Matemática Financeira

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PÓS - NÚCLEO COMUM
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Gabriel Eid
http://unar.info/ead2
 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Gabriel Eid
2 
 
SUMÁRIO 
 
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA ............................................................................................................. 3 
PROGRAMA DA DISCIPLINA ..................................................................................................................... 4 
UNIDADE 01. CONCEITOS BÁSICOS....................................................................................................... 6 
UNIDADE 02. JUROS SIMPLES ............................................................................................................... 13 
UNIDADE 03. JUROS COMPOSTOS ..................................................................................................... 20 
UNIDADE 04. TAXAS EFETIVAS, PROPORCIONAIS E NOMINAIS ............................................. 26 
UNIDADE 05. TAXA EQUIVALENTE, BRUTA, NOMINAL, LÍQUIDA E REAL ............................. 33 
 
 
3 
 
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 
 
Nessa disciplina serão abordadas as questões matemáticas relacionadas 
às operações financeiras e seus conceitos básicos pautados em aspectos 
eminentemente práticos e contemporâneos. O objetivo dessa disciplina é o de 
desenvolver no aluno as habilidades necessárias para realizar os cálculos 
financeiros básicos. O material está dividido em cinco unidades: na primeira são 
apresentados os conceitos básicos, em seguida serão abordados os Juros 
Simples e Compostos, na quarta parte são abordados os tipos de taxas e a 
disciplina é concluída com a equivalência de taxas de capitais. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
PROGRAMA DA DISCIPLINA 
 
Ementa 
Aplicação dos conceitos básicos da Matemática Financeira para a 
fundamentação de decisões de investimentos e empréstimos. Utilização dos 
conceitos de capitalização simples e composta, taxas equivalentes, real, nominal, 
líquida e bruta. 
 
Objetivos 
Capacitar os alunos a desenvolver os raciocínios necessários para as análises das 
transações financeiras. 
 
Conteúdos 
Conceitos financeiros de Principal, Montante, Juros, Taxa de Juros, Valor 
Presente e Futuro; cálculo dos juros, da taxa de juros, valor presente e futuro; 
elaborar, analisar e calcular operações financeiras com juros simples e 
compostos, calcular equivalência de taxas de juros e capitais; compreensão dos 
conceitos de taxa real, nominal, bruta e líquida. 
 
Bibliografia Básica 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações. 3 ed. São 
Paulo: Atlas, 1997. 
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José N. Matemática Financeira. São Paulo: Atual, 
1997. 
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 
2000. 
 
 
5 
 
Bibliografia Complementar 
FARO, Clóvis de. Fundamentos de Matemática Financeira: uma introdução ao 
cálculo financeiro e à análise de investimento de risco, Saraiva, 2006. 
KMETEUK FILHO, Osmir Fundamentos da Matemática Financeira, Ciência 
Moderna, 2010. 
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria, Matemática Financeira, 
Atlas, 1996. 
PUCCINI, Abelardo de Lima Matemática Financeira: objetiva e aplicada, Saraiva, 
2004. 
BRUNI, Adriano Leal; FAMA, Rubens. Matemática Financeira com HP12c e Excel, 
Atlas, 2004. 
 
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UNIDADE 01. CONCEITOS BÁSICOS 
 
Objetivo 
Esta unidade tem por objetivo abordar os conceitos básicos sobre 
matemática financeira, necessários para que o aluno entenda completamente a 
disciplina, consiga realizar os exercícios, sem cometer equívocos e consiga 
desenvolver seu raciocínio de forma correta ao longo do curso e nas disciplinas 
seguintes. Serão abordados os conceitos de Valor do dinheiro no tempo, Juros, 
Taxa de Juros, Principal, Montante, Valor Presente e Valor Futuro. 
 
Bebendo na fonte 
Valor do dinheiro no tempo 
Sucintamente, pode-se dizer que a Matemática Financeira é o ramo da 
Matemática Aplicada que estuda o valor do dinheiro no tempo. Ela busca 
calcular e analisar as transações que ocorrem na esfera financeira levando em 
conta as variáveis que podem afetar o valor do dinheiro; para isso, é preciso 
estudar o fluxo do capital, suas entradas e saídas e como elas são afetadas por 
taxas de juros, tempo, entre outros fatores como inflação e tributos. 
A matemática financeira é a ferramenta mais essencial para a gestão 
financeira de uma empresa; todo gestor financeiro precisa dominar os conceitos 
da matemática financeira para poder realizar suas análises financeiras e, assim, 
selecionar as melhores decisões de investimentos e financiamentos para a 
empresa. Além disso, tal conhecimento também é necessário para avaliar o 
correto funcionamento da empresa sob a ótica financeira. 
As fontes de financiamento e investimento no Brasil são escassas, a 
tributação é elevada e a inflação e o câmbio são muito instáveis, o que torna o 
custo do capital bem elevado e a rentabilidade dos investimentos baixa. Diante 
7 
 
desse cenário complicado, a matemática financeira tem lugar de destaque, pois 
as decisões de investimento e financiamento são mais difíceis e na grande 
maioria das vezes se traduzem na continuidade ou na falência de um negócio. 
Não basta ser bom naquilo que se faz, se uma empresa não possuir uma 
gestão financeira eficiente; é certo que ela irá falir em alguns anos. 
 
