Oppenheim - 2010 - 2ed - Cap 02( material importante)

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12 Sistemas lineares invariantesno tempo
I
I
2.0 Introdução
N';l S~ção 1.6 apr~ntamos e discutimos diversas
propriedades básicas dos sistonas. Duas delas, a invariãn·
da no tfJD.PO e a linearidade, tem um papt-I fundamental
na análise dos sinais e sistemas por duas razões princi-
pais. A primeira diz respeito ao fato de muitos processos
físicos terem essas propriedades e, por isso. poderem ser
modelados como sistemas lineares invariantes no tnDpo
(LIT). Alt:m disso. os sistemas LlT podem ser analisados
de forma detalhada. facilitando a compreensão de suas
propriedades e também fome~ndoum conjunto de fer-
ramentas poderosas que fonnam a base da análise de
sinais e sistemas.
Um dos objetivos prindpais deste livro é d~nvol­
ver uma compreensão dessas propriedades e ferramentas
e apresentar várias das imponaotes aplicações nas quais
essas ferramentas são usadas. Neste capítulo. começamos
o desenvolvimento mostrando e examinando uma re-
presentação fundamental e extremamente útil para os
sistemas UT e aprest'otando uma classe importante des-
ses sistemas.
Uma das prinàpais razões de os sistemas ur ~rtm
passíveis de análise t o fato de quaJquer sistema desse tipo
ter a propriedade de superposição descrita oa Seção 1.6.6.
Como consequêoàa. se pudermos representar a enuada
de um sistema UI em. termos de uma combinação linear de
um conjunto de sinais básicos. eOlão podemos usar a su-
perposição para compular a saída do sistema em termos
de suas respostas a esses sinais básicos.
Como veremos nas próximas seções. uma das carac-
telÍSticas importantes do impulso unitário. tanto de tem-
po discreto como de tempo conÚDuo. t o fato de sinais
bastante gerais poderem. ser representados como combi-
naçôc:s lineares de impulsos deslocados. Esse fato. junta-
mente com as propriedades de superposição e invariância
no tempo. permite que desenvolvamos uma caracteriza-
ção completa de qualquer sistema I.IT em termos de sua
resposta a um impulso unitário_ Thl representação. cha-
mada soma de: convolução no casa de tempo discreto e:
integral de convolução em tempo contínuo, fomece uma
grande fadlidade anaUtica para lidar com os sistemas LIT.
Dando continuidade: ao nosso desenvolvimento da soma
de convolução e da integral de convolução. usamos essas
caracrerizações para examinar algumas das outras pro-
prieaades dos sistemas LIT. Então, consideramos a classe:
dos sistemas de tempo contínuo descritos por equaçôes
diferenciais lineares com coeficientes constantes e sua
correspondente de tempo discreto. a classe de sistemas
desaita por equações de diferenças lineares com coeli·
dentes constantes. Nos capítulos subseque:ntes. teremas
várias oponunidades de: e:xaminar essas duas classes mui-
to importantes de siste:mas. Por fim. estudaremos mais
uma vez a função impulso unitário de tempo contínuo e:
vários OUUOS sinais reladanados a ela para que possamos
compreender melhor esses sinais idealizados e. especifi-
camente. seu uso e interpretação 00 contexto da análise
dos sistemas LIT.
2.1 Sistemas L1T de tempo discreto: a
soma de convolução
2.1.1 Arepresentação de sinais de tempo discreto
em termos de impulsos
A priodpal ideia para a compreensão de como o
impulso unitário de tempo discreto pode ser usado para
formar quaJquer sinal de tempo discreto i: prosar em
um sinal de tempo discreto como uma sequência de im-
pulsos individuais. Para percd>ermos como esse quadro
intuitivo pode ~r tranSformado em uma representação
48 Sinais e sistemas
Portanto, a soma das cinco sequêndas na figura é
igual a x[n] para - 2 ~ 11 ~ 2. De modo mais geral, ao
incluir impulsos adicionais ponderados e deslocados.
podemos escrever
matemática. considere o sinal 4n1 rcpttSentado na Fi·
gura 2.1(a). Nas panes restanteS dessa figura, traçamos
cinco sequências de impulsos unitários ponderados e
deslocados no tempo. nas quais o fator de esela em cada
impulso é igual ao vaJor de x[11I no instante cspcáfico em
que a amostra unitária ocorre. Por aemplo.
x[n]
,
;,,
x[-2] &ln + 21
-,
xi-ti r.{n + 11
... . I~'~'~'~'~'~--~• •• -4-3-2 O 1 2 3 4 n
... I
• • __o ~.~.~.~.~.~.~ _
-4-3-2-1 O 1 2 3 4 n
(el
(ai
(b)
n=-l
n~-l'
n=O
n~O'
n=l
n~1
{
x(-IJ,
x(-lJ6[n+ IJ = o,
x(OJ6[n1= {x(O),
O,
x(IJ6[n -IJ ~ {X[IJ,
o,
-u[nJ~ L:6[n-k).~
x(nJ- ... + x I-3J6 [n +3J +xl-2)6 f. +2J + X [-1}61' + IJ
+ x [O) 6[.)+x [116[. -IJ + x [2J 6[. - 2J
.. [3J6[.-3)+... (2.1)
Para qualquer valor de 11, somente um dos termos do
membro direito da Equação 2.1 é diferente de zero,
e o peso assodado a esse termo é precisamente x(nl.
Escrevendo essa soma de forma mais compacta. temos
I
•,,
"
1
x(1] &{n-1]
x[2!6{n-21
·... 1. .::~~"J
4-3-2 1 O 1 2 3 4 n
· . . . . I~.~.~._--­
-4-3-2-1 o 2 3 4
(f)
(di
2
-~.~........~.-'~'''I~3'~''~--4-3-2-1 o , n
(e)
Figura 2.1 Decomposiçllo de um sinal de tempo discreto em uma
soma de impulsos ponderados edeslocados.
2.1.2 A resposta ao impulso unitário ea
representação por soma de convolução dos
sistemas de tempo discreto UT
A importânda da propriedade seletiva das equações
2.1 e 2.2 está no fato de que ela rtpr~ta x[n] como
ção por soma dt: convolução para um sistema LIT de
tempo discreto.
(2.1)-x{nJ~ L: x(kJ61·-kJ-
Esta expressão corresponde à representação de uma se·
quênda arbitrária como combinação linear dos impulsos
unitários deslocados 6[n -kl, em que os pesos nessa com·
binação linear são x(k). Como eIemplo. considere x(n] =
u[n], o degrau unitário. Nesse caso. como u[k] = Opara
k < Oe u[k] = 1 para k?: O. a Equação 2.2 toma·st:
que é idêntica à expressão deduzida na Seção 1.4. (Ver
Equação 1.67.)
A Equação 2.2 ~ chamada de propn'~dad~ stl~liva
do impulso unitário de tempo discreto. Como a se-
quênda 6[n - kJ é diferente de zero somente quando
k = n. o somatório do membro direito da Equação
2.2 'vasculha' a sequência de valores x[k] e extrai soo
mente o valor correspondente a k = n. Na próxima
subseção. exploraremos essa representação dos sinais
de tempo discreto para desenvolvermos a representa·
Sistemas lineares invariantes no tel11Xl 49
Portanto, de acordo com a Equação 2.3. se soubermos
qual é a resposta de um sistema linear a um conjunto
de impulsos unitários deslocados. podemos construir a
resposta a uma entrada arbitrária. Na Figura 2.2. temos
uma interpretação da Equação 2.3. O sinal xIn] é aplica-
do como entrada em um sistema linear cujas respostas
h' l ln], ho("J e h l [n] aos sinais fJ[n +1l, 6[n1 e 6[n - IJ, res-
pectivamente. são mostradas na Figura 2.2(b). Como x{n]
pode ~rescrito como uma combinação linear de 5(n + 1].
51") e 5(n- 1). a superposição pennitt:-DOS e50"evt:r ares·
posta a x[n] como uma combinação linear das respostas
aos impulsos individuais deslocados. Os impulsos indivi-
duais ponderados e deslocados que constituem x(n} são
ilustrados no lado esquerdo da Figura 2.2(c). enquanto
as respostas a esses sinais componentes são representadas
uma superposição de versões ponderadas de um con-
junto muito simples de funções elementares. impulsos
unitários deslocados ó(n - kl. ~ndo que cada um deles
é diferente de zero (com valor I) em um único instante
de tempo especificado pelo valor correspondente de k. A
resposta de um sistema linear a x(n] será a superposição
das respostas ponderadas do sistema a cada um desses
impulsos deslocados. Além disso. a propriedade de inva-
riânàa no tempo nos diz que as respostas de um sistema
invariante no tempo aos impulsos unitários deslocados
no tempo são simplesmente versões deslocadas no tempo
dessas respostas. A representação por soma de convolu-
ção para os sistemas de tempo discreto que são tanto line-
ares qUJ1.nlil invariantes no t~po resulta da junção desses
dois fatos básicos.
De modo mais especifico, considere a resposta de
um sistema linear (mas possivelmente variante no tempo)
a uma entrada arbitrária x[n). PeIa Equação 2.2, podemos
representar a entrada como uma combinação linear de
impulsos unitários deslocados. Considere que h1ln] denQ-
te a resposta do sistema linear ao impulso unitário desloca-
do fJ {n - k]. Então. a partirda propriedade de superpo·
sição para um sistema linear (equações 1.123 e I.l24). a
resposta Yln} do sistema linear à entrada x(n) na Equação
2_2 r. simplesmente a combinação linear ponderada des-
sas respostas básicas. Ou seja. com a entrada x[n} para um
sistema linear expresso na forma da Equação 2.2. a saída
Yln] pode ser expressa como
Ou seja.lI[n] é a saída do sistema ur quando ó(n] é a en-
trada. Então. para um sistema LIT. a Equação 2.3 torna-se
-y[nl ~ E x[k]h[n- k~ (2.6)
,--
(2.7)
(2.5)
(2.4)
hlnl = h,[nl·
h,[nl =h,[n-kl_
y[nl = xlnl • hlnl·
Note que a Equação 2.6 expressa a resposta de um
sistema UT a uma entrada arbitrária em termos da res-
posta do sistema ao impulso unitário. Disso. vemos que
um sistema UI r. totalmente caracterizado por sua res·
posta a um único sinaI. isto é. sua resposta ao impulso
unitário.
A interpretação da Equação 2.6 r. semelhante à que
demos para a Equação 2.3. em que. no caso de um sis-
tema m. a resposta devida ao impulso xlk1 aplicada no
instante ké x[kJh[n-k]; ou seja, é uma versão poDdcrada
Para facilitar a notação. eliminaremos o subscrito em
1Io[n] e definiremos a rnposta ao impulso lmitáriD (ou d mbS·
Ira unitária)
Referim.Q-nos a esse resultado como a soma dt con·
volução ou soma dt fUperposição. C a operação no membro
direito da Equação 2.6 é conhedda como a convolução das
sequêndas x["} e h[n]. Representaremos simbolicamente
a operação da convolução como
no lado direito. Na Figura 2.2(d) • reuatamos a entrada
detiva x["I. que é o somatório dos componentes do lado
esquerdo da Figura 2.2(c). e a saída eletivay{nl. que. por
superposição. é o somatório dos componentes do lado
direito da Figura 2.2(c). Portanto. a resposta no instante
n de um sistema linear é simplesmente a superposição
das respostas devido ao valor de entrada em cada ins-
tante de tempo.
Em geral as respostas hJn] não prerisam estar re-
lacionadas uma à outra para dilerentes valores de k. No
entanto, se o sistema linear também é invariante no ttmpo.
então essas respostas aos impulsos unitários deslocados
no tempo são todas versões deslocadas no tempo umas
das ouuas. Espedficamente, como 6[n - k] é uma versão
deslocada no tempo de 6(n}. a resposta ht[n) r. uma ver·
são deslocada no tempo de huI"}; isto é,
(2.3)-y(n] ~ E x{k]h,[n~,--
.!
50 Sinais e sistemas
(b)
(e)
o
la)
o
x{-1]&{n+1J
o
xln)
-1
o 1
tIoln)
o o
o
Ilt InJ
o
o
o
(d)
4J:] &(n) x(O] halo]
.. .1. ... c:> .. tl.r ..o o lo o
xl'] &[0-1] x11] tI,ln]
...~ ... c:>
o " "
y[n]
o o o o
Figura 2.2. Interpretação gráfica da resposta de um sistema linear de tempo discreto conforme representado na Equação 2.3. I
I
I,
.1
Sistemas lineares invariantes no tempo 51
2 y(nJ
(2.9)
~
y[OI~ L: x[kJh[0-k]=0.5.......,
Ao considerar o deilO da soma de~o em cada
amostra de' saída individual chegamos a outra forma mui·
to útil de visualiur o cálculo de: y(n] usando o somatório
de convolução. Em partkuIar. considere o cálculo do valor
de saída cm um instank espeá6co n. Uma forma partire-
lannenle conveniente de mosoar esse cálculo graficamen-
te começa com os dois sinais x[k} e h{n - kJ vistos como
funções de k. Multiplicando essas duas funções, temos a
sequênriaS(k] = x(k]h(n - k] que, a cada instante k, é tida
como uma sequência que representa a conttibuição de x[i]
à saída no instante II. Concluímos que a soma de todas as
amostras na sequência de S(k] produz o valor de saída no
instanle II selecionado. Ponanro, para caku1annos y(n)
parcJ todos os valores de II, prerisamos repetir esse proc:rdi-
menro para cada valor de II. Felizmente, mudar o valor de n
tem uma interpretação gráfica bastante simples para os dois
sinais x(k] e h(n - k} como funções de k. Os exemplos se-
guintes ilustram isso e o uso do ponto de vista mendonado
anteriormente no cálculo da soma de convolução.
O produto da sequência x[k] com a sequênda h(l - kJ tml.
duas amostras diferentes de zero, que podem ser somadas
para obtennos
=
Exemplo 2.2
Consideremos mais uma vez o problema de convolução
visto DO Ex~plo 2.1. Asequênda x[kl é mamada na figu-
ra 2.4(a), enquanto a sequência h(n - k1, com n lixo e vista
como uma função de k. é mostrada na Figura 2.4(b) para di-
~r505 vaJort:S diferentes de: ". Ao traçarmos essas sequêndas,
usamos o fato de que h[n - k) (vista mmo uma função de k
mm n lixo) é wna versão deslocada e refietida no tempo da
resposta h[k] ao impulso. Em particular, quando k aumenta,
o argumento" - k diminui. expliando a nettSSidade de uma
~nexão no tempo de h(k]. Sabendo disso, então, para lraÇl.r
o sinal h[n - k], precisamos somente detenninar seu valor
para algum valor particular de k. Por exemplo, o argumento n
- k será igual a Ono valor k = n. Portanto, se traçarmos osinal
h[- k], obtemos o sinal h(n - k] simplesmente deslocando-o
para a direita (por n) se n for positivo, ou para a esquerda se"
for negativo. Oresultado para nosso extmplo para os valores
de " < O, " = o, I. 2, 3 e II > 3 é ilustrado na Figura 2.4(b).
Ocpois de tJa9U x(k) e h(1I - k] para qualquer valor par.
ticuIar de II, multiplicamos esses dois sinais e somamos sobre
os valores de: k.. Para Onosso ~xemplo. para 11 < o. vemos, a
partir da FIgura 2.4, qu~ .r(kl h(n - kl = Opara todo k, já que
os valores cão nulos de x[k) e h(" - k) não se sobl'qlÕem.
Consequenttmeme. ytn) =Opara n < O. Para II =O, como o
produro da sequência x{kJ com a sequência h{O - k] toll ape:-
nas uma amostra não nula com o valor 0,5, concluímos que
"
"
tl[n]
0.5h[nl
2 ,o
0.5
•
o.•
_~._.~LLt_.o-~. _
o 1 2
(b)
(ai
2.'
(e)
~ deslocada (um. 'eco') de h(n). Como antes, a saída total
r. a superposição de todas essas respostas.
FigunI 2.3 la) Resposta ao ~Sll h{n] de um sistema UT e entrada.r [~
para osistema; lbl f'eSJXlStls ou 'ecos', O,S.h l~ e 2h ln -11 iKlS valores não
ooIos da entrada x[OI =0,5 ex[l\ z 2; leI respJSta arnp/etlI rilt que éa SlJl'liI
dos ecos em lbl •
•
Exel11l'lo 2.1
Considere um sistema ur com resposta ao impulso
h{nJ e entrada x[n]. confoJIDe ilustrado na Figura 2.3(a).
Para este caso, como somente x(OJ e xli] são diIertntes de
zero, a Equação 2.6 é reduzida a
y(n) ~ x[O]h[n - OJ +x [IJh[n - 1] ~ 0.5h[n]
+ 2h(n - 1]. 12.8)
As stquéodas O.5h(n] e 2h[n - 1] são dois ecos da resposta
ao impulso. Decessários para a roperposição envolvida na
geração de yl"], Esses ecos são mostrados na Figura 2.3(b).
Somando os dois ecos para cada valor de n, obtemos y[n].
que é mostrado na Figura 2.3{c).
j
52 Sinais e sistemas
~
y[21= ~ xfk]h[2-kl~0.5+2.0=2.5. (2.ll)--
~
y(ll_ ~ xfk]h(l-kl~0.5+2.0=2.5. (2.10)--De maneira wndhantt.
,.
I
!
I,
~:
r
\
O~k$n
caso comráriola'x[k]h[n-kl~ •O.
xlnl ~ a"u!n1
hlnl ~ u[n1
sendo O< (}' < 1. Esses sinais são ilustrados na Figura 2.5.
Tambim. para nos ajudar a visualizar e calcular a convo-
lução dos sinais, representamos na Figura 2.6 o sinal x[k)
seguido por h[-k), h{-l - k] e h[l - k) (ou seja, h[n - kl
para n = O. -1 e +lI e, por último, h[n-k) para um valor
positivo arbitrário de " e um valor negativo arbitrário de ri.
A partir dessa figura. notamos que para n < Onão há 50-
brqx>siçio entre as amostras não nuJas em xIkl e h[n - k].
Ponanto, para n < 0, x[k} h[n -k] "" Opara lodos os valores
de k, e por isso. a panir da Equação 2.6, vtmos que y{nl =
O,n <O. Paran 2: O.
•
Exemplo 2.3
Considere uma entradax[nl e uma resposta ao impul-
so unitário h[n] dadas por
k
2
10.5,_~._••--l_'-L~.>-••_.~__
o
(a)
y[31= I:xfk]h[3-kl=2.0. (2.l2)--Por fim. para n > 3, O produto x(k] h[n - k) i ttro para
lodo k, a partir do que conduímos que nn) "" Opara n > 3.
Os valores de saída resuJla.01CS estão cm concordânda com
todos os valores obtidos no liJ:emplo 2.1.
(b)
e usando o rcsuJ.tado do Problema 1.54. podemos ~vtt
Portanto, para n 2: 0,
o sinaly(n) ~ Tq)resentado na Figura 2.7,
!
!
,,
j
1
o
h{n] .. ulnI
x(n] .. o.'\J(n]
(b)
(a)
[
1 a~']y!nl= u[n].
l-a
y!nl= ta'•-
.. l_a-+l
y[n] = Ler" = para n ~ O. (2.13)
.t-o 1-o:
Dessa forma, para todo n,
O
Figura 2.5 Sinais IlnI e hlnJ na Exemplo 2.3.
LlJ' h(n-kJ.n<O• • • •
"-2 "-, " o k
'LU I'IO-~• • •-2 -, o k
'LU h(1-kj• • •-, o k
'UJ h(2-k]• • •O , 2 k
'L1J h(3-kj• • •O , 2 3 k
"n-kj. n>3
UL• • • •O n-2 n-1 " k
Figura 2.4 Interpretação da Equação 2.6 para os sil'\élis hlnl e 11n!
na Figura 2.3: {ai sinal xl~ II lbl sinal h[n - ~ (como função de kcnm n
fixo) para divllrsos valores de nln< O; 11 .. 0, I, 2, 3; II> 31. Cada um desses
sinais é obtido pela reflexão ede:slocamento da IBSPOSUl ao impulso uni-
tário hlkl Aresposta rtnl para cada valor de né ohtida multiplicando-sl
os sinais xlij e hln - ~ em lal e lbl e depois somando os produtos sobre
todos os 'l3kres de l OcjlclIlo para essa exemplo é feito detalhadamBO'
18 no úemplo 2.2. •
o k
IC)
!'(-1-kj
000
-, o k
(d) h[1-k)
la)
Ib)
x(kJ - a"u(kJ
o k
Sistemas lineares invariantes no tempo 53
A operação de convolução é descrita algumas vezes
em lermos de um 'desli2amento' da sequênda hln _ iI
através de x[kI. Por exemplo. suponha que tenhamos cairo-
lado y(n] para algum valor particular dt n, digamos, n = no-
Ou seja. traçamos o sinal hIno - il. multiplicamos pelo
sinal xli] e somamos o resultado sobre todos os valores
de t. Para calcular Y(1I'] no próximo valor de n - isto é,
Ir = n. + I - preàsamos traçar o sinal h((n. + I) - kJ.
No entanLO, podemos falte isso simplesmente tomando o
sinal h[n. - k] e deslocando-o à direita em uma amostra.
Para cada valor sucessivo de n, continuamos tSse proces.
so de deslocar h[n - k] uma amostra para a direita, multi-
plicando por x[k] e somando o resultado sobre k.•
•
Exemplo 2.4
V~amos mais um extmplo. Considerr as duas sequências
01 k
II.x{n]~ O.
le)
o o
0>0
k
e
I,,'h[nJ~ •O. 0:5n56caso contrário
ln [o_~
JilllI..... . :~O
o o k
Figura 2.6 Interpretaçao gr~fica do cálculo da soma de convolução para
oExemplo 2.3. •
y[o] , (' -.' ") c101,-.
E~ sinais são ilustrados na Figura 2.8 para um valor po_
sitivo de a > 1. Para calcular a convolução dos dois sinais,
t conveniente considerar ànco inttIValos separados de n.
Es~ inlervalos são ilustrados na Figura 2.9.
Intervalo 1. Para n < 0, não há sobreposição entre por.
ções não nulas de x[k} e h[n - k]; consequentemenle,
Yln] ~ O.
1
Figura 2.7 Salda para o EJ:emplo 2.3.
-'- ~------­1-.
o o
1
54 Sinais e sistemas
Intervalo 2:. Para O:5 n :5 4.
[
a-'
x[kJh[n-kJ= '
0,
O$k$n
caso contrário
[ .-,x[k]h[n-kl= a .0,
de modo que
In-6)~k~4
caso conaário l
(a) :r.(nj
-2-1 Uill
--~._.~.~._.~........ ~~._.~'~'-'~'~'-'---:
0123-45 n
figura 2.a Sinais a serem con....oluldos no Exemplo 2.4.
• •
,
k
k
0<0
h[n-k}
0-.
•J'InJ= E a.....
~...
(a) mu .
O •
(b)
.••-li' rulll ....
01234se7••
(b)
Ponamo,n~ inttrvalo.
Podemos calcular essa soma usando a fórmula da soma finI-
ta. Equação 2.13. Esptdficameme, mudando a variável do
somatório na Equação 2.14, de k para r = n - k, obtemos
•
J'InJ= I>....·
~
(2.14)
le)
~
o-~
•• •• •• ~.M.~.~.~•••••~.~.M.M.~.~.~•••••---:-
o o k0-.
Intervalo 3. Paca n > 4, mas n - 6:5 O(isto é, 4 < n:5 6).
• 1-a-+1
J'InJ = Ea' =.:..,-;~
... l-a
[ -,x[k]h[n-kJ= a ,0, O$k$4caso contrário
Id)
~
IO-~
4<n0lÕ6
-~.M.~.~...••~.~.~. ~'M'M'~'••••••••~.M.~.M.~.~---;:-
O o k0-.
,,
'.
~
I
Jl
k
~
o-~
6<n0lÕ10
••••.•••.• ..~.~.M.~.~.~...••••_--:-
O o k0-.
r-~ n>lO.................r~ ....
a n-6 n
le)
Agira U Interpretação gráfica da corwolução do Exemplo 2.4.
(2.15)
(2.16)
•
y[nl = E''''-'·
~
=
1 a
Para n>6, mas n-6:5 4 (Isto é, para 6 <n:5 10),Intervalo 4.
Mais uma Vtt,. podemos usar a fóaDuJa da soma ~métrica
da Equação 2.13 para calcular a Equação 2.15. E.spedfic.a-
mente, evidenciando o termo constante a' do somatório
da Equação 2.15, o resultado é
• 1-la-')'
y[nl = a'Ela-')' = a'-':-"'-:f-
..... 1-0-1
0--0....'
Ponanto, nesse intervalo,
Sistemas lineares invariantes no tempo 55
Usamos novam~nt~ a Equação 2.13 para ef~tuaI ess~ soma- (a)
tório. Fazendo r = i - n +6, obtemos ,
1\ 1
1 LI, 4o , r • • •-2 -, O
x(kl - 2"u[-k]
• k
Intervalo 5. Para 11-6 > 4. ou, ~quivalentem~nt~. II> 10,
não há sobreposição ~ntrc as amostras não nulas d~ x[k] e
h[n - k], por essa razão, h[n-k]
Y['I = O.
Resumindo. ponanto, temos
k
qu~ é represtDtado na Figura 2.1 O.
2
"32O-3 2
(b)
~
1 ! 1 j16 8 4..... ; ,
Agura 2.11 lal Sequências x[kl eh[ 11- kJ para o problema de con·
volução considerado no Exemplo 2.5; lb) sinal de saida resultante y(Ji
6<n:5.10
10<n
4<n:5.6,
.<0
l-o
O.
O.
1- 0"+1
1 o
a--o,*1
y!nJ=
YInl Pata c:a1allar a soma infinita na Equação 2.19. podemos usar
a 16rmll/Q da soma infinita,
~ I
2:>'=-. O<rl<l. (2.20)_ l-o
Mudando a variável do somatório na Equação 2.19 de k
para r = - J:. temos
o .,
Figura 2.10 Resultado da ctrMJ!lJjâo do &emplo 2.4.
10 "
• t 2'=t(!f= I =2k-_ ...o 2 1-(1/2) . (2.21)
•
Exemplo 2.5
Consid~r~ um sist~ma ur com mtrada x(n} ~ resposta
ao impulso unitário hl") espedficadas romo se segu~:
As sequ~D(ias xli) ~ h[n - k] estão represmtadas grafia·
m~ntr: como funções de k na Figura 2.1I (a). NOle-st que
41) é um para i > O ~ h(n - i) é um para i > n. Th01-
bt:m obstrvamos que, independentemente do valor d~ II,
a s~quêncta x[klh[n - iI sempre tem amostras não nulas
ao longo do eiIo k. Quando n 2: O, x[k]h[n - k] tem amos-
tras nulas no intervalo k ~ O. Segue-se que. para II 2: 0,
Portanto.y[n] assume o valor constante 2 para n 2: O.
