ENEM Matematica II

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coleção
&
o passo decisivo para sua aprovação
Matemática II
MATEMÁTICA E SUAS 
TECNOLOGIAS 9
9
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Matemática II
Produção editorial: Gold Editora Ltda.
Coordenação editorial: Isabel Moraes
Coordenação pedagógica: Mônica Lungov, Raquel dos Santos Funari
Assistência editorial: Henrique Ostronoff
Texto: Wolney Cândido de Melo (mestre em ensino de Ciências pela 
Universidade de São Paulo, pedagogo e professor no ensino médio e em 
cursos pré-vestibulares, assessor em cursos para formação de docentes, 
com enfoque nas novas tendências do Enem e vestibulares)
Arte: Nuova Comunicação
Iconografia: Cláudio Perez
Ilustrações: Alisson Lima
Revisão: Sandra Miguel
Colaboração: Auro Paranhos, Luciana Sutil
Fotos: Shutterstock (exceto as indicadas na própria página)
ISBN 978-857-768-497-7
Todos os direitos reservados de acordo com a convenção internacional de direitos autorais. 
Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou utilizada seja por que meios forem – 
eletrônicos ou mecânicos, inclusive fotocópias ou gravações, ou por sistemas de armazenagem 
e recuperação de dados – sem o consentimento, por escrito, da editora.
Gold Editora
R. Elvira Ferraz, 250, cj 505 
04552-040 – São Paulo – SP
CNPJ 04.963.593/0001-42
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Matemática II
A Coleção Enem & Vestibulares – o passo decisivo para sua aprovação foi 
desenvolvida especialmente para você que busca conquistar uma boa 
pontuação tanto no Exame Nacional do Ensino Médio, o Enem, como 
em vestibulares tradicionais.
Com conteúdo desenvolvido por professores do ensino médio, com 
ampla experiência em preparação de estudantes para o Enem e para ves-
tibulares, cada um dos 12 volumes da série apresenta linguagem afinada 
com o que tem sido cobrado nos exames atuais, muitos exemplos práti-
cos, fotografias, tabelas, ilustrações e muitas dicas para você.
Este nono volume – Matemática II – reúne de forma simples e didá-
tica temas como trigonometria, área de figuras planas, área e volume 
de sólidos geométricos, estatística e probabilidade, entre outros assuntos 
recorrentes no Enem e nos vestibulares. Além disso, apresenta dezenas 
de exemplos e exercícios resolvidos para que você possa assimilar o con-
teúdo facilmente.
Bom estudo!
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Sumário
1. Conhecimentos geométricos ........................................................................6
Trigonometria .......................................................................................................................................... ..7
1. Trigonometria do triângulo retângulo .................................................................................... 7
2. Relações no ciclo trigonométrico ...........................................................................................11
Características e grandezas das figuras geométricas planas e espaciais ........................ 16
1. Unidades de medida e escalas ................................................................................................ 16
2. Comprimentos ...............................................................................................................................17
3. Áreas ..................................................................................................................................................18
4. Volumes ........................................................................................................................................... 19
Ângulos ..................................................................................................................................................... 24
1. Posições relativas entre duas retas ...................................................................................... 24
2. Posições relativas entre reta e plano .................................................................................. 26
3. Posições relativas entre dois planos ....................................................................................27
Simetrias de figuras planas ou espaciais ......................................................................................28
1. Simetria axial ................................................................................................................................. 29
2. Simetria em relação a um ponto ........................................................................................... 29
Isometria .................................................................................................................................................. 30
1. Translação ........................................................................................................................................31
2. Reflexão ............................................................................................................................................31
3. Rotação ............................................................................................................................................31
Proporcionalidade entre segmentos ..............................................................................................32
1. Teorema de Tales .........................................................................................................................32
Circunferências....................................................................................................................................... 34
1. Ângulos na circunferência ........................................................................................................ 34
2. Potência de um ponto em relação a uma circunferência ........................................... 36
2. Conhecimentos de estatística e probabilidade ......................................42
Representação e análise de dados ................................................................................................. 43
1. Distribuição de frequências .....................................................................................................44
2. Gráficos ........................................................................................................................................... 45
3. Em intervalos reais ..................................................................................................................... 48
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Medidas de tendência central .......................................................................................................... 49
1. Médias .............................................................................................................................................. 49
2. Moda (Mo) ..................................................................................................................................... 50
3. Mediana (Md) .................................................................................................................................51
Desvios e variância ................................................................................................................................53
1. Variância .......................................................................................................................................... 54
2. Desvio padrão ...............................................................................................................................55Noções de probabilidade ....................................................................................................................55
1. Probabilidade .................................................................................................................................55
3. Conhecimentos algébricos/geométricos .................................................58
Plano cartesiano .................................................................................................................................... 59
1. Distância entre dois pontos .....................................................................................................60
2. Condições de alinhamento entre três pontos ................................................................. 62
Retas........................................................................................................................................................... 64
1. Equação geral da reta ................................................................................................................ 66
2. Equação fundamental da reta ............................................................................................... 67
3. Distância entre ponto e reta ................................................................................................... 68
4. Paralelismo e perpendicularismo entre retas .................................................................. 69
Circunferência ..........................................................................................................................................72
1. Equação geral e reduzida da circunferência ......................................................................72
2. Posições relativas entre ponto e circunferência..............................................................73
3. Posições entre reta e circunferência ................................................................................... 74
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Conhecimentos 
geométricos1
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Matemática IIMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
7
Do grego trigono (triangular) e metria (medida), a palavra “trigono-
metria” deve sua origem à resolução de problemas práticos de nave-
gação e Astronomia, principalmente.
A trigonometria do triângulo, que relaciona as medidas dos lados 
com as medidas de seus ângulos, é de grande utilidade para a resolu-
ção de problemas de Geometria e Física, tais como o cálculo da altura 
de prédios e montanhas ou da largura de rios.
1. Trigonometria do triângulo retângulo
Um triângulo é denominado retângulo quando um de seus ângu-
los internos é reto, ou seja, mede 90°.
Observe o triângulo ABC da figura com  = 90° (reto) e seus ângu-
los agudos α e β.
β
a
b
c
α
É importante saber que: 
 y Em relação ao ângulo α, temos:
c é o cateto oposto
b é o cateto adjacente 
 y Em relação ao ângulo β, temos: 
b é o cateto oposto 
c é o cateto adjacente
 y O lado a, oposto ao ângulo reto, é a hipotenusa.
No triângulo retângulo são definidas 
as razões trigonométricas: seno, cosseno e 
tangente de um ângulo agudo β. 
Trigonometria
A
C
B
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1.1. Seno do ângulo β (sen β) 
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida da hipote-
nusa, ou seja: 
sen β = b
a
—
1.2. Cosseno do ângulo β (cos β) 
É a razão entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipo-
tenusa, isto é: 
cos β = c
a
—
1.3. Tangente do ângulo β (tg β) 
É a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto 
adjacente, isto é: 
tg β = b
c
—
A tangente do ângulo β também pode ser definida como a razão 
entre o sen β e o cos β.
tg β = ———
sen β
cos β
Dois ângulos são chamados complementares quando sua soma dá 
90º. No triângulo da página anterior, α e β são complementares. Note 
que, nesse caso, teremos sempre sen α = cos β e sen β = cos α.
Vale a pena lembrar alguns valores notáveis:
30º 45º 60º
sen
1
2
— ∙ 2
2
——
∙ 3
2
——
cos
∙ 3
2
——
∙ 2
2
——
1
2
—
tg
∙ 3
3
—— 1 ∙ 3
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| Enem 2010 |
Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a noroeste de 
São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá 
Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. 
O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, 
França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da 
camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo 
previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 2 maio 2010.
1,8 km 3,7 km
60º 30º
A B
Balão
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km 
da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 
5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, 
conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km d) 3,7 km
b) 1,9 km e) 5,5 km
c) 3,1 km
Chamando de h a altura em que se encontra o balão, temos:
C
h
D 1,8 km 3,7 km
60º 30º
A B
Balão
No triângulo ADC, temos:
tg 60º = —— " ∙ 3 = —— " h = 1,8 ∙ ∙ 3
h
1,8
h
1,8
h ≅ 1,8 ∙ 1,73 " h ≅ 3,11 km
Resposta: alternativa “c”.
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10
| Enem 2009 |
Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular 
de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de 
círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior va-
lor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo 
que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
João
1 km
2 km
1 km
3 km
Pedro
José
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terre-
no que coube a João corresponde, aproximadamente, a 
(considere ∙ 3
3
—— = 0,58) 
a) 50%. d) 33%.
b) 43%. e) 19%.
c) 37%. 
No triângulo assinalado (João), temos:
João
1 km
2 km
1 km
3 km
Pedro
José
30º
x
tg 30º = — ) x = 2 —— = 2 ∙ 0,58 = 1,16
x
2
∙ 3
3
A = ——— = 1,16
1,16 ∙ 2
2
Em porcentagem: —— ≅ 19%
1,16
6
Resposta: alternativa “e”.
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Matemática IIMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
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2. Relações no ciclo trigonométrico
Círculo ou ciclo trigonométrico é um círculo de centro na origem 
do referencial e raio igual à unidade, ao qual se encontra associado 
um referencial xOy.
eixo dos senos
III Q IV Q
eixo das tangentes
II Q I Q
EA x
1
C
D
tg 𝛂
cotg 𝛂
cos 𝛂
sen 𝛂
B
P
o
y
F1
–1
–1
𝛂
eixo das cotangentes
eixo dos 
cossenos
Em que:
 y P é o ponto de intersecção do raio vetor do ângulo com o arco que 
delimita a circunferência trigonométrica.
 y O seno de α é a ordenada do ponto P.
 y O cosseno de α é a abscissa do ponto P.
 y C é o ponto de intersecção do raio vetor do ângulo com o eixo das 
tangentes.
 y A tangente de α é a ordenada do ponto C.
 y D é o ponto de intersecção do raio vetor do ângulo com o eixo das 
cotangentes.
 y A cotangente de α é a abscissa do ponto D.
Sinaisdo seno e do cosseno
seno
2° quadrante 1° quadrante
y
x
+
−
+
−
3° quadrante 4° quadrante
cosseno
2° quadrante 1° quadrante
y
x
+
+
−
−
3° quadrante 4° quadrante
o o
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2.1. Ciclo trigonométrico
11 π
 6
−−
 7 π
 4
−−
 5 π
 3
−−
 3 π
 2
−−
 3 π
 4
−−
 2 π
 3
−−
 π
 2
−−
 4 π
 3
−−
 5 π
 4
−−
 5 π
 6
−− π
6
−−
π
4
−−
π
3
−−
 7 π
 6
−−
 π 0
3
2−−
∙
3
2−−
∙
2
2−−
∙
2
2−−
∙
1
2−−
1
2−−
3
2−−
∙
3
2−−
∙
2
2−−
∙
2
2−−
∙
1
2−−
1
2−−
2.2. Redução ao 1º quadrante
Observando o círculo trigonométrico, podemos estabelecer algu-
mas relações importantes. São elas:
Ângulos complementares: α e 90° – α 
1
–1
–1 0
α
1
α
90º
sen (90º – α) = cos α
cos (90º – α) = sen α
tg (90º – α) = cotg α
cotg (90º – α) = tg α
Ângulos suplementares: α e 180° – α
1
–1
–1 0
– α
1
αα
180º
sen (180º – α) = sen α
cos (180º – α) = cos α
tg (180º – α) = tg α
cotg (180º – α) = cotg α
α
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Ângulos que diferem de 180º: α e 180° + α
1
–1
–1 0 1
α
α
180º + α
sen (180º + α) = sen α
cos (180º + α) = cos α
tg (180º + α) = tg α
cotg (180º + α) = cotg α
Ângulos simétricos: α e − α
1
–1
–1 0 1
α
– α
sen (– α) = – sen α
cos (– α) = cos α
tg (– α) = – tg α
cotg (– α) = – cotg α
Valores de algumas razões trigonométricas
0º 30º (π/6) 45º (π/4) 60º (π/3) 90º (π/2) 180º (π)
sen 0
1
2
— ∙ 2
2
——
∙ 3
2
—— 1 0
cos 1 ∙ 3
2
——
∙ 2
2
——
1
2
— 0 –1
tg 0 ∙ 3
3
—— 1 ∙ 3 não se define 0
cotg não se define ∙ 3 1
∙ 3
3
—— 0 não se define
2.3. Algumas relações importantes da trigonometria
Relação fundamental: 
sen2 α + cos2 α = 1
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Relações de adição: 
sen (x ± y) = sen x ∙ cos y ± sen y ∙ cos x
cos (x ± y) = cos x ∙ cos y ± sen x ∙ sen y
2.4. Funções trigonométricas
Função seno
É uma função f : R " R que associa a cada número real x o seu 
seno. Então: f(x) = sen x. O sinal dessa função é positivo no 1º e 2º 
quadrantes e negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes.
Gráfico da função f(x) = sen x
0 0,5π- 0,5π 1,5π 2ππ
0
1
–1
 
