Relatório: Movimento Harmônico Simples

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Movimento Harmônico Simples 
Introdução 
Há, na Natureza, um tipo de movimento 
muito importante: o movimento periódico, cuja 
propriedade principal é que ele se repete em 
intervalos de tempo iguais. Por exemplo, o 
movimento dos átomos e moléculas em uma rede 
que constitui um corpo sólido, e o movimento dos 
planetas e satélites, para citarmos apenas dois 
deles, em situações muito diferentes. 
Um oscilador harmônico simples é uma 
partícula que se move ao longo de uma reta sob 
ação de uma força 𝑓 dada por: 
�⃗�(𝑡) = −𝑘�⃗�(𝑡) 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (1) 
Em que �⃗�(𝑡) é o deslocamento da partícula 
relativo à sua posição de equilíbrio. Para 
simplificação de problemas, atribuímos à posição 
de equilíbrio da mola a origem do sistema de 
coordenadas, assim, o deslocamento 𝑥(𝑡) também 
corresponde a posição vetorial da partícula. O sinal 
negativo indica que a força se opõe ao 
deslocamento. Essa força é conhecida como força 
restauradora, e é condição necessária ao 
movimento harmônico. A seguir, estudaremos as 
principais grandezas que caracterizam em sua 
completude um movimento harmônico simples 
(MHS). 
Objetivos 
 A partir de instrumentos, ferramentas e 
material disponibilizado pelo laboratório de física 
experimental da Universidade Federal de Minas 
Gerais, iremos realizar a montagem de um simples 
experimento, no qual seremos capazes de realizar 
uma análise sobre os principais princípios básicos 
que regem o MHS, e uma dedução com 
rigorosidade matemática para o valor das 
grandezas associadas ao experimento. 
Materiais 
 Para a montagem e coleta de dados do 
sistema massa-mola (um dos sistemas MHS mais 
populares) será necessário: 
01 Sensor de força, calibrado 
 01 Suporte vertical para montagem do 
sistema massa-mola 
 01 régua milimetrada (afixada ao suporte, 
para medir o deslocamento da partícula ao longo 
do eixo) 
 01 massa de aproximadamente 200 𝑔𝑟 
 01 mola de constante de força 
desconhecida 
 Além de um computador com software de 
aquisição de dados (foi utilizado o Data Studio) 
 Métodos 
 
Imagem 01 
A montagem do experimento é de acordo 
com a imagem 01, onde o sensor de força é o 
gancho que mantém o sistema massa-mola 
verticalmente suspenso. Ao liberarmos o peso, a 
partir da posição 𝑥 = 0, ele é deslocado 
verticalmente de 𝑥 e fica submetido à força 
restauradora −𝑘𝑥. Assim, de acordo com a 2ª lei 
de Newton, temos: 
𝐹𝑟⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 ∙ �⃗� = 𝑚 ∙
𝑑2�⃗�
𝑑𝑡2
 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (2) 
 𝑒 𝑚 ∙
𝑑2�⃗�
𝑑𝑡2
+ 𝑘𝑥 = 0 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (3) 
Dividindo a equação por 𝑚, e substituindo 
𝑘
𝑚
= 𝜔2, chegamos à equação diferencial na forma 
padrão, dada por (4); 
 
𝑑2�⃗�
𝑑𝑡2
+ 𝜔2 ∙ 𝑥 = 0 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (4) 
Cuja solução é, após a resolução da 
equação diferencial ordinária de segunda ordem, e 
simplificação dela através da relação de Euler: 
𝑥(𝑡) = 𝐴 ∙ cos(𝜔𝑡 + 𝜙) 𝑜𝑛𝑑𝑒, 𝜔 = √
𝑘
𝑚
 
 Dessa forma, um gráfico característico do 
sistema em MHS é mostrado na imagem (2): 
 