Quando n < 0, x[k]h[n - k) tm1 amostras difert.ntesde
zero para k ~ n. Sque·st qut, para n < O.
Ao fazermos uma mudança da variávrl 1= -k ~ então m =
I + ri, podemos usar novamente a fórmula da soma infinita,
Equação 2.20, para calru1ar o somatório na Eqmu;ão 2.22. O
resultado é O seguinte. para PI < o:
(2.22)Y['l= t x(kJh[.-kJ= t 2'.1_... ..........
Y!'l = t(!]' = t(!jO-' = (!j-' t(!J"(2.231
,._,,2 _2 2_2
=1:'·2=2'*1.
Asequência romplrtay{n) tstá represmtada na Figura 2.11 (b).
•
(2.19)
(2.17)
(2.18)
x[n] = 2"II(-nJ.
h{n]=u[n].
Y!'I= t x[k]h[.-kJ= t 2'....... ......i
I
1
então, como 66
à
(t) tem amplitude unitária, temos a ex·
pressão
combinação linear de pulsos atrasados, conforme ilustra-
donas figuras 2.12(a) a (e). se definimos
6
à lt)=[*' 0$t<6, (2.24)O, caso contrário
56 Sinais e sistemas
Esses aemplos ilustram a utilidade de ~ visualizar
o cálculo da soma de convolução graficamente. Note que,
além de fornecer uma forma útil de calcular a~ta de
um sistema m, a soma de convolução tambtm fornece
uma representação extremamente útil dos sistemas LIT
que nos permite exa.m.ina.r suas propriedades de modo bem
detalhado. Em particular na Seção 2.3, descreveremos al-
gumas propriedades da convolução e examinaremos algu-
mas propriedades dos sistemas apresentadas no capítul~
anterior para vermos como essas propriedades podem ser
caracterizadas para sistemas LIT.
~
;(t)~ I: x(kA)ê.(t-kA)t...-- (2.15)
r
!,
l
•
(
I
I
j
}.
2.2 Sistemas UT de tempo contínuo: a
integral de convolução
De modo análogo aos resultados obtidos e discuti·
dos na seção amerior, o objetivo desta seção é obter uma
caranerização completa de um sistema ur de tempo con-
tínuo em termos de sua resposta ao impulso unitário. Em
tempo discreto, a base para desenvolvermos a soma de
convolução foi a propriedade seletiva do impulso unitá·
rio de tempo discreto - ou seja. a representação matemátial
de um sinal como superposição de funções de impulso
unitário deslocadas e ponderadas. Inruitivamente, por-
tanto, podemos pensar o sistema de tempo discreto como
um sistema que responde a uma ~uência de impulsos
individuais. No tempo contínuo, não temos uma sequên-
cia discreta de valores de entrada. No entanto, como dis-
cutimos na Seção 1.4.2, ~ consideramos o impulso uni-
tário como a idealização de um. pulso que é tão cuno que
sua duração seja irrelevante para qualquer sistema físico
real. podemos desenvolver uma representação para sinais
arbitrários de tempo contínuo em tennos desses pulsos
idealizados com duração arbitrariamente pequena, ou, de
modo equivalente, impulsos. Essa representação é desen-
volvida na próxima subseção e, logo em seguida. prosse-
guiremos de forma paredda à Seçào 2.1 nadedução da
representação por integral de convolução para sistemas
LIT de tempo contínuo.
2.2.1 A representação de sinais de tempo contínuo
em tennos de impulsos
Para desenvolver o correspondente de tempo
continuo da propriedade seletiva de tempo discreto
da Equação 2.2, começamos considerando uma aproo
ximação ~em degraus~, x(t), para um sinal de tempo
contínuo x(t), conforme ilustrado na Figura 2.12(a). De
maneira semelhante à empregada no caso do lempo
discreto, a aproximação pode ser expressa como uma
(a)
..
I·,,
~.
-4 04 24 ""
(bl
x(-2.6.~IlIt ... 2414 ,.
~-uJJJ
(e)
lC(-~Il(t + 4)6
·-TI
-00
(d)
-~
D~
04
(el
X(4)ll...(t-4)4
~~
aU
RgI" 2.12 Aproximação em degraus para um sinal de temp)
coolfnuo.
J
•
Sistemas lineares invariantes no tern~ 51
Ib)
lal
•
t - à t
f-4--1
m4
1- 4
le)
Embora essa dedução resulte diretamente da Seção 1.4.2.
incluímos a demoDSnação dada nas ~quações 2.24 a
2.27 para ressaltar as semelhanças com o caso de tempo
disa~to e. ~m particular, para enfatizar a interpretação
da Equação 2.27 como uma reprtseD.lação do sinal x{t)
como uma 'soma' (mais pred.sammte:. uma int~gral) d~
impulsos deslocados e ponderados.
J:x(T)6(t-r)d-r= J:x(t)6(t--r)dT
= X(I)J:ói'-T)dT ~ xll~
EsjX'dficamente. como ilustrado na Figura 2.l4(b). o si-
nal 6(t - T) (visto como uma função de T com r fixo) r:
um impulso unitário localizado em T = r. Portanto. como
mostra a Figura 2.14(c). o sinalx(T)6(t-T) (mais uma vez
visto como uma função de TI é igual ax(t)6(t-T). ou seja.
é um impulso pond~rado em T = t com uma área igual ao
valor de x(l). Consequmtem~nte, aintegral desse sinal de
T = -- a T = +- é igual a x{t); ou seja,
Figura 2.13 Interpretação gráfica da Equação 2.26.
Como em tempo discr~to, referimo-Dos à Equação 2.27
como a propritdadt stftriva do impulso de tempo contí·
nua. Notamos que. para o exemplo espeáfico de X(l) =
U(l), a Equação 2.27 torna-se
u(r) = J: l.l(T)6(r-T)dT= lootSf,r-T)dT. (2.28)
já que U(T) = Opara T < Oe U(T) = 1 para T > O. A Equa-
ção 2.28 é idêntica à Equação 1.75, obtida na Seção
1.4.2.
Mais uma vez. a Equação 2.27 d~v~ St:r vista como
uma idealização no sentido d~ qu~, para 6 "pequeno o su-
fid~nt~#. a aproximação de x(t) na Equação 2.25 é essen·
cialm.~nt~ exala para todo propósito prático. A Equação
2.27, ponamo, s~pl~smente r~prtsenta uma idealização
da Equação 2.25 ao assuminnos li. como arbitrariamente
pequeno. Note·se também que poderiamos obter a Equa-
ção 2.27 diretamente usando várias propriedades bási-
cas do impulso unitário qu~ obtivm1os na Seção 1.4.2.
x(l) ~J:X(T)/ill - T)dT. (2.27)
Na Figura 2.12 per~btmos que. assim como no caso de
tempo discreto (Equação 2.2), para qualquer valor de r,
somente uma parcela no somatório do membro direito da
Equação 2.25 é não nula.
Quando consideramos 6. se aproximando de O. a
aproximação x(t) lorna·se cada vez melhor e. no limite.
iguala-se a x(1). Portanto,
X(I) ~ lim f: x(kt.)ó.(t - kt.)t..· (2.26)
.~-
Além disso. quando 6 -. O. o somatório na Equação 2.26
aproxima-se de uma integral. Isso pode ser visto consi-
derando a interpretação gráfica desta equação, ilustrada
na Figura 2.13. Uustramos os sinais X(T), 6~(t - 7") e seu
produto. Tambim marcamos uma região sombreada ruja
árC'a se aproxima da área sobX(T)Ó",tt - T) quando /1 _ O.
Note-se que a região sombreada tem uma área igual a
x(m6), sendo t - 6. <",A < t. Além disso. para esst valor
de t. somente a parcela com k = mé não nula no somató·
rio da Equação 2.26 e. portanto, o membro direito dessa
equação também é igual a x(m6). Consequentemente, a
partir da Equação 2.26 ~ do argumento precedent~, te-
mos que xlr) é igual ao limite quando li. ..... O da ma
sob x(T)66(l- Tl. Além disso, com base na Equação 1.74.
sabemos que o limite quando li. -+ Od~ 6
6
(l) é a função
impulso unitário 6(t). Logo.
I
,
58 Sinais e sistemas
(b)
1
Em particular. considere a Figura 2.15. que é o corres-
pondente ml tempo contínuo da Figura 2.2. Na Figura
2.15(a), represcll.amos a entrada X(I) e sua aproximação
i(I), enquanto nas figuras 2.15(b) a (d). mostramos as
respostas do sistema a três dos pulsos ponderados na ex-
pressão para x(t). Então a saída y(t) correspondente a .i(t)
é a superposição de todas as respostas. como indicado na
Figura 2.15(e}.
O que falta. pon.a.DlO, é considerar o que aconte-
ce quando 6 se toma. arbitrariamente pequeno - isto é,
quando li. -t O. Em partirular. usando x(t) conforme
expresso na Equação 2.26. ~t) toma·se uma aproxim.a-
.,
(a)
(e)
(b)
04
,
_/1'","" , :,. ,
Figura 2.14 lal Sinal arbitrário xlr); lbl impulso 6( (- ri como fim·
ção de rCOOl tfixo: leI produto desses dois sinais.
I
I
1
t
y(l)
o
(e)
FigaR 2.15 !IltalpeliiÇão gráica da resposta de um sistema linear
de terr\tXl contfnuo confurme expresso nas equações 2.29 e ~.30.
(2.29)j(1) = E X(kA)hM(I~--
W A resposta ao impulso unitário e a
representação por integral de convolução dos
sistemas de tempo contínuo UT
Assim como no caso do tempo discreto. a represen-
lação obtida na seção anterior mostra-nos uma forma de
interpretar um sinal arbitrário de tempo contínuo como
a superposição de pulsos deslocados e ponderados. Em
particular. a rtprest'Dlação aproximada da Equação 2.25
representa o sinal x(l) como um somatório de versões
deslocadas e ponderadas do sinal de pulso básico 6/1(t).
Consequentemente. a resposta }i(I) de um sistema linear
a esst sinal será a superposição das respostas àsv~
deslocadas e ponderadas de 6
6
(1). De maneira mais espe-
áfia. considermlos hu.(t) como a resposta de um. sistema
LIT à enuada 6
6
(1- kâ). Assim, partindo da Equação 2.25
e da propriedade de superposição. para os sistemas linea-
res de tempo contínuo. vemos que
A interpretação da Equação 2.29 é semelhante
à interpretação da Equação 2.3 para tempo discreto.
ção cada vez melhor d~ x(t) ~, d~ fato, os dois coincidem
quando I!J. --. O. Como co~qu~nda. a resposta a x(I),
denotada yll) na Equação 2.29, deve convergir para y(t),
ar~ à entrada efeti.va x{t), como ilustrado na Figura
2.l5(f). Além disso, como dissemos. para I!J. ·sufid~Dte·
mente pequeno·, a duração do pulso 6
6
(t-tâ) não ~ sigo
nificativa porque. no que se refere ao sistema. a resposta
a esse pulso ~ ~nda1mente a mesma que a resposta a
um impulso unitário no mesmo instame de ~empo. Ou
seja. como o pulso 66(1 - kA) corresponde a um imo
pulso unitário deslocado quando !:J. --. O, a resposta Ítu(ti
a esse pulso unitário toma-se a resposta a um impul·
so no limite. Portanto, se h,(t) representa a resposta
no tempo r a um impulso unitário 6(t - r) localizado no
tempo r, então - .
y(l) = Iim L x(kL\.)h,., (1)1'.. (2.30)
4-0"-<>:1
Quando A --. O, o somatório do membro direito torna-
-se uma integral. como pode ser vislo graficamente na
Figura 2.16. Espedficamente, nesta figura, o rttângu·
lo sombrtado representa uma parct:1a no somatório do
membro direito da Equação 2.30 e, quando A ~ O, o
somatório aproxima-se da área sob x{r)h,(t) vista como
uma função de T. Ponanto,
Sistemas lineares invariantes no tempo 59
associado à resposta h,ll) ao impulso deslocado 6(t - TI
também i X(T)dT.
A Equação 2.31 representa a forma geral da respos·
ta dt: um sistema lint:ar de tempo continuo. se, al~m de
ser linear. o sistt:ma laDlbf:m for invariantt: no tempo, t:n-
tão h.(t) -= h.(t - T); isto t, a rt:SpOSt..a de um sistema UT
ao impulso unitário 6(1 - T), que é deslocado da origem
t:m T segundos, é uma versão dt:Slocada semelhante da
resposta à função impulso unitário 6(t). Novameme, para
facilitar a notação. eliminamos o subsaito e definimos a
mposra ao impulso unitário h(l) como
h(l) - h,(I); (>.3')
isto é, h(t) é a resposta a 6(t). Nesse caso, a Equação 2.31
toma-se
1Y(1) = r:X(T)h(I- T)dT·1 (>.33)
A Equação 2.33, conhecida como integral de ClJnyofu·
ção ou inttgra[ de JUpuposição, é o cornspondtnte de tem·
po contínuo da soma de convolução da Equação 2.6 e!:
corresponde à representação de um sistema UT de tempo
contínuo em tennos de sua resposta a um impulso unitá·
rio. A convolução de doissinais x{t) e h(t) será represen·
tada simbolicamente!: por
(2.31) y(l) = X(I) • h(I). (U4)
A interpretação da Equação 2.31 é análoga à in·
terpretação da Equação 2.3. Como mostramos na Seção
2.2.1, qualquer entrada x(t) pode ser representada por
x(t) = L:x(T)6(t - r)dr.
Ou seja, podemos intultivam~nte pensar x(t) como uma
soma de impulsos deslocados ponderados, em que o peso
do impulso 6(t - T) ~ x(r)dr. Com essa interpretação, a
Equação 2.31 representa a superposição das respostaS
a. cada uma dessas entradas e, por Iinearidad~, o peso
kd (k+1)â
Figura 2.16 Ilustração gráfica das equações 2.30 e2.31.
Apesar de termos escolhido usar o mesmo símbolo· para
denotar tanto a convolução de tempo discreto como a de
te!:mpo contínuo, o cont~xto será geralmente suficienle
para diferenciar os dois casos.
Assim como no tempo discreto, vemos que um sis-
tema LIT de tempo contínuo é completamt:ntt: caracteri-
zado por sua resposta ao impulso - isto t, por sua res-
posta a um único sinal elementar. o impulso unitário 5(t).
Na próxima seção, exploramos as implicações des~ fato
enquanto examinamos diversas propriedades da convo-
lução e dos sistemas LlT tanto de tempo contínuo como
de tempo discreto.
O procedimento para calcular a integral de con-
volução i similar ao que usamos para calcular seu cor·
respondente de tempo discttto, a soma de convolução.
Espedficamente, na Equação 2.33, vemos qUe!:, para
qualquer valor t. a saída y(1) é uma integral ponderada da
enuada. em que o peso correspondente a X(T) ( h(1 - r).
Para calcular essa int~graI para um valor tspeáfico de t.
primeiro obtemos o sinal h(t - r) (considt:rad.o uma fun-
ção de r com r fixo) de h(r) por uma refiexão em tomo
da origem e um deslocamento para a direita dt: t se t > O
ou um deslocamento para a esquerda de Irt se r < O.
60 Sinais e sistemas
Em seguida, multiplicamos os sinais X(T) e h(t - T). e y(t)
é obtido ao integrarmos o produto resultante de T = -- a
T = +00. Para ilustrar o cálculo da integral de convolução.
vejamos os exemplos seguintes.
•
Exemplo 2.6
Seja x(t) a entrada de um sistema Ln' com resposta ao
impulso unitário h(t). com
x(t) = r«u{t). a > O
A partir dessa expressão, podemos calcular y(t) para t > O:
f.' I I'y(t) = e-n- dr =__e-n-o a o
_ 1(1 -"I__ -e .
a
Então. para todo t, y(t) é
I
y(t) ~ -(l-,~)u(t),
a
que é ilustrada na Figura 2.18.
O<r<t
caso contrário
h(l) ~ U(I).
Na Figura 2.17, representamos as funções h(1"). x(1") e h{t-1")
para um valor negativo de t e para um valor positivo de 1.
De acordo com essa figura. perce~os que para t < O, o
produto de x(1") e de h(t - T) é zero e, consequentemente,
y(t) é zero. Para t > O,
x(T)h(t -r) = [,--
O,
y(t) = 1 (1- e-III )u(t)•
1ã ---------------------
o
Figura 2.18 Resposta do sistema no Exemplo 2.6 com resposta ao
impulso h(t) =u(t} para aentrada x(tl =e....u(tl.
h'l •
•
Exemplo 2.7
Considere a convolução dos dois sinais a seguir
O<t<2T
caso contrário
O<t<T
caso contrário'II,.(1)= O,
h(l) = II'
O,
O, 1<0
'r' O<t<T, '
y{t)~ n-tT1 • T<r<2T
-tf+Tt+tTl, 2T<t<3T
O, 3T<t
Assim como 00 Exemplo 2.4 para a convolução de tempo dis·
creto, é interessante considerar o cákulo de y(~ em intervalos
separados. Na Figura 2.19. traçamos x(r) e ilumamos h(t - r)
em cada um dos intervalos de interesse. Para t < Oe para
t> 3T. x(T)h(t-r) = Opara todos os valores de T e, consequen·
ttmeote,y(t) = O. Para os outros valores. o produtox(Tjh(t-r)
está indicado na Figura 2.20. Então, para esses três intervalos,
a integração pode ser feita graficamente, tendo como resultado
,
,
,
o
*1
_----!--'~====-
o
h(!:-T)
_-----.JU,------_I<O_
o
~Ill---t>O_
o
h(t-T)
Figura 2.17 Cálculo da integral de convolução do Exemplo 2.6. que está representado na Figura 2.21.
I
Sistemas liooares invariarrtes no tempo 61
*1 (a)
'b >«>1"'-".Lo T O<t<T
O t •
"'--oJ
J\t 1<0 (b) Kfr)"tt--T)t_Tt~ 1<t<21t O
t - 2T
O T •
2T<t<3T
(e)
x(T)h(I-")
t~~
------' I Ti---------:-.
t-2T
h(t-T)
~t2T O<I<T
----f-h~---------..,..
t- 2T
"'-'I
tt,.2T T<t<2T
----fHc-----------:-.
t - 21
Figura 2.20 Produto Air} h(l- T} para o Exemplo 2..7 pata as
uês faixas de valores de t para o qual este produto é não 0010.
(Ver FiQura 2.19.1
2T<t<3T
OT2T3Th(t-T)
_2Tt~
0\ ~-----.
t - 2T
Figura 2.21 Sinal y{tl = xUI • h/tI para oExemplo 2.7.
•
Exemplo 2.8
Seja Y(I) a convolução dos dois sinais a seguir.
•
t:> 3T
Os sinais"i'T) e h(t -T) são reprc:sc:ntados graficam~tt= como
func;õt:s de T na Figura 2..22(a). Primriro, obstrvamos que
esstS dois sinais te:m rrgióe5 de sobrtpOSição diferentes de
zero. independentrmentt do valor de t. Quando t - } ~ o, o
produto de .ltr) e h(l- T) é não nulo para __ <T < t - l, e a
integral de convolução toma-sc
"'-'I
_ 2Tlli
O I ~----.
t - 2T
x(t) = r'wHl.
h(~~u(t-3).
(2.3,>
(2.36)
Figura l.19 Sinais x{'Tle h(t- TI para diferentes valores de I para
oExemplo 2.7. (2.37)
62 Sinais e sistemas
y[n] ~ I: x[k]h[n - k]~ x[n]' h[n]- (2.3')
•
Conforme já observado, uma consequênda dessas
reprtsentaÇÕfs é o fato de as características de um sistema
LIT serem completamente determinadas por sua resposta
ao impulso. É importante enfatizar que essa propriedade
é válida em geral somente para os sistemas IlT. Em parti-
cular, conforme ilusrrado no exemplo a seguir, a resposta
ao impulso unitário de um sistema não linear não carac-
teriza completamente o componamento do sistema.
(a)
o
h(t-1')
130
•
•
y(l) ~r: x(r)h(1 - r)dT ~ X(I) , h(l) (2.40)
(b)
Exemplo 2.9
Considere um sistema de tempo discreto com resposta
ao impulso unitário
II.h[n]~ O. n=O,lcaso rontrário (2.41)
o 3
Figure 2.22 Problema de convoluçao considerado no Exemplo 2.B.
Para t - 3 ;:: 0, o produto x(r)h(t - r) é não nulo para -- <
r < 0, de modo que a integral de convolução é
Se o sistema é LIT, então a Equação 2.41 determina por
completo seu comportamento de entrada-saída. Particular-
mente, ao substituir a Equação 2.41 na soma de convolução,
Equação 2.39, encontramos a seguinte equação txplídta
que descreve como a entrada e a saída desse sistema LIT
estão reladonadas:
(2.38)
Por outro lado. há muitos sistemas não lineares com a mesma
resposta ao impulso 6[n}. isto é. a dada pela Equação 2.41.
Por exemplo, os dois sistemas a seguir têm essa propriedade:
f ' "d Iy(t)= e T=-._ 2
O sinal resultante YU) é representado graficamente na
Figura 2.22(b). •
y{n} = x(n} +x {n - 1]. (2.42)
Conforme ilustram esses exemplos e aqueles apre-
sentados na Seção 2.1, a interpretação gráfica da convo-
lução de tempo discreto e de tempo contínuo é de valor
considerável na visualização do cálculo das somas e das
integrais de convolução.
2.3 Propriedades dos sistemas lineares
invariantes no tempo
Nas duas seçóes anteriores, desenvolvemos reprt-
sentações extremamente importantes dos sistemas LIT de
tempo discreto e de tempo contínuo em termos de suas
respostas ao impulso unitário. No tempo discreto. a repre-
sentação assume a forma da soma de convolução, enquan-
to sua correspondente em tempo contínuo é a integral de
convolução, ambas repetidas a seguir por conveniência:
y[n] = (x[n} +x[n-lIlJ•
y[n} = máx (x[n].x[n - 1]).
Consequentemente. se o sistema ~ não linear, tle não é
complttamente caracttrizado pda resposta ao impulso da
Equação 2.41. •
oexemplo anterior ilustra o fato de que os sistemas
LIT apresentam diversas propriedades que ounos siste-
mas não possuem. a começar pelas representações muito
especiais que eles têm em termos das integrais e da soma
de convolução. No restante desta seção, exploraremos al-
gumas dessas propriedades mais imponantes e básicas.
U1 Apropriedade comutativa
Uma propriedade básica da convolução em tmipo discre-
to e em tempo continuo é que ela é wna operação amtU1ativtz.
JFalar da dupla reflexão: h(-t) e x(-t).Falar de deslocamentos distintos para h e x: x(t-2)*h(t+1)
Sistemas lineares invariantes no tempo 63
Ou seja. em tempo discreto
e em tempo contínuo
(2.47)
y(1)
y:J!l)
L-+I h,(1)
X(I) , [h,(I) +h,(I))
= x(t) .. h.(t} +x(t) ... hJ(t).
.....-l h,{I)correspondendo ao membro direito da Equação 2.47. O
sistema da Figura 2.23{b) tem saída
y(tl ~ X(I) • h,(~+xll) 'h,(~. (2.40)
o sistema da Figura 2.23(a) tem saída
y(I) = x(11 ' [h,(I) +h,I'IJ. (2.49)
(a)
Y,II) ~ X(I) , h,(11
e em tempo contínuo
Essa propriedade pode ser verificada de forma imediala.
A propriedade distributiva tem uma inteJPretação
útil no que se refere às interconexões dos sistemas. Con-
sidem: dois sistemas IlT de tempo contínuo em paralelo.
como indicado na Figura 2.2J(a). Os sistemas mostrados no
diagrama de blocos são sistemas ur com as respostas ao
impulso unitário indicadas. Essa represenlação gráfica é
uma forma particularmente conveniente de mostrarmos
os sistemas UT em diagramas de blocos. e ela também
acentua o fato de que a resposla ao impulso de um siste-
ma LIT caracteriza completamente seu comportamento.
Os dois sistemas, com respostas ao impulso hl(t) e
hJ(t). têm entradas idênticas, e suas saídas são adiciona-
das. Como
(2.45)--
-x[n] , h[nl = L x[k]h[n - k]
~-~-~ L x{n - r]h[r]
X(I) , h[1) ~ h(II' X(I) ~J: h[T)Xlt -T)dT. (2.44)
= h(n]" x(n].
Com essa substituição de variáveis, os papéis de .I(nJ e
h(n) são trocados. De acordo com a Equação 2.45, a saída
de um sistona IlT com entrada .I[n] e resposla ao im-
pulso unitário h[n] é idêntica à saída de um sistema ur
com entrada h(nJ e resposta ao impulso unitário x(n].
Por exemplo, poderíamos ter caJrulado a convolução no
Exemplo 2_4 primeiro refletindo e deslocando .I[kl. de-
pois multiplicando os sinais x[n - xl e h[kj e. por fim.
somando os produtos para todos os valores de k.
De forma semelhante. a Equação 2.44 pode ser ve-
rificada por uma mudança de variáveis, e as implicações
desse resullado em tempo contínuo são as mesmas. A
saída de um sistema UT com entrada .I(t) e resposla ao
impulso unitário h(t) é idêntica à saída de um siste-
ma ur com entrada h(t) e resposta ao impulso unitá-
riox(t). Ponanto, poderíamos ter calculado a convolução
no Exemplo 2.7 refletindo e deslocando x(t), multipli-
cando os sinais x(t - T) e h(T) e integrando no intervalo
_00 < 7' < +_. Em casos específicos. uma das duas
formas de calcular convoluções, isto é. a Equação 2.39
ou a Equação 2.43 em tempo discreto e a Equação 2.40 ou
a Equação 2.44 em tempo contínuo. pode ser mais fá-
cil de visualizar. mas as duas formas sempre multam oa
mesma resposta.
-x{n)' h[n] ~ h[n]' x{n] = L h[kJxln - k1 (2.43)
----
Essas expressões podem ser verificadas de forma immiala
por meio de substituição de variáveis nas equaÇões 2.39 e
2.40. Por exemplo, no caso do tempo discreto, tomando
r= n- k ou, equivalentemente, k = n - r. a Equação 2.39
toma-se
2.3.2 Apropriedade distributiva
Outra propriedade básica da convolu~o é aproprie·
dade distributiva. Esped.ficamenle, a convolução é distribu-
tiva com relação a adição, de modo que, em tempo discreto
(b)
X(t)--~'''I h,(I) + hz(t) 1--.._y(1)
xtn]' Ih,[n) + h,lnll
= x[n] ... hl[n] +x[n] .... hl[n},
Figura 2.23 Interpretação da prolJiedade distributiva da corrroIu-
(2.46) ção para uma interconexão paralela de sistemas UI
i
~
64 Sinais e sistemas
-32101234567
I
t
!
,
j
,
'.
