Oppenheim - 2010 - 2ed - Cap 02( material importante)

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12 Sistemas lineares invariantesno tempo
I
I
2.0 Introdução
N';l S~ção 1.6 apr~ntamos e discutimos diversas
propriedades básicas dos sistonas. Duas delas, a invariãn·
da no tfJD.PO e a linearidade, tem um papt-I fundamental
na análise dos sinais e sistemas por duas razões princi-
pais. A primeira diz respeito ao fato de muitos processos
físicos terem essas propriedades e, por isso. poderem ser
modelados como sistemas lineares invariantes no tnDpo
(LIT). Alt:m disso. os sistemas LlT podem ser analisados
de forma detalhada. facilitando a compreensão de suas
propriedades e também fome~ndoum conjunto de fer-
ramentas poderosas que fonnam a base da análise de
sinais e sistemas.
Um dos objetivos prindpais deste livro é d~nvol­
ver uma compreensão dessas propriedades e ferramentas
e apresentar várias das imponaotes aplicações nas quais
essas ferramentas são usadas. Neste capítulo. começamos
o desenvolvimento mostrando e examinando uma re-
presentação fundamental e extremamente útil para os
sistemas UT e aprest'otando uma classe importante des-
ses sistemas.
Uma das prinàpais razões de os sistemas ur ~rtm
passíveis de análise t o fato de quaJquer sistema desse tipo
ter a propriedade de superposição descrita oa Seção 1.6.6.
Como consequêoàa. se pudermos representar a enuada
de um sistema UI em. termos de uma combinação linear de
um conjunto de sinais básicos. eOlão podemos usar a su-
perposição para compular a saída do sistema em termos
de suas respostas a esses sinais básicos.
Como veremos nas próximas seções. uma das carac-
telÍSticas importantes do impulso unitário. tanto de tem-
po discreto como de tempo conÚDuo. t o fato de sinais
bastante gerais poderem. ser representados como combi-
naçôc:s lineares de impulsos deslocados. Esse fato. junta-
mente com as propriedades de superposição e invariância
no tempo. permite que desenvolvamos uma caracteriza-
ção completa de qualquer sistema I.IT em termos de sua
resposta a um impulso unitário_ Thl representação. cha-
mada soma de: convolução no casa de tempo discreto e:
integral de convolução em tempo contínuo, fomece uma
grande fadlidade anaUtica para lidar com os sistemas LIT.
Dando continuidade: ao nosso desenvolvimento da soma
de convolução e da integral de convolução. usamos essas
caracrerizações para examinar algumas das outras pro-
prieaades dos sistemas LIT. Então, consideramos a classe:
dos sistemas de tempo contínuo descritos por equaçôes
diferenciais lineares com coeficientes constantes e sua
correspondente de tempo discreto. a classe de sistemas
desaita por equações de diferenças lineares com coeli·
dentes constantes. Nos capítulos subseque:ntes. teremas
várias oponunidades de: e:xaminar essas duas classes mui-
to importantes de siste:mas. Por fim. estudaremos mais
uma vez a função impulso unitário de tempo contínuo e:
vários OUUOS sinais reladanados a ela para que possamos
compreender melhor esses sinais idealizados e. especifi-
camente. seu uso e interpretação 00 contexto da análise
dos sistemas LIT.
2.1 Sistemas L1T de tempo discreto: a
soma de convolução
2.1.1 Arepresentação de sinais de tempo discreto
em termos de impulsos
A priodpal ideia para a compreensão de como o
impulso unitário de tempo discreto pode ser usado para
formar quaJquer sinal de tempo discreto i: prosar em
um sinal de tempo discreto como uma sequência de im-
pulsos individuais. Para percd>ermos como esse quadro
intuitivo pode ~r tranSformado em uma representação
48 Sinais e sistemas
Portanto, a soma das cinco sequêndas na figura é
igual a x[n] para - 2 ~ 11 ~ 2. De modo mais geral, ao
incluir impulsos adicionais ponderados e deslocados.
podemos escrever
matemática. considere o sinal 4n1 rcpttSentado na Fi·
gura 2.1(a). Nas panes restanteS dessa figura, traçamos
cinco sequências de impulsos unitários ponderados e
deslocados no tempo. nas quais o fator de esela em cada
impulso é igual ao vaJor de x[11I no instante cspcáfico em
que a amostra unitária ocorre. Por aemplo.
x[n]
,
;,,
x[-2] &ln + 21
-,
xi-ti r.{n + 11
... . I~'~'~'~'~'~--~• •• -4-3-2 O 1 2 3 4 n
... I
• • __o ~.~.~.~.~.~.~ _
-4-3-2-1 O 1 2 3 4 n
(el
(ai
(b)
n=-l
n~-l'
n=O
n~O'
n=l
n~1
{
x(-IJ,
x(-lJ6[n+ IJ = o,
x(OJ6[n1= {x(O),
O,
x(IJ6[n -IJ ~ {X[IJ,
o,
-u[nJ~ L:6[n-k).~
x(nJ- ... + x I-3J6 [n +3J +xl-2)6 f. +2J + X [-1}61' + IJ
+ x [O) 6[.)+x [116[. -IJ + x [2J 6[. - 2J
.. [3J6[.-3)+... (2.1)
Para qualquer valor de 11, somente um dos termos do
membro direito da Equação 2.1 é diferente de zero,
e o peso assodado a esse termo é precisamente x(nl.
Escrevendo essa soma de forma mais compacta. temos
I
•,,
"
1
x(1] &{n-1]
x[2!6{n-21
·... 1. .::~~"J
4-3-2 1 O 1 2 3 4 n
· . . . . I~.~.~._--­
-4-3-2-1 o 2 3 4
(f)
(di
2
-~.~........~.-'~'''I~3'~''~--4-3-2-1 o , n
(e)
Figura 2.1 Decomposiçllo de um sinal de tempo discreto em uma
soma de impulsos ponderados edeslocados.
2.1.2 A resposta ao impulso unitário ea
representação por soma de convolução dos
sistemas de tempo discreto UT
A importânda da propriedade seletiva das equações
2.1 e 2.2 está no fato de que ela rtpr~ta x[n] como
ção por soma dt: convolução para um sistema LIT de
tempo discreto.
(2.1)-x{nJ~ L: x(kJ61·-kJ-
Esta expressão corresponde à representação de uma se·
quênda arbitrária como combinação linear dos impulsos
unitários deslocados 6[n -kl, em que os pesos nessa com·
binação linear são x(k). Como eIemplo. considere x(n] =
u[n], o degrau unitário. Nesse caso. como u[k] = Opara
k < Oe u[k] = 1 para k?: O. a Equação 2.2 toma·st:
que é idêntica à expressão deduzida na Seção 1.4. (Ver
Equação 1.67.)
A Equação 2.2 ~ chamada de propn'~dad~ stl~liva
do impulso unitário de tempo discreto. Como a se-
quênda 6[n - kJ é diferente de zero somente quando
k = n. o somatório do membro direito da Equação
2.2 'vasculha' a sequência de valores x[k] e extrai soo
mente o valor correspondente a k = n. Na próxima
subseção. exploraremos essa representação dos sinais
de tempo discreto para desenvolvermos a representa·
Sistemas lineares invariantes no tel11Xl 49
Portanto, de acordo com a Equação 2.3. se soubermos
qual é a resposta de um sistema linear a um conjunto
de impulsos unitários deslocados. podemos construir a
resposta a uma entrada arbitrária. Na Figura 2.2. temos
uma interpretação da Equação 2.3. O sinal xIn] é aplica-
do como entrada em um sistema linear cujas respostas
h' l ln], ho("J e h l [n] aos sinais fJ[n +1l, 6[n1 e 6[n - IJ, res-
pectivamente. são mostradas na Figura 2.2(b). Como x{n]
pode ~rescrito como uma combinação linear de 5(n + 1].
51") e 5(n- 1). a superposição pennitt:-DOS e50"evt:r ares·
posta a x[n] como uma combinação linear das respostas
aos impulsos individuais deslocados. Os impulsos indivi-
duais ponderados e deslocados que constituem x(n} são
ilustrados no lado esquerdo da Figura 2.2(c). enquanto
as respostas a esses sinais componentes são representadas
uma superposição de versões ponderadas de um con-
junto muito simples de funções elementares. impulsos
unitários deslocados ó(n - kl. ~ndo que cada um deles
é diferente de zero (com valor I) em um único instante
de tempo especificado pelo valor correspondente de k. A
resposta de um sistema linear a x(n] será a superposição
das respostas ponderadas do sistema a cada um desses
impulsos deslocados. Além disso. a propriedade de inva-
riânàa no tempo nos diz que as respostas de um sistema
invariante no tempo aos impulsos unitários deslocados
no tempo são simplesmente versões deslocadas no tempo
dessas respostas. A representação por soma de convolu-
ção para os sistemas de tempo discreto que são tanto line-
ares qUJ1.nlil invariantes no t~po resulta da junção desses
dois fatos básicos.
De modo mais especifico, considere a resposta de
um sistema linear (mas possivelmente variante no tempo)
a uma entrada arbitrária x[n). PeIa Equação 2.2, podemos
representar a entrada como uma combinação linear de
impulsos unitários deslocados. Considere que h1ln] denQ-
te a resposta do sistema linear ao impulso unitário desloca-
do fJ {n - k]. Então. a partirda propriedade de superpo·
sição para um sistema linear (equações 1.123 e I.l24). a
resposta Yln} do sistema linear à entrada x(n) na Equação
2_2 r. simplesmente a combinação linear ponderada des-
sas respostas básicas. Ou seja. com a entrada x[n} para um
sistema linear expresso na forma da Equação 2.2. a saída
Yln] pode ser expressa como
Ou seja.lI[n] é a saída do sistema ur quando ó(n] é a en-
trada. Então. para um sistema LIT. a Equação 2.3 torna-se
-y[nl ~ E x[k]h[n- k~ (2.6)
,--
(2.7)
(2.5)
(2.4)
hlnl = h,[nl·
h,[nl =h,[n-kl_
y[nl = xlnl • hlnl·
Note que a Equação 2.6 expressa a resposta de um
sistema UT a uma entrada arbitrária em termos da res-
posta do sistema ao impulso unitário. Disso. vemos que
um sistema UI r. totalmente caracterizado por sua res·
posta a um único sinaI. isto é. sua resposta ao impulso
unitário.
A interpretação da Equação 2.6 r. semelhante à que
demos para a Equação 2.3. em que. no caso de um sis-
tema m. a resposta devida ao impulso xlk1 aplicada no
instante ké x[kJh[n-k]; ou seja, é uma versão poDdcrada
Para facilitar a notação. eliminaremos o subscrito em
1Io[n] e definiremos a rnposta ao impulso lmitáriD (ou d mbS·
Ira unitária)
Referim.Q-nos a esse resultado como a soma dt con·
volução ou soma dt fUperposição. C a operação no membro
direito da Equação 2.6 é conhedda como a convolução das
sequêndas x["} e h[n]. Representaremos simbolicamente
a operação da convolução como
no lado direito. Na Figura 2.2(d) • reuatamos a entrada
detiva x["I. que é o somatório dos componentes do lado
esquerdo da Figura 2.2(c). e a saída eletivay{nl. que. por
superposição. é o somatório dos componentes do lado
direito da Figura 2.2(c). Portanto. a resposta no instante
n de um sistema linear é simplesmente a superposição
das respostas devido ao valor de entrada em cada ins-
tante de tempo.
Em geral as respostas hJn] não prerisam estar re-
lacionadas uma à outra para dilerentes valores de k. No
entanto, se o sistema linear também é invariante no ttmpo.
então essas respostas aos impulsos unitários deslocados
no tempo são todas versões deslocadas no tempo umas
das ouuas. Espedficamente, como 6[n - k] é uma versão
deslocada no tempo de 6(n}. a resposta ht[n) r. uma ver·
são deslocada no tempo de huI"}; isto é,
(2.3)-y(n] ~ E x{k]h,[n~,--
.!