Função cosseno
É uma função f : R " R que associa a cada número real x o seu 
cosseno. Então: f(x) = cos x. O sinal dessa função é positivo no 1º e 4º 
quadrantes e negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes.
Gráfico da função f(x) = cos x
0 0,5π- 0,5π 1,5π 2ππ
0
1
–1
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Função tangente
É uma função f : R " R que associa a cada número real x a sua 
tangente. Então: f(x) = tg x. Sinais da função tangente: valores positi-
vos nos quadrantes ímpares e negativos nos quadrantes pares.
Gráfico da função f(x) = tg x
0 0,5π- 0,5π 1,5π 2ππ
0
1
2
–1
| Enem 2010 |
Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilô-
metros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, 
diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse 
satélite, o valor de r em função de t seja dado por: r (t) = ————————5 865
1+ 0,15 ∙ cos (0,06 t)
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afasta-
mento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no 
apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de:
a) 12 765 km. d) 10 965 km.
b) 12 000 km. e) 5 865 km.
c) 11 730 km.
Maior valor (cos (0,06 t) = –1) " r (t) = —————— = 6 9005 865
1+ 0,15 ∙ (–1)
Menor valor (cos (0,06 t) = 1) " r (t) = —————— = 5 1005 865
1+ 0,15 ∙ (1)
Somando, temos: 6 900 + 5 100 = 12 000 
Resposta: alternativa “b”. 
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Características e grandezas 
das figuras geométricas 
planas e espaciais
1. Unidades de medida e escalas
As unidades mais utilizadas na Matemática para as diversas me-
didas são:
 y massa: grama e quilograma
 y volume: mililitro, litro e metro cúbico
 y comprimento: milímetro, centímetro, metro e quilômetro
 y área: metro quadrado
Quando queremos expressar uma unidade como múltipla de ou-
tra, costumamos utilizar prefixos que indicam a relação entre as 
unidades. Os prefixos mais utilizados são: 
Múltiplos Submúltiplos
prefixo símbolo
relação com 
a unidade
prefixo símbolo
relação com 
a unidade
quilo k
mil vezes a 
unidade
deci d
décima parte da 
unidade
hecto h
cem vezes a 
unidade
centi c
centésima parte 
da unidade
deca da
dez vezes a 
unidade
mili m
milésima parte 
da unidade
Exemplos:
1 km (um quilômetro) = 1 000 metros
1 mm (um milímetro) = 
1
1 000
——— metros
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17
Relação entre as unidades
 y Comprimento: as principais unidades de comprimento utilizadas 
são o metro (m), centímetro (cm), milímetro (mm) e quilômetro 
(km). As relações entre elas são:
mmcmmkm
∙ 1 000
÷1 000
∙ 100
÷100
∙ 10
÷10
1 km = 1 000 m 1 m = 100 cm 1 cm = 10 mm
 y Área: as principais unidades de área utilizadas são o metro qua-
drado (m2), o centímetro quadrado (cm2), o hectare (ha) e o quilô-
metro quadrado (km2). As relações entre elas são:
1 km2 = 1 000 000 m2 1 ha = 10 000 m2 1 m2 = 10 000 cm2 
 y Volume: as principais unidades de volume utilizadas são o metro 
cúbico (m3), o litro (L), o centímetro cúbico (cm3) e o mililitro (mL). 
As relações entre elas são:
1 m3 = 1 000 L 1 L = 1 000 cm3 1 cm3 = 1 mL
2. Comprimentos
Podemos observar que a aresta do cubo abaixo tem uma medida 
linear de 5 cm. Essa medida é seu comprimento.
Utilizamos medidas de comprimento para medir alturas, largu-
ras, profundidades, que são medidas de apenas uma dimensão. 
Comprimentos são medidas unidimensionais.
5 cm
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3. Áreas
Áreas são extensões bidimensionais, pois, como podemos ver no 
cubo abaixo, a face destacada possui altura de 5 cm e base também de 
5 cm. Normalmente é utilizada a nomenclatura superfície.
Como esse cubo tem uma aresta de 5 cm, a área de suas faces será 
igual a 5 cm ∙ 5 cm, que é igual a 25 cm2.
O expoente 2 do cm2 indica tratar-se de uma unidade de medida 
com duas dimensões.
5 cm 25 cm2
Formas de calcular a área das principais figuras planas
Quadrado
A = a ∙ a = a2
a
a
Retângulo
A = a ∙ b
b
a
Paralelogramo
A = b ∙ h
b
h
Triângulo
A = ———b ∙ h
2
h
Triângulo equilátero
A = — ∙ ∙ 3a
2
4
a
a
Trapézio
A = ——— ∙ h
B + b
2
b
h
B
Hexágono regular
A = 6 ∙ área do triângulo equilátero 
aa
a
aa
a
A = 6 ∙ — ∙ ∙ 3a
2
4
A = — ∙ a2 ∙ ∙ 33
2
Círculo
A = π ∙ r2
π ≅ 3,1416 r
P = 2 ∙ π ∙ r
Área de figuras planas
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4. Volumes
O volume (ou capacidade volumétrica) é uma medida do espaço 
ocupado por um corpo. 
O cubo abaixo apresenta três dimensões:altura, largura e profun-
didade, sendo, portanto, tridimensional.
O volume desse cubo é dado pelo produto 5 cm ∙ 5 cm ∙ 5 cm, o 
que resulta em 125 cm3.
O expoente 3 do cm3 nos diz tratar-se de uma unidade de medida 
com três dimensões. 
5 cm
125 cm3
Área e volume de sólidos geométricos
Formas de calcular a área e o volume de sólidos geométricos
Sólido Área lateral Área total Volume
Paralelepípedo retângulo
a
b
c AL = 2 (a ∙ c + b ∙ c) At = 2 (a ∙ b + a ∙ c + b ∙ c) V = a ∙ b ∙ c
Cubo
a
a
a AL = 4 ∙ a2 At = 6 ∙ a2 V = a
3
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20
Formas de calcular a área e o volume de sólidos geométricos
Sólido Área lateral Área total Volume
Prisma reto
AL = Pb ∙ h
Pb = perímetro da base
At = Pb∙ h + 2Ab
 