Juros, Taxa de Juros e Prazo 
Juros e Taxas de Juros: muitos acabam confundindo esses dois conceitos, 
terminam por considerar que são a mesma coisa, um erro terrível e inadmissível 
para qualquer gestor financeiro. Basicamente, Juros são expressos em unidade 
monetária, ou seja, em Reais. Enquanto Taxa de Juros equivale a uma medida 
matemática expressa em decimais ou em porcentagem (%) – bom lembrar que 
o decimal multiplicado por 100 resulta no valor em porcentagem, portanto, uma 
taxa de 0,1 equivale a uma taxa de 10%. 
Os juros são a remuneração do investidor após aplicar seu capital; 
basicamente, é o quanto ele receberá, em Reais, por ter cedido seu capital para 
terceiros. De maneira inversa, os Juros são também o valor que será pago ao 
financiador – fornecedor do dinheiro – por aquele que tomou o empréstimo. 
Esse valor a ser recebido ou pago dependerá diretamente da Taxa de Juros 
incidente sobre a operação financeira. 
Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou 
compostos. 
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado 
sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. 
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo seguinte de tempo é 
calculado a partir do saldo anterior. O juro de cada intervalo de tempo é 
incorporado ao capital inicial e passa a render juros também, 
acumulando-se. 
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Podemos definir, então, que os Juros são o resultado de um cálculo 
financeiro que leva em conta o Capital inicialmente aplicado/emprestado, a 
Taxa de Juros incidente – que pode ser Simples ou Composta –, o Prazo – que 
pode ser mensurado em dias, meses, anos etc. – e o sistema de capitalização – 
que podem ser vários e que serão vistos no módulo específico. 
Portanto, a taxa de juros é uma medida de referência a ser utilizada pelo 
mercado financeiro para definir o valor dos juros. Além disso, a taxa de juros é 
expressa com base em um prazo fixo, ou seja, se essa taxa incidir mensalmente 
ela é mensal (ao mês), se incidir anualmente ela é anual (ao ano) e assim por 
diante. Ela, mais o prazo e o sistema de capitalização irão definir o montante a 
ser pago ou recebido. 
Por sua vez, o Prazo é o período de tempo, medido em unidades de 
tempo – dias, meses, anos etc. – que irão determinar a duração da operação 
financeira e irão determinar o cálculo dos juros. Dependendo do tipo de 
capitalização dos juros – simples ou composta – o prazo incidirá de forma 
diferente, junto com a taxa de juros, no cálculodos juros. 
Neste ponto, cabe uma observação muito importante, muitas vezes 
podem ocorrer situações em que o prazo da operação financeira será diferente 
do prazo da taxa de juros. EXEMPLIFICAR isso implica a conversão de uma das 
duas variáveis, pois ambas precisam estar na mesma unidade de tempo, 
sempre! 
 
Capital ou Valor Presente (VP) 
Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal) em uma 
operação financeira. É, ainda, o valor à vista quando nos referimos, nos termos 
comerciais, àquele valor "com desconto" nas compras a prazo ou, quando se 
quita uma dívida adiantada, é o valor dela após abatidos os juros. 
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Ou seja, o Capital é o valor inicial sobre o qual incidem o prazo e a taxa 
de juros para se calcular os juros. 
 
Montante ou Valor Futuro (VF) 
Se o valor presente é o capital inicial de uma operação financeira, o 
Montante é o valor final, ou, o Valor Futuro, ou seja, após incidir a taxa de juros 
e o decorrer do prazo da operação financeira e somados/decrescidos os Juros 
resultantes dessa conta, tem-se o Valor Futuro. 
Agora que já vimos os conceitos básicos, temos a Equação financeira 
básica: 
VF = VP + J  Valor Futuro = Valor Presente + Juros 
Por sua vez temos também que: 
Juros = VF – VP  Juros = Valor Futuro – Valor Presente 
Ou 
Juros = VP x i  Juros = Valor Presente x Taxa de Juros 
Além disso, temos também: 
Taxa de Juros = – 1  Taxa de Juros = – 1 
Importante observar que não foi inserido ainda o prazo nas contas, pois a 
maneira como o prazo afetará a equação dependerá do tipo de capitalização da 
taxa de juros, conceitos que serão expostos nas Unidades seguintes. 
 
Vamos ver alguns exemplos para fixar esses conceitos. E também 
apresentar uma metodologia de resolução das questões, passo a passo. 
 
Exemplo 1: Fernanda investiu R$1.000,00 em um título de renda fixa; após o 
resgate recebeu R$100 de juros. Qual foi a taxa de juros dessa operação e qual o 
valor futuro da operação? 
10 
 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 1000 Juros = 100 VF = ? Taxa de Juros = ? 
2º Passo: elaborar as equações 
VF = VP + Juros Taxa de Juros = – 1 
3º Passo: calcular as equações 
VF = 1000 + 100  VF = 1100 
Taxa de Juros = – 1  Taxa de Juros = (1,1) – 1  0,1 ou 10% 
Resposta: Valor Futuro de R$1100 e Taxa de Juros de 10% 
 
Exemplo 2: A sua empresa realizou um empréstimo de R$2.000,00 por um 
determinado período de tempo. Após o término desse período, o banco lhe cobrou 
o pagamento do empréstimo acrescido de uma taxa de 20% de juros no período. 
Quanto sua empresa deve pagar ao banco e quanto desse montante são de juros? 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 2000 Taxa de Juros = 20% Juros = ? VF = ? 
2º Passo: elaborar as equações 
Juros = VP x Taxa de Juros Valor Futuro = Valor Presente + 
Juros 
3º Passo: calcular as equações 
Juros = 2000 x 20%  Juros = 400 
Valor Futuro = 2000 + 400  Valor futuro = 2400 
Resposta: Valor Futuro de R$2400 e Juros de R$400 
 
 
 
 
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Ampliando horizontes 
O autor Assaf Neto é uma das referências na produção textual com foco 
no mercado financeiro, sendo adotado em muitos cursos de graduação, pós-
graduação e MBAs por oferecer um bom enfoque matemático. 
Pesquise também os inúmeros materiais online contendo exercícios 
resolvidos, um website interessante é o 
http://www.somatematica.com.br/financeira.php, contendo um conteúdo 
resumido razoável e bons exemplos. 
Também recomendamos o http://www.matematicadidatica.com.br/ que 
contem vários materiais com exercícios resolvidos. 
Não se esqueça também da bibliografia básica e complementar, pois, 
possuem um enorme material para leitura e muitos exercícios. 
Outra dica importante para esse curso é buscar conhecer o 
funcionamento das calculadoras financeiras, em especial a HP12c, que é a mais 
comum delas. 
A seguir, algumas informações pertinentes sobre a calculadora (extraídas 
dos manuais fornecidos pela HP): 
 
http://www.somatematica.com.br/financeira.php
http://www.matematicadidatica.com.br/
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(n) Number of compounding periods: número de períodos. 
(i) Interest rate per compounding period: taxa de juros expressa em decimais. 
(PV) The present value of a compounded amount: Valor presente ou Principal. 
(FV) The future value of a compunded amount: Valor Futuro ou Montante. 
(PMT) Periodic payment amount: Valor de pagamento periódico ou valor da 
prestação mensal ou Parcelas. 
(CLX) Clear: limpa as informações anteriores recentes e a tela. 
(f) (CLX)REG: limpa todos os registros. 
(STO) (EEX) Storage: carrega na memória o "c" de juros compostos. 
(g) (BEG) Begin: os juros serão pagos a partir do início do período. 
(g) (END) End: os juros serão pagos no final de cada período. 
(CHS) Change Sinal: troca o sinal dos números na tela para + ou -. 
 
