representação por blocos

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1
Representação por Blocos
A função básica de um sistema de controle com realimentação, consiste em comparar o valor real
de saı́da com a referencia de entrada (chamado de valor desejado ou Set-Point) determinar o desvio
desta comparação (sinal de erro) e produzir um sinal de controle que vai atuar sobre o sistema para
zerar ou minimizar o erro de saı́da. Esta atuação recebe o nome de ”Ação de Controle”, que esta
apresentada em termos de diagrama de blocos abaixo, para um sistema de controle industrial.
�-
- -
�
-
6
-'
m --- C(s)R(s) +
-
Sensor
PlantaAtuadorAmplificador
Detector
de erro
Sinal de erro
Sistema de controle
Entrada, Referência ou Set Point
A saı́da do controlador fornece o sinal de erro atuante já provida de amplificação de potência que
permita ação do atuador. O atuador é normalmente um transducer de sinal elétrico em mecânico, como
um motor elétrico, um pistão hidráulico ou pneumático, uma válvula, resistências de aquecimento, etc.
e atua sobre o processo levando a planta a correção da saı́da com a minimização do sinal de erro ou
anulando a sua existência. Sensor é o elemento que converte o sinal o sinal de saı́da em um sinal
compatı́vel ao sistema de controle, como rotação, temperatura, pressão, posição, entre outros, a ser
comparado com o sinal de entrada (Set-Point). Este sensor é que executa o ramo de realimentação de
um sistema de malha fechada. Plantas industriais são classificadas pela ação do controlador sobre o
processo, conforme descrito.
0.1 Diagrama de Blocos
Nos estudos de controle é bastante usual a representação de sistemas em termos de diagra-
mas de blocos, como já pode ser observado no capitulo anterior, onde foi obtida uma simplificação da
modelagem do conjunto mecânico da suspensão veicular por redução de blocos.
Exemplo 0.1.1. Vamos verificar um circuito de uso bastante comum, o integrador discreto RC, mode-
lado e representado por blocos.
-
R
C
I(s)
Vi(s) Vo(s)
2
Para este circuito podemos escrever:
I(s) =
Vi(s) − V0(s)
R
e V0(s) = I(s)
1
sC
Estas duas equações matemáticas podem ser ”escritas”em termos de diagramas de blocos como
abaixo.
�
��--
6
-- - -+
-
1Vi(s)
R
Vo(s)
I(s)I(s) 1
sC
Existindo pontos iguais, podemos interligar, logo
�
��- -
6
- - -
Vi(s)
+
-
Vo(s)
1
R
I(s) I(s) 1
sC
Vo(s)
Portanto podemos associar os blocos
�
��-- -
6
+
-
1
sRC
Vi(s) Vo(s)
Para redução vamos utilizar a propriedade abaixo que será vista ainda neste capitulo
F(s) =
G(s)
1 +G(s)H(s)
=
1
RCs
1 +
1
RCs
.1
=
1
��RC
RCs+ 1
���RCs
→ F(s) =
1
RCs+ 1
Aprenderemos agora a representar uma planta, um compensador os componentes de um sistema
através de diagrama de blocos.
Representamos um subsistema por uma entrada, uma saı́da e uma função de transferência, porem
sistemas são formados por alguns ou diversos subsistemas, de forma que podemos representar suas
conexões e apresentar um resultado mais conveniente.
Para isto devemos considerar componentes utilizados para representação em blocos de um sistema
linear e invariante no tempo mostrados abaixo:
3
Sinal de entrada
R(s)
-
Sinal de saı́da
C(s)
-
Subsistema
- -F(s)
R(s) C(s)
Junta somadora ou subtratora
����- -
6
R1(s)
R2(s)
±±
Vo(s) = ±R1(s) ±R2(s)
Ponto de distribuição
-
-
-
R(s)
R(s)
R(s)
R(s)
Multiplicador
- -
��
��
�H
HH
HH
K
R(s) K.R(s)
A partir destas representações básicas, associações entre subsistemas podem ser obtidas, para facili-
dade de cálculos e interpretação de processos.
Redução de blocos em cascata
--- - - -
�
�
�
�
���
.............................................................................
