2020 2 - Teoria e propagação de erros II

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2020/2
TEORIA E PROPAGAÇÃO DE 
ERROS II
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❑ Exemplo 2
❑ Aplica-se uma ddp de 220 ± 1% 𝑉 em um resistor de 
resistência 𝑅 = 50 ± 2% Ω, sendo a corrente medida 
𝐼 = 4,4 ± 1% 𝐴. Deseja-se calcular a potência dissipada 
de dois modos diferentes:
Teoria e propagação de erros
𝑷 =
𝑼𝟐
𝑹
𝑷 = 𝑼 × 𝑰
(a) (b)
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❑ Exemplo 2
Teoria e propagação de erros
𝑃 =
𝑈2
𝑅
Derivada parcial em relação a U
𝜕𝑍
𝜕𝑋1
=
𝜕𝑃
𝜕𝑈
=
2 × 𝑈
𝑅
Faixa de erro
Δ𝑋1 = Δ𝑈 = ±1% = ±2,2𝑉
Derivada parcial em relação a R
𝜕𝑍
𝜕𝑋2
=
𝜕𝑃
𝜕𝑅
= −
𝑈2
𝑅2
Faixa de erro
Δ𝑋2 = Δ𝑅 = ±2% = ±1Ω
Aplicação a equação do método de Klein e McClintock
Δ𝑍 =
𝜕𝑍
𝜕𝑋1
× Δ𝑋1
2
+
𝜕𝑍
𝜕𝑋2
× Δ𝑋2
2
=
2𝑈
𝑅
× Δ𝑈
2
+ −
𝑈2
𝑅2
× Δ𝑅
2
Δ𝑃 =
2 × 220
50
× 2,2
2
+ −
2202
502
× 1
2
≅ 𝟐𝟕, 𝟑𝟖𝐖
5
❑ Exemplo 2
Teoria e propagação de erros
𝑃 = 𝑈 × 𝐼
Derivada parcial em relação a U
𝜕𝑍
𝜕𝑋1
=
𝜕𝑃
𝜕𝑈
= 𝐼
Faixa de erro
Δ𝑋1 = Δ𝑈 = ±1% = ±2,2𝑉
Derivada parcial em relação a R
𝜕𝑍
𝜕𝑋2
=
𝜕𝑃
𝜕I
= 𝑈
Faixa de erro
Δ𝑋2 = ΔI = ±1% = ±0,044A
Aplicação a equação do método de Klein e McClintock
Δ𝑍 =
𝜕𝑍
𝜕𝑋1
× Δ𝑋1
2
+
𝜕𝑍
𝜕𝑋2
× Δ𝑋2
2
= 𝐼 × Δ𝑈 2 + 𝑈 × ΔU 2
Δ𝑃 = 4,4 × 2,2 2 + 220 × 0,044 2 ≅ 𝟏𝟑, 𝟔𝟗𝐖
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❑ Exemplo 2
❑ Desta forma temos para a primeira forma
𝑃 =
𝑈2
𝑅
=
2202
50
≅ 968 ± 27,38 𝑊 𝑜𝑢 968𝑊 ± 2,83%
❑ Para a segunda forma
𝑃 = 𝑈 × 𝐼 = 220 × 4,4
= 968 ± 13,69 𝑊 𝑜𝑢 968𝑊 ± 1,41%
❑ Sendo assim, os instrumentos utilizados para a 
determinação da potência elétrica deste resistor através da 
segunda forma encontra o valor mais verossímil.
Teoria e propagação de erros
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❑ Exemplo 3
❑ Dados dois resistores 𝑅1 = 20Ω ± 2% e 𝑅2 = 300Ω ±
2%, determine a resistência equivalente e seu respectivo 
erro quando associados em série e paralelo.
