AULA 2 CONCEITOS

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Matemática Financeira
Conceitos:
Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em determinados e reais procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um fluxo de caixa.
Matemática Financeira
O estudo da matemática financeira se concentra no estudo do crescimento do capital em função dos juros que são acrescidos a ele ao longo do tempo. ( Samanez, 2009).
Matemática Financeira
Juros Simples
Nos juros simples ou regime de capitalização simples o dinheiro cresce linearmente de forma continua ou em progressão aritmética com o passar do tempo, pois os juros de cada período são sempre calculados sobre o valor inicial, não havendo incidência de juros sobre juros.
Juros Simples
Exemplo 1.2 – Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100 no Banco do Futuro, pelo prazo de 4 meses, com uma taxa de 10 % ao mês, no regime de juros compostos. Determinar o saldo final acumulado nesta
aplicação.
	Mês	Capital	juros	 Montante
	1	R$ 100,00	100x0,1 = 10,00	$ 110,00
	2	R$ 100,00	100x0,1 = 10,00	$ 120,00
	3	R$ 100,00	100x0,1 = 10,00	$ 130,10
	4	R$ 100,00	100x0,1 = 10,00	$ 140,41
Juros Simples
Nesse regime de capitalização, os juros são calculados sempre sobre o valor do capital inicial e, quando multiplicados pelo número de períodos da operação juntamente com a taxa de juros, resumem-se na seguinte fórmula: 
J = juros 
C= Capital inicial 
i =taxa unitária de juros (taxa porcentual dividida por 100) 
t = número de períodos que o capital ficou aplicado
Matemática Financeira
Juros Simples
Onde se aplica os juros simples: No mercado financeiro, pouquíssimas são as transações que adotam o regime de juros simples.
 Desconto das duplicatas
 Aplicações de curtíssimo prazo
 Além de alguns casos como aluguel de imóveis)
Matemática Financeira
Juros Compostos
Nos juros Compostos No regime de juros compostos, ou regime de capitalização compostos, o cálculo dos juros ocorre sempre de forma cumulativa, ou seja, os juros gerados em cada período são incorporados ao capital formando o montante (capital mais juros) do período
Para visualizarmos como se dá a capitalização nos juros compostos, vamos utilizar os mesmos dados do exemplo que fizemos no item de juros simples só que agora faremos o cálculo a juros compostos:
Valor Presente ( PV ) - É o valor inicial ou pode ser chamado de valor principal
Valor Futuro (FV) – É conhecido em juros compostos como valor futuro, montante ou valor pago ao final do periodo.
Taxa de Juros( i ) É um coeficiente que indica o percentual de juros a ser pago dentro de um determinado período
Tempo ou período ( n ) É o tempo de Aplicação de um determinado investimento
Parcelas ou Prestações ( PMT) – É a quantidade de parcelas a ser pagas 
Formula:
M = C ( 1 + i )n
Matemática Financeira
Juros Compostos
Exemplo 1.2 – Uma pessoa aplicou a quantia de R$ 100 no Banco do Futuro, pelo prazo de 4 meses, com uma taxa de 10 % ao mês, no regime de juros compostos. Determinar o saldo final acumulado nesta
aplicação.
	Mês	Calculo dos J. Mensais	Valor do Montante
	1	R$ 100x(1+0,10) =	$ 110,00
	2	R$ 110x(1+0,10) =	$ 121,00
	3	R$ 121x(1+0,10) =	$ 133,10
	4	R$ 133.1x(1+0,10)	$ 146,41
Taxas 
Taxas proporcionais são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes mais proporcionais entre si, que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um determinado prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.
EXEMPLO:
12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre;
1% ao mês é proporcional a 12% ao ano.
Taxas equivalentes são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.
Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.
Taxa nominal :
É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
Exemplos:
12% ao ano, capitalizados mensalmente;
24% ao ano, capitalizados semestralmente;
10% ao ano, capitalizados trimestralmente;
18% ao ano, capitalizados diariamente.
Taxas
Taxa Efetiva :  É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:
Exemplos:
2% ao mês, capitalizados mensalmente;
3% ao trimestre, capitalizados trimestralmente;
6% ao semestre, capitalizados semestralmente;
10% ao ano, capitalizados anualmente.
Taxas
Taxa Interna de Retorno: É taxa para a qual o valor presente do fluxo de caixa é nulo.
Taxa mínima de atratividade: taxa que expressa um valor de referência para ganhos periódicos a partir do qual uma pessoa considera ser interessante investir.
Taxa prefixada: taxa que é definida e conhecida previamente ao início do primeiro período do intervalo de tempo ao qual a mesma se refere.
Taxa pós-fixada: taxa cujo valor numérico somente fica definido e conhecido após transcorrer-se o intervalo de tempo à qual a mesma se refere, uma vez que é função de pelo menos uma variável cujo valor numérico somente é conhecido após tal transcurso. 
Taxas
Taxas Proporcionais
EXEMPLO:
 Em juros simples, um capital de R$500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros. Isto é:
2,5% a.m
15% a.s
30% a.a 
J(2,5% a.m)= R$ 500.000,00 X 0,025 X 12 = R$ 150.000,00
J(15% a.s ) = R$ 500.000,00 x 0,15 X 2 = R$ 150.000,00
J(30% a .a) = R$ 500.000,00 X 0,30 X 1 = R$ 150.000,00
OBS: Explicar no quadro!
