PC_2017-1_AD1-Q1_ENUNCIADO

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AD1 – Q1 – 2017-1 Pré-Cálculo 
 
CEDERJ 
Questão 1 da Avaliação a Distância 1 
Pré-Cálculo 
 
Questão 1 [3,5 pontos] 
(a) [0,8] Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 𝑥2 − 8𝑥 + 4, 𝑥 ∈ ℝ. 
 Quais são as possíveis raízes inteiras desse polinômio? Justifique! 
 Quais são as possíveis raízes racionais não inteiras desse polinômio? Justifique. 
 Encontre uma raiz racional 𝑥 =
𝑎
𝑏
 , 𝑎 e 𝑏 inteiros e 𝑏 ≠ 0, do polinômio 𝑝(𝑥). 
 Escreva 𝑝(𝑥) , como 𝑝(𝑥) = (𝑥 −
𝑎
𝑏
) 𝑝1(𝑥), onde 
𝑎
𝑏
 é uma das raízes que você encontrou e 𝑝1(𝑥) é um 
polinômio. Para isso, você pode usar o dispositivo de Briot-Ruffini. 
 Analise o polinômio 𝑝1(𝑥), é possível fatorá-lo? Justifique! 
 Fatore 𝑝(𝑥) como produto de fatores lineares (ou seja, tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos 
irredutíveis em ℝ (ou seja, tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). Justifique a sua fatoração. 
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(b) [1,0] Considere o polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 2 , 𝑥 ∈ ℝ. 
Fatore 𝑞(𝑥) como produto de fatores lineares (ou seja, tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos 
irredutíveis em ℝ (ou seja, tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). Justifique a sua fatoração, 
deixando claro como encontrou todas as raízes. 
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(c) [1,7] Considere 𝑟(𝑥) = 
 2+√ 𝑝(𝑥) 
𝑞(𝑥)
 , onde 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são os polinômios dos itens (a) e (b), 
respectivamente. 
 Encontre o domínio de 𝑟(𝑥) . Justifique! 
 Analise o sinal de 𝑟(𝑥) . Justifique! Analisar o sinal de uma expressão significa determinar os valores de 
𝑥 ∈ Domínio da Expressão para os quais 𝑟(𝑥) = 0, 𝑟(𝑥) > 0 e 𝑟(𝑥) < 0. Essa análise de sinal deve ser 
justificada! 
Dê a resposta da análise de sinal da seguinte forma: 
𝑟(𝑥) = 0 se 𝑥 ∈ 𝐴. 
𝑟(𝑥) > 0 se 𝑥 ∈ 𝐵. 
𝑟(𝑥) < 0 se 𝑥 ∈ 𝐶. 
onde 𝐴, 𝐵, 𝐶 são subconjuntos dos reais escritos na forma de pontos, de intervalo e/ou união de 
intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum). 
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