Aula 3 - Primos, MMC, MDC

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Curso Hokage Pro - Teoria dos Números - Aula 3 - