Equações de Movimento em Vibrações Mecânicas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
MECÂNICA DAS VIBRAÇÕES 
PROVA 2 / 2013 
 
Atenção: Todos os resultados numéricos deverão ser apresentados com 3 algarismos 
significativos. 
 
Questão 1 (4,0 pontos) - Escrever a equação diferencial do movimento para o sistema mostrado na Fig. 1. 
Determinar a frequência da oscilação livre e o valor mínimo para a constante de amortecimento que não 
permitirá que o sistema oscile quando for estimulado por uma condição inicial. Dados k = 10000 N/m, m = 10 
kg, c = 200 N.s/m, L = 0,3 m, I = mL
2
/12. 
 
 
Figura 1 
 
Solução: Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento da massa 
  
2222
22
2
212



















L
c
L
k
L
k
mL
 
ou 0
4
3
412
222
 
kLcLmL 
 
0
93
 
m
k
m
c 
 
Frequência natural 
rad/s 9,94
10
1000099



m
k
n

 
Fator de amortecimento 
316,0
9,94102
2003
2
3




n
m
c


 
 A frequência da vibração amortecida é obtida de 
 rad/s 0,909,94316,011
22 
nd

 
Constante de amortecimento para amortecimento crítico 
N.s/m 632
3
9,94102
3
2


 n
c
m
c

 
 
Questão 2 – (3,0 pontos) – Uma mola com rigidez igual a 20000 N/m suporta uma massa de 10 kg na sua 
extremidade livre, com amortecimento estrutural, oscila com uma período de 0,15 s. Se a amplitude após 2 
ciclos do movimento é 0,1 mm, determinar: 
a) o deslocamento inicial que provocou o movimento; 
b) a constante de amortecimento histerético; 
c) o fator de perda; 
d) a energia total dissipada nos dois ciclos da vibração. 
 
Frequência natural 
rad/s 7,44
10
20000

m
k
n 
Fator de amortecimento 
350,0
7,4415,0
2
1
2
1
22





















ndT
 
a) Deslocamento inicial que provocou o movimento 
Decremento logarítmico 
35,2
350,01
350,02
1
2
22









 
m 0110,00001,0235,02
0
 exex
m
m 
 
b) Constante de amortecimento histerético 
Constante de amortecimento 
N.s/m 3137,4410350,022 
neq
mc  
Frequência do movimento 
rad/s 9,417,44350,011 22 
nd
 
Constante de amortecimento histerético 
N.rad/m 131249,41313  ch 
 
c) Fator de perda 
656,0
20000
13124

k
h
 
 
d) Energia dissipada nos dois ciclos da vibração 
Amplitude após um ciclo 
mm 22,1
5,0
3
ln
2
13
896,0
0
1

ee
x
x

 
Energia dissipada
 
    J 21,10001,00110,020000
2
1
2
1 222
2
2
0
 xxkW
 
 
Questão 3 – (3,0 pontos) – A massa m = 20 kg de um oscilador harmônico linear com k = 50 kN/m desliza 
em uma superfície horizontal com coeficiente de atrito estático s = 0,3 e cinético  = 0,15. Determinar: 
(a) o máximo valor do deslocamento inicial que não resultará em qualquer movimento devido à força de 
atrito; 
(b) o número de ciclos para a vibração iniciada por um deslocamento inicial de 25 mm até parar 
completamente; 
(c) o tempo total transcorrido até a parada; 
(d) a posição da massa quando o movimento parar. 
 
Dados: m = 20 kg, k = 50000 N/m, s = 0,3 e c = 0,15. 
(a) Deslocamento inicial máximo 
  mm 18,1
50000
81,9203,0
max0



k
N
x s

 
(b) Número de ciclos até a parada 
ciclos meio 217,20
50000
81,9201,02
50000
81,9201,0
025,0
2
0































k
N
k
N
x
r


 
 
(a) Tempo transcorrido até atingir o repouso 
s 126,0
50000
20
2
50000
20
2
2
 


n
T 
s 32,1
2
126,0
21
2













T
rt
f
 
(b) Posição em que ocorrerá a parada 
  m 000279,0
50000
81,9202
21025,0
2
0





 







k
N
rxtx
f
