AULA 02 - VIGAS ISOSTÁTICAS

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VIGAS ISOSTÁTICAS
DISCIPLINA: Análise Estrutural II
1
PROFESSORA: Priscila Luz
AS EQUAÇÕES 
FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
Os esforços simples em S são 
dados por:
Derivando as expressões em
relação à abscissa s que define a
seção, obtemos, levando em que
que
AS EQUAÇÕES 
FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
Os valores:
Em resumo, temos:AS EQUAÇÕES 
FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
A derivada do momento fletor atuante numa seção S de uma 
viga reta, submetida a um carregamento a ela perpendicular, 
em relação à abscissa que define esta seção é igual ao 
esforço cortante nela atuante e que a derivada deste em 
relação a esta abscissa é igual ao valor da taxa de carga 
aplicada na seção S com o sinal trocado
A partir de q(x) obteremos, então,
as funções Ms e Qs que nos dão os
valores dos momentos fletores e
esforços cortantes atuantes em
qualquer seção da viga
AS EQUAÇÕES 
FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
Representando 
graficamente estas 
funções Ms e Qs 
perpendicularmente ao 
eixo da viga, teremos 
seus assim chamados 
diagramas de 
momentos fletores e 
de esforços cortantes 
atuantes
OBSERVAÇÕES
AS EQUAÇÕES 
FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
▪ A partir de , temos que o coeficiente angular da
tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção S é igual ao
esforço cortante nela atuante.
▪ A partir de , temos que o coeficiente angular da
tangente do diagrama de esforços cortante numa seção S é igual
ao valor da taxa de carga atuante numa seção com o sinal
trocado
AS EQUAÇÕES 
FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
Adotando-se como positivo o carregamento
distribuído de cima pra baixo, pela integração das
equações obtemos que um esforço cortante é positivo
quando, calculado pelas forças da esquerda, der para
cima (ou, quando calculado pelas forças da direita der
para baixo) e que um momento fletor é positivo
quando tracionar as fibras inferiores da viga.
OBSERVAÇÕES
Sob o ponto de vista conceitual, é que, após carregada a viga, ela se
deformará e os esforços estão sendo calculados para sua posição
indeformada primitiva.
OBSERVAÇÕES
AS EQUAÇÕES 
FUNDAMENTAIS DA 
ESTÁTICA
VIGAS BIAPOIADAS
Das equações de equilíbrio da
Estática, obtemos as equações
de apoio mostradas na figura.
CARGA CONCENTADA
Por força das equações
mostradas anteriormente,
sabemos que, num trecho
descarregado (q=0), o diagrama
de esforços cortantes será uma
reta horizontal e o diagrama de
momentos fletores uma reta.
VIGAS BIAPOIADAS
CARGA CONCENTADA
Como sabemos que em A e em B
os momentos são nulos, bastará
conhecer seu valor em S para
termos definido o diagrama M,
imediatamente, obtemos:
VIGAS BIAPOIADAS
CARGA CONCENTADA
Quanto ao diagrama de esforços
cortantes, será dado no trecho AS
por 𝑄 = +𝑉𝐴 =
𝑃𝑏
𝑙
e, no trecho SB,
por 𝑄 = −𝑉𝐵 = −
𝑃𝑎
𝑙
. Na seção S, ele
sofrerá uma descontinuidade igual a
(
𝑃𝑎
𝑙
+
𝑃𝑏
𝑙
) = 𝑃 , valor da carga
concentrada nela aplicada
O diagrama M possui um ponto ângulo em S, o que
era de se esperar pois a partir de
𝑑𝑀𝑆
𝑑𝑠
= 𝑄𝑠, temos
que (
𝑑𝑀
𝑑𝑠
)𝑆𝑑𝑖𝑟 = 𝑄𝑆𝑑𝑖𝑟 e (
𝑑𝑀
𝑑𝑠
)𝑆𝑒𝑠𝑞 = 𝑄𝑆𝑒𝑠𝑞 e, no
caso 𝑄𝑠𝑒𝑠𝑞 ≠ 𝑄𝑠𝑑𝑖𝑟
VIGAS BIAPOIADAS OBSERVAÇÕES
Sob uma carga 
concentrada, o 
diagrama de momentos 
fletores apresenta um 
ponto anguloso e o 
diagrama de esforços 
cortantes apresenta 
uma descontinuidade 
igual ao valor desta 
carga
Na seção S, não se define esforço cortante; ele é
definido à esquerda e à direita da seção sofrendo
nela uma descontinuidade igual a P
Calculemos a integrais ׬𝐴
𝑆
𝑄𝑑𝑠 e ׬𝐴
𝐵
𝑄𝑑𝑠. Temos:
න
𝐴
𝑆
𝑄𝑑𝑠 =
𝑃𝑏
𝑙
𝑎 = 𝑀𝑆
න
𝐴
𝐵
𝑄𝑑𝑠 =
𝑃𝑏
𝑙
𝑎 −
𝑃𝑎
𝑙
𝑏 = 0 = 𝑀𝐵
VIGAS BIAPOIADAS OBSERVAÇÕES
Os calores acima ilustram a obtenção do diagrama de momentos fletores a
partir do diagrama de esforços cortante.
