = 13. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 27 de 51 
Verificando se cada solução respeita a restrição 4 ≤ 𝑥 ≤ 10, 
4 < 8 < 10, logo 𝑥 = 8 também é solução da equação original dada. 
4 < 10 < 13, logo 𝑥 = 13 não é solução da equação original dada. 
Portanto, a solução da equação original é 𝑆 = { 8} 
Segunda resolução, usando a propriedade de elevar ao quadrado os dois lados da equação 
(√𝑥 − 4)
2
= (10 − 𝑥)2 ⟹ 𝑥 − 4 = 100 − 20𝑥 + 𝑥2 ⟺ 𝑥2 − 21𝑥 + 104 = 0 ⟺ 
 𝑥 =
−(−21)±√(−21)2−4∙1∙104
2∙1
=
21±√441−416
2
=
21±√25
2
=
21±5
2
= {
26
2
= 13
16
2
= 8
 
Logo a solução de (√𝑥 − 4)
2
= (10 − 𝑥)2 é 𝑥 = 8 ou 𝑥 = 13 
Conforme observação escrita após a propriedade, precisamos testar se essa solução satisfaz a equação 
original. Substituindo 𝑥 = 8 e 𝑥 = 13 nos dois lados da equação dada, 
√8 − 4 = √4 = 2 e 10 − 8 = 2. Logo 𝑥 = 8 satisfaz a equação dada. 
√13 − 4 = √9 = 3 e 10 − 13 = −3. Logo 𝑥 = 13 não satisfaz a equação dada. 
Portanto, a solução da equação original é 𝑆 = { 8}. 
(6) √2𝑥 − 7 =
𝑥−2
2
 
Primeira resolução, usando a definição, temos a equação (
𝑥−2
2
)
2
= 2𝑥 − 7 e temos que respeitar 
as restrições 2𝑥 − 7 ≥ 0 e 
𝑥−2
2
≥ 0 
Resolvendo as restrições, 
2𝑥 − 7 ≥ 0 e 
𝑥−2
2
≥ 0 ⟺ 2𝑥 ≥ 7 e 𝑥 − 2 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥
7
2
 e 𝑥 ≥ 2 ⟹ 𝑥 ≥ 2. 
Resolvendo a equação, 
(
𝑥−2
2
)
2
= 2𝑥 − 7 ⟺ 
(𝑥−2)2
4
= 2𝑥 − 7 ⟺ (𝑥 − 2)2 = 4(2𝑥 − 7) ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 8𝑥 − 28 
⟺ 𝑥2 − 12𝑥 + 32 = 0. 
𝑥 =
−(−12)±√(−12)2−4∙1∙32
2∙1
=
12±√144−128
2
=
12±√16
2
=
12±4
2
= {
16
2
= 8
8
2
= 4
 
Logo a solução de (
𝑥−2
2
)
2
= 2𝑥 − 7 é 𝑥 = 4 ou 𝑥 = 8 
Verificando se cada solução respeita a restrição 𝑥 ≥ 2, 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 28 de 51 
4 > 2 e 8 > 2, logo as duas soluções da equação (
𝑥−2
2
)
2
= 2𝑥 − 7 também são soluções da equação 
original dada. 
Portanto, a solução da equação original é 𝑆 = {4, 8}. 
Segunda resolução, usando a propriedade de elevar ao quadrado os dois lados da equação 
(√2𝑥 − 7)
2
= (
𝑥−2
2
)
2
⟹ 2𝑥 − 7 = 
(𝑥−2)2
4
 ⟺ 4(2𝑥 − 7) = (𝑥 − 2)2 ⟺ 8𝑥 − 28 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 
⟺ 𝑥2 − 12𝑥 + 32 = 0 ⟺ 𝑥 =
−(−12)±√(−12)2−4∙1∙32
2∙1
=
12±√144−128
2
=
12±√16
2
=
12±4
2
= {
16
2
= 8
8
2
= 4
 