.,
'I,
"
I
i
I
í.,
•
(2.56)
(2,60) .YlnI = x Inl • h,I"1 • h,lnl
x[nI· (h,I"]· h,[nl) = 1*1· h,I"I)· h,I"J, (2.58)
e em tempo contínuo
2.3J A propriedade associativa
Outra propriedade útil e imponante da convolução
é a associilt1vtJ. Ou seja, em tempo discreto
xi'I· [h,I')· h,IIII = Ixl')· h,IIII· h,lt). (2,59)
Essa propriedade ~ demonstrada por manipulações diretas
das somas e integrais envolvidas. Veja o Problema 2.43.
Como consequênda da propriedade associativa. as
txpressôa
4 ------------ - - ••
3
y[o]
,
• f'
o o o ;-
y,lnl =',1"1 • hln]. (2.57)
A convolução na Equação 2.56 para , 1[11) pode ser obtida
a partir do EIemplo 2.3 (com Q = 1/2), enquanto ' 2[IIJ
foi calculado no Ezemplo 2.5. Sua soma é y{n]. exibida na
Figura 2.24.
Y(t)=xlt)·h,llI·h,(t) (2.61)
não apresentam ambiguidade. Ou seja, de acordo com as
equações 2.58 e 2.59. a ordem de convolução desses
sinais não importa.
Uma interpretação dessa propriedade associati-
va é ilustrada para os sistemas de tempo discreto nas
figuras 2.251') , Ibl. N. Figura 2.251'),
correspondendo ao membro esquerdo da Equação 2.47.
Aplicando a Equação 2.47 à Equação 2.49 e comparando
o resultado com a Equação 2.48, vemos que os sistemas
nas figuras 2.21(a) e 2.23(b) são idênticos.
Há uma interpretação idêntica em tempo discre-
to, em que cada um dos sinais na Figura 2.23 é subs·
tituído por um correspondente de tempo discreto (isto
é. X(I). h.(I), hl(I), ,.(1), , 1(t) e 1(1) são substinúdos por
X[II]. h1[1I1, h1[1I]. 1.(n), y1[n} e 1(n], respectivamenle).
Em suma, portanto, em virtude da propriedade distribu-
tiva da convolução, uma combinação paralela de sinemas
LIT pode ser substituída por um único sistema LIT cuja
resposta ao impulso unitário é a soma das respostas ao
impulso unitário individuais na combinação paralela.
A1~m disso, como consequr:ncia da propriedade dis-
tributiva e da propriedade comutativa. temos
Ix,ln +x,IIli • hll) = x,(I) • hln +x, II) • h(I), (2.51)
que simplesmente dizem que a resposta de um sistema IlT
à soma de duas entradas deve-ser igual à soma das respos-
tas a esses sinais individualmente.
Conforme ilustrado no próximo eIemplo. a pro·
priedade distributiva da convolução também pode ser
usada para dividir uma convolução complicada em várias
convoluçõe5 simples.
YI"I = Y, 1"1+ Y, InJ, (2.55)
x[n1=ur u(1I]+2"u(-1I]. (2.52)
hl"J = 04nI. (2.53)
Note que a ~qué:nda xIn] i: não nula ao longo de todo o
eixo do tempo. O cálculo dUeto de uma convolução desse
tipo é um pouco tedioso. Em vez de efetuar o cálculo dire-
ta:menle. podemos usar a propriedade distributiva para a-
pressar Y[II) como a soma dos resultados de dois problemas
de convolução mais simples. Em panicuJar. se considrramos
xl [J1] '= (1/2)·u(n] e ~(nl = 2·u[-n]. teremos
Yln] =(x,ln] +x,["1) • hl"l· (2.54)
Usando a proprirdade distributiva da convolução. podt1JlOS
r~vtra Equação 2.54 como
(x1[n] + :e,[nJ] '" h[n] = x1[nl • h[n] +:e, [II] • h[n] (2.s0)
,
sendo
•
Exemplo 2.10
Suponha que y[nj seja aconvolução das duas sequências:
,,,
1
y[nJ = w[nJ *' h1(n]
= (x[n] *' hJn]) *' hJn].
Na Figura 2.25(b)
y[nl ~ xln] • h[n)
=x[n] *' (h,[n] *' hJnll.
De acordo com a propriedade associativa, a interconexão
em séries dos dois sistemas na Figura 2.25(a). r. equiva-
lente ao sistema único na Figura 2.25(b). Isso pode ser
generalizado para uma quantidade arbitrária de sistemas
LIT em cascata, e a interpretação análoga e a conclusão
também são válidas em tempo contínuo.
Usando a propriedade comutativa jlU1tameme com
a propriedade associativa, encontramos outra proprieda-
de muito imponante dos sistemas lIT. Especificamente,
a partir das figuras 2.25(a) e (b), podemos concluir que a
resposta ao impulso da cascata de dois sistemas LIT é
a convolução de suas respostas individuais ao impulso.
Posto que a convolução é comutativa, podemos calcular
essa convolução de hl[nj e h1[nj em qualquer ordem.
Ponanto, as figuras 2.25(b) e 2.25(c) são equivalentes
e, com base na propriedade associativa, elas são, por sua
(a)
(b)
Sistemas lineares invariantes no tempo 65
vez, equivalentes ao sistema da Figura 2.25(d), que per-
cebemos ser uma combinação em cascata de dois siste-
mas, assim como na Figura 2.25(a), mas com a ordem do
cascateamento invertida. Consequentemente, a resposta
ao impulso unitário de uma cascata de dois sistemas UT
não depende da ordem em que eles são cascateados.
Na verdade, isso é válido para um número arbitrário de
sistemas LIT em cascata: a ordem em que são colocados
em cascata não importa no que diz respeito à resposta ao
impulso geral do sistema. As mesmas conclusões se apli-
cam ao tempo contínuo.
É imponame enfatizar que o componamento dos
sistemas LIT em cascata - e, em particular, o fato de que
a resposta geral do sistema não depende da ordem dos sis-
tentas em cascata - é espeáfico para sistemas desse tipo.
Em contraposição, a ordemdos sistemas não lineares na
cascata não pode ser mudada, de modo geral, sem alterar a
resposta finaL Por exemplo, se tivermos dois sistemas sem
memória, um sendo uma multiplicação por 2 e o outro
elevando a entrada ao quadrado e, se multiplicannos pri-
meiro e elevarmos ao quadrado em seguida, obteremos
yln] ~ 4<'[nl·
No entanto, se multiplicarmos por 2 depois de elevar ao
quadrado, leremos
y[n] ~ 2x'[n).
Portanto, a capacidade de alternar a ordem dos sistemas
em uma cascata é caraderística espeáfica dos sistemas LlT.
Na verdade. conforme mostrado no Problema 2.5 L prea-
samos da linearidade eda invariância no tempo para que
essa propriedade seja verdadeira de modo geral.
X1n] .1 h[n]" h,ln]. hin]
(e)
><[01--......\ h[nl"~[nJ.hl[nl
~-•• ~ol
1--...... y[n]
2.3.4 Sistemas UT com e sem memória
Conforme e~cificado na Seção 1.6.1. um sistema
é sem memória se sua saída em qualquer instante depen-
de apenas do valor da entrada naquele mesmo instante.
Da Equação 2.39, vemos que o único modo de isso ser
verdadeiro para um sistema LIT de tempo discreto é se
h(n] = Opara n :;é O. Nesse caso, a resposta ao impulso
tem a forma
h[n] ~ K6[n), (2.62)
(d)
><{ol---<.1 h:!ln] I--.j h,ln] f-_~ol
sendo K= h(O] uma constante, e a soma de convolução
se reduz à relaçâo
y[nl ~ KX[nJ. (2.63)
j
Figura 2.25 Propriedade associativa da convolução, sua implicação
e a propriedade comutativa para a interconexão em séries dos siste-
mas UT.
Se um sistema IlT de tempo discreto tem uma resposta ao
impulso h(n] que não é identicamente nula para n:;é O, en-
tão o sistema tem memória. Um exemplo de sistema LIT
66 Sinais e sistemas
1
;.
"
x[n) = x[n] , 6[n)
para alguma constante K e tem a resposta ao impulso
\
•·<
i•j
·1,
\
.'
j,
i,(2.67)
f--....~>«I)
h[n) , h,ln) = 6[n].
>«1)--....·1~
(b)
De modo semelhante, em tempo discreto, a resposta ao
impulso hj[n] do sistema inverso para um sistema LIT
com resposta ao impulso hln] deve satisfazer
Os dois exemplos a seguir ilustram a inversão e a
construçâo de um sistema inverso.
Figura 2.26 Conceito de sistema inve~ para sistemas LIT de tem-
po contínuo. Osistema com resposta ao impulso h,(~ é o inverso do
sistema com resposta ao impulso h(~se hl~ .. h,llt = ~It.
(a)
(2.64)
(2.•5)h(r) = K6(r).
Ylr) = Kxll).
com memória é o sistema dado pela Equação 2.42. A res·
posta ao impulso para~ sistema. dada na Equação 2.41, é
difermlt dt ztro para n =: 1.
Tendo como base a Equação 2.40, podemos deduzir
propriedades semelhantes para os sistemas LIT de ltDlpo
contínuo com e sem memória. Em c:spedaL um sistema
LIT de tempo continuo é sem memória se h(l) = Opara
t ... O, e tal rntema LIT sem memória tem a forma
Note que se K = 1 nas equações 2.62 e 2.65, então
esses sistemas se tomam sistemas identidades, com a saída
igual à entrada e com a resposta ao impulso unitário igual
ao impulso unitário. Nesse caso, as fórmulas da soma de
convolução e da integral de convolução implicam
•
Exemplo 2.11
Con.s:ldere o sistema UT consistindo de um desloca-
mento simples no tempo
x(r) = x(r) '6(r).
que se reduzem às propriedades seletivas dos impulsos
unitários em tempo continuo e em tempo discreto:-x[n) = L: xlk J6ln - k) y(l) = x(t - I~). (2.68) j
z(r - rJ = x(r) '6(r - rJ. (2.70)
Ou seja, a convolução de um. sinal com um impulso desloca-
do simplesmente desloca o sinal.
Para recuperar a ennada a partir da saída, isto~. inver·
ler o sistema. só precisamos deslocar a saída no sentido roa·
. trário. O sistema com~ dtslocamento de compensação é,
portanto, o sistema inverso. Ou seja. se tomamos
Esse sistema ~ um arriUl1.liJJr se to > Oe um aditmtadorse to <O.
Por exemplo, se t~ > O, então a saída no tempo t é igual ao
valor da entrada no tempo anterior t - lo. St= to = O, o sis-
tema na Equação 2.68 ~ o sistema identidade e, portanto,
sem memória. Para qualquer outro valor de 1ft esse sistema tem
memória, pois responde ao valor da entrada em um instante
diferente do instante corrente.
A resposta ao impulso para o sistema pode ser obtida
a panir da Equação 2.68, assumindo-se a entrada igual a
6(t), isto ~,
x(t) = I':x(r)6(t - í)dr.
2.3.5 Sistemas lIT invertíveis
Considere um sistema LIT de tempo contínuo com res·
posta ao impulso h(t). Baseado na discussão da Seção 1.6.2,
esse sistema é invertível somente se um sistema inverso
existe e que, quando conectado em série com o sistema
original produz uma saída igual à entrada do primeiro
sistema. Além disso, se um sistema LIT é invefÚveL então
de tem um inverso LIT. (Ver Problema 2.50.) Então, te·
mos a situação mostrada na Figura 2.26. Temos um siste-
ma com resposta ao impulso lI(t). Osistema inverso, com
resposta ao impulso 1I1(t), resulta em "'it) = x(1) - de
modo que a interconexão em série da Figura 2.26(a) é
idêntica ao sistema identidade na Figura 2.26(b). Como a
resposta total ao impulso na Figura 2.26(a) é h(t) * II
I
(t),
temos a condição que h.(t) deve satisfazer para que ela
seja a resposta ao impulso do sistema inverso, ou seja,
Logo.
h(q = 6Ir-rJ. (2.••)
,,
h(r) , h,lr) = 6(r). (2.66)
,,
J
j
Sistemas lineares invariantes no tempo fI]
então
Usando a soma ~ convolução. podemos calculn a~
desst sistema a uma emrada aIbitrária:
•
Exemplo 2.12
Considere um sistema LIT com resposta ao impulso
-y[n]~ E x[klu[n-kl· (2.72)
~-
Como u[n-k} é Opara n-k < Oe I para n -k;::' O, a Equação
2.72 toma·st
dos valores presentes e passados da entrada do sistema.
usando a integral e a soma de convolução. podemos u-
ladonar essa proprit:dade a uma propriedade correspon-
dente da resposta ao impulso de um. sistema m. Em ou-
tras palavras, para que um. sisf:t:ID.a lJT de tempo discreto
seja causal, y[rrl não deve dept:nder de x[i] para k > n.
Tendo como base a Equação 2.39. vemos que, para que
isso ocorra, todos os roefideDles h[n -ii que multiplicam
valores de xtkJ para k > n devt:ID. ser nulos. Sendo assim.
isso requer que a resposta ao impulso de um sistema ur
causal de tempo discreto satisfaça a condição
00
y[nl = Eh[kjx[n - kJ. (2.7')...
De modo semelhante. um sistema UI de tempo
conlÍnuo é causal se
h[n] ~ O par.! n < O. (2.77)
De acordo com a Equação 2.77. a resposta ao impulso de
um sistema LIT causal deve ser nula antes: que o impulso
ocorra, o que t coosisteDle com o conceito intuitivo de
causalidade. De modo mais geral como mostra o Pro-
blema 1.44, a causalidade de um sistema linear é equi-
valente à condição de rtpollSO inicüzl. isto é. se a entrada
de um sistema causal é Oaté determinado instante. en-
tão a saída também deve ser Oaté aquele instante. aim-
portante realçar que a equivalênda da causalidade e da
condição de repouso midal aplica-~ ~mente a sistemas
lineares. Por exemplo. como disrutido na Srçáo 1.6.6,
o siste:ma y[n] =h[nl + 3 é não linear. No entanto.
e:le: é causal e, de: fato, sem mem6ria. Por ouno lado, se
x[n] = 0, y[n) = 3 ';It. O, por isso ele não satisfaz a condi-
ção de repouso inicial.
Para um sistema LIT causal de tempo discreto, a
condição na Equação 2.77 implica que a representação
da soma de convolução na Equação 2.39 se toma
y[nJ= t x[k]h[n-k1 (2.78)
0-
e a fonna alternativa equivalente. a Equação 2.43, toma-se
(2.71)
(2.73)
h[n) = u{n].
y[nJ~ t x[k]
o-
Ou seja. esse sistema, que vimos pela primeira vez na Se-
ção 1.6.1 (ver Equação 1.92), é um somador ou acumu-
lador que calcula a soma cumulativa de todos os valores
da entrada até o instante pttsente. Como vimos na Seção
1.6.2, um sistema desse tipo é invertível. e seu inverso,
conforme dado pela Equação 1.99, é
y[n] ~x[nl-x[n-II, (2.74)
que é simplesmente uma operação dt difmnça de primeira
ordrnt. Escolhendo x[l1] == 5[1'1], descobrimos que a resposta
ao impulso do sistema inverso é
h, [nl = 6[nl-6[n-ll. (2.75)
Para verificar que h[n} na Equação 2.71 e h\[nl na Equação
2.75 são de fato as respostas ao impulso de sistemas UI que
são inversos um do outro, podemos testar a Equação 2.67
por cálculo direto:
h(t) • h. (t) = 6(1 - tol • 6(1 +tJ = 6(t).
Df: modo stmelhante, um d~lXamentono tt:mpo em
tempo discretotem resposta ao impulso unitário 6{n - nJ.
de modo que convoluir um sinal com um impulso deslocado
r o mesmo que deslocu o sinal Além disso. o inverso do
sistema ur com resposta ao impulso 6(11 - Prol i o sistema ur
que desloca o sinal na direção oposta peJa mtsma quantida-
de - isto é. o sistema UT com resposta ao impulso 6[n +nJ.
•
,,
I
i
I
J
h[nl' h,[n] = u[n]'[6[n]-6[n -IJI
= u[n]· 6[n]- u[n]1o 6[n -1]
~ u[n]- u[n -11
~6[nJ. (2.76)
•
Ui Causalidade dos sistemas LJT
Na 5eção 1.6.3, aprest:ntamos a propriedade de cau-
~dade: a saída de um sistema causal dept:nde apenas
h(t) == O para « 0, (2.80)
e, nesse caso. a integral de convolução é dada por
y(l) ~ J~X(T)h(1 - T)dT ~ /,00 h(T).x(1 -T)dT. (2.81)
Tanto o acumulador (h[nJ = lol(nJ) quanto seu in-
verso (h[n} = 6[n] - 6(n - II), descritos no Exemplo 2.12,
satisfazem. a Equação 2.77 e. portanto. são causais. O des-
locamento simples no tempo com resposta ao impulso
68 Sinais a sistemas
h(n = '(1- 1,1 / ",usai paraI, " O(quando o desl<lGlIIlelllO
no tempO ~ um atraso), mas é não causal para to < O(nes-
se caso, od~ no t.onpo é um adiantamento, de
modo que a saída antecipa valores futuros da. entrada).
Por fim,. apesar de a causalidade ser uma propriedade
dos sistemas, da ~ uma terminologia comum para se rde-
rir a um sinaL sendo causal se for nulo para n < Oou t < O.
A motivação para essa terminologia vem das equações
l.TI e 2.80: a causalidade de um sistema ur ~ equivalente
à sua resposta ao impuJso ser um sinal causal.
2.3.1 Estabilidade para sistemas UT
Lembre-se de que na Seção 1.6.4 falamos que um
sistema ~ estávtl se toda entrada limitada produz uma saí-
da limitada. Para determinar as condições sob as quais os
sistemas UI são estáveis, considere uma entrada x[n] que
é limitada em módulo:
Ponamo. a estabilidade de um sis(~ UI de tempo dis-
aeto é completamente equivaleme à Equação 2.86.
No (tmpo conÓlluo, obtemos uma caracterização
análoga da estabilidade em termos da resposta ao impu!·
se de um sistema LIT. Esped.ficam.erue, se lx(t)1 < B para
todo t, então, em analogia com as equações 2.83 a 2.85,
segue-se que
iY(l~ ~ II:h(r)x(l- r1d1
:5 L:lh(r~lx(l- r~dr
:5 BI:Jh(r~dr.
Logo, o sist~ é estável se a resposta ao impulso é abso-
lutammlt inttgrávd, isto é, se
,
•
1
e em tmlpo continuo,
D
Exemplo 2.13
Considere um sistema que apenas desloca a entrada
no tempo - em tempo conúouo ou em tempo discreto. En-
tão. em tempo discreto,
Assim como no tempo discreto, se a Equação 2.87 não
~ satisfeita. há entradas limitadas que produzem saídas
ilimitadas; portanto, a estabilidade de um sistema I.n de
tempo conÚD.uo é equivaleme à Equação 2.87. O uso das
equações: 2.86 e 2.87 para testar a estabilidade ~ ilustrado
nos pr6ximos dois exemplos.
>,
(2.87)
-ly[nll:5 2: Ih(kjlx[n- kj. (2.84)
p.-=
De acordo com a Equação 2.82, ~[n - k]1 < B para todos
os valores de k e n. Juntamente com a Equação 2.84, esse
fato implica
Ixtnil < B para todo n. (2.82)
Suponha que essa entrada seja usada para um sistema
LIT com resposta ao impulso unitário h[n). Assim, usan-
do a soma de convolução, obtemos uma expressão para
o módulo da saída:
I>1nj=~ h[kl>1n-k~. (2.83)
Como o módulo da soma de um. conjunto de números não
é maior que a soma dos módulos dos números,. segue-se, da
Equação 2.83, que
A panir da Equação 2.85, podemos conduir que se
a resposta ao impulso é abwlut4mrntt somáwl. isto é, se
então y(n] ~ limitado em módulo e, por isso. o sist~
é estável. Portanto. a Equação 2.86 é uma condiçio su-
fidente para garantir a estabilidade de um sistema LIT
de tempo discrelO. Na verdade, essa condição também
é uma condição necessária, pois, como mostrado no
Problema 2.49, se a Equação 2.86 não for satisfeita, há
entradas limitadas que resultam em saídas não limitadas.
!
J
conduímos, assim, que os dois sistemas são estávds. Isso
não deve sc=r uma novidade, pois, se um sinal é limitado em
módulo. então o será qualquer versão desk>cada no ttmpo
daquele sinal.
Agora coosidere o arumuJador desaito DO Exemplo 2.12.
Como discutimos na 5eção 1.6.4. este r um !iÍStem.a instávd
pois. se aplicarmos uma Oluada constante a um acumula-
dor. a saída aWDt=nta sem limite. 'l'amb&J. podWlOS ver que
esst sistema é instávd a partir do fato de que sua resposta ao
impulso uln} não é absolutamente somável:
= =2: Iu(nj~ Lu(nJ==
"- -
(2.86)
(2.85)-ly(nj:5 B 2: Ih(kj para todo n.---
Sistemas lineares invariantes no tempo 69
e
hlnl = s(nJ - 3[n -I). (2.92)
(2.93)
(2.94)
Ou seja, a resposta ao degrau de um sistema LIT de tfffiPO
discreto ~ a soma cumulativa de sua resposta ao impulso
(Equação 2.91). Inversamente, a resposta ao impulso de
wn sistema ur de tempo discreto ~ a diferença de pri.
meira ordem de sua resposta ao degrau (Equação 2.92).
De maneira similar, em tempo contínuo, a resposta
ao degrau de um sistema ur com resposta ao impulso
h(l) 1 dada por ,(~ = .(~ • h(I), que !llmbém 1 igual à
resposta de um integrador [com resposta ao impulso u(t)J
à entrada h{t). Ou seja, a resposta ao degrau unitário de
wn sistema LIT de tempo contínuo ~ a integral de sua
resposta ao impulso, ou
Em todo o livro, usaumos n duas nouções indiadas na Equ~
2.94 para I105 referirmos is primmas d~<W. Uuu nChÇio
anüos" sai USlIdoI~ dcriVoldu moIls elevada$.
e a panir da Equação 2.93, a resposta ao impulso unitário
é a primeira derivada da resposta ao degrau unitário, I ou
h(1) = ds(1) = "(I).
dI
2.4 Sistemas L1T causais descritos
por equações diferenciais e de
diferenças
Uma classe extremamente importante de sllitemas
de tempo contínuo ~ aquela em que a entrada e a saí·
da são reladonadas por meio de uma equação difmndal
limar com totfidtntrs constantes. Essas equações aparecem
na desaição de uma grande variedade de sistemas e de
fenômenos físicos. Por exemplo, conforme iluslIamos DO
Capítulo 1. a resposta do circuito RC na Figura 1.1 e o
movimento de um veículo sujeito a entradas de acelera-
ção e forças de atrito, como representado na Figura 1.2,
podem ser descritos por meio de uma equação diferencial
linear com coefidemes constantes. Equações difercndais
semelhantes surgem na descrição de sistemas mecânicos
contendo forças restauradoras e amonet'ed.oras. em dn~­
tica das reaÇÕC$ quúnicas e cm muitos outros contextos.
PortantO, tanto em tempo contínuo como em tempo
discreto, a resposta ao degrau unitário também pode ser
usada para caracterizar um sistema LIT, já que podemos
calcular a resposta ao impulso unitário a partir dela. No
Problema 2.45, expressões análogas à soma de convolu-
ção e à integral de convolução são obtidas para as repre-
sentações de um sistema LIT em termos da sua resposta
ao degrau unitário.
(2.90)y(l) = J:" x(r)dr.
J':I*~dr= r dr ==
Como a rtSpOSla ao impulso não ~ absolutamente integrável
o sistt:ma não é t$távcl. •
2.3J Aresposta ao degrau unitário de um sistema UT
At~ agora, vimos que a rtpresentação de um siste-
ma LIT, em função da sua resp&.>ta ao impulso unitário,
nos permite obter caracterizações bem explídtas das pro-
priedades do sistema. Espeàficamente, como h[nJ ou h(t)
determinam completamente o componamento de um
sistema m, fomos capazes de reladonar as propriedades
do sistema, como estabilidade e causalidade, às proprie-
dades da resposta ao impulso.
Há outro sinal também usado com bastante frequên·
da na descrição do componamento dos sistemas UT: a res-
posta ao drgrau unitário, s[n} ou s(r), correspondendo à saída
quandox[n] = u{n) ou x(t) = u(t). Será útiL em cenas oca-
siões, fazermos referênda à ~osta ao degrau, por isso é
imponante relacioná-Ia à resposta ao impulso. Tendo como
base a representação por soma de convolução, a resposta ao
degrau de um sistema LIT de tempo discreto é a convolu-
ção do degrau unitário com a resposta ao impulso, ou seja,
s(n] = u[nJ • h[n].
No entanto, pela propriedade comUlativa da convolução,
Si"} = h[nj· u[n] e, ponanto, s{n] pode ser visto como a
resposta à entrada h[n] do sistema LIT de tempo discreto
com resposta ao impulso unitário u[n]. Como vimos no
Exemplo 2.12, u[n] éa resposta ao impulso unitário do
acumulador. Logo,
•
srn] = I: h{k~ (2.91)--Tendo como bast: essa equação e o Exemplo 2.12, fica
claro que h[nJ pode su recuperado a partir de s[nJ usan-
do a relação
De modo semelhante, considere o integrador, o cor-
respondente de tempo contínuo do acumulador:
Este é um sistema instávtl exatamente pela mesma razão
dada para o arumu1ador, isto ~, uma entrada constante gera
uma saída que acscr sem limite. A ttSp05ta ao impulso para
o integrador pode ~r rncontrada ao se supor que x(t) = 5(1),
e, nesse caso,
1
70 Sinais e sistemas
Correspondentemente. uma classe imponante de sis-
temas de lempo discreto éaquela em que a entrada e a saí-
da são reladonadas por uma tquof'fu dt difmnças lintarcom
cotfititntts amstantls. Essas equaçOO são usadas para des-
cr~r o comportamwto sequenda1 de muitos processos
diferentes. Por exemplo. no Exemplo 1.10. vimos como as
equações de difermças aparecem na descrição do aaímu-
10 de capital em uma. conta bancária. e. no Exemplo 1.11.
vimos como elas podem ser usadas para descrever~
simulação digital de um sistema de tempo contínuo des·
oito por uma equação diferendal. Equa~ de düerenças
rambón surgem com bastante (requ~nda na espedficação
de sistemas de tempo discreto feitos para realizar opaa-
~ espeáficas no sinal de entrada. Por exemplo. o siste-
ma que calcula a diferença entre valores de entrada su-
cessivos. como na Equação 1.99. e o sistema descrito pela
Equação 1.104. que calcula o valor m~dio da entrada sobre
um intervalo. são descritos por equações de diferenças.
Em lodo o livro. haverá muitas ocasiões em que
consideraremos e examinaremos sistemas descritos por
equações diferendais e equações de düerenças lin~
com coefidentes constantes. Nesta seç1o. examinamos
primeiro esses sistemas para apresentarmos algumas
ideias básicas envolvidas na solução de equações dife·
renciais e de diferenças e para expormos e explorarmos
algumas propriedades dos sistemas descritos por essas
equações. Nos capitulos seguintes. desenvolvemos ferra·
mentas adiooDais para a a.ná.lise dos sinais e sistemas que
ajudarão bastante na nossa habilidade em analisar siste-
mas descritos por equações desse tipo. bem como na nos·
sa compreensão de seu comportamento e características.