Ab = área da base
V = Ab ∙ h
Prisma oblíquo
h AL = soma das áreas das 
faces laterais
At = AL + 2Ab
V = Ab ∙ h
Cilindro de evolução
h
r
AL = Pb ∙ h
= 2 ∙ π ∙ r ∙ h
At = Pb ∙ h + 2Ab
= 2 ∙ π ∙ r ∙ h + 2 ∙ π ∙ r2
V = Ab ∙ h
= π ∙ r2 ∙ h
Esfera
r o — At = 4 ∙ π ∙ r
2 V = — ∙ π ∙ r34
3
Pirâmide regular
h Ap
AL = ——— 
Pb ∙ Ap
2
AP = apótema da pirâmide
AL = ——— + Ab
Pb ∙ Ap
2
V = — ∙ Ab ∙ h
1
3
(A fórmula do volume 
 é válida para pirâmides 
não regulares)
Cone de revolução
h
r
g
AL = π ∙ r ∙ g
g = geratriz
(g2 = r2 + h2)
At = π ∙ r ∙ g + π ∙ r2
V = — ∙ Ab ∙ h
1
3
 = ————— π ∙ r
2 ∙ h
3 
h
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Matemática IIMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
21
| Enem 2009 – questão modelo |
Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o conceito de volume de sólidos, 
um professor fez o seguinte experimento: pegou uma caixa de polietileno, na forma 
de um cubo com 1 metro de lado, e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, 
colocou, dentro da caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso.
Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do nível da água 
passou a ser 80 cm, qual era o volume do sólido?
a) 0,2 m3
b) 0,48 m3
c) 4,8 m3
d) 20 m3
e) 48 m3
Volume da água: V1 = 600 L = 0,6 m3
 Ao colocar o sólido, o volume passa a ser: V = a ∙ b ∙ c " V2 = 1 m ∙ 1 m ∙ 0,8 m 
" V2 = 0,8 m
3.
A diferença entre V2 e V1 corresponde ao volume do sólido submerso:
∆V = V2 – V1 " ∆V = 0,8 – 0,6 " ∆V = 0,2 m3.
Resposta: alternativa “a”.
| Enem 2009 – questão modelo |
Uma elipse é uma seção plana de um cilindro circular reto, em que 
o plano que intersecta o cilindro é oblíquo ao eixo do cilindro (Figura 1). 
É possível construir um sólido de nome elipsoide que, quando seccionado 
por três planos perpendiculares entre si, mostram elipses de diferentes 
semieixos a, b e c, como na Figura 2. O volume de um elipsoide de semieixos a, 
b e c é dado por V = — π ∙ a ∙ b ∙ c4
3
 .
Figura 1
elipse
Figura 2 bb a
c
Considere que um agricultor produz melancias, cujo formato é aproximadamente 
um elipsoide, e ele deseja embalar e exportar suas melancias em caixas na forma de 
um paralelepípedo retângulo. Para melhor acondicioná-las, o agricultor preencherá 
o espaço vazio da caixa com material amortecedor de impactos (palha de arroz/
serragem/bolinhas de isopor).
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22
Suponha que sejam a, b e c, em cm, as medidas dos semieixos do elipsoide 
que modela as melancias, e que sejam 2a, 2b e 2c, respectivamente, as medidas 
das arestas da caixa. Nessas condições, qual é o volume de material amortecedor 
necessário em cada caixa?
a) V = 8abc cm3
b) V = — πabc cm34
3
c) V = abc e8 + —o cm34π
3
d) V = abc e8 – —o cm34π
3
e) V = abc e— – 8 o cm34π
3
Volume da melancia: V = — π ∙ a ∙ b ∙ c
4
3
Volume da caixa: V2 = 2a ∙ 2b ∙ 2c " V2 = 8 ∙ a ∙ b ∙ c
Ao colocar a melancia na caixa, o volume vazio que deve ser preenchido com 
material amortecedor é dado pela diferença entre V2 e V1. Assim:
∆V = V2 – V1" ∆V = 8 ∙ a ∙ b ∙ c – — ∙ π ∙ a ∙ b ∙ c
4
3
 " ∆V = a ∙ b ∙ c ∙ c8 – — ∙ π 4
3
m
Resposta: alternativa “d”.
| Enem 2009 – prova cancelada |
Em uma padaria, há dois tipos de fôrma de bolo, fôrmas 1 e 2, como mostra 
a figura abaixo.
1 2
A2A1
β
Sejam L o lado da base da fôrma quadrada, r o raio da base da fôrma redonda, A1 
e A2 as áreas das bases das fôrmas 1 e 2, e V1 e V2 os seus volumes, respectivamente. 
Se as fôrmas têm a mesma altura h, para que elas comportem a mesma quantidade 
de massa de bolo, qual é a relação entre r e L?
a) L = r
b) L = 2 ∙ r
c) L = π ∙ r
d) L = ∙π ∙ r
e) L = π ∙ r2/2
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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
23
Volume da fôrma de base quadrada: V1 = L ∙ L ∙ h " V1 = L
2 ∙ h
Volume da fôrma de base redonda: V2 = π ∙ r
2 ∙ h
Para que comportem a mesma quantidade de massa de bolo, os volumes de-
vem ser iguais. Assim:
V1 = V2 " L2 ∙ h = π ∙ r2 ∙ h " L2 = π ∙ r2 " L = ∙π ∙ r
Resposta: alternativa “d”.
| Enem 2010 |
Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita 
saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura.
h g = 5m
luminária
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m2, con-
siderando π ≈ 3,14, a altura h será igual a 
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 9 m.
e) 16 m.
A área iluminada é dada por: A = π ∙ r2 " 28,26 = 3,14 ∙ r2 " r2 = 9 " r = 3 m
Da figura temos: 
h 5m
3m
luminária
Assim:
52 = h2 + 32 " h = 4 m
Resposta: alternativa “b”.
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24
Ângulos
1. Posições relativas entre duas retas
Duas retas distintas podem assumir as seguintes posições relati-
vas no espaço: 
1.1. Retas paralelas
Duas retas são paralelas se pertencerem ao mesmo plano (ou seja, 
se forem coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto 
em comum.
r
s
1.2. Retas coincidentes
São retas que pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pon-
tos em comum.
r ≡ s
1.3. Retas concorrentes
Duas retas concorrentes possuem apenas um ponto comum, não 
sendo necessário que pertençam ao mesmo plano.
r
s
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25
1.4. Retas concorrentes perpendiculares
São retas que possuem ponto em comum, formando um ângulo 
de 90º. 
1.5. Retas reversas
São retas que não possuem ponto de intersecção e estão contidas 
em planos distintos.
r
s
Resumindo
R1 e R2 são retas paralelas
R3 e R2 são retas concorrentes
R1 R3 R2
R1 e R2 são retas reversas
R2
R1
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26
2. Posições relativas entre reta e plano 
Uma reta e um plano podem assumir as seguintes posições rela-
tivas entre si: 
2.1. Reta paralela ao plano
Considerando uma reta r e um plano α, eles serão paralelos se não 
tiverem nenhum ponto em comum.
r
α
2.2. Reta contida no plano
Considerando uma reta s e um plano α, a reta estará contida no 
plano se todos os infinitos pontos de s pertencerem a α.
2.3. Retas e planos secantes (ou concorrentes) 
A reta t será concorrente ao plano α se ambos possuírem um 
ponto em comum. 
t
α
t
α
s
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27
3. Posições relativasentre dois planos 
Dois planos podem assumir no espaço as seguintes posições re-
lativas entre si: 
3.1. Planos paralelos
Dois planos são considerados paralelos quando não possuem pon-
tos em comum ou quando uma reta r pertencente ao plano α é paralela 
a uma reta s pertencente ao plano β.
α
β
s
r
3.2. Planos secantes (ou concorrentes)
Dois planos são secantes quando são distintos e a intersecção en-
tre eles forma uma reta (AB
)
).
A
B
3.3. Planos coincidentes
Dois planos são chamados coincidentes quando todos os pontos 
de um pertencem também ao outro. Eles equivalem a um único plano.
α
β
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28
Simetrias de figuras 
planas ou espaciais
Um conceito que aparece com frequência nas provas do Enem é 
o de simetria.
Geometricamente, simetria corresponde à semelhança exata de 
determinada forma em torno de um plano, ponto ou linha reta, cha-
mada eixo de simetria. 
Por exemplo: se girarmos uma figura em torno de determinado eixo 
e uma metade se sobrepuser à outra, ponto a ponto, diremos que ela é 
simétrica. Duas imagens simétricas têm comprimentos e ângulos de 
mesmas medidas, mas nem sempre a direção e o sentido de suas par-
tes são mantidos. 
Nas artes e na natureza, as simetrias são encontradas facilmen-
te. As asas de uma borboleta são um exemplo simples. Veja outros 
exemplos abaixo:
Em cada figura acima está traçado um eixo de simetria, dividindo 
a figura em partes semelhantes. 
O eixo de simetria pode estar não apenas na vertical, como tam-
bém na horizontal ou inclinado. 
Veja a seguir alguns tipos de simetria.
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29
1. Simetria axial 
É aquela na qual os pontos ou objetos têm suas imagens espelhadas 
a partir de determinada reta, ou eixo de simetria. Este eixo é a 
mediatriz que une os pontos correspondentes. 
2. Simetria em relação a um ponto
Duas figuras são simétricas em relação a um ponto P, denominado 
centro da simetria, quando cada um dos pontos de uma coincide com 
os da outra, em relação a esse ponto P.
X
•
Y
X
Y Z
P
Z
Quando o ponto P não é equidistante dos pontos correspondentes, 
não é uma situação de simetria. Porém, trata-se de um caso muito 
importante da geometria com diversas aplicações cotidianas, 
chamado homotetia.
Duas figuras são homotéticas quando são semelhantes e os lados 
correspondentes são paralelos dois a dois. Essa situação é bastante 
utilizada quando queremos efetuar aumentos ou reduções de figuras.
 
