Coeficientes de Winkler

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Instituto Superior Técnico 
Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura 
Mestrado em Engenharia Civil 
Obras Geotécnicas 
Fundações por Estacas 
Acções Horizontais 
Elementos Teóricos 
Prof. Jaime A. Santos 
Abril de 2008 
 
Obras Geotécnicas Fundações por Estacas – Acções Horizontais 
 1 MECivil, IST 
Fundações por Estacas – Acções Horizontais 
 
 
1 - Generalidades 
Nos tempos actuais, assiste-se, cada vez mais, à execução de obras de construção civil de 
grande porte, graças ao progressivo aperfeiçoamento dos materiais e das técnicas construtivas. 
Por condicionamentos de índole geológica e geotécnica, estas estruturas de grande porte são, 
muitas vezes fundadas em estacas e envolvem acções horizontais consideráveis que podem 
ser provocadas por diversas origens, tais como: ventos, sismos, impulsos de terras, frenagens 
de veículos, ondas do mar, variações térmicas, etc. 
As acções horizontais induzidas na superestrutura são transmitidas até ao nível das fundações 
dando origem a cargas horizontais e momentos concentrados. Estas cargas são, em grande 
parte, suportadas pela reacção lateral do solo que se opõe ao movimento das estacas, 
gerando-se assim esforços de interacção. 
Para o dimensionamento de estacas sujeitas a acções horizontais, vários métodos de análise 
foram desenvolvidos. Praticamente, em todos estes métodos, a estaca é assimilada a uma peça 
linear caracterizada por uma dada rigidez à flexão EI. A principal diferença entre os vários 
métodos desenvolvidos reside na modelação do solo envolvente. Essa modelação pode ser 
feita através de modelos do meio contínuo e de modelos do meio discreto (Figura 1): 
M
1/r
p
y
p
y
 
Figura 1 – Modelos de interacção solo-estaca (Gomes Correia e Santos, 1994) 
 
 
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 2 MECivil, IST 
1) nos modelos do meio contínuo o solo é, em geral, considerado como um meio elástico 
contínuo. Recentemente, com o aparecimento de computadores cada vez mais eficientes, 
tornou-se possível uma abordagem mais geral do problema, através da aplicação de 
formulações tridimensionais pelo método dos elementos finitos ou pelo método dos 
elementos de fronteira, permitindo analisar o efeito de interacção num grupo de estacas. 
Nestes modelos é ainda possível simular a interface solo-estaca e também admitir leis de 
comportamento elastoplástico para o solo envolvente; 
2) nos modelos do meio discreto o solo é assimilado a uma série de molas independentes com 
comportamento elástico e linear (modelo de Winkler) ou elástico não linear, traduzido 
pelas curvas 'p-y'. O modelo permite, de uma forma expedita, simular a estratificação do 
terreno, variando as características das curvas 'p-y' em profundidade. Este modelo é 
severamente criticado por diversos investigadores, dado que os parâmetros intervenientes 
não são grandezas fisicamente mensuráveis e a construção das curvas 'p-y' baseia-se muito 
na experiência empírica adquirida em número restritos de ensaios de carga. No entanto, 
dada a sua simplicidade, é largamente utilizado na prática e tem sido objecto de sucessivos 
refinamentos. 
Na realidade, a análise rigorosa do comportamento de estacas sujeitas a acções horizontais é 
algo complexa, visto que envolve o estudo da interacção solo-estaca, interacção essa que 
depende de múltiplos factores e requer uma análise tridimensional do problema considerando 
o comportamento não linear dos materiais. 
Nos últimos anos, assiste-se a um progressivo desenvolvimento de métodos de cálculo cada 
vez mais complexos com base em modelos que melhor reproduzem a realidade, não se 
verificando, contudo, o mesmo acompanhamento no domínio da caracterização geotécnica do 
meio de fundação, de modo a disporem-se dos parâmetros necessários para a modelação 
numérica. 
Desta forma, pode tornar-se algo discutível a adopção de métodos de cálculo muito 
complexos, porque exigem um grande número de parâmetros que à partida não é possível 
obter-se com rigor através de uma caracterização geotécnica corrente. Em vez disso, talvez 
tenha mais justificação utilizar métodos aproximados e mais simples, tais como os que se 
baseiam no modelo de Winkler, que na prática a experiência tem demonstrado conduzir a 
resultados razoavelmente satisfatórios. 
 