50 Sinais e sistemas
(b)
(e)
o
la)
o
x{-1]&{n+1J
o
xln)
-1
o 1
tIoln)
o o
o
Ilt InJ
o
o
o
(d)
4J:] &(n) x(O] halo]
.. .1. ... c:> .. tl.r ..o o lo o
xl'] &[0-1] x11] tI,ln]
...~ ... c:>
o " "
y[n]
o o o o
Figura 2.2. Interpretação gráfica da resposta de um sistema linear de tempo discreto conforme representado na Equação 2.3. I
I
I,
.1
Sistemas lineares invariantes no tempo 51
2 y(nJ
(2.9)
~
y[OI~ L: x[kJh[0-k]=0.5.......,
Ao considerar o deilO da soma de~o em cada
amostra de' saída individual chegamos a outra forma mui·
to útil de visualiur o cálculo de: y(n] usando o somatório
de convolução. Em partkuIar. considere o cálculo do valor
de saída cm um instank espeá6co n. Uma forma partire-
lannenle conveniente de mosoar esse cálculo graficamen-
te começa com os dois sinais x[k} e h{n - kJ vistos como
funções de k. Multiplicando essas duas funções, temos a
sequênriaS(k] = x(k]h(n - k] que, a cada instante k, é tida
como uma sequência que representa a conttibuição de x[i]
à saída no instante II. Concluímos que a soma de todas as
amostras na sequência de S(k] produz o valor de saída no
instanle II selecionado. Ponanro, para caku1annos y(n)
parcJ todos os valores de II, prerisamos repetir esse proc:rdi-
menro para cada valor de II. Felizmente, mudar o valor de n
tem uma interpretação gráfica bastante simples para os dois
sinais x(k] e h(n - k} como funções de k. Os exemplos se-
guintes ilustram isso e o uso do ponto de vista mendonado
anteriormente no cálculo da soma de convolução.
O produto da sequência x[k] com a sequênda h(l - kJ tml.
duas amostras diferentes de zero, que podem ser somadas
para obtennos
=
Exemplo 2.2
Consideremos mais uma vez o problema de convolução
visto DO Ex~plo 2.1. Asequênda x[kl é mamada na figu-
ra 2.4(a), enquanto a sequência h(n - k1, com n lixo e vista
como uma função de k. é mostrada na Figura 2.4(b) para di-
~r505 vaJort:S diferentes de: ". Ao traçarmos essas sequêndas,
usamos o fato de que h[n - k) (vista mmo uma função de k
mm n lixo) é wna versão deslocada e refietida no tempo da
resposta h[k] ao impulso. Em particular, quando k aumenta,
o argumento" - k diminui. expliando a nettSSidade de uma
~nexão no tempo de h(k]. Sabendo disso, então, para lraÇl.r
o sinal h[n - k], precisamos somente detenninar seu valor
para algum valor particular de k. Por exemplo, o argumento n
- k será igual a Ono valor k = n. Portanto, se traçarmos osinal
h[- k], obtemos o sinal h(n - k] simplesmente deslocando-o
para a direita (por n) se n for positivo, ou para a esquerda se"
for negativo. Oresultado para nosso extmplo para os valores
de " < O, " = o, I. 2, 3 e II > 3 é ilustrado na Figura 2.4(b).
Ocpois de tJa9U x(k) e h(1I - k] para qualquer valor par.
ticuIar de II, multiplicamos esses dois sinais e somamos sobre
os valores de: k.. Para Onosso ~xemplo. para 11 < o. vemos, a
partir da FIgura 2.4, qu~ .r(kl h(n - kl = Opara todo k, já que
os valores cão nulos de x[k) e h(" - k) não se sobl'qlÕem.
Consequenttmeme. ytn) =Opara n < O. Para II =O, como o
produro da sequência x{kJ com a sequência h{O - k] toll ape:-
nas uma amostra não nula com o valor 0,5, concluímos que
"
"
tl[n]
0.5h[nl
2 ,o
0.5
•
o.•
_~._.~LLt_.o-~. _
o 1 2
(b)
(ai
2.'
(e)
~ deslocada (um. 'eco') de h(n). Como antes, a saída total
r. a superposição de todas essas respostas.
FigunI 2.3 la) Resposta ao ~Sll h{n] de um sistema UT e entrada.r [~
para osistema; lbl f'eSJXlStls ou 'ecos', O,S.h l~ e 2h ln -11 iKlS valores não
ooIos da entrada x[OI =0,5 ex[l\ z 2; leI respJSta arnp/etlI rilt que éa SlJl'liI
dos ecos em lbl •
•
Exel11l'lo 2.1
Considere um sistema ur com resposta ao impulso
h{nJ e entrada x[n]. confoJIDe ilustrado na Figura 2.3(a).
Para este caso, como somente x(OJ e xli] são diIertntes de
zero, a Equação 2.6 é reduzida a
y(n) ~ x[O]h[n - OJ +x [IJh[n - 1] ~ 0.5h[n]
+ 2h(n - 1]. 12.8)
As stquéodas O.5h(n] e 2h[n - 1] são dois ecos da resposta
ao impulso. Decessários para a roperposição envolvida na
geração de yl"], Esses ecos são mostrados na Figura 2.3(b).
Somando os dois ecos para cada valor de n, obtemos y[n].
que é mostrado na Figura 2.3{c).
j
52 Sinais e sistemas
~
y[21= ~ xfk]h[2-kl~0.5+2.0=2.5. (2.ll)--
~
y(ll_ ~ xfk]h(l-kl~0.5+2.0=2.5. (2.10)--De maneira wndhantt.
,.
I
!
I,
~:
r
\
O~k$n
caso comráriola'x[k]h[n-kl~ •O.
xlnl ~ a"u!n1
hlnl ~ u[n1
sendo O< (}' < 1. Esses sinais são ilustrados na Figura 2.5.
Tambim. para nos ajudar a visualizar e calcular a convo-
lução dos sinais, representamos na Figura 2.6 o sinal x[k)
seguido por h[-k), h{-l - k] e h[l - k) (ou seja, h[n - kl
para n = O. -1 e +lI e, por último, h[n-k) para um valor
positivo arbitrário de " e um valor negativo arbitrário de ri.
A partir dessa figura. notamos que para n < Onão há 50-
brqx>siçio entre as amostras não nuJas em xIkl e h[n - k].
Ponanto, para n < 0, x[k} h[n -k] "" Opara lodos os valores
de k, e por isso. a panir da Equação 2.6, vtmos que y{nl =
O,n <O. Paran 2: O.
•
Exemplo 2.3
Considere uma entradax[nl e uma resposta ao impul-
so unitário h[n] dadas por
k
2
10.5,_~._••--l_'-L~.>-••_.~__
o
(a)
y[31= I:xfk]h[3-kl=2.0. (2.l2)--Por fim. para n > 3, O produto x(k] h[n - k) i ttro para
lodo k, a partir do que conduímos que nn) "" Opara n > 3.
Os valores de saída resuJla.01CS estão cm concordânda com
todos os valores obtidos no liJ:emplo 2.1.
(b)
e usando o rcsuJ.tado do Problema 1.54. podemos ~vtt
Portanto, para n 2: 0,
o sinaly(n) ~ Tq)resentado na Figura 2.7,
!
!
,,
j
1
o
h{n] .. ulnI
x(n] .. o.'\J(n]
(b)
(a)
[
1 a~']y!nl= u[n].
l-a
y!nl= ta'•-
.. l_a-+l
y[n] = Ler" = para n ~ O. (2.13)
.t-o 1-o:
Dessa forma, para todo n,
O
Figura 2.5 Sinais IlnI e hlnJ na Exemplo 2.3.
LlJ' h(n-kJ.n<O• • • •
"-2 "-, " o k
'LU I'IO-~• • •-2 -, o k
'LU h(1-kj• • •-, o k
'UJ h(2-k]• • •O , 2 k
'L1J h(3-kj• • •O , 2 3 k
"n-kj. n>3
UL• • • •O n-2 n-1 " k
Figura 2.4 Interpretação da Equação 2.6 para os sil'\élis hlnl e 11n!
na Figura 2.3: {ai sinal xl~ II lbl sinal h[n - ~ (como função de kcnm n
fixo) para divllrsos valores de nln< O; 11 .. 0, I, 2, 3; II> 31. Cada um desses
sinais é obtido pela reflexão ede:slocamento da IBSPOSUl ao impulso uni-
tário hlkl Aresposta rtnl para cada valor de né ohtida multiplicando-sl
os sinais xlij e hln - ~ em lal e lbl e depois somando os produtos sobre
todos os 'l3kres de l OcjlclIlo para essa exemplo é feito detalhadamBO'
18 no úemplo 2.2. •
o k
IC)
!'(-1-kj
000
-, o k
(d) h[1-k)
la)
Ib)
x(kJ - a"u(kJ
o k
Sistemas lineares invariantes no tempo 53
A operação de convolução é descrita algumas vezes
em lermos de um 'desli2amento' da sequênda hln _ iI
através de x[kI. Por exemplo. suponha que tenhamos cairo-
lado y(n] para algum valor particular dt n, digamos, n = no-
Ou seja. traçamos o sinal hIno - il. multiplicamos pelo
sinal xli] e somamos o resultado sobre todos os valores
de t. Para calcular Y(1I'] no próximo valor de n - isto é,
Ir = n. + I - preàsamos traçar o sinal h((n. + I) - kJ.
No entanLO, podemos falte isso simplesmente tomando o
sinal h[n. - k] e deslocando-o à direita em uma amostra.
Para cada valor sucessivo de n, continuamos tSse proces.
so de deslocar h[n - k] uma amostra para a direita, multi-
plicando por x[k] e somando o resultado sobre k.•
•
Exemplo 2.4
V~amos mais um extmplo. Considerr as duas sequências
01 k
II.x{n]~ O.
le)
o o
0>0
k
e
I,,'h[nJ~ •O. 0:5n56caso contrário
ln [o_~
JilllI..... . :~O
o o k
Figura 2.6 Interpretaçao gr~fica do cálculo da soma de convolução para
oExemplo 2.3. •
y[o] , (' -.' ") c101,-.
E~ sinais são ilustrados na Figura 2.8 para um valor po_
sitivo de a > 1. Para calcular a convolução dos dois sinais,
t conveniente considerar ànco inttIValos separados de n.
Es~ inlervalos são ilustrados na Figura 2.9.
Intervalo 1. Para n < 0, não há sobreposição entre por.
ções não nulas de x[k} e h[n - k]; consequentemenle,
Yln] ~ O.
1
Figura 2.7 Salda para o EJ:emplo 2.3.
-'- ~------­1-.
o o
1
54 Sinais e sistemas
Intervalo 2:. Para O:5 n :5 4.
[
a-'
x[kJh[n-kJ= '
0,
O$k$n
caso contrário
[ .-,x[k]h[n-kl= a .0,
de modo que
In-6)~k~4
caso conaário l
(a) :r.(nj
-2-1 Uill
--~._.~.~._.~........ ~~._.~'~'-'~'~'-'---:
0123-45 n
figura 2.a Sinais a serem con....oluldos no Exemplo 2.4.
• •
,
k
k
0<0
h[n-k}
0-.
•J'InJ= E a.....
~...
(a) mu .
O •
(b)
.••-li' rulll ....
01234se7••
(b)
Ponamo,n~ inttrvalo.
Podemos calcular essa soma usando a fórmula da soma finI-
ta. Equação 2.13. Esptdficameme, mudando a variável do
somatório na Equação 2.14, de k para r = n - k, obtemos
•
J'InJ= I>....·
~
(2.14)
le)
~
o-~
•• •• •• ~.M.~.~.~•••••~.~.M.M.~.~.~•••••---:-
o o k0-.
Intervalo 3. Paca n > 4, mas n - 6:5 O(isto é, 4 < n:5 6).
• 1-a-+1
J'InJ = Ea' =.:..,-;~
... l-a
[ -,x[k]h[n-kJ= a ,0, O$k$4caso contrário
Id)
~
IO-~
4<n0lÕ6
-~.M.~.~...••~.~.~. ~'M'M'~'••••••••~.M.~.M.~.~---;:-
O o k0-.
,,
'.
~
I
Jl
k
~
o-~
6<n0lÕ10
••••.•••.• ..~.~.M.~.~.~...••••_--:-
O o k0-.
r-~ n>lO.................r~ ....
a n-6 n
le)
Agira U Interpretação gráfica da corwolução do Exemplo 2.4.
(2.15)
(2.16)
•
y[nl = E''''-'·
~
=
1 a
Para n>6, mas n-6:5 4 (Isto é, para 6 <n:5 10),Intervalo 4.