Imagem 02 
 Na imagem, ilustramos visualmente o 
significado de algumas grandezas físicas 
importantes: a amplitude do movimento, ou seja, 
o deslocamento máximo da partícula em relação a 
sua posição inicial (A, em amarelo); e o período, 
similarmente, o menor intervalo de tempo que o 
sistema precisa para recomeçar um novo ciclo (T, 
em roxo). O período se relaciona à grandeza 𝜔 de 
acordo com (5): 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (5) 
 Já a constante de fase (𝜙) é a grandeza que 
caracteriza o instante inicial de observação do 
movimento. Dois sistemas com todas as 
propriedades de mesmo valor, diferindo apenas na 
constante de fase, apresentam gráficos 
semelhantes, mas transladados horizontalmente. 
 Após a montagem do equipamento, uma 
força inicial é impressa, e o sistema é posto em 
movimento. O sistema de aquisição de dados 
então, fornece os seguintes dados: 
 
Imagem 03 
Resultados 
 O software Data Studio captura 
informações da força ao longo do tempo, e informa 
os dados relativos à variação desta força, de acordo 
com a relação (6). 
𝐹(𝑡) = −𝐹𝑚𝑎𝑥 cos(𝜔𝑡 + 𝜙) 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 (6) 
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝜔
2𝐴 
 A partir da análise dos dados capturados, 
o sistema nos oferece os seguintes dados: 
{
𝐹𝑚𝑎𝑥 = 619 ± 1 𝑚𝑁
𝑇 = 0,41 𝑠
ϕ = 0,29 𝑟𝑎𝑑
 
Não atribuiremos ao período (𝑇) e à 
constante de fase (𝜙) as incertezas apresentadas 
pelo software de aquisição de dados, uma vez que 
estas são desprezíveis quando comparadas com o 
valor apresentado pelos algarismos não-
duvidosos. 
 Sabendo-se o valor do período 𝑇, através 
da relação (5) somos capazes de encontrar o valor 
da velocidade angular 𝜔, dada por: 
𝜔 =
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑇
=
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
0,41 𝑠
= 15,32 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Podemos então, através de (6), encontrar 
a amplitude do movimento, a partir dos demais 
dados. 
𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝜔
2𝐴 . : 𝐴 =
𝐹𝑚𝑎𝑥
𝑚𝜔2
 
𝐴 =
0,62 𝑁
205,7 × 10−3𝑘𝑔 ∙ (15,32
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
2
 
= 13 𝑚𝑚 
Assim, definimos completamente o 
movimento do sistema massa-mola: 
𝑥(𝑡) = 13 cos(15,32𝑡 + 0,29) 𝑚𝑚 
Podemos também, com esse experimento, 
deduzir a constante de mola, que inicialmente era 
de valor desconhecido. Como já mencionado 
anteriormente: 
𝑤2 =
𝑘
𝑚
 . : 𝑘 = 𝜔2𝑚 
Logo: 
𝑘 = (15,32
𝑟𝑎𝑑
𝑠
)
2
∙ 0,2057 𝑘𝑔 = 48,28 𝑁/𝑚 
Para encontrarmos a incerteza associada a 
grandeza 𝑘, utilizaremos a expressão de incerteza 
padrão combinada dada por: 
𝑢𝑐
2(𝑦) = ∑ (
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
)
2
∙ 𝑢2(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
Δ𝑘2 = (𝜔2)2 ∙ Δ𝑚2 . : Δ𝑘 = 𝜔2Δ𝑚
= 0,02 𝑁/𝑚 
Assim, 𝑘 = 48,28 ± 0,02 𝑁/𝑚 
Conclusão 
A partir das ferramentas propiciadas pelo 
cálculo diferencial e integral básico, sabemos que a 
partir da função da posição de uma partícula, 
somos capazes de encontrar as funções da 
velocidade e da aceleração por diferenciação. 
Afinal: 
𝑎(𝑡) =
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2
 𝑒 𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
 
 Dessa forma, a partir de um simples 
experimento, fomos capazes de realizar uma 
descrição completa das grandezas que 
caracterizam um sistema MHS, a priori 𝜔, 𝜙, 𝑇, 𝐴 
e nesse caso específico, achamos o valor da 
constante de mola 𝑘. 
𝑘 = 48,28 ± 0,02 𝑁/𝑚 
Ademais, encontramos funções que 
podem nos informar todo e qualquer dado que 
queiramos, dependente do tempo.