P
R
Q
C
A B
Os triângulos ABC e PQR 
são homotéticos.
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30
P
R
Q
C
B A
Os triângulos ABC e PQR não 
são homotéticos, apesar de 
serem semelhantes.
O centro de homotetia é determinado pelo encontro das retas 
que passam pelos vértices homólogos.
O
A
A'
B'
B
C'
C
D
D'
centro de 
homotetia
A ampliação e/ou redução é feita por meio do aumento ou da di-
minuição da distância em relação ao ponto de homotetia. Na figura 
abaixo, a imagem original ABCDE foi ampliada em A’B’C’D’E’ e redu-
zida em A’’B’’C’’D’’E’’.
F
B
A
A''
B''
C''
D''E''
C
D
E
A'
B'
C'
D'
E'
Isometria 
Denomina-se isometria a transformação de uma figura geomé-
trica em outra igual, mantendo as distâncias entre os pontos e a 
amplitude dos ângulos. Os segmentos da figura transformada são 
geometricamente iguais aos da figura original, mas podem variar em 
direção e sentido.
As isometrias simples podem ser rotações, translações e reflexões. 
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Matemática IIMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
31
1. Translação 
Consiste em mover um objeto ou figura sem que ocorra rotação 
ou reflexão. O deslocamento de todos os pontos desse objeto ou fi-
gura tem a mesma medida e ocorre na mesma direção e no mesmo 
sentido, de forma paralela ao objeto ou figura.
2. Reflexão 
É semelhante a reproduzir a imagem de um objeto no espelho. 
A distância de um ponto qualquer ao espelho é igual à distância da 
imagem desse mesmo ponto ao espelho. Além disso, a orientação 
da imagem refletida no espelho não é a mesma do objeto. (Na foto 
abaixo, o eixo de simetria está indicado por uma linha horizontal.) 
3. Rotação 
Esse tipo de simetria possui um ponto central, em relação ao qual 
todos os pontos do plano giram. 
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32
| Enem 2011 |
 
Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br. 
Acesso em: 28 abr. 2010.
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de 
seu centro, de
a) 45°. d) 120°.
b) 60°. e) 180°.
c) 90º.
Primeiramente, é necessário esquematizar os ângulos presentes entre cada 
ponto simétrico do polígono.
Observe que os três ângulos x indicados são congruentes. Logo, cada um de-
les mede 120º. 
Resposta: alternativa “d”.
Proporcionalidade 
entre segmentos
1. Teorema de Tales
O filósofo grego Tales de Mileto (640-550 a.C.) utilizou conceitos de 
proporcionalidade entre medidas para determinar a altura de pirâmi-
des. Para tanto, utilizou as medidas das sombras projetadas no chão 
por uma estaca vertical de tamanho conhecido e pela própria pirâmide.
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Matemática IIMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
33
Ele verificou que a razão entre as alturas da pirâmide e da estaca 
era igual à razão entre as medidas das sombras da pirâmide e da es-
taca, respectivamente.
O Teorema de Tales pode ser enunciado da seguinte forma: 
“Um feixe de retas paralelas cortadas ou intersectadas por seg-
mentos transversais formam segmentos de reta proporcionalmente 
correspondentes”.
Representando graficamente o teorema, temos:
B
C
A a
b
c
r s
B'
C'
A'
altura da pirâmide 
altura da estaca
sombra da pirâmide
sombra da estaca
=
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34
No esquema anterior, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e 
s são transversais a elas. Conforme o Teorema de Tales, é possível 
descrever as seguintes proporcionalidades:
AB
BC
A'B'
B'C'
—— = —— ou 
AB
AC
A'B'
A'C'
—— = ——
Essa relação utiliza os conceitos de razão e proporção: o segmento 
AB está para o segmento BC assim como o segmento A’B’ está para o 
segmento B’C’. O cálculo dessa proporção é realizado por meio de uma 
simples multiplicação cruzada, ou de acordo com a propriedade das 
proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
1. Ângulos na circunferência 
1.1. Ângulo central 
Possui o vértice no centro da circunferência. Na figura abaixo, AB 
é o arco que corresponde ao ângulo central AÔB. 
A medida do ângulo AÔB é igual à medida do arco AB.
O
A
B
α = ABα
1.2. Ângulo inscrito 
Seu vértice situa-se na circunferência e tem os lados secantes a 
ela. A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco 
estabelecido por ele na circunferência. 
Circunferências
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35
αP
A
B
α = —— AB
2
1.3. Ângulo de segmento
Seu vértice pertence à circunferência, sendo um dos lados secan-
te e o outro tangente a ela.O ângulo de segmento tem medida igual 
à metade do arco que ele estabelece na circunferência.
A
B
α = —— AB
2
α
Na figura acima, α é considerado um ângulo de segmento, estabe-
lecendo na circunferência o arco AB.
1.4. Ângulo excêntrico interior
Seu vértice é um ponto interno à circunferência, não sendo coin-
cidente com o centro dela.
O ângulo APB da figura abaixo é excêntrico interior, estabelecendo 
na circunferência o arco AB. 
As retas PA
)
 e 
)
PB interceptam a circunferência nos pontos C e D, 
estabelecendo o arco CD. A medida do ângulo APB é a média aritmé-
tica das medidas dos arcos AB e CD.
α = ————AB + CD
2
P
A D
B
C
α
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36
1.5. Ângulo excêntrico exterior 
Seu vértice situa-se em um ponto da região exterior da circunfe-
rência e que tem os lados secantes ou tangentes à circunferência. 
A
B
C
P
D
α = ———— AB – CD
2
α
O ângulo APB é excêntrico exterior e determina na circunferência 
os arcos AB e CD. A medida do ângulo APB é a metade da diferença 
entre os arcos AB e CD.
2. Potência de um ponto em relação 
a uma circunferência 
Considerando um ponto P e uma circunferência, dizemos que 
uma reta r passa por P e intercepta a circunferência nos pontos A e B. 
A
B
r
P
Potência = PA · PB
Definimos como potência do ponto P em relação à circunferência 
o produto das medidas dos segmentos PA e PB. 
 y Se P é um ponto da circunferência:
PB = 0 ou PA = 0
portanto, a potência é NULA.
 y Se r é tangente à circunferência e P não pertence à circunferência:
A = B = T
a potência em relação à circunferência é PA · PB = PT · PT = (PT)2
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37
Podemos resumir os diferentes casos nos seguintes esquemas:
A
B
r
P
Potência = PA · PB
A
B
r
P
Potência = PA · PB
P
T
r
Potência = (PT)2
Quando temos duas retas concorrentes, as potências de ambas 
em relação ao ponto de intersecção são iguais. Assim:
A
C
B
D
P
PA · PB = PC · PD
A
C
B
D
P
PA · PB = PC · PD
A
C
B
T
P
(PT)2 = PA · PB
A
B
P
PA = PB
Para o caso de várias retas concorrentes, temos: 
B3
T
A1 B1
A2
B2
A3
(PT)2 = PA1 · PB1 = PA2 · PB2 = PA3 · PB3
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38
| Vestibular IFSP |
Na figura, a reta t é tangente, no ponto P, ao círculo de centro O. A medida do arco 
=
AB é 100º e a do arco 
=
BCP é 194º. O valor de x, em graus, é:
x
tP
O C
A
B
a) 53 b) 57 c) 61 d) 64 e) 66 
 
Como x é excêntrico exterior, segue que x = ———— 
=
BCP – 
=
AP
2
Mas 
=
AP = 360º – (
=
AB + 
=
BCP).
Portanto:
x = ——————————— = —— = 64º194º – 360º + 100º + 194º
2
128º
2
Resposta: alternativa “d”.
| Vestibular Unesp | 
Considere 3 retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, confor-
me a figura.
r
4 3
5x
10 y
s
t
Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente:
a) —3
20
 e —3
40
 b) 6 e 11 c) 9 e 13 d) 11 e 6 e) —20
3
 e —
40
3
 