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 3 MECivil, IST 
2 - Modelo de Winkler 
O modelo do meio discreto baseado no conceito do coeficiente de reacção foi proposto por 
Winkler em 1867. Neste modelo o solo é assimilado por uma série de molas independentes 
com comportamento elástico e linear. A rigidez dessas molas é caracterizada assim por uma 
constante de proporcionalidade entre a pressão aplicada e o deslocamento do solo, constante 
essa designada por coeficiente de reacção horizontal kh. O kh é assim definido como sendo a 
pressão necessária para provocar um deslocamento unitário e, portanto, com as dimensões de 
[FL
-3
]. Define-se ainda, por vezes, uma outra grandeza designada por módulo de reacção do 
solo k que é igual ao produto de kh pelo diâmetro (ou dimensão transversal) da estaca. 
O modelo de cálculo consiste em assimilar a estaca a uma peça linear (viga) apoiada num 
meio elástico. A influência do esforço normal na estaca é, em geral, desprezado. A equação 
diferencial que rege o comportamento dessa viga é bem conhecida da Resistência de Materiais 
(Timoshenko 1951) e traduz-se na seguinte equação: 
q
dx
Md
=
2
2
 (1) 
em que M é o momento flector, x é a profundidade e q é a pressão aplicada. 
 
Admitindo válida a hipótese dos pequenos deslocamentos vem : 
 
2
2
2
2
dx
yd
EI
dx
Md
−= (2) 
em que y é o deslocamento, E é o módulo de elasticidade da estaca e I o momento de inércia 
da estaca. 
 
Se as características da estaca (EI) se mantiver constante em profundidade e atendendo a que 
q=-k(x)y, a equação (2) toma então a seguinte forma: 
 
y)x(k
dx
yd
EI =
4
4
 (3) 
A solução da equação anterior pode ser obtida, quer por via analítica, quer por via numérica. 
 
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Hetenyi (1946) desenvolveu as soluções analíticas para várias hipóteses de carregamento e de 
condições de fronteira, mas somente para o caso particular de k constante em profundidade. 
Para outras distribuições de k, torna-se difícil a resolução analítica da equação (3), pois a 
solução apresenta-se sob a forma geral de uma série infinita, pelo que, é mais conveniente 
adoptar a via numérica. 
 
3 - Classificação das estacas quanto ao seu comportamento estrutural 
As estacas são habitualmente divididas em três grupos consoante o seu comportamento 
estrutural quando sujeitas às acções horizontais: 
 i) estacas flexíveis; 
 ii) estacas semi-flexíveis; 
 iii) estacas rígidas. 
Esta classificação está relacionada, quer com a rigidez relativa entre a estaca e o solo 
envolvente, quer com as condições de fronteira e de carregamento da estaca. 
Considere-se, então, uma estaca caracterizada por uma rigidez à flexão constante EI e 
embebida num meio homogéneo. A partir de uma determinada profundidade, a designada 
profundidade crítica lc (nota: não confundir com o conceito de profundidade crítica, no que 
respeita à mobilização da resistência de ponta), o aumento do comprimento da estaca não traz 
nenhum benefício e não influi praticamente nos deslocamentos e nos esforços na zona da 
estaca acima da profundidade crítica (Figura 2). 
 