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UNIDADE 02. JUROS SIMPLES 
 
Objetivo 
Esta unidade tem por objetivo abordar os conceitos de Juros Simples, 
Capitalização Simples, Cálculo do Valor Presente e Futuro para Juros Simples, 
Conversão de Taxas e Prazos no Regime de Juros Simples e Desconto Simples. 
 
Bebendo na fonte 
Juros Simples 
É o regime de capitalização de juros, em que a taxa de juros incide 
apenas sobre o valor principal, sem se acumular periodicamente. Dessa forma, 
os juros resultantes de cada período terão valor idêntico e o prazo será apenas 
um multiplicador simples. Importante ressaltar que o prazo deve estar na 
mesma unidade de tempo que a taxa de juros, pois senão a multiplicação deles 
será incorreta, portanto, se o prazo estiver diferente da taxa de juros um dos 
dois precisa ser convertido. Assim, temos a seguinte fórmula: 
J = VP x i x n  Juros = Valor Presente x Taxa de Juros x Prazo 
Onde: J = juros VP = Valor Presente i = taxa de juros n = número 
de períodos/Prazo 
 
Vamos ver um exemplo para fixar o conceito: 
Temos uma dívida de R$ 2.000,00 na qual a taxa de juros é de 10% ao mês 
(a.m.) pelo regime de juros simples. Se essa dívida for cobrada após três meses 
qual será o valor dos Juros? 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 2000 Taxa de Juros = 10% a.m. Prazo = 3 meses Juros = ? 
2º Passo: Conferir se Taxa de Juros e Prazo estão na mesma unidade 
14 
 
Taxa de Juros de 3% ao mês ; Prazo de 3 meses ; OK 
3º Passo: Elaborar as equações 
Juros = VP x Taxa de Juros x Prazo 
4º Passo: Calcular as equações 
Juros = 2000 x 10% x 3  Juros = 600 
Resposta: Juros de R$600 
 
Conversão da taxa de juros ou do prazo no Regime Simples 
Muitas vezes, a Taxa de Juros e o Prazo não serão compatíveis e será 
necessário converter um dos dois para que fiquem na mesma unidade de 
tempo. Como o cálculo no regime simples é linear, essa conversão pode ser 
feita facilmente por meio da regra de três. 
Para converter a Taxa de Juros para a mesma unidade do prazo, a 
fórmula é a seguinte: 
 
Dessa forma, realize a regra de três e obtenha o valor desejado. Vejamos 
um exemplo para fixar o conceito. 
Exemplo: Um investimento de R$1000 à uma taxa de juros de 12% ao ano 
(a.a.) foi resgatado (encerrado) após 6 meses, qual foi o valor do Juros recebidos 
por esse investimento? 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 1000 Taxa de Juros = 12% a.a Prazo = 6 meses Juros = ? 
2º Passo: Conferir se Taxa de Juros e Prazo estão na mesma unidade 
Taxa de Juros de 12% ao ano; Prazo de 6 meses; Incompatíveis 
3º Passo: Converter a Taxa de Juros para o prazo mensal 
 
15 
 
 
4º Passo: Elaborar as equações 
Juros = VP x Taxa de Juros x Prazo 
5º Passo: Calcular as equações 
Juros = 1000 x 1% x 6  Juros = 600 
Resposta: Juros de R$600 
Da mesma maneira, para converter o prazo para a mesma unidade da 
taxa de juros a fórmula é a seguinte: 
 
Dessa forma, realize a regra de três e obtenha o valor desejado. Vejamos 
um exemplo para fixar o conceito. 
Exemplo: Em um investimento queremunera a uma taxa de juros de 10% 
ao ano, José deseja saber quanto tempo ele precisa deixar seu capital aplicado 
nesse investimento para que o mesmo lhe renda 5% de juros sobre o capital 
aplicado. 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
Taxa de Juros = 10% a.a Taxa de Juros desejada = 5% Prazo = ? 
2º Passo: Converter a Taxa de Juros anual para a taxa desejada 
 
 
Resposta: 6 meses ou ½ ano 
 
 
 
16 
 
Cálculo do Valor Presente e Valor Futuro no Regime Simples 
Agora que já abordamos o cálculo dos juros e a conversão das taxas e 
prazos, veremos como se dá o cálculo do Valor Presente e do Valor Futuro. De 
fato, o cálculo é muito simples, basta calcular os Juros e somá-los para 
encontrar o Valor Futuro. Quando houver incógnitas, basta elaborar e resolver a 
equação que é de 1º grau. 
Dessa forma, a equação final para o cálculo de operações financeiras no 
regime de capitalização simples é: 
 
VF = VP + (VP x i x n)  VF = VP x (1+ (i x n) ) logo, VP = 
Onde: VF = Valor Futuro VP = Valor Presente i = taxa de juros
 n = número de períodos/Prazo 
Veremos agora um exercício resolvido para fixar os conceitos: 
 
Ex1. Joaquim aplicou R$10.000,00 em um investimento que remunera 10% 
ao ano a juros simples, durante 16 meses. Calcule os Juros recebidos e o Montante 
que Joaquim irá receber após os 16 meses. 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 10000 Taxa de Juros = 10% a.a Prazo = 16 meses Juros=? VF=? 
2º Passo: Conferir se Taxa de Juros e Prazo estão na mesma unidade 
Taxa de Juros de 10% ao ano; Prazo de 16 meses; Incompatíveis 
3º Passo: Converter a Taxa de Juros para o prazo mensal 
 
 
4º Passo: Elaborar as equações 
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Juros = VP x Taxa de Juros x Prazo 
VF = VP + Juros  VF = VP + (VP x i x n)  VF = VP x (1+ (i x n) ) 
5º Passo: Calcular as equações 
Juros = 10000 x 0,833333% x 16  Juros = 1333,33 
VF = 10000 + 1333,33  VF = 13.333,33 
Ou VF = 10000 + (10000 x 0,833333% x 16)  VF = 10000 + (1333,33)  
VF = 13333,33 
Resposta: Juros de R$1333,33 e Valor Futuro de R$13.333,33 
 