A condição 𝐴׬
𝐵
𝑄𝑑𝑠 = 0 permite a verificação do equilíbrio da viga
Calculemos os valores de tg α e tg β. 
Temos: tg 𝛼 =
𝑃𝑏
𝑙
= 𝑄𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝐴𝑆
tg 𝛽 = −
𝑃𝑎
𝑙
= 𝑄𝑡𝑟𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑆𝐵
Os valores ilustram a obtenção do diagrama 
de esforços cortantes a partir do diagrama 
de momentos fletores. 
VIGAS BIAPOIADAS OBSERVAÇÕES
O caso de mais 
de uma carga 
concentrada 
será resolvido 
de maneira 
análoga ao caso 
de uma só carga 
concentrada
VIGAS BIAPOIADAS EXEMPLO
Das Equações da Estática, obtemos as
reações de apoio
VIGAS BIAPOIADAS
As ordenadas necessárias à
determinação do diagrama M são:
Os esforços cortantes valem:
Seja a viga biapoiada submetida a
uma carga uniformemente
distribuída q
Carga uniformemente distribuída
VIGAS BIAPOIADAS
Sendo as reações de apoio as indicadas na figura, teremos
os seguintes esforços simples numa seção genérica S:
O diagrama de esforços cortantes será uma linha reta, que
fica determinada pelos seus valores extremos,
correspondentes a x =0 e a x = l, que são: 𝑄𝐴 =
𝑞𝑙
2
e
𝑄𝐵 = −
𝑞𝑙
2
Carga uniformemente distribuída
VIGAS BIAPOIADAS
O diagrama de momentos fletores será dado por uma
parábola do 2° grau, passando por zero em A e B e
passando por um máximo em 𝑥 =
1
2
(seção onde 𝑄 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 0),
de valor 𝑀𝑚á𝑥 =
𝑞𝑙²
2
1
2
−
1
4
=
𝑞𝑙²
8
.
OBSERVAÇÕES
Sendo a taxa de carregamento constante (grau zero), o 
diagrama de esforços cortantes é retilíneo (grau um) e o de 
momentos fletores é parabólico (grau 2)
VIGAS BIAPOIADAS OBSERVAÇÕES
Sob carga uniformemente 
distribuída, o diagrama de 
momentos fletores é 
parabólico do 2° grau e o 
diagrama de esforços 
cortantes é retilíneo
É usual, no caso do traçado de
diagramas de momentos fletores com
cargas uniformemente distribuídas,
cotas apenas o valor
𝐪𝐥²
𝟖
Calculemos a inclinação do diagrama de
esforços cortantes:
Seja a viga biapoiada submetida a uma
carga triangular de taxa máxima igual
a p, no apoio a direita. Sendo as
reações de apoio as indicadas na
figura, temos os seguintes esforços
simples numa seção genérica S:
Carga triangular
VIGAS BIAPOIADAS
O diagrama de esforços cortantes será, então,
parabólico do 2º grau, com tangente horizontal em
A (pois
𝑑𝑄
𝑑𝑠
= −𝑞 = 0), tendo seus valores extremos
iguais aos valores conhecidos (+VA) e (-VB) e
passando por zero para 𝑥 = 𝑙
3
3
= 0,577𝑙.