Figura 2 – Comportamento flexível das estacas 
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Para o caso particular do módulo de reacção ser constante em profundidade vai-se mostrar, 
mais adiante, que: 
4
4
33
k
EI
/lc =λ= (4) 
As estacas com comprimento superior a lc comportam-se, assim, como estacas flexíveis 
infinitamente longas em que osdeslocamentos e os esforços deixam de ser dependentes do 
comprimento total da estaca. Nestas condições, algumas simplificações podem ser 
introduzidas na resolução da equação (3). 
Quando, pelo contrário, a estaca for curta e tiver uma rigidez bastante superior à do solo 
envolvente, a deformação por flexão da estaca torna-se desprezável e ela comporta-se como 
um elemento rígido. Neste caso, a estaca desloca-se como um corpo rígido no meio 
envolvente e a solução do problema pode ser obtida por simples considerações de equilíbrio 
estático. 
Para o caso intermédio em que a estaca exibe comportamento semi-flexível deixam de ser 
possíveis as simplificações atrás referidas. Aliás os dois casos anteriores podem ser 
entendidos como sendo duas situações extremas de comportamento da estaca. Se se designar 
por R a relação entre a rigidez do solo e a rigidez da estaca e L o seu comprimento, então 
quando RL tende para infinito ela será flexível ou, pelo contrário, quando RL tende para zero 
ela comportar-se-á como um corpo rígido. 
Deste modo, do ponto de vista prático, a definição dos limites de comportamento flexível e 
rígido das estacas é importante, no sentido de permitir estabelecer soluções mais simples. 
Conforme referido anteriormente, a abordagem do problema pela via analítica só é possível 
para casos particulares simples. 
Embora, a maioria dos casos práticos não se enquadrem, em geral, nessas soluções 
particulares, elas constituem, sem dúvida uma ferramenta com muito interesse prático. De 
facto, essas soluções são utilizadas frequentemente no pré-dimensionamento das estacas e 
proporcionam valores de referência que permitem, por comparação, a análise de situações 
reais mais complexas. Além disso, permitem, ainda, a aferição dos resultados dos modelos 
numéricos. 
Apresenta-se, em anexo, uma compilação das expressões analíticas que permitem calcular os 
deslocamentos e os esforços ao longo do fuste da estaca. 
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As soluções apresentadas referem-se a situações em que k=c
te
 ou k=nhx e para as hipóteses de 
carregamento seguintes: 
hipótese 1) Estaca com cabeça livre. Força horizontal concentrada aplicada na cabeça; 
hipótese 2) Estaca com cabeça livre. Momento concentrado aplicado na cabeça; 
No sentido de estabelecer o domínio de validade das expressões analíticas apresentadas, 
torna-se necessária a definição dos limites de comportamento flexível e rígido das estacas. Os 
limites propostos na bibliografia nem sempre são concordantes, visto o critério considerado 
pelos diferentes autores não ter sido o mesmo. 
Tendo em consideração que, de um ponto de vista prático, o dimensionamento de uma estaca 
solicitada horizontalmente, é condicionado, pelo deslocamento da sua cabeça (yo) e pelo 
momento flector máximo (Mmáx), parece ajustado definir um critério baseado exactamente na 
análise da variação daquelas duas grandezas (yo e Mmáx) em função do parâmetro 8L (ou 0L 
para o caso de k=nhx) (Santos e Gomes Correia, 1992). 
A título exemplificativo, faz-se referência ao caso particular em que o módulo de reacção k é 
constante em profundidade. Neste caso, a solução analítica exacta pode ser equacionada sob a 
forma adimensional em função de três parâmetros: 8 (coeficiente de rigidez relativa 
solo-estaca), L (comprimento da estaca) e k (módulo de reacção). A solução simplifica-se 
substancialmente para os casos limites de comportamento flexível e rígido das estacas, porque 
o número de parâmetros relevantes reduz-se de três para dois: 
• comportamento flexível (8L64) - parâmetros relevantes: 8, k 
• comportamento semi-flexível - parâmetros relevantes: 8, L, k 
• comportamento rígido (8L60) - parâmetros relevantes: k, L 
A Figura 3 referente ao caso particular de uma estaca com cabeça livre e sujeita a uma força 
horizontal Vo, evidencia claramente os domínios de comportamento flexível (8L$3) e rígido 
(8L#1) da estaca: para 8L$3 a solução deixa de depender do comprimento L, enquanto que 
para 8L#1 a solução não depende de k. 
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0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
2
4
6
8
0 1 2 3 4 5 6
Mmáx l
Vo
yo k
lVo
y o
k l
V
o
M
m
áx
l
V
o
lL
estaca
flexível
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
4
8
12
16
0 1 2 3 4 5 6
Mmáx
V Lo
yo k L
Vo
lL
M
m
áx
V
 