Mais uma Vtt,. podemos usar a fóaDuJa da soma ~métrica
da Equação 2.13 para calcular a Equação 2.15. E.spedfic.a-
mente, evidenciando o termo constante a' do somatório
da Equação 2.15, o resultado é
• 1-la-')'
y[nl = a'Ela-')' = a'-':-"'-:f-
..... 1-0-1
0--0....'
Ponanto, nesse intervalo,
Sistemas lineares invariantes no tempo 55
Usamos novam~nt~ a Equação 2.13 para ef~tuaI ess~ soma- (a)
tório. Fazendo r = i - n +6, obtemos ,
1\ 1
1 LI, 4o , r • • •-2 -, O
x(kl - 2"u[-k]
• k
Intervalo 5. Para 11-6 > 4. ou, ~quivalentem~nt~. II> 10,
não há sobreposição ~ntrc as amostras não nulas d~ x[k] e
h[n - k], por essa razão, h[n-k]
Y['I = O.
Resumindo. ponanto, temos
k
qu~ é represtDtado na Figura 2.1 O.
2
"32O-3 2
(b)
~
1 ! 1 j16 8 4..... ; ,
Agura 2.11 lal Sequências x[kl eh[ 11- kJ para o problema de con·
volução considerado no Exemplo 2.5; lb) sinal de saida resultante y(Ji
6<n:5.10
10<n
4<n:5.6,
.<0
l-o
O.
O.
1- 0"+1
1 o
a--o,*1
y!nJ=
YInl Pata c:a1allar a soma infinita na Equação 2.19. podemos usar
a 16rmll/Q da soma infinita,
~ I
2:>'=-. O<rl<l. (2.20)_ l-o
Mudando a variável do somatório na Equação 2.19 de k
para r = - J:. temos
o .,
Figura 2.10 Resultado da ctrMJ!lJjâo do &emplo 2.4.
10 "
• t 2'=t(!f= I =2k-_ ...o 2 1-(1/2) . (2.21)
•
Exemplo 2.5
Consid~r~ um sist~ma ur com mtrada x(n} ~ resposta
ao impulso unitário hl") espedficadas romo se segu~:
As sequ~D(ias xli) ~ h[n - k] estão represmtadas grafia·
m~ntr: como funções de k na Figura 2.1I (a). NOle-st que
41) é um para i > O ~ h(n - i) é um para i > n. Th01-
bt:m obstrvamos que, independentemente do valor d~ II,
a s~quêncta x[klh[n - iI sempre tem amostras não nulas
ao longo do eiIo k. Quando n 2: O, x[k]h[n - k] tem amos-
tras nulas no intervalo k ~ O. Segue-se que. para II 2: 0,
Portanto.y[n] assume o valor constante 2 para n 2: O.
Quando n < 0, x[k]h[n - k) tm1 amostras difert.ntesde
zero para k ~ n. Sque·st qut, para n < O.
Ao fazermos uma mudança da variávrl 1= -k ~ então m =
I + ri, podemos usar novamente a fórmula da soma infinita,
Equação 2.20, para calru1ar o somatório na Eqmu;ão 2.22. O
resultado é O seguinte. para PI < o:
(2.22)Y['l= t x(kJh[.-kJ= t 2'.1_... ..........
Y!'l = t(!]' = t(!jO-' = (!j-' t(!J"(2.231
,._,,2 _2 2_2
=1:'·2=2'*1.
Asequência romplrtay{n) tstá represmtada na Figura 2.11 (b).
•
(2.19)
(2.17)
(2.18)
x[n] = 2"II(-nJ.
h{n]=u[n].
Y!'I= t x[k]h[.-kJ= t 2'....... ......i
I
1
então, como 66
à
(t) tem amplitude unitária, temos a ex·
pressão
combinação linear de pulsos atrasados, conforme ilustra-
donas figuras 2.12(a) a (e). se definimos
6
à lt)=[*' 0$t<6, (2.24)O, caso contrário
56 Sinais e sistemas
Esses aemplos ilustram a utilidade de ~ visualizar
o cálculo da soma de convolução graficamente. Note que,
além de fornecer uma forma útil de calcular a~ta de
um sistema m, a soma de convolução tambtm fornece
uma representação extremamente útil dos sistemas LIT
que nos permite exa.m.ina.r suas propriedades de modo bem
detalhado. Em particular na Seção 2.3, descreveremos al-
gumas propriedades da convolução e examinaremos algu-
mas propriedades dos sistemas apresentadas no capítul~
anterior para vermos como essas propriedades podem ser
caracterizadas para sistemas LIT.
~
;(t)~ I: x(kA)ê.(t-kA)t...-- (2.15)
r
!,
l
•
(
I
I
j
}.
2.2 Sistemas UT de tempo contínuo: a
integral de convolução
De modo análogo aos resultados obtidos e discuti·
dos na seção amerior, o objetivo desta seção é obter uma
caranerização completa de um sistema ur de tempo con-
tínuo em termos de sua resposta ao impulso unitário. Em
tempo discreto, a base para desenvolvermos a soma de
convolução foi a propriedade seletiva do impulso unitá·
rio de tempo discreto - ou seja. a representação matemátial
de um sinal como superposição de funções de impulso
unitário deslocadas e ponderadas. Inruitivamente, por-
tanto, podemos pensar o sistema de tempo discreto como
um sistema que responde a uma ~uência de impulsos
individuais. No tempo contínuo, não temos uma sequên-
cia discreta de valores de entrada. No entanto, como dis-
cutimos na Seção 1.4.2, ~ consideramos o impulso uni-
tário como a idealização de um. pulso que é tão cuno que
sua duração seja irrelevante para qualquer sistema físico
real. podemos desenvolver uma representação para sinais
arbitrários de tempo contínuo em tennos desses pulsos
idealizados com duração arbitrariamente pequena, ou, de
modo equivalente, impulsos. Essa representação é desen-
volvida na próxima subseção e, logo em seguida. prosse-
guiremos de forma paredda à Seçào 2.1 nadedução da
representação por integral de convolução para sistemas
LIT de tempo contínuo.
2.2.1 A representação de sinais de tempo contínuo
em tennos de impulsos
Para desenvolver o correspondente de tempo
continuo da propriedade seletiva de tempo discreto
da Equação 2.2, começamos considerando uma aproo
ximação ~em degraus~, x(t), para um sinal de tempo
contínuo x(t), conforme ilustrado na Figura 2.12(a). De
maneira semelhante à empregada no caso do lempo
discreto, a aproximação pode ser expressa como uma
(a)
..
I·,,
~.
-4 04 24 ""
(bl
x(-2.6.~IlIt ... 2414 ,.
~-uJJJ
(e)
lC(-~Il(t + 4)6
·-TI
-00
(d)
-~
D~
04
(el
X(4)ll...(t-4)4
~~
aU
RgI" 2.12 Aproximação em degraus para um sinal de temp)
coolfnuo.
J
•
Sistemas lineares invariantes no tern~ 51
Ib)
lal
•
t - à t
f-4--1
m4
1- 4
le)
Embora essa dedução resulte diretamente da Seção 1.4.2.
incluímos a demoDSnação dada nas ~quações 2.24 a
2.27 para ressaltar as semelhanças com o caso de tempo
disa~to e. ~m particular, para enfatizar a interpretação
da Equação 2.27 como uma reprtseD.lação do sinal x{t)
como uma 'soma' (mais pred.sammte:. uma int~gral) d~
impulsos deslocados e ponderados.
J:x(T)6(t-r)d-r= J:x(t)6(t--r)dT
= X(I)J:ói'-T)dT ~ xll~
EsjX'dficamente. como ilustrado na Figura 2.l4(b). o si-
nal 6(t - T) (visto como uma função de T com r fixo) r:
um impulso unitário localizado em T = r. Portanto. como
mostra a Figura 2.14(c). o sinalx(T)6(t-T) (mais uma vez
visto como uma função de TI é igual ax(t)6(t-T). ou seja.
é um impulso pond~rado em T = t com uma área igual ao
valor de x(l). Consequmtem~nte, aintegral desse sinal de
T = -- a T = +- é igual a x{t); ou seja,
Figura 2.13 Interpretação gráfica da Equação 2.26.
Como em tempo discr~to, referimo-Dos à Equação 2.27
como a propritdadt stftriva do impulso de tempo contí·
nua. Notamos que. para o exemplo espeáfico de X(l) =
U(l), a Equação 2.27 torna-se
u(r) = J: l.l(T)6(r-T)dT= lootSf,r-T)dT. (2.28)
já que U(T) = Opara T < Oe U(T) = 1 para T > O. A Equa-
ção 2.28 é idêntica à Equação 1.75, obtida na Seção
1.4.2.
Mais uma vez. a Equação 2.27 d~v~ St:r vista como
uma idealização no sentido d~ qu~, para 6 "pequeno o su-
fid~nt~#. a aproximação de x(t) na Equação 2.25 é essen·
cialm.~nt~ exala para todo propósito prático. A Equação
2.27, ponamo, s~pl~smente r~prtsenta uma idealização
da Equação 2.25 ao assuminnos li. como arbitrariamente
pequeno. Note·se também que poderiamos obter a Equa-
ção 2.27 diretamente usando várias propriedades bási-
cas do impulso unitário qu~ obtivm1os na Seção 1.4.2.
x(l) ~J:X(T)/ill - T)dT. (2.27)
Na Figura 2.12 per~btmos que. assim como no caso de
tempo discreto (Equação 2.2), para qualquer valor de r,
somente uma parcela no somatório do membro direito da
Equação 2.25 é não nula.
Quando consideramos 6. se aproximando de O. a
aproximação x(t) lorna·se cada vez melhor e. no limite.
iguala-se a x(1). Portanto,
X(I) ~ lim f: x(kt.)ó.(t - kt.)t..· (2.26)
.~-
Além disso. quando 6 -. O. o somatório na Equação 2.26
aproxima-se de uma integral. Isso pode ser visto consi-
derando a interpretação gráfica desta equação, ilustrada
na Figura 2.13. Uustramos os sinais X(T), 6~(t - 7") e seu
produto. Tambim marcamos uma região sombreada ruja
árC'a se aproxima da área sobX(T)Ó",tt - T) quando /1 _ O.
Note-se que a região sombreada tem uma área igual a
x(m6), sendo t - 6. <",A < t. Além disso. para esst valor
de t. somente a parcela com k = mé não nula no somató·
rio da Equação 2.26 e. portanto, o membro direito dessa
equação também é igual a x(m6). Consequentemente, a
partir da Equação 2.26 ~ do argumento precedent~, te-
mos que xlr) é igual ao limite quando li. ..... O da ma
sob x(T)66(l- Tl. Além disso, com base na Equação 1.74.
sabemos que o limite quando li. -+ Od~ 6
6
(l) é a função
impulso unitário 6(t). Logo.
I
,
58 Sinais e sistemas
(b)
1
Em particular. considere a Figura 2.15. que é o corres-
pondente ml tempo contínuo da Figura 2.2. Na Figura
2.15(a), represcll.amos a entrada X(I) e sua aproximação
i(I), enquanto nas figuras 2.15(b) a (d). mostramos as
respostas do sistema a três dos pulsos ponderados na ex-
pressão para x(t). Então a saída y(t) correspondente a .i(t)
é a superposição de todas as respostas. como indicado na
Figura 2.15(e}.
O que falta. pon.a.DlO, é considerar o que aconte-
ce quando 6 se toma. arbitrariamente pequeno - isto é,
quando li. -t O. Em partirular. usando x(t) conforme
expresso na Equação 2.26. ~t) toma·se uma aproxim.a-
.,
(a)
(e)
(b)
04
,
_/1'","" , :,. ,
Figura 2.14 lal Sinal arbitrário xlr); lbl impulso 6( (- ri como fim·
ção de rCOOl tfixo: leI produto desses dois sinais.
I
I
1
t
y(l)
o
(e)
FigaR 2.15 !IltalpeliiÇão gráica da resposta de um sistema linear
de terr\tXl contfnuo confurme expresso nas equações 2.29 e ~.30.
(2.29)j(1) = E X(kA)hM(I~--
W A resposta ao impulso unitário e a
representação por integral de convolução dos
sistemas de tempo contínuo UT
Assim como no caso do tempo discreto. a represen-
lação obtida na seção anterior mostra-nos uma forma de
interpretar um sinal arbitrário de tempo contínuo como
a superposição de pulsos deslocados e ponderados. Em
particular. a rtprest'Dlação aproximada da Equação 2.25
representa o sinal x(l) como um somatório de versões
deslocadas e ponderadas do sinal de pulso básico 6/1(t).