Ex2. Ana fez um empréstimo em um banco que cobra 5% ao mês de juros 
simples, após 3 anos ela pagou ao Banco R$8400. Calcule os Juros pagos e qual 
foi o Valor que Ana emprestou. 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VF = 8400 Taxa de Juros = 5% a.m. Prazo = 36 meses ou 3 anos 
Juros=? VP=? 
2º Passo: Conferir se Taxa de Juros e Prazo estão na mesma unidade 
Taxa de Juros de 5% ao mês; Prazo de 36 meses; Compatíveis 
3º Passo: Elaborar as equações 
VF = VP x (1+ (i x n) )  VP = 
Juros = VP x Taxa de Juros x Prazo ou Juros = VF – VP 
4º Passo: Calcular as equações 
VP =  VP =  VP =  VP = 3000 
Juros = VF – VP  Juros = 8400 – 3000  Juros = 6400 
Ou Juros = 3000 x 5% x 36  Juros = 6400 
Resposta: Juros de R$6400 e Valor Presente de R$3000 
 
18 
 
Desconto Simples 
A didática do desconto pode ser facilmente entendida como sendo o 
inverso dos juros. Basicamente é a inversão da equação básica, você sabe o 
Valor Futuro e deseja saber qual será o Valor Presente; eles não têm esse nome, 
pois, na prática o que o ocorre é o Desconto de um Valor Nominal por uma taxa 
de juros simples multiplicada pelo prazo. Conforme a equação abaixo: 
 VD =  Valor Descontado = 
 
Ex2. Francisco recebeu uma ordem de pagamento de R$1000 para ser 
paga daqui a 6 meses, porém, precisa do dinheiro agora e foi a uma Factoring – 
uma empresa que adquire esse tipo de título após realizar um desconto – que 
cobra um desconto de 2% ao mês a juros simples. Quanto dinheiro Francisco 
recebeu? 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VN = 1000 Taxa de Juros = 2% a.m. Prazo = 6 meses VD=? 
2º Passo: Conferir se Taxa de Juros e Prazo estão na mesma unidade 
Taxa de Juros de 2% ao mês; Prazo de 6 meses; Compatíveis 
3º Passo: Elaborar as equações 
VD = 
4º Passo: Calcular as equações 
VD =  VD =  VD =  VD = 892,86 
Resposta: Valor Descontado de R$892,86 
 
 
 
19 
 
Ampliando horizontes 
A melhor maneira de fixar os conceitos apresentados nesta unidade é a 
realização de exercícios e a leitura de exercícios resolvidos. Busque exercícios 
difíceis, que as variáveis mudem, com várias etapas, que exijam, de uma só vez, 
todos os conceitos aqui apresentados. Ou seja, exercícios em que sejam 
necessários o cálculo do prazo, o desconto e também a conversão das taxas. 
Um website com muitos exercícios que recomendo é o 
www.matematicadidatica.com.br. 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/
20 
 
 
UNIDADE 03. JUROS COMPOSTOS 
 
Objetivo 
Esta unidade tem por objetivo abordar os conceitos de Juros Compostos, 
Capitalização Compostos, Cálculo do Valor Presente e Futuro para Juros 
Compostos, Conversão de Taxas e Prazos no Regime de Juros Compostos. 
 
Bebendo na fonte 
Juros Compostos 
É o regime de capitalização de juros, no qual a taxa de juros incide sobre 
o valor principal no primeiro período e, partir daí, o saldo acumulado se torna o 
valor principal do próximo período; dessa forma, os juros se acumulam a cada 
período até o último período (juros sobre juros), resultando numa equação 
geométrica que pode ser expressa da seguinte maneira: 
J = VP x ((1+i)n – 1)  Juros = Valor Presente x ((1+Taxa de Juros)Prazo–1) 
Onde: J = juros VP = Valor Presente i = taxa de juros n = número 
de períodos/Prazo 
 
Assim como ocorre nos Juros Simples, tome cuidado com a unidade do 
Prazo e da Taxa de juros. Vamos ver um exemplo para fixar o conceito: 
Temos uma dívida de R$ 1000,00 na qual a taxa de juros é de 5% ao mês 
(a.m.) pelo regime de juros compostos. Se essa dívida for cobrada após 3 meses 
qual será o valor dos Juros? 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 1000 Taxa de Juros = 5% a.m. Prazo = 3 meses Juros = ? 
2º Passo: Conferir se Taxa de Juros e Prazo estão na mesma unidade 
Taxa de Juros de 3% ao mês ; Prazo de 3 meses ; OK 
21 
 
3º Passo: Elaborar as equações 
Juros = Valor Presente x (1+Taxa de Juros)Prazo – 1) 
4º Passo: Calcular as equações 
Juros = 1000 x (1+5%)3  Juros = 1000 x 1,053  Juros = 1000 x 
1,157625 
Resposta: Juros de R$1157,62 
 
Conversão da taxa de juros ou do prazo no Regime Composto 
Muitas vezes, a Taxa de Juros e o Prazo não serão compatíveis e será 
necessário converter um dos dois para que fiquem na mesma unidade de 
tempo. Como o cálculo no regime composto é geométrico, essa conversão 
precisa ser feita com a equação abaixo: 
 
Vejamos um exemplo para fixar o conceito. 
Exemplo: Qual a taxa de juros mensal de um investimento que remunera à 
taxa de juros compostos de 15% ao ano? 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
Taxa de Juros = 15% a.a Prazo = 1 ano ou 12 meses 
Prazo desejado = 1 mês Taxa de Juros Desejada = ? 
2º Passo: Conferir se Taxa de Juros e Prazo estão na mesma unidade 
Taxa de Juros de 15% ao ano; Prazo de 1 mês; Incompatíveis 
3º Passo: Converter a Taxa de Juros para o prazo mensal 
 
   
 – 1  Taxa desejada = 1,1715% ao mês 
22 
 
Resposta: Taxa de Juros de 15% ao ano equivale à 1,1715% ao mês 
Já, para converter o prazo, é necessário isolar os prazos na equação 
previamente citada – processo longo demais para ser inserido aqui – o que 
resulta na seguinte equação: 
 
 Vejamos um exemplo para fixar o conceito. 
Exemplo: Em um investimento que remunera a uma taxa de juros de 12% 
ao ano, José deseja saber quanto tempo ele precisa deixar seu capital aplicado 
nesse investimento para que o mesmo lhe renda 7% de juros sobre o capital 
aplicado. 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
Taxa de Juros = 12% a.a Taxa de Juros desejada = 7% Prazo = ? 
Prazo da taxa de juros = 1 ano ou 12 meses 
2º Passo: Converter a Taxa de Juros anual para a taxa desejada 
  