L
o
y o
k
 L
V
oestaca
rígida
 
Figura 3 – Limites de comportamento flexível e rígido da estaca 
Seguindo o mesmo tipo de análise, pode-se observar a variação do esforço máximo e do 
deslocamento da cabeça da estaca em função da rigidez relativa estaca-solo para as situações 
em que k=c
te
 ou k=nhx e para as hipóteses de carregamento seguintes: 
hipótese 1) Estaca com cabeça livre. Força horizontal concentrada aplicada na cabeça; 
hipótese 2) Estaca com cabeça livre. Momento concentrado aplicado na cabeça; 
hipótese 3) Estaca com rotação impedida na cabeça. Força horizontal concentrada aplicada 
na cabeça. 
A análise dos resultados permite, com base no critério adoptado, ou seja no deslocamento da 
cabeça da estaca e do momento flector máximo, uniformizar os limites de comportamento 
flexível e rígido das estacas. Santos e Gomes Correia (1992) estabeleceu, assim, o domínio 
de validade das soluções analíticas (Quadro 1): 
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Quadro 1 - Limites de comportamento flexível, semi-flexível e rígido 
Módulo de reacção constante em profundidade (k=c
te
) ; 4
4EI
k
=λ 
Comportamento da estaca 
Hipóteses de 
carregamento 1 e 2 
Hipótese de 
carregamento 3 
flexível 8L≥3 8L≥3 
semi-flexível 1<8L<3 0.5<8L<3 
rígido 8L≤1 8L≤0.5 
Módulo de reacção crescendo linearmente em prof. (k=nhx) ; 5
EI
nh=η 
Comportamento da estaca 
Hipóteses de 
carregamento 1 e 2 
Hipótese de 
carregamento 3 
flexível 0L≥4 0L≥4 
semi-flexível 1.5<0L<4 1<0L<4 
rígido 0L≤1.5 0L≤1 
 
É importante referir, que as soluções para estaca semi-flexível são válidas para qualquer valor 
de 8L (ou 0L). Estas soluções gerais tendem para soluções mais simples, para os casos 
particulares de comportamento flexível ou rígido, conforme se pode verificar nas equações 
apresentadas em anexo. 
 
4 - Algumas considerações acerca do módulo de reacção do solo 
Os métodos de análise baseados no modelo de Winkler têm a grande vantagem da 
simplicidade, pelo facto de dependerem de um único parâmetro, que é o módulo de reacção. 
Contudo, este parâmetro é difícil de avaliar visto não depender exclusivamente do solo 
envolvente, mas também das características da própria estaca e do estado de tensão 
considerado. 
Algumas propostas foram estabelecidas para a avaliação do módulo de reacção com base 
numa variedade de ensaios, dentro dos quais se destacam: o ensaio SPT, o ensaio CPT, o 
ensaio pressiométrico e o ensaio de placa. No entanto, a aplicação de diferentes correlações 
propostas por diferentes autores conduzem, frequentemente a uma grande dispersão no valor 
do módulo de reacção. 
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A título indicativo, apresentam-se algumas propostas no Quadro 2 seguinte: 
Quadro 2 – Módulo de reacção 
Solos arenosos: 
módulo de reacção crescente em profundidade k=nhx 
Terzaghi (1955) 
1100018000Compacta
45006800Média
13002300Solta
SubmersaSeca ou húmida
Compacidade
da areia
nh (kN/m
3)
1100018000Compacta
45006800Média
13002300Solta
SubmersaSeca ou húmida
Compacidade
da areia
nh (kN/m
3)
 
Solos argilosos: 
Argilas normalmente consolidadas 
módulo de reacção crescente em profundidade k=nhx 
Argila mole 
nh = 160 a 3450 kN/m
3
 , Reese e Matlock (1956) 
nh = 270 a 540 kN/m
3
 , Davisson e Prakash (1963) 
Argila orgânica 
nh = 110 a 270 kN/m
3
 , Peck e Davisson (1962) 
nh = 110 a 810 kN/m
3
 , Davisson (1970) 
Argilas sobreconsolidadas 
módulo dereacção k constante em profundidade 
k = 67cu , Davisson (1970) 
 