Consequentemente. a resposta }i(I) de um sistema linear
a esst sinal será a superposição das respostas àsv~
deslocadas e ponderadas de 6
6
(1). De maneira mais espe-
áfia. considermlos hu.(t) como a resposta de um. sistema
LIT à enuada 6
6
(1- kâ). Assim, partindo da Equação 2.25
e da propriedade de superposição. para os sistemas linea-
res de tempo contínuo. vemos que
A interpretação da Equação 2.29 é semelhante
à interpretação da Equação 2.3 para tempo discreto.
ção cada vez melhor d~ x(t) ~, d~ fato, os dois coincidem
quando I!J. --. O. Como co~qu~nda. a resposta a x(I),
denotada yll) na Equação 2.29, deve convergir para y(t),
ar~ à entrada efeti.va x{t), como ilustrado na Figura
2.l5(f). Além disso, como dissemos. para I!J. ·sufid~Dte·
mente pequeno·, a duração do pulso 6
6
(t-tâ) não ~ sigo
nificativa porque. no que se refere ao sistema. a resposta
a esse pulso ~ ~nda1mente a mesma que a resposta a
um impulso unitário no mesmo instame de ~empo. Ou
seja. como o pulso 66(1 - kA) corresponde a um imo
pulso unitário deslocado quando !:J. --. O, a resposta Ítu(ti
a esse pulso unitário toma-se a resposta a um impul·
so no limite. Portanto, se h,(t) representa a resposta
no tempo r a um impulso unitário 6(t - r) localizado no
tempo r, então - .
y(l) = Iim L x(kL\.)h,., (1)1'.. (2.30)
4-0"-<>:1
Quando A --. O, o somatório do membro direito torna-
-se uma integral. como pode ser vislo graficamente na
Figura 2.16. Espedficamente, nesta figura, o rttângu·
lo sombrtado representa uma parct:1a no somatório do
membro direito da Equação 2.30 e, quando A ~ O, o
somatório aproxima-se da área sob x{r)h,(t) vista como
uma função de T. Ponanto,
Sistemas lineares invariantes no tempo 59
associado à resposta h,ll) ao impulso deslocado 6(t - TI
também i X(T)dT.
A Equação 2.31 representa a forma geral da respos·
ta dt: um sistema lint:ar de tempo continuo. se, al~m de
ser linear. o sistt:ma laDlbf:m for invariantt: no tempo, t:n-
tão h.(t) -= h.(t - T); isto t, a rt:SpOSt..a de um sistema UT
ao impulso unitário 6(1 - T), que é deslocado da origem
t:m T segundos, é uma versão dt:Slocada semelhante da
resposta à função impulso unitário 6(t). Novameme, para
facilitar a notação. eliminamos o subsaito e definimos a
mposra ao impulso unitário h(l) como
h(l) - h,(I); (>.3')
isto é, h(t) é a resposta a 6(t). Nesse caso, a Equação 2.31
toma-se
1Y(1) = r:X(T)h(I- T)dT·1 (>.33)
A Equação 2.33, conhecida como integral de ClJnyofu·
ção ou inttgra[ de JUpuposição, é o cornspondtnte de tem·
po contínuo da soma de convolução da Equação 2.6 e!:
corresponde à representação de um sistema UT de tempo
contínuo em tennos de sua resposta a um impulso unitá·
rio. A convolução de doissinais x{t) e h(t) será represen·
tada simbolicamente!: por
(2.31) y(l) = X(I) • h(I). (U4)
A interpretação da Equação 2.31 é análoga à in·
terpretação da Equação 2.3. Como mostramos na Seção
2.2.1, qualquer entrada x(t) pode ser representada por
x(t) = L:x(T)6(t - r)dr.
Ou seja, podemos intultivam~nte pensar x(t) como uma
soma de impulsos deslocados ponderados, em que o peso
do impulso 6(t - T) ~ x(r)dr. Com essa interpretação, a
Equação 2.31 representa a superposição das respostaS
a. cada uma dessas entradas e, por Iinearidad~, o peso
kd (k+1)â
Figura 2.16 Ilustração gráfica das equações 2.30 e2.31.
Apesar de termos escolhido usar o mesmo símbolo· para
denotar tanto a convolução de tempo discreto como a de
te!:mpo contínuo, o cont~xto será geralmente suficienle
para diferenciar os dois casos.
Assim como no tempo discreto, vemos que um sis-
tema LIT de tempo contínuo é completamt:ntt: caracteri-
zado por sua resposta ao impulso - isto t, por sua res-
posta a um único sinal elementar. o impulso unitário 5(t).
Na próxima seção, exploramos as implicações des~ fato
enquanto examinamos diversas propriedades da convo-
lução e dos sistemas LlT tanto de tempo contínuo como
de tempo discreto.
O procedimento para calcular a integral de con-
volução i similar ao que usamos para calcular seu cor·
respondente de tempo discttto, a soma de convolução.
Espedficamente, na Equação 2.33, vemos qUe!:, para
qualquer valor t. a saída y(1) é uma integral ponderada da
enuada. em que o peso correspondente a X(T) ( h(1 - r).
Para calcular essa int~graI para um valor tspeáfico de t.
primeiro obtemos o sinal h(t - r) (considt:rad.o uma fun-
ção de r com r fixo) de h(r) por uma refiexão em tomo
da origem e um deslocamento para a direita dt: t se t > O
ou um deslocamento para a esquerda de Irt se r < O.
60 Sinais e sistemas
Em seguida, multiplicamos os sinais X(T) e h(t - T). e y(t)
é obtido ao integrarmos o produto resultante de T = -- a
T = +00. Para ilustrar o cálculo da integral de convolução.
vejamos os exemplos seguintes.
•
Exemplo 2.6
Seja x(t) a entrada de um sistema Ln' com resposta ao
impulso unitário h(t). com
x(t) = r«u{t). a > O
A partir dessa expressão, podemos calcular y(t) para t > O:
f.' I I'y(t) = e-n- dr =__e-n-o a o
_ 1(1 -"I__ -e .
a
Então. para todo t, y(t) é
I
y(t) ~ -(l-,~)u(t),
a
que é ilustrada na Figura 2.18.
O<r<t
caso contrário
h(l) ~ U(I).
Na Figura 2.17, representamos as funções h(1"). x(1") e h{t-1")
para um valor negativo de t e para um valor positivo de 1.
De acordo com essa figura. perce~os que para t < O, o
produto de x(1") e de h(t - T) é zero e, consequentemente,
y(t) é zero. Para t > O,
x(T)h(t -r) = [,--
O,
y(t) = 1 (1- e-III )u(t)•
1ã ---------------------
o
Figura 2.18 Resposta do sistema no Exemplo 2.6 com resposta ao
impulso h(t) =u(t} para aentrada x(tl =e....u(tl.
h'l •
•
Exemplo 2.7
Considere a convolução dos dois sinais a seguir
O<t<2T
caso contrário
O<t<T
caso contrário'II,.(1)= O,
h(l) = II'
O,
O, 1<0
'r' O<t<T, '
y{t)~ n-tT1 • T<r<2T
-tf+Tt+tTl, 2T<t<3T
O, 3T<t
Assim como 00 Exemplo 2.4 para a convolução de tempo dis·
creto, é interessante considerar o cákulo de y(~ em intervalos
separados. Na Figura 2.19. traçamos x(r) e ilumamos h(t - r)
em cada um dos intervalos de interesse. Para t < Oe para
t> 3T. x(T)h(t-r) = Opara todos os valores de T e, consequen·
ttmeote,y(t) = O. Para os outros valores. o produtox(Tjh(t-r)
está indicado na Figura 2.20. Então, para esses três intervalos,
a integração pode ser feita graficamente, tendo como resultado
,
,
,
o
*1
_----!--'~====-
o
h(!:-T)
_-----.JU,------_I<O_
o
~Ill---t>O_
o
h(t-T)
Figura 2.17 Cálculo da integral de convolução do Exemplo 2.6. que está representado na Figura 2.21.
I
Sistemas liooares invariarrtes no tempo 61
*1 (a)
'b >«>1"'-".Lo T O<t<T
O t •
"'--oJ
J\t 1<0 (b) Kfr)"tt--T)t_Tt~ 1<t<21t O
t - 2T
O T •
2T<t<3T
(e)
x(T)h(I-")
t~~
------' I Ti---------:-.
t-2T
h(t-T)
~t2T O<I<T
----f-h~---------..,..
t- 2T
"'-'I
tt,.2T T<t<2T
----fHc-----------:-.
t - 21
Figura 2.20 Produto Air} h(l- T} para o Exemplo 2..7 pata as
uês faixas de valores de t para o qual este produto é não 0010.
(Ver FiQura 2.19.1
2T<t<3T
OT2T3Th(t-T)
_2Tt~
0\ ~-----.
t - 2T
Figura 2.21 Sinal y{tl = xUI • h/tI para oExemplo 2.7.
•
Exemplo 2.8
Seja Y(I) a convolução dos dois sinais a seguir.
•
t:> 3T
Os sinais"i'T) e h(t -T) são reprc:sc:ntados graficam~tt= como
func;õt:s de T na Figura 2..22(a). Primriro, obstrvamos que
esstS dois sinais te:m rrgióe5 de sobrtpOSição diferentes de
zero. independentrmentt do valor de t. Quando t - } ~ o, o
produto de .ltr) e h(l- T) é não nulo para __ <T < t - l, e a
integral de convolução toma-sc
"'-'I
_ 2Tlli
O I ~----.
t - 2T
x(t) = r'wHl.
h(~~u(t-3).
(2.3,>
(2.36)
Figura l.19 Sinais x{'Tle h(t- TI para diferentes valores de I para
oExemplo 2.7. (2.37)
62 Sinais e sistemas
y[n] ~ I: x[k]h[n - k]~ x[n]' h[n]- (2.3')
•
Conforme já observado, uma consequênda dessas
reprtsentaÇÕfs é o fato de as características de um sistema
LIT serem completamente determinadas por sua resposta
ao impulso. É importante enfatizar que essa propriedade
é válida em geral somente para os sistemas IlT. Em parti-
cular, conforme ilusrrado no exemplo a seguir, a resposta
ao impulso unitário de um sistema não linear não carac-
teriza completamente o componamento do sistema.
(a)
o
h(t-1')
130
•
•
y(l) ~r: x(r)h(1 - r)dT ~ X(I) , h(l) (2.40)
(b)
Exemplo 2.9
Considere um sistema de tempo discreto com resposta
ao impulso unitário
II.h[n]~ O. n=O,lcaso rontrário (2.41)
o 3
Figure 2.22 Problema de convoluçao considerado no Exemplo 2.B.
Para t - 3 ;:: 0, o produto x(r)h(t - r) é não nulo para -- <
r < 0, de modo que a integral de convolução é
Se o sistema é LIT, então a Equação 2.41 determina por
completo seu comportamento de entrada-saída. Particular-
mente, ao substituir a Equação 2.41 na soma de convolução,
Equação 2.39, encontramos a seguinte equação txplídta
que descreve como a entrada e a saída desse sistema LIT
estão reladonadas:
(2.38)
Por outro lado. há muitos sistemas não lineares com a mesma
resposta ao impulso 6[n}. isto é. a dada pela Equação 2.41.
Por exemplo, os dois sistemas a seguir têm essa propriedade:
f ' "d Iy(t)= e T=-._ 2
O sinal resultante YU) é representado graficamente na
Figura 2.22(b). •
y{n} = x(n} +x {n - 1]. (2.42)
Conforme ilustram esses exemplos e aqueles apre-
sentados na Seção 2.1, a interpretação gráfica da convo-
lução de tempo discreto e de tempo contínuo é de valor
considerável na visualização do cálculo das somas e das
integrais de convolução.
2.3 Propriedades dos sistemas lineares
invariantes no tempo
Nas duas seçóes anteriores, desenvolvemos reprt-
sentações extremamente importantes dos sistemas LIT de
tempo discreto e de tempo contínuo em termos de suas
respostas ao impulso unitário. No tempo discreto. a repre-
sentação assume a forma da soma de convolução, enquan-
to sua correspondente em tempo contínuo é a integral de
convolução, ambas repetidas a seguir por conveniência:
y[n] = (x[n} +x[n-lIlJ•
y[n} = máx (x[n].x[n - 1]).