  = 7,16415 meses 
Para converter esse valor em meses e dias: 1 mês é igual a30 dias, logo, 
basta multiplicar 30 dias por 0,16415 que teremos 4,9245 dias. 
Resposta: 7 meses e 5 dias ou 7,16415 meses 
 
Cálculo do Valor Presente e Valor Futuro no Regime Composto 
Agora que já abordamos o cálculo dos juros e a conversão das taxas e 
prazos, veremos como se dá o cálculo do Valor Presente e do Valor Futuro. Ao 
contrário dos juros simples, o cálculo agora é um pouco complicado, pois se 
trata de uma equação geométrica. Dessa forma, a equação final para o cálculo 
de operações financeiras no regime de capitalização composta é: 
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VF = VP x (1+i)n  Valor Futuro = Valor Presente x (1+Taxa de Juros)Prazo 
Onde: J = juros VP = Valor Presente i = taxa de juros n = número 
de períodos/Prazo 
Veremos agora um exercício resolvido para fixar os conceitos: 
 
Ex1. João aplicou R$7000,00 em um investimento que remunera 8% ao 
ano a juros compostos, durante 10 meses. Calcule os Juros recebidos e o Montante 
que João irá receber após os 10 meses. 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 7000 Taxa de Juros = 8% a.a Prazo = 10 meses Juros=? VF=? 
2º Passo: Conferir se Taxa de Juros e Prazo estão na mesma unidade 
Taxa de Juros de 8% ao ano; Prazo de 10 meses; Incompatíveis 
3º Passo: Converter a Taxa de Juros para o prazo mensal 
   
 – 1  Taxa Desejada = 0,6434% ao mês 
4º Passo: Elaborar as equações e Calcular as equações 
VF = VP x (1+ i )n e Juros = VF – VP 
VF = 7000 x (1+0,6434%)10  VF = 7000 x (1,006434)10  
VF = 7000 x 1,0662354  VF = 7463,65 
Juros = 7463,65 – 7000  Juros = 463,65 
Resposta: Juros de R$463,65 e Valor Futuro de R$7463,65 
 
Ex2. Ana fez um empréstimo em um banco que cobra 15% ao ano de juros 
compostos, após 26 meses ela pagou ao Banco R$16244. Calcule os Juros pagos e 
qual foi o Valor que Ana emprestou. 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VF = 8400 Taxa de Juros = 5% a.m. Prazo = 36 meses ou 3 anos 
24 
 
Juros=? VP=? 
2º Passo: Conferir se Taxa de Juros e Prazo estão na mesma unidade 
Taxa de Juros de 15% ao ano; Prazo de 26 meses; Incompatíveis 
3º Passo: Converter a Taxa de Juros para o prazo mensal 
   
 – 1  Taxa Desejada = 1,1715% ao mês 
4º Passo: Elaborar as equações e Calcular as equações 
VF = VP x (1+ i )n  VP = e Juros = VF -VP 
VP =  VP =  VP = 
VP = 12000 
Juros = 16244 – 12000  Juros = 4244 
Resposta: Juros de R$4244 e Valor Presente de R$12000 
 
Desconto Composto 
A didática do desconto pode ser facilmente entendida como sendo o 
inverso dos juros. Basicamente é a inversão da equação básica. Você sabe o 
Valor Futuro e deseja saber qual será o Valor Presente; eles não têm esse nome, 
pois, na prática o que o ocorre é o Desconto de um Valor Nominal por uma taxa 
de juros composta. Conforme a equação abaixo: 
VD =  Valor Descontado = 
 
Exemplo: Francisco recebeu uma ordem de pagamento de R$10000 para 
ser paga daqui a 10 meses, porém, precisa do dinheiro agora e foi à uma 
Factoring – uma empresa que adquire esse tipo de título após realizar um 
25 
 
desconto – que cobra um desconto de 1% ao mês à juros compostos. Quanto 
dinheiro Francisco recebeu? 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VN = 10000 Taxa de Juros = 1% a.m. Prazo = 10 meses VD=? 
2º Passo: Conferir se Taxa de Juros e Prazo estão na mesma unidade 
Taxa de Juros de 1% ao mês; Prazo de 10 meses; Compatíveis 
3º Passo: Elaborar as equações 
VD = 
4º Passo: Calcular as equações 
VD =  VD =  VD =  VD = 
9052,87 
Resposta: Valor Descontado de R$ 9052,87 
 
Ampliando horizontes 
A melhor maneira de fixar os conceitos apresentados nesta unidade é a 
realização de exercícios e a leitura de exercícios resolvidos. Busque exercícios 
difíceis, que as variáveis mudem, com várias etapas, que exijam, de uma só vez, 
todos os conceitos aqui apresentados. Ou seja, exercícios em que sejam 
necessárias a conversão das taxas, o cálculo do prazo, do desconto, etc. 
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26 
 
 
UNIDADE 04. TAXAS EFETIVAS, PROPORCIONAIS E 
NOMINAIS 
 
Objetivo 
Abordar as questões relativas à conversão de taxas de juros para 
adequação aos prazos conforme ocorre no cotidiano das empresas no mercado 
financeiro brasileiro. 
 
Bebendo na fonte 
As calculadoras financeiras, em especial a HP12c, estão baseadas na 
condição de que a taxa de juros e o prazo estejam em unidades compatíveis. 
Assim, uma taxa de juros anual de 5% requer um investimento com prazo 
estabelecido em anos; se for uma taxa mensal, o prazo deverá estar em meses e 
assim por diante. 
Entretanto, no nosso cotidiano, as taxas de juros e os períodos de 
capitalização nem sempre são compatíveis; como já vimos em capítulos 
anteriores, é necessário realizar cálculos de conversão das taxas e dos prazos. 
Porém, até agora os problemas e as conversões apresentadas foram 
simplificadas e, agora, veremos como realmente acontece no mercado 
financeiro. 
 
