Simulado_P2

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CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA 
_________________________________________________________________________________________ 
 
 Curso: Engenharia Elétrica / Engenharia da Computação 
Disciplina: Análise de Sinais 
 
Professor (a): Thiago Raposo Milhomem 
 
Centro Universitário IESB 
Engenharia Elétrica e de Computação 
Análise de Sinais 
Prof. Thiago Raposo Milhomem de Carvalho 
Simulado de Prova – P2 (2020/2) 
 
Texto e situação para as questões QO1 e QO2: 
 
Seja 𝑥(𝑡) um sinal periódico qualquer, com frequência fundamental 𝜔0 e coeficientes 𝑐𝑛 (𝑛 ∈ ℤ) de 
sua série de Fourier na forma exponencial complexa, isto é: 
 
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑐𝑛e
j𝑛𝜔0𝑡
∞
𝑛=−∞
. 
 
Considere que os coeficientes 𝑐𝑛 deste sinal sejam dados por: 
 
𝑐𝑛 = 𝛿[𝑛 + 1] + 𝛿[𝑛 − 1] + j𝛿[𝑛 + 2] − j𝛿[𝑛 − 2]. 
 
Para este sinal e situação apresentada, responda às questões QO1 e QO2 a seguir. 
 
Questão Objetiva nº 1 – QO1 
Se 𝜔0 = 1, a expressão para o sinal 𝑥(𝑡), em termos de senos e / ou cossenos será dada por: 
 
A) cos(𝑡) + jcos(2𝑡) B) 2 cos(𝑡) − 2sen(2𝑡) 
C) 2 cos(𝑡) + 2sen(2𝑡) D) 2 cos(2𝜋𝑡) + 2sen(4𝜋𝑡) 
E) 2 cos(𝑡) + j2sen(𝑡) 
 
Questão Objetiva nº 2 – QO2 
A potência média 𝑃𝑥 deste sinal 𝑥(𝑡) é: 
 
A) 𝑃𝑥 = 2 B) 𝑃𝑥 = 4 
C) 𝑃𝑥 = 10 D) 𝑃𝑥 = 0 
E) 𝑃𝑥 = ∞ 
 
 
 
Questão Objetiva nº 3 – QO3 
Considere um sistema linear e invariante no tempo (LTI) 𝑦(𝑡) = ℋ{𝑥(𝑡)} cuja resposta ao impulso 
ℎ(𝑡) = ℋ{𝛿(𝑡)} é dada pela expressão: 
 
ℎ(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 10)e−0,1𝑡, 
 
em que 𝑢(𝑡) é o degrau unitário. A respeito deste sistema, considere as seguintes afirmações: 
 
I. Este sistema é estável. 
II. Este sistema é causal. 
III. Este sistema possui memória. 
 
É correto somente o que se afirma em: 
 
A) I. B) II. C) III. D) I e III. E) I, II e III. 
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Disciplina: Análise de Sinais 
 
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Questão Discursiva nº 1 – QD1 
Seja 𝑥(𝑡) um sinal periódico dado pela seguinte expressão: 
 
𝑥(𝑡) = 2 + 5 cos(𝜋𝑡) − 5sen(𝜋𝑡) + 2 cos(2𝜋𝑡) − 3sen(3𝜋𝑡) 
 
Determine o valor RMS deste sinal. 
 
 
 
Questão Discursiva nº 2 – QD2 
Seja 𝑥(𝑡) um sinal periódico, definido da seguinte maneira: 
 
i) Define-se um pulso 𝑝(𝑡) de duração 𝑇 = 2: 
𝑝(𝑡) = {𝑒
−|𝑡| se − 1 ≤ 𝑡 ≤ 1,
0 caso contrário.
 
 
ii) A partir do pulso 𝑝(𝑡) assim definido, o sinal 𝑥(𝑡) é dado por: 
𝑥(𝑡) = ⋯+ 𝑝(𝑡 + 4) + 𝑝(𝑡 + 2) + 𝑝(𝑡) + 𝑝(𝑡 − 2) + 𝑝(𝑡 − 4) +⋯ = ∑ 𝑝(𝑡 − 2𝑘)
∞
𝑘=−∞
. 
 
Determine a expressão geral para os coeficientes 𝑐𝑛 da série de Fourier na forma exponencial 
complexa do sinal 𝑥(𝑡). Faça um esboço do correspondente gráfico de espectro de amplitude, 
indicando, explicitamente, seus valores para −3 ≤ 𝑛 ≤ 3. 
 
 
 
 
Questão Discursiva nº 3 – QD3 
Considere o sinal dado pela expressão 
𝑥(𝑡) =
1
2
sinc(𝑡 5⁄ ), ilustrado à direita (em 
que sinc(𝛼) = sen(𝛼)/𝛼). Seja 𝑠(𝑡) o sinal 
definido por: 
 
𝑠(𝑡) = 𝑥(𝑡) sen(20𝑡). 
 
