AV PARCIAL II- Espelho

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Disciplina: Fundamentos da Matemática II
Professora: Cleidiane Araújo Semestre: 6º
Estudante:
Avaliação Parcial II
Instruções:
1. Esta avaliação contém 8 questões que totalizam 10,0 pontos. Cada questão tem sua
pontuação indicada;
2. Todas as respostas devem ser justificadas e apresentadas de forma organizada;
3. A justificativa deve usar o conteúdo estudado;
4. Questões objetivas não serão pontuadas se não for apresentada a justificativa;
Questão 1: Um topógrafo coloca um teodolito à margem de um rio, onde observa uma
árvore sob um ângulo de 60◦ Recuando 30 m, vê a mesma árvore sob ângulo de 30◦.
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,80 m do solo, determine a altura da árvore e
a largura do rio (com aproximação de 0,01). (Valor: 1,0)
Solução:
tan (30◦) =
h
30 + x
e tan (60◦) =
h
x
. Dáı,
√
3
3
= h
30+x
√
3 = h
x
⇒ h =
√
3x ⇒
√
3
3
=
√
3x
30 + x
⇒
√
3 · (30 + x) = 3
√
3x ⇒ 3
√
3x−
√
3x = 30
√
3
⇒ 2
√
3x = 30
√
3 ⇒ x = 15 ⇒ h = 15
√
3 ' 25, 95
Como a luneta do teodolito está a 1,80 m do solo, temos que a altura da árvore é de
25,95+1,80=27,95 m e a largura do rio é de 15 m.
Questão 2: Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 cm e 4 cm mede
120◦. Determine a medida da maior diagonal deste paralelogramo. (Valor: 1,0)
Solução:
1
Utilizando a lei dos cossenos, temos
d2 = 32 + 42 − 2 · 3 · 4 · cos (120◦)
⇒ d2 = 25− 24 ·
(
−1
2
)
⇒ d2 = 25 + 12
⇒ d2 = 37 ⇒ d =
√
37 ' 6, 08 cm
Questão 3: Na roda gigante de um parque de diversões, a altura (em metros) em que
um passageiro se encontra no instante t (em segundos) é dada pela lei: (Valor: 1,5)
h(t) = 6 + 4 · sin
( π
12
· t
)
, t ∈ [0, 270◦]
a) No ińıcio do passeio, a que altura se encontra o passageiro? (0,25)
Solução: Ińıcio: t = 0. Dáı,
h(0) = 6 + 4 · sin
( π
12
· 0
)
= 6 + 4 sin (0) = 6 ⇒ h(0) = 6 m
b) A que altura se encontra o passageiro após 9 s do ińıcio? (Use
√
2 = 1, 4) (0,25)
Solução: h(9) = 6 + 4 · sin
( π
12
· 9
)
= 6 + 4 sin
(
3π
4
)
= 6 + 4 sin
(π
4
)
⇒ h(9) = 6 + 4 ·
√
2
2
= 6 + 2
√
2
Considerando
√
2 = 1, 4, segue que h(9) = 6 + 2 · 1, 4 = 8, 8 m.
c) Qual é a altura mı́nima que esse passageiro atinge no passeio? (0,25)
Solução: Como o menor valor que a função seno pode assumir é -1, temos que,
para qualquer t ∈ [0, 270◦], sin
(
π
12
· t
)
= −1. Logo,
hmin = 6 + 4 · sin
(
π
12
· t
)
= 6 + 4 · (−1) ⇒ hmin = 2 m.
d) Qual é o tempo necessário para a roda-gigante dar uma volta completa? (0,5)
Solução: O tempo necessário para que a roda-gigante dê uma volta completa equi-
vale ao peŕıodo da função seno, que, neste caso vale p =
2π
|m|
, onde m =
π
12
. Logo,
p =
2π
| π
12
|
⇒ p = 24 s.
e) Quantas voltas completas ocorrem no passeio? (0,25)
Solução: Para descobrir, basta fazermos uma regrinha de três e obtemos
x =
270
24
= 11, 25. Logo, ocorrem 11 voltas completas no passeio.
2
Questão 4: Empregando a lei dos senos, mostre que se num triângulo ABC vale a
relação sin2 (Â) = sin2 (B̂) + sin2 (Ĉ), então o triângulo é retângulo em A. (Valor: 1,5)
Solução: Para mostrarmos que o triângulo ABC é retângulo em A, basta mostrarmos
que vale o teorema de Pitágoras, onde a é a hipotenusa do triângulo (maior lado opõe-se
ao maior ângulo). Ou seja, queremos mostrar que vale a igualdade a2 = b2 + c2.
Da lei dos senos temos que
a
sin (Â)
=
b
sin (B̂)
=
c
sin (Ĉ)
. Elevando cada membro ao
quadrado, temos
a2
sin2 (Â)
=
b2
sin2 (B̂)
=
c2
sin2 (Ĉ)
a2
sin2 (Â)
=
b2
sin2 (B̂)
⇒ b2 = a
2 sin2 (B̂)
sin2 (Â)
(1)
a2
sin2 (Â)
=
c2
sin2 (Ĉ)
⇒ c2 = a
2 sin2 (Ĉ)
sin2 (Â)
(2)
Somando (1) e (2) e aplicando a hipótese sin2 (Â) = sin2 (B̂) + sin2 (Ĉ), obtemos
b2 + c2 =
a2 sin2 (B̂)
sin2 (Â)
+
a2 sin2 (Ĉ)
sin2 (Â)
=
a2[sin2 (B̂) + sin2 (Ĉ)]
sin2 (Â)
=
a2 · sin2 (Â)
sin2 (Â)
Portanto, vale o teorema de Pitágoras b2 + c2 = a2 e conclúımos que o triângulo ABC é
reto em A.