Logo a solução de 2𝑥 − 7 = (
𝑥−2
2
)
2
é 𝑥 = 4 ou 𝑥 = 8 
Conforme observação escrita após a propriedade, precisamos testar se essa solução satisfaz a equação 
original. Substituindo 𝑥 = 4 e 𝑥 = 8 nos dois lados da equação dada, 
√2 ∙ 4 − 7 = √1 = 1 e 
4−2
2
=
2
2
= 1. Logo 𝑥 = 4 satisfaz a equação dada. 
√2 ∙ 8 − 7 = √9 = 3 e 
8−2
2
=
6
2
= 3. Logo 𝑥 = 8 satisfaz a equação dada. 
logo as duas soluções da equação 2𝑥 − 7 = (
𝑥−2
2
)
2
 também são soluções da equação original dada. 
Portanto, a solução da equação original é 𝑆 = {4, 8}. 
(7) √5𝑥 − 8
3
= 10 
Primeira resolução, usando a definição, 
√5𝑥 − 8
3
= 10 ⟺ 103 = 5𝑥 − 8. 
Resolvendo, 5𝑥 − 8 = 103 ⟺ 5𝑥 − 8 = 103 ⟺ 5𝑥 = 1000 + 8 ⟺ 𝑥 =
1008
5
= 20,16. 
Logo a solução da equação é 𝑥 = 20,16. 
Segunda resolução, usando propriedade de elevar ao cubo os dois lados: 𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑎3 = 𝑏3 
√5𝑥 − 8
3
= 10 ⟺ (√5𝑥 − 8
3
)
3
= 103 ⟺ 5𝑥 − 8 = 1000 ⟺ 5𝑥 = 1000 + 8 ⟺
 𝑥 =
1008
5
= 20,16. 
Conforme observação escrita após a propriedade, não precisamos testar se essa solução satisfaz a 
equação original. Logo a solução da equação é 𝑆 = {20,16}. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 29 de 51 
(8) √5𝑥 − 8
3
= −10 
Primeira resolução, usando a definição, 
√5𝑥 − 8
3
= −10 ⟺ (−10)3 = 5𝑥 − 8. 
Resolvendo, 5𝑥 − 8 = (−10)3 ⟺ 5𝑥 − 8 = −103 ⟺ 5𝑥 = −1000 + 8 ⟺ 
 𝑥 =
−992
5
= −19,84. 
Logo a solução da equação é 𝑆 = {−19,84}. 
Segunda resolução, usando propriedade de elevar ao cubo os dois lados: 
√5𝑥 − 8
3
= −10 ⟺ (√5𝑥 − 8
3
)
3
= (−10)3 ⟺ 5𝑥 = −1000 + 8 ⟺ 𝑥 =
−992
5
= −19,84. 
Conforme observação escrita após a propriedade, não precisamos testar se essa solução satisfaz a 
equação original. Logo a solução da equação é 𝑆 = {−19,84}. 
(9) √𝑥 − 6
3
= 3𝑥 + 4 
Primeira resolução, usando a definição, 
√𝑥 − 6
3
= 3𝑥 + 4 ⟺ (3𝑥 + 4)3 = 𝑥 − 6. Resolvendo, 
(3𝑥 + 4)3 = 𝑥 − 6 ⟺ (3𝑥 + 4)2(3𝑥 + 4) = 𝑥 − 6 ⟺ (9𝑥2 + 24𝑥 + 16)(3𝑥 + 4) = 𝑥 − 6 ⟺ 
27𝑥3 + 108𝑥2 + 144𝑥 + 64 = 𝑥 − 6 ⟺ 27𝑥3 + 107𝑥2 + 144𝑥 + 70 = 0. 
Esse é uma equação polinomial de grau 3. É bastante provável que você ainda não saiba resolver. Na 
próxima semana estudaremos polinômios, aprenderemos a encontrar as raízes de polinômios. Não 
vamos concluir aqui esse exercício, será concluído depois desse estudo de polinômios. 
(10) 𝑥2 = 100 
Como 𝑥2 ≥ 0 e 100 > 0, podemos aplicar a propriedade de extrair a raiz quadrada dos dois lados. 
Assim, 
𝑥2 = 100 ⟺ √𝑥2 = √100 ⟺ √𝑥2 = 10 ⟺ |𝑥| = 10 ⟺ 𝑥 = 10 𝑜𝑢 𝑥 = −10 ⟺ 𝑥 = ±10 
Logo a solução da equação é 𝑆 = {−10, 10}. 
(11) 𝑥2 = 34 ∙ 58 ⟺ √𝑥2 = √34 ∙ 58 ⟺ |𝑥| = 32 ∙ 54 ⟺ 𝑥 = ± 32 ∙ 54 
Logo a solução da equação é 𝑆 = {−32 ∙ 54, 32 ∙ 54}. 
(12) (2𝑥 − 5)2 = 36 ⟺ √(2𝑥 − 5)2 = √36 ⟺ |2𝑥 − 5| = 6 ⟺ 2𝑥 − 5 = 6 𝑜𝑢 2𝑥 − 5 = −6 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 30 de 51 
⟺ 2𝑥 = 5 + 6 𝑜𝑢 2𝑥 = 5 − 6 ⟺ 𝑥 =
11
2
 ou 𝑥 = −
1
2
. 
Logo a solução da equação é 𝑆 = {−
1
2
,
11
2
}. 
(13) (2𝑥 − 1)2 = 96 ⟺ √(2𝑥 − 1)2 = √96 = √25 ∙ 3 = √24 ∙ 2 ∙ 3 = 4√6 ⟺ 
 ⟺ |2𝑥 − 1| = 4√6 ⟺ 2𝑥 − 1 = 4√6 ou 2𝑥 − 1 = −4√6 ⟺ 
2𝑥 = 1 + 4√6 ou 2𝑥 = 1 − 4√6 ⟺ 𝑥 =
1+4√6
2
 ou 𝑥 = 
1−4√6
2
 
Logo a solução da equação é 𝑆 = {
1−4√6
2
,
1+4√6
2
}. 
Mais exemplos, vamos resolver as inequações usando a definição e/ou propriedades. 
(1) √2𝑥 − 7 < 3 
(2) √2𝑥 − 7 ≥ −5 
(3) √2𝑥 − 7 < √𝑥 − 4 
(4) √2𝑥 − 7 > √8 − 𝑥 
(5) 𝑥2 ≤ 100 
(6) 𝑥2 > 34 ∙ 58 
(7) (2𝑥 − 5)2 ≤ 36 
(8) (2𝑥 − 1)2 > 96 
Resoluções: 
(1) √2𝑥 − 7 < 3 
Vamos aplicar a propriedade (10) de raiz quadrada: 𝑎 < 𝑏 ⟺ √𝑎 < √𝑏, para 𝑎 ≥0 𝑒 𝑏 ≥ 0 
como 3 = √9, temos que resolver √2𝑥 − 7 < √9. 
Para aplicar a propriedade, é preciso respeitar as restrições, 2𝑥 − 7 ≥ 0 e 3 ≥ 0. 
Como 3 > 0 ≥ 0, só há uma restrição para resolver. Resolvendo, 
2𝑥 − 7 ≥ 0 ⟺ 2𝑥 ≥ 7 ⟺ 𝑥 ≥
7
2
. 
𝑥 ≥
7
2
 e √2𝑥 − 7 < √9 ⟺ 𝑥 ≥
7
2
 e 2𝑥 − 7 < 9 ⟺ 𝑥 ≥
7
2
 e 2𝑥 < 16 ⟺ 
𝑥 ≥
7
2
 e 𝑥 < 8 ⟺ 
7
2
≤ 𝑥 < 8 . 
Logo a solução é: 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; 
7
2
≤ 𝑥 < 8} = [7, 8). 
(2) √2𝑥 − 7 ≥ −5 
Como √2𝑥 − 7 ≥ 0 > −5 para todo 𝑥 tal que 2𝑥 − 7 ≥ 0, basta resolver essa restrição. 
2𝑥 − 7 ≥ 0 ⟺ 2𝑥 ≥ 7 ⟺ 𝑥 ≥
7
2
 