Faça o que se pede nos itens a seguir: 
 
a) Obtenha a expressão para |𝑆(𝜔)| e 
esboce seu gráfico. 
b) Determine a energia 𝐸𝑠 do sinal 
𝑠(𝑡). 
 
 
Representação gráfica para o sinal 𝑥(𝑡) =
1
2
sinc(𝑡 5⁄ ). 
 
 
 
 
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Questão Discursiva nº 4 – QD4 
Considere a modulação em amplitude (AM DSB-SC) de dois sinais, 𝑥1(𝑡) e 𝑥2(𝑡) para posterior 
multiplexação em frequência. Isto é, obtêm-se os correspondentes sinais modulados 𝑦1(𝑡) e 𝑦2(𝑡) 
e transmite-se por um canal de comunicação o sinal resultante da soma 𝑠(𝑡) = 𝑦1(𝑡) + 𝑦2(𝑡). Os 
sinais 𝑥1(𝑡) e 𝑥2(𝑡) são dados por 
𝑥1(𝑡) = cos(2𝑡) 
𝑥2(𝑡) = 𝑒
−𝑡𝑢(𝑡) 
 
E são modulados com portadoras dadas por, respectivamente: 
 
𝑐1(𝑡) = cos(10𝑡) 
𝑐2(𝑡) = cos(20𝑡) 
 
Determine a expressão para 𝑆(𝜔) e esboce o gráfico de |𝑆(𝜔)|. 
 
 
Questão Discursiva nº 5 – QD5 
Considere o sistema LTI descrito pelo diagrama de 
blocos ilustrado na figura à direita. Obtenha a 
expressão e esboce o gráfico para a resposta ao 
impulso ℎ(𝑡) deste sistema. 
 
 
 
Questão Discursiva nº 6 – QD6 
Considere o sistema LTI ilustrado abaixo. Este sistema consiste de um circuito elétrico seletor de 
frequências, alimentado por tensão 𝑥(𝑡) (sinal de entrada), medindo-se a tensão 𝑦(𝑡) no capacitor 
(sinal de saída), conforme indicado: 
 
 
 
Obtenha, em função dos parâmetros R, L e C do circuito, a representação deste sistema por: 
 
a) sua equação diferencial relacionando 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡). 
b) seu diagrama de blocos, utilizando os elementos básicos (somador de sinais, multiplicador 
por escalar e integrador). 
 
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Séries de Fourier: 
𝑥(𝑡) = ∑ 𝑐𝑛e
j𝑛𝜔0𝑡
∞
𝑛 = −∞
 
𝑥(𝑡) =
𝑎0
2
+ ∑ [𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔0𝑡) + 𝑏𝑛sen(𝑛𝜔0𝑡)]
∞
𝑛 = 1
 
Coeficientes da série de Fourier: 
𝑐𝑛 =
1
𝑇
∫ 𝑥(𝑡)
〈𝑇〉
e−j𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 
𝑎𝑛 =
2
𝑇
∫ 𝑥(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑜𝑡) 𝑑𝑡
〈𝑇〉
 𝑏𝑛 =
2
𝑇
∫ 𝑥(𝑡) sen(𝑛𝜔𝑜𝑡) 𝑑𝑡
〈𝑇〉
 
Relações da série de Fourier: 
𝑐𝑛 =
1
2
(𝑎𝑛 − 𝑗𝑏𝑛) (se 𝑥(𝑡) é real e 𝑛 ≥ 1) 
𝑎𝑛 = 𝑐𝑛 + 𝑐𝑛̅̅ ̅ (se 𝑥(𝑡) é real e 𝑛 ≥ 0) 
𝑏𝑛 = 𝑗(𝑐𝑛 − 𝑐𝑛̅̅ ̅) (se 𝑥(𝑡) é real e 𝑛 ≥ 1) 
|𝑐𝑛| =
1
2
√𝑎𝑛
2 + 𝑏𝑛
2 (se 𝑥(𝑡) é real) e 𝑛 ≥ 1 
𝜙𝑛 = −arctg (
𝑏𝑛
𝑎𝑛
) (se 𝑥(𝑡) é real, 𝑎𝑛 ≥ 0 e 𝑛 ≥ 1) 
𝑑
𝑑𝑡
𝑥(𝑡) 
𝑆.𝐹.
↔ 𝑗𝜔0𝑛𝑐𝑛 
𝑥(𝑡 − 𝑡0) 
𝑆.𝐹.
↔ 𝑐𝑛𝑒
−𝑗𝑛𝜔0𝑡0 
Teorema de Parseval: 
1
𝑇
∫|𝑥(𝑡)|2
〈𝑇〉
𝑑𝑡 = ∑ |𝑐𝑛|
2
∞
𝑛 = −∞
= |
𝑎0
2
|
2
+
1
2
∑ (|𝑎𝑛|
2 + |𝑏𝑛|
2)
∞
𝑛 = 1
 