A partir dos dados da figura, podemos escrever:
—4
x
 = —3
5
 " 3 · x = 20 " x = —20
3
 
—x
y
 = —5
10
 " 5 · y = x · 10 " 5 · y = —20
3
 · 10 " y = —40
3
Resposta: alternativa “e”.
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39
| Vestibular UFF |
O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:
RP QRua PQ
Ru
a T
P Ru
a S
Q
Av. QR
Rua TS = 3 km
Rua SQ = 3 km
Rua PQ = 2 km
Av. QR = 4 km
Av. S
R
Rua
 TS
S
T
As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circui-
to passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S.
Assinale a opção que indica o perímetro do circuito. 
a) 4,5 km b) 19,5 km c) 20,0 km d) 22,5 km e) 24,0 km
A partir dos dados da figura, podemos esquematizar:
RP Q2
y
3
4
x
3
S
T
Assim, como as ruas TP e SQ são paralelas, temos:
—4
2
 = —
x
3
 " 2 · x = 12 " x = 6 km
Considerando a semelhança de triângulos QSR e PTR, temos a seguinte 
proporção:
——QR
PR
 = ——SQ
TP
 " ——4
4 + 2
 = —3
y
 " 4 · y = 3 · 6 " 4 · y = 18 " y = 4,5 km
Portanto, o perímetro do circuito é P = (4 + 2 + 4,5 + 3 + 6) " P = 19,5 km
 
Resposta: alternativa “b”. 
| Enem 2010 | 
Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 
4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente 
por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura.
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 
3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual a 
a) R$ 230,40. d) R$ 54,56.
b) R$ 124,00. e) R$ 49,60.
c) R$104,16. 
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40
Área = área do círculo maior – área do círculo menor.
Área = (r2maior ∙ π) – ( r2menor ∙ π)
Área = (r2 maior – r2 menor) ∙ π
Área = (1,22 – 12 ) ∙ 3,1 " Área = 1,364 m2
Volume = área da base ∙ altura
V = 1,364 ∙ 4 " V = 5,456 m3
Sabendo-se que cada metro cúbico custa R$ 10,00, o preço da manilha será:
Preço = 5,456 ∙ 10 " Preço = R$ 54,56
Resposta: alternativa “d”.
 
| Enem 2010 | 
Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantida-
de, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimen-
sões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada 
de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente 
as suas faces laterais, conforme mostra a figura.
O raio da perfuração da peça é igual a 
a) 1 cm. b) 2 cm. c) 3 cm. d) 4 cm. e) 5 cm. 
 