Uma das hipóteses simplificativas, mais questionada no modelo de Winkler, é exactamente o 
carácter descontínuo do meio. Torna-se assim interessante comparar os resultados obtidos a 
partir do modelo de Winkler com os obtidos com base no modelo do meio elástico contínuo. 
Essa comparação entre as duas soluções permitirá relacionar o módulo de reacção k com os 
parâmetros elásticos Es e <s do solo. Essa metodologia permitiria ultrapassar uma das 
dificuldades anteriormente apontadas, no que respeita à dependência do valor de k das 
características da própria estaca. No entanto, a generalização deste tipo de correlações para 
ter em conta situações mais complexas, tais como a estratificação do terreno, ou a não 
linearidade do comportamento do solo pode oferecer algumas dificuldades. 
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Note ainda que, como as duas soluções não são exactamente iguais, a confrontação pode ser 
feita para qualquer das grandezas intervenientes e para qualquer ponto da estaca, conduzindo 
assim a uma infinidade de relações do tipo (Es,<s)6k. Porém, é sempre possível seleccionar as 
grandezas mais importantes, do ponto de vista de dimensionamento, e procurar a relação 
(Es,<s)6k que conduza globalmente a um melhor ajustamento entre as duas soluções. 
Foi nesta perspectiva que Vesic (1961) estabeleceu a comparação entre as duas soluções para 
o caso de uma viga de comprimento infinito apoiada num meio isotrópico, elástico e contínuo. 
A relação que mais aproxima as duas soluções, quer em termos de deslocamentos, quer em 
termos de momentos flectores máximos, é segundo o autor dado por: 
2
12
4
1
650
s
s
ee
s E
lE
BE
.k
ν−
×= (5) 
A aplicação da expressão anterior para o caso de uma estaca não é directa, pois implica a 
consideração da influência do solo na parte de trás da estaca. De uma forma muito simplista, 
poder-se-á considerar dois conjuntos de molas, um à frente e outro atrás da estaca e, portanto, 
o valor de k a considerar seria aproximadamente igual a duas vezes o valor obtido pela 
equação (5). 
Essa extrapolação implica necessariamente uma certa aproximação, mas que deverá situar-se 
do lado da segurança, uma vez que se está a desprezar o efeito das tensões de corte que se 
desenvolvem ao longo da superfície lateral da estaca. 
Em face do exposto, o ideal seria comparar as soluções respeitantes a estacas obtidas a partir 
do modelo de Winkler e do modelo do meio elástico contínuo. Assim, Poulos (1980) 
comparou as duas soluções, para o caso particular de estacas com rotação impedida na cabeça, 
com comprimento igual a 25 vezes o diâmetro, embebidas num meio com <s=0.5. Igualando 
os deslocamentos ao nível da cabeça da estaca para diferentes situações, Poulos obteve 
k=0.82 Es. Aplicando essa relação, Poulos chegou à conclusão, quer para as estacas rígidas, 
quer para as estacas flexíveis, que o modelo de Winkler conduz, em geral, a valores dos 
deslocamentos e dos momentos flectores ligeiramente mais elevados e, portanto do lado da 
segurança. 
Seguindo a mesma metodologia, Santos (1993) confrontou a solução de Winkler com a 
solução do meio elástico contínuo de Randolph (1981), para o caso de estacas flexíveis, tendo 
concluído que a equação (5) afectada do factor multiplicativo de 2 conduz, em geral, a valores 
de k do lado da segurança, ou seja, sobrestimando os deslocamentos e os esforços da estaca. 
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5 - Comportamento não linear 
No modelo de Winkler admite-se que o solo exibe comportamento elástico e linear, ou seja, o 
módulo de reacção não depende da pressão de contacto. 
Na realidade, a lei de variação do deslocamento y com a carga aplicada p (pressão por unidade 
de comprimento da estaca) não é linear. A actuação de cargas concentradas na cabeça da 
estaca, conduz frequentemente à plastificação do solo nas zonas próximas do topo, mesmo 
para níveis de solicitação não muito elevados. Deste modo, a relação 'p-y' é traduzida pela 
curva tipo indicada na Figura 4. 
p
y
p
u
y
comportamento
real
comportamento
idealizado
k
1
p
 