2.4.1 Equações diferenciais lineares com
coeficientes constantes
Para introduzir algumas ideias imponantes relado-
nadas aos sistemas esped.ficados por equações difertn-
dais lineares com coeficientes constantes, considere uma
equação diferendai de primeira ordem. como na Equa·
ção 1.85. ou seja.
dy(l) +2y(l) = X(I). (2••5)
dI
sendo que y(t) r: a saída do sistema e x(t) r: a entrada. Por
exemplo. comparando a Equação 2.95 à Equação dife·
rendai 1.84 para a velocidade de um veículo sujeito a
forças de atrito e aplicadas. vemos que a Equação 2.95
corresponderia exatamente a esse sistema se y(t) fosse
identificado com a velocidade do veíru10 v(1). se x(t) fosse a
força aplicada fil) e se os parâmetros na Equação 1.84 fos·
sem normalizados em unidades tal que 111m = 2 e 11m = I.
Um aspecto muito imponante sobre as equaÇÓ(:s di-
ferenciais como a Equação 2.95 é que elas fornecem uma
espedficação implícilQ do sistema. Ou seja. elas descrevem
a relação entre a entrada e a saída. em vez de uma ex·
pressão explídta para a saída do sistema como uma função
da entrada. Para obtermos a expressão explídra. de~os
resolver a equação diferendaL Para enronuar uma solu-
ção. precisamos de mais infonn.aÇ(ks. além da fornecida
somente pela equação diferendal. Por exemplo. para de·
terminar a velocidade de um automóvel no fim de um
intervalo de dez segundos. quando ele foi submetido a
uma aceleraçio constante de 1 m/~ por dez segundos.
também prerisamos saber com que velocidade o veírulo
se movia no início do intervalo. Oe modo semelhante. se
sabemos que uma fonte de tensão constante de I volt é
aplicada ao drcuito RC na Figura 1.1 por dez ~dos,
não podemos detenninar qual r: a tensão do capacitor no
final daquele intervalo sem saber também qual é a tensâo
inidaJ do capacitar.
De forma mais geral para resolver uma equação
diferendal. devemos espedficar uma ou mais condi-
ções auxiliares; depois disso. em prinápio. podemos ob-
ter uma expressão explídL1 para a saída em termos da
entrada. Em outras palavras. uma equaçâo diferencial
como a Equaçio 2.95 descreve uma resnição entre a en-
trada e a saída de um sistema. mas para descrever o siste·
ma completamenle. também precisamos ~d.ficar con-
dições auxiliares. Escolhas diferentes para essas condições
auxiliares. ponanto, levam a diferentes relações enne a
entrada e a saída_ De modo geral. este livro se concentra
no uso das equações diferenciais para descrever sistemas
LIT causais. e. para tais sistemas, as condições auxiliares
assumem uma foona simples e particular. Para ilustrar
este ponto e revelar algumas propriedades básicas das
soluções de equações diferenciais. vejamos a solução da
Equação 2.95 para um sinal de entrada espcáfico x(l).l
Nossa discussio sobtt I $OIuçio dali equações difermdais lineares
com codldmtes amstlnccs é~. pob partimo5 do prtndpio de
que o lellar tem alguma familiaridade com esse tnatcrlal. Para revi.·
são. recommdaJno:s alguns tCXCOS" sob~ a JOluçio de equaç6cs difc-
rend.m ordinárias. como f:>rdiMry Dif/trmliaJE4uatiDns. ). ed.. de BI·
RKHOFP, G.; e ROTA. G. C.(Nova YorIcJohn Wücyand Soas. 1978).
ou ElmtmtIvy~ EJ,1Ultiam. ). ed.. de BOYCE. W. E.; DI·
PRIMA. a. c. (Nova Yort:.John 'MJcy md Som. 1977). 'tlImbi!m
h:i uma pandc d.ivmldade de talOS qUI: di5cutcmcq~ dik-
I'CDCilIs no (OIlteXtO da Ieoria dos circuitos. Vc:c. por exemplo. ikJtic
C1mlil ThrlPry. de CHUA. L O.; DESCER. C. A.; KUH. E. S. (NOft
Yofk: Md:iraw-HilI Book Comp;my. 1987). Conforme menciona·
do no fextO••prcscnumos llO5 Clpáulos seguintes OUO'OS métodos
bastante úteis par1I resolver equaçOes difcrcnd.als lirtc~ que $C-
rão sufldcmcs Jl;IIlI nossos prop6:l:IfDS. Além disso. virios excrádos
envolvendo ;I soluçJo de equaçOes dUerenci.l.is são Induídos flCIS
~ no fun do ap[ruIo.
,,
J,
•;
•
i
,
í,
·
I
i
I
•
i
1
Cancelando o fator rl' nos dois membros da Equação 2.100,
obtemos
Y,lt) = Ye', (2.99)
sendo Yum número que devemos determinar. Substituindo
as tquaÇÕtS 2.96 e 2.99 na Equação 2.95 para t> O. temos
Y(I) ~ y,(t) +Y.II), (2.97)
sendo que a solução particular satisfaz a Equação 2.95 eY.(l)
é uma solução da equação diferenda! bomogênea
sendo K um número real.
A solução completa para a Equação 2.96 consiste na
soma de uma ~ofu,ão particular. Y,(t), e uma solução homogê-
nea. Y_Iil.lsto e,
KA=--.
5
uu
Como notado anteriormente, a Equação dilerenda1 2.95
não esped.fica. por si. SÓ, unicammte a resposta y(t) à entra-
da x(t} na Equação 2.96. Particularmente, a constante A
na Equação 2.106 ainda não foi determinada. Para que o
valor de A seja determinado, precisamos espedficar uma
condição auxiliar além da Equação dilerendaI2.95. Como
explorado no Problema 2.34, escolhas diferentes para a
condição auxiliar levam a diferentes soluções y(t} e, con-
sequentemente. a relações diferentes entre a enuada e a
saída. Conforme indicamos, em quase todo o livro, vamos
nos concentrar nas equações difertnciais e de diferenças
usadas para descrever sistemas UI causais e, nesse caso, as
condições auxiliares tomam a fOIl1la da condição inicial de
repouso. Ou seja, conforme é momado no Problema 1.44,
para um sistema UT causal. se x(t) = Opara t < 'O' enlão
y(1} deve ser igual a Opara ,< t•. Da Equação 2.96, v~05
que. para nosso exemplo, x(t) = Opara r < Oe, ponanto,
a condição de repouso inicial si.&Di6ca que y(t) = Ópara
t < O. Calculando a Equação 2.106 on 1= Oe mnsiderando
y(O) = 0, temos
Logo, para t > O,
Sistemas lineares irrvariantes no tampo 71
y(1)= ~[t)< _e-21 j, (1.107)
ao passo que para t < O, y(1) = Opor causa da condição de
rtpouso inidal. Combinando esses dois casos, temos a solu-
ção completa
K
O=A+-,
5
(2.98)
(2,96)
(2.\01)
(2.100)
3Y+2Y=K,
x(l) ~ K" ulll,
dy(t) +2y(l) = O.
di
3Y~+2Yê'=Kr'.
Um método usual para encontrara solução particular
para um sinal exponencial de entrada como o da Equação
2.96 é procurar pela chamada rtspostaforÇ'lda - isto é. um
sinal com a IDe5ma forma que a entrada. Com referência
ii Equação 2.95, como xlI) = Kt)J para t> O. admitimos a
hipótese de uma solução para r > Oda (orma
•
ExempioZ.14
Considttt a solução da Equação 2.95 quando o sinal
d~ enuada é
i
t
I
ou
de modo que
K
Y=S' (2.102)
(2.108)
•
Y,(t) = K t ", t>O. (1.103)
5
Para determinar y.(t). supomos uma solução da forma
A panir dessa equação, percebtmos que devemos tomar
s = -2 e que Acll é uma solução para a Equação 2.98 para
qualquu escolha de A. Fazendo uso desse lato e da Equação
2.1 03 na Equação 2.97, obtém-se queasoluçãoda equação di-
ferenda! para r > Oé
Y.(I) ~ Al'.
Substiruindo-a na Equação 2.98, chegamos a
As<' + lA" = U(, +2) = O.
(2.104)
(2.105)
(2.106)
o Exemplo 2.14 duada diversos pontos importan-
tes que dizem respeito às equações diferenciais lineares
com coeficientes constantes e aos sistemas que elas re·
presentam. Primeiro, a~ta a uma entrada.r(t) geral·
mrnte consistirá da soma de uma solução particular para
a equação diferendai e uma solução homogêoa - isto
é, uma solução da equação diferendai com entrada nula.
A solução homogénea costuma ser chamada de rnposta
natural do sistema. As respostas narurais de drcuitos dê-
tricos e sistemas mecànicos simples são exploradas nos
problemas 2.61 e 2.62.
No Exemplo 2.14, também vimos que, para dettrmi-
nar completamente a tdação entre a entrada e a salda de
um sistema desaito por uma equação difermdal como a
1
(2.111)
(2.110)
72 Sinais e sistemas
Equação 2.95. devemos espedficar condições auxiliares.
Uma implicação deste fato. ilustrada no Problema 2.34.
é que diferentes escolhas das condições auxiliares levam
a diferentes relações entre a entrada e a saída. Como
ilustramos no exemplo. empregaremos amplamente a
condição de repouso inidaI para sistemas descritos por
equações diferenctais. No enmplo. como a entrada era
O para t < O. a condição de repouso inicial implicou a
condição inicial ~O) = O. Como disstmos. e conforme.é
ilustrado no Problema 2.33. sob a condição de repouso
inicial o sistema dtsaito pela Equação 2.95 é LIT e cau-
sal.J Por exrmplo. ~multiplicamos a entrada na Equação
2.96 por 2. a saída resu!taDle st'ria duas vezes a saída na
Equação 2.108.
'é importante ressa1lar que a condição de repouso
inirial não especifica uma condição de zao inirial em um
ponto fixo no tempo. mas ajusta~ ponto no tempo de
modo que a resposta seja zero ati qu.t a entrada se tome
diferente de zero. Ponanto, se x(t) = Opara t :S to para o
sistema LIT causal descrito pela Equação 2.95. então
y(t) =Opara t:S Ir e usaríamos a condição inidaly(to) =O
para obter a saída para I> lo. Como exemplo físico. con-
sidere novamente o circuito na Figura 1.1, discutido
também no Exemplo 1.8. O repouso inicial para esse
exemplo corresponde ao prinápio de que, até conectar-
mos uma fonte de tensão diferente de zero ao circuito, a
tensão do capadtor é zero. Logo. se começarmos a usar
o drcuito hoje ao meio-dia. a tensão inicial do capao-
tor quando conectamos a fonte de tensão ao meio-dia
é zero. De maneira semelhante. se começarmos a usar o
circuito ao meio-dia de amanhã. a tensão inicial do capa-
citar no momento em que conectarmos a fonte de tensão
ao meio-dia de amanhã é nula.
Esse exemplo também nos ajuda a entender por que
a condição de repouso inicial toma um sistema descrito por
uma equação diferenriallinear com coeficientes constan-
tes invariante no tempo. Por exemplo. se execulamos wn
experimeDlo em um drcuito, começando a partir do re-
pouso inicial e depois assumindo que os coeficientes R e C
não mudam ao longo do tempo. esperaIÍarIlOS chegar aos
mesmos resultados se fizéssemos o experimemo hoje ou
amanhã. Ou seja,. se executarmos experimentos idênticos
nos dois dia.s. em que um drcuito começa em seu repouso
Na ~rda<k. como também I. mostrado no Prob~ 2.l4, se a
oondiçio ink:ia1 pua I Equaçlo 2.951. diftItntt de zero. O~e­
Da resu111.nt( I. linear por Ulaemento. Ou sei.. I resposta gttaI
pode SoU visa. dt!o modo semdhantt i FifUnl 1.43. mmo ii su-
pcrpo5il;io di rapcma is CXlDdlçOe:s iniciab isolacks (com .. en-
trada sendo O) ( ii resposla i cnlndl com COGdiçio iDiciil O. Isto
é, ii resposta do sisltDa UT aLUaI descrito pd.a Equaçio 2.95.
inicial ao meio-dia todos os d.i3.5. então esperaríamos ter
respostas identicas - isto é. respostas que são simplesmen-
te deslocadas 00 tempo por um dia em relaçâo ao outro.
Apesar de termos usado a Equação diferencial
de primeira ordem 2.95 como veículo para a discus-
são dessas questões. as mesmas ideias se estendem de
modo direto para os sistemas descritos por equações
diferenciais de ordem mais elevada. Uma equação dife-
rencial linear com coeficientes constantes de H-ésm
ordem geral é dada por
..ç... d'y(t) = {--b d' x(t) (2.109)
LJalt. •.It. LJ It. t'
t-o ar t-o dt
A ordem refere-se à derivada mais alta da saída y{l) que
aparece na equação. No caso de N = O, a Equação 2.109
é reduzida para
y(tl=..!..tblt. dtxy).
..... d1
Nesse caso, y(t) é uma função explícita da entrada x(l) e
suas derivadas. Para N ~ I. a Equação 2.109 descrtve a
saída implicitamente em. termos da entrada. Nesse caso,
a análise da equação procede da mesma forma que em
nossa discussão acerca da equação difereodai de primeira
ordem no Exemplo 2.14. A solução y(l) consiste em duas
partes - uma solução panicular para a Equação 2.109
mais uma solução para a equação diferencial homogênea
A d'y(t)_oLat It. - •
1<-0 dt
Referimo-nos às soluçôes dessa equação como respostflS
naturais do sistema.
Assim como no caso de primeira ordem. a Equação
diferencial 2.109 não define completamente a saída em
tennos da entrada, eprecisamos identificarcondiçâes auxi-
liares para determinar completamente a relação entrada-
-saída do sisU~ma. Mais uma Vet. escolhas diferentes para
essas condições auxiliares resultam. em diferentes rela-
ções entrada-saída.. mas. na maioria dos casos, neste livro
usaremos a condição de repouso inicial quando lidarmos
com sistemas descritos por equações diferenciais. Ou seja,
se x(l) = Opara t:S too supomos que y(t) = Opara t"::; lo e.
p<Jnanto. a resposta para t > 'o pode ser calculada a partir
da Equação diferencial 2.109 com as condições inidais
dy(to) dN-1y(toly(ta)=--=···= N I =0. (2.112)dt dt -
Sob a condição de repouso inicial o sistema descrito pela
Equação 2_109 é LIT e: causal. Dadas 3.5 condições iniciais
..'
j
Sistemas lineares invariantes no tempo 73
2.4.2 Equações de diferenças lineares com
coeficientes constantes
A correspondente de tempo discreto da Equação
2.109 é a equação de diferenças linear com coelidentes
constantes de N-ésima ordem
Uma equação desse tipo pode ser resolvida de maDeira
exatamente análoga à empregada para as equações di·
ferendais. (Ver Problema 2.32.)4 Espedficamente. a so-
lução y[nj pode ser csaita como a soma de wna solução
partirular da Equação 2.113 e uma solução da equação
homogénea
(2.117)
(2.11»
caso contráriolboh{n]= ao'O.
Ou seja. a Equação 2,1l6 nada é além de uma soma de
convolução. Note-se que a resposta ao impulso para ela
tem duração finita. isto é. é diferente d~ lUO somente
durante um intervalo de lempo de duração finlta. Por
causa dessa propriedade. o sistema esped.ficado pda Equa·
ção 2,116 cosrwna ser chamado de Mtma cmn rt:SpC1SCtJ tJO
impulsa de duraçãa jiniúI (FIR - Finitllmp.JsL Raponst).
Embora não sejam necessárias condições auxiliares
para o caso N = O, tais condições são necessárias para o
caso recursivo ~m que N ~ I. Para ilustrar a solução desse
tipo de equação e para compreender um pouco mais o
y(nl~ ~[~lx[n-k~ (2.116)
Esse é o correspondent~ em tempo discreto do sistema
d~ t~mpo contínuo dado na Equação 2.110. Aqui, y[n] é
uma função explídla dos valores presentes e prévios da
entrada. Por essa razâo, a Equaçâo 2.116 costuma ser de·
nominada tquafÕD "ãD rtCllrsiva, pois não usamos recur·
sivamente valores da saída calculados previam~nte paracalcular o valor presente da saída. Penamo, assim como no
caso do sistema dado na Equação 2,110, nio precisamos
de condições auxiliares para detenninar y[n}. Além disso, a
Equação 2.116 define um sistema m, ~ por cálrulo direto,
obtém-se qu~ a resposta ao impulso desse sistema é
Embora todas ~ssas propriedad~s possam. ser d~·
senvolvidas seguindo uma abordagem que comsponde
dir~tamenteà nossa discussão das equações diler~nàais,
o caso d~ tempo discr~to oferece um caminho alterna·
tivo. Esse caminho origina·se da observação d~ .qu~ a
Equação 2.11} pode ser reestruturada na forma
1 [. N Iy(n] ~ - Lb,xln-kJ-LQ.y(n-kJ .
ao ""'" .....
A Equação 2.115 ~xpressa de maneira direta a saída no
tempo" em termos dos valores prévios da entrada e da
saída. A partir ~la, percebemos imediatamente a necessi·
dade de condições auxiliares. Para calcularmos y[n}, pred·
sarnos conhecer y[n -1],..., y[n - N). Portanto, se tmIOS a
entrada para todo ne um conjUDto de condições auxiliares
como y[ - N),y[ - N+ IJ, ...,y[ - I], a Equação 2.115 pode
ser resolvida para valores sucessivos de y[nJ.
Uma equação na forma da Equação 2.1H ou da
Equação 2,115 é chamada de tqut1fão rtamiva, pois ela
especifica um procedimento recu.rsivo para d~taminar'
mos a saída ~m I~nnos da entrada e de saídas prévias,
No caso espeófico de N = O, a Equação 1.115 redU2'se a
(2.114)
(2.llJ)
N
LQ.y(n-kJ=O.
.~
Pua uma abordagem detalhada dos métodos de rooluçJo de
equações de diferenças lineares com coeficienteS constantes. ver
Fi1tiu Di/fuma EqJUltUnrJ. de LEVY. II.; LESSMAN. F. (Nova yon.:
Mannillan mc., 1961), ou PitD2 Di/ftrm« EqtIations lUIiIS~
(Englewood Clilli; PreDIic:e·HaIl. 1968). de HILDEBRAND. F.
B. No CapírulD 6...prt:Stmamos OlllrO mtwdo pM;I reso!v« as
toqUaÇÓC'S de diferenças, oqual Úldliu. baswlIe 01 máli5e dos sisle·
mas linc.treS innr1anttf no tempo que ~o descritos dtsM rOnI101.
Além disso. indlcamos la leitor os problemas que lidam com I
solução de eqll4lÇÕC$ de diferenças, no 11m deste capítulo.
As soluções dessa equação homogênea são frequent~·
ment~ chamadas d~ respostas naturais do sistema descri·
to ptla Equação 2.11}.
Assim como em I~mpo contínuo, a Equação 2.113
não descreve completamente a saída em termos da en-
trada. Para isso, devemos especificar algumas condições
auxiliares. Como há muitas escolhas possív~is para as
condições inidais qu~ I~vam a dif~reDles relações entrada·
-saída. vamos nos conc~ntrar praticam~nte apenas na con·
dição de repouso inicial- isto é, se xIn) = Opara " < "r
então yfnJ = Opara ti <"o também. Com o repouso inirial
o sistema descrito pela Equação 2.II} é ur e causal.
na Equação 2.112. a saída y(r) pode. em prinápio, srr
drterminada pela solução da equação diferendal da ma-
neira usada no Exemplo 2.14 e ilustrada em. diversos pro-
blemas DO final do capítulo. No entanto, nos capítulos 4
e 9 desenvolvertm05 algumas ferramentas para a análise
dos sist~ UT de tempo contínuo que fatilitam signi-
ficativamente a solução das equações diferendais e. em
partirular. Comecem mélOdos poderosos para a análise
e caracr.eriz.ação das propriedades dos siste~ descritos
por essas equações.
·I
j
f
74 Sinais e sistemas
A Equação 2.118 tambtm pode' ser expressa na forma
comportamento e as propri~des das equações de dife-
renças recursivas, vamos e'xaminar um exemplo simples:
destacando o fato ck que precisamos do valor privio da saída.
y[n- II. para calcular o valor corrmte. Ponanto, pala rome·
çar a recuISão, precisamos de uma condição inidal.
Por aemplo, vamos impor a condição de I'q)OUSO ini·
ciaI e considerar a enrrada
Nesse caso. como xln] = Opara n :s: -I, a condição de re-
pouso inicial indica que y[n] = Opara n :s: -I. e temos como
condição inicial y[-l] = O. Começando com essa condição
inicial podemos encontrar valores ruassivos de y[n] para
n ~ Oconfonne se: SC':gUe:
,
I
1
(2.126)yln] + 'J'ln -1] ~ bx[nJ.
Conforme indicamos. na maior pane do livro usa-
remos as equações de diferenças reorr.sivas no contexto
de descrição e~ dos sistemas lineares, invariaDtes
no tempo e causais; como coosequmda, a:.ssumittmos a
condição de repouso inida! quase sempre. Nos capítulos
5 e lO, desenvolveremos ferramentas para a análise de
sistemas de tempo discreto que nos fomecerão métooos
bastante úteis e efidentes para resolver equações de dife-
renças lineares com coefidentes constantes e para anali-
sar as propriedades dos sistemas que elas descrevem
2.4.3 Representações em diagrama de blocos de
sistemas de primeira ordem descritos por
equações diferenciais e de diferenças
Uma propriedade imponante dos sistemas descritos
por equações diferendais e de diferenças lineares com co-
efidentes constantes r. que eles podem ser representadas
de maneiras bem simples e naturais em termos de in-
terconexões das operações elementares em diagramas de
blocos. Isso é significativo por uma série de razões. Uma
delas é que esse fato fornece uma representação gráfica
capaz de ajudar na nossa compreensão do comportamen-
to e das propriedades dess~ sistemas. Além disso. essas
repr~ntações podem ter valor considerável para a si-
mulação ou implementação dos sistemas. Por exemplo,
a representação em diagrama de blocos que apr~nta­
remos Desta seçâo para os sistemas em tempo contínuo
é a base das primeiras simulações em computadores ana-
lógicos dos sistemas descritos por equações diferendais
e também pode ser direlamente transformada em um
programa para a simulação de um sistema desse tipo em
um computador digital. Além do mais, a representação
correspondente para as equações -de diferenças de tem-
po discreto sugere formas simples e eficazes nas quais os
sistemas descritos pelas equações podem ser implementa-
dos em hardwtJn digital. Nesta ~o, ilustramos as ideias
básicas por tr.ís drnas rC'presmtaçOO em diagramas de
blocos construindo·as para os sistemas causais de primei-
ra ordem introduzidos nos exemplos l.8 a 1.11. Nos pro-
blemas 2.57 a 2.60 e DOS capírulos 9 e la. consideramos
os diagramas de blocos para sistemas descritos por outras
equações dilerendais e de diferenças mais complexas.
Começamos com o caso de tempo discreto e, em
particular. com o sistema causal definido pela equação de
diferenças de primeira ordem
Para criar uma representação em diagrama de blocos des-
se sistema. note Que o ákulo da Equação 2.126 requer
(2.118)
(2.119)
(2.125)
•
(2.121)
(2.120)
(2.121)
(2.122)
x[n) =: K6[n].
h(nJ=[H uln]
1
y{n) = x[nl+ - y{n-l).
2
1
y(0) ~ x(0)+-y{-I) = K.
2
1 1
y(1) = x(1)+-y{0) = -K.
2 2
1 [1]'Y(2)=x[2J+,J'lI)=, K.
y{nJ=x[n)+~y[n-l]=[HK. (2.124)
Comoo sistema espedficado pela Equação 2.118 ea condição
de repouso inicial é LIT, seu componamento entrada-saída
é totalmente caraaerizado por sua ~posta ao impulso. Es-
tabelecendo K = I. vemos que a resposta ao impulso para o
sistema considerado neste exemplo r.
Note que o sistema ur causal no Exemplo 2.15 tem
resposta ao impulso de duração infinita. De fato. se N~ 1 na
Equação 2.113, de modo que a equação de diferenças seja
rccurnva. então, usualmeme, o sistema ln' correspondente
a essa equaçio, juntamente com a condição de repouso ini-
Cal tem uma~ ao impulso de duração infinita. Tais
sistemas comumente são chamados de Jistmw amI rtSpOSIJ1. Q/J
impulm '" dur"lÔD infinita (llR-lnfini'" Impulse Respoos<).
•
Exemplo 2.15
Considere' a e'quação de' difC'fe'nça
1
y[n] --y{n-l) = x[n].
2
Sistemas lineares invariantes rtlt~ 75
três operações básicas: adição, multiplicação por um. coto
fidente e atraso (relação entre y[n] e y[n - 1]). Portanto,
vamos definir três elementos básicos do diagrama, como
indicado na Figura 2.27. A fim de entendermos como es·
ses elementos básicos podem ser usados para representar
o sistema causal definido pela Equação 2.126, reescreve-
mos a equação na forma que sugere imediatamente um
algorttmo recursivo para computar valores sucessivos da
saída y[nJ:
b
~oll";'-+{+)---...,..._.. nol
o
-.'--+.---' no-I)
Figura 2.2B Representação em diagrama de blocos para o sistema
causal de tempo discreto descrito pela Equação2.126.
Esse algorinno é representado graficamente na Figura
2.28. que é um exemplo de sistema com realimentação,
posto que a saída é realimentada por um atraso e uma
multiplicação por um coefidente e. depois, é adidonada a
bx[n]. A presença da realimentação é uma consequEnda
dirtta da natureza rerorsiva da Equação 2.127.
O diagrama de blocos na Figura 2.28 deixa clara a
n«essidade de memória nesse sistema e a consequen-
te exigênda de condições inidais. Especificamente, um
atraso corresponde a um elemento de memória, pois o
elemento deve armazenar o valor prévio de sua enua-
da. Penanto, o valor inida1 desse elemento de memória
serve como condição inidal net'eSSária para o cálculo re-
cursivo representado graficamente na Figura 2.28 e ma-
tematicamente na Equação 2.127. Se o sistema descrito
.pela Equação 2.126 está inidalmente em repouso, o valor
inidal armazenado no elemento de memória é zero.
Considere em seguida o sistema causal de tempo
contínuo descrito por uma equação diferen<ial de pri-
meira ordem:
Como primeira tentativa de definir uma representação
em diagrama de blocos para esse sistema, vamos nescre-
ve·la da seguinte maneira:
O membro direito dessa equação envolve três opera-
~ básicas: adição, multiplicação por um coeficiente e
diferenciação. Ponanto, se definimos os três elementos
básicos do diagrama indicados na Figura- 2.29, podemos
representar a Equação 2.129 como uma interconexão
desses elementos básicos de modo análogo ao usado para
(2.129)
(2.128)d~t) +ay(t) ~ bx(t).