..............................�
G1(s)G2(s)G3(s)
C(s)C(s) R(s)
X2(s) = R(s)G1(s)G2(s)
G1(s) G2(s) G3(s)
R(s)
X1(s) = R(s)G1(s)
C(s) = R(s)G1(s)G2(s)G3(s)
Redução de associação de avanço
��
��
-
-
-
- - -
?
6
-
@@R
R(s) C(s)±±
±
±G1(s) ±G2(s) ±G3(s)
C(s)R(s)
G1(s)
G2(s)
G3(s)
R(s)G1(s)
R(s)G2(s)
RR(s)G3(s) C(s) = R(s)(±G1(s) ±G2(s) ±G3(s))
4
Redução de uma malha fechada com realimentação (ramo de retrocesso) Para o diagrama
de blocos apresentado abaixo, de realimentação negativa, temos:
m- -
6
-
�
E(s)R(s) C(s)
H(s)
G(s)+-
onde

R(s) → excitação de entrada
C(s) → sinal de saı́da
G(s) → ganho de avanço ou de malha direta
H(s) → ganho de realimentação
E(s) → sinal de erro
Podemos calcular:
C(s) = E(s)G(s) e E(s) = R(s)− C(s)H(s)
Substituindo a segunda equação na primeira, temos:
C(s) = G(s)
[
R(s)− C(s)H(s)
]
= G(s)R(s)−G(s)C(s)H(s) → C(s) + C(s)H(s)G(s) = G(s)R(s)
C(s)
[
1 +G(s)H(s)
]
= G(s)R(s)
C(s) =
G(s)R(s)
1 +G(s)H(s)
→ F(s) =
C(s)
R(s)
=
G(s)
1 +G(s)H(s)
Caso a realimentação seja positiva, resulta:
m- -
6
-
�
E(s)R(s) C(s)
H(s)
G(s)++
C(s) = E(s)G(s) e E(s) = R(s) + C(s)H(s)
C(s) = G(s)
[
R(s) + C(s)H(s)
]
= G(s)R(s) +G(s)C(s)H(s)
C(s) − C(s)H(s)G(s) = G(s)R(s)
C(s)
[
1−G(s)H(s)
]
= G(s)R(s)
C(s) =
G(s)R(s)
1−G(s)H(s)
→ F(s) =
C(s)
R(s)
F(s) =
G(s)
1−G(s)H(s)
Podemos então resumir que quando a realimentação é negativa, o produto G(s)H(s) deve ser
somado a unidade no denominador enquanto que para realimentação positiva, devemos subtrair o
produto da mesma unidade. Ou seja invertemos o sinal do tipo da realimentação.
5
F(s) =
G(s)
1±G(s)H(s)
Exemplo 0.1.2. Calcule a função de transferência do diagrama de blocos abaixo
m- - -
�
6
+
R(s) C(s)
+
1
s(s+ 3)
0, 8
F(s) =
G(s)
1−G(s)H(s)
=
1
s (s+ 3)
1− 1
s (s+ 3)
0, 8
=
1
s (s+ 3)
1− 0, 8
s (s+ 3)
=
1
���
��s (s+ 3)
s (s+ 3)− 0, 8
���
��s (s+ 3)
F(s) =
1
s (s+ 3)− 0, 8
→ F(s) =
1
s2 + 3s− 0, 8
Exemplo 0.1.3. Com realimentação negativa
m
�
-
6
- -1
C(s)
+
R(s)
- (s+1)(s+3)
2s
F(s) =
G(s)
1 +G(s)H(s)
=
1
(s+ 1) (s+ 3)
1 +
1
(s+ 1) (s+ 3)
2s
=
1
(s+ 1) (s+ 3)
1 +
2s
(s+ 1) (s+ 3)
=
1
((((
((((s+ 1) (s+ 3)
(s+ 1) (s+ 3) + 2s
((((
((((s+ 1) (s+ 3)
F(s) =
1
(s+ 1) (s+ 3) + 2s
=
1
s2 + 4s+ 3 + 2s
→ F(s) =
1
s2 + 6s+ 3
Uma aplicação de redução com bastante utilização em controle é o caso de realimentação unitária, e
esta caso particular nos permite uma simplificação.