Taxa Efetiva 
Taxa de juros efetiva é aquela em que a unidade referencial de tempo é 
compatível com a unidade de tempo do prazo. Por exemplo: 
a) 2% ao mês, capitalizados mensalmente em um investimento com prazo 
determinado em meses; 
27 
 
b) 3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente em um investimento com 
prazo determinado em trimestres; 
c) 6% ao semestre, capitalizados semestralmente em um investimento com 
prazo determinado em semestres; 
d) 10% ao ano, capitalizados anualmente em um investimento com prazo 
determinado em anos. 
Nesse caso, tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos 
tempos da taxa de juros e dos períodos de capitalização, costuma-se dizer: 2% 
ao mês, 3% ao trimestre, 6% ao semestre, 10% ao ano. 
A taxa efetiva é utilizada nas calculadoras financeiras e nas funções 
financeiras das planilhas eletrônicas. É a taxa que buscamos para poder realizar 
os cálculos financeiros corretamente. 
 
Taxas Proporcionais 
Taxas de juros proporcionais são aquelas fornecidas em unidades de 
tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um 
mesmo prazo, produzem um mesmo montante e a mesma quantidade de juros 
para aquele prazo, no regime de capitalização simples. O conceito de taxas 
proporcionais está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros simples e é 
esclarecido pelo exemplo a seguir. 
Calcule os montantes a partir de um principal de R$1000, no regime de 
juros simples, com as seguintes taxas de juros, para um prazo de 4 anos: 
a) 12% ao ano 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 1000 Taxa de Juros = 12% a.a. Prazo = 4 anos Juros = ? VF = ? 
2º Passo: Adaptar o prazo à periodicidade da taxa de juros 
Taxa de Juros de 12% ao ano ; Prazo de 4 anos ; OK 
3º Passo: Elaborar as equações 
28 
 
Juros = VP x Taxa de Juros x Prazo 
VF = VP + Juros 
4º Passo: Calcular as equações 
Juros = 1000 x 12% x 4  Juros = 1000 x 48%  Juros = 480 
VF = VP + Juros  VF = 1000 + 480  VF = 1480 
Resposta: Juros de R$480 e Montante de R$1480 
 
b) 6% ao semestre 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 1000 Taxa de Juros = 6% a.s. Prazo = 4 anos Juros = ? VF = ? 
2º Passo: Adaptar o prazo à periodicidade da taxa de juros 
Taxa de Juros de 6% ao semestre ; Prazo de 4 anos 
1 ano tem 2 semestres, logo, 4 anos tem 8 semestres. 
3º Passo: Elaborar as equações 
Juros = VP x Taxa de Juros x Prazo 
VF = VP + Juros 
4º Passo: Calcular as equações 
Juros = 1000 x 6% x 8  Juros = 1000 x 48%  Juros = 480 
VF = VP + Juros  VF = 1000 + 480  VF = 1480 
Resposta: Juros de R$480 e Montante de R$1480 
 
c) 1% ao mês 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 1000 Taxa de Juros = 6% a.s. Prazo = 4 anos Juros = ? VF = ? 
2º Passo: Adaptar o prazo à periodicidade da taxa de juros 
Taxade Juros de 1% ao mês ; Prazo de 4 anos 
1 ano tem 12 meses, logo, 4 anos tem 48 semestres. 
3º Passo: Elaborar as equações 
29 
 
Juros = VP x Taxa de Juros x Prazo VF = VP + Juros 
4º Passo: Calcular as equações 
Juros = 1000 x 1% x 48  Juros = 1000 x 48%  Juros = 480 
VF = VP + Juros  VF = 1000 + 480  VF = 1480 
Resposta: Juros de R$480 e Montante de R$1480 
 
É importante notar que os cálculos foram realizados no regime de juros 
simples e que nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos; se não 
fosse assim, não seria possível demonstrar a proporcionalidade. 
Como o montante obtido no final dos quatro anos foi sempre igual a R$ 
1480, podemos concluir que as taxas de 12% a.a., 6% a.s. e 1% a.m. são 
proporcionais, pois produzem o mesmo montante, ao serem aplicadas sobre o 
mesmo principal, pelo mesmo prazo no regime de juros simples. 
 
Taxa Nominal 
Taxa de juros nominal é aquela em que a unidade referencial de seu 
tempo não coincide com a unidade de tempo do prazo da operação financeira. 
A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais e os períodos de 
capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. 
A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não representa 
uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no 
regime de juros compostos. 
Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que 
é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa 
efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros 
simples. 
Nos exemplos a seguir, a taxas efetivas que estão implícitas nos 
enunciados das taxas nominais são as seguintes: 
30 
 
a) 12% ao ano, capitalizados mensalmente; 
1 ano tem 12 meses, logo basta dividir a taxa anual pelo número de 
meses de 1 ano e teremos: 1% ao mês 
b) 24% ao ano, capitalizados semestralmente; 
1 ano tem 2 semestres, logo basta dividir a taxa anual pelo número de 
semestres que 1 ano tem e teremos: 12% ao semestre 
c) 10% ao ano, capitalizados trimestralmente; 
1 ano tem 4 trimestres, logo basta dividir a taxa anual pelo número de 
trimestres de 1 ano e teremos: 2,5% ao trimestre 
Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar todos 
os cálculos financeiros, no regime de juros compostos, com valores das taxas 
efetivas correspondentes, ou seja, 1% ao mês. 12% ao semestre, 2,5% ao 
trimestre e 0,05% ao dia. 
Após a realização dessa conversão, deve-se tomar cuidado, pois o 
mercado financeiro brasileiro, em geral, utiliza a capitalização de juros 
compostos nas suas operações financeiras, então, após a conversão da taxa 
nominal para a efetiva, os cálculos que se seguirem devem ser feitos 
normalmente, conforme as equações dos juros compostos. 
Outra observação importante é tomar cuidado quando ocorrer de o 
prazo da operação financeira ser diferente do prazo da taxa efetiva obtida, pois 
deverá ser feita outra conversão da periodicidade da taxa e, desta vez, o cálculo 
efetuado deve seguir a equação de conversão para juros compostos. Vejamos 
um exemplo para fixar esses conceitos: 
31 
 
Um dado investimento remunera a taxa de juros compostos de 12% ao ano 
capitalizados trimestralmente. Ana aplicou seu capital nesse investimento durante 
6 meses; qual foi a taxa de rendimento obtida? 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
Taxa de Juros Nominal= 12% a.a. capitalizada trimestralmente 
Prazo = 6 meses Taxa de Juros Efetiva = ? Taxa da operação = ? 
2º Passo: Obter a Taxa Efetiva convertendo a Taxa Nominal 
12% ao ano capitalizada trimestralmente; 1 ano tem 4 trimestres, logo 
basta dividir a taxa anual pelo número de trimestres de 1 ano e teremos: 
  3% ao trimestre 
3º Passo: Converter a Taxa de Juros para o prazo mensal 
1 ano tem 4 trimestras, logo :  
 – 1  
Taxa Desejada = 0,7417% ao mês 
4º Passo: Elaborar as equações e Calcular as equações 
Taxa da operação= ((1+Taxa de JurosPrazo)) – 1  ((1+0,7417%)6) – 1 
((1,007417)6) – 1 (1,045336) – 1Taxa da Operação = 0,0453358 
Resposta: Taxa da Operação após 6 meses é de 4,5336% 
 
Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa 
nominal anual é sempre obtida no regime de juros simples. A taxa anual 
equivalente a essa taxa efetiva implícita é sempre maior que a taxa nominal que 
lhe deu origem, pois essa equivalência é sempre feita no regime de juros 
compostos. Essa taxa anual equivalente será tanto maior quanto maior for o 
número de períodos de capitalização da taxa nominal. 
 