Consequentemente. se o sistema ~ não linear, tle não é
complttamente caracttrizado pda resposta ao impulso da
Equação 2.41. •
oexemplo anterior ilustra o fato de que os sistemas
LIT apresentam diversas propriedades que ounos siste-
mas não possuem. a começar pelas representações muito
especiais que eles têm em termos das integrais e da soma
de convolução. No restante desta seção, exploraremos al-
gumas dessas propriedades mais imponantes e básicas.
U1 Apropriedade comutativa
Uma propriedade básica da convolução em tmipo discre-
to e em tempo continuo é que ela é wna operação amtU1ativtz.
JFalar da dupla reflexão: h(-t) e x(-t).Falar de deslocamentos distintos para h e x: x(t-2)*h(t+1)
Sistemas lineares invariantes no tempo 63
Ou seja. em tempo discreto
e em tempo contínuo
(2.47)
y(1)
y:J!l)
L-+I h,(1)
X(I) , [h,(I) +h,(I))
= x(t) .. h.(t} +x(t) ... hJ(t).
.....-l h,{I)correspondendo ao membro direito da Equação 2.47. O
sistema da Figura 2.23{b) tem saída
y(tl ~ X(I) • h,(~+xll) 'h,(~. (2.40)
o sistema da Figura 2.23(a) tem saída
y(I) = x(11 ' [h,(I) +h,I'IJ. (2.49)
(a)
Y,II) ~ X(I) , h,(11
e em tempo contínuo
Essa propriedade pode ser verificada de forma imediala.
A propriedade distributiva tem uma inteJPretação
útil no que se refere às interconexões dos sistemas. Con-
sidem: dois sistemas IlT de tempo contínuo em paralelo.
como indicado na Figura 2.2J(a). Os sistemas mostrados no
diagrama de blocos são sistemas ur com as respostas ao
impulso unitário indicadas. Essa represenlação gráfica é
uma forma particularmente conveniente de mostrarmos
os sistemas UT em diagramas de blocos. e ela também
acentua o fato de que a resposla ao impulso de um siste-
ma LIT caracteriza completamente seu comportamento.
Os dois sistemas, com respostas ao impulso hl(t) e
hJ(t). têm entradas idênticas, e suas saídas são adiciona-
das. Como
(2.45)--
-x[n] , h[nl = L x[k]h[n - k]
~-~-~ L x{n - r]h[r]
X(I) , h[1) ~ h(II' X(I) ~J: h[T)Xlt -T)dT. (2.44)
= h(n]" x(n].
Com essa substituição de variáveis, os papéis de .I(nJ e
h(n) são trocados. De acordo com a Equação 2.45, a saída
de um sistona IlT com entrada .I[n] e resposla ao im-
pulso unitário h[n] é idêntica à saída de um sistema ur
com entrada h(nJ e resposta ao impulso unitário x(n].
Por exemplo, poderíamos ter caJrulado a convolução no
Exemplo 2_4 primeiro refletindo e deslocando .I[kl. de-
pois multiplicando os sinais x[n - xl e h[kj e. por fim.
somando os produtos para todos os valores de k.
De forma semelhante. a Equação 2.44 pode ser ve-
rificada por uma mudança de variáveis, e as implicações
desse resullado em tempo contínuo são as mesmas. A
saída de um sistema UT com entrada .I(t) e resposla ao
impulso unitário h(t) é idêntica à saída de um siste-
ma ur com entrada h(t) e resposta ao impulso unitá-
riox(t). Ponanto, poderíamos ter calculado a convolução
no Exemplo 2.7 refletindo e deslocando x(t), multipli-
cando os sinais x(t - T) e h(T) e integrando no intervalo
_00 < 7' < +_. Em casos específicos. uma das duas
formas de calcular convoluções, isto é. a Equação 2.39
ou a Equação 2.43 em tempo discreto e a Equação 2.40 ou
a Equação 2.44 em tempo contínuo. pode ser mais fá-
cil de visualizar. mas as duas formas sempre multam oa
mesma resposta.
-x{n)' h[n] ~ h[n]' x{n] = L h[kJxln - k1 (2.43)
----
Essas expressões podem ser verificadas de forma immiala
por meio de substituição de variáveis nas equaÇões 2.39 e
2.40. Por exemplo, no caso do tempo discreto, tomando
r= n- k ou, equivalentemente, k = n - r. a Equação 2.39
toma-se
2.3.2 Apropriedade distributiva
Outra propriedade básica da convolu~o é aproprie·
dade distributiva. Esped.ficamenle, a convolução é distribu-
tiva com relação a adição, de modo que, em tempo discreto
(b)
X(t)--~'''I h,(I) + hz(t) 1--.._y(1)
xtn]' Ih,[n) + h,lnll
= x[n] ... hl[n] +x[n] .... hl[n},
Figura 2.23 Interpretação da prolJiedade distributiva da corrroIu-
(2.46) ção para uma interconexão paralela de sistemas UI
i
~
64 Sinais e sistemas
-32101234567
I
t
!
,
j
,
'.
.,
'I,
"
I
i
I
í.,
•
(2.56)
(2,60) .YlnI = x Inl • h,I"1 • h,lnl
x[nI· (h,I"]· h,[nl) = 1*1· h,I"I)· h,I"J, (2.58)
e em tempo contínuo
2.3J A propriedade associativa
Outra propriedade útil e imponante da convolução
é a associilt1vtJ. Ou seja, em tempo discreto
xi'I· [h,I')· h,IIII = Ixl')· h,IIII· h,lt). (2,59)
Essa propriedade ~ demonstrada por manipulações diretas
das somas e integrais envolvidas. Veja o Problema 2.43.
Como consequênda da propriedade associativa. as
txpressôa
4 ------------ - - ••
3
y[o]
,
• f'
o o o ;-
y,lnl =',1"1 • hln]. (2.57)
A convolução na Equação 2.56 para , 1[11) pode ser obtida
a partir do EIemplo 2.3 (com Q = 1/2), enquanto ' 2[IIJ
foi calculado no Ezemplo 2.5. Sua soma é y{n]. exibida na
Figura 2.24.
Y(t)=xlt)·h,llI·h,(t) (2.61)
não apresentam ambiguidade. Ou seja, de acordo com as
equações 2.58 e 2.59. a ordem de convolução desses
sinais não importa.
Uma interpretação dessa propriedade associati-
va é ilustrada para os sistemas de tempo discreto nas
figuras 2.251') , Ibl. N. Figura 2.251'),
correspondendo ao membro esquerdo da Equação 2.47.
Aplicando a Equação 2.47 à Equação 2.49 e comparando
o resultado com a Equação 2.48, vemos que os sistemas
nas figuras 2.21(a) e 2.23(b) são idênticos.
Há uma interpretação idêntica em tempo discre-
to, em que cada um dos sinais na Figura 2.23 é subs·
tituído por um correspondente de tempo discreto (isto
é. X(I). h.(I), hl(I), ,.(1), , 1(t) e 1(1) são substinúdos por
X[II]. h1[1I1, h1[1I]. 1.(n), y1[n} e 1(n], respectivamenle).
Em suma, portanto, em virtude da propriedade distribu-
tiva da convolução, uma combinação paralela de sinemas
LIT pode ser substituída por um único sistema LIT cuja
resposta ao impulso unitário é a soma das respostas ao
impulso unitário individuais na combinação paralela.
A1~m disso, como consequr:ncia da propriedade dis-
tributiva e da propriedade comutativa. temos
Ix,ln +x,IIli • hll) = x,(I) • hln +x, II) • h(I), (2.51)
que simplesmente dizem que a resposta de um sistema IlT
à soma de duas entradas deve-ser igual à soma das respos-
tas a esses sinais individualmente.
Conforme ilustrado no próximo eIemplo. a pro·
priedade distributiva da convolução também pode ser
usada para dividir uma convolução complicada em várias
convoluçõe5 simples.
YI"I = Y, 1"1+ Y, InJ, (2.55)
x[n1=ur u(1I]+2"u(-1I]. (2.52)
hl"J = 04nI. (2.53)
Note que a ~qué:nda xIn] i: não nula ao longo de todo o
eixo do tempo. O cálculo dUeto de uma convolução desse
tipo é um pouco tedioso. Em vez de efetuar o cálculo dire-
ta:menle. podemos usar a propriedade distributiva para a-
pressar Y[II) como a soma dos resultados de dois problemas
de convolução mais simples. Em panicuJar. se considrramos
xl [J1] '= (1/2)·u(n] e ~(nl = 2·u[-n]. teremos
Yln] =(x,ln] +x,["1) • hl"l· (2.54)
Usando a proprirdade distributiva da convolução. podt1JlOS
r~vtra Equação 2.54 como
(x1[n] + :e,[nJ] '" h[n] = x1[nl • h[n] +:e, [II] • h[n] (2.s0)
,
sendo
•
Exemplo 2.10
Suponha que y[nj seja aconvolução das duas sequências:
,,,
1
y[nJ = w[nJ *' h1(n]
= (x[n] *' hJn]) *' hJn].
Na Figura 2.25(b)
y[nl ~ xln] • h[n)
=x[n] *' (h,[n] *' hJnll.
De acordo com a propriedade associativa, a interconexão
em séries dos dois sistemas na Figura 2.25(a). r. equiva-
lente ao sistema único na Figura 2.25(b). Isso pode ser
generalizado para uma quantidade arbitrária de sistemas
LIT em cascata, e a interpretação análoga e a conclusão
também são válidas em tempo contínuo.
Usando a propriedade comutativa jlU1tameme com
a propriedade associativa, encontramos outra proprieda-
de muito imponante dos sistemas lIT. Especificamente,
a partir das figuras 2.25(a) e (b), podemos concluir que a
resposta ao impulso da cascata de dois sistemas LIT é
a convolução de suas respostas individuais ao impulso.
Posto que a convolução é comutativa, podemos calcular
essa convolução de hl[nj e h1[nj em qualquer ordem.
Ponanto, as figuras 2.25(b) e 2.25(c) são equivalentes
e, com base na propriedade associativa, elas são, por sua
(a)
(b)
Sistemas lineares invariantes no tempo 65
vez, equivalentes ao sistema da Figura 2.25(d), que per-
cebemos ser uma combinação em cascata de dois siste-
mas, assim como na Figura 2.25(a), mas com a ordem do
cascateamento invertida. Consequentemente, a resposta
ao impulso unitário de uma cascata de dois sistemas UT
não depende da ordem em que eles são cascateados.
Na verdade, isso é válido para um número arbitrário de
sistemas LIT em cascata: a ordem em que são colocados
em cascata não importa no que diz respeito à resposta ao
impulso geral do sistema. As mesmas conclusões se apli-
cam ao tempo contínuo.
É imponame enfatizar que o componamento dos
sistemas LIT em cascata - e, em particular, o fato de que
a resposta geral do sistema não depende da ordem dos sis-
tentas em cascata - é espeáfico para sistemas desse tipo.
Em contraposição, a ordemdos sistemas não lineares na
cascata não pode ser mudada, de modo geral, sem alterar a
resposta finaL Por exemplo, se tivermos dois sistemas sem
memória, um sendo uma multiplicação por 2 e o outro
elevando a entrada ao quadrado e, se multiplicannos pri-
meiro e elevarmos ao quadrado em seguida, obteremos
yln] ~ 4<'[nl·
No entanto, se multiplicarmos por 2 depois de elevar ao
quadrado, leremos
y[n] ~ 2x'[n).
Portanto, a capacidade de alternar a ordem dos sistemas
em uma cascata é caraderística espeáfica dos sistemas LlT.
Na verdade. conforme mostrado no Problema 2.5 L prea-
samos da linearidade eda invariância no tempo para que
essa propriedade seja verdadeira de modo geral.
X1n] .1 h[n]" h,ln]. hin]
(e)
><[01--......\ h[nl"~[nJ.hl[nl
~-•• ~ol
1--...... y[n]
2.3.4 Sistemas UT com e sem memória
Conforme e~cificado na Seção 1.6.1. um sistema
é sem memória se sua saída em qualquer instante depen-
de apenas do valor da entrada naquele mesmo instante.
