MÓDULO 6 - LEIS DE KEPLER

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Leis de Kepler
 
I - Contexto Histórico:
O movimento dos planetas que aparenta ser desordenado quando visto em relação ao fundo das estrelas, tem sido um enigma
desde os primórdios da história.
Dentre os modelos planetários, no Sistema Geocêntrico aceito até o final do século XV, a Terra ocupava o centro do
Universo e todos os outros astros giravam em torno dela. Os principais defensores desse sistema foram Aristóteles, que
viveu no século IV antes de Cristo e, Ptolomeu, que viveu no século II da Era Cristã, considerado o mais importante
astrônomo da Antiguidade. Já no Sistema Heliocêntrico foi proposto que o Sol ocupava o centro do sistema planetário.
Aristarco (310 a.C. – 230 a.C.) chegou a propor esse modelo planetário na Grécia Antiga, baseado em cálculos que
mostravam que o Sol era muito maior que a Terra, e que, portanto, deveria ser o corpo central. Nicolau Copérnico (1473-
1543), em seu artigo publicado pouco antes de sua morte, defendia a idéia de que os movimentos dos corpos no céu
deveriam ser explicados de um modo simples. Para Copérnico, todos os planetas, incluindo a Terra, giravam em torno do
Sol em órbitas circulares.
Galileu Galilei (1564-1642) em sua obra Diálogo sobre Duas Novas Ciências mostrou que todo movimento é relativo, e
levantou a questão de que perceber o movimento da Terra, para um observador que se move junto com ela, não era possível
sem observações exteriores ao sistema. O problema não era simplesmente escolher qual corpo ficava imóvel no centro, mas
sim explicar as trajetórias esquisitas que alguns planetas descreviam.
O astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630), depois de uma vida dedicada aos estudos e, com base nos trabalhos e
apontamentos levantados por Tycho Brache (1546-1601), sendo este o último dos grandes astrônomos a fazer observações sem
a ajuda de um telescópio, Kepler aperfeiçoou o modelo de Copérnico e deduziu as Três Leis do Movimento Planetário que
explicam o movimento dos planetas no sistema solar.
Os estudos de Kepler foram publicados em 1690 na obra De Motibus Stellae Martis, tornando-se base para os estudos de
Isaac Newton (1642-1727), o qual mostrou que as leis empíricas de Kepler podiam ser deduzidas da sua Lei da Gravitação.
II - As Leis de Kepler:
 a) Primeira Lei de Kepler: Lei das Órbitas Planetárias
 Em seu movimento em torno do Sol, os planetas descrevem órbitas elípticas, sendo um dos focos ocupado pelo Sol
O desenho a seguir representa a trajetória elíptica de um planeta em torno do Sol. O ponto A representa o periélio e o
ponto B representa o afélio.
 
 
O periélio corresponde ao ponto de maior proximidade do planeta em relação ao Sol e o afélio, o ponto de maior
afastamento do planeta em relação ao Sol.
A órbita circular pode ser entendida como o caso extremo em que os focos da elipse coincidem (de acordo com a figura
apresentada acima: F1 = F2) e, nesse caso, o Sol ocupa o centro da circunferência descrita pelo planeta.
 
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b) Segunda Lei de Kepler: Lei das Áreas Equivalentes
A reta que une os centros de um planeta e o Sol percorre áreas iguais em tempos iguais.
 
A figura acima representa áreas iguais (A1 = A2) em intervalos de tempos iguais (Δt1 = Δt2). Ainda de acordo com a
figura acima:
Como Δt1 = Δt2 e Δs1 >Δs2, conclui-se que v1 > v2, ou seja, a velocidade de translação de um planeta em torno do Sol é
variável.
Um planeta qualquer do sistema solar movimenta-se ao redor do Sol com velocidade variável, apresentando um valor máximo
no periélio e um valor mínimo no afélio. No caso específico da Terra, a velocidade no periélio é cerca de 30,3 km/s e,
no afélio, cerca de 29,3 km/s. 
 