6
Exemplo 0.1.4. Com realimentação unitária
m -- -
6
C(s)1
(s+ 1)(s+ 3)
+
R(s)
-
F(s) =
1
(s+ 1) (s+ 3)
1 +
1
(s+ 1) (s+ 3)
=
1
((((
((((s+ 1) (s+ 3)
(s+ 1) (s+ 3) + 1
((((
((((s+ 1) (s+ 3)
F(s) =
1
(s+ 1) (s+ 3) + 1
=
1
s2 + 4s+ 3 + 1
→ F(s) =
1
s2 + 4s+ 4
Generalizando podemos considerar G(s) =
NG(s)
DG(s)
, que substituı́do resulta:
F(s) =
G(s)
1±G(s)H(s)
=
NG(s)
DG(s)
1±
NG(s)
DG(s)
=
NG(s)
��
�DG(s)
DG(s) ±NG(s)
��
�DG(s)
→ F(s) =
NG(s)
DG(s) ±NG(s)
Exemplo 0.1.5. Com realimentação unitária
m -- -
6
C(s)(s+ 2)
(s+ 1)(s+ 5)
+
R(s)
-
F(s) =
(s+ 2)
(s+ 1) (s+ 5) + (s+ 2)
=
(s+ 2)
s2 + 6s+ 5 + s+ 2
→ F(s) =
s+ 2
s2 + 7s+ 7
Exemplo 0.1.6. Problema com malhas de retração, reduzir o sistema apresentado a um único bloco
- - - - - - -
�
�
�
6 6 6
�
���
���
��+- +- +-G1(s) G2(s) G3(s)
H1(s)
H2(s)
H3(s)
Em primeiro lugar, vamos associar os dois blocos que estão em cascata, que resulta:
7
- - - - - -
�
�
�
6 6 6
�
���
���
��+- +- +-G1(s)
H1(s)
H2(s)
H3(s)
G2(s)G3(s)
Reduzindo a malha de realimentação negativa que está identificado como F1(s), temos:
- - - - - -
�
�
�
6 6 6
�
���
���
��
F1(s)
+
-
+
-
+
-G1(s)
H1(s)
H2(s)
H3(s)
G2(s)G3(s)
F1(S) =
G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)H1(s)
Substituindo agora a redução de F1(s) e marcando um novo bloco de nome F2(s):
�
���
��---
�
�
66
- -+
-
+
-
H2(s)
H3(s)
G1(s)
F2(s)
G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)H1(s)
F2(S) =
G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)H1(s)
1−
G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)H1(s)
H2(s)
=
G2(s)G3(s)
((((
((((
((
1 +G2(s)G3(s)H1(s)
1 +G2(s)G3(s)H1(s) −G2(s)G3(s)H2(s)
((((
((((
((
1 +G2(s)G3(s)H1(s)
F2(S) =
G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)
[
H1(s) −H2(s)
]
Substituindo F2(s) no diagrama de blocos e definindoF3(s):
8
�
��-- - -
�
6
G1(s)
H3(s)
G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)[H1(s) +H2(s)]
+
-
F3(s)
F3(S) =
G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)
[
H1(s) −H2(s)
]
1 +
G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)
[
H1(s) −H2(s)
]H3(s) =
G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)
[
H1(s) −H2(s) +H3(s)
]
O resultado final será F3(s) em cascata com G1(s):
- -
1 +G2(s)G3(s)[H1(s) −H2(s) +H3(s)]
G1(s)G2(s)G3(s)
0.2 Deslocamento de Blocos
Algumas aplicações necessitam recursos extras para obtenção de sua solução. O deslocamento
de um bloco dentro de uma malha pode em muitos casos facilitar a solução como veremos a seguir.
9
- - - -
6
- -
6
6
m m+
-
R(s)
X(s)
+
-
C(s) R(s) C(s)
X(s)
G(s)
G(s)
G(s)
m m- - -
6
- - -
6
6
+
-+-
R(s) R(s)
G(s) G(s)
G(s)
1
C(s) C(s)
X(s)
X(s)
- -
- -
-
- -
--
-
R(s) R(s) R(s)R(s) 1
G(s)
1
G(s)
R(s)G(s)
R(s)
G(s)
G(s)
R(s)G(s)
R(s)
-
- -
--
-
-
--
-G(s)
G(s)
G(s)
G(s)
R(s)G(s) R(s)G(s)R(s)R(s)
R(s)G(s)
R(s)G(s)
R(s)G(s)
R(s)G(s)
10
Exemplo 0.2.1. Podemos agora refazer o Exemplo 0.1.6 de uma maneira muito mais simples utilizando
as propriedades de deslocamento de blocos.