6 cm 8 cm
10 cm
Observando a peça de cima, temos:
A
P
N
M
10
B
r
r
r
r
r
8 – r
6 – r
o
C
O quadrado APON tem lado r. 
Da figura, temos que BM = 6 – r e MC = 8 – r . 
Então, BC = 6 – r + 8 – r " BC = 14 – 2 r.
Como BC = 10 " 14 – 2r = 10" r = 2
Resposta: alternativa “b”.
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Matemática IIMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
41
| Enem 2004 |
Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado 
“Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade 
skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A 
denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de 
seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a 
a) uma volta completa. 
b) uma volta e meia. 
c) duas voltas completas. 
d) duas voltas e meia. 
e) cinco voltas completas. 
Uma volta completa corresponde a uma circunferência, ou seja, 360º.
Então, a manobra do skatista corresponde a ———900º
360º
 = 2,5 voltas.
Resposta: alternativa “d”.
| Vestibular UTFPR |
O jardineiro do Sr. Artur fez um canteiro triangular composto por folhagens e 
flores onde as divisões são todas paralelas à base AB do triângulo ABC, conforme 
figura.
A
B
y x35 cm
25 cm
20 cm
40 cm
C
Sendo assim, as medidas x e y dos canteiros de flores são, respectivamente: 
a) 30 cm e 50 cm.
b) 28 cm e 56 cm.
c) 50 cm e 30 cm.
d) 56 cm e 28 cm.
e) 40 cm e 20 cm.
A partir dos dados da figura, podemos escrever:
—35
y
= —25
40
 " 25 ∙ y = 35 ∙ 40 " 25y = 1 400 " y = 56 cm
—x
35
= —20
25
 " 25 ∙ x = 35 ∙ 20 " 25x = 700 " x = 28 cm
Resposta: alternativa “b”.
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42
Conhecimentos de 
estatística e probabilidade2
xxxxxxxxxxxxx
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Matemática IIMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
43
A Estatística é uma ciência da indução lógica que estuda os da-
dos e utiliza teorias probabilísticas para explicar eventos e experi-
mentos. Por meio dela, é possível organizar e analisar dados para 
explicar o passado e o presente e, de alguma forma, obter previsões 
do futuro. 
Pesquisas, como as de opinião e de mercado, exigem a escolha 
de um universo estatístico, ou população estatística, formado por 
um conjunto de elementos que possam oferecer todas as informa-
ções necessárias relativas ao tema ou assunto que se pretende co-
nhecer e analisar. 
No entanto, quando o universo estatístico é muito amplo, isto é, 
quando não é possível coletar dados de todos os elementos desse 
conjunto, seleciona-se um subconjunto ou amostra.
Para que o estudo seja imparcial, essa amostra deve ser repre-
sentativa do universo estatístico e para isso é necessário estabelecer 
alguns critérios. 
Na análise estatística de determinada amostra, também são im-
portantes os conceitos de amplitude de uma amostra, que é a dife-
rença entre o maior e o menor valor, e rol, uma sequência de dados 
numéricos, organizados em ordem crescente ou decrescente.
Exemplo:
Em uma federação de futebol com 1 800 atletas, foi realizada uma pes-
quisa sobre a estatura dos jogadores. Como não era possível em um pe-
queno espaço de tempo realizar a pesquisa com todos, escolheram um 
grupo de 18 jogadores que pudesse ser representativo do conjunto de 
atletas da federação. A amostra apresenta as seguintes estaturas:
Representação e análise 
de dados
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44
156 cm 168 cm 208 cm 198 cm 163 cm 175 cm
189 cm 166 cm 189 cm 200 cm 188 cm 178 cm
191 cm 186 cm 180 cm 170 cm 183 cm 195 cm
 y Qual o universo estatístico?
Resolução: A federação de futebol. 
 y Qual a amostra?
Resolução: O grupo de 18 atletas.
 y Escreva o rol das alturas dos atletas:
Resolução: 156, 163, 166, 168, 170, 175, 178, 180, 183, 186, 188, 189, 189, 
191, 195, 198, 200, 208.
Ou, em ordem decrescente:
208, 200, 198, 195, 191, 189, 189, 188, 186, 183, 180, 178, 175, 170, 168, 166, 
163, 156.
1. Distribuição de frequências
Tabelas e gráficos são ferramentas que facilitam a análise de 
dados numéricos de determinada amostra. Dessa forma, os dados 
podem ser organizados em classes, que são subconjuntos com ca-
racterísticas determinadas. Entre elas, temos a unitária e o inter-
valo real. 
Intervalo real é uma classe representada por intervalos de nú-
meros reais. Exemplo: Uma amostra das alturas de jogadores de 
futebol de uma federação, em centímetros: 1,7; 1,75; 1,78; 1,90; ... 
Classe unitária é representada por uma mesma espécie. Exem-
plo: amostra das idades dos jogadores de futebol de uma federação, 
em anos: 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17.
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45
1.1. Tabela de distribuição de frequências
Exemplo:
Em uma federação de futebol, selecionou-se uma amostra de 100 atletas 
que participaram de um teste para se conhecer o nível das habilidades 
dos esportistas inscritos na entidade. As notas das avaliações, que po-
diam chegar até o valor 1 000, foram organizadas em uma tabela. 
Observe na tabela abaixo que a amostra foi organizada em classes deter-
minadas pelas notas dos atletas.
Considere as seguintes definições:
 y Frequência (F) é a quantidade de notas de uma mesma classe.
 y Frequência total (Ft) dessa amostra é o somatório das frequências de 
todas as classes.
 y Frequência relativa (Fr) é a razão entre a frequência de uma classe e a 
frequência total, isto é: Fr = ——
F
Ft
Tabela de distribuição de frequências
Classe
(notas)
Frequência
(número de atletas) Frequência relativa
750 15 ——15
100
 = 0,15 = 15%
820 26 ——26
100
 = 0,26 = 26%
870 32 ——32
100
 = 0,32 = 32% 
900 18 ——18
100
 = 0,18 = 18% 
950 9 ——9
100
 = 0,09 = 9%
Ft = 100
2. Gráficos
As informações da tabela podem ser representadas por tipos va-
riados de gráfico.
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2.1. Gráfico de linha
Os pontos são determinados por pares ordenados (classe, frequên-
cia), representados por segmentos de retas. 
Representando os dados da tabela de frequência, temos:
35
30
25
20
15
10
5
0
0 200
N
úm
er
o 
de
 a
tle
ta
s
Notas400 600 800 1 000
Desempenho dos atletas
2.2. Gráfico de colunas
Os pontos são determinados por pares ordenados (classe, frequên-
cia), representados por colunas verticais.
Representando os dados da tabela de frequência, temos:
35
30
25
20
15
10
5
0
750
N
úm
er
o 
de
 a
tle
ta
s
Notas820 900870 950
Desempenho dos atletas
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47
2.3. Gráfico de barras
Os pontos são determinados pelos pares ordenados (frequência, 
classe), representados por barras horizontais.
Representando os dados da tabela de frequência, temos:
35302520151050
750
Número de 
atletas
N
ot
as
820
900
870
950
Desempenho dos atletas
2.4. Gráfico de setores
Dividimos o ciclo em setores, cujos ângulos terão medidas direta-
mente proporcionais às frequências relativas.
Representando os dados da tabela de frequência, temos:
Desempenho dos atletas
750
820
870
900
95032
26
15
18
9
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3. Em intervalos reais
3.1. Tabelas
Exemplo:
Em uma festa com 20 jovens, entre meninos e meninas, verificou-se que 
apresentavam as seguintes alturas em centímetros: 
156 cm 168 cm 200 cm 198 cm 163 cm
150 cm 166 cm 189 cm 200 cm 179 cm
191 cm 186 cm 180 cm 170 cm 183 cm
175 cm 178 cm 195 cm 177 cm 184 cm
Para apresentar em uma tabela de distribuição de frequência as alturas 
dos jovens representadas por intervalos, é preciso seguir alguns passos: 
 y Calcular a amplitude da amostra, ou seja, a diferença entre o maior e 
o menor valor. Então: (200 – 150) cm = 50 cm.
 y O menor e o maior valores da amostra determinam o intervalo fecha-
do [150, 200], que é dividido em subintervalos de comprimento igual, 
no valor de 10 cm: [150, 160[, [160, 170[, [170, 180[, [180, 190[, [190,200], 
que são as classes e cujo comprimento é a amplitude, isto é, 50 cm.
Considere as seguintes definições quanto à amostra:
 y Frequência (F) é o total de elementos pertencentes a uma classe.
 y Frequência total (Ft) é o somatório das frequências de todas as classes.
 y Frequência relativa (Fr) é a razão entre a frequência de uma classe e a 
frequência total, isto é: Fr = ——
F
Ft
.
Classe
(altura em centímetros)
Frequência
(número de jovens) Frequência relativa
[150, 160[ 2 ——2
20
 = 0,10 = 10%
[160, 170[ 3 ——
3
20
 = 0,15 = 15%
[170, 180[ 6 ——
6
20
 = 0,30 = 30% 
[180, 190[ 4 ——
4
20
 = 0,20 = 20% 
[190, 200] 5 ——
5
20
 = 0,25 = 25%
Ft = 20
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49
Também chamadas medidas de posição, destacam todos os valo-
res de uma amostraem um único valor. Isto é, concentram a maioria 
dos dados em torno de um valor central. Existem três tipos de medi-
da central em amostras:
1. Médias
1.1. Média aritmética simples (
_
x ou Ma)
Aplicável a dois ou mais números, é o resultado da divisão da soma 
dos números da amostra pela quantidade de números somados.
Exemplo:
Um time de futebol de certa cidade do interior realizou, no mês de janei-
ro, 5 jogos do campeonato, ganhando 4 e perdendo 1. Os resultados dos 
jogos são os seguintes: 3 x 2; 5 x 2; 2 x 4; 3 x 0; e 5 x 2.
 y Qual a média de gols marcados por esse time nesse mês?
Resolução: = Ma = —————————3 + 5 + 2 + 3 + 5
5
 = —18
5
 = 3,6
Ou seja, em média o time fez 3,6 gols por partida.
 y Qual a média de gols das partidas de que esse time participou no re-
ferido mês?
Resolução: A média é igual à soma de todos os gols contra ou a favor, 
nas 5 partidas, divididos pelo número de partidas. Então: 
 = Ma = —————————
5 + 7 + 6 + 3 + 7
5
 = —28
5
 = 5,6
Ou seja, média de 5,6 gols por partida.
Medidas de 
tendência central
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1.2. Média aritmética ponderada (
_
p )
De n números, é a soma dos produtos de cada valor multiplicado 
por seus respectivos pesos e dividido pela soma dos pesos.
Exemplos:
No final do ano Bruno obteve as seguintes notas bimestrais em Matemá-
tica: 6, 5, 7 e 9.
 y Cálculo da média aritmética simples das notas. 
Resolução: = ———————
6 + 5 + 7 + 9
4
 = —27
4
— = 6,75
Ou seja, a média aritmética simples anual é 6,75.
 y Cálculo da média aritmética ponderada, sabendo-se que o 1º bimestre 
tem peso 2; o 2º, peso 2; o 3º, peso 3; e o 4º, peso 3.
Resolução: Basta multiplicar a nota de cada bimestre pelo respectivo 
peso e dividir pela soma dos pesos. Então:
 = ———————————————
6 · 2 + 5 · 2 + 7 · 3 + 9 · 3
2 + 2 + 3 + 3
 = —————————
12 + 10 + 21 + 27
10
 = —70
10
 = 7
Ou seja, a média aritmética ponderada anual é 7.
2. Moda (Mo)
Valor de maior frequência em uma amostra.
Exemplos:
 y Em uma empresa trabalham seis funcionários, que recebem os se-
guintes salários: R$ 800,00, R$ 820,00, R$ 850,00, R$ 800,00, R$ 860,00 
e R$ 800,00. 
Resolução: Como a maior frequência da amostra é o valor R$ 800,00, 
logo Mo = R$ 800,00.
 y As alturas dos jogadores de um time de vôlei são: 200 cm, 210 cm, 208 
cm, 200 cm, 210 cm e 207 cm. 
Resolução: Aqui existem duas maiores frequências: 200 cm e 210 cm. 
Logo, a amostra é bimodal, Mo1 = 200 cm e Mo2 = 210 cm.
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3. Mediana (Md) 
Valor em rol localizado no centro da distribuição dos dados. 
A mediana de um rol de dados com número ímpar de elementos 
é o elemento médio. No caso de um rol de dados com número par de 
elementos, a mediana é a semissoma dos dois elementos médios ou 
a média aritmética entre os termos centrais.
Exemplos:
 y Em uma empresa trabalham cinco funcionários com os seguintes sa-
lários: R$ 800,00, R$ 820,00, R$ 850,00, R$ 800,00 e R$ 860,00. Determine 
a mediana da amostra dos salários.
Resolução: Os valores devem ser organizados em ordem crescente: R$ 
800,00, R$ 800,00, R$ 820,00, R$ 850,00 e R$ 860,00. Como o número de 
salários é ímpar, ou seja, 5, a mediana é o termo central R$ 820,00, isto 
é, Md = R$ 820,00.
 y Se na empresa trabalham seis funcionários com os salários: R$ 800,00, 
R$ 820,00, R$ 850,00, R$ 800,00, R$ 860,00 e R$ 800,00, como determinar 
a mediana da amostra dos salários?
Resolução: Os valores devem ser organizados em ordem crescente: R$ 
800,00, R$ 800,00, R$ 800,00, R$ 820,00, R$ 850,00 e R$ 860,00. Como o 
número de salários apresentados é par, ou seja, 6, a mediana é deter-
minada pela média entre os termos centrais (R$ 800,00 e R$ 820,00). 
Assim: Md = —————————————
R$ 800,00 + R$ 820,00
2
 = ———————
R$ 1 620,00
2
 = R$ 810,00
Exercício 1
A tabela a seguir mostra a distribuição de frequência das notas em Matemática 
obtidas por 25 alunos.
Classe
(notas)
Frequência
(número de alunos)
6 3
7 5
8 7
9 6
10 4
Ft = 25
 y A partir desses dados, calcule a média aritmética dessa classe.
Calculando a média aritmética ponderada, temos:
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52
 = ——————————————————6 · 3 + 7 · 5 + 8 · 7 + 9 · 6 + 10 · 4
25
 = —————————————18 + 35 + 56 + 54 + 40
25
 = ——203
25
 = 8,12
 y Determine a moda da amostra.
A nota que tem maior frequência é 8. Logo: Mo = 8.
 y Determine a mediana da amostra.
 Como há 25 elementos, ou seja, em número ímpar, a mediana é o elemento 
que ocupa a 13ª posição e esse elemento é a nota 8. (6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 
8, 8, 8, 8,...,10). Logo: Md = 8.
Exercício 2
A tabela de distribuição de frequência dos comprimentos, em centímetros, de 50 
barras de alumínio de uma siderúrgica mostra o seguinte:
Classe
(comprimento em centímetros)
Frequência
(número de barras)
[3, 9[ 5
[8, 14[ 12
[13, 19[ 18
[18, 24[ 10
[23, 29] 5
Ft = 50
 y Calcule a média aritmética dessa classe.
 Quando as classes são formadas por intervalos reais, é necessário, antes de 
tudo, encontrar o ponto médio (xm) de cada uma delas. 
Classe
(comprimento em centímetros)
Ponto médio
(xm)
Frequência
(número de barras)
[3, 9[ ——3 + 9
2
 = 6 5
[8, 14[ ———8 + 14
2
 = 11 12
[13, 19[ ————13 + 19
2
 = 16 18
[18, 24[ ————18 + 24
2
 = 21 10
[23, 29] ————23 + 29
2
 = 26 5
Ft = 50
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53
Agora, podemos calcular a média ponderada dos pontos médios com a 
frequência: 
 = ——————————————————————6 · 5 + 11 · 12 + 16 · 18 + 21 · 10 + 26 · 5
50
 = ————————————————
30 + 132 + 288 + 210 + 130
50
 =
= ——790
50
 =15,8 
Ou seja, a média aritmética é 15,8 centímetros. 
 y Determine a moda (Mo) dessa amostra.
 Como podemos ver na tabela acima, o ponto médio com maior frequência é 
16. Logo: Mo = 16.
 y Determine a mediana dessa amostra.
 Como a quantidade de elementos é par, a mediana é a média aritmética entre 
a 13ª e a 14ª posição dos pontos médios: Md = ———— 16 + 16
2
 = —32
2
 = 16
Considerando as notas bimestrais de três alunos, representadas 
na tabela abaixo:
NOTAS
Alunos 1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre
A 6 6 6 6
B 5 6 8 5
C 2 5 8 9
Vamos calcular a média dos três alunos:
 = ———————— = —— = 6
6 + 6 + 6 + 6
4
24
4
 = ———————— = —— = 6
5 + 6 + 8 + 5
4
24
4
 = ———————— = —— = 6
2 + 5 + 8 + 9
4
24
4
Como todas as médias são iguais a 6, poderíamos perguntar: Qual 
foi o aluno mais regular?
O aluno C apresentou uma variação muito maior que o aluno B. Já 
o aluno A apresentou notas constantes, isto é, foi mais regular.
Desvios e variância
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Somente com as médias não é possível fazer uma análise sobre 
a regularidade dos alunos. Assim, é preciso adotar uma medida que 
apresente a variação das notas desses alunos. Para isso, é importan-
te conhecer a diferença, ou dispersão, que existe entre as notas de 
cada bimestre e a média.
Existem situações em que a medidas de tendência central (média, 
moda e mediana) não são as apropriadas para uma análise de uma 
amostra de valores. Nesses casos, é necessário utilizar as medidas de 
dispersão, ou variabilidade: a variância e o desvio padrão. 
Cálculo dos desvios das notas dos alunos em relação à média 6: 
Bimestres A Desvio B Desvio C Desvio
1º 6 0 5 –1 2 –4
2º 6 0 6 0 5 –13º 6 0 8 2 8 2
4º 6 0 5 –1 9 3
1. Variância 
É a média do quadrado da distância de cada ponto até a média da 
amostra ou população em análise. A variância pode ser classificada 
como variância da amostra ou da população.
Variância da amostra é o calculo da variância dentro de uma 
amostra observada.
Variância da população é a soma dos quadrados dos desvios divi-
dida pelo número n de ocorrências e que é indicada por V e definida 
por V = ————————
/ ni=1 (xi – )
2
n
, em que xi é a variável aleatória e é a média (valor 
esperado).
Calculando a variância da população, a partir dos dados acima:
VA = ———————————————————————— = ———————— = — = 0
(6 – 6)2 + (6 – 6)2 + (6 – 6)2 + (6 – 6)2
4
0 + 0 + 0 + 0
4
0
4
VB = ———————————————————————— = ———————— = — = 1,5
(5 – 6)2 + (6 – 6)2 + (8 – 6)2 + (5 – 6)2
4
1 + 0 + 4 + 1
4
6
4
VC = ———————————————————————— = ————————— = — = 7,5
(2 – 6)2 + (5 – 6)2 + (8 – 6)2 + (9 – 6)2
4
16 + 1 + 4 + 9
4
30
4
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55
2. Desvio padrão 
Raiz quadrada da variância, o desvio padrão é indicado por DP e 
definido por DP = V. Utiliza a mesma unidade da variável (km, m, 
cm, atm etc.). 
Calculando o desvio padrão:
DPA = VA = 0 = 0.
DPB = VB = 1,5 ≅ 1,22.
DPC = Vc = 7,5 ≅ 2,74.
Se o valor do desvio padrão for igual a zero, a distribuição dos 
valores será chamada homogênea. E quanto mais homogênea, me-
lhor seu desempenho. Quando isso não ocorre, a distribuição é con-
siderada heterogênea. 
Assim, podemos definir: o melhor desempenho entre os três alu-
nos foi o do aluno A, uma vez que possui desvio padrão (DP) zero; o C 
teve o pior desempenho, pois seu DP é o maior: 2,74; o B possui melhor 
desempenho que o C, pois seu DP está mais próximo de zero. 
Concluindo, podemos afirmar que, apesar de os três possuírem no-
tas com média aritmética 6, o aluno A apresenta a melhor regularidade. 
Noções de probabilidade
1. Probabilidade 
Estabelece as possibilidades de um resultado ocorrer em um ex-
perimento aleatório. Geralmente é representada por um número real 
entre zero e um.
1.1. Experimento aleatório 
É aquele de resultado imprevisível, isto é, que depende do acaso.
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56
1.2. Espaço amostral (S) 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento.
1.3. Espaço amostral equiprovável 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer em deter-
minado experimento.
1.4. Evento (E) é qualquer subconjunto do 
espaço amostral. 
A probabilidade de ocorrer algum elemento do espaço amostral 
equiprovável (S) é indicada por P(E) e definida por P(E) = ———
n (E)
n (S)
,
em que:
 y P(E) = probabilidade de o evento ocorrer
 y n(E) = quantidade de elementos do evento que nos interessa
 y n(S) = quantidade de elementos do espaço amostral
Exemplo: 
No lançamento de um dado:
 y Qual é o espaço amostral?
Resolução: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 y Qual o número de elementos do espaço amostral?
Resolução: n(S) = 6
 y Qual a probabilidade de obter, na face voltada para cima, um número 2?
Resolução: 
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Número de elementos do espaço amostral: n(S) = 6.
Então:
se E1 = {2} e n(E1) = 1, logo P(E1) = ——— = — ≅ 0,16 ≅ 16%.
n (E1)
n (S)
1
6
 