Figura 4 – Curva 'p-y' para modelar o comportamento não linear do solo 
Os estudos experimentais e numéricos mostram que os deslocamentos da estaca são bastante 
sensíveis à rigidez do meio envolvente, enquanto que em termos de esforços o mesmo não 
acontece. 
Deste modo, quando se pretende quantificar os deslocamentos ou a rigidez transversal do 
conjunto solo-estaca é necessário atender aos efeitos da não linearidade do sistema, que pode 
ser separado basicamente em 3 níveis (Santos, 1999): 
• comportamento não linear do terreno envolvente, devido à plastificação e à resistência à 
tracção nula (geralmente assumida para o terreno); 
• comportamento não linear da interface solo-estaca, devido aos efeitos de separação e de 
escorregamento entre o solo e a estaca; 
• comportamento não linear da própria estaca, devido à plastificação e à fendilhação (em 
estacas de betão armado). 
As curvas 'p-y' da Figura 4 reproduzem os dois primeiros níveis de não linearidade atrás 
referidos. Quanto ao comportamento não linear da própria estaca, este deverá ser estudado 
utilizando modelos apropriados, tendo em conta o material constituinte da estaca. 
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 12 MECivil, IST 
Em suma, a consideração do comportamento não linear, quer do solo, quer da estaca, só é 
necessário nos casos em que a quantificação da rigidez transversal do sistema seja factor 
determinante no dimensionamento estrutural, devido a danos consideráveis que possam ser 
induzidos na superestrutura. 
Nos casos correntes, o modelo de comportamento elástico e linear é geralmente suficiente 
para efeitos de dimensionamento estrutural das estacas de fundação. 
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 13 MECivil, IST 
Referências bibliográficas 
 
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pp. 25-48. 
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sob acções horizontais”. Revista Geotecnia da Sociedade Portuguesa de Geotecnia, 71, pp. 51-64. 
Hetenyi, M. (1946) – “Beams on elastic foundations”. Ann Arbor, Mich.: Univ. of Mich. Press. 
Peck, R.B. e Davisson, M.T. (1962) – Discussion. Trans. ASCE, vol. 127, pt. 4: 413. 
Poulos, H.G.; Davis, E.H. (1980) – “Pile foundation analysis and design”. John Wiley and Sons. 
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Reese, L.C. e Matlock, H. (1956) – “Non-dimensional solutions for laterally loaded piles with soil 
modulus assumed proportional to depth”. Proc. 8
th
 Texas Conf. SMFE, Special Publication 29, Bureau 
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Santos, J.A. (1993) – “Comportamento de estacas verticais sob acção de cargas horizontais 
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Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Mecânica dos Solos. 
Santos, J.A. (1999) – “Caracterização de solos através de ensaios dinâmicos e cíclicos de torção. 
Aplicação ao estudo do comportamento de estacas sob acções horizontais estáticas e dinâmicas”. 
Dissertação submetida ao Instituto Superior Técnico da Universidade Técnica de Lisboa para obtenção 
do grau de Doutor em Engenharia Civil. 
Santos, J.A. e Gomes Correia, A. (1992) – “Uniformização dos limites de comportamento flexível 
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Coimbra, Vol. 1, pp. G4.1- G4.14. 
Terzaghi, K. (1955) – “Evaluation of coefficients of subgrade reaction. Géotechnique, vol. 5, no. 4, 
pp. 297-326. 
Timoshenko, S.P. (1951) – “Theory of elasticity”. McGraw-Hill. 
Vesic, A. (1961) – “Bending of beam resting on isotropic elastic solid”. JEMD, ASCE, vol. 87, pp. 
35-53. 
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Anexo 
 