I dy(t) b
y(t)~---+-x(t).
a dr a
(2.127)y(n] ~ -<lJ'(n - I] +b*].
(b)
(a)
(a)
><,(lI
"~ --~.~éf-~'" Xl(t) +~
(b)
•
~ol ---_.~.--- "'01
•x(tl---.....---~~
J
(e)
401 --'''GI--~'''X[n-l1
Aguo W EJemernos basicos para a representação em dialJama
de blocos do sistema causal desoito pela Equação 2.126: tal 001 $0-
rnador; lbl multiplicação por um coeficiente; lei 001 aua$O unitário.
(e)
Agura 2.29 Um possível l)1J1lO de elementos básicos para a re-
~ntação em diagrama de blocus do sistema de tempo mntflllXl
descrito pela EQuação 2.128: tal um $Ornador; lb) mult~tr:ação j:U um
coeficiente; {el 001 diferenciador.
76 Sinais e sistemas
e depois integrando de __ até t. Especificamente. se as-
sumimos que no sistema descrito pela Equação 2.130 o
valor deY(-1 é nulo. então a integral de dy(l)ldt a partir
de __ até t é precisamente y(l). Como ronsequênda,. che·
gamos à equação
o sistema de tempo discreto representado anteriormente.
resultando no diagrama de blocos da Figura 2.30.
Embora a Figura 2.30 St'ja uma repreSt'ntação vá-
lida do sistema causal descrito pela Equação 2.128. ela
não é a representação usada mais frequentemente ou
a que leva diretamente a implementações práticas. pois
os diferenciadores são difíceis de implementar e extre-
mamente sensíveis a erros e ruído. Uma implementação
alternativa que é usada de modo muito mais amplo pode
St'r obtida primeiro reescrevendo-se a Equaçâo 2.128 da
seguinte forma:
"
j,
..
i,
\
J,
,
,.
direta em implementações analógicas. e. de fatO, essa é a
base tanto dos primeiros romputadores analógicos como
dos sistemas de computação analógicos modernos. Note-
-se que, em tempo contínuo. éo integrador que represmta
o ele.menlo de armau.namenlO de memória do sislema.
lsso~ ser diretamente visualizado se determinarmos a
integral da Equação 2.130 a partir de um ponto finito no
tempo til' resultando na expressão
-,
Figara 2.32 Representação em diagrama de blocos do sistema das
equaçaes 2.128 e 2.131 us<!ndo somadores, multiplicações por coefi-
cientes e integradores. --
'N b +l--+lJ }--,-.-
(2.130)dy(t) = bx(t) _ ay(t)
dr
o
-1/a dy(t)
dt
,
j
"
i,
:
:i,,,
i,
,
,
I
!
"
)
i
2.5 Funções de singularidade
Nesta stÇão. examinaremos a função impulso unitá·
rio de tempo contínuo para compreendermos um pouco
mais desse importante sinal idealizado e apresentannos
um conjunlO de sinais relacionados conheddos coleti-
vamente como funfÕtS d.t singularidmk. Na Seçâo 1.4.2
sugerimos que um impulso unilário de tempo conIÍnuo
poderia ser visto como a Idealização de um pulso que é
·su1identernente curto· de modo que sua forma e du-
ração não rêm consequência prática - isto é. no que se
refere a qualquer sistema UT panicular, toda a área sob
o pulso pode ser int~retada como se tivesse sido ins·
tantaneamente aplicada. Nesta seção. dare:mos. primei·
y(t)~ y(t,) +J'lbX(T)-aY(T)!dT, (2.Bl),
A Equação 2.132 deixa claro o fato de que .a esped.6cação
de y(1) requer uma condição inicial ou seja. o valor de
Y(lo)' é preâsamenle esse valor que o integrador anDaZe-
na no tempo to'
Apesar de termos ilustrado as construções de
diagrama de blocos somente para as equações de di-
ferença e diferendais mais simples de primeira ar·
dem. esses diagramas de blocos também podem ser
criados para sistemas de ordem mais alta. propor·
donando tanto uma intuição enriquecedora como
possíveis implementações desses sistemas. Exem·
pIos de diagramas de blocos para sistemas de ordem
mais alta podem ser vistos nos problemas 2.58 e 2.60.
(2.131)y(t)~ r.Jbx(7)-aY(7)!dT,
figUtl 2.31 Representação em diagrama de blocos para o sistema
nas eqJações 2..128 e 2.129 USélflOO sanadores. roottiplicações Pllf
coeficientes ediferenciadores.
'N ,rrlJL--l'_~._ ..... *>dT
bt,
>«l) +}----r---;~
Ntssa forma. nosso sistema pode ser implementado rom o
uso do somador e do multiplicador por coeficiente romo
indicado na Figura 2.29. juntamente com um inkgrador.
conforme definido na Figura 2.31. A Figura 2.32 é uma
representação em diagrama de blocos para esse sistema
usando esses três elementos.
Como os integradores podem ser implementados
imediatamente usando-se amplificadores operadonais,
reprtS('ntaçôr$ romo a da Figura 2.32 resultam de forma
I
, Sistemas lineares invaiantes fIO tempo n
para qualquer sinal x(t). Ponamo, se supusermos que
x{t) = 6(t), teremos
2.5.1 Oimpulso unitário como um pulso idealizado
Da propriedade seletiva. Equação 2.27. o impulso
unitário 6(t) é a resposta ao impulso do sisttma identida-
de. Ou seja.
(2.137)dy(t) +20)'(1) ~ X(l).
dI
Como pock ser visto na figura, precisamos de um. valor me-
nor de.l1 nesse caso para que as respostas sejam indistinguí-
veis umas das outras e da resposta ao Impulso h{tl =rDIl(t)
par.t o sistema. Portanto, apesar de o que designamos por .l1
sufidenlemente pequeno· ser diferente para esses dois sis-
temas. podemos encontrar valores de 11 sufidcntemente
pequenos para ambos. O impulso unitário, então, é a idea-
lização de um pulso curto cuja duração é sufidentemente
curta para rodos os sistemas.
1
•
Nos capítulos" e 9, descrevemos rnandras multo mais slmptes de
de:ltrminar .II rc:sposI.lI .110 lmpulso dos slslWW UI causais descri-
tos pai"~ difermcWs lineares com coefidente:'S CO!lSUI11eS.
•
Figura 2.33 Sioal '41t! definido na Equação 2.135.
o 2A
•
Exemplo 2.16
Considere o sistema 1JT descrito pela equação dife-
rendal de primeira ordem
dy(1) +2y(t)~ X(l). (2.136)
dr
junwnentt com a condiçio de repouso inicial A Figura 2.34
(veja p. 78) retrata a resposta. desse sistema a ó4 (t), ra(l),
ra(r)· óa(t) e r4 (t) '* T4 (t) para diversos valores de!:l. Para!:l
sufidentem.cnte grande, as~ a esses sinais de entrada
diferem percrptivtbnente. No entanto, para 11 Suficimlmlell-
te pequeno. as respostas são tssenda1mente indistinguív~,
de modo que lodos os sinais de entrada ·se comportanJ· da
mesma maneira. Além do mais, como sugerido pela figura, a
forma limite de todas as três respostas t prerisamente r l'Il(I).
Como o limite de cada um desses sinais quando 6 -+ Oé
o impulso unitário, concluímos que rlfu(t) é a resposta ao
impulso para esse sistema.'
:é de extrema importância ressaltar que o que queremos
dizer com .!:l suficientemente pequeno· depende do sistema
UI' particular para o qual os pulsos prettdenres são aplicados.
Por exemplo, na Figura 2.35 (veja p. 79). ilustramos as respos-
tas a esses pulsos para difemltes valores de b. para o sislema
UI causal descrito pela equação diferencial de primeira ordem
(2.135)
(2.B4)
(2.m)6(1) = 6(1) • 6(1).
X(I) ~ X(I) • 6(1),
Assim, r",(t) r: como está mostrado na Figura 2.33. 5( qui-
sermos interpretar 6(~ como o limite quando a -+ ode 6",(t),
então, em vinude da Equação 2.134, o limite quando
!::J. -+ Opara r~(tl deve ser um impulso unitário. De ma-
neira semelhante, podemos afirmar que os 1imi~ quando
!::J. -+ Ode r~(t) • r~(t) ou r~(t) '* 6~ (t) devem ser impulsos
unitários, e assim por diante. Portanto, percebemos que,
por coertnda, se definimos o impulso unitário como a
forma limite de algum sinal. então há um número ilimi-
tado de sinais que parecem diferentes, sendo que todos se
comportam como um impulso no lintite.
As palavras-chave do parágrafo anterior sâo
·comportam-se como um impulso·, e, como indicado,
o que queremos dizer com isso r. que a resposta de um
sistema LIT a todos esses sinais r. essendalmente idên-
tica, já que o pulso é ·sufidentemenle curto·, isto r:,
a é ·sufidentemente pequeno·. O exemplo a seguir
ilustra essa ideia:
A Equação 2.134 é uma propriedade básica do impulso
unitário. e também tem uma implicação significativa
para nossa imerpretação do impulso unitário como um
pulso idealizado. Por exemplo. assim como na Seção
1.4.2, vamos supor que 6(1) seja a forma limite de um
pulso retangular. De modo mais espeáfico, seja 6",(t) o
pulso retangular definido na Figura L34, e suponha-
mos que
ro, um exemplo concreto do que isso significa e, depois,
usaremos a intupretação incorporada dentro do exemplo
para mostrar que o segredo do uso de impulsos unitários
e outras funções de singularidade está na espedficação de
como os sistemas lIT respondem a esses sinais idealiza·
dos. ou seja. os sinais são. em essênda, definidos em ter·
mos do modo como se comportam em convolução com
outros sinais.
I
1
,,
~
,
I
...
78 Sinais e sistemas
,
.)
~.'.
,
.'..
1
,,
o~oL---~:,~~õ::::;';;!'!'!!~2-
Respostas a xtt) - r,,(t)
1 6.-0.0025
(b)
o0t-----~1.::~~~""'~2
Respostas a xm - 5,,(t)
(a)
,
••.'.1,
.;
••<,
.~
•
I
:1,.,
.1,,,
t
f
j,
!
J
(
.!
I
"
I
!
'I
1
21
Respostas a x{t) - r,,(I).r,,(t)
4=0,0025
O,,
(d)
O~
(e)
1
1 2
Respostas a K(t) - 5,,(t)"r,,(t)
O~0------+--=:::::::::::="2
O,,
(e)
Rgura 2.34 Interpretação de um mpulso unitário como idealização de um pulso cuja duração é ~suficientemente curta" de modo Que, 00 Que
se refere à resposta de um sistema UT aesse pulso. opulso pode ser visto COl'lV) terJ:io sido aplicado instantaneamente: lal~ do sistema
UT causal descritas pela Equação 2.136 ti entrada 6,,(11 para t1 = 0.25. 0,1 e 0.0025: (bl~ O:l mesmo sistema a '6111 para os mesmos
valores de t1: (cl respostas a 6,,111- 'tlltl: (di respostas a '"lr,- ',,{tI; (el resposta ao inpulso hltl = e-l'u(t) para o sistema. Note que. para
t1 = 0,25, há diferenças natáYeis entre as respo!tas aesses diferentes sinais: no entanto, confonne t1 se toma ml!l'lOl', as diferenças diminuem,
o todas as respostas convergem para aresposta ao impulso mostrada em (el.
Sistemas lineares ioval'iantes no tempo 79
I
1
i,
i,,
(ai
(e)
00
-O,OCXl25
0,1
Respostas a x(l) - &,,(t)
0,2
(b)
(d)
00 0,2
0,1
Respostas a x(t) = 5..(I:)orjl(t)
(el
1
00 0,1 0,2
Figur.2.3S Encontrar um valor de 6. que seja ·suficientemente pequeno· depende do sistema ln qual estamos aplican:lo as entJadas: tal
lespustas do sistema UT causal descritn pela Equação 2.137 ti entrada ó",ltl para li. _ 0,025, 0.01 e O,OOJ2S: (bl respostas a r",It1; lei respostas
a 661tl* '4,ltl: ld) respostas a '41" • '6(tl: leI resposta ao impulso hltl = r"ultl para osistema.~ essas respostaS às da Fig,tra 2.34.
pefmbemos que é preciso usar lITl valor menor de.o. nesse caso Mltes que a ooraçãel ea forma do pulso não temam conseqoêrcia.
2.5.2 Definindo o impulso unitário por meio da
convolução
Como ilustra o exemplo anterior. para um 6. sufi-
cientemente pequeno, os sinais 6.6.(t), 'to(t), ,,,,(I). óll.(tj e
'4(t)· '4(t) agem todos como impulsos quando apücados
a um sistema m. Na verdade. há muitos outrOS sinais
para os quais isso também é verdadeiro. O que esse fato
sugere é que deveríamos pensar um impulso unitário
em termOS da foona romo um sistema ur responde a ele.
Embora geralmente uma função ou sinal seja definido pela
quantidade que asswne em cada valor da variável inde-
pendente. a importância básica do impulso unitário não é
o quanto de vale em cada valor de t, mas o que ele faz na
convolução. Portanto, do ponto de vista da análise dos siso
temas Uneam, devemos alternativamente drfinir o impu.lso
unitário como um sinal que, quando aplicado a um sistema
80 Sillais e sistemas
,
",
,
"
".,.
,,
•
".,
(2.142)
(2.140)
(2.143)
(2.144)
)'(1)= dx(n
dt
JWIt) = flO)6(1).
~I) ~ x(t)" ",(I).
que é uma propriedade que deduzimos por meios alter·
nativos na S~ão 1.4.2. (Ver Equação 1.76).
6(1) dada na Equação 2.138 será aquela à qual nos referi·
ft:mos com mais frt:quênda. No t:Dtanto, a Equação 2.139
é útil para determinarmos algumas das propriedades do
impulso unitário. Por exemplo. considt:re o sinal f{t)ó(t),
sendo quef(t) é outro sinal. Então, da Equação 2.139,
r:g{T)f(T)Ii(T)dT ~ g(O)[(O).
Comparando as t:quaÇÕt:S 2.140 e 2.141, notamos qut: os
dois sinaisl1t)6(t) ef{O)ó(t).st: comportam de modo idêntico
quando são multiplicados por qualquer sinaIg(t) e depois
intt:grados de _ a +-. Consequentementt:, usando essa
forma da definição opcadonal dos sinais, conduimos que
A resposta ao impulso unitário desse sistt:ma é a derivada
do impulso unitário, qut: é chamada daubltt II.nitán·o ul(I).
Tt:ndo como base a representação da convolução para sis-
temas ur, temos
2.5.3 Doublets unitários e outras funções de
singularidade
O impulso unitário faz parte de uma classe de sinais
cooherida como funções dt singll.lIlridadt, sendo que cada
uma pode str definida operadonalmente em termos de
seu comportamento na convolução. Considt:rt: o sistema
UT para o qual a saída é a derivada da eonada. isto é,
r: g{T)[(O)li(T)dT ~ g(O)[(O).
Por outro lado, se consideramos O sinalj{O)ó(t), VmlOS que
(2.138)x(t) ~ x(t) "I(t).
I ~ X(I) ~ x(t) " é(1) = 1(1)" x(t)
= J:6(T)x(r-T)dT = J:6(T}dT,
qut:, para r = O, resulta
g(O) ~r:g(T)Ii(T)dT. (2.139)
Portanto. a definição operadona! de ó(t) dada pela Equa-
ção 2.138 implica a Equação 2.139. Por ouuo lado,
a Equação 2.139 implica a Equação 2.138. Para verifi-
cannos, seja x(t) um dado sinal fixamos um tt:mpo t e
dt:.li.ni.m.os
para qualqut:r x(t). Nt:sst: sentido, sinais como 66,(t), '",(t)
t:tc., que correspondt:m a pulsos cunos com duração cada
vez menor t:nquanto 6 - O. componam·se como um
impulso unitário no limitt: por qut:. se substituímos 6(t)
por quaisqut:r desSt:S sinais, então a Equação 2.138 é sa·
tisfrita no limitt:.
Todas as propriedadt:s do impulso unitário dt: qut:
predsamos podt:nl St:I obtidas a partir da de{rnit;âo oprraciona/
dada pela Equação 2.138. Por t:xt:mplo, se x(t) = 1 para
todo t, então
dt: modo que o impulso unitário tt:m área unitária.
Às vezes ~ útil usarmos ouua definição opc:racio-
nal completamentt: t:quivalentt: para 6(t). Para chegar
nt:ssa forma altt:mativa, tomamos um sinal arbitrário
g(t), t:spt:lhamos para obtt:r g(-t) e depois t:fetuamos a
convolução com 6(t). usando a Equação 2.138, obtemos
m, gere a resposta ao impulso. Ou seja, definimos 6(t)
como o sinal para o qual
í,
I
!
I
I
I
ii.
(2.145)
(2.146)
Da Equação 2.144, vemos qut:
d'X(I) d [dx(t)]
--~- - =x(t)"U,(WU,(I)
dt 2 dt dt '
para qualquer sinal x(1). Assim como a Equação 2.138
serve como definição operadonal dt: ó(t), tomartmos a
Equação 2.144 como a dt:finição operacional de II.
I
(t). Da
mesma forma, podemos dt:finir 1I.1(t), a segunda dt:rivada
dt: 6(t), como a resposta ao impulso de um. sistema ur
qut: retoma a segunda derivada da entrada. isto é,
d 2x(r)
-,-= x(t)" 14:2(r).
dt
g(T) ~ x(t - T).
Assim. usando a Equação 2.139. tt:mos
x(t) ~ g(O)- r:g(T)I(T)dT ~r:X(I - T)Ii(T)dT.
qut: é exatammtt: a Equação 2.138. Logo, a Equação 2.139
é uma definição o~racion.al t:quivalente do impulso uni·
tário, ou St:'ja. o impulso unitário é o sinal que,quan·
do multiplicado por um sinal g(1) t: depois intt:grado de
- a +-, produz o valor g(O).
Como nos preocuparemos prindpalmentt: com os
sistemas Ln' t:, por isso, com a convolução, a descrição de
••,
Sistemas lineares invariantes no tempo 81
e portanto.
Dt modo geral u.(!), k > O. é a derivada k-ésima de ó(t)
e, portanto. é a resposta ao impulso de um sistema que
retoma a k·ésima derivada da entrada. Já que esse sistema
pode ser obtido como a cascata de k diferendadores, temos
de modo que o doubkt unitário tem área nula. Além disso,
fazendo a convolução do sinalS(- t) com "I(t). obtemos
r:: alr -1)",lr)dr ~ a(-I) o ",I')
= da~~') = -a'(-I).
(2.154)
(2.IS3)
U~2(t) = u(t) Ir u(t)= f~oau(r)dr.
u(t) = J~oa6(r)dr. (2.1.52)
~ também temos a seguint~ definição operadonal de U(I):
x(t)'" U(I) = J~cox(r)dr.
•
Como W(f) é igual a Opara I < Oe igual a 1 para t > 0,
scgue's~ qu~
,..
_.1
•
Logo,
Da mesma forma. podemos definir o sistema que
consist~ ~m uma cascata de dois integradores. Sua res·
posta ao impulso é d~notada por 11._1(1). que é simples·
m~nt~ a convolução de u(t). a resposta ao impulso d~ um
integrador. consigo mesma:
x(1)- dO. (I) ~ x(I)-xll-lo) _ dxll), (2.ISI)
di Ó. dt
sendo que a aproximação se toma mais pr~cisa à me-
dida que 6. --+ O. Comparando a Equação 2.151 com a
Equação 2.144, vemos que d6tto(t)/dt de fato se compena
como um dowbltt unitário à m~dida que 6. -+ O.
Além das funções de singularidade que são derivadas
d~ difermtes ordens do impulso unitário. talnbém podmlOS
definir os sinais qu~ Iqlresmta.rD integrais sucmivas da
função impulso unitário. Como vimos no Exemplo 213. o
degrau unitário é a resposta ao impulso de um integrador.
y(1) ~ f.:(T)dT.
Cons~quent~menle.usando o fato de que x{/) • 6(t - tol
= x(t- foI (ver Equação 2.70). obtemos
figura 2.315 Derivada d6.ll.IO/drdo pulso n1tangular mo óttolo da
tl!Jllr3 1.34.
(2.149)
(2.148)
(2.147)
-a'(O) = r:: aITIu,(T)dT.
que, para t = 0, resulta
De maneira análoga. podemos obler propriedades rela·
donadas a ul(t) e funções de singularidade de ordem
mais elevada. Diversas dessas propriedades são conside-
radas no Problema 2.69.
Assim como acontece com o impulso unitário. cada
uma dessas funções de singularidade pode' ser infonnal-
m~Dt~ r~ladonada a pulsos curtos. Por ~x~mplo. como
o doubltt unitário é formalment~ a d~rivada do impulso
unitário. podtmOS ~Dtend~r o dowblrl como a idealiza-
ção da derivada d~ um pulso amo com ár~a unitária.
A título d~ ilustração. considr:re o pulso curto 6.ll.(t) na
Figura 1.34. Esse pulso se oompona como um impulso
quando 6. -+ O. Consequ~ntemen{e. podtmOS esperar
que sua d~rivada se compon~ como um dowbltt quando
6. -+ O. Conform~ v~rificado no Problema 2.72, dé.ll.(t)/dl
é como representado na Figura 2.36: consiste ~m um
impulso unitário em I = Ocom área +116., s~guido de
um impulso unitário d~ ár~a -116. ~m I = 6.. isto é.
",I') ~ ~,II) o ... o '" II).
k. vézes
Assim como o impulso unitário. cada uma dessas
funções de singularidade tem propriedades que podem
Stf deduzidas de sua definição operacional. Por exemplo.
S( considerarmos o sinal constante x(t) = 1, obttmos
O~ dx(l) ~ xl') o ",(I)
dI
= J:u)(r)x(r-T)dT=J: ~(T}dT.
,
r
t
i,,
,
r,
l
I
l,
dO.(I) ~ 1.(0(1) _ 0(1 _ lo)).
dI lo
(2.IS0) (2,IS5)
J
(2.158)
82 Sinais e sistemas
~ sinal chamado d~ funfio rampa unitáritl. é ~xibido
na Figura 2.37. Além disso. podtm.os obt~r uma definição
o~radonal para o comportam~nto de u_J(I) ~m convolu-
ção usando as ~quações 2.153 e 2.154:
x(t)· u_2(t) = x(r)· U(I)· u(r)
=[LX(U)du)'"(r)
~f ..lL x{q)du)dT. (2.156)
De man~ira análoga. pod~mos d~finir integrais d~
ordem mais ~Ievada de 6(t) como as respostas ao impulso
das cascatas d~ integradores:
/ock(r) = !4t) • .. ··u(t~ = I:'"U-(t_I)(T) dT. (2.157)
k~
A convolução d~ x(t) com u.)(t). u....{l) •... g~ra integrais
d~ ordem correspondenttment~ mais altas de x(l). Alim.
disso. note-~ qu~ as integrais na Equação 2.157 podem
ser calruladas diretamenle (ver Problema 2.73). como foi
feito na Equação 2.155. para obter
(*-1
"_.(1) ~ (k -1)1 "(I).
Portanto, diferentemente das derivadas de 6(t). as int~·
grais sucmivas do impulso unitário são funções que p0-
dem ~r definidas para cada valor de t (Equação 2.158).
assim como por ~u componam~nto ~m convolução.
Em algWlS momentos será útil usarmos uma notação
alternativa para 6(1) e U(I).
integradores. Além. do mais. como um diferenciador é o
sistema inverso de um- integrador,
u(t) , ul{t) = 6(t).
ou. em nossa notação alternativa.
u.l(rl' ",(r) = "g(t). (2.161)
De modo mais abrangente. das equações 2.148. 2.157 e
2.161, vemos qu~ para qua.isqu~rnúmeros inteiros k e r,
ut(r) .. 1I,(t) = u.....(t). (2.162)
Se k e r são positivos, a Equação 2.162 estabelece que
uma cascata de k diferendadores seguida de mais r dife-
rendadores gera uma saída que é a (k + rl-ésima deriva-
da da entrada. Da mesma maneira. se k é negativo e r é
negativo, temos uma cascata de Ikl integradores seguida
de ounas lri integradores. Além disso. ~ k é negativo e r
é positivo. temos uma cascata dt lkI integradores ~guida
de rdiferenciadom, e o sistema como um todo equivale
a uma cascata d~ ~ +ri integradores se k + r < O. uma
cascata de k + r integradores se k + r > O ou O sistema
id~ntidade se k + r = o. Logo. ao definirmos as funções de
singularidade em termos do seu componamento em con·
volução. obtemos uma caracterização que nos permite
manipulá-Ias com relativa fadlidade e inttrpretá-Ias dire·
taIDente em termos de sua tmponânda para os sistemas
UI. Como essa é nossa prindpal preocupação neste livro.
a d~finição o~radonal para as funções de singularida-
d~ que apresentamos nesta seção st.rá su6dente para
nossos propósitos. '
2.6 Resumo
I
{.,
"-,,,,
'f
t
i,
1
'1
1
j
I·,,
-1
figura 2.37 FlIllÇão rampa lJ'Iit1ria.
--,
Com essa notação. "I(t) para k > O denota a resposta
ao impulso de uma cascata de k diferendadores. ua(t)
é a fespJSta ao impulso do sist~ma identidade e. para
k < O. ut(t) é a resposta ao impulso de uma cascata de 1M
ó(r) = ",(r).
"(tI = ".,(1).
(2.159)
(2.160)
Neste capítulo. desenvolvemos r~presentações im·
ponantes para os sistemas UI, tanto de tempo discreto
como de tempo contínuo. Em t~po discreto, obtivemos
uma representação dos sinais como somas ponderadas de
impulsos unitários deslocados. que depois foram usados
para chegarmos à representação da soma de convolu*
ção para a resposta de um sistema ur de tempo discreto.
Em tempo contínuo, deduzimos uma representação aná-
loga dos sinais de tempo contínuo como integrais ponde-
radas de impulsos unitários deslocados, os quais foram
utilizados para chegarmos à representação da integral de
convolução para sistemas LIT de tempo contínuo. Essas
COnforme mendo~ DO Capftlllo I. iI5 funçaes de sineu1arl·
di.de fonm eSl\u:LIlIãs:. fundo no ampo da matemitic.a sob DO-
.mei a1t~tiyosde fim#ts,mnaJivNJJu e uoriJl dIu distTilmiÇju. A
.bocdi.gc.m que tomamos Desta ~o f rcollroente bem pfÓxlma
da rigOlOSill .bordolg=l usada nas rricrênriól' que fornecemos na
nou 3 da seçJo 1.4.
r
I
1
Sistemas lineares invariantes 00 tempo 83
2.3 Considere uma entrada xln] e uma resposra ao impulso
unitário h[n] dadas por
x(nl=[f wjn-2~
h[n)= u[n+ 2].
Determine e represtnle graficamente a saída y[n] =
x[n) * h[n).