Da Equação 2.39, vemos que o único modo de isso ser
verdadeiro para um sistema LIT de tempo discreto é se
h(n] = Opara n :;é O. Nesse caso, a resposta ao impulso
tem a forma
h[n] ~ K6[n), (2.62)
(d)
><{ol---<.1 h:!ln] I--.j h,ln] f-_~ol
sendo K= h(O] uma constante, e a soma de convolução
se reduz à relaçâo
y[nl ~ KX[nJ. (2.63)
j
Figura 2.25 Propriedade associativa da convolução, sua implicação
e a propriedade comutativa para a interconexão em séries dos siste-
mas UT.
Se um sistema IlT de tempo discreto tem uma resposta ao
impulso h(n] que não é identicamente nula para n:;é O, en-
tão o sistema tem memória. Um exemplo de sistema LIT
66 Sinais e sistemas
1
;.
"
x[n) = x[n] , 6[n)
para alguma constante K e tem a resposta ao impulso
\
•·<
i•j
·1,
\
.'
j,
i,(2.67)
f--....~>«I)
h[n) , h,ln) = 6[n].
>«1)--....·1~
(b)
De modo semelhante, em tempo discreto, a resposta ao
impulso hj[n] do sistema inverso para um sistema LIT
com resposta ao impulso hln] deve satisfazer
Os dois exemplos a seguir ilustram a inversão e a
construçâo de um sistema inverso.
Figura 2.26 Conceito de sistema inve~ para sistemas LIT de tem-
po contínuo. Osistema com resposta ao impulso h,(~ é o inverso do
sistema com resposta ao impulso h(~se hl~ .. h,llt = ~It.
(a)
(2.64)
(2.•5)h(r) = K6(r).
Ylr) = Kxll).
com memória é o sistema dado pela Equação 2.42. A res·
posta ao impulso para~ sistema. dada na Equação 2.41, é
difermlt dt ztro para n =: 1.
Tendo como base a Equação 2.40, podemos deduzir
propriedades semelhantes para os sistemas LIT de ltDlpo
contínuo com e sem memória. Em c:spedaL um sistema
LIT de tempo continuo é sem memória se h(l) = Opara
t ... O, e tal rntema LIT sem memória tem a forma
Note que se K = 1 nas equações 2.62 e 2.65, então
esses sistemas se tomam sistemas identidades, com a saída
igual à entrada e com a resposta ao impulso unitário igual
ao impulso unitário. Nesse caso, as fórmulas da soma de
convolução e da integral de convolução implicam
•
Exemplo 2.11
Con.s:ldere o sistema UT consistindo de um desloca-
mento simples no tempo
x(r) = x(r) '6(r).
que se reduzem às propriedades seletivas dos impulsos
unitários em tempo continuo e em tempo discreto:-x[n) = L: xlk J6ln - k) y(l) = x(t - I~). (2.68) j
z(r - rJ = x(r) '6(r - rJ. (2.70)
Ou seja, a convolução de um. sinal com um impulso desloca-
do simplesmente desloca o sinal.
Para recuperar a ennada a partir da saída, isto~. inver·
ler o sistema. só precisamos deslocar a saída no sentido roa·
. trário. O sistema com~ dtslocamento de compensação é,
portanto, o sistema inverso. Ou seja. se tomamos
Esse sistema ~ um arriUl1.liJJr se to > Oe um aditmtadorse to <O.
Por exemplo, se t~ > O, então a saída no tempo t é igual ao
valor da entrada no tempo anterior t - lo. St= to = O, o sis-
tema na Equação 2.68 ~ o sistema identidade e, portanto,
sem memória. Para qualquer outro valor de 1ft esse sistema tem
memória, pois responde ao valor da entrada em um instante
diferente do instante corrente.
A resposta ao impulso para o sistema pode ser obtida
a panir da Equação 2.68, assumindo-se a entrada igual a
6(t), isto ~,
x(t) = I':x(r)6(t - í)dr.
2.3.5 Sistemas lIT invertíveis
Considere um sistema LIT de tempo contínuo com res·
posta ao impulso h(t). Baseado na discussão da Seção 1.6.2,
esse sistema é invertível somente se um sistema inverso
existe e que, quando conectado em série com o sistema
original produz uma saída igual à entrada do primeiro
sistema. Além disso, se um sistema LIT é invefÚveL então
de tem um inverso LIT. (Ver Problema 2.50.) Então, te·
mos a situação mostrada na Figura 2.26. Temos um siste-
ma com resposta ao impulso lI(t). Osistema inverso, com
resposta ao impulso 1I1(t), resulta em "'it) = x(1) - de
modo que a interconexão em série da Figura 2.26(a) é
idêntica ao sistema identidade na Figura 2.26(b). Como a
resposta total ao impulso na Figura 2.26(a) é h(t) * II
I
(t),
temos a condição que h.(t) deve satisfazer para que ela
seja a resposta ao impulso do sistema inverso, ou seja,
Logo.
h(q = 6Ir-rJ. (2.••)
,,
h(r) , h,lr) = 6(r). (2.66)
,,
J
j
Sistemas lineares invariantes no tempo fI]
então
Usando a soma ~ convolução. podemos calculn a~
desst sistema a uma emrada aIbitrária:
•
Exemplo 2.12
Considere um sistema LIT com resposta ao impulso
-y[n]~ E x[klu[n-kl· (2.72)
~-
Como u[n-k} é Opara n-k < Oe I para n -k;::' O, a Equação
2.72 toma·st
dos valores presentes e passados da entrada do sistema.
usando a integral e a soma de convolução. podemos u-
ladonar essa proprit:dade a uma propriedade correspon-
dente da resposta ao impulso de um. sistema m. Em ou-
tras palavras, para que um. sisf:t:ID.a lJT de tempo discreto
seja causal, y[rrl não deve dept:nder de x[i] para k > n.
Tendo como base a Equação 2.39. vemos que, para que
isso ocorra, todos os roefideDles h[n -ii que multiplicam
valores de xtkJ para k > n devt:ID. ser nulos. Sendo assim.
isso requer que a resposta ao impulso de um sistema ur
causal de tempo discreto satisfaça a condição
00
y[nl = Eh[kjx[n - kJ. (2.7')...
De modo semelhante. um sistema UI de tempo
conlÍnuo é causal se
h[n] ~ O par.! n < O. (2.77)
De acordo com a Equação 2.77. a resposta ao impulso de
um sistema LIT causal deve ser nula antes: que o impulso
ocorra, o que t coosisteDle com o conceito intuitivo de
causalidade. De modo mais geral como mostra o Pro-
blema 1.44, a causalidade de um sistema linear é equi-
valente à condição de rtpollSO inicüzl. isto é. se a entrada
de um sistema causal é Oaté determinado instante. en-
tão a saída também deve ser Oaté aquele instante. aim-
portante realçar que a equivalênda da causalidade e da
condição de repouso midal aplica-~ ~mente a sistemas
lineares. Por exemplo. como disrutido na Srçáo 1.6.6,
o siste:ma y[n] =h[nl + 3 é não linear. No entanto.
e:le: é causal e, de: fato, sem mem6ria. Por ouno lado, se
x[n] = 0, y[n) = 3 ';It. O, por isso ele não satisfaz a condi-
ção de repouso inicial.
Para um sistema LIT causal de tempo discreto, a
condição na Equação 2.77 implica que a representação
da soma de convolução na Equação 2.39 se toma
y[nJ= t x[k]h[n-k1 (2.78)
0-
e a fonna alternativa equivalente. a Equação 2.43, toma-se
(2.71)
(2.73)
h[n) = u{n].
y[nJ~ t x[k]
o-
Ou seja. esse sistema, que vimos pela primeira vez na Se-
ção 1.6.1 (ver Equação 1.92), é um somador ou acumu-
lador que calcula a soma cumulativa de todos os valores
da entrada até o instante pttsente. Como vimos na Seção
1.6.2, um sistema desse tipo é invertível. e seu inverso,
conforme dado pela Equação 1.99, é
y[n] ~x[nl-x[n-II, (2.74)
que é simplesmente uma operação dt difmnça de primeira
ordrnt. Escolhendo x[l1] == 5[1'1], descobrimos que a resposta
ao impulso do sistema inverso é
h, [nl = 6[nl-6[n-ll. (2.75)
Para verificar que h[n} na Equação 2.71 e h\[nl na Equação
2.75 são de fato as respostas ao impulso de sistemas UI que
são inversos um do outro, podemos testar a Equação 2.67
por cálculo direto:
h(t) • h. (t) = 6(1 - tol • 6(1 +tJ = 6(t).
Df: modo stmelhante, um d~lXamentono tt:mpo em
tempo discretotem resposta ao impulso unitário 6{n - nJ.
de modo que convoluir um sinal com um impulso deslocado
r o mesmo que deslocu o sinal Além disso. o inverso do
sistema ur com resposta ao impulso 6(11 - Prol i o sistema ur
que desloca o sinal na direção oposta peJa mtsma quantida-
de - isto é. o sistema UT com resposta ao impulso 6[n +nJ.
•
,,
I
i
I
J
h[nl' h,[n] = u[n]'[6[n]-6[n -IJI
= u[n]· 6[n]- u[n]1o 6[n -1]
~ u[n]- u[n -11
~6[nJ. (2.76)
•
Ui Causalidade dos sistemas LJT
Na 5eção 1.6.3, aprest:ntamos a propriedade de cau-
~dade: a saída de um sistema causal dept:nde apenas
h(t) == O para « 0, (2.80)
e, nesse caso. a integral de convolução é dada por
y(l) ~ J~X(T)h(1 - T)dT ~ /,00 h(T).x(1 -T)dT. (2.81)
Tanto o acumulador (h[nJ = lol(nJ) quanto seu in-
verso (h[n} = 6[n] - 6(n - II), descritos no Exemplo 2.12,
satisfazem. a Equação 2.77 e. portanto. são causais. O des-
locamento simples no tempo com resposta ao impulso
68 Sinais a sistemas
h(n = '(1- 1,1 / ",usai paraI, " O(quando o desl<lGlIIlelllO
no tempO ~ um atraso), mas é não causal para to < O(nes-
se caso, od~ no t.onpo é um adiantamento, de
modo que a saída antecipa valores futuros da. entrada).
Por fim,. apesar de a causalidade ser uma propriedade
dos sistemas, da ~ uma terminologia comum para se rde-
rir a um sinaL sendo causal se for nulo para n < Oou t < O.
A motivação para essa terminologia vem das equações
l.TI e 2.80: a causalidade de um sistema ur ~ equivalente
à sua resposta ao impuJso ser um sinal causal.
2.3.1 Estabilidade para sistemas UT
Lembre-se de que na Seção 1.6.4 falamos que um
sistema ~ estávtl se toda entrada limitada produz uma saí-
da limitada. Para determinar as condições sob as quais os
sistemas UI são estáveis, considere uma entrada x[n] que
é limitada em módulo:
Ponamo. a estabilidade de um sis(~ UI de tempo dis-
aeto é completamente equivaleme à Equação 2.86.
No (tmpo conÓlluo, obtemos uma caracterização
análoga da estabilidade em termos da resposta ao impu!·
se de um sistema LIT. Esped.ficam.erue, se lx(t)1 < B para
todo t, então, em analogia com as equações 2.83 a 2.85,
segue-se que
iY(l~ ~ II:h(r)x(l- r1d1
:5 L:lh(r~lx(l- r~dr
:5 BI:Jh(r~dr.
Logo, o sist~ é estável se a resposta ao impulso é abso-
lutammlt inttgrávd, isto é, se
,
•
1
e em tmlpo continuo,
D
Exemplo 2.13
Considere um sistema que apenas desloca a entrada
no tempo - em tempo conúouo ou em tempo discreto. En-
tão. em tempo discreto,
Assim como no tempo discreto, se a Equação 2.87 não
~ satisfeita. há entradas limitadas que produzem saídas
ilimitadas; portanto, a estabilidade de um sistema I.n de
tempo conÚD.uo é equivaleme à Equação 2.87. O uso das
equações: 2.86 e 2.87 para testar a estabilidade ~ ilustrado
nos pr6ximos dois exemplos.