 
 
c) Terceira Lei de Kepler: Lei dos Períodos Iguais
Essa lei relaciona o intervalo de tempo gasto por um planeta numa volta completa ao redor do Sol (período) com a
distância média do planeta ao Sol (raio médio da órbita).
O quadrado do período de revolução de qualquer planeta é proporcional ao cubo da distância média desse planeta ao Sol.
Para órbitas circulares, o raio médio é o próprio raio da órbita. Para órbitas elípticas, o raio médio é a medida do
semi-eixo maior da elipse.
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Sendo a Ra distância do planeta até o Sol no afélio e Rp a distância no periélio:
Considerando T o período de um planeta ao redor do Sol e R o raio médio da órbita descrita pelo planeta:
Observações:
A constante k não depende da massa do corpo que está orbitando, mas depende da massa do corpo central.
As leis de Kepler valem também para o movimento de satélites ao redor dos planetas. Nesses casos, o corpo central
é o próprio planeta.
 
Veja mais em:
Kepler's Second Law from the Wolfram Demonstrations Project by Jeff Bryant
Empty Focus Approximation to Kepler's Second Law from the Wolfram Demonstrations Project by S. M. Blinder
Kepler's Third Law from the Wolfram Demonstrations Project by Enrique Zeleny
Orbital Speed and Period of a Satellite from the Wolfram Demonstrations Project by Enrique Zeleny
 
III - Exercícios Resolvidos:
Exemplo 1) Sabendo que o planeta Marte possui dois satélites naturais, denominados: Fobos e Deimos. Tendo que o primeiro
satélite (Fobos) possui um movimento orbital circular com raio médio r de 10.000 km e um período T de 3,0.104 s.
Encontre, o período de movimento de Deimos, cujo raio médio orbital é 24.000 km, utilizando o princípio da terceira lei
de Kepler.
 
Utilizando a terceira lei de Kepler para encontrar a constante k em relação ao satélite Fobos:
 
sendo T o período de translação do satélite e r a distância média do salélite ao redor do planeta.
http://demonstrations.wolfram.com/KeplersSecondLaw/
http://demonstrations.wolfram.com/
http://demonstrations.wolfram.com/EmptyFocusApproximationToKeplersSecondLaw/
http://demonstrations.wolfram.com/
http://demonstrations.wolfram.com/KeplersThirdLaw/
http://demonstrations.wolfram.com/
http://demonstrations.wolfram.com/OrbitalSpeedAndPeriodOfASatellite/
http://demonstrations.wolfram.com/
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Ao utilizar a constante k determinada para o satélite Fobos, em relação ao satélite Deimos, pode-se determinar o período
de revolução do segundo satélite para com o planeta Marte.
 
Exemplo 02) Utilizando os estudos de Kepler, sabe-se que a Terra descreve um movimento elíptico em torno do Sol, cuja
área média é ATerra = 6,98.1022 m2. Considerando a segunda lei de Kepler (igualdade das áreas), qual é a área abrangida
pelo raio médio que liga a Terra ao Sol entre as 0:00 hora do dia 1º de novembro de 2011 até o final das 24 horas do dia
30 de novembro de 2011?
Por meio da segunda lei de Kepler, a área determinada pelo raio da Terra em relação ao Sol no movimento rotacional é
proporcional ao intervalo de tempo. Assim, como um ano terrestre possui 12 meses, para a área varrida de 6,98.1022 m2 em
relação ao mês terrestre (novembro) será:
Exercício 1:
A terceira lei de Kepler relaciona o período de revolução (T) de um corpo celeste com o raio médio da orbita (a) pela
expressão:
Pode-se mostrar, utilizando a lei da Gravitação Universal, que a constante k é dada por:
onde:
G é a constante da Gravitação Universal (G = 6,67 x 10-11 N.m²/kg²);
m1 é a massa do corpo celeste orbitado; e
m2 é a massa do corpo celeste que realiza o movimento orbital.
Considerando a massa do planeta desprezível em relação à massa do Sol e utilizando a terceira Lei de Kepler, o valor de
T4 que preenche a tabela ilustrada a seguir é: 
Planeta
Semi-eixo maior
daelipse
Período da órbita Período da órbita
 a(m) T(s) T(anos)
Terra 1,5×1011 T1 T2
Marte 2,28×1011 T3 T4
 