2.4 Calcule e represente graficamente y{n) = .x[n] • h[n),
sendo que
Expresse Ae Bem termos de nde modo que a stguinte equa-
ção seja válida:
\
1"1....*_1 A < k< Bh[n-k]= 2 ' - - •
O, caso antrário
3'5:n:58
caso coorrário'
4'5: n S IS.
caso conlI'ário
(
1.
x(n]=
O,
(
1.
hln]=
O,
(b) >'2{n] = x[n +2J * h[n]
(e) y1[n] = .x{n]* h[n + 2)
2.2 Considere o sinal
h(n]=(~rllu{n+3]-U[n-lOlJ.
representações são exuemamente imponantes. pois nos
permitem calcular a resposta de um sistema Ln' para uma
entrada arbitrária em termos da resposta do sistema a um
impulso unitário. Além disso. na Seçâo 2.3, a integral e
a soma de convolução deram-Dos um meio de analisar
as propriedades dos sistemas LIT e, particularmente. um
meio dereladonar as propriedades dos sistemas LIT. in-
cluindo a causalidade e a estabilidade. às propriedades
comspondentes da resposta ao impulso uni~o. Além
disso, na Seção 2.5, desenvolvemos uma interpretação
do impulso unitário de tempo contínuo e outras funções de
singularidade reladonadas em telIDos de seu compor·
t.amento em convolução. Tal interpretação é particular-
mente útil na análise dos sistemas UI.
Uma classe importantt: de sistemas de tempo contÍ-
nuo consiste naqueles sistemas descritos pelas equa~
diferenciais lineares com roefidentes constantes. De modo
semelhame. em tempo discreto. as equaÇÕtS de dífermças
lineares com coefidentes constantes têm um papel igual-
mente importante. Na Seção 2.4, examinamos exemplos
simples de equações difert'Ddais e de diferenças e discuti.-
mos algumas das propriedades dos sistemas descritos por
esses tipos de equações. Espedalmente, sistemas descritos
por equações de diferenças lineares com COC'ficientes cons-
tantes e equações diferenciais lineares com coeficientes
constantes juntamente com a condição de repouso inicial
são causais e m. Nos próximos capitulos, desenvolvere-
mos ferramentas adidonais que factlitam amplamente
nossa capacidade de analisar sistemas desse tipo.
;
I
i
I
I
.x{nJ=ur u{-n-I} e h(n]=u[n-I).
em que N $. 9 é um número inteiro. Determine o valor de N
dado quey[nI = xln) * h[n} e
y[4] = 5, y[14] = O.
2.6 Calcule e represente gra.6.camc=nte a convoluçãoYIn] =
xln) * h(n), sc:ndo que
\
I
I,
Capítulo 2- Problemas
A primeira seção de problemas penence à catego-
ria básica, e as respostas são fornecidas no final do livro.
As três seções posteriores contêm problemas que per-
tencem. respectivamente. às categorias básica, avançada
e de extensão.
Os problemas de extensão trazem aplicações.
conceitos ou métodos düerentes dos apresentados no
textO.
Problemas básicos com respostas
2.1 Sejam
2.S Sejam
(
1.
x{n] =
O,
OSn:59
caso connário (',e h{n}= O, O$.n$.Ncaso contrário
x[n] =6[n] + 26 [n - 1] -.I[n - 3J
h[n] = 26[n +1] +26[n-1].
Calcule e represente graficamente cada uma das convoluçães
asegurr
(a) y1[nl =.x{n) * h[n)
2.7 Um sistema linear Stem a rdação
~
Yln)= 2: x(kJ9[n-2k]..-
entre sua entrada x[n) e sua saída y{n}, sendo 9[n] =
u(nl- u[n - 4].
(a) Dttennine y{nJ quandoxln) = 6[n -II.
(b) Dttenniney(n) quando xln) = 6[n - 2].
84 Sinais e sistemas
2.9 Seja
h(nl=[H u[n)
1
j
<'
A tquação de dif~reflças qu~ relaciona x[1I1 ey(n} ~:
1
w[n] = -w[n-I}+x[nl;
2
(a) Iktennin~ a e fI
(b) Encontre a~ ao impulso da conexão em
cascata de SI e s)'
S~: !Ir causal.
y(nl ~ ay(n-IJ+pw{nl.
2.IS Qual(is) das respostas ao impulso a seguir COIfespon·
d~(m) a sist~mas UT ~stável{tis)?
(a) ~[n] = nrosltn)ufll)
(b) I<,(n) =3'u[-n + 101
2.16 Det~~ st cada uma das a.firma~ a seguir é ver-
dadrira ou falsa:
(a) Se x(n] ::::: Opara n < NI ~ h[nl = Opara n < N'l'
então x(nJ * h[n] = Opara n <NI +N1•
(b) S~y[nl :::::xIn] * h[n}. entãoy[n-l] :::::x(n-l) *
h[.- 1).
(e) S<y(tl =x(Q 'h(Q, ..tão y(-t) = x(-<) • h(-<).
(d) se.r(t)::: Opara. t > rI ~ h(t) = opara t> rJ' en1âo
x(t) * h(ll = opara r> TI +T
1
·
2.17 Considere um sist~ma llT cuja entrada x(1) e saída y(t)
stjam reladooadas pela equação dif~rendal
.!.y(t)+4y(11 ~ X(I). (p2.17-1)
dI
O sistema tamb6:n satisfaz a condição <k ttpOUSO inidal.
(a) & x(1) ::::: r/-I+ljlIU(r). qual ~ y(t)?
(b) Not~ que ffi.e(x(tll satisfará a Equação P2.17-1 com
ffi-e{)l(t)). Determine a saída y(t) do sist~ma LIT se
x(11 ~ "ros(3t)u(~.
:Z.13 Consid~n: um sistema LIT causal cuja entradaxIn} ~ saí-
da y(nJ K'jam relacionadas pda tquaçáo de dife-ença
1
y[n) = - y{n-l]+x[n].
4
Determine y(n} se xIn] = 6[n - li.
2.19 Considere a cascata dos dois sisl~mas a seguir. SI e S1'
como rtprtSOltado na Figura P2.19:
I 3
y(n) ~ --y(n -2)+-y(n -11+ x(n).
8 4
'101-l s, 1w[o) -I s, • yto)
fituu P1.1!
T<A
A<'T<B.
B<T
O$t$1
caso contrário
~ qu~ h(1) :::x(rJo). O< a 5: l.
(a) Ddam.in~ ~esboce y(1) = x(1) * h(I).
(b) se dy(t)ldr cont~m som~nt~ três dtscontinuidades.
qual ~ o valor d~ 01
2.11 Sejam
x(~ ~ U(I- 31- U(I- 5) e h(t) ~ r'u(I).
(a) caIroleY(Q~X(Q·hIQ.
(b) caIrole ,(Q ~ (<Ú{II/dt) • h(Q.
(c) Como S(r) ffiá reladonado com y(1)?
2.12 S~ja
(a) Encontre o iDttiroA talqu~h(n)-Ah[n-l) = 6[nJ.
(b) Usando o rtsU1tado do it~m (a). det~rmin~ a res-
posta ao impulsos[n] de um sistema LIT Sl qu~ é o
sistema inverso d~ SI'
2.14 Qual(is) das CtspOStaS ao impulso a seguir correspon-
d~lm) a sistemas ur estáv~l (Os)?
(a) h,(~ = """""(Q
(b) I<,(t) = "ros(21lu(l)
2.10 Suponha qu~
1
1,
xlt)~
O,
~
y(tl~,-'u(I)' L: Ó(I-3k)
'-'
h(l) ~ t"u(- I +4) +r"w(t- 5).
D~t~rmin~ A ~ B d~ tal modo qu~
lt+ I. O$:c.~ 1x(t)= 2-t. l<t$2O. caso conttário
h(l) ~ Ó(I +2) +Ult +I).
(c) Sé LIT?
(d) D~t~nnin~Yln] quandox[n)::: u[n].
2.8 Dd~rmine ~ trace a convolução dos dois sinais a seguir.
Mostr~ qu~ y(1) = Ar para o :5 t < 3 ~ deteonin~ o valor d~ A.
2.13 Considere um sistema d~ tempo discreto SI com res·
posta ao impulso
Sistemas lineares invariantes no tem~ 85
2.23 sqa h{t) o pulso trlangularmostrado na Figura P2.23(a)
t ~ja x(t) o tron dt impulsos rtp~tado na Figura
P2.23(b). Ou S(ja.
"1Il
Figura P2.22'
- r- r--
2
-,,
1
•,
inclinação: li
b
321123
- '--1 L- -
le)
(b)
~nl
2.20 calcule as seguintes integrais:
(a) J:u.,lllcosllldl
(b) I;sen(2trlló(I+3jdt
(c) J~5~(I-T)COS(21fT)d'T
Problemas básicos
2.21 CalruJc a convolução y{n) = xtn1 * h[nl para 05 seguin-
tes patts de sinais:
x[n] = allu(n1!(a) a. oe fJ
h[n] ~ p"u(n]
(b) xln] = hln] = "'.(n]
(c) x{n)=(-t)"u{n-4]
h(nJ= 4 11 11[2-nJ
(d) xln] e hln] como repmentados na Figura Pl.21.
xln]
... .'1ll11 ... ..
-1 o 1 2 3 4 5 n
0123456789mn~~~~~ n
Figura P2.21 Determint t tsboce y(t) '" xlt) • h(t) para OS seguintes
valores dt 1':
2.22 Para cada um dos pares dt lunções a squir. use a in·
tegral de convolução para encontrar a resposta y(e) do
sistema UT com resposta ao impulso h(t) para a colJa-
da x(t). Esboce seus resultados.
(a) x(t) = t-'"U(t)!<calcule quando o: $ (J
h(t) = t-Ilru(t) e quando Q = (J).
(a) r""4
(b) T= 2
(c) T'" 3fl
(d) T= I
(b) xtn = '(1) - 2.(1- 21 H(t- 5)
h(n = ...(1-1)
(c) x(t) e h(l) como mostrados na Figura P2.22(a).
(d) x(!) e h(t) como mostrados na Figura Pl.22(b).
(e) x(t) e h(t) como mostrados na FLgUl3 P2.22(c).
<a)
-1
• (a) ""l
(b)
1
-2T -T o T 2T 3T
2
,
J
86 Sinais e sistemas
2.24 Considere a interconexão em ca5cata dos três sistemas
LIT. ilustrada na Figura P2.24(a). A resposta ao impul-
so h,[n] t
hJ[nJ = "[IIJ - 11[11- 2].
e a resposta ao impulso global ~ mostrada na Figura
P2.24(b).
(a)
(c) Calcule a convoluçàox
l
[n] * .1)[nJ.
(d) Convolua o resultado do i~ (c) com x,(n) para
calrular y[n}.
Z.:z7 Ddinimos a área sob um. sinal de tmlpo contínuo v(t)
como
A.. = r:\I(t)dt.
Demonsttt que se y(t) = x(r) * h(t). então
2.25 Seja o sinal
y[nj ~ x[n) • h[nj.
em que
A,= A.,A•.
2.l8 A seguit tc=mos respostas ao impulso de sistemas ur de
tempo discrtto. Determine st cada um. dos sistemas ~
causal e/ou estávd. Justifique suas~.
(a) hlnl = Il)"u[n)
(b) h(n] = IO.81"'[n+21
(e) hlnJ~lt)"u[-nl
(d) h(n) = (5)".[3-n]
(e) h(n]=(-t)"u[nI+O.OI)"u[n-lj
(~ h(nl~(-t)"u[nJ+II.OI)"u[I-n]
(g) h[nJ=nW*u[n-l)
2.29 A seguir. temos respostas ao impulso dt sistemas LIT de
tempo contínuo. Determine se cada um dos sistemas ~
causal e/ou estável. Justifique ruas respostas.
(a) h(t) = t 4Iu(t - 2)
(b) hlt) ~'~'13-~
(c) lI(t) = t -Jlu(t + 50)
(d) h(~=""I-l-~
(e) h(1) =,-<11
(~ hlt) = t"'"I~
(g) h(t) = (2C _ t-'-lOOIIlOO)U(t)
2.30 Considere a equação de düerenças de primeira ordem
y[nl
Figura P2.l4
h:!(nl
ill1
1011
•• •
1 1
•••• , t ••• ••
-10123.567 n
(a) Encontre a resposta ao impulso III[nJ.
(b) Enoontte a rc:sposr.a do sistema global para a enuada
x[n] ~ 6[nj-6[n - I).
,
(b)
(a) Determine y[nJ scn usar a propriedade distributiva
da convolução.
(b) Dt:termioe y(n] llSIZnIitJ a propriedade distributiva
da convolução.
2.26 Considere o cálculo de
y(n) = xlln] • x
l
(n] * x)(n}.sendo XliII) = (0.5)*u[n). ~[II] = 1'[11 + 3] e ~[nJ =
6(n)-6[n-I).
(a) Calcule a convoluçãoxl[n] * ~[1I1.
(b) Convolua o resultado do item. (a) com AlIn] para
calcular y(n).
y(nl + 2y[n- I) ~ xlnj.
Assumindo a condição de repouso inicial (isto é. se x[n] =
Opara " < "II" então y[n] =Opara n <no)' encontre a
resposta ao impulso de um sistema ruja entrada e saída
sejam rdadonadas por essa equação de difermçu.. Voei
pode resolver o probletna rea.rranjando a-t:quação de di-
fertDÇ1 de forma a expressar y[nJ em fun~o dey(n -IJ
e X(II} e gerando os valores de y(O). y[+I]. y(+2J ....
nessa ordem.
2.Jl Considert o sistema LIT inicialmente em repouso e
descrito pela equação de difermça
y[n) +2y[n - IJ ~ x[n) +"[n - 21.
Encontte a resposta desse sistema à entrada representa-
da na Figura P2.31 resolvendo a equação de diferenças
recursivamentc=.
Sistemas lineares invariantes no tempo 87
FigunI P2.31
<l"1
I1u2 2•••••11 11• ••••
-2-101234 n
l.l] Considere a equação de dilerenças
I
y[nl-2y(n-ll~x(nl. (1'1.32-1)
e suponha que
x(nJ=[H .[nJ. (1'2.32-')
Assuma que a solução y[n] consiste na soma de uma so-
lução particular l,!n] para a Equação P2.32·1 e uma
solução homogênea Y~lnl satisfazendo a equação
y,ll) =OJ,(I) +1Jy,(I).
Com isso. podemos conduir que o sistema em conside·
ração t linear.
(b) (i) Detennine a saída do sistema Y
I
(I) quando a
entrada t xl(t) = Kr'u(t).
(il) Il<t.nnin.. salda do sistoma y,ll) quando a
entrada t ~(t) = Kr"- nu(t -1). Mostre que
y1{t)=Y,(I-1).
(ili) Agora suponha que x. (t) ~ja um sinaJ ar·
bitrário de modo que Xl (l) = Opara I < to'
Supondo que ,.(r) seja a saída do sistema
para a entrada xl(t) e 'l(/) seja a saída para
K1(1) = .11(1 -1). mostre que
yl(l) =Y,(I-71·
Com isso, podemos concluir que o sistema sob consi-
deração é invartante no tempo. Juntamente com o re·
sultado obtido no item (al. concluímos que o sistema
dado é UI Como esse sistema satisfaz a condição de
repouso inicial. ele tambtm ~ causal.
2.34 A suposição de repouso iniáal corresponde a uma
condição auxiliar de valor zero sendo imposta em um
tempo determinado de acordo com o sinal de entrada.
Neste problema. mostramos que se a condição auxiliar
usada é não nula ou se t~ é smtpre aplicada tIO um
tempo lixo (indq>e.ndentemente do sinal de entrada).
o sistema correspondente não pode ser m. Considere
um sistema cuja entrada x(t) e a saída y(t) satisfaçam a
Equação diferenàal de primeira ordem P2. 33·1.
(a) Dada a condição auxiliar y(1) = 1. use um contra·
exemplo para mostraI que o sistema é não lineM.
(b) Dada a oondição auxiliar y(l) = I, use um contra-
exemplo para mostrar que o sisttma não é inva·
riante no tempo.
o sistema também satisfaz a condição de repouso inkial
(a) (I) Detennine a saída do sistmla 1\(r) quando a
entrada t x\ lt) = net)o
(il) ""amin. a saíd;o do sistoma y,(I) quando a
..nada / x,(l) ~ t"vlq·
(ill) Il<tamin. a salda do sistoma y,(I) quando a
enuada é xlltl = on(l) +~(t). Saldo o
~ f3 números reais. MostIt que Yl(t) = O)'.(t)
+1Jy,lq.
(Iv) Agora considere .1.(1) e ~(t) como sinais arbi-
trários tais que
XIII) = 0, para I < II'
.1
1
(1) = 0, para I < Ir
Supondo que yl(l) seja a saída do sistema para a entrada
xl(tl. yl(l) seja a saída do sistema para a entrada xI(t) e
'1(ll seja a saída do sistema paraxpl = ar,(l) +px)(r).
moStre que
(1".33-1)dy(1) +2Y(I)~ X(I).
dI
para ri ~ O. Para calcular a constante doconbccida
A. precisamos tSpteificar um valor para Yln) para
algum n ~ O. Ust a condição de repouso inicial e
as equaÇÕ($ P2.)2·1 e P2.32-2 para determinar
,{O]. Apartir desse valor. determine a CODStante A.
O resultado desse cáIrolo rtsUlta na solução para
a Equação de diferenças P23.2-1 sob a condição
de repouso inidal quando a enrrada t dada ptla
Equação P2.32-2.
2.33 Considere um sistema cuja entrada xli) e a saída y(r)
satisfaçam a equação diferenda.1 de primeira ordem
I
J.{nJ-l" )1.(1'1-1]= O.
(a) Verifique que a solução homogmea i: dada por
y.[n)=AH
(b) Vamos obter uma solução particular 1,[nJ tal que
y [nl-.!.y [n-ll~[.!.ruln].
, 2' 3
Assumindo quey [n)ltm a forma B(1/3)- para n ~
O, e iJls(rindo~ expressão na equação de dife-
renças dada anteriormente. determine o valor de B.
(c) Suponha que o sistema ur descrito peja Equação
P2.32·J e inidalmente em repouso tenha como
entrada o sinal e~dficado pela Equação P2.32·2.
Como x(n] = Opara n < 0, temos y[n] = Opara
n < O. AIi:m disso. a partir dos itens (aj e (bl. te·
mos quey[n] i: da forma
y(nl~A[H+B(H·
j
88 Sinais e sistemaS
(c) Dada a condição awiliar y(11 = lo mostre que o
sistema é linear por lnaoIlmlO.
(d) Dada a condição auxiliar y(l) = O, mostrt que o
sistc:na é linear, mas não é Invariante no tmIpO.
(e) Dada a rondiçãoauxiliary(O) +y(4) =0, mostre que
o sistema é linear, mas não é invarianu: no ttmpo.
2.35 No problema anu:rtor, vimos que a aplicação de uma
condição auxiliar em um instante fixo (independente-
mente do sinal de entrada) leva o sistema correspon-
dente a ser não invariante no tcmpo. Neste problcma.
exploramos o efeito das condições auxiliares fixas na
causalidade de um sistema. Considert um sistema cuja
entradax(t) ea saíday(t) satisfaçam a Equação difeKD-
da! de primeira ordem P2.)3-l. Suponha que a rondi-
ção auxiliar associada com a equação difuend.al stja
y(O) = O. Determine a saída do siswna para cada uma
das duas mtradas a squir.
(a) XIII) = O, para tOOo t
l0, t<-1(b) xl(t) = I, r>-1
Observe que seyl(t) é a saída para a ennadax](r) ey)(1)
é a saída para a entrada ~(t), então yl(t) eYI(t) não são
id~nticas para t < -I, mesmo que xl(r) e xl(t) se-
jil:m idênticas para r < -I. Use essa observação como
a base de um argummto para conduir que o sistema
dado é não causal.
2.36 Considere um sistema de tm1po discreto cuja entrada
x{n} e a saíday[n] sejam relacionadas por
y[n) ~ HlY[n-ll+ x[n).
(a) Mostre que se esse sistema satisfaz a condição de
repouso inidal (isto é, se x[n) = Opara n < no' en-
tão y{n] =Opara n < no)' então ele é linear e inva-
riante no tempo.
(b) Mostre que se CSSt: sistema não satisfazacondiçãode
rtpouso inicial mas. em vudisso. obedece" condi-
çãoau:riliary(OI =0, ele é nâocausal [Dica: Use um
métodosemelhante ..oaplicado no Problema 235.J
2.37 Consickre um sistema cuja entrada e saída estejam rt-
lacionadas pela Equação difO"Oldal de primeira ordem
P2.H-l. Suponha que o sistema satisfaça a condição de
repouso final listo ~ se X(~ = Opara t > r.. enfio y(t) = O
para r > tol. Mostrt que esse sistema é não causal [Dica:
Considere duas entradas para o mtema.xt(t) = Oe~(t) =
r{u(t) - u(t - I)), que resulta nas saídas Y1(t) e Y2(t). res-
pectivamente. Então, mostre: que yl(t) =Y)ft) para t< O.)
238 Esboce representações em diagrama de blocos para os
si.stemas UT causais descritos pelas seguintes equações
de difermças:
(a) rln] = b(n - IJ +t x{nl
(b) y[nl=b[n-ll+x[n-l]
2.39 Esboce representações em diagrama de blocos para os
sistemas ur causais descritos pclas seguintes equações
diferendai.s:
(a) y(~ ~ - (t)dy(~ldl +....(~
(b) dy{~/dl+3y(/) =x(~
Problemas avançados
2.40 (a) Considere um sistema LIT com entrada e saída re-
laàonadas por meio da equação
y(t)= J~t-(H"Ix(T-2)dT.
Qual t a resposta. ao impulso h(t) para esse sistema?
(b) Iktermine a resposta do sistema quando a entrada
x(t) é a mostrada na Figura P2.40.
,qt)
dl--,
----1 ,---,
Figura PZ.40
2.41 Considert o sinal
x[n] = a"u(n).
(a) ~osina1glnl~x[n)-axtn-l).
(b) Use o rtSUitado do item (a) juntamente com as
propriedades de convolução para detenninar uma
sequ~nàa h{nJ de modo que
x[n]'h(n1=[H ("["+21-"[n-211·
2.42 Suponha que o sin.al
x(t) = u(1 + 0,5) - u{t- 0.5)
~ja convoluído com o sinal
(I) Determine o valor de loJ. que garante que
y(O) ~ O,
.sendo y(~ ~ x(~ • h(I).
(b) A resposta do item anterior túnica?
2.43 Uma das propriedades importantes da convolução, tan-
to de tempo discreto quando de tempo contínuo, é a
propriedade assodativa. Neste problema, vamos verifi·
car e ilustrar essa propriedade.
(a) Prove a igualdade
)x(~ • h(~I' g(l) = x(I) • [h(/)• g{/11 (P2.<3-1)
Sistemas lineares invariantes no tempo 89
mostrando que os dois membros da Equação
P2.43-1 são iguais a
L:J_:x(T}h(u}9(t-r-cr)dTdCT.
(b) Considere dois sistemas LIT com respostas à amos-
tra unitária hl[nj eh
1
[nj. como mostrado na Figura
P2.43(a). Esses dois sistemas são cascateados con·
fonne a FIgura P2.43(b). Sejax{n} = u[n].
Determine a saíday[n]. (DiC4: O uso das proprie-
dades assodativa e comutativa da convolução
pode fad.litar bastante nessa solução.)
l.44 (a) Se
x(t) "" O.ltI > TI'
e
h(t) = O, ltl > T2,
,,
"2[n1"" u[nj +} u[n-1]
1 "1[nJ - (- ~ fu[nl
..... ~"';:;-4"'-'-'-'-------
-,,
6 1
h~l
-2 -1
então
x{t) * h(t) = O. Itl > T)
para algum número positivo T). Expresse T
J
em
tennos de TI e T2.
(b) Um sistema IlT de tempo discreto tem entrada
x[n], resposta ao impulso h(nJ e saída y[n]. Se sa-
bemos que h[n) é nulo em qualquer ponto fora do
intervalo No ~ n ~ Nl e xIn} é nula em qualquer
ponto fora do intervalo N
1
'5 n '5 Ny então a saída
y[n) é obrigatoriamente nula em qualquer ponto,
exceto em algum intervalo N. ~ n $" N,.
(i) Determine N. e N, em função de NO' NI' N1
e N1•
(ü) Se o ;"te<vaIo N. ~ " 5 N, tem a>mprimen-
to Mil N1 :5 II :5 N) tem comprimento M% e
N. :5 II ~ N, tem comprimemo M" expresse
M, em tennos de M
k
e M%.
(c) Considere um sistema UT com a propriedade de
que se a entrada x[n] = Opara todo n ~ la, então
a saída y[nI = Opara todo n ? 15. Que condição
h[n) a resposta ao impulso do sistema h{lI] deve
satisfazer para que isso seja verdade?
(d) Considere um sistema IlT com resposta ao impul-
so representada na Figura P2.44. Sobre que inter-
valo devemos conhecer x(t) para determinar y(D)?
"o 1 2 3 ..
Figura P2.43
1
~"l
(i) Calcule y[nJ. Para isso, calcule primeiro w[n]
= x[n}" hl(n) e depoisy[n] = w[n] .. h
1
[n]. ou
seja.y[n] = (x[n]' h,ln]]" h1[nI.
(li) Agora. encontre y[n). primeiro convoluindo
h,(n) e h1ln] para obter g[n] = h,[nj· h1[n] e
depois convoluindo x[n} com 9[n] para obter
y[n] =x[n]" [h1[n]" h1[njJ.
As respostas para (i) e (ü) devem ser idênticas.
ilustrando a propriedade associativa da con·
volução de tempo discreto.
(c) Considere a cascata de dois sistemas lJT como na
FlgUra P2.43(b). sendo que, neste caso,
Ib)
la)
Figura P2.44
J
e sendo a entrada
x[n) "" 6[n] - aó[n - I].
2.4' (a) Mostre que se a resposta de um sistema Ln' a x{r) é
a saída y(t), enlão a resposta do sistema a
x'(I)~ '"'I')
dI
é y'(t). Resolva esse problema de três formas dife-
rentes:
,
f
90 Sinais e sistemas
xj~ ~ y(t)
t2
Figura P2.41
o
~~t) __3y(t)+t-2'u(t),
determine a resposta ao impulso h(t) de S.
2.'7 5(ja um determinado sistmIa linear invariantC' no
tempo com~ ao impulso h,(I). TC'mos a infor-
mação de que quando a entrada ~ x.(t). a saída é '0(/).
esboçada na Figura Pl.47. ~ dado o seguinte conjunto
de sistemas lineares invariantes no tempo com respos-
tas ao impulso indicadas:
EntrDJ/4 x(t) Reposta ao impulse h(t)
(a) x(t) ~ 2x,(~ h(n ~ h,(~
(b) x(~ ~ 'o(~ - X,(/- 2) h(~ ~ h.(~
(e) x(t) ~ X,(/- 2) h(~ ~ h,(1 + I)
(dI x(~ = 'oH) h(l) = h,(I)
(e) x(t) = 'oH) h(l) =h,(-I)
(n X(I) = x;(~ h(t) ~ h;(~
[Aqui. x~{tl e h ~(tl denotam as primeiras derivadas de
xo(t) e h.(t)•.respectivamente.]