Estaca isolada em meio de Winkler 
Soluções analíticas 
 
 
Obras Geotécnicas Fundações por Estacas - Acções Horizontais
15 MECivil, IST
λ '
4
k
4E
p
I
p
(1)
η '
5
n
h
E
p
I
p
(2)
Estaca isolada em meio de Winkler sujeita à carga transversal Vo e ao momento Mo à cabeça
a) terreno homogéneo com módulo de reacção constante (k=cte) - a solução vem expressa
em função do parâmetro de rigidez relativa λ definido por:
b) terreno com módulo de reacção crescendo linearmente em profundidade (k=nh·x) - a
solução vem expressa em função do parâmetro de rigidez relativa η dado por:
Simbologia utilizada nas expressões:
Ep - módulo de elasticidade da estaca
Ip - momento de inércia da estaca
x - profundidade
y - deslocamento transversal
L - comprimento
x' - L-x
θ - rotação
V - esforço transverso
M - momento flector
Obras Geotécnicas Fundações por Estacas - Acções Horizontais
16 MECivil, IST
y '
2V
o
λ
k
(e &λx cosλx) (3)
θ ' &
2V
o
λ2
k
e &λx (cosλx % senλx) (4)
M '
V
o
λ
(e &λx senλx) M
máx
(x'
0.79
λ
) ' 0.32
V
o
λ
(5)
V ' V
o
e &λx (cosλx & senλx) (6)
y '
2V
o
λ
k
K
yV
K
yV
'
senhλL cosλx coshλx ) & senλL coshλx cosλx )
senh 2λL & sen 2λL
(7)
θ ' &
2V
o
λ2
k
K
θV
(8)
K
θV
'
senhλL(senλxcoshλx )%cosλxsenhλx ))%senλL(senhλxcosλx )%coshλxsenλx ))
senh 2λL & sen 2λL
(9)
M '
V
o
λ
K
MV
K
MV
'
senhλL senλx senhλx ) & senλL senhλx senλx )
senh 2λL & sen 2λL
(10)
V ' V
o
K
VV (11)
K
VV
'
senhλL(cosλxsenhλx )&senλxcoshλx ))&senλL(coshλxsenλx )&senhλxcosλx ))
senh 2λL & sen 2λL
(12)
y '
2V
o
Lk
(2&3
x
L
) (13)
θ ' &
6V
o
L 2k
(14)
M ' V
o
L[
x
L
& 2(
x
L
)2 % (
x
L
)3] M
máx
(x'
L
3
) '
4
27
V
o
L (15)
V ' V
o
[1 & 4(
x
L
) % 3(
x
L
)2] (16)
Estaca com cabeça livre, força horizontal aplicada na cabeça. k=cte
a) Estacas flexíveis (λL>3.0)
b) Estacas semi-flexíveis (1.0<λL<3.0)
c) Estacas rígidas (λL<1.0)
Obras Geotécnicas Fundações por Estacas - Acções Horizontais
17 MECivil, IST
y '
2M
o
λ2
k
e &λx (cosλx & senλx) (17)
θ ' &
4M
o
λ3
k
(e &λx cosλx) (18)
M ' M
o
e &λx (cosλx % senλx) (19)
V ' &2M
o
λ (e &λxsenλx) (20)
y '
2M
o
λ2
k
K
yM
(21)
K
yM
'
senhλL(senλxcoshλx )&cosλxsenhλx ))%senλL(senhλxcosλx )&coshλxsenλx ))
senh 2λL & sen 2λL
(22)
θ ' &
4M
o
λ3
k
K
θM
K
θM
'
senhλL cosλx coshλx ) % senλL coshλx cosλx )