Dados: Msol = 2×1030 kg; G = 6,67×10-11 N.m2/kg2 e 1 ano = 3,1536×107 s
A)
1,88
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B)
2,22
C)
3,15
D)
0,85
E)
0,28
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 2:
A terceira lei de Kepler relaciona o período de revolução (T) de um corpo celeste com o raio médio da orbita (a) pela
expressão:
Pode-se mostrar, utilizando a lei da Gravitação Universal, que a constante k é dada por:
onde:
G é a constante da Gravitação Universal (G = 6,67 x 10-11 N.m²/kg²);
m1 é a massa do corpo celeste orbitado; e
m2 é a massa do corpo celeste que realiza o movimento orbital.
Os cometas são corpos celestes formados de gelo e poeira. Assim como os planetas, os cometas que tem uma órbita fechada
em torno do Sol, percorrendo órbitas elípticas com o Sol em um de seus focos. Os cometas são visíveis de melhor maneira
quando estão próximos do Sol, adquirindo a cauda característica. O cometa mais famoso é o cometa Halley, sua última
passagem perto do Sol foi em 1985. Sabendo que o cometa Halley tem período de 76 anos, determine o semi-eixo de sua
órbita. Despreze a massa do cometa frente à do Sol. A massa do Sol é Msol=1,9.1030 kg.
A)
5,8.1012 m
B)
0,6.1012 m
C)
21,3.1012 m
D)
7,0.1012 m
E)
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2,6.1012 m
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 3:
Os satélites Iridium são um conjunto de satélites de órbitas próximas da Terra usados em telecomunicações (celular). O
satélite Iridium 49 possui órbita 480 km acima da superfície da Terra. Utilizando a terceira lei de Kepler, que
relaciona o quadrado do período orbital com o semi-eixo maior da órbita pela constante 4π2/[G(M+m)], determine o seu
período orbital. Despreze a massa do satélite frente à massa da Terra.
São dados:
- massa da Terra MT = 5,97.1024 kg
- raio da Terra RT = 6,37.106 m
- constante gravitacional G = 6,67.10-11 m3.kg-1.s-2
A)
2,5 h
B)
6,2 h
C)
1,7 h
D)
0,8 h
E)
3,9 h
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(C)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
Exercício 4:
Dois satélites artificiais de um determinado planeta têm períodos de revolução de 32 dias e 256 dias, respectivamente.
Se o raio da órbita do primeiro satélite é igual a 1 unidade, então o raio da órbita do segundo satélite deverá medir:
A)
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4 unidades
B)
8 unidades
C)
16 unidades
D)
64 unidades
E)
128 unidades
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A) 
Exercício 5:
Considere dois planetas hipotéticos cujas órbitas circulares têm raio r e 16r, em torno de um mesmo "Sol". Sendo T a
duração do ano do planeta mais interno, podemos afirmar corretamente que o ano do mais externo vale:
A)
12T
B)
16T
C)
8T
D)
64T
E)
24T
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(D)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
Exercício 6:
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Estima-se que, em alguns bilhões de anos, o raio médio da órbita da Lua estará 50% maior do que é atualmente. Assim,
seu período, que hoje é de 27,3 dias, seria:
A)
14,1 dias
B)
18,2 dias
C)
27,3 dias
D)
41,0 dias
E)
50,2 dias
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 7:
Um satélite artificial de 80 kg de massa está em órbita circular acima da superfície da Terra. Se o satélite tivesse o
triplo da sua massa, o seu período de revolução em torno da Terra seria:
A)
o triplo do valor atual
B)
1/3 do valor atual
C)
9 vezes o valor atual
D)
1/9 do valor atual
E)
o mesmo valor atual
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
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A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 8:
Suponha que um grupo de pesquisadores descobriu um novo planeta no sistema solar. O raio orbital deste novo planeta é
15x1011 m. Sendo a constante de Kepler, K = 3,2x10-19 s²/m³, pode-se afirmar que o período de revolução do novo planeta,
em anos terrestre (365 dias), é aproximadamente:
Dado: 1 ano terrestre = 365 dias
A)
0,3 anos
B)
1,3 anos
C)
13 anos
D)
23 anos
E)
33 anos
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(E)
Comentários:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Exercício 9:
A terceira lei de Kepler relaciona o período de revolução (T) de um corpo celeste com o raio médio da orbita (a) pela
expressão:
Pode-se mostrar, utilizando a lei da Gravitação Universal, que a constante k é dada por:
onde:
G é a constante da Gravitação Universal (G = 6,67 x 10-11 N.m²/kg²);
m1 é a massa do corpo celeste orbitado; e
m2 é a massa do corpo celeste que realiza o movimento orbital.
Determine o período (em dias) da Lua em torno da Terra sabendo que:
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mlua = 7,35 x 1022 kg
mterra = 5,97 x 1024 kg
a = 3,84 x 108 m
 
A)
27,3 dias
B)
25,7 dias
C)
21 dias
D)
24,6 dias
E)
 29,8 dias
O aluno respondeu e acertou. Alternativa(A)
Comentários:
A)