32 
 
Ampliando horizontes 
A melhor maneira de fixar os conceitos apresentados nesta unidade é a 
realização de exercícios e a leitura de exercícios resolvidos. Busque exercícios 
difíceis, em que as variáveis mudem, com várias etapas, que exijam, de uma só 
vez, todos os conceitos aqui apresentados. Ou seja, exercícios em que sejam 
necessários o cálculo do prazo, do desconto, a conversão das taxas, etc. 
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33 
 
 
UNIDADE 05. TAXA EQUIVALENTE, BRUTA, NOMINAL, 
LÍQUIDA E REAL 
 
Objetivo 
Conceituar e capacitar o aluno no cálculo das taxas Bruta, Nominal, 
Líquida e Real. Indicadores de performance financeira utilizados no mercado e 
que indicam se, de fato, uma operação financeira de investimento foi lucrativa. 
 
Bebendo na fonte 
Taxas Equivalentes 
Taxas de juros equivalentes são aquelas dadas em unidades de tempo 
diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo 
prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele tempo, no 
regime de juros compostos. 
O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao 
regime de juros compostos e é esclarecido pelos exemplos dados abaixo. 
Portanto, podemos observar que a diferença entre as taxas equivalentes 
e as taxas proporcionais se resume ao regime de capitalização de juros 
considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples e as taxas 
equivalentes se baseiam em juros compostos. 
Exemplo: Determinar os montantes acumulados no final de quatro anos, a 
partir de um principal de R$1000, no regime de juros compostos, com as seguintes 
taxas de juros: 
a) 12,6825% ao ano 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 1000 Taxa de Juros = 12,6825% a.a. Prazo = 4 anos 
Juros = ? VF = ? 
34 
 
2º Passo: Adaptar o prazo à periodicidade da taxa de juros 
Taxa de Juros de 12% ao ano ; Prazo de 4 anos 
Ok 
3º Passo: Elaborar as equações 
Juros = VP x ((1+Taxa de Juros)Prazo) – 1) 
VF = VP x (1+Taxa de Juros)Prazo 
4º Passo: Calcular as equações 
Juros = 1000 x ((1+12,6825%)4) – 1)  Juros = 1000 x (1,612226 – 1) 
 Juros = 1000 x (0,612226)  Juros = 612,23 
VF = 1000 x (1+12,6825%)4  VF = 1000 x (1,612226)  VF = 1612,23 
Resposta: Juros de R$612,23 e Montante de R$1612,23 
 
b) 6,1520% ao semestre 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
VP = 1000 Taxa de Juros = 6,1520% a.s. Prazo = 4 anos 
Juros = ? VF = ? 
2º Passo: Adaptar o prazo à periodicidade da taxa de juros 
Taxa de Juros de 6,1520% ao semestre ; Prazo de 4 anos 
 1 ano tem 2 semestres, logo, 4 anos tem 8 semestres. 
3º Passo: Elaborar as equações 
Juros = VP x ((1+Taxa de Juros)Prazo) – 1) 
VF = VP x (1+Taxa de Juros)Prazo 
4º Passo: Calcular as equações 
Juros = 1000 x ((1+6,1520%)8) – 1)  Juros = 1000 x (1,612226 – 1) 
 Juros = 1000 x (0,612226)  Juros = 612,23 
VF = 1000 x (1+6,1520%)8  VF = 1000 x (1,612226)  VF = 1612,23 
Resposta: Juros de R$612,23 e Montante de R$1612,23 
35 
 
Observe que os cálculos foram realizados no sistema de juros compostos 
e que nos três casos o principal e o prazo foram os mesmos. 
Como o montante obtido no final de quatro anos foi sempre o mesmo, 
pode-se concluir que as taxas 12,6825%ao ano e 6,1520% ao semestre são 
taxas equivalentes, pois produzem o mesmo montante ao serem aplicadas 
sobre o mesmo principal, pelo mesmo prazo, no regime de juros compostos. 
 
Taxas segundo a ótica da Rentabilidade 
Agora que já abordamos o funcionamento e os cálculos de operações 
financeiras para juros simples, compostos, a conversão de taxas e prazos e 
conceituamos as conversões para diversos tipos de capitalização, vamos 
abordar uma questão prática e necessária para a avaliação de qualquer 
investimento: os efeitos da Inflação e dos Tributos sobre a lucratividade da 
operação financeira. 
No cotidiano do gestor financeiro, que lida com decisões de 
investimento, tudo o que já foi abordado até aqui acontece com frequência, 
normalmente, os cenários possuem várias incógnitas e exigem a utilização de 
quase todos os conceitos apresentados até o momento de uma só vez, é 
necessário converter a taxa nominal para efetiva, depois adequá-la ao prazo da 
operação; em seguida, calcular os juros e o valor futuro, porém, mais alguns 
cálculos são necessários ainda. 
Todos os exemplos citados, até aqui, nessa apostila, resultaram em Juros 
e Taxas de Juros que não consideraram o efeito da inflação sobre a operação 
financeira, nem sequer foram abatidos os tributos. No mundo real, infelizmente, 
temos que levar essas duas variáveis em conta, a inflação mede a deterioração 
do dinheiro e a sua perda de poder de compra, logo, tem um efeito negativo 
sobre a rentabilidade de um investimento. Da mesma maneira, os impostos 
incidem sobre a lucratividade da operação, reduzindo o seu valor final; dessa 
36 
 
forma, para se ter uma ideia correta da lucratividade de uma operação 
financeira, é necessário considerar essas duas variáveis. 
Mais considerações sobre Inflação, Tributação, Lucratividade, 
Rentabilidade, entre outros conceitos econômicos são abordados na 
apostila da disciplina de Economia aplicada a Negócios. 
Vamos primeiramente conceituar os tipos de taxas de acordo com a ótica 
da Rentabilidade: 
 
