Aula 01 - Teoria das filas

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Aula - 01
Ronaldo Lage Pessoa
Teoria das Filas
Elementos de um modelo de fila
Os principais protagonistas de uma situação de fila são:
I Cliente
I gerados por fonte externa;
I podem ser atendidos imediatamente ou entrar em uma fila.
I Servidor
I elemento capturado pelo cliente;
I pode estar ocupado ou ocioso.
Tamanho da fila:
I Finito;
I Infinito.
Disciplina de uma fila:
I PEPS (Primeiro que entra, primeiro que sai);
I UEPS (Último que entra, primeiro que sai);
I SEOA (Serviço em ordem aleatória);
I Por prioridade.
Elementos de um modelo de fila
Comportamento dos clientes:
I Troca de fila;
I Desistir da fila;
I Abandonar a fila;
Projeto da instalação pode incluir:
I servidores paralelos;
I servidores em série;
I servidores em rede.
A fonte da qual os clientes são gerados pode ser:
I Finita (limita a chegada de clientes no serviço);
I Infinita.
Exerćıcios
Em cada uma das seguintes situações, identifique o cliente e o
servidor:
a) Aviões que chegam em um aeroporto.
b) Táxis parados que atendem a passageiros à espera.
c) Ferramentas retiradas de uma ferramentaria em uma oficina de
usinagem.
d) Cartas processadas em uma agência de correio.
e) Matŕıcula para aulas em uma universidade.
f) Casos judiciais.
g) Operação de caixas registradoras em um supermercado.
h) Funcionamento de um estacionamento.
Exerćıcios
Para cada uma das situações do exerćıcio anterior, identifique o
seguinte:
a) natureza da fonte do usuário (finita ou infinita);
b) a natureza dos clientes que chegam (individualmente ou em
lote);
c) o tipo de intervalo de tempo entre chegadas (probabiĺıstico ou
determińıstico);
d) capacidade da fila (finita ou infinita);
e) disciplina da fila.
Papel da distribuição exponencial
Na maioria das situações de filas, a chegada de clientes ocorre de
modo aleatório.
Os intervalos de tempo entre chegadas são usualmente modelados
pela distribuição exponencial, que é definida como
f(t) = λe−λt, t > 0
onde,
E{t} = 1
λ
e
P{t ≤ T} =
∫ T
0
λe−λt = 1− e−λt
A definição de E{t} mostra que λ é a taxa por unidade de tempo
à qual são gerados os eventos (chegadas).
Exemplo
Uma máquina em serviço tem uma unidade sobressalente para
imediata substituição em caso de falha. O tempo até a falha da
máquina é exponencial e ocorre a cada 5 horas, em média. O
operador da máquina reclama que a máquina ”tem mania” de
quebrar toda noite perto de 20h30. Analise a reclamação do
operador.
A taxa média de falha da máquina é λ = 1/5 = 0, 2 falha por hora.
Assim, a distribuição exponencial do tempo até a falha é
f(t) = 0, 2e−0,2t, t > 0
Exemplo
Em relação à reclamação do operador:
A probabilidade de uma falha ocorrer às 20h:30 não pode ser
usada nem para confirmar nem para refutar a reclamação já que tal
probabilidade depende da hora do dia (em relação às 20h:30) em
que ela é calculada. Por exemplo, se agora forem 20h:30, a
probabilidade de a reclamação do operador ser correta esta noite é
P
{
t <
10
60
}
= 1− e−0,2(
10
60
) = 0, 3278
Exerćıcios
a) Explique o que você entende da relação entre a taxa de
chegada λ e o intervalo de tempo médio entre chegadas. Quais
são as unidades que descrevem cada variável?
b) Em cada um dos seguintes casos, determine a taxa média de
chegada por hora, λ, e o intervalo médio entre chegadas em
horas.
(i) Ocorre uma chagada a cada 10 minutos.
(ii) Ocorrem duas chegadas a cada 6 minutos.
(iii) O número de chagadas em um peŕıodo de 30 minutos é 10.
(iv) O intervalo médio entre chegadas sucessivas é 0,5 hora.
c) Em cada um dos seguintes casos, determine a taxa média de
atendimento por hora, µ, e o tempo médio de atendimento em
horas.
(i) Um atendimento é conclúıdo a cada 12 minutos.
(ii) Ocorrem duas partidas a cada 15 minutos.
(iii) O número de clientes antedidos em um peŕıodo de 30 min é 5.
(iv) O tempo médio de atendimento é 0,3 hora.
Exerćıcios
No exemplo da máquina, determine o seguinte:
a) O número médio de falhas em 1 semana, considerando que o
serviço é oferecido 24 horas por dia, 7 dias por semana.
b) A probabilidade de no ḿınimo uma falha em um peŕıodo de 2
horas.
c) A probabilidade de a próxima falha não ocorrer durante as
próximas 3 horas.
d) Se nenhuma falha ocorrer 3 horas após a última falha, qual é a
probabilidade de o intervalo de temmpo entre falhas ser no
ḿınimo 4 horas?
Exerćıcios
O tempo entre chegadas na Agência da Receita Federal se distribui
conforme uma exponencial com valor médio 0,05 hora. A agência
abre às 8 da manhã.
a) Expresse a distribuição exponencial que descreve o intervalo de
tempo entre chegadas.
b) Ache a probabilidade de nenhum cliente chegar à agência até as
8h15.
c) Agora são 8h35. O último cliente entrou na agência às 8h26.
Qual é a probabilidade de o próximo cliente chegar antes das
8h38? E a de não chegar até as 8h40?
d) Qual é o número médio de clientes que chegam entre 8h10 e
8h45?
Exerćıcios
Ann e Jim, dois empregados de um restaurante de fast-food,
jogam o seguinte jogo enquanto esperam pela chegada de clientes:
Jim paga 2 centavos a Ann se o próximo cliente não chegar dentro
de 1 minuto; caso contrário, Ann paga 2 centavos a Jim.
Determine o retorno médio de Jim em um peŕıodo de 8 horas. O
intervalo de tempo entre chegadas segue uma distribuição
exponencial com média de 1,5 minuto.