,
Em cada um desses casos, defina se temos ou
não inIormação sufictente para determinar a saída y(t)
quando a entrada é x(t) e o sistema lem resposta ao
impulso h(t). Se for possível determinar y(t). apresen-
te uma representação gráfica precisa dela com vaJores
numéricos daramentt indicados no gráfico_
2.48 Determine st cada uma das dedaIações a seguir. rda-
uvas aos sistemas m. t, vtrdadeira ou falsa. Justifique
suas respostas.
(a) Se h(/) é a resposta ao impulso de um sistema LIT
e st h(t) ~ pertódica e não nula. o sistema é instável.
(b) Oinverso de um sistema UT causaléscmprecausaJ.
(c) Se lh[nJI :s; K para cada n, sendo K um nÚInC'ro
dado. C'ntão o sistema ur que tem h[n] como [O.
posta ao impulso é estável.
(d) Se um sistema LIT de tmepo discrtto tem uma res·
pana ao impulso h(n] de duração finita. o sistema
é estável.
(e) Se um sistema UT ~ causai. ele ~ estável.
(I) A cascata de um sistema LIT não causal com um
causaI é necessariamente não causal.
(P2,<s--2)
(PUS-I)
x(r)= f': X'(T)u(t-T)dT.
Mostre também que
(e) Use a Equação P2.4S-1 para detenni.naI a resposta
de um sistema LIT com resposta ao degrau
(Dica: Essas demonsrraçõts saem facilmente usando-
se diagramas dt blocos. como em (fu) do item (a) e
levando-se em conta o fato de que ul(t)" U~l(t) = 6(t).]
(e) Um sistema LIT tem a resposta y(t) = sen wrI para a
enuada x(t) ::E t-~u(t). Use o resultado do item (a)
como ajuda para determinar a resposta ao impulso
d~sistcma.
(d) Seja s(t) a~ ao degrau unitário de um siste-
ma de temlKJ conÓDUO. Use o item (b) para dedu-
zir que a resposta y(t) à entrada x(t) t
y(t) = J:x'(r)s(t-T)dr.
(I) 1(1) ~x(t)· h'(~
(U) y(t)~(L~ X(T)d+ h'(I)~
J:"[X'(T). h(T)] dT ~ X'(I).[J:" h(T)dT)]
Figura P2.45
(b) Ikmonstrt a validade das squintes rda~:
(i) ~IaJllCDte. toldo roIDO base as proprio:i.lOO
de linearidade e lnvariânàa no tempo. e o
fato de que
(li) Düerenciando a inttgral de convolução.
(iii) Examinando o sistema na figura P2.4S.
x'(t)- hm xjt)-xjt- h)
~ h
s(t) =(c"- 2cll + i)u(t)
à rntrada x(r) = (,"(t).
(I) Seja s[n] a resposta ao degrau unitário de um siste-
ma Ln' de tempo disaeto. Quais são as conespon-
dmtes em tempo discreto das equações P2AS-I
e P2.45·2?
2.46 Considere um sistema LIT Se wn sinalx(t) =2rJtu(t- I).
Se
Sistemas lineares invariantes 1'10 tempo 91
z[nl =' nw[n).
Mostrt que a propriedade comutativa não é válida para
esses dois sislemas caku1ando as rtSpOSW ao impul·
so das combinações em cascata mostradas nas figuras
P251(a) e (b). respectivamente.
2.51 No teno, vimos que a relação entrada-saída global da
cascata de dois sistemas LIT não depende da ordem
em que é montada a cascata. Tal fato, conhed.do como
propriedade comutativa, depende tanto da linearidade
como da invariânda do tempo dos dois sistemas. Neste
probltma. üustramos esst: ponto.
(a) Considere dois sistemas de tempo dismto A e B,
sendo o sistema A ur com~ à amostra
unitária h(n) =' (1I2)·w[nJ. O sistema B, por outro
lado, ~ linear, mas variante no tempo. Especifica-
mente, se aentrada do sistema Bé w[n], sua saída é
y[ojSistema,t---<-i...~'
A B
(ai
~oj
então o sistema ur com resposta ao impulso h[n] é
estável. Isso significa que esta é uma condição sufidmu
para a estabilidade. Neste problema, mostraremos que
ela também é uma condição MZSSIÍrfa. Considere: um
sistema ur com resposta ao impulso h(n) e que não é
absolutamente somáveJ. ou seja,
(g) Um sist~ de tem{X) contínuo é estável se e so-
mente se sua~ ao degrau s(t) é absolutamen-
te integrável- isto é, se e somente se
(h) Um sist~ de tem{X) discreto é causal se e somen-
te se sua~ ao degrau s[n] é zero para n < O.
1.49 No texto, mostramos que se h(n) é absolutamente so-
mávd isto ~ se
s{1'l]:=[-j--~a.+_a_{n+l)a"lu[nJ.
(0-111 (a-I) (a-I)
h[n) =' (n + l}o"u[n).
sendo Iol < L Mostre que a n:sposta ao degrau desse
sistema é
(b) Su{X)nha que o sistema Bseja substituído nos dois
sistemas interconectados da Figura P2.5\ pdo sis-
tema com a seguinte relação entre sua entrada
wInl e saída l[n]:
Repita os cálrulos feitos no item (a) desta questão.
2.52 Considere um sistema ur de tempo discreto com res-
posta à amostra unitária
(a) Su{X)nha que a entrada desst: sistema é
[
O. se h(-n] ~°
x[n]= h[-n] h(- J O'
I
;.se n=
h[-nJI
Esse sinal de entrada represenla uma entrada limitada?
Se sim. qual é o menor número B tal que
~(n]l :5 B para todo n?
(b) Calrule a saída em n := Opala essa escolha espe-
áfica de entrada. O resultado prova o argumento
de que a somabilidade absoluta é uma condição
necessária para a estabilidade?
(c) Da mesma foona, mostre que um sistema UT de
tempo contínuo é estável se e somente se a respos-
ta ao impulso é absoluwnente integrável.
2.50 Considere a cascata dos. dois sistemas representados na
Figura P2.50. Sabemos que oprimeiro sistema. Á, é lIT.
sabemos também que o segundo sistema. B, é o inverso
do $\stema A. Suponhamos que y1(t) represente a res-
posta do sistema A para xl(t), e que y1(t) represente a
resposta do sistema A para Xl(t).
(hJ
11(0)-- ........ .......r-B A
Figura P2.S1
z(nj "'" w(n) +2.
Figura P2.5O
(a) Qual ê a resposta do sistema B à entrada 4}'l(tl +
byl(t), sendo ae b constantes?
(b) Qual é a resposta do sistema Bà entrada,Mt- T)?
(Dica: lnnbre-se de que
~ d ~+l
L;lk+I)a' ~-L;a'.)
l-o da_
2.53 (a) Considere a equação diferencial homogênea
~ diy(t)L;a, ----:;- = O. (P2.5H)
~ d,
92 Sinais e sistemas
o polinómio p(z) pode str Calorado da seguinte
forma:
Ust ose fato para mostIar que se 0, = 2. ouão ramo
At; como 8nZ;-' são solll~ da Equação P2.54-I.
sendo A e B constantes arbitrárias complexas. De
modo mais geral pode·st usar o mesmo procedi-
roemo para mosuar que st 0j > I, então
p(z) = aO(z-zl)'"l. .. · (z-z)-'.
sendo Zl' ••.• z, caízes distinlas de p(l).
Mostre que se y[n] = nz.... l. então
t;ai;nn-kl= d~Z)r"+(n-N)p(z)r"-I.
(P2.54-3)
N
p(z) =Eai;zN-t' =o.-
então Ar; r. uma solução da Equação P2.54-1, sen-
do A uma constante arbitrária.
(b) Parser mais convenimte no momento tzabalharmos
com polinõmios que tml somente polêndas não ne-
gativas de r. considert a equação obtida multiplican-
do-st os dois lados da Equação P2.54-2 por t':
(pl.53-1)
", +"J + ... +",=N.
De modo ~raL se", > I. então não só A~ é uma
solução da Equação P2.53-1. mas tambén AI~,
sendo i um número inteiro maior ou igual a zero
e menor ou igual a (1, - 1. Para üusuar este fatO,
mostre que se ", = 2. eneão AtéI r. uma solução
da Equação P253-1. [Dica: Mosue que se Sé um
número complexo arbiuálio. eneão
Mostre que st sl1 é uma solução da equação
então Ar'" é uma solução da Equação P2.53-1.
sendo A uma constanle arbitrária complexa.
(b) O polinômio p(s) na Equação P2.53-2 pode str fa-
locado em termos de suas raízes SI..... s, como
p(s) '"' a,,(s - S.I·I(S - sJ)·J ... (s - $).'.
sendo SI as soluções distintas da Equação P2.53-2 e
(f, suas mldtiplit:id4dt:s - isto é. o número dt vezes
que cada raiz aparece como soluçio da equação.
Note que
""d'(A~') .~.... • dP('1 •
L.. t '"'Y\SfK +..... t ._ dr dr
Logo, a soluçâo mais geral da Equação P2.53-1 é
tr:A/t'l.
;-/ ;..o
sendo Afconsrames aIbitrárias mmplaas.
(c) Resolva as equações diferendais homogéneas a st-
guir com as condições auxiliares especificadas:
(i) "'''11 +3~+2y(t) =0. y(O) = O, y'(O) = 2
(ü) ~" +3~+2y(t) = O. y(O) = I, y'(O)=-1
(ili) ,S? +3~+2y{t)= O. y(O)=O, y'(O) =0
(Iv) "1." +2-'P+y(t) ~ O, y(0) ~ I, y'(O) ~ 1
(v) ~!tll + ot',S'I_!Ifl- y(t)= O. y(O) = I.
y'(O) = I, y"(O) =-2
(vi) a".s" +2~+5y(t)=0, Y(O) = 1. y'(O) = 1
2.54 (a) Considere a equação de diferenças homogéneas
(P2.54-1)
nlA r
T/(n-r)l
~ wnasol~da Equação P254-1 para r::; O. I, ..~
01- J.7
(c) Resolva as equações diferenciais homogéneas a se-
guir com as condições auxiliares especificadas:
(i) y(nJ+h1n- l l+h'1n- 2j=O:
y{OJ~I,y(-IJ~-6
(li) yln] - 2Yln - I] +Yln - 2J ~ O; y[O] ~ I,
y[IJ = O
(ili) y{n] - 2)1n - IJ +}{n - ~ ~ O; YIOJ ~ I,
y(lO) = 21
(1..) Yl"1-~y{rr-1J+h'ln-2J=0;
)'(0)=0. y(-IJ= I
2.55 No texto. descrtvemos wn mr.todo para resolver equa-
ções de diferenças lineares com coc:fi.denles constan-
tes. e ouO"O mr.tod.o para resolvê-Ias foi Uustrado no
Problema 2.30. se a suposição de repouso inicial é feita
de modo que o sistema desairo pe.la equação de dlfe·
rt'IlÇiS ~a ur e causal. então. a prindpio. podonos
determinar a resposta ao impulso unitário h(nJ usando
qualquer um dos procedimentos. No Capírulo 5, des-
crevemos ouo"o método que nos permite determinar
h[n] de wn.a forma mais c:Iegante. Neste problema.. des·
MOStre que sr lo r. uma solução da equação
(P2,54-2) • AquL usamos i tlOQçio fawml- Isto ê. kl .. k(k - l)(k - Z)...(2)
II), sendo 01 definido como I.
Sistemas lineares invariantes no tempo 93
~ wtn] - jw[n-1]- xlnl 1"'1 Y[olrin]- w(nl + 2w(n-1] .:.:.+
x[n] %[n]
y[n]- htn-1]- zln] ~...:.,; z(n]- x[n] + 2x(n-l] ~
ettVetnos. a.ind.a. outro método. que mostra basicamen-
te que h[n] pode ser determinada resoIvendo-se a equa-
ção bomogênea com as condições iniciais apropriadas.
(a) Considere o sistema inidalmente em r(()Ouso e
desaito pela equação
Assumindo que x[n] = 6[n}. quem éy[O]? Qual equa·
ção hln] satisfaz para n ~ 1. e com qual condição au-
xiliar? Resolva esta equação para obter uma expressão
em fonna fechada para h(nj.
(b) Considere o sistema ur a~ inidalmente em
repouso e desaito pela equação de diferenças
I
l'lnJ-,l'ln-1J - x[nJ+ 2.<{n-ll· (P2.SH)
Esse sisto:na é representado na Figura P2.55(a) como
uma cascata de dois sisttmas ur que estão iDkialmmte
em repouso. Por mota das propriedades dos sistemas ut
podtmos reverter a ordem dos sistemas na cascata para
obter uma representação alternativa do mesmo sistema
global comonne ilustrado na Figwa P2.55(b). Tendo em
vista este fato. use o resultado do item. (a) para deter-
minar a resposta ao impulso para o sistema desailO na
Equação P2SS-2.
(e) Considere novamente o sistema do item (a), com
h[lI) representando sua resposta ao impulso. Mos-
tre. verificando que a Equação P2.S5-3 satisfaz a
Equação de diferença P2.55-1, que a respostaY[II}
a uma entrada arlJitrária .1[11] é. na nrdade. dada
~la soma de convolução
nea e as condições iniciais que a resposta ao impulso
do sistema deve satisfazer.
Considere agora o sistema ur causal descrito
pela equação de diferença
• •
La.l'ln-kJ- Lb.xIn-kl (P2.SS-S)
~ ~
Expresse a resposta ao impulso desse sistema em ter·
mos da respona ao impulso do sistema ur descrito
pela Equação P2.55·4.
(e) Há um método alternativo para determinar
a resposta ao impulso do sistema LIT descrito
pela Equação P2.S5-S. Especificamente, dada a
condição de repouso inicial, isto r, Desse caso,
y[-H] = y[-N + 1J = ... ~ y[-II ~ o. '''''.."
Equação P2.S5-5 rerursivamente quando .1[1:11 =
6[n) para determinar y[O), .... y(M}. Que equações
h[n) satisfaz para n ~ M! Quais são as condições
iniciais apropriadas para essa equação?
(I) Usando qualquer um dos métodos desaitos nosi~
(d) e (el, encontre as respostas ao impulso dos sis-
temas LIT causais descritos pelas seguintes equações:
(i) y[n] - y[n- 21 =x[n]
(ii) Y[I:I] -y(n-2] :::x[n] +h[n-l]
(lli) y(n]- y[n - 2J ::: 2x(n) - 3.1(1:1- 4)
(iv) l'lnJ -(,/i12) l'ln -I)+t l'ln - 21 ~ xIn)
1..56 Neste problema vamos considetar um procedimento
que Eo equivalente de tempo conlÍDuo da técnica de-
sm.vol.vida no Problema 2.55. Novamentt, vutmos que
o problema de se determinar a~ ao impulso h(~
para t >Opara um sistema LIT iniciab:oente em repouso
e descrito por uma equaçio diferencial linear com coefi-
cientes constantes se rtduz ao problema de St resolver a
equação homogênea com condições iniciais apropriadas.
(a) Considere osistema LIT inicialmente em repouso e
descrito pela equação diferencial
dy(t) +2y(/) = xiI). (P2.S6-I)
d/
Suponha que x(t) ::: 45(1). Para determinar o valor
de y(t) ÊmtdiJJtlJmrntt dtpOis da aplicação· do impulso
unitário. considere a integração da Equação P2.56·1
de t = O- a l ::: ()+ (isto é, de ·imediatamente antes"
até Mimediatamenle depois"' da aplicação do impulso) .
Com isso, chegamos a
(P2.SS-J)
(p2.S5-1)
..-
I
l'lnJ - -l'ln -IJ~ x[nJ.
2
-l'lnJ- L h[n-m)x[ml
(b)
(a)
Figura P2.55
(d) Considere o sistema LIT inicialmente em repouso e
descrito pela equação de diferenças
(P2.SS....)
Assumindo que Qo ~ O, quem é y[O) se x[n] ::: 45[11)?
Usando o resultado, tspeCifique a equação bomogê·
y(O+)- }'(o-)+2f: y('T)d'T =
r"Jcr 6('T)d'T=1. (P2.56-2)
Como o sistema está inidalmente em repouso e .1(1) ::: O
para l <O, y(O'") = O. Para satisfazer a Equação P2.5Ó-2,
devemos ter y(O+)::: I. Logo, comox(t)::: Opara t > 0,
a resposta ao impulso de nosso sistema é a solução da
equação diferencial homogénea
(P2.56-6)
94 Sinais e sistemas
com ronctição inicial
y(O+)::: L
Resolva essa equação diferencial para obter a resposta
ao impulso h(t) para o sistema. confira seu rt'SUltado
mostrandoque
)'(1) = r: h(t - T~T)dT
satisfaz a Equação P2.56·} para qualquer entrada .r(t).
(b) Para generalizar o argumemo antertor, considere
um sistema ur inidaImente em lepouso e descrito
pela equação ctiferendal
N d~nt)
L;a,-,-:::xft), (P2.56-3)_ dI
com x(t) ::: 6(1). Assuma a conctição de repouso
iniàal que, como x(1) ::: Opara r < O, implica
d dN- 1
y{0-) ~ 2(0-)_ ... - ---.-f10-)- o. (P2.s....)
dt dt -
Aplique a integral em ambos 05 membros da Equa-
ção P2.56·3 de r = O- a t = 0+ e use a Equação
P2.56-4 e um argwnento semelhante ao usado no
item (a) para mostrar que a equação resultante i
satisfeita com
(P2.56-Sa)
,
d
N
-
J
YW') = _I . (P2.56-sb)
dt li- l aN
Co~uentemente. a resposta ao impulso do
sistema para t > Opode ser obtida resolvendo-se
a equação homogênea
N d~nt)
L;a.-,-~O_ dI
com as condições inidais dadas pelas equações
P2.56-5.
(c) Considere agora o sistema DT causal descriw pela
equação diferendal
~ d'y{l) _ ~b d'X(I)
LJQk k LJ k ••k·_ dr w ar
Exprme a rtSpOSta ao impulso desse sistema
~ função da resposta ao impulso do sistema do
item lb). (Dial: Ex.unine a Figura P2.56.)
Agun P2.56
(d) Aplique os procedimenlos descritos nos itens (b) e
(cl para encontrar as respostas ao impulso para os
sistenlaS ur iniàalmente cm repouso e descritos
pelas seguintes equações diferenda.is:
(I) "''''1 +3~+2y(t)= x(t)
(ü) "';'1+2~+2y(t)=x(t)
(e) Use os resultados de (b) e (c) para deduzir que,
se M ~ N na Equação P2.56·6, então as respostas
ao impulso h(t) conterão termos de singularidade
concentrados em t = O. Em panicular. h(t) amterá
um termo da forma
H-H
EQ,",(tl.-
cm que a, são constantes, e ",(t) são as funções
de singularidade definidas na Seção 2.5.
(f) Enconcre as respostas ao impulso dos sistemas LIT
causais descritos pelas seguintes equações diferen-
dais:
(i) ~+2y(t)=3~+X(I)
(U) ....s·,+5~+6y(t)=
3~+2~+4~+3xlt).. .. .
1.57 Considere um sistema UI causal S cuja entrada xIn) e
saída nnJ são relacionadas pela equação de diferenças
y[n] = -01ln - I] +b,r[n] +blx[n - IJ.
(a) Verifique que Spode ser considerado uma conexão
em cascata de dois sistemas ur causais SI e 51 com
a seguinte relação entrada·saída:
SI: Ylln] = b....l[n) +b,xJ[n - 11.
5J :YJ[n] ::: - ayJ[n - II +X][n).
(b) Esquematize uma repr~tação em diagrama de
blocos de SI'
(c) Esquematize uma represeolação em diagrama de
blocos de Sr
(d) Esquematize uma representação em diagrama de
blocos de S como uma conexão em cascata da re-
presentação em diagrama de blocos de S, seguida
da rep~tação em diagrama de blocos de Sr
(e) Esquematize uma representação em diagrama de
blocos de S como uma mnerio em cascata da re·
presentação em diagrama de blocos de SJ seguida
da representação em diagrama de blocos de SI'
•.!
!
I
i
;1
I.
J!.
.
1
J
(f) Mostre que os dois elementos de atraso uni[ário
na rtpresentação em diagrama de blocos de Sob-
tidos no it~ (e) pod~ ser reduzidos a wn único
d~ento de atraso unitário. O diagrama de blocos
resultante é chamado realização na FI1r1rUl Dirtta II
de S, enquanto os diagramas de blocos obtidos nos
itms (d) e (e) são coohe<idos como reali:za~ na
FofmQ Dirtt4 I de S.
1.58 Considere um sistema LIT causal Scuja entrada x(n} e a
sarda y{n] sejam relacionadaspela equaçãode diferenças
2y[n]- y[n - II +y(n - l] = x(n]- 5x[n - 4].
(a) Verifique que Spode ser ronsiderado uma conexão
tlD cascata de dois rlstemas ur causais SI e Sl com
as seguintes relações entrada-saída:
SI: 2YI[nl = xl[n] - 5x1[n - 4],
I I
Sl : YJ[nl ='2yJ[n-I]-'2yl[n -31+ xl[nl.
(b) Esboce uma representação em ctiagrama de blocos
de SI'
(e) Esboct uma representação em diagrama de blocos
de SI'
(d) Esboce uma representação em diagrama de blocos
de S como uma conexão~ cascata da repInellta-
ção em diagrama de blocos de 5. seguida da reprt-
sentação em diagrama de blocos de 51'
(e) Esboce uma representação emdiagrama de blocos
de Scomo uma conexão em cascata da representa-
ção em diagrama de blocos de S2 seguida da repre-
sentação em diagrama de blocos de SI'
(f) Mostre que os quatro elementos de atraso na re-
presentação em diagrama de blocos de 5 obtidos no
item (e) podem ser reduzidos a três. O diagrama
de blocos resultanle é chamado de reaIização na
Forma DirtIa II de S, enquanto os diagramas de blo-
cos obtidos nos itens (di e (e) são conhecidos como
realizações na Forma DirttLll de S.
1.59 Considere um sistema ur causal 5 cuja entrada x(t) e a
saída y(r) sejam relacionadas pela equação diferencial
dy(t) Itc!t)
a, --+aoy(t)= boxtl)+bl--.
dr dI
(a) Mostrt que
y(t)= AJ~y(r)dr+&(t)+CJ~x(r)dr.
e expresse as constantes A. B e C em função das
constant~ a" a•• boe b•.
(b) Mosut que 5 pode ser considerado uma conexão
em cascata dos dois sistmw LIT causais a seguir:
SI : y,(I) = &.(I)+CJ'- x("T)dr.
Sistemas lineares invariantes nD tempo 95
(c) Esboce uma repr~tação em diagrama de blocos
de S•.
(d) Esboce uma represmtação em diagrama de blocos
d~5r
(e) Esboce uma represtntaçio em diagrama de blocos
de 5 como uma ronCIão em cascata da repre5(Dta-
ção em diagrama de blocos de S. squida da reprt-
smtação em diagrama. de blocos de 51'
(f) Esboce uma represmtação em diagrama de blocos
de Scomo uma con~xão em cascata da reprt'SeDta-
ção em. diagrama de bloms de 5
l
seguida da reprt-
smtação em diagrama de blocos de SI'
(g) Mostre que os dois integradores na resposta dada
no item (I) podem str raiuzidos-a um. Odiagrama
de blocos r~ultante r chamado realização na Fqr-
ma DirttIJ II de 5, enquanto os diagramas de blocos
obtidos nos itens (~) t (f) são conbeddos como rea-
lizações na Fomuz Dirtta I de 5.
1:.60 Considere um sistema UT causal Scuja enuada XCI) ~ a
saída y(1) sejam. rd.adonadas pda equação diferendal
d J y(1) dY(I) dx(t) d~X(I)
a,-,-+a, --+aoW) = box(t)+h. --+b, -,-o
dI dt dI dI
(a) Mostre qUt
y{t) - AL*)dT+ BL(J':'Y{a)dU)dT
+0:(1)+ DJ'- x(r)dr +EJ~..,(J:'x(a)da)dT.
e expresse as constantes A, B, C, D e E em termDS
das constantes aO' ai' azo b(f bl t b1,
(b) Mostr~ que S podt ser considerado uma conexão
em cascata dos dois sistemas ur causais a seguir.
SI :YI(t) =OrI(I)+ DJ'- x](r)dT +EJ'-(J: xl{a)da)dT'
SJ :Y1(1) = AJ~,./J(T)dr +BJ'-(J:YJ(a)da)dT+ x1(t).
(c) Esboce uma representação tm diagrama dt blocos
de Sr
(d) Esboce uma representação em diagrama de blocos
d~ Sr
(e) Esboce uma representação em diagrama de blocos
de 5 como uma ronwo em cascala da rep~ta·
ção em diagrama de blocos de SI seguida da Iq)re-
sentação em diagrama de blocos de SZ'
(I) Esboce uma representação em diagrama de blocos
dt S como uma conexão em cascata da repre:stD.-
96 Sinais e sistemas
ração ~m diagrama d~ blocos d~ Sl squida da r~­
prtstntação ~m diagrama d~ blocos d~ SI.
(g) Mostre qu~ os quatro integradora na rtSpOSta dada
no item (r) podl"JI1 Stt ttduzidos a dois. O diagrama
d~ blocos mullant~ é chamado r~a.lização na Por- (c)
mJl. DirtttJ 11 d~ S, enquanto os diagramas de blocos
obtidos nos itens (c) c (n são conhecidos como rea-
lizaçôcs na FormJl Dima [de s.
(c) No circuitO mostrado na Figun P2.61 (rI, x(1) ~
a tmsão d~ enttada. A tensão y(r) no c:apadtor t
considerada. como a saída do sistema.
A-2n l-lH
1
'1=
C -lF
Problemas de extensão
2..61 (a) No circuito mostrado na Figura P2.61(a). x(1) ~
a tensão ~ entIada. A lmSão y(t) no capadtor
é considerada como a saída do sistema.
(i) Dt:tennin~ a equação difaend.al rdacionan·
doz(~'y(~.
(ü) Mosttt que a solução homogmea da equa·
ção difaendal do itl"JI1 (i) tml a forma
KI~ + K1,j-'I· ~que os valores d~
WI~Wl·
(üi) M..", qu,. ",mo, teosão , , ,orr,m, .ão
r~ais. então a resposta natural do sistema é
senoidaL
(a)
L= lH
~CP
'--------'-----..
Figura P2.61a
(b) No arcuito mostrado na Figura P2.61(bl, x(t) é a
t~nsão d~ ~ntrada. A tensão y(t) qu~ passa pelo
capacitor ~ consid~rada como a saída do sistema.
>ti} +
Figura Pl.61c
(i) Detc:nnin~a equaçào dif~r~ndal relacionan·
do x(r) ~ y(r).