Outras fórmulas: 
∑𝛼𝑛
∞
𝑛=0
=
1
1 − 𝛼
 (se |𝛼| < 1) 
cos2(𝜃) =
1 + cos(2𝜃)
2
 sen2(𝜃) =
1 − cos(2𝜃)
2
 
cos(𝜃) =
𝑒j𝜃 + 𝑒−j𝜃
2
 sen(𝜃) =
𝑒j𝜃 − 𝑒−j𝜃
2j
 
Energia, Potência média (para 𝒙(𝒕) periódico) e valor RMS: 
𝐸𝑥 = ∫|𝑥(𝑡)|
2𝑑𝑡
∞
−∞
 𝑃𝑥 =
1
𝑇
∫|𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
〈𝑇〉
 𝑥𝑅𝑀𝑆 = √
1
𝑇
∫|𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
〈𝑇〉
 
 
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Tabela: Transformada de Fourier. Propriedades (esquerda) e pares de transformadas (direita). 
Propriedades Pares de Transformadas 
 𝒙(𝒕) 𝑿(𝝎) 𝒙(𝒕) 𝑿(𝝎) 
𝟏 𝑥(𝑡 − 𝑡0) 𝑒−𝑗𝜔𝑡0𝑋(𝜔) 𝟏 𝛿(𝑡− 𝑡0) 𝑒−𝑗𝜔𝑡0 
𝟐 𝑒𝑗𝜔0𝑡𝑥(𝑡) 𝑋(𝜔 − 𝜔0) 𝟐 𝑒𝑗𝜔0𝑡 2𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔0) 
3 𝑥(𝑡) cos(𝜔0𝑡) 
1
2
[𝑋(𝜔 − 𝜔0) + 𝑋(𝜔 + 𝜔0)] 𝟑 cos(𝜔0𝑡) 𝜋[𝛿(𝜔 − 𝜔0) + 𝛿(𝜔 + 𝜔0)] 
𝟒 𝑥(𝑎𝑡) 
1
|𝑎|
𝑋 (
𝜔
𝑎
) 𝟒 sen(𝜔0𝑡) −𝑗𝜋[𝛿(𝜔 − 𝜔0) − 𝛿(𝜔 + 𝜔0)] 
𝟓 
𝑑𝑛
𝑑𝑡𝑛
𝑥(𝑡) (𝑗𝜔)𝑛𝑋(𝜔) 𝟓 rect(𝑡) 2sinc(𝜔) 
𝟔 𝑡𝑛𝑥(𝑡) 𝑗𝑛
𝑑𝑛
𝑑𝜔𝑛
𝑋(𝜔) 𝟔 sinc(𝑡) 𝜋rect(𝜔) 
𝟕 𝑥(𝑡) ∗ 𝑦(𝑡) 𝑋(𝜔)𝑌(𝜔) 𝟕 𝑢(𝑡) 
1
𝑗𝜔
+ 𝜋𝛿(𝜔) 
𝟖 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡) 
1
2𝜋
𝑋(𝜔) ∗ 𝑌(𝜔) 𝟖 𝑒−𝑎𝑡𝑢(𝑡) (𝑎 > 0) 
1
𝑎 + 𝑗𝜔
 
𝟗 𝑋(𝑡) 2𝜋𝑥(−𝜔) 𝟗 ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
∞
𝑛=−∞
 
2𝜋
𝑇
∑ 𝛿 (𝜔 −
2𝑘𝜋
𝑇
)
∞
𝑘=−∞
 
 
Sinal sinc Sinal rect Teorema de Parseval 
sinc(𝑡) =
sen(𝑡)
𝑡
 rect(𝑡) = {
1 se |𝑡| ≤ 1
0 se |𝑡| > 1
 
∫|𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡
∞
−∞
=
1
2𝜋
∫|𝑋(𝜔)|2𝑑𝜔
∞
−∞
 
 
Outras fórmulas: 
cos2(𝜃) =
1 + cos(2𝜃)
2
 sen2(𝜃) =
1 − cos(2𝜃)
2
 
cos(𝜃) =
𝑒j𝜃 + 𝑒−j𝜃
2
 sen(𝜃) =
𝑒j𝜃 − 𝑒−j𝜃
2j
 
 
Expressão para 𝑿(𝝎) = 𝓕{𝒙(𝒕)} e para 𝒙(𝒕) = 𝓕−𝟏{𝑿(𝝎)} 
𝑋(𝜔) = ∫ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
 𝑥(𝑡) =
1
2𝜋
∫𝑋(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
∞
−∞