Logo a solução 𝑆 é: 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥
7
2
} = [
7
2
, ∞). 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 31 de 51 
(3) √2𝑥 − 7 < √𝑥 − 4 
Vamos aplicar a propriedade (10) de raiz quadrada: 𝑎 < 𝑏 ⟺ √𝑎 < √𝑏, para 𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0 
Para aplicar temos que respeitar duas restrições: 2𝑥 − 7 ≥ 0 e 𝑥 − 4 ≥ 0. 
Resolvendo as restrições, 
2𝑥 − 7 ≥ 0 e 𝑥 − 4 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥
7
2
 e 𝑥 ≥ 4 ⟹ 𝑥 ≥ 4 . 
Aplicando 𝑎 < 𝑏 ⟺ √𝑎 < √𝑏, 
 𝑥 ≥ 4 e √2𝑥 − 7 < √𝑥 − 4 ⟺ 𝑥 ≥ 4 e 2𝑥 − 7 < 𝑥 − 4 ⟺ 𝑥 ≥ 4 e 2𝑥 − 𝑥 < −4 + 7 
⟺ 𝑥 ≥ 4 𝑒 𝑥 < 3. Logo a solução 𝑆 é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 < 3 e 𝑥 ≥ 4} = ∅ 
Conclusão: a inequação dada não tem solução. 
(4) √2𝑥 − 7 > √8 − 𝑥 
Aplicando 𝑎 < 𝑏 ⟺ √𝑎 < √𝑏, que pode ser escrita como 𝑏 > 𝑎 ⟺ √𝑏 > √𝑎, para 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0 
Temos duas restrições: 2𝑥 − 7 ≥ 0 e 8 − 𝑥 ≥ 0. Resolvendo as restrições, 
2𝑥 − 7 ≥ 0 e 8 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥
7
2
 e 8 ≥ 𝑥 ⟹ 
7
2
≤ 𝑥 ≤ 8 . 
Aplicando 𝑏 > 𝑎 ⟺ √𝑏 > √𝑎, temos 
 
7
2
≤ 𝑥 ≤ 8 𝑒 √2𝑥 − 7 > √8 − 𝑥 ⟺ 
7
2
≤ 𝑥 ≤ 8 𝑒 2𝑥 − 7 > 8 − 𝑥 ⟺ 
 
7
2
≤ 𝑥 ≤ 8 e 2𝑥 + 𝑥 > 8 + 7 ⟺ 
7
2
≤ 𝑥 ≤ 8 e 3𝑥 > 15 ⟺ 
7
2
≤ 𝑥 ≤ 8 e 𝑥 > 5 ⟺ 
 5 < 𝑥 ≤ 8 
Portanto, a solução da inequação dada é: 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; 5 < 𝑥 ≤ 8} = (5, 8] 
(5) 𝑥2 ≤ 100 
Como 𝑥2 ≥ 0 e 100 > 0, podemos aplicar a propriedade de extrair a raiz quadrada dos dois lados, tanto na 
igualdade quanto na desigualdade de menor. 
𝑥2 ≤ 100 ⟺ √𝑥2 ≤ √100 ⟺ √𝑥2 ≤ 10 ⟺ |𝑥| ≤ 10 ⟺ −10 ≤ 𝑥 ≤ 10. 
Solução : 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; −10 ≤ 𝑥 ≤ 10 } = [−10, 10]. 
(6) 𝑥2 > 34 ∙ 58 ⟺ √𝑥2 > √34 ∙ 58 ⟺ |𝑥| > 32 ∙ 54 ⟺ 𝑥 > 32 ∙ 54 𝑜𝑢 𝑥 < −32 ∙ 54 
Solução : 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 > 32 ∙ 54 ou 𝑥 < −32 ∙ 54 } = (−∞,−32 ∙ 54) ∪ (−32 ∙ 54, ∞). 
(7) (2𝑥 − 5)2 < 36 ⟺ √(2𝑥 − 5)2 < √36 ⟺ |2𝑥 − 5| < 6 ⟺ −6 < 2𝑥 − 5 < 6 ⟺ 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 32 de 51 
5 − 6 < 2𝑥 < 5 + 6 ⟺ −
1
2
< 2𝑥 <
11
2
 . 
Solução : 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; −
1
2
< 2𝑥 <
11
2
 } = (−
1
2
,
11
2
). 
(8) (2𝑥 − 1)2 > 96 ⟺ √(2𝑥 − 1)2 > √96 = 4√6 ⟺ |2𝑥 − 1| > 4√6 ⟺ 
 ⟺ 2𝑥 − 1 > 4√6 ou 2𝑥 − 1 < −4√6 ⟺ 2𝑥 > 1 + 4√6 ou 2𝑥 < 1 − 4√6 
⟺ 𝑥 >
1+4√6
2
 𝑜𝑢 𝑥 <
1−4√6
2
 . 
Solução : 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 <
1−4√6
2
 ou 𝑥 >
1+4√6
2
} = (−∞,
1−4√6
2
) ∪ (
1+4√6
2
, ∞). 
Raiz de Índice Par 
A definição e as propriedades de qualquer raiz de índice par são análogas à definição e às propriedades 
de raiz quadrada. 
Exemplos de definição de algumas raízes de índice par 
Seja 𝑎 ∈ ℝ e 𝑎 ≥ 0. 
A raiz quarta de 𝑎 é o único 𝑏 ∈ ℝ , 𝑏 ≥ 0 tal que 𝑏4 = 𝑎 (indica-se √𝑎
4
= 𝑏). 
A raiz de índice 10 de 𝑎 é o único 𝑏 ∈ ℝ , 𝑏 ≥ 0 tal que 𝑏10 = 𝑎 (indica-se √𝑎
10
= 𝑏) 
Exemplos de propriedades de algumas raízes de índice par 
Considere 𝑎 ∈ ℝ e 𝑏 ∈ ℝ 
(1) √𝑎4
4
= |𝑎|, para ∀𝑎 
(2) √𝑎8
8
= |𝑎|, para ∀𝑎 
(3) √𝑎 𝑏
6
= √𝑎
6
√𝑏
6
, para 𝑎 ≥ 0 e 𝑏 ≥ 0 
(4) (√𝑎
6
)
6
= 𝑎, para 𝑎 ≥ 0 
(5) 𝑎 = 𝑏 ⟺ √𝑎
10
= √𝑏
10
, para 𝑎 ≥ 0 e 𝑏 ≥ 0 
Raiz de Índice Ímpar 
A definição e as propriedades de qualquer raiz de índice ímpar são análogas à definição e às 
propriedades de raiz cúbica. 
Exemplos de definição de algumas raízes de índice ímpar 
Seja 𝑎 ∈ ℝ. 
A raiz quinta de 𝑎 é o único 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑏5 = 𝑎 (indica-se √𝑎
5
= 𝑏). 
A raiz de índice 15 de 𝑎 é o único 𝑏 ∈ ℝ tal que 𝑏15 = 𝑎 (indica-se √𝑎
15
= 𝑏). 
Exemplos de propriedades de algumas raízes de índice ímpar 
 