(ü) Mostr~ que a solu91o homogênea da equa·
ção dif~renda1 do item (i) tem a forma
r'{KlrP' +A;cP'} e espcdfique o valor de Q.
(üi) M..", qu,. ,orno,te"';O , , ",mote .ão
reais, a resposta natural do sistema é uma se·
noide decrescente.
2.62 (a) No sistema meclni.co mostrado na Figura P2.62(al,
a força xlt) aplicada à massa representa a entrada.
enquanto o deslocamentO y(t) da massa representa
a saída. Dttt:rmine a equação dUacncial rtlaàcJ.
nando ztt) t: y(t). Mostre que a resposta natural
d~ sist~ma é. pt:riódica.
(b) Considere a Figura P2.62(bl, em qut: a força x(1) t
a enlI3da ea velocidade y(t) t a saída. A massa do
cano é. m. enquanto o coeficit:llte de atrito dné.tico
é p. Mostrt: qu~ a resposta natural desse: sistema
dt:SQ"evt: com o tempo.
(c) No sistt:ma mecânico moslI3do na Figura P2.62(r).
a força x(t) aplicada à massa representa a entrada..
t:nquanto o deslocam~ntoY(I) da massa rtprt:St:nta
a saída.
(b)
A-tO
=1=
C -lF
Figura P2.61b
(i) D~lennin~ a ~quac;ão difcrend.al reladonan·
doz(l) 'y(~.
(ü) Mostr' qu, , """"" oatural desse "",toa
tem a forma K~ c especifique o valor d~ Q.
(a)
Sistemas lineares invariantes no tempo 97
(b) com condição inicial
m", 1.()OO kg
p=O,l N-!lm
y[OJ = SI00.000.
em que 1 ~ uma constanu. Deurmine 7.
(b) RtsOlva a equação de difcnnças do it~ (a) para
determinar
Figura P2.6Z
(el
(1'2.64-1)
~
h(l)= L:h.Ó(I-kT).
M
rlnJ para n ~ O.
(Dica: A solução particular da Equação P2.6J-} ~
uma constante Y. Encontre o valor de Ye expres-
se y(n] para n ~ Ocomo a soma das soluções ho-
mogénea e da particular. Determine a constante
dcsconbedda na solução homogénea calculando
direwnente y[l] da Equação P2.63-1 e compa-
rando-a com a sua solução.)
(c) se a hipoteca for retirada ~ 30 anos depois de
360 pagamentos mmsais de D dólares. detmnine
o valor apropriado de D_
(d) Qual ~ o pagamento tolal. pata o banco dcpois de
um pt:riodo de 30 anos?
(e) Por que os bancos famn empréstimos?
2.64 um uso importantelios sistemas inversos má nas sirua-
ções on que quertm05 remover distorçõo; de algum
tipo. Om bom u-emplo disso é o problema de removtr
ecos em sinais acústicos. Por exemplo, se um audit6-
rio tem um eco perceptíveL t:ntão um impulso acústico
inicial será seguido por ver5ÔCS atenuadas do som cm
intervalos regularmente espaçados. Consequentemen·
te. um. modelo usado com frequênda para esse fenô-
meno é um !iistt:ma UT com resposta ao impulso con-
sistindo de um trem de impulsos. isto é,
y(~ • g(~ ~ xjlJ.
Aqui. os ews OCOIft:rn em intervalos de T segun-
dos, e h~ representa o fator de ganho do k-~simo
eco resultante de um impulso acústico inidaL
(a) Suponha que 1(1) represente o sinal acústico ori·
ginal (a música produzida por uma orquestra, por
exemplo) e que y(t) = x(t) lo h(t) i o sinal real ouvi-
do se nenhum tipo de processo é feito para remo-
ver os ecos. Para remover a distorção introduzida
pelos ecos, suponha que wn microfone seja usado
para perceber y(t) f que o sinal resultantf Sfja con-
vertido tm um sinal elioico. Tambim usafonos
y(r) para rcprC5Cnw esse sinal pois ele diz respeito
ao equivalente flttrico do sinal acústico, e pode-
mos ir de um ao outro via sistt:mas de conversão
deuoacústicos.
É importante notar que o sistema com~ta ao
impulso dado pt:1a Equa~o P2.M-I ~ invertível
Portanto. podfrnOS encontrar um sistema LIT com
resposta ao impulso g(t) de modo que
(P1.63-1)y[n]-1Y[n-Il=-D n~l,
(i) Determine a equação diferencial relacionan-
do x(t) ey(t).
(ü) Mostrt que a solução homogênea da equa-
ção diferenriaI do item (i) tem a forma
C"'[Kl + !Scl) e especifique o valor de a.
(ili) Mostre que, como a força e o deslocamento
são obrigatoriamente reais, então a resposta
natural do sistema é uma senoide decrescente.
2.63 Uma hipoteca de S 100.000 deve ser retirada por paga·
mentos mensais iguais de Ddólares. Os juros. compos·
tos mensalmente, são robrados a uma taxa de 12% ao
ano sobre o saldo devedor; por exemplo. depois do pri-
meiro mês. o total do débito é igual a
$ 100.000+(O~~2}S l00.COO = $ 101.000.
O problema é determinar D de modo que. depois de
um tempo espeáfico, a hipoteca seja paga integral-
mente. deixando um balanço final nulo.
(a) Para ~Iver o problema. seja J(n] o saldo dendor
depois do n·tsi.mo pagammlo mensaL Suponha
que o montante é emprestado no mês Oe OS paga-
mentos mensais começam no m~ l. Mostre que
Yln] satisfaz a equação de diferenças
K - Constante da mola '" 2Nfm
K m-Massa_1 kg
b - Constant8 de amortecimento "" 2 N-s/m
j
98 Sinais e sistemas
e então. ao prottSSarDlOS o sinal el~nico y(t) dei!.(
modo e depois conveI1~·lo de volta para um sinaJ
.cústico. co~os remover os ecos d(SClgra·
dáveis.
A r(SJKJSla ao impulso ntt'CSSária slt) também ~
um mm de impulsos:
Iktmnine as (QuaÇÕ(S algébricas que a S(Qu&ldi!
S. d(V( satisfaz(r e resolva e;sas equaÇÕ(S para S~
SI e Sl Wl termos de 11••
(b) Suponha que~ = 1, h l = Y.t e hl = Opcua lOdo i ~ 2.
Qual ~ a s(r) Deite caso?
(c) Um bom modelo para a geração de «os ~ ilustrado
na Figura P2.64. Assim. cada eco sucessivo repre-
senta uma versão realimentada de y(r). atrasada
por r ~dos e pond(t3.da por Q. TIpicamente.
O< Q < 1já que «OS su~vossão atenuados.
(1) Qual ~ a rt$pOSLl ao impulso dc:sse sisto:na?
(Assuma o repouso inidal isto i, y(t) = O
pcua r< Ose x(t) = Opara t <O.)
(U) Mostre que o sistema ~ (Slável se O< Q < I
e instável se Q > I.
+
• """"T
Figura P2.64
(lli) Qual é S(t) neite caso? Construa uma reali-
zação do sistema inverso usando somadores.
multiplicadores por escalas e e!em(1)1OS de
alraso de T segundos.
(d) Embora tenhamos pautado a discussão anterior
Wl termos de sistemas de tempo contfnuo por
causa da aplicação que temos considerado. as mes·
mas ideias gerais são válidas em tempo discreto.
Ou seja. o sistema ur com~.o impulso
é mvertÍVd e tem oomo seu inV(t'SO um siskma
LIT com resposta ao impulso
Não ~ difíàl verificar que a sequência S. satisfaz as
mesmas equações algébricas que no item (a).
Considere agora o sistema Ln' de tempo discreto
com resposta ao impulso
~ sistml.a não é inven:ívd. EnCOnIrt duas mtra-
das que produzam a mesma saída.
2.65 No Problema l.45. introduzimos e examinamos algu-
mas das propritdades básicas das funções de correJa-
ção para sinais de tempo conlÍnuo. A corresponden1e
de tempo discreto da função de correlação tWl essen-
dalmente as mesmas propriedades que as funções de
tempo contínuo. e as duas são extremamente impor-
tantes em muitas aplicações (confonne discutido nos
problemas 2.66 e 2.67). Neste problema. apresentamos
a função de correlação de tempo discreto e exam.iDa-
mos várias de suas propriedades.
sejam X[IIJ e y[n] dois sinais de ttmpa discreto
com valores reais. As ftl1lfW dt autoarrnÚIÇiio ;..JnJ e
4'"ln] de x[n1 e y(n), respectivamente. são definidas
pelas expressões
-q>.[n]~ l: x[m+n]x(m]-
-q>.[n]~ l: y{m+n]y(m>-
e as fw1f{Õt$ dt com. atlla4JJ são dadas por
-q>.[n]~ l: x[m+n]y[m]-
e
-q>.[n]~ l: y[m+n]x[ml.-
Assim como em tempo contínuo. essas funções
tem determinadas propriedades de 5imetria. Espe-
áficamrntr. f ..[nJ e 9.,[nJ sâo funções pan:s. en-
quanto ;..,[nJ = 4t,..r- n).
(a) Calcule as sequenrias de autocorrdação para os
sinais x\[n], A)[n}. ~[nl c x.[n] representados na
rlgUtil P2.65.
(b) Calcule as sequências dr correlação cruzada
4'q;(n). j -,e j, ij = l. 2, 3. 4.
paraxj(nJ, i = 1,2.3,4. como mostrados na Figura
P2.65.
(c) Suponhamos que x[1I} seja a entrada de um siste-
ma LIT com resposta à amOStra unilária h[n) e que
a saída correspondente sejay(n}. Encontre expres-
\
\
..ii
sões para ~",.rn] e, (n] em.ltrmos de f ..(n] e Ir(n].
Mostre como ~4'("rt: ~.("] podem ser vistos como
a saída dt: sistt:mas ur lendo como t:ntrada ; ..(n].
(Faça isso opttificando aplicilamenlt a rtSpOSta
ao impulso dt: cada um dos dois sislcnas.)
(d) Suponhamos qut: h[n] = Xl ("I na Figura P2.65. t:
suponhamos qut: y[n] seja a saída do sistema llT
com resposta aO impulso h[n} quando a entrada
x["ltarobtm é igual a Xl ln}. Calc.ult: "q(n] t: !fi.[nl
usando os multados do item (e).
_~._._._.~111t . ~ ~
o 1 2 3
Sistemas lineares invariantes no tempo 99
(e) Qual t o valor de
Y,(I) = X,(I) * "'j(t). j:<: j
no ÍIlStaDlet = 4 para ~ j = 1. 2, 3?
Osislmla com resposta ao impulso hj(tl (CIHlOOido
comojiltroawdD para osinalx;(t) porque a mposta
ao impulso é ajustada a .1j(/) para produzir o máxi·
mo sinal de: saída. No próximo problema, relacio-
namos o conceito dt: filtro casado ao mnctito de
função de comlação para sinais de tempo conlÍDuo.
'Ifio \ ~[nl_._.~.~.~.~ . ...-, ,
-1 -1
-1
"""
1~ 3LJ t
j
.. :UI'. .. ~~I
-1 O 1 n
~Inl
~.~.~._.~._._'l~._._.~.r...
o 5 "
fillUIlI P2.6S
2.66 St:jam h
l
(t), 1I
1
(t) t: h)(t), como rt:prt:sentados na Figura
P2.66, respostas ao impulso de três sistemas m. Esses
três sinais são conhecidos como [un{õts dr Wa/sh e são
de imponância prática considt:rável porque podem ser
facilmente gerados por ciroJilo lógico digital e porque
a multiplicação por cada um deles pode ser implemen·
tada de foana simples por uma chavt ck invenão de
polaridade.
(a) Determine e esboct uma escolh.apara~{t), umsioal
de tempo contínuo mm as seguintes propriedades:
(I) XI (I) t real.
(U) x.(1) = Opara I < O.
(iii) Ix.(1)1 $ I para 1~ O.
(iv) J
1
(1) =xl(l) • 111(1) t o maior possívd em t =4.
(b) Repita o item (a) para ~(t) e x)(t) fazendo ,
J
(I) =
xl(t) * Irl(t) e yl(t) =x)(t) * Ir)(t) o maior possível
eml=4.
1 2 3 " t
-,
h,(ll
,>- n
2 3 , I
-,
Figura P2.66
2.67 A fu1l{do dt aJrrtlação cru.zatlJ1 entre dois sinais reais de
tempo contínuo X(I) e y(l) (
~ (1)=j+- x(t+r)y(T)dr. (P2.67-1). -
AJímfQq dt autoalrrt/ação de um sinal X(I) ( obtida fa·
zendo y(1) =x(I) na Equação P2.67·1
rp (1)=j- x(t + r)x(r)dr.. -
(a) cakule a função de autocorrdação para cada um
dos dois sinais x,(t) e ~(/) representados na Figura
P2.67(a).
{b} Stja x(t) um dado sina.I e considere que.r(t) tem
duraçio finita - isto (, qut: x(!) = Opara I < Oe
t> T. Encontre a resposta ao impulso de um siste·
ma ur de modo que rP.(t -7) seja a saída quando
x{t) for a entrada.
100 Sinais e sistemas
(a) x,('t)
o 2
, ~
~, 2 13' 5 l:.J7 t-,
(b) "oltl
2 3 I'-,
2
-,
Figura PZ.61
(c) O sist~ma obtido no item (b) ~ um filtro auado para
o sinal x(r). O falo de qu~ essa definição d~ filtro
casado ~ Idêntica à dada no Problema 2.66 pode
ser visto ~Io seguinte:
Sejax(t) como no itml (b). c c:oosidcrequey(1) como
a resposta a x(t) de um sistema ur mm ttSpOSta ao
impulso r~ h(l). Considere que h(t) = Opara t < O
~ para r > T. Mostre que a escolha para h(t) qu~
maximi7.l y(T). submetida à restrição
J:~ h1(t)dr = M, um nÚIDeropositivo fixo, (P2.67-2)
é um escalar múltiplo da r~sposta ao impulso de-
terminada no it~m (b). [DiCd: A desigualdade de
Schwaru estabelece que
para quaisque'r dois sinais .,(1) e' v(t). Use-a panI
obter um limite' paray(T).J
(d) A restrição dada pda Equação P2.67-2 simplC'S-
mente fornece uma ponderação para a resposta ao
impulso, já que M apenas muda o multiplicador
escalar mendonado no item (c). 'Portanto, per-
cebf:mos que a escolha panio.darllara h(t) nos
ii~ns (h) e (e) é casada ao slnalx(t) para produ-
zir máxima saída. Essa propriedade é de extrema
imponânda em diversas aplicações. conforme
mostraremos agora.
Em problemas de comunicação, frequtnte-
mclle destja-se transmitir wna de um pequeno
número de possfvcis inlOmlaÇÕeS. Por exemplo. se
uma mensagem complexa r rodiJicada em uma se-
quênda de dígitos binários,. podemos imaginar um
mrOlla que transmite a Informação bit por bit. En-
tão. cada hit pode ser transmitido mviando um si-
nal. digamos. ~(t), se o bit é um O. ou um sinal diIe-
rente. xl(t). se 1é o que devt ser comUDicado. Nesse
caso, o sisttma r~ceptor desses sinais deve ser capaz
de reconhecer se xo(!) ou xl{t) foi recebido. O que
fazsenlido. Intuitivamente. ~ ter dois sistemas no rt·
etptor. um sintonizado a xo(t) e OUtrO &Xl(t). StOcIo
que par 'sintonizado' designamos que omttma gera
wna saída grande depois qU~ o sinal ao qual de está
sintonizado é teCC'bido. A propriedade de produzir
uma saída grande quando um si.oaI panirolar r te-
ctbido é aatamente a propriedade do filtro casado.
Na prática. scnpre há distorção e interferênda no
processo de traDsInissão e recepção. Consequen-
temente. queremos maximizar a difermyl en~ a
resposta de' um filoo casado à enrrada para a qual
ele está casado e a resposta do filtro a um drn; ou-
tros sinais que pcxlem ser transmitidos. Para ilus-
trar esse ponto. considere 05 dois sinais xo(t) e xI(tl
representados na Figura P2.67(b). Seja Lo o filtro
casado para xo(1) e LI o filtro casado para Xl (t).
(i) Esboce as~ de Lo para ~(t) e x,(t).
FaÇl o mesmo para LI'
(ü) Compare os valores dessas respostas em t = 4.
Como Voct poderia. modificar x.(t) para que
o rectpter tenha um trabalho ainda mais fá-
cil de distinguir entre ~(t) e x1(t). fazendo as
respostas de Lo para x,(r) e L, para x.(t) StteDl
ambas zero em t = 4?
2.68 Outra aplicação Da qual os filtros casados e as funções
de corrrlação têm papel fundamental são os sistemas de
radar. O prinópio básico do radar é que um pulso
detromagnético transmitido para um alvo será refle-
tido pelo alvo e. depois. retomará ao emissor com um
atraso propordonal à distânda do alvo. Teoricamen-
te. o sinal recebido será simplesmente uma versão
deslocada e possivelmente atenuada do sinal original
transmitido.
1
:,
"j
•
!
i,
I
I
\
I
I
j
Stja que pI!) Opulso original emitido. Mosttt que
~,,(O) = ~~,,(l).
Ou seja. 4>",(0) é o maior valor assumido por4>..(l). Use
essa equação para dedu:2ir que. se a onda que volta
para o emissor é
x(t) = op(t - rol.
sendo Q uma constante positiva. então
Sistemas lineares invariantes no tempo 10'1
2.70 Fazendo uma analogia com as funções de singularidade
de tempo contínuo. podemos definirum conjunto de si-
nais de tempo discreto. Especificamente. conside~ que
/l_.ln] = /l(n].
"oln} = 61nl.
e
1I[[n] = 6[n} - 61n - lJ.
e defina
e
Note que
(Diar: Use a desigualdade de Schwanz..)
Ponamo. o modo de fundonamento dos sistemas sim-
ples de localização por radar t baseado no uso de um
filtro casado para a onda rransmitida p(t1 e no registro
do tempo CD que a saída desse sistema alamça seu va-
lormáximo.
2.69 Na Seçâo 2.5. caracterizamos o doubfet unitário por
meio da equação
para qualquer sinal x(t). A partir dessa equação. obti-
remos a ~lação e
u!(n) = .&'tI"]. u.[n] • ... UolI[n~. k > O.-
Il~(n] = ~_Ilnl */l_l[n] •.. .• u_I[n1, k <O.
w~
x(n].6[n] = x(n].
~
x[n]*u[nJ= E x[m1-
Mu.l~ = JlOlu,(~ - flO)6CO,
mostrando que as duas funções têm as mesmas de·
fi.rtiçôes operacionais.
(e) Qual ~ o valor de
J:x(r)u1('T)dr?
(a) Demonstre que a Equação P269-2 é uma~
equivak:ntt de /lI(I) mostrando que a Equação P2.69-2
implica a Equação P2.69-1. fDk.a: Fixe t e defina o
sinalg(-r) =x(t-r).J
Dessa fonDa, vemos que caracterizar o impulso uni-
tário ou doubfet unitário pelo modo como se compor-
ta em convolução t o mesmo que caracterizar como
ele se comporta em Integração quando multiplicado
por um!iinal arbitrário 9(1). Na verdade. como indi-
cado na seção 2.5. a equivalênda dessas defini~
opuacionais éválida para todos os sinais e, cm parti-
cuIM; P'" todas as funçii<s de singularidade.
(b) Seja.f(l) um dado sinal. Demonstre que
f: g(T)u,(TldT = -g'IO; (P2.6~2) x[n] , /lI ln} = x[n)- x(n - I].
(a) Calcule
(b) Mostre que
x[n]/l[[nj =x[O]/l[[n)- [xli] -x[OlJ6[n - 11
=x[1]u,(nl-(x[1]-x(OJl6(nl·
(c) Esboct os sinais /ll{n) e u)ln).
(d) Esboct /l.)n) e u_lln).
(e) Mostr~ qu~. ~m geral, pat1 k > O.
(-I)"kl
u.[n]~ [u[nJ-u[n-k-IJI. (P2.70-1)
n!(k n)!
(Dica: Use indução. Partindo de (e), fia rndente que
/ll[n) satisfaz a Equação n.7O-1 para k = 2 e 3. De-
pois, assumindo que a Equaçào n.70-1 t satisfcita
por /lt{n}, escreva /l.. l[n) em termos de ut[n) e mos-
tte que a equação tan'IOOn é satisfeita por w~. I[n}.)
(f) Mostre que. de modo geraL para k > O.
Encontre uma -:xp~o para Jtt)uJ{t} análoga à
-:xpressão do item (b) para .f(t)ul(t).
In+k-III
u_,[n) = n!(k -1)1 u{n}. (n.70-2)
102 Sinais e sistemas
(Dic.:l: Novaml:ntl:. ust a indução. Notl: qUI:
"_IHII(nj- "_lhll[n-lj ="_t[n]. (P2.~)
Então. assumindo que a Equação P2.70-2 ~ váli-
da para "-.l[n). WI:a Equação P2.70-3 para mos-
trar que a Equação P2.70-2 também. é válida para
"-{t+I)[n].)
Z.71 Nl:St1: capíndo. usamos diversas propritdadl:S I: idrias
qUI: facilitam bastante a análise dos sistmw m. Denttt
elas. há duas qUI: queremos aamina:r um pouco mais a
fundo. Como veremos. em alguns casos mwto l:SlX=dais.
dl:ve·~ tl:r andado ao usar essas propril:dades. que para
os outros casos podem SB aplicadas sem problemas.
(a) Uma das propriedades básicas I: mais imponantes
da convolução (tanto dI: tempo oontínuo quanto
dI: tempo discmo) é a associativa. Ou seja. ~ x(1).
h(l) I: 9(1) são três sinais. I:ntão
X(I) * 19(1) *h(lll = (X(I) *9(tl! *h(t) (p.z.71-1)
~ [X(I) • h(11J • 9(1).
Essa relação ~ válida desde que as três expInSÕeS
.sejam~ definidas e linitas. Como costuma SB O
caso na prátia. usaremos de modo ~ral a proprie-
dade associativa sem romentírios ou suposições.
No entanto. há alguns casos em que ela ruiD~ apli-
ca. Por aemplo. considere o sistema rl:presentado
na Figura P2.71, com 1I:(l) ="l(t) eg(t) ="(I). Cal·
cule a resposta desse sistl:ma à entrada
X(I) = 1 para todo I.
Figl,. P2.11
Faça isso dos tr€s modos sugeridos pda Equação
P2.7l-l e pela figura:
(1) Primeiro. convolua as duasr~ ao im-
pulso e depois convolua o resultado COm x(l).
(U) Prim,iro. ronvolua X(~ rom .,10 , d""
convolua o resultado com "(I).
(lll) Primriro. convolua x(t) com 11(1) e depois
convelua o resultado com "\(t).
(b) Repita os passos de (a) para
X(/) = r
h(l) ~ '-'.I~,
9(1) ~ .,(~ +6(1).
(c) Faça o mesmo para
h[nJ~lH u[n],
1
sln) = 6[nJ-,6[n -I].
Assim. em geral a propriedade assodativa da con·
volução ~ válida se e somente se as três expressões
na Equação P2.71-1 Gurem sentido (isto é, se I:
somente se suas interpretaçõc=s referentes aos sis-
temas LIT são significativas). Por e:xemplo, no item
(a). diferenciar uma constante e: depois definir sua
intl:gral faz sentido. mas o processo de definir a
integral da constante a partir ck: t = -_ I: dqcis
difuenciar não faz sentido, e é someme nesse caso
que a propriedade: assodativa perde a validade.
A qul:Stào que envolve os sistemas Inversos eaá
diretamcote relacionada à discussão anterior. Con-
sidere o sistema IlT com resposta ao impulso h(t)
="(t)o Como vimos em (a). há entradas - es·
perificamente. x(1) = constante difuente de Zl:ro
- para as quais a saída desse sistm..a t. infinita 1:,
portanto. não faz sentido consid~ a questão da
inversão de tais saídas para se recuperar a entrada.
No entanto. se nos limitamos às coU"adas que gl:-
ram saídas finitas. isto ~. entradas que satisfazem
(P2.71-2)
então o sisttma i inv~vd. e o sistema ur com
ttSpOSta ao impulso "'11r) é seu invCISO.
(d) Mame qUI: o sistema ur com resposta ao impulso
"1(ll MO é invertível. (Dior. Encontrl: duas entra-
das diferentes que produum uma saída zero para
todo tempo.) Contudo, mostre que o sistema é iD·
vertívd se nos limitarmos às entradas que sarisCa·
tem a Equação P2.71·2. [Dica: No Problema 1.44
mostramos que um sistema UT é invenívd se DI:·
nhuma entrada exccto x(1) = Ogera uma saída que:
é zero para todo tempo. Há duas entradas x(1) que
satisfazem. a Equação P2.71·21: que gl:ram respos-
tas iguais a zero quando convoluídas com "I(/)?]
O que ilustramos neste problema é o seguinte:
,
.,
'j
J
I
,
J.,
I
\
I
I
ii
,
j
(1) S~ x(t), h(/) tg(/) são três sinais, e se x(t) *O(t),
x(t) * h(t) e h(t) *9(1) são rodos definidos e fi-
nitos, então a propriedade associativa, Equa-
ção P2.71-1, é válida.
(2) Seja h(t) a resposta ao impulso de- wn sIs·
tema LIT. e suponhamos que a resposta ao
impulso 9(t) de um segundo s~ma tenha a
propriedade
h(l) , 9(11 = 6(11. (p2.71-3)
Logo. de (1). paTa todas as entradas x(t) para
as quaisx(t) *h(t) ex(/) *9(t) são definidas ede
duração finita, as duas cascatas de sistemas re-
presentadas na Figura P2.71 agem como o siso
tema identidade e, portanto, os dois sistemas
IIT podem ser considerados inversos um do
auuo. Por exemplo. seh(t) = u(!) C9(t) = ul(t).
então. desde que nos limitemos às entradas
que satisfazem a Equação P2.71·2, podemos
considerar esses dois sistemas como inversos.
Sistemas lineares invariantes no tempo 103
Portanto, vemos que a propriedade associativa da
Equação P2.71-1 e a definição dos inversos llT confor-
me foi dada na Equação P2.71·3 são válidas. desde que
todas as convoluções envolvidas sejam finitas. Como
este é certamente o caso em qualquer problema práti-
co, usaremos em geral essas propriedades sem romeno
tários ou ressalvas, Vale notar que, embora tenhamos
pautado a maior pane de nossa discussão em termos
de sinais e sistemas de tempo contínuo, as mesmas
ressalvas podem ser feitas em tempo discreto [como é
evidente a partir de (c)).
2.72 Suponhamos que ê..,,(t) represente o pulso retangular
de altura '* para O< t ~ 6.. Verifique que
d I
-6.(t)~ -[6(1)-6(1 -6)].
dI 6
2.73 Mostre por indução que
r'
U ,dt) = --u(t) para k = 1,2,3...
- (k-l)!