Carga triangular
VIGAS BIAPOIADAS
O diagrama de momentos fletores será uma parábola do 3º 
grau, que passa por um máximo em 𝑥 = 𝑙
3
3
= 0,577𝑙 (pois 
𝑑𝑀
𝑑𝑠
=
𝑄 = 0)m de valor 𝑀𝑚á𝑥 =
𝑝𝑙²
6
𝑥
3
3
1 −
1
3
=
𝑝𝑙²
9 3
= 0,064𝑝𝑙2.
VIGAS BIAPOIADAS OBSERVAÇÕES
Sendo a taxa de carregamento 
uma função linear (grau um), o 
diagrama de esforços cortantes é 
parabólico do 2º grau e o diagrama 
de momentos fletores é parabólico 
do 3º grau
É usual, no caso do traçado de
diagramas de momentos fletores com
carga triangular, proceder a este
traçado por pontos. Uma ordenada
genérica do diagrama seria dada por
M =
pl²
6
ωD
VIGAS BIAPOIADAS
OBSERVAÇÕES
Seja a viga biapoiada submetida à
carga-momento indicada. As reações
de apoio devem ser tais que formem
um binário de módulo M e sentido
oposto ao do momento aplicado e são,
portanto, as indicadas na figura.
VIGAS BIAPOIADAS
Carga-momento
Temos ׬
𝐴
𝐵
𝑄𝑑𝑠 = −𝑀
Este valor não reproduz o momento fletor atuante em B, que é nulo.
VIGAS BIAPOIADAS
OBSERVAÇÕES
O valor da área do diagrama de 
esforços cortantes de uma viga 
biapoiada é igual ao valor da 
resultante de todas as cargas-
momento aplicadas na viga (o sinal 
positivo corresponde ao sentido 
anti-horário) 
O diagrama de momentos fletores em S sofre uma descontinuidade 
igual a 
𝑀𝑎
𝑙
+
𝑀𝑏
𝑙
= 𝑀.
VIGAS BIAPOIADAS
OBSERVAÇÕES
Na seção de aplicação de 
uma carga-momento numa 
viga, o diagrama de 
momentos fletores sofre 
uma descontinuidade igual 
ao seu valor, no seu 
sentido
VIGAS BIAPOIADAS
OBSERVAÇÕES
VIGAS BIAPOIADAS
Casos geral de carregamento
Uma viga submetida a 
uma carga continuamente 
distribuída, que não 
abrande todo o seu vão
Romper a viga em B e C, desde que
seja aplicado nestes postos seus
esforços simples,para manter o
equilíbrio de cada trecho obtido.
Os esforços cortantes que atuam nas
extremidades de cada trecho (QA,
QB, QC, QD) podem ser encarados
como forças que equilibram as outras
cargas e momentos atuantes no
trecho.
Dessa maneira pode ser considerado
como uma viga biapoiada
independente, submetida ao
carregamento externo que lhe está
diretamente aplicado e a cargas-
momento em seus apoios iguais aos
momentos fletores atuantes nestes
pontos na viga dada inicialmente, de
imediata determinação
VIGAS BIAPOIADAS
VIGAS BIAPOIADAS
Recai, então, no problema de
obtenção do diagrama de momentos
fletores em vigotas do gênero BC,
que, por superposição de efeitos, é
imediatamente obtido conforme a
figura.
A linha reta pontilhada, representa o
diagrama de momentos fletores
devido somente a MB e MC.
Marcando-se na vertical, a partir
desta reta a parábola do 2º grau que
é o diagrama devido apenas à carga
distribuída.
VIGAS BIAPOIADAS
Traçar o diagrama de momentos fletores
numa viga submetida a um carregamento
qualquer, basta marcar os momentos
fletores nos pontos onde muda a lei de
variação do carregamento, ligá-los por
segmentos de retas e, a partir da linha
assim obtida, pendurar,
perpendicularmente ao eixo da viga, os
diagramas de viga biapoiada para cada
uma das cargas distribuídas atuantes, em
seus respectivos trechos.