Pré-Cálculo 2020-1 EP01 33 de 51 
Considere 𝑎 ∈ ℝ e 𝑏 ∈ ℝ 
(1) √𝑎5
5
= 𝑎, para ∀𝑎 
(2) √𝑎9
9
= 𝑎, para ∀𝑎 
(3) √𝑎 𝑏
7
= √𝑎
7
√𝑏
7
, para ∀𝑎 
(4) (√𝑎
7
)
7
= 𝑎, para ∀𝑎 
(5) 𝑎 = 𝑏 ⟺ √𝑎
10
= √𝑏
10
, para ∀𝑎 
 
Domínio e Análise de Sinal de Expressões 
Expressão matemática 
Vamos primeiro recordar o que é uma expressão matemática. 
Uma expressão em Matemática é obtida quando conectamos elementos de um conjunto por 
operações entre esses elementos. 
Por exemplo: 
3
5−𝜋
 , (√3
4
− 2) ∙
1
7
, 
2
𝑥−3
, 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑥2 + 𝑦2. 
Quando são colocadas letras na expressão, as letras podem ser variáveis ou constantes e é preciso 
sempre ficar claro em que conjunto universo podemos escolher elementos para colocar no lugar da(s) 
letra(s) para avaliar a expressão. 
Expressão matemática na variável 𝒙 ∈ 𝑼 (ou simplesmente, expressão na variável 𝒙 ∈ 𝑼) 
𝐸(𝑥) = 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑣á𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠, onde 𝑥 ∈ 𝑈 e é especificado o conjunto 
universo de cada uma das outras letras, significa: 
• apenas 𝑥 é variável, podemos escolher no conjunto universo 𝑈 os elementos para colocar no lugar de 𝑥. 
• as outras letras da expressão representam constantes (cada constante dada pode estar em um conjunto 
universo) 
• A expressão foi denotada por 𝐸, qualquer outra letra pode ser usada no lugar de 𝐸, por exemplo 𝐸(𝑥),
𝐹(𝑥), 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ⋯. 
Por exemplo, na expressão 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 ∈ ℝ e 𝑏 ∈ ℝ 
𝑥 é variável, podemos escolher em ℝ os números reais para colocar no lugar de 𝑥, 𝑎 e 𝑏 são 
constantes reais dadas. 
Observe, quando atribuímos valores às constantes, a expressão só depende da variável 𝑥. 
Ao atribuir 𝑎 = 2 e 𝑏 = −
5
3
, temos que 𝐸(𝑥) = 2𝑥 −
5
3
, 𝑥 ∈ ℝ. 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 34 de 51 
Expressão algébrica na variável 𝒙 ∈ 𝑼. 
Uma expressão algébrica na variável 𝑥 ∈ 𝑈 , denotada por 𝐸(𝑥) , é uma expressão em que 
aparecem uma ou mais das seguintes operações algébricas: soma, produto, subtração, divisão, 
potenciação, radiciação entre valores de um conjunto e a variável 𝑥. 
Exemplos de expressões algébricas em 𝑥 ∈ ℝ : (ℝ é o conjunto universo da variável 𝑥) 
(1) 𝐸(𝑥) = 2𝑥 − 5, expressão linear; 
(2) 𝐸(𝑥) = −3𝑥2 + 4𝑥 − 5 , expressão quadrática; 
(3) 𝐹(𝑥) =
(2𝑥−5)(𝑥2−1)
3𝑥2+6
 ; 
(4) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 5 +
𝜋
𝑥−1
 . 
(5) 𝑔(𝑥) = 2𝑥−|4𝑥 − 5|. 
Domínio de Expressão 
É importante falarmos também de domínio de definição da expressão ou simplesmente domínio da 
expressão, que é o maior subconjunto 𝐴 do conjunto universo 𝑈 , tal que a expressão pode ser 
avaliada em todo valor do subconjunto 𝐴 . 
Observação 
• Se 𝑥 pertence ao domínio da expressão, dizemos que a expressão está bem definida em 𝒙 ou 
simplesmente a expressão está definida em 𝒙. 
• Se 𝑥 não pertence no domínio da expressão, dizemos que a expressão não é definida em 𝒙 
Exemplos 
Vamos determinar o domínio de cada expressão 
(1) 𝐸(𝑥) = 2𝑥 + 3√2𝑥 − 1, 𝑥 ∈ 𝑈 = ℝ, 
Como só podemos calcular raiz quadrada de números reais positivos ou nulos, se representamos por 
𝐴 o domínio de 𝐸(𝑥), 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 2𝑥 − 1 ≥ 0} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥
1
2
} = [
1
2
, ∞) ⊂ ℝ . 
(2) 𝐸(𝑥) = 4|𝑥 − 3| + 7|5𝑥 − 2|, 𝑥 ∈ ℝ. 
Como podemos calcular o módulo de qualquer número real, se representamos por 𝐴 o domínio de 
𝐸(𝑥), 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ} =ℝ = (−∞,∞). 
(3) 𝐹(𝑥) = √|𝑥| − 4 , 𝑥 ∈ ℝ 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 35 de 51 
Como podemos calcular o módulo de qualquer número real e só podemos calcular raiz quadrada de 
números reais positivos ou nulos, a única restrição para o domínio é que o radicando seja positivo ou 
nulo, ou seja, a única restrição para o domínio é |𝑥| − 4 ≥ 0. 
Resolvendo a restrição, |𝑥| − 4 ≥ 0 ⟺ |𝑥| > 4 ⟺ 𝑥 ≤ −4 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4. 
Se representamos por 𝐴 o domínio de 𝐹(𝑥), 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ −4 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4} = (−∞,−4] ∪ [4,∞). 
(4) 𝑚(𝑥) =
2𝑥−4
9−|𝑥−2|
 , 𝑥 ∈ ℝ 
Como podemos calcular o módulo de qualquer número real e como só podemos calcular frações com 
denominadores não nulos, a única restrição para o domínio é que o denominador não seja nulo, ou 
seja, 9 − |𝑥 − 2| ≠ 0. 
Sendo 𝐷 o domínio de 𝐸(𝑥), 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 9 − |𝑥 − 2| ≠ 0}. 
Resolvendo a restrição, 
9 − |𝑥 − 2| = 0 ⟺ |𝑥 − 2| = 9 ⟺ 𝑥 − 2 = 9 𝑜𝑢 𝑥 − 2 = −9 ⟺ 
𝑥 = 9 + 2 𝑜𝑢 𝑥 = −9 + 2 ⟺ 𝑥 = 11 𝑜𝑢 𝑥 = −7. 
Logo, 9 − |𝑥 − 2| ≠ 0 ⟺ 9 − |𝑥 − 2| ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −7 𝑒 𝑥 ≠ 11. 
Portanto, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ −7 𝑒 𝑥 ≠ 11} = (−∞,−7) ∪ (−7, 11) ∪ (11,∞). 
(5) 𝑓(𝑥) =
20−√600−15𝑥
8−4 √𝑥−1
4 , 𝑥 ∈ 𝑅 
Nessa expressão temos três restrições para o domínio, 
(I) Radicando que aparece no numerador deve ser positivo ou nulo, ou seja, 600 − 15𝑥 ≥ 0 
(II) Radicando que aparece no denominador deve ser positivo ou nulo, ou seja, 𝑥 − 1 ≥ 0 
(III) Denominador deve ser não nulo, ou seja, 8 − 4√𝑥 − 1
4
≠ 0. 
Sendo 𝐷 o domínio de 𝐸(𝑥), 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 600 − 15𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 − 1 ≥ 0 𝑒 8 − 4√𝑥 − 1
4
≠ 0}. 
Resolvendo cada restrição, 
(I) 600 − 15𝑥 ≥ 0 ⟺ 600 ≥ 15𝑥 ⟺ 
600
15
≥ 𝑥 ⟺ 𝑥 ≤ 40 
(II) 𝑥 − 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 1 
(III) 8 − 4√𝑥 − 1
4
≠ 0 
8 − 4√𝑥 − 1
4
= 0 ⇔ 4√𝑥 − 1
4
= 8 ⟺ √𝑥 − 1
4
= 2 ⟺ 𝑥 − 1 = 24 
⟺ 𝑥 − 1 = 16 ⟺ 𝑥 = 16 + 1 ⟺ 𝑥 = 17 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 36 de 51 
Logo, 8 − 4√𝑥 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ 17. 
Portanto, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 40 𝑒 𝑥 ≥ 1 𝑒 𝑥 ≠ 17} = [1, 17) ∪ (17, 40]. 
 