 y Qual a probabilidade de obter, na face voltada para cima, um número 
menor que 4?
Resolução: 
Se E2 = {1, 2, 3} e n(E2) = 3, logo P(E2) = ——— = — = 0,5 = 50%
n (E2)
n (S)
3
6
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Matemática IIMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
57
 y Qual a probabilidade de obter, na face voltada para cima, um número 
primo menor que 5?
Resolução:
Se E3 = {2, 3} e n(E3) = 2, logo P(E3) = ——— = — ≅ 0,33 ≅ 33%
n (E3)
n (S)
2
6
Exemplo 2: 
No caso de lançamento de 2 dados:
 y Determine a probabilidade de obter, nas faces voltadas para cima, a 
soma dos números igual a 9.
Resolução: 
As combinações possíveis para o espaço amostral são: 
S = {(1,1), (1,2), . . . (5,6), (6,6)}.
Então, a quantidade de elementos do espaço amostral é dada por: 
n(S) = 6 · 6 = 36.
Os elementos que interessam à resolução são aqueles cuja soma é 9. 
Logo: E = {(3,6), (6,3), (4,5) (5,4)} e n(E) = 4.
Assim: P(E3) = ——— = — ≅ 0,11 ≅ 11%
n (E)
n (S)
4
36
 y Determine a probabilidade de obter, nas faces voltadas para cima, a 
soma dos números igual a 1.
Resolução: 
Se S = {(1,1), (1,2), . . . , (5,6), (6,6)}, n(S) = 6 · 6 = 36. 
Como não é possível obter soma igual a 1, tem-se que: E1 = { } e n(E1) = 0.
Logo, P(E1) = ——— = — = 0 = 0%
n (E1)
n (S)
0
36
 y Determine a probabilidade de obter, nas faces voltadas para cima, a 
soma dos números menor que 13.
Resolução: 
Se S = {(1,1), (1,2),... (5,6), (6,6)}, n(S) = 6 · 6 = 36, 
E1 = S e n(E1) = 36, logo P(E1) = ——— = — = 1 = 100%
n (E1)
n (S)
36
36
Todo evento que for vazio é denominado evento impossível.
Todo evento que coincide com o espaço amostral é 
denominado evento certo.
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58
Conhecimentos 
algébricos/geométricos3
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59
Iniciando o estudo da Geometria Analítica, o primeiro item a ser ex-
plicado é o plano cartesiano e a localização de um ponto em seu interior.
O plano cartesiano foi criado em 1637 pelo matemático e filósofo 
francês René Descartes. É constituído por dois eixos perpendicula-
res, sendo o horizontal chamado eixo das abscissas e o vertical, eixo 
das ordenadas. 
A função do plano cartesiano é localizar pontos em determinado 
espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadran-
tes, como pode ser visto na figura:
y
0
2º quadrante
3º quadrante
1º quadrante
4º quadrante
O encontro dos eixos é chamado origem do sistema cartesiano 
e cada ponto do plano cartesiano é indicado por um par ordenado 
(x, y), no qual x é a abscissa e y, a ordenada.
Plano cartesiano
–1
–3
–4
–5
–2
0
1
2
3
4
5
–2 –1 0 1 2 3 4 5 7 96 8 10–3
C
B
A
FE
D
y
x
x
René Descartes
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60
No plano cartesiano da página anterior estão indicados os pon-
tos: A(4,5), B(–1,3), C(0,4), D(4,0), E(–1,–2) e F(0,–1).
O sistema de plano cartesiano tem diversas aplicações, desde a 
construção de um simples gráfico até os trabalhos relacionados a 
localizações nos espaços aéreo, terrestre e marítimo.
1. Distância entre dois pontos
Consideremos dois pontos, A e B, localizados em um plano cartesiano:
y
x
A
B
Indicando nos eixos cartesianos a distância entre os pontos e 
suas coordenadas, temos:
y
xxA
dAB
yA
xB
yB
A O
B
Como se pode ver, a distância dAB entre os pontos A e B é a hipote-
nusa do triângulo AOB. 
Assim, aplicando o Teorema de Pitágoras, temos: 
d2AB = AO
2 + BO2
Contudo, temos: 
AO = xB – xA e BO = yB – yA
Portanto, a expressão fica da seguinte forma:
d2AB = (xB – xA)
2 + (yB – yA)
2
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Matemática IIMATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
61
E por fim:
dAB = (xB – xA)
2 + (yB – yA)
2
Dessa forma, podemos determinar a distância entre dois pontos 
de coordenadas A(xA, yA) e B(xB, yB) pela expressão: 
dAB = (xB – xA)
2 + (yB – yA)
2
Exemplo:
Determinar adistância entre os pontos: A(2,1) e B(8,9) e representá-la 
graficamente.
1
2
3
6
4
7
5
8
9
–2 0
0
2 4 6 8 10 12 14
C
BA
y
x
Resolução: A distância entre os pontos A e B é dada pela expressão:
dAB = (xB – xA)
2 + (yB – yA)
2 
Assim: dAB = (8 – 2)
2 + (9 – 1)2 
dAB = 62 + 82 " dAB = 36 + 64 " dAB = 100
Logo, dAB= 10 unidades.
| Enem 2011 |
Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas 
e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coorde-
nadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as dis-
tâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
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62
-4
-4
-8
-8
-2
-2
-6
-6
2
4
6
8
2 4 6 8
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do 
metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade.
No ponto P = (–5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao 
comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua 
distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que 
isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma 
estação no ponto
a) (–5,0). b) (–3,1). c) (–2,1). d) (0,4). e) (2,6).
Os únicos pontos das opções das respostas que pertencem à reta são os das 
alternativas b: (–3,1), d: (0,4) e e: (2,6).
Calculando agora a distância de P a cada um deles, temos:
dP, B = (–5 – (–3)
2 + (5 – 1))2 = 20 < 5
dP, D = (–5 –0)
2 + (5 – 4)2 = 26 > 5
dP, E = (–5 –2)
2 + (5 – 6)2 = 50 > 5
Logo, o ponto (–3,1) atende às condições do problema. 
Resposta: alternativa “b”.
2. Condições de alinhamento entre 
três pontos 
É possível verificar se três pontos estão alinhados por meio do 
cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3x3, formada a 
partir das coordenadas desses três pontos.
Se o cálculo do determinante dessa matriz resultar em valor igual 
a zero, pode-se afirmar que esses três pontos estão alinhados.
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63
No plano cartesiano da figura a seguir, as coordenadas dos pontos 
A, B e C são: 
y
x
y3
x3
y2
x2
y1
x1
A
B
C Ponto A (x1,y1) 
Ponto B (x2,y2) 
Ponto C (x3,y3) 
Com essas coordenadas construímos a matriz 3x3, na qual as abs-
cissas dos pontos constituem a 1ª coluna; as ordenadas, a 2ª coluna; 
e a 3ª coluna será complementada com o número 1.
Resolvendo esse 
x1
x2
x3
y1
y2
y3
1 
1 
1
 = 0 determinante e igualando-o a 
zero, temos:
x1
x2
x3
y1
y2
y3
1 
1 
1
x1
x2
x3
y1
y2
y3
= 0
x1 · y2 · 1 + y1 · 1 · x3 + 1 · x2 · y3 – (y1 · x2 · 1 + x1 · 1 · y3 + 1 · y2 · x3) = 0 
x1 · y2 + y1 · x3 + x2 · y3 – y1 · x2 – x1 · y3 – y2 · x3 = 0 
Se a igualdade a zero se verificar, os pontos estão alinhados.
Exemplo: 
Verifique se os pontos P(2,1), Q(0,–3) e R(–2,–7) pertencem à mesma reta.
Resolução: Para que pertençam a uma mesma reta, os pontos devem es-
tar alinhados. Construindo a matriz com as coordenadas dos pontos P, Q 
e R, é preciso verificar a condição de alinhamento:
2
0
–2
1
–3
–7
1 
1 
1
 = 0
2 · (–3) · 1 + 1 · 1 · (–2) + 1 · (–7) · 0 – [1 · (–3) · ( –2) + 1 · 0 · 1 + 2 · (–7) · 1] = 0 
– 6 – 2 – 0 – [6 + 0 – 14] = 0 
– 8 – 6 +14 = 0 
–14 + 14 = 0 
0 = 0 
Conclui-se que os pontos estão alinhados, uma vez que o determinante 
da matriz das coordenadas dos pontos é nulo.
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O coeficiente angular de uma reta é a medida da tangente do 
seu ângulo de inclinação em relação ao eixo das abscissas. 
É importante lembrar que, no caso de a reta ser perpendicular 
ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existe, pois não 
é possível determinar a tangente de um ângulo de 90º.
Para que uma reta seja representada em um plano 
cartesiano, é preciso que sejam dadas, no mínimo, as 
coordenadas de dois pontos pertencentes a essa reta. 
Assim, tomemos uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, 
yB) e que possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.
y
x
α
s
yB
xB
yA
xA
A
B
Nesta figura, indicamos o triângulo ABC, retângulo em C, formado 
a partir das coordenadas de A e B.
y
x
α
α
s
yB
xB
yA
xA
A C
B
Sabendo que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo 
de inclinação, temos:
tg α = ———————— "tg α = ————
cateto oposto
cateto adjacente
yB – yA
xB – xA
 