VIGAS 
ENGASTADAS E 
LIVRES
No engaste, aparecerão
evidentemente uma reação vertical e
uma reação-momento, que
equilibrarão o carregamento atuante
VIGAS 
ENGASTADAS E 
LIVRES
O diagrama de momentos fletores se
obterá marcando os momentos
fletores nas seções em que muda a
lei de variação de carregamento (no
caso A, C, B, D), liga-los por
segmentos de reta, e, a partir da
linha assim obtida, pendurar os
diagramas de vigas biapoiadas para
cada uma das cargas distribuídas
atuantes
O diagrama de esforços cortantes se
obterá imediatamente a partir do
carregamento e reações de apoio
atuantes.
VIGAS 
ENGASTADAS E 
LIVRES
Obter os diagramas solicitantes para
a viga:
Sendo o carregamento atuante
equivalente estaticamente a uma
resultante de 16t em C, as reações
de apoio no engaste B. Os momentos fletores atuantes nos
pontos de transição de carga, todos
tracionando as fibras superiores, são:
VIGAS 
ENGASTADAS E 
LIVRES
Ligando-se estes valores por linhas
retas e pendurando-se, na vertical, a
partir delas as parábolas iguais a 3 x
2²/8 = 1,5 mt, temos determinado o
diagrama de momentos fletores.
O diagrama de esforços cortantes
indicado na figura é obtido com as
reações de apoio
Na seção A, o diagrama de
momentos fletores tem
tangente horizontal (QA=0) e,
na seção C, acrescenta um
ponto anguloso (presença da
carga concentrada de 4t)
VIGAS 
ENGASTADAS E 
LIVRES
OBSERVAÇÕES
Calculemos a área do diagrama de esforços
cortante:
න
𝐴
𝐵
𝑄𝑑𝑥 = −
1
2
𝑥 6 𝑥 6 +
10 + 16
2
𝑥 2 = −32𝑚𝑡
Valor do momento fletor atuante no
engaste, funcionando, sob este
aspecto, como se fosse uma carga-
momento aplicada numa viga
biapoiada AB, com reações verticais
VA = 0 e VB = 16t
Se tivéssemos a mesma viga, com o mesmo
carregamento, mas com o engaste à esquerda,
o diagrama de momentos fletores seria o
mesmo, (bastando girar 180°), mas o diagrama
de esforços cortantes teria sinal trocado
VIGAS 
ENGASTADAS E 
LIVRES
OBSERVAÇÕES
As convenções de sinal
para esforço cortante
são opostas, conforme
sejam usadas as forças
à esquerda ou à direita
da seção.
VIGAS BIAPOIADAS 
COM BALANÇOS
Rompendo a viga em 𝐵𝑒𝑠𝑞 𝑒 𝐶𝑑𝑖𝑟 e aplicando os
esforços simples atuantes nestas seções, nada terá
se alterado sob o ponto de vista estático.
Tem-se uma viga biapoiada BC submetida ao
carregamento que lhe está diretamente aplicado, a
cargas-momento MB em B e MC em C, iguais aos
momentos fletores atuantes nestas seções devidos aos
balanços, e a cargas verticais (P1 + P2) em B e (P4+ P5) em
C, iguais às resultantes das cargas atuantes em cada
balanço e que, estando o diretamente aplicadas sobre os
apoios, serão absorvidas por eles, não influenciando no
cálculo dos esforços simples em BC
VIGAS BIAPOIADAS 
COM BALANÇOS
VIGAS BIAPOIADAS 
COM BALANÇOS
Para traçar o diagrama
de momentos fletores
em uma viga biapoiada
com balanços, tratamos
os balanços como vigas
engastadas livres
Liga-se os momentos atuantes nos
apoios por uma linha reta e, a partir
dela, penduramos o diagrama de viga
biapoiada devido às cargas atuantes no
trecho entre os apoios
O diagrama de esforços cortantes é
imediata.