Análise de Sinal de Expressão 
Analisar o sinal de uma expressão 𝐸(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ significa: 
determinar todos os valores reais da variável 𝒙 pertencente ao domínio da expressão 𝑬(𝒙) para os 
quais 
I. a expressão 𝐸(𝑥) é nula, ou seja, 𝑬(𝒙) = 𝟎. 
II. a expressão 𝐸(𝑥) é positiva, ou seja, 𝑬(𝒙) > 𝟎. 
III. a expressão 𝐸(𝑥) é negativa, ou seja, 𝑬(𝒙) < 𝟎. 
Exemplo Vamos analisar o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45. 
Temos que começar determinando o domínio 𝐷 da expressão. 
Como não há restrição para essa expressão, 𝐷 = ℝ. 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 10𝑥 − 45 = 0 ⟺ 10𝑥 = 45 ⟺ 𝑥 =
45
10
 ⟺ 𝑥 =
9
2
 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 10𝑥 − 45 > 0 ⟺ 10𝑥 > 45 ⟺ 𝑥 >
45
10
 ⟺ 𝑥 >
9
2
 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 10𝑥 − 45 < 0 ⟺ 10𝑥 < 45 ⟺ 𝑥 <
45
10
 ⟺ 𝑥 <
9
2
 
Portanto, a resposta para a análise de sinal é: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
9
2
 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 >
9
2
 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 <
9
2
 
Se quisermos responder usando a notação de intervalo, a resposta para a análise de sinal é: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
9
2
 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (
9
2
, ∞ ) 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,
9
2
 ) 
Usando o gráfico de uma reta para estudar o sinal da expressão 𝑬(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, onde 𝒂 e 𝒃 são 
constantes reais e 𝒂 ≠ 𝟎. 
Temos que começar determinando o domínio 𝐷 da expressão. 
Como não há restrição para essa expressão, 𝐷 = ℝ. 
Lembrando a equação de uma reta: 
Sabemos que a equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 é a equação de uma reta. Podemos usar o gráfico de uma reta 
para analisar o sinal de 𝑦. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 37 de 51 
A reta corta o eixo 𝑥 em 𝑦 = 0 e no valor de 𝑥 que é solução de 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0. 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⟺ 𝑎𝑥 = −𝑏 ⟺ 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
A reta de equação 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 pode ser de dois tipos, a inclinação depende do sinal de 𝑎. 
Pelo gráfico ao lado, onde 𝑎 > 0, concluímos que: 
sinal de 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 se 𝒂 > 𝟎 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 > −
𝑏
𝑎
 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −
𝑏
𝑎
 