>,
(2.87)
-ly[nll:5 2: Ih(kjlx[n- kj. (2.84)
p.-=
De acordo com a Equação 2.82, ~[n - k]1 < B para todos
os valores de k e n. Juntamente com a Equação 2.84, esse
fato implica
Ixtnil < B para todo n. (2.82)
Suponha que essa entrada seja usada para um sistema
LIT com resposta ao impulso unitário h[n). Assim, usan-
do a soma de convolução, obtemos uma expressão para
o módulo da saída:
I>1nj=~ h[kl>1n-k~. (2.83)
Como o módulo da soma de um. conjunto de números não
é maior que a soma dos módulos dos números,. segue-se, da
Equação 2.83, que
A panir da Equação 2.85, podemos conduir que se
a resposta ao impulso é abwlut4mrntt somáwl. isto é, se
então y(n] ~ limitado em módulo e, por isso. o sist~
é estável. Portanto. a Equação 2.86 é uma condiçio su-
fidente para garantir a estabilidade de um sistema LIT
de tempo discrelO. Na verdade, essa condição também
é uma condição necessária, pois, como mostrado no
Problema 2.49, se a Equação 2.86 não for satisfeita, há
entradas limitadas que resultam em saídas não limitadas.
!
J
conduímos, assim, que os dois sistemas são estávds. Isso
não deve sc=r uma novidade, pois, se um sinal é limitado em
módulo. então o será qualquer versão desk>cada no ttmpo
daquele sinal.
Agora coosidere o arumuJador desaito DO Exemplo 2.12.
Como discutimos na 5eção 1.6.4. este r um !iÍStem.a instávd
pois. se aplicarmos uma Oluada constante a um acumula-
dor. a saída aWDt=nta sem limite. 'l'amb&J. podWlOS ver que
esst sistema é instávd a partir do fato de que sua resposta ao
impulso uln} não é absolutamente somável:
= =2: Iu(nj~ Lu(nJ==
"- -
(2.86)
(2.85)-ly(nj:5 B 2: Ih(kj para todo n.---
Sistemas lineares invariantes no tempo 69
e
hlnl = s(nJ - 3[n -I). (2.92)
(2.93)
(2.94)
Ou seja, a resposta ao degrau de um sistema LIT de tfffiPO
discreto ~ a soma cumulativa de sua resposta ao impulso
(Equação 2.91). Inversamente, a resposta ao impulso de
wn sistema ur de tempo discreto ~ a diferença de pri.
meira ordem de sua resposta ao degrau (Equação 2.92).
De maneira similar, em tempo contínuo, a resposta
ao degrau de um sistema ur com resposta ao impulso
h(l) 1 dada por ,(~ = .(~ • h(I), que !llmbém 1 igual à
resposta de um integrador [com resposta ao impulso u(t)J
à entrada h{t). Ou seja, a resposta ao degrau unitário de
wn sistema LIT de tempo contínuo ~ a integral de sua
resposta ao impulso, ou
Em todo o livro, usaumos n duas nouções indiadas na Equ~
2.94 para I105 referirmos is primmas d~<W. Uuu nChÇio
anüos" sai USlIdoI~ dcriVoldu moIls elevada$.
e a panir da Equação 2.93, a resposta ao impulso unitário
é a primeira derivada da resposta ao degrau unitário, I ou
h(1) = ds(1) = "(I).
dI
2.4 Sistemas L1T causais descritos
por equações diferenciais e de
diferenças
Uma classe extremamente importante de sllitemas
de tempo contínuo ~ aquela em que a entrada e a saí·
da são reladonadas por meio de uma equação difmndal
limar com totfidtntrs constantes. Essas equações aparecem
na desaição de uma grande variedade de sistemas e de
fenômenos físicos. Por exemplo, conforme iluslIamos DO
Capítulo 1. a resposta do circuito RC na Figura 1.1 e o
movimento de um veículo sujeito a entradas de acelera-
ção e forças de atrito, como representado na Figura 1.2,
podem ser descritos por meio de uma equação diferencial
linear com coefidemes constantes. Equações difercndais
semelhantes surgem na descrição de sistemas mecânicos
contendo forças restauradoras e amonet'ed.oras. em dn~­
tica das reaÇÕC$ quúnicas e cm muitos outros contextos.
PortantO, tanto em tempo contínuo como em tempo
discreto, a resposta ao degrau unitário também pode ser
usada para caracterizar um sistema LIT, já que podemos
calcular a resposta ao impulso unitário a partir dela. No
Problema 2.45, expressões análogas à soma de convolu-
ção e à integral de convolução são obtidas para as repre-
sentações de um sistema LIT em termos da sua resposta
ao degrau unitário.
(2.90)y(l) = J:" x(r)dr.
J':I*~dr= r dr ==
Como a rtSpOSla ao impulso não ~ absolutamente integrável
o sistt:ma não é t$távcl. •
2.3J Aresposta ao degrau unitário de um sistema UT
At~ agora, vimos que a rtpresentação de um siste-
ma LIT, em função da sua resp&.>ta ao impulso unitário,
nos permite obter caracterizações bem explídtas das pro-
priedades do sistema. Espeàficamente, como h[nJ ou h(t)
determinam completamente o componamento de um
sistema m, fomos capazes de reladonar as propriedades
do sistema, como estabilidade e causalidade, às proprie-
dades da resposta ao impulso.
Há outro sinal também usado com bastante frequên·
da na descrição do componamento dos sistemas UT: a res-
posta ao drgrau unitário, s[n} ou s(r), correspondendo à saída
quandox[n] = u{n) ou x(t) = u(t). Será útiL em cenas oca-
siões, fazermos referênda à ~osta ao degrau, por isso é
imponante relacioná-Ia à resposta ao impulso. Tendo como
base a representação por soma de convolução, a resposta ao
degrau de um sistema LIT de tempo discreto é a convolu-
ção do degrau unitário com a resposta ao impulso, ou seja,
s(n] = u[nJ • h[n].
No entanto, pela propriedade comUlativa da convolução,
Si"} = h[nj· u[n] e, ponanto, s{n] pode ser visto como a
resposta à entrada h[n] do sistema LIT de tempo discreto
com resposta ao impulso unitário u[n]. Como vimos no
Exemplo 2.12, u[n] éa resposta ao impulso unitário do
acumulador. Logo,
•
srn] = I: h{k~ (2.91)--Tendo como bast: essa equação e o Exemplo 2.12, fica
claro que h[nJ pode su recuperado a partir de s[nJ usan-
do a relação
De modo semelhante, considere o integrador, o cor-
respondente de tempo contínuo do acumulador:
Este é um sistema instávtl exatamente pela mesma razão
dada para o arumu1ador, isto ~, uma entrada constante gera
uma saída que acscr sem limite. A ttSp05ta ao impulso para
o integrador pode ~r rncontrada ao se supor que x(t) = 5(1),
e, nesse caso,
1
70 Sinais e sistemas
Correspondentemente. uma classe imponante de sis-
temas de lempo discreto éaquela em que a entrada e a saí-
da são reladonadas por uma tquof'fu dt difmnças lintarcom
cotfititntts amstantls. Essas equaçOO são usadas para des-
cr~r o comportamwto sequenda1 de muitos processos
diferentes. Por exemplo. no Exemplo 1.10. vimos como as
equações de difermças aparecem na descrição do aaímu-
10 de capital em uma. conta bancária. e. no Exemplo 1.11.
vimos como elas podem ser usadas para descrever~
simulação digital de um sistema de tempo contínuo des·
oito por uma equação diferendal. Equa~ de düerenças
rambón surgem com bastante (requ~nda na espedficação
de sistemas de tempo discreto feitos para realizar opaa-
~ espeáficas no sinal de entrada. Por exemplo. o siste-
ma que calcula a diferença entre valores de entrada su-
cessivos. como na Equação 1.99. e o sistema descrito pela
Equação 1.104. que calcula o valor m~dio da entrada sobre
um intervalo. são descritos por equações de diferenças.
Em lodo o livro. haverá muitas ocasiões em que
consideraremos e examinaremos sistemas descritos por
equações diferendais e equações de düerenças lin~
com coefidentes constantes. Nesta seç1o. examinamos
primeiro esses sistemas para apresentarmos algumas
ideias básicas envolvidas na solução de equações dife·
renciais e de diferenças e para expormos e explorarmos
algumas propriedades dos sistemas descritos por essas
equações. Nos capitulos seguintes. desenvolvemos ferra·
mentas adiooDais para a a.ná.lise dos sinais e sistemas que
ajudarão bastante na nossa habilidade em analisar siste-
mas descritos por equações desse tipo. bem como na nos·
sa compreensão de seu comportamento e características.
2.4.1 Equações diferenciais lineares com
coeficientes constantes
Para introduzir algumas ideias imponantes relado-
nadas aos sistemas esped.ficados por equações difertn-
dais lineares com coeficientes constantes, considere uma
equação diferendai de primeira ordem. como na Equa·
ção 1.85. ou seja.
dy(l) +2y(l) = X(I). (2••5)
dI
sendo que y(t) r: a saída do sistema e x(t) r: a entrada. Por
exemplo. comparando a Equação 2.95 à Equação dife·
rendai 1.84 para a velocidade de um veículo sujeito a
forças de atrito e aplicadas. vemos que a Equação 2.95
corresponderia exatamente a esse sistema se y(t) fosse
identificado com a velocidade do veíru10 v(1). se x(t) fosse a
força aplicada fil) e se os parâmetros na Equação 1.84 fos·
sem normalizados em unidades tal que 111m = 2 e 11m = I.
Um aspecto muito imponante sobre as equaÇÓ(:s di-
ferenciais como a Equação 2.95 é que elas fornecem uma
espedficação implícilQ do sistema. Ou seja. elas descrevem
a relação entre a entrada e a saída. em vez de uma ex·
pressão explídta para a saída do sistema como uma função
da entrada. Para obtermos a expressão explídra. de~os
resolver a equação diferendaL Para enronuar uma solu-
ção. precisamos de mais infonn.aÇ(ks. além da fornecida
somente pela equação diferendal. Por exemplo. para de·
terminar a velocidade de um automóvel no fim de um
intervalo de dez segundos. quando ele foi submetido a
uma aceleraçio constante de 1 m/~ por dez segundos.
também prerisamos saber com que velocidade o veírulo
se movia no início do intervalo. Oe modo semelhante. se
sabemos que uma fonte de tensão constante de I volt é
aplicada ao drcuito RC na Figura 1.1 por dez ~dos,
não podemos detenninar qual r: a tensão do capacitor no
final daquele intervalo sem saber também qual é a tensâo
inidaJ do capacitar.
De forma mais geral para resolver uma equação
diferendal. devemos espedficar uma ou mais condi-
ções auxiliares; depois disso. em prinápio. podemos ob-
ter uma expressão explídL1 para a saída em termos da
entrada. Em outras palavras. uma equaçâo diferencial
como a Equaçio 2.95 descreve uma resnição entre a en-
trada e a saída de um sistema. mas para descrever o siste·
ma completamenle. também precisamos ~d.ficar con-
dições auxiliares. Escolhas diferentes para essas condições
auxiliares. ponanto, levam a diferentes relações enne a
entrada e a saída_ De modo geral. este livro se concentra
no uso das equações diferenciais para descrever sistemas
LIT causais. e. para tais sistemas, as condições auxiliares
assumem uma foona simples e particular. Para ilustrar
este ponto e revelar algumas propriedades básicas das
soluções de equações diferenciais. vejamos a solução da
Equação 2.95 para um sinal de entrada espcáfico x(l).l
Nossa discussio sobtt I $OIuçio dali equações difermdais lineares
com codldmtes amstlnccs é~. pob partimo5 do prtndpio de
que o lellar tem alguma familiaridade com esse tnatcrlal. Para revi.·
são. recommdaJno:s alguns tCXCOS" sob~ a JOluçio de equaç6cs difc-
rend.m ordinárias. como f:>rdiMry Dif/trmliaJE4uatiDns. ). ed.. de BI·
RKHOFP, G.; e ROTA. G. C.(Nova YorIcJohn Wücyand Soas. 1978).
ou ElmtmtIvy~ EJ,1Ultiam. ). ed.. de BOYCE. W. E.; DI·
PRIMA. a. c. (Nova Yort:.John 'MJcy md Som. 1977). 'tlImbi!m
h:i uma pandc d.ivmldade de talOS qUI: di5cutcmcq~ dik-
I'CDCilIs no (OIlteXtO da Ieoria dos circuitos. Vc:c. por exemplo. ikJtic
C1mlil ThrlPry. de CHUA. L O.; DESCER. C. A.; KUH. E. S. (NOft
Yofk: Md:iraw-HilI Book Comp;my. 1987). Conforme menciona·
do no fextO••prcscnumos llO5 Clpáulos seguintes OUO'OS métodos
bastante úteis par1I resolver equaçOes difcrcnd.als lirtc~ que $C-
rão sufldcmcs Jl;IIlI nossos prop6:l:IfDS. Além disso. virios excrádos
envolvendo ;I soluçJo de equaçOes dUerenci.l.is são Induídos flCIS
~ no fun do ap[ruIo.