Obter os diagramas solicitantes para a 
estrutura
VIGAS BIAPOIADAS 
COM BALANÇOS
Calcula-se as reações de apoio, 
empregando o princípio de superposição 
de efeitos:
▪ Devido às cargas distribuídas, temos, 
por simetria:
▪ Devido à carga concentrada de 2t, 
temos:
As reações finais serão
VIGAS BIAPOIADAS 
COM BALANÇOS
Obter os diagramas solicitantes para a 
estrutura
Os momentos fletores necessários à obtenção da
linha de fechamento do diagrama são os momentos
atuantes nos apoios, que tracionam as fibras
superiores e valem:
▪ A partir da linha de
fechamento, penduramos as
parábolas de cada um dos
trechos
▪ O diagrama de esforços
cortantes não apresenta
novidades em relação a casos
anteriores
VIGAS BIAPOIADAS 
COM BALANÇOS
Nos apoios, o diagrama de
momentos fletores apresenta
pontos angulosos no sentido das
reações de apoio e o diagrama de
esforços cortantes apresenta
descontinuidades iguais a estas
reações de apoio.
OBSERVAÇÕESVIGAS BIAPOIADAS 
COM BALANÇOS
A área total do diagrama de
esforços cortantes é igual a zero,
indicando a inexistência de
cargas-momento aplicadas
O momento fletor máximo
tracionando as fibras inferiores
da viga não ocorre no meio do vão,
mas, sim, na seção de cortante
nulo, que é aquela a 3,5 m de A
Sendo o carregamento atuante equivalente a
um momento total de 3 + 4 + 3 = 10 mt, as
reações verticais deverão formar um
momento de igual valor e sentido oposto e
são, portanto, iguais a 10/4 = 2,5 t, nos
sentidos indicados.
VIGAS BIAPOIADAS 
COM BALANÇOS
Obter os diagramas solicitantes para a 
estrutura
A área do diagrama de esforços cortantes é – 10mt, valor este indicando que existem
cargas-momento aplicadas, cuja resultante nos dá um momento de 10 mt no sentido horário
Trata-se de um conjunto de
vigas isostáticas com
balanços e vigas isostáticas
simples, sendo que estas se
apoiam nos balanços.
Vigas Gerber
Tramo: uma viga sobre dois apoios
Os dentes Gerber nada mais são do
que rótulas (Mrot = 0), para tornar a
estrutura isostática
Trecho CD: não tem evidentemente
estabilidade própria, pois as cargas,
para serem equilibradas, necessitarão
de reações de apoio em C e em D
Vigas Gerber
Como o ponto D é um apoio do 1º gênero
ele pode absorver uma força vertical,
então o ponto C deveria absorver uma
força vertical e uma horizontal, o que
ele não é capaz de fazer, mas é capaz
de transmitir estas forças ao trecho
ABC
A estabilidade do trecho CD está
condicionada à estabilidade do
trecho ABC que, sendo uma viga
biapoiada com balanço, é estável, o
sendo então o conjunto ABCD
Se carregar o trecho ABC, a carga
solicitará apenas este trecho, pois, em
se tratando de um trecho com
estabilidade própria, nele mesmo
encontrará o carregamento suas
reações equilibrantes.
Vigas Gerber
O ponto C é, então, um ponto de
transmissão de forças, não
transmitindo momento algum (pois não
impede nenhuma rotação à estrutura) e
é representado por uma rótula.
Vigas Gerber
Para resolver a viga ABCD, basta resolver
inicialmente o trecho CD, transmitindo
para o trecho ABC, as forças HC e VC
necessárias ao equilíbrio do trecho CD
O trecho ABC será resolvido com as
cargas que lhe estão diretamente
aplicadas, acrescidas das forças VC e HC
transmitidas pela rótula C.
Uma associação de vigas
com estabilidade própria
com outras apoiadas sobre
as primeiras, que dão a
estabilidade ao conjunto.
Vigas Gerber
Basta fazer sua decomposição nas vigas que a constituem,
resolvendo inicialmente aquelas sem estabilidade própria e,
após, as dotadas de estabilidade própria,para as cargas que
lhe estão diretamente aplicadas, acrescidas, para estas
últimas, das forças transmitidas pelas rótulas.
Para resolvê-las:
▪ Vigas biapoiadas;
▪ Vigas biapoiadas com balanço;
▪ Vigas engastadas e livres. 