 
Pelo gráfico ao lado onde 𝑎 < 0, concluímos que: 
sinal de 𝐸(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 se 𝒂 < 𝟎 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 < −
𝑏
𝑎
 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 > −
𝑏
𝑎
 
 
 
Exemplo (a): 𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45, 𝑎 = 10 > 0. 
10𝑥 − 45 = 0 ⟺ 10𝑥 = 45 ⟺ 𝑥 =
45
10
 ⟺ 𝑥 =
9
2
 
OBSERVE, 𝑎 = 10, 𝑏 = −45, 𝑥 = −
𝑏
𝑎
= −
−45
10
=
9
2
 
Domínio 𝐷 da expressão: 𝐷 = ℝ. 
Como 𝑎 = 10 > 0, 
𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 = 0 ⟺ 𝑥 =
9
2
 
𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 > 0 ⟺ 𝑥 >
9
2
 
𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 < 0 ⟺ 𝑥 <
9
2
 
Exemplo (b): 𝐸(𝑥) = −3𝑥 − 27, 𝑎 = −3 < 0. 
−3𝑥 − 27 = 0 ⟺ 3𝑥 = 27 ⟺ 𝑥 =
27
−3
⟺ 𝑥 = −9 
OBSERVE, 𝑎 = −3, 𝑏 = −27, 𝑥 = −
−27
−3
= −9 
Domínio 𝐷 da expressão: 𝐷 = ℝ. 
Como 𝑎 = −3 < 0, 
𝐸(𝑥) = −3𝑥 − 27 = 0 ⟺ 𝑥 = −9 
𝐸(𝑥) = −3𝑥 − 27 > 0 ⟺ 𝑥 < −9 
𝐸(𝑥) = −3𝑥 − 27 < 0 ⟺ 𝑥 > −9 
Mais exemplos 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 38 de 51 
Vamos analisar o sinal das expressões abaixo. As expressões (1 ) a (3) são do tipo 𝒂𝒙 + 𝒃, as outras 
não são desse tipo. 
(1) 𝐸(𝑥) = 2𝑥 − 𝜋 
(2) 𝐹(𝑥) = 8 − 16𝑥 
(3) 𝐻(𝑥) = 3𝑥 + 12√10 
(4) 𝐸(𝑥) = 2|𝑥 − 1| − 6 
(5) 𝑓(𝑥) = 2𝜋 − |2𝑥 − 𝜋| 
(6) 𝐸(𝑥) = |2𝑥 + 3| 
(7) 𝐸(𝑥) = 1 + |𝑥 − 10| 
(8) 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3 − 5 
(9) ℎ(𝑥) = 5 − √1 − 3𝑥 
(10) 𝑓(𝑥) = √5 − 𝑥 
Resoluções: 
(1) 𝐸(𝑥) = 2𝑥 − 𝜋 = 0 ⟺ 2𝑥 = 𝜋 ⟺ 𝑥 =
𝜋
2
 
𝐸(𝑥) é do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑎 = 2 > 0. Logo, o domínio 𝐷 da expressão: 𝐷 = ℝ e 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
𝜋
2
 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 >
𝜋
2
 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 <
𝜋
2
 
(2) 𝐹(𝑥) = 8 − 16𝑥 = 0 ⟺ −16𝑥 = −8 ⟺ 𝑥 =
−8
−16
 ⟺ 𝑥 =
1
2
 
𝐹(𝑥) é do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑎 = −16 < 0. Logo, o domínio 𝐷 da expressão: 𝐷 = ℝ e 
𝐹(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 =
1
2
 
𝐹(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 <
1
2
 
𝐹(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 >
1
2
 
(3) 𝐻(𝑥) = 3𝑥 + 12√10 = 0 ⟺ 3𝑥 = −12√10 ⟺ 𝑥 = −
12√10
4
 ⟺ −3√10 
𝐻(𝑥) é do tipo 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑎 = 3 > 0. Logo, o domínio 𝐷 da expressão: 𝐷 = ℝ e 
𝐻(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −3√10 
𝐻(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 > −3√10 
𝐻(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −3√10 
(4) 𝐸(𝑥) = 2|𝑥 − 1| − 6 
Podemos calcular o módulo de qualquer número real, logo o domínio 𝐷 = ℝ. 
(I) 2|𝑥 − 1| − 6 = 0 ⟺ 2|𝑥 − 1| = 6 ⟺ |𝑥 − 1| = 3 ⟺ 
𝑥 − 1 = −3 𝑜𝑢 𝑥 − 1 = 3 ⟺ 𝑥 = −3 + 1 𝑜𝑢 𝑥 = 3 + 1 ⟺ 𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 4. 
(II) 2|𝑥 − 1| − 6 > 0 ⟺ 2|𝑥 − 1| > 6 ⟺ |𝑥 − 1| > 3 ⟺ 
𝑥 − 1 < −3 𝑜𝑢 𝑥 − 1 > 3 ⟺ 𝑥 < −3 + 1 𝑜𝑢 𝑥 > 3 + 1 ⟺ 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 4. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 39 de 51 
(III) 2|𝑥 − 1| − 6 < 0 ⟺ 2|𝑥 − 1| < 6 ⟺ |𝑥 − 1| < 3 ⟺ 
−3 < 𝑥 − 1 < 3 ⟺ −3 + 1 < 𝑥 < 3 + 1 ⟺ −2 < 𝑥 < 4. 
Portanto, pelas contas acima, 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = 4 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 > 4 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ −2 < 𝑥 < 4 
Se quisermos responder na forma de intervalo e/ou união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos 
não têm pontos em comum), a resposta para a análise de sinal é: 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = 4 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−2) ∪ (4,∞) 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−2, 4) 
(5) 𝑓(𝑥) = 2𝜋 − |2𝑥 − 𝜋| 
Podemoscalcular o módulo de qualquer número real, logo o domínio 𝐷 = ℝ. 
(I) 2𝜋 − |2𝑥 − 𝜋| = 0 ⟺ |2𝑥 − 𝜋| = 2𝜋 ⟺ 2𝑥 − 𝜋 = −2𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 − 𝜋 = 2𝜋 ⟺ 
2𝑥 = −2𝜋 + 𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 = 2𝜋 + 𝜋 ⟺ 2𝑥 = −𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 = 3𝜋 ⟺ 𝑥 = −
𝜋
2
 𝑜𝑢 𝑥 =
3𝜋
2
 