❑ Associação série:
𝑅𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 = 20 + 300 = 320Ω
❑ Cálculo do erro (Δ𝑍)
Teoria e propagação de erros
Derivada de 𝑅𝑒𝑞 em relação a 𝑅1
𝜕𝑍
𝜕𝑋1
=
𝜕𝑅𝑒𝑞
𝜕𝑅1
= 1
Sendo
Δ𝑋1 = Δ𝑅1 = 2% = 0,4Ω
Derivada de 𝑅𝑒𝑞 em relação a 𝑅2
𝜕𝑍
𝜕𝑋2
=
𝜕𝑅𝑒𝑞
𝜕𝑅2
= 1
Sendo
Δ𝑋2 = Δ𝑅2 = 2% = 6Ω
8
❑ Exemplo 3
❑ Equação do método
Δ𝑍 =
𝜕𝑍
𝜕𝑋1
× Δ𝑋1
2
+
𝜕𝑍
𝜕𝑋2
× Δ𝑋2
2
= 1 × 0,4 2 + 1 × 6 2 ≅ ±6,01Ω
𝑅𝑒𝑞 = 320 ± 6,01 Ω ou 320Ω ± 1,88%
Teoria e propagação de erros
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❑ Exemplo 3
❑ Associação paralelo:
𝑅𝑒𝑞 =
1
1
𝑅1
+
1
𝑅2
=
1
1
20 +
1
300
= 18,75Ω
❑ Cálculo do erro (Δ𝑍)
Teoria e propagação de erros
Derivada de 𝑅𝑒𝑞 em relação a 𝑅1
𝜕𝑍
𝜕𝑋1
=
𝜕𝑅𝑒𝑞
𝜕𝑅1
=
1
1
𝑅1
+
1
𝑅2
2
× 𝑅1 2
Sendo
Δ𝑋1 = Δ𝑅1 = 2% = 0,4Ω
Derivada de 𝑅𝑒𝑞 em relação a 𝑅2
𝜕𝑍
𝜕𝑋2
=
𝜕𝑅𝑒𝑞
𝜕𝑅2
=
1
1
𝑅1
+
1
𝑅2
2
× 𝑅2 2
Sendo
Δ𝑋2 = Δ𝑅2 = 2% = 6Ω
10
❑ Exemplo 3
❑ Antes de substituir no método, vamos resolver as partes
𝜕𝑅𝑒𝑞
𝜕𝑅1
=
1
1
𝑅1
+
1
𝑅2
2
× 𝑅1
2
=
1
1
20
+
1
300
2
× 20 2
= 0,879
𝜕𝑅𝑒𝑞
𝜕𝑅2
=
1
1
𝑅1
+
1
𝑅2
2
× 𝑅2 2
=
1
1
20 +
1
300
2
× 300 2
= 0,0039
Δ𝑍 = 0,879 × 0,4 2 + 0,0039 × 6 2 ≅ ±0,35Ω
❑ A resistência equivalente da associação paralela
será de 18,75 ± 0,35 Ω ou 18,75 ± 1,9%
Teoria e propagação de erros
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❑ Erros em instrumentos Analógicos
❑ Leitura em fundo de escala
❑ Geralmente apresentado em porcentual
❑ Erro de paralaxe
❑ Erro resultante do posicionamento do operador em 
relação ao instrumento
❑ Quanto maior o ângulo maior a leitura de erro
Teoria e propagação de erros
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❑ Erros em instrumentos Analógicos
❑ Erro de interpolação
❑ Posicionamento do ponteiro em relação à marcação da 
escala
❑ Posicionamento intermediário entre dois pontos da 
resolução, que não necessariamente é o meio da 
marcação
❑ Critério do operador
Teoria e propagação de erros
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❑ Erros em instrumentos Digitais
❑ Não há erro de paralaxe e interpolação
❑ Leituras entre 3½ a 8½ dígitos
❑ Resolução oriunda da conversão A/D do aparelho
❑ Exemplo
❑ Um instrumento digital está sendo usado numa escala 
de 20V e mede uma tensão AC, e o valor indicado é 
8,00V. A especificação de erro é 
± (0,8%𝐿𝑒𝑖𝑡. +3 𝑑í𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠). Como se interpreta a 
informação e como se calcula o erro?
❑ Erro de 0,8% da leitura → 0,8% de 8,00𝑉 = 0,064𝑉
❑ 3 dígitos → 3 unidades da última casa = 0,003𝑉
❑ Erro combinado
Δ𝑍 = Δ𝑅 = 0,064 2 + 0,003 2 ≅ 0,06
Teoria e propagação de erros
Muito obrigado!