- - - - - - -
�
�
�
6 6 6
�
���
���
��+- +- +-G1(s) G2(s) G3(s)
H1(s)
H2(s)
H3(s)
Deslocando os blocos de realimentação, obtemos:
m- - - -
�
6
G1(s) G2(s)G3(s)
H1(s) +H2(s) +H3(s)
R(s)
basta agora aplicar F(s) =
G(s)
1 +G(s)H(s)
, que temos:
F1(s) =
G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)
[
H1(s) −H2(s) +H3(s)
]
Associado com G1(s) em cascata, resulta em
F1(s) =
G1(s)G2(s)G3(s)
1 +G2(s)G3(s)
[
H1(s) −H2(s) +H3(s)
]
- -
1 +G2(s)G3(s)[H1(s) −H2(s) +H3(s)]
G1(s)G2(s)G3(s)
O mesmo resultado obtido na solução anterior, porem com um número de passagens intermediárias
menores.
Em outros casos a propriedade de deslocamento não é apenas um facilitador, mas uma necessi-
dade sem a qual não seria possı́vel obter solução.
11
Exemplo 0.2.2. Reduzir o sistema que segue
m m- - - -?
-
6
�
R(s)
G(s)
H1(s)
H2(s)
+- +
+
C(s)
Este sistema não permite uma solução trivial. Caso seja resolvida a malha de avanço de G(s)
com H1(s), não teremos mais o ponto de conexão do sinal de entrada para H2(s), não sendo este então
um procedimento correto. De forma equivalente, se for minimizada a malha de realimentação G(s)
com H2(s), deixará de existir o ponto de conexão de entrada de H1(s). Para solucionar esta dificuldade
devemos utilizar a propriedade de deslocamento de blocos, para H1(s) ou para H2(s). Lembramos que o
deslocamento de apenas um dos pontos já permite a minimização correta do sistema, mas ilustraremos
a solução com o deslocamento de ambos os blocos.
mm ? ---
6
-
-
�
C(s)
++G(s)+-
R(s)
?
?
Para proceder a modificação, a função de transferência de cada um dos blocos deverá ser modi-
ficada para garantir que o sinal antes e depois do deslocamento não seja alterado.
Na aplicação abaixo deslocamos a conexão de H1(s) após passar por G(s).
Estimamos um sinal A de entrada e verificamos como este chega a saı́da antes e após a modificação
do ponto de conexão.
Verificamos que é necessário inserir no bloco H1(s), um fator de
1
G(s)
para garantir a integridade do
sinal.
-
- -
-
--
- -
A
G(s)
AG(s)
AG(s) AH1(s)H1(s)
G(s)
G(s)
A
H1(s)
AG(s)
AH1(s)
12
O mesmo procedimento agora para o ramo de retroação, demonstra a necessidade de multiplicar
o bloco H2(s) pelo fator G(s).
- -
��
- -
��
AG(s)H2(s)
G(s)
H2(s)G(s)
AG(s)
AAG(s)H2(s)
A
G(s)
A AG(s)
H2(s)
AG(s)
Podemos redesenhar o diagrama de blocos agora:
m m- -
-
6
-
�
-
?
+- +
+
R(s) C(s)
G(s)
H1(s)
G(s)
H2(s)G(s)
A redução fica então:
F1(s) =
1
1 +G(s)H2(s)
e F2(s) = 1 +
H1(s)
G(s)
- - - -G(s)1 +G(s)H2(s)
1
1+ H1(s)
G(s)
F(s) =
1
1 +G(s)H2(s)
G(s)
(
1 +
H1(s)
G(s)
)
=
G(s)
1 +G(s)H2(s)
(
1 +
H1(s)
G(s)
)
F(s) =
G(s)
1 +G(s)H2(s)
+ �
��G(s)H1(s)
1 +G(s)H2(s)���G(s)
→ F(s) =
G(s) +H1(s)
1 +G(s)H2(s)
--
1 +G(s)H2(s)
G(s) +H1(s)