Questão 5: Prove que em todo triângulo ABC vale a relação cos (Ĉ) = − cos (Â+ B̂).
(Valor: 1,0)
Solução: Em todo triângulo temos que Â+ B̂ + Ĉ = 180◦ ⇒ Ĉ = 180◦ − (Â+ B̂)
Isto significa que Ĉ é o suplemento de Â+ B̂. Como ângulos suplementares tem cossenos
opostos, conclúımos que cos (Ĉ) = − cos (Â+ B̂).
Questão 6: Mostre que cot (a+ b) =
cot (a) · cot (b)− 1
cot (b) + cot (a)
e cot (a− b) = cot (a) · cot (b) + 1
cot (b)− cot (a)
,
para a 6= kπ, b 6= kπ, (a+ b) 6= kπ e (a− b) 6= kπ. (Valor: 1,0)
3
Solução: cot (a+ b) =
cos (a+ b)
sin (a+ b)
=
cos (a) · cos (b)− sin (a) · sin (b)
sin (a) · cos (b) + sin (b) · cos (a)
Dividindo numerador e denominador por sin (a) · sin (b), temos
cos (a) · cos (b)− sin (a) · sin (b)
sin (a) · cos (b) + sin (b) · cos (a)
=
cos (a)·cos (b)
sin (a)·sin (b) −
sin (a)·sin (b)
sin (a)·sin (b)
sin (a)·cos (b)
sin (a)·sin (b) +
sin (b)·cos (a)
sin (a)·sin (b)
=
cot (a) · cot (b)− 1
cot (b) + cot (a)
Para mostrarmos a cotangente da diferença, usamos que cot (−b) = − cot (b)
cot (a− b) = cot [a+ (−b)] = cot (a) · cot (−b)− 1
cot (a) + cot (−b)
=
− cot (a) · cot (b)− 1
cot (a)− cot (b)
⇒ cot (a− b) = cot (a) · cot (b) + 1
cot (b)− cot (a)
Questão 7: Mostre que: (Valor: 1,5)
a) cos (3a) = 4 cos3 (a)− 3 cos (a)
Solução: cos (3a) = cos (2a+ a) = cos (2a) · cos (a)− sin (2a) · sin (a)
Já vimos que cos (2a) = 2 cos2 (a)−1 e que sin (2a) = 2 sin (a) ·cos (a). Sendo assim,
cos (3a) = [2 cos2 (a)− 1] · cos (a)− 2 sin (a) · cos (a) · sin (a)
= 2 cos3 (a)− cos (a)− 2 sin2 (a) · cos (a)
Utilizando a relação fundamental sin2 (a) = 1− cos2 (a), segue que
cos (3a) = 2 cos3 (a)− cos (a)− 2[1− cos2 (a)] · cos (a)
= 2 cos3 (a)− cos (a)− 2 cos (a) + 2 cos2 (a) · cos (a)
= 4 cos3 (a)− 3 cos (a)
b) sin (3a) = 3 sin (a)− 4 sin3 (a)
Solução: sin (3a) = sin (2a+ a) = sin (2a) · cos (a) + sin (a) · cos (2a)
4
Já vimos que cos (2a) = 2 cos2 (a)−1 e que sin (2a) = 2 sin (a) ·cos (a). Sendo assim,
sin (3a) = [2 sin (a) · cos (a)] · cos (a) + sin (a) · [2 cos2 (a)− 1]
= 2 sin (a) · cos2 (a) + 2 cos2 (a) · sin (a)− sin (a)
Utilizando a relação fundamental cos2 (a) = 1− sin2 (a), segue que
sin (3a) = 2 sin (a) · [1− sin2 (a)] + 2[1− sin2 (a)] · sin (a)− sin (a)
= 2 sin (a)− 2 sin3 (a) + 2 sin (a)− 2 sin3 (a)− sin (a)
= 3 sin (a)− 4 sin3 (a)
c) tan (3a) =
3 tan (a)− tan3 (a)
1− 3 tan2 (a)
, ∀a 6= π
2
+ kπ
Solução: tan (3a) = tan (2a+ a) =
tan (2a) + tan (a)
1− tan (2a) · tan (a)
Já vimos que tan (2a) =
2 tan (a)
1− tan2 (a)
. Sendo assim,
tan (3a) =
2 tan (a)
1−tan2 (a) + tan (a)
1− 2 tan (a)·tan (a)
1−tan2 (a)
=
2 tan (a)+tan (a)−tan3 (a)
1−tan2 (a)
1−tan2 (a)−2 tan2 (a)
1−tan2 (a)
=
3 tan (a)− tan3 (a)
1− 3 tan2 (a)
Questão 8: Transforme em produto a expressão sin2 (A)− sin2 (B). (Valor: 1,5)
Solução:
sin2 (A)− sin2 (B) = (sin (A) + sin (B)) · (sin (A)− sin (B))
= 2 sin
(
A+B
2
)
cos
(
A−B
2
)
· 2 sin
(
A−B
2
)
cos
(
A+B
2
)
= 2 sin
(
A+B
2
)
cos
(
A+B
2
)
· 2 sin
(
A−B
2
)
cos
(
A−B
2
)
Utilizando a relação 2 sin (x) cos (x) = sin (2x), podemos concluir que
2 sin
(
A+B
2
)
cos
(
A+B
2
)
= sin (A+B) e 2 sin
(
A−B
2
)
cos
(
A−B
2
)
= sin (A−B).
Logo,
sin2 (A)− sin2 (B) = sin (A+B) · sin (A−B).
5