,,
J,
•;
•
i
,
í,
·
I
i
I
•
i
1
Cancelando o fator rl' nos dois membros da Equação 2.100,
obtemos
Y,lt) = Ye', (2.99)
sendo Yum número que devemos determinar. Substituindo
as tquaÇÕtS 2.96 e 2.99 na Equação 2.95 para t> O. temos
Y(I) ~ y,(t) +Y.II), (2.97)
sendo que a solução particular satisfaz a Equação 2.95 eY.(l)
é uma solução da equação diferenda! bomogênea
sendo K um número real.
A solução completa para a Equação 2.96 consiste na
soma de uma ~ofu,ão particular. Y,(t), e uma solução homogê-
nea. Y_Iil.lsto e,
KA=--.
5
uu
Como notado anteriormente, a Equação dilerenda1 2.95
não esped.fica. por si. SÓ, unicammte a resposta y(t) à entra-
da x(t} na Equação 2.96. Particularmente, a constante A
na Equação 2.106 ainda não foi determinada. Para que o
valor de A seja determinado, precisamos espedficar uma
condição auxiliar além da Equação dilerendaI2.95. Como
explorado no Problema 2.34, escolhas diferentes para a
condição auxiliar levam a diferentes soluções y(t} e, con-
sequentemente. a relações diferentes entre a enuada e a
saída. Conforme indicamos, em quase todo o livro, vamos
nos concentrar nas equações difertnciais e de diferenças
usadas para descrever sistemas UI causais e, nesse caso, as
condições auxiliares tomam a fOIl1la da condição inicial de
repouso. Ou seja, conforme é momado no Problema 1.44,
para um sistema UT causal. se x(t) = Opara t < 'O' enlão
y(1} deve ser igual a Opara ,< t•. Da Equação 2.96, v~05
que. para nosso exemplo, x(t) = Opara r < Oe, ponanto,
a condição de repouso inicial si.&Di6ca que y(t) = Ópara
t < O. Calculando a Equação 2.106 on 1= Oe mnsiderando
y(O) = 0, temos
Logo, para t > O,
Sistemas lineares irrvariantes no tampo 71
y(1)= ~[t)< _e-21 j, (1.107)
ao passo que para t < O, y(1) = Opor causa da condição de
rtpouso inidal. Combinando esses dois casos, temos a solu-
ção completa
K
O=A+-,
5
(2.98)
(2,96)
(2.\01)
(2.100)
3Y+2Y=K,
x(l) ~ K" ulll,
dy(t) +2y(l) = O.
di
3Y~+2Yê'=Kr'.
Um método usual para encontrara solução particular
para um sinal exponencial de entrada como o da Equação
2.96 é procurar pela chamada rtspostaforÇ'lda - isto é. um
sinal com a IDe5ma forma que a entrada. Com referência
ii Equação 2.95, como xlI) = Kt)J para t> O. admitimos a
hipótese de uma solução para r > Oda (orma
•
ExempioZ.14
Considttt a solução da Equação 2.95 quando o sinal
d~ enuada é
i
t
I
ou
de modo que
K
Y=S' (2.102)
(2.108)
•
Y,(t) = K t ", t>O. (1.103)
5
Para determinar y.(t). supomos uma solução da forma
A panir dessa equação, percebtmos que devemos tomar
s = -2 e que Acll é uma solução para a Equação 2.98 para
qualquu escolha de A. Fazendo uso desse lato e da Equação
2.1 03 na Equação 2.97, obtém-se queasoluçãoda equação di-
ferenda! para r > Oé
Y.(I) ~ Al'.
Substiruindo-a na Equação 2.98, chegamos a
As<' + lA" = U(, +2) = O.
(2.104)
(2.105)
(2.106)
o Exemplo 2.14 duada diversos pontos importan-
tes que dizem respeito às equações diferenciais lineares
com coeficientes constantes e aos sistemas que elas re·
presentam. Primeiro, a~ta a uma entrada.r(t) geral·
mrnte consistirá da soma de uma solução particular para
a equação diferendai e uma solução homogêoa - isto
é, uma solução da equação diferendai com entrada nula.
A solução homogénea costuma ser chamada de rnposta
natural do sistema. As respostas narurais de drcuitos dê-
tricos e sistemas mecànicos simples são exploradas nos
problemas 2.61 e 2.62.
No Exemplo 2.14, também vimos que, para dettrmi-
nar completamente a tdação entre a entrada e a salda de
um sistema desaito por uma equação difermdal como a
1
(2.111)
(2.110)
72 Sinais e sistemas
Equação 2.95. devemos espedficar condições auxiliares.
Uma implicação deste fato. ilustrada no Problema 2.34.
é que diferentes escolhas das condições auxiliares levam
a diferentes relações entre a entrada e a saída. Como
ilustramos no exemplo. empregaremos amplamente a
condição de repouso inidaI para sistemas descritos por
equações diferenctais. No enmplo. como a entrada era
O para t < O. a condição de repouso inicial implicou a
condição inicial ~O) = O. Como disstmos. e conforme.é
ilustrado no Problema 2.33. sob a condição de repouso
inicial o sistema dtsaito pela Equação 2.95 é LIT e cau-
sal.J Por exrmplo. ~multiplicamos a entrada na Equação
2.96 por 2. a saída resu!taDle st'ria duas vezes a saída na
Equação 2.108.
'é importante ressa1lar que a condição de repouso
inirial não especifica uma condição de zao inirial em um
ponto fixo no tempo. mas ajusta~ ponto no tempo de
modo que a resposta seja zero ati qu.t a entrada se tome
diferente de zero. Ponanto, se x(t) = Opara t :S to para o
sistema LIT causal descrito pela Equação 2.95. então
y(t) =Opara t:S Ir e usaríamos a condição inidaly(to) =O
para obter a saída para I> lo. Como exemplo físico. con-
sidere novamente o circuito na Figura 1.1, discutido
também no Exemplo 1.8. O repouso inicial para esse
exemplo corresponde ao prinápio de que, até conectar-
mos uma fonte de tensão diferente de zero ao circuito, a
tensão do capadtor é zero. Logo. se começarmos a usar
o drcuito hoje ao meio-dia. a tensão inicial do capao-
tor quando conectamos a fonte de tensão ao meio-dia
é zero. De maneira semelhante. se começarmos a usar o
circuito ao meio-dia de amanhã. a tensão inicial do capa-
citar no momento em que conectarmos a fonte de tensão
ao meio-dia de amanhã é nula.
Esse exemplo também nos ajuda a entender por que
a condição de repouso inicial toma um sistema descrito por
uma equação diferenriallinear com coeficientes constan-
tes invariante no tempo. Por exemplo. se execulamos wn
experimeDlo em um drcuito, começando a partir do re-
pouso inicial e depois assumindo que os coeficientes R e C
não mudam ao longo do tempo. esperaIÍarIlOS chegar aos
mesmos resultados se fizéssemos o experimemo hoje ou
amanhã. Ou seja,. se executarmos experimentos idênticos
nos dois dia.s. em que um drcuito começa em seu repouso
Na ~rda<k. como também I. mostrado no Prob~ 2.l4, se a
oondiçio ink:ia1 pua I Equaçlo 2.951. diftItntt de zero. O~e­
Da resu111.nt( I. linear por Ulaemento. Ou sei.. I resposta gttaI
pode SoU visa. dt!o modo semdhantt i FifUnl 1.43. mmo ii su-
pcrpo5il;io di rapcma is CXlDdlçOe:s iniciab isolacks (com .. en-
trada sendo O) ( ii resposla i cnlndl com COGdiçio iDiciil O. Isto
é, ii resposta do sisltDa UT aLUaI descrito pd.a Equaçio 2.95.
inicial ao meio-dia todos os d.i3.5. então esperaríamos ter
respostas identicas - isto é. respostas que são simplesmen-
te deslocadas 00 tempo por um dia em relaçâo ao outro.
Apesar de termos usado a Equação diferencial
de primeira ordem 2.95 como veículo para a discus-
são dessas questões. as mesmas ideias se estendem de
modo direto para os sistemas descritos por equações
diferenciais de ordem mais elevada. Uma equação dife-
rencial linear com coeficientes constantes de H-ésm
ordem geral é dada por
..ç... d'y(t) = {--b d' x(t) (2.109)
LJalt. •.It. LJ It. t'
t-o ar t-o dt
A ordem refere-se à derivada mais alta da saída y{l) que
aparece na equação. No caso de N = O, a Equação 2.109
é reduzida para
y(tl=..!..tblt. dtxy).
..... d1
Nesse caso, y(t) é uma função explícita da entrada x(l) e
suas derivadas. Para N ~ I. a Equação 2.109 descrtve a
saída implicitamente em. termos da entrada. Nesse caso,
a análise da equação procede da mesma forma que em
nossa discussão acerca da equação difereodai de primeira
ordem no Exemplo 2.14. A solução y(l) consiste em duas
partes - uma solução panicular para a Equação 2.109
mais uma solução para a equação diferencial homogênea
A d'y(t)_oLat It. - •
1<-0 dt
Referimo-nos às soluçôes dessa equação como respostflS
naturais do sistema.
Assim como no caso de primeira ordem. a Equação
diferencial 2.109 não define completamente a saída em
tennos da entrada, eprecisamos identificarcondiçâes auxi-
liares para determinar completamente a relação entrada-
-saída do sisU~ma. Mais uma Vet. escolhas diferentes para
essas condições auxiliares resultam. em diferentes rela-
ções entrada-saída.. mas. na maioria dos casos, neste livro
usaremos a condição de repouso inicial quando lidarmos
com sistemas descritos por equações diferenciais. Ou seja,
se x(l) = Opara t:S too supomos que y(t) = Opara t"::; lo e.
p<Jnanto. a resposta para t > 'o pode ser calculada a partir
da Equação diferencial 2.109 com as condições inidais
dy(to) dN-1y(toly(ta)=--=···= N I =0. (2.112)dt dt -
Sob a condição de repouso inicial o sistema descrito pela
Equação 2_109 é LIT e: causal. Dadas 3.5 condições iniciais
..'
j
Sistemas lineares invariantes no tempo 73
2.4.2 Equações de diferenças lineares com
coeficientes constantes
A correspondente de tempo discreto da Equação
2.109 é a equação de diferenças linear com coelidentes
constantes de N-ésima ordem
Uma equação desse tipo pode ser resolvida de maDeira
exatamente análoga à empregada para as equações di·
ferendais. (Ver Problema 2.32.)4 Espedficamente. a so-
lução y[nj pode ser csaita como a soma de wna solução
partirular da Equação 2.113 e uma solução da equação
homogénea
(2.117)
(2.11»
caso contráriolboh{n]= ao'O.
Ou seja. a Equação 2,1l6 nada é além de uma soma de
convolução. Note-se que a resposta ao impulso para ela
tem duração finita. isto é. é diferente d~ lUO somente
durante um intervalo de lempo de duração finlta. Por
causa dessa propriedade. o sistema esped.ficado pda Equa·
ção 2,116 cosrwna ser chamado de Mtma cmn rt:SpC1SCtJ tJO
impulsa de duraçãa jiniúI (FIR - Finitllmp.JsL Raponst).
Embora não sejam necessárias condições auxiliares
para o caso N = O, tais condições são necessárias para o
caso recursivo ~m que N ~ I. Para ilustrar a solução desse
tipo de equação e para compreender um pouco mais o
y(nl~ ~[~lx[n-k~ (2.116)
Esse é o correspondent~ em tempo discreto do sistema
d~ t~mpo contínuo dado na Equação 2.110. Aqui, y[n] é
uma função explídla dos valores presentes e prévios da
entrada. Por essa razâo, a Equaçâo 2.116 costuma ser de·
nominada tquafÕD "ãD rtCllrsiva, pois não usamos recur·
sivamente valores da saída calculados previam~nte para