Formulas
Juros Compostos:
Formula:
FV = PV x (1 + i)n
Onde:
J = juros
PV = valor presente ou capital inicial
i = taxa de juros
n = número de períodos
FV = valor futuro ou montante final
	Varável	Símbolo	Definição
	Prazo
 	n	Duração da operação;
Outras denominações: tempo, número de períodos, Quantidade de prestações 
	Juro	J	Remuneração (ou pagamento) que se deve receber (ou fazer) pelo empréstimo de capital.
	Taxa de Juro	i	Coeficiente que determina o valor do juro;
Custo de fazer empréstimos (tomadores);
Remuneração do capital (poupadores).
	Valor Presente	PV	Capital em determinado momento (tomado emprestado ou aplicado);
Outras denominações: capital, valor atual, valor presente, principal da operação, valor de aquisição, valor do empréstimo, valor do financiado, valor do resgate antecipado etc.
	Valor Futuro	FV	Valor do capital em qualquer período posterior ao analisado (capital inicial mais juros);
Valor acumulado resultante de uma determinada quantia de capital aplicada a uma taxa periódica de juro por determinado tempo;
Outras denominações: montante, futuro, valor acumulado da operação, valor nominal de um título, valor de face, valor residual de um bem, valor do capital acrescido de seus rendimentos etc.
	Parcela	PMT	fluxo de caixa, valor de cada parcela, de cada prestação, de cada depósito, de cada amortização etc.
Exercícios de juros simples
6 - Paulo recebeu de sua indenização R$ 27.000 e aplicou em um banco recebendo um montante de R$ 38.664,00, há uma taxa de 28,8% a.a. Quanto tempo (n) durou essa aplicação em juros Simples?
7 - Fez-se uma determinada aplicação de R$ 2.000,00, durante 5 bimestre, cujo recebimento final foi de R$ 3.000,00 . Determine em meses a taxa de Juros desse investimento.
8 - Determine a (Taxa de juros) de uma empréstimo de R$ 6.000,00 que rendeu um montante de R$ 11.760,00 pelo período de 12 meses .
9 - Timóteo pagou mensalmente peloperíodo de 1 ano , por um curso que avista custava R$ 1.800,00. Por não ter dinheiro financiou por uma taxa de 1,3% a.m. Qual o valor dos Juros e qual o valor total pago pelo curso? R = R$ 2.080,80
10 - Um capital de 500,00 a 20% a.t durante 9 meses. Qual foi o valor dos juros aplicados? 
Exercícios de juros simples
1 – Calcular o montante de uma aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses a uma taxa de 3% a.m em regime de juros simples.
2 – Certo Investidor fez uma aplicação de R$ 100.000,00 durante 12 meses em banco, optando por uma taxa de juros de 2% a.m. Qual será a valor desse investimento no final de uma capitalização simples.
3 – Para obter um montante de R$ 5.000,00 o senhor Carlos Reis resolveu comprar um Titulo Publico por uma taxa de 10% a.s por um período de 6 anos. Qual será o valor do titulo no inicio de sua aplicação em juros simples?
4 - Qual será o capital investido por um prazo de 12 meses a uma taxa de 12% a.m para obter um montante de R$ 10.000,00?
5 – Um capital de R$ 3.000,00 rende em juros R$ 900,00 com uma taxa de 24% a.a. Determine o devido tempo desse Investimento em meses em forma de juros simples.
Exercícios de juros Compostos
Qual o montante produzido por um capital de R$ 1.000 aplicado em regime de juros Compostos , a taxa de 10% a.m por 2 anos?
Um capital de R$ 20.000 é aplicado a juros compostos pelo período de três anos. Determine a valor do montante. 
Determinar o prazo de uma aplicação de R$ 50.000,00, no regime de capitalização composta, à taxa de 7% ao mês, cujo resgate foi de R$ 65.539,80.
Qual o montante que você terá dentro de 2 anos se aplicar R$ 10.000,00 à taxa de 72% a.a., capitalizada trimestralmente?
Carlos faz uma aplicação pra compra um Terreno no valor de R$ 95.000 por um período de 9 meses, pagando uma taxa de 1,86% a.m. Quanto foi preciso aplicar para a realização da compra do terreno?
Exercícios de juros Compostos
6. Um capital de R$ 22.000 aplicado a uma taxa composta de juros de 2,4% a.m, produz um montante R$ 26.596,40. Calcule qual o prazo da operação. 
7. Uma empresa tomou emprestado R$ 400.000 por 6 meses, devolvendo R$ 550.000 no final do período. Qual a taxa de juros desse empréstimo?
8. O capital de R$ 1.500,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 2 meses, juros de R$ 153,75. Qual foi a taxa de juros? 
9. Uma aplicação de R$ 27.000 efetuada em determinada data produz, à taxa composta de juros de 3,4 % ao mês, um montante de R$ 34.119,88 em certa data futura. Calcular o prazo da operação.
10. Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 78.000, pelo prazo de 7 meses, sabendo que a taxa cobrada é
de 3 % ao mês.
Exercício de taxas equivalente
Para uma taxa de 26,8242% a.a. Qual a taxa mensal no período? R = 2%
Temos a taxa de 2% a.m. e queremos a taxa equivalente para 35 dias. R= 2,3372% a.p
Calcular a taxa de 153,24% a.a. para taxa mensal.
 R= 8,05%
4. Dada uma taxa de 2,48% a.m . Calcule a taxa anual.
 R= 34,17%
5. Dada a taxa de 20% a.a. Calcule a taxa Trimestral.
 R= 4,66% a.t 
	Obrigado!