(II) 2𝜋 − |2𝑥 − 𝜋| > 0 ⟺ 2𝜋 > |2𝑥 − 𝜋| ⟺ |2𝑥 − 𝜋| < 2𝜋 ⟺ −2𝜋 < 2𝑥 − 𝜋 < 2𝜋 
⟺ −2𝜋 + 𝜋 < 2𝑥 < 2𝜋 + 𝜋 ⟺ −𝜋 < 2𝑥 < 3𝜋 ⟺ −
𝜋
2
< 𝑥 <
3𝜋
2
 
(III) 2𝜋 − |2𝑥 − 𝜋| < 0 ⟺ 2𝜋 < |2𝑥 − 𝜋| ⟺ |2𝑥 − 𝜋| > 2𝜋 ⟺ 
⟺ 2𝑥 − 𝜋 < −2𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 − 𝜋 > 2𝜋 ⟺ 2𝑥 < −2𝜋 + 𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 > 2𝜋 + 𝜋 ⟺ 
⟺ 2𝑥 < −𝜋 𝑜𝑢 2𝑥 > 3𝜋 ⟺ 𝑥 < −
𝜋
2
 𝑜𝑢 𝑥 >
3𝜋
2
 
Portanto, pelas contas acima, 
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −
𝜋
2
 𝑜𝑢 𝑥 =
3𝜋
2
 
𝑓(𝑥) > 0 ⟺ −
𝜋
2
< 𝑥 <
3𝜋
2
 , em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−
𝜋
2
,
3𝜋
2
) 
𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −
𝜋
2
 𝑜𝑢 𝑥 >
3𝜋
2
, em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞,−
𝜋
2
) ∪ (
3𝜋
2
, ∞) 
(6) 𝐸(𝑥) = |2𝑥 + 3| 
Podemos calcular o módulo de qualquer número real, logo o domínio 𝐷 = ℝ. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 40 de 51 
Para todo 𝑎 ∈ ℝ temos que |𝑎| ≥ 0 e |𝑎| = 0 ⟺ 𝑎 = 0 . Logo, 
(I) |2𝑥 + 3| = 0 ⟺ 2𝑥 + 3 = 0 ⟺ 2𝑥 = −3 ⟺ 𝑥 = −
3
2
 
(II) |2𝑥 + 3| > 0 ⟺ 2𝑥 + 3 ≠ 0 ⟺ 2𝑥 ≠ −3 ⟺ 𝑥 ≠ −
3
2
 
(III) Não existe 𝑥 tal que |2𝑥 + 3| < 0. 
Portanto, a análise de sinal é 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −
3
2
 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞,−
3
2
) ∪ (
3
2
, ∞) 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ ∅ 
(7) 𝐸(𝑥) = 1 + |𝑥 − 10| 
Podemos calcular o módulo de qualquer número real, logo o domínio 𝐷 = ℝ. 
Sabemos que para todo 𝑥 ∈ ℝ temos que |𝑥 − 10| ≥ 0 
|𝑥 − 10| ≥ 0 ⟹ 1 + |𝑥 − 10| ≥ 1 + 0 ⇒ 1 + |𝑥 − 10| ≥ 1 ⟹ 1 + |𝑥 − 10| > 0 para ∀𝑥 ∈ ℝ 
Portanto, a análise de sinal é 
𝐸(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 ∈ ∅ 
𝐸(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ ℝ 
𝐸(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ ∅ 
(8) 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3 − 5 
A única restrição do domínio é 𝑥 − 3 ≥ 0. 
𝑥 − 3 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 3. 
Portanto o domínio 𝐷 da expressão é: 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 3} = [3,∞). 
(I) √𝑥 − 3 − 5 = 0 ⟺ √𝑥 − 3 = 5 𝑒 𝑥 ≥ 3 ⟺ 𝑥 − 3 = 25 𝑒 𝑥 ≥ 3 
⟺ 𝑥 = 25 + 3 𝑒 𝑥 ≥ 3 ⟺ 𝑥 = 28. 
(II) √𝑥 − 3 − 5 > 0 ⟺ √𝑥 − 3 > 5 𝑒 𝑥 ≥ 3 ⟺ √𝑥 − 3 > √25 𝑒 𝑥 ≥ 3 
⟺ 𝑥 − 3 > 25 𝑒 𝑥 ≥ 3 ⟺ 𝑥 > 25 + 3 𝑒 𝑥 ≥ 3 ⟺ 𝑥 > 28 
(III) √𝑥 − 3 − 5 < 0 ⟺ √𝑥 − 3 < 5 𝑒 𝑥 ≥ 3 ⟺ √𝑥 − 3 < √25 𝑒 𝑥 ≥ 3 
⟺ 𝑥 − 3 < 25 𝑒 𝑥 ≥ 3 ⟺ 𝑥 < 25 + 3 𝑒 𝑥 ≥ 3 ⟺ 3 ≤ 𝑥 < 28. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 41 de 51 
Portanto, a análise de sinal é 
𝑔(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 28 
𝑔(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 > 28 , em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (28,∞) 
𝑔(𝑥) < 0 ⟺ 3 ≤ 𝑥 < 28 em forma de intervalo, 𝑥 ∈ [3, 28) 
(9) ℎ(𝑥) = 5 − √1 − 3𝑥 
A única restrição do domínio é: 1 − 3𝑥 ≥ 0. 
1 − 3𝑥 ≥ 0 ⟺ −3𝑥 ≥ −1 ⟺ 𝑥 ≤
−1
−3
 ⟺ 𝑥 ≤
1
3
 
