A1 Cálculo Numérico

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Matéria: Cálculo Numérico Computacional 
Aluno : Fábio Roberto Lemos Matrícula: 201611242
 
“Um objeto de massa m é abandonado de uma altura S0 em relação ao solo. Após t segundos a sua altura S(t) pode ser calculado pela expressão a seguir: 
 
S(t) = S0 - mg/k . t + m²g/k². (1 - e ^ - kt/m), 
 
em que k é o coeficiente de resistência do ar e g é a aceleração da gravidade. Fazendo m = 2kg, S0 = 40m , k = 0,6 kg/s e g = 9,81m/s², use o método gráfico para isolar a raiz e, posteriormente, calcule o tempo que o objeto leva para atingir o solo utilizando o método de bisseção, com uma tolerância ≤ 0,001.” 
 
 
 
Para chegarmos ao fim desejado necessitamos separar a função S(t) em duas partes: S(t1) e S(t2) 
 
	S(t) = 
	S0 - mg/k . t + m²g/k². (1 - e ^ - kt/m) 
 
S(t) = 40 – 32,7t + 109 - 109e^0,3t 
S(t) = - 32,7t + 109 + 40 – 109e^0,3t 
S(t) = - 32,7t + 149 - 109e^0,3t 
 
	S(t1) = 
	S(t2) = 
	 
-32,7t + 149 
 
	 
-109e^-0,3t 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela com valores para S(t1) e S(t2): 
 
	t 
	S(t1) 
	S(t2) 
	0 
	149 
	109 
	1 
	117 
	81 
	2 
	85 
	60 
	3 
	53 
	44 
	4 
	21 
	33 
	5 
	-11 
	24 
	6 
	-43 
	18 
	7 
	-75 
	13 
 
Observa-se uma alteração de comportamento de valores entre t3 e t4, ocasionando uma alteração: 
S(t2) passa a ser maior do que S(t1): 
	t 
	S(t1) 
	S(t2) 
	3 
	53 
	44 
	4 
	21 
	33 
 
Segue o gráfico de ambos (S(t1) x S(t2)) em mesmo plano: 
 
 
 
 
Agora podemos utilizar o método da bisseção, já que sabemos que λ (3,4) 
 
Cálculo - Mínimo de interações necessárias para se ter raiz λ com tolerância 
 
– a / ) ] / ln 2 } – 1 
) ] / ln 2 } – 1 
) ] / ln 2 } – ) ] / ln 2 } – 
{ [ 6,907755279 / 0,6931471806 ] } – 1 
{ [ 6,907755279 / 0,6931471806 ] } - 1 
{ [ 9,965784284 ] } – 1 
8,965784284b 
 Método de bisseção (≤ 0,001 
Segue tabela com o tempo que o objeto leva pra atingir o solo: 
 
S(t) = - 32,7t + 149 - 109e^0,3t 
 
 
	n 
	an 
	bn 
	xn 
	f(xn) 
	En 
	00 
	3 
	4 
	3,5 
	-1,1432 
	----- 
	01 
	3,5 
	3 
	3,25 
	3,886 
	0,2500 
	02 
	3,5 
	3,25 
	3,375 
	1,3993 
	0,1250 
	03 
	3,5 
	3,375 
	3,4375 
	0,1349 
	0,0625 
	04 
	3,5 
	3,4375 
	3,4688 
	-0,5025 
	0,0313 
	05 
	3,4688 
	3,5 
	3,4844 
	-0,8224 
	0,0156 
	06 
	3,4844 
	3,4688 
	3,4766 
	-0,6624 
	0,0078 
	07 
	3,4766 
	3,4844 
	3,4805 
	-0,7424 
	0,0039 
	08 
	3,4805 
	3,4766 
	3,4785 
	-0,7024 
	0,0020 
	09 
	3,4785 
	3,4805 
	3,4795 
	-0,7224 
	0,0010 
	10 
	3,4795 
	3,4785 
	3,479 
	-0,7124 
	0,0005 
Para ≤ 0,001 temos o tempo de 3,4795 segundos para o objeto atingir o solo.