Vigas Gerber
OBSERVAÇÕES
Em se tratando de vigas Gerber isostáticas, as vigas que as
constituem serão:
Vigas Gerber
As vigas Gerber tiveram seu
aparecimento ditado por motivos:
Permitir deformações, evitando o surgimento de
esforços internos devidos a recalques diferenciais
nos apoios;
Permitir o lançamento de vigas pré-moldadas em vãos
sobre o leito do rio ou difícil acesso.
Estruturais
Construtivas
OBSERVAÇÕES
Vigas Gerber
OBSERVAÇÕES
Construir uma ponte de concreto
que deve ser apoiada sobre os
pilares A, B, C, D.
Para execução da
superestrutura da ponte, seria
necessário escorar
simultaneamente todo o volume
compreendido sob o tabuleiro
da ponte.
Vigas Gerber
OBSERVAÇÕES
Esse escoramento, dependendo da velocidade de tio e de
sua profundidade, pode tornar-se extremamente difícil,
caro e, até mesmo, arriscado no trecho BC.
Vigas Gerber
OBSERVAÇÕES
Permite a execução em
separado dos trechos ABE, EF,
FCD, onde se pode escorar
primeiramente o trecho ABE e
concretá-lo
Depois será transferido o
escoramento para o trecho
FCD e posteriormente
concretado
Usando os trechos ABE e FCD como
apoios, ocorre a concretagem do
trecho EF, encerrando a execução da
estrutura.
A segunda solução será mais
adequada no caso, pois não
envolverá risco algum no vão BC
durante a construção, além de
reduzir o volume de material
para escoramento a quase 1/3 do
necessário para a primeira
solução
Vigas Gerber
OBSERVAÇÕES
Construtivo Estrutural
A viga Gerber tem a vantagem de
reduzir as forças horizontais nos
pilares devidas a variações de
temperatura e à retração do
concreto
Vigas Gerber
Alguns autores adotam um método
totalmente algébrico para análise de
resolução de vigas Gerber
Vigas Gerber
OBSERVAÇÕES
Para determinar as quatro reações de
apoio, existe as três equações da
Estática no plano e, devido à
existência da rótula em C (o que
significa não haver transmissão de
momento em C) tem-se uma quarta
equação dizendo que o momento fletor
em C é nulo (MC = 0)
Para resolver uma viga Gerber,
basta decompor nas vigas que a
constituem.
Vigas Gerber
Exemplos de decomposição
As vigas que já possuem
estabilidade própria,
apoiando sobre elas as demais
através das rótulas, que
indicam a transmissão de
cargas das vigas que não
possuem estabilidade, própria
para as que a possuem.
Vigas Gerber
▪ Deve-se fazer a decomposição e 
calcular as reações de apoio nas vigas 
simples (tramo 2);
▪ Em seguida, transfere-se essas 
reações com vetores invertidos para 
os extremos dos balanços que 
suportam aa viga simples (tramos 1 e 
3), assim calcula-se as reações de 
apoio das vigas isostáticas em 
balanço;
▪ É utilizado as equações de equilíbrio e 
equações de condição (rótulas);
▪ Após cálculo das reações, constrói os 
diagramas de momentos fletores e 
forças
Vigas Gerber
Exemplos de decomposição
Vigas Gerber
Exemplos de decomposição
Um dos apoios da viga Gerber deve
ser capaz de absorver forças
horizontais, que irão diretamente
para ele através das rótulas,
provocando esforços normais na viga
ao longo de sua trajetória.
As cargas verticais, somente, serão
as responsáveis pelos momentos
fletores e esforços cortantes
atuantes na viga Gerber, e é para
obtê-los que se faz necessário a
decomposição.
Como a viga tem uma rótula sobre o
apoio intermediário (o que significa
que os trechos AB e BC têm momentos
fletor nulo em B), funciona como se
fossem duas vigas biapoiadas AB e BC
independentes, que têm como única
particularidade o fato das reações em
B se somarem no apoio único existente
OBSERVAÇÕES
Vigas Gerber
Vigas Gerber
Obter os diagramas solicitantes
(momento fletor e esforço cortante)
para a viga Gerber abaixo
priscilalu55@gmail.com
65
mailto:priscilalu55@gmail.com