senh 2λL & sen 2λL
(23)
M'M
o
K
MM (24)
K
MM
'
senhλL(cosλxsenhλx )%senλxcoshλx ))&senλL(coshλxsenλx )%senhλxcosλx ))
senh 2λL & sen 2λL
(25)
V ' &2M
o
λ K
VM
K
VM
'
senhλL senλx senhλx ) % senλL senhλx senλx )
senh 2λL & sen 2λL
(26)
y '
6M
o
L 2 k
(1&2
x
L
) (27)
θ ' &
12M
o
L 3k
(28)
M ' M
o
[1 & 3(
x
L
)2 % 2(
x
L
)3] (29)
V ' &
6M
o
L
[
x
L
& (
x
L
)2] (30)
Estaca com cabeça livre, momento aplicado na cabeça. k=cte
a) Estacas flexíveis (λL>3.0)
b) Estacas semi-flexíveis (1.0<λL<3.0)
c) Estacas rígidas (λL<1.0)
Obras Geotécnicas Fundações por Estacas - Acções Horizontais
18 MECivil, IST
y '
V
o
η2
n
h
A
yV (30)
θ '
V
o
η3
n
h
A
θV (31)
M '
V
o
η
A
MV (32)
V ' V
o
A
VV (33)
A
yV
(x'0)'2.44 A
θV
(x'0)'&1.62 M
máx
(x'
1.30
η
)'
0.77V
o
η
(34)
A
yV
'2.44S
1
&1.62S
2
%S
4
A
θV
'
dA
yV
dx
A
MV
'
d 2A
yV
d 2x
A
VV
'
d 3A
yV
d 3x
(35)
S
1
'1&
(ηx)5
5!
%
6(ηx)10
10!
&
6 @11(ηx)15
15!
%... (36)
S
2
'ηx&
2(ηx)6
6!
%
2 @ 7(ηx)11
11!
&
2 @ 7 @ 12(ηx)16
16!
%... (37)
S
4
'
(ηx)3
3!
&
4(ηx)8
8!
%
4 @ 9(ηx)13
13!
&
4 @ 9 @ 14(ηx)18
18!
%... (38)
y '
V
o
L 2 n
h
(18&24
x
L
) (39)
θ ' &
24V
o
L 3n
h
(40)
M ' V
o
L[
x
L
& 3(
x
L
)3 % 2(
x
L
)4] M
máx
(x'0.42L)'0.26V
o
L (41)
V ' V
o
[1 & 9(
x
L
)2 % 8(
x
L
)3] (42)
Estaca com cabeça livre, força horizontal aplicada na cabeça. k=nh·x
a) Estacas flexíveis (ηL>4.0) e estacas semi-flexíveis (1.5<ηL<4.0)
Para as estacas flexíveis
b) Estacas rígidas (ηL<1.5)
Obras Geotécnicas Fundações por Estacas - Acções Horizontais
19 MECivil, IST
y '
M
o
η3
n
h
A
yM (43)
θ '
M
o
η4
n
h
A
θM (44)
M ' M
o
A
MM (45)
V ' M
o
η A
VM (46)
A
yM
(x'0)'1.62 A
θM
(x'0)'&1.75 (47)
A
yM
'1.62S
1
&1.75S
2
%S
3
A
θM
'
dA
yM
dx
A
MM
'
d 2A
yM
d 2x
A
VM
'
d 3A
yM
d 3x
(48)
S
1
'1&
(ηx)5
5!
%
6(ηx)10
10!
&
6 @11(ηx)15
15!
%... (49)
S
2
'ηx&
2(ηx)6
6!
%
2 @ 7(ηx)11
11!
&
2 @ 7 @ 12(ηx)16
16!
%... (50)
S
3
'
(ηx)2
2!
&
3(ηx)7
7!
%
3 @ 8(ηx)12
12!
&
3 @ 8 @ 13(ηx)17
17!
%... (51)
y '
M
o
L 3 n
h
(24&36
x
L
) (52)
θ ' &
36M
o
L 4n
h
(53)
M ' M
o
[1 & 4(
x
L
)3 % 3(
x
L
)4] (54)
V '
M
o
L
[&12(
x
L
)2 % 12(
x
L
)3] (55)
Estaca com cabeça livre, momento aplicado na cabeça. k=nh·x
a) Estacas flexíveis (ηL>4.0) e estacas semi-flexíveis (1.5<ηL<4.0)
Para as estacas flexíveis
b) Estacas rígidas (ηL<1.5)