Taxa Nominal: Apesar da semelhança no nome, nada tem a ver com a Taxa 
Nominal citada na unidade anterior; essa taxa expressa o valor de rentabilidade 
sem considerar os efeitos da inflação; portanto, todos os exemplos dados na 
apostila, até aqui, foram de Juros e Taxas de Juros Nominais. 
Taxa Bruta: É aquela que não considera o abatimento dos tributos. Portanto, 
todos os exemplos citados até aqui também são de Juros e Taxas de Juros 
Brutos. Logo, podemos dizer que todos os resultados dos investimentos usados 
nos exemplos são resultados Brutos Nominais. 
Taxa Real: É aquela em que é considerada a inflação, portanto, a taxa de juros 
da operação deve ser reduzida pela inflação ou acrescida em caso de deflação – 
que é quando a inflação é menor do que zero. Vejamos a fórmula abaixo: 
 
Vejamos um exemplo para fixar os conceitos: 
Um investimento remunera 10% de juros ao ano, se a inflação acumulada 
nesse ano for de 5% qual será a rentabilidade real de uma operação de 
investimento com 1 ano de duração? 
1º Passo: definir as variáveis e as incógnitas 
Taxa de Juros Nominal Bruta = 10% a.a. Inflação = 5% no ano 
Taxa de Juros Real Bruta= ? Prazo = 1 ano 
37 
 
2º Passo: Obter a Taxa Real 
Taxa Real =  = 1,047619 
Resposta: Taxa Real Bruta de 4,762% no ano em questão. 
 
Importante fazer aqui algumas observações importantes: primeiro, o 
leitor atento perceberá na resposta do exemplo acima em que está escrito Taxa 
Real Bruta no ano em questão, isso porque a inflação do ano em questão foi 
de 5% e a do ano seguinte não foi definida, logo o cálculo da taxa real deve ser 
feito periodicamente. Além disso, existem investimentos que remuneram de 
duas maneiras a taxa nominal, como visto nos exemplos das unidades 
anteriores, ou a taxa real. O cálculo exposto no exemplo acima é apenas para 
fins de avaliação da rentabilidade de um investimento; na hora de calcular um 
investimento, mesmo se houver inflação, a taxa utilizada deve ser a nominal, a 
taxa real serve apenas para avaliar a rentabilidade – afinal, a inflação não 
diminui a quantidade de dinheiro paga em juros, apenas o poder de compra 
desse montante de dinheiro – lembre-se disso também na hora de calcular os 
tributos, pois eles incidem sobre o valor bruto nominal. 
Quando um investimento lhe dá a opção de escolher entre um 
rendimento nominal e um real, nada mais é do que uma aposta entre você e o 
fornecedor do investimento. Ele está lhe dizendo que pode lhe pagar, por 
exemplo, uma taxa de juros nominal de 5% no ano ou 1% de taxa de juros reais, 
o que significa que ele irá lhe pagar 1% de juros mais a inflação acumulada no 
ano em questão. Vejamos o exemplo: 
Dois títulos de investimento lhe foram oferecidos, o primeiro remunera a uma 
taxa de juros nominais de 10% ao ano, o segundo remunera a uma taxa de juros reais 
de 6% ao ano. Se a inflação no ano for de 4%, qual título você deve escolher? 
38 
 
Taxa Real =  = 1,05769 
Título 1 : Taxa de Rentabilidade Real Bruta de 5,769% 
Título 2 : Taxa de Rentabilidade Real Bruta de 6% 
Resposta: O título 2 rende mais se a inflação for de 4% ao ano ou mais. 
 
Taxa Líquida: Por último, temos a taxa em que são abatidos os tributos; essa 
taxa pode ser calculada no final da operação financeira, abatendo os tributos 
sobre os Juros obtidos e depois dividindo o valor desses juros pelo Principal, ou 
abatendo o valor da alíquota do imposto da taxa de juros do investimento; com 
a taxa líquida, é possível saber de antemão qual será o lucro da operação 
financeira após pagos os tributos. Vejamos as duas fórmulas: 
Taxa Líquida = ou Taxa Líquida = Taxa de Juros x (1 – Taxa 
Imposto) 
Fórmula para Juros Simples  VF = VP x [1[+(i*(1-t))n]] 
Fórmula para Juros Compostos  VF = VP x [1+(i*(1-t))]n 
J = juros VP = Valor Presente VF = Valor Futuro i = taxa de juros 
t = Taxa Imposto ou Alíquota de Imposto n = número de períodos/Prazo 
Por exemplo, para um investimento de R$200 que remunera 50% ao ano e rendeu 
R$100 de Juros em um ano com uma alíquota de IR é de 20% sobre o lucro ao ano, a 
taxa líquida será obtida seguindo o cálculo abaixo: 
VP = 200 J = 100 n=1 t= 20% ilíquida=? ibruta = 50% 
Taxa Líquida = 50% x (1 – 20%)  0,5 x 0,8  0,4  Taxa Líquida = 40% 
Taxa Líquida =   Taxa Líquida = 40% 
Vamos aproveitar o exemplo para apresentar os dois possíveis Montantes, 
com e sem a cobrança de impostos; basta alterar entre a taxa de juros bruta e líquida: 
39 
 
VFBruto = 200 x 1+50% = 200 x 1,5 = VF = 300 
VFLíquido = 200 x 1+40% = 200 x 1,4 = VF = 280 
 
Impostos pagos = VFbruto – VFlíquido ou Juros x Taxa Imposto 
Impostos = 300 – 280 = 20 ou 100 x 20% = 20 
Observação final da Unidade: Taxa Real e Líquida podem ser calculadas 
juntas, mas é preciso fazer esta operação com cuidado, o imposto incide sobre o valor 
nominal, logo, primeiro calcule o Lucro Nominal Bruto com a taxa de nominal, em 
seguida abata os Impostos e obtenha o Lucro Nominal Líquido; somente então deprecie 
com a Inflação para obter o Lucro Real Líquido. Não tente realizar esse cálculo de outra 
maneira, evitando assim resultados equivocados. Mais sobre esse assunto na disciplina 
de Gestão Financeira no módulo específico. 
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