α
xB – xA 
yB – yA 
A C
B
Portanto, o cálculo do coeficiente angular (m) de uma reta pode 
ser feito pela razão da diferença entre as ordenadas e a diferença 
entre as abscissas de dois pontos pertencentes a essa reta.
m = ——
∆y
∆x
Retas
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65
Exemplos
 y Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos de coorde-
nadas A(–1,3) e B(–2,4)?
–1
–2
0
1
3
4
5
–2 –1 0 1 3 4 5
∆y
∆x
–3–4
B
A
2
2
C
Resolução: m = ————— " m = — " m = –1
(4 – 3)
(–2 – (–1))
1
–1
 y O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(2,6) e B(4,14) é:
–2
–4
0
2
6
8
12
10
14
16
18
–4 –2 0 2 6 8 10 12 14
∆y
–6–8
4
4
∆x
CA
B
Resolução: m = ————— " m = — " m = 4
(14 – 6)
4 – 2
8
2
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66
1. Equação geral da reta
A determinação da equação geral da reta na forma ax + by + c = 0 
é feita com a utilização de uma matriz na qual é aplicada a Regra de 
Sarrus, empregada para a obtenção do determinante de uma matriz 
quadrada de ordem 3 x 3. 
Para isso, são necessários, no mínimo, dois pares ordenados (x,y) 
de pontos pertencentes a essa reta. 
 
x
x1
x2
y
y1
y2
1 
1 
1
 = 0 
Na matriz são indicados os pares ordenados (x1,y1) e (x2,y2) e um 
ponto genérico representado pelo par (x,y). A 3ª coluna da matriz é 
completada com o algarismo 1. A partir desse ponto, basta calcular o 
determinante com resultado igual a zero.
Exemplo:
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(3,8).
 y Ponto A " x1 = 1 e y1 = 2
 y Ponto B " x2 = 3 e y2 = 8
 y Ponto C " representado pelo par ordenado (x,y)
 
 
x
1
3
y
2
8
1 
1 
1
 = 0 
Resolução: Para calcular o determinante de uma matriz quadrada utili-
zando a Regra de Sarrus, seguimos os seguintes passos:
 y repetir a 1ª e a 2ª colunas da matriz.
 y somar os produtos dos termos da diagonal principal.
 y somar os produtos dos termos da diagonal secundária.
 y subtrair da soma total dos termos da diagonal principal a soma dos 
termos da diagonal secundária.
Aplicação dos passos na resolução da matriz dos pontos da reta:
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67
 Passo 1 Passos 2 e 3
 
x
1
3
y
2
8
1 
1 
1
 
x
1
3
y
2
8
 = 0 
 
 
x
1
3
y
2
8
1 
1 
1
x
1
3
y
2
8
6 2x8x 3yy 8
Passo 4
[2x + 3y + 8] – [6 + 8x + y] = 0
2x + 3y + 8 – 6 – 8x – y = 0
2x – 8x + 3y – y + 8 – 6 = 0
 Logo:
–6x + 2y + 2 = 0 (equação geral da reta)
Portanto, os pontos A(1,2) e B(3,8) pertencem à reta dada pela equação 
geral: –6x + 2y + 2 = 0.
2. Equação fundamental da reta
Pode ser determinada a partir das coordenadas C(x0, y0) de