Portanto o domínio 𝐷 da expressão é: 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤
1
3
} = (−∞ ,
1
3
]. 
(I) 5 − √1 − 3𝑥 = 0 ⟺ 5 = √1 − 3𝑥 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ √1 − 3𝑥 = √25 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ 
⟺ 1 − 3𝑥 = 25 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ −3𝑥 = 24 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ 𝑥 =
24
−3
 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 
⟺ 𝑥 = −8 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ 𝑥 = −8. 
(II) 5 − √1 − 3𝑥 > 0 ⟺ 5 > √1 − 3𝑥 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ √1 − 3𝑥 < √25 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ 
⟺ 1 − 3𝑥 < 25 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ −3𝑥 < 24 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ 𝑥 >
24
−3
 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 
⟺ 𝑥 > −8 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ −8 < 𝑥 ≤
1
3
 
(III) 5 − √1 − 3𝑥 < 0 ⟺ 5 < √1 − 3𝑥 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ √1 − 3𝑥 > √25 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ 
⟺ 1 − 3𝑥 > 25 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ −3𝑥 > 24 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟺ 𝑥 <
24
−3
 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 
⟺ 𝑥 < −8 𝑒 𝑥 ≤
1
3
 ⟹ 𝑥 < −8 
Portanto, a análise de sinal é 
ℎ(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −8 
ℎ(𝑥) > 0 ⟺ −8 < 𝑥 ≤
1
3
 , em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−8,
1
3
] 
ℎ(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −8 em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞.−8) 
(10) 𝑓(𝑥) = √5 − 𝑥 
A única restrição do domínio é: 5 − 𝑥 ≥ 0. 
5 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 5 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑥 ≤ 5 
Portanto o domínio 𝐷 da expressão é: 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 5} = (−∞, 5]. 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 42 de 51 
+ + + − − − 𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 0 
9
2
 
𝑥 
Sabemos que para todo 𝑎 ≥ 0 temos que √𝑎 ≥ 0 e √𝑎 = 0 ⟺ 𝑎 = 0. Logo, 
(I) √5 − 𝑥 = 0 ⟺ 5 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 5 
(II) √5 − 𝑥 > 0 ⟺ ⟺ 5 − 𝑥 > 0 ⟺ 5 > 𝑥 ⟺ 𝑥 < 5 . 
(III) Não existe 𝑥 tal que √5 − 𝑥 < 0. 
Portanto, a análise de sinal é 
𝑓(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = 5 
𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 < 5 , em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞, 5) 
𝑓(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ ∅ 
Leitura de sinal de expressão na reta numérica 
Vamos ver exemplos de como representar a análise de sinal de uma expressão na reta numérica. 
(1) No exemplo (a) anterior, 𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45, analisamos o sinal de 𝐸(𝑥) e concluímos que: 
𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 = 0 ⟺ 𝑥 =
9
2
 
𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 > 0 ⟺ 𝑥 >
9
2
 
𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 = 0 ⟺ 𝑥 <
9
2
 
Representando essa análise de sinal na reta numérica: 
 
 
 
OBSERVAÇÃO: os sinais de − − − e + + + acima do eixo 𝑥 se referem ao sinal de 𝐸(𝑥) 
(2) No exemplo (9) anterior, ℎ(𝑥) = 5 − √1 − 3𝑥 analisamos o sinal de ℎ(𝑥) e concluímos que: 
Domínio 𝐷 = (−∞,
1
3
]. 
ℎ(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −8 
ℎ(𝑥) > 0 ⟺ −8 < 𝑥 ≤
1
3
 , em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−8,
1
3
] 
ℎ(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −8 em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞.−8) 
Representando essa análise de sinal na reta numérica: 
 
 
Observação: 𝒏𝒅 significa não definida, ou seja, a expressão não está definida no valor de 𝑥 
ou no intervalo marcado com 𝑛𝑑. 
1
3
 
𝑛𝑑 𝑛𝑑 𝑛𝑑 ℎ(𝑥) = 5 −√1 − 3𝑥 
+ + + + − − − 0 
−8 𝑥 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01 43 de 51 
Leitura de sinal de expressão em tabela 
Veremos que o uso de tabela será útil quando tivermos que analisar o sinal de uma expressão que 
envolve produto ou quociente de várias expressões na variável 𝑥. 
Usaremos os mesmos exemplos anteriores para representar a análise de sinal em uma tabela de sinais. 
(1) No exemplo (a) anterior, 𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45, analisamos o sinal de 𝐸(𝑥) e concluímos que: 
𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 = 0 ⟺ 𝑥 =
9
2
 
𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 > 0 ⟺ 𝑥 >
9
2
 
𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 = 0 ⟺ 𝑥 <
9
2
 
Representando essa análise de sinal em uma tabela de sinais. 
Observação importante. 
Na primeira linha da tabela devemos escrever os valores da variável 𝒙, em ordem crescente. 
Esses valores de 𝑥 podem estar escritos em forma de desigualdades ou em forma de intervalos. 
Nesse exemplo escreveremos a primeira linha em forma de desigualdades. 
Valores de 𝑥 −∞ < 𝑥 <
9
2
 𝑥 =
9
2
 
9
2
< 𝑥 < ∞ 
𝐸(𝑥) = 10𝑥 − 45 − − − 0 + + + 
 
(2) No exemplo (9) anterior, ℎ(𝑥) = 5 − √1 − 3𝑥 analisamos o sinal de ℎ(𝑥) e concluímos que: 
Domínio 𝐷 = (−∞,
1
3
]. 
ℎ(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −8 
ℎ(𝑥) > 0 ⟺ −8 < 𝑥 ≤
1
3
 , em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−8,
1
3
] 
ℎ(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 < −8 em forma de intervalo, 𝑥 ∈ (−∞.−8) 
Nesse exemplo escreveremos a primeira linha em forma de intervalos. 
Valores de 𝑥 (−∞,−8) −8 (−8,
1
3
) 
1
3
 (
1
3
, ∞) 
ℎ(𝑥) = 5 − √1 − 3𝑥 − − − 0 + + + + 𝑛𝑑 
 
Observação: 𝒏𝒅 significa não definida, ou seja, a expressão não está definida no valor de 𝑥 
ou no intervalo marcado com 𝑛𝑑. 
 
Pré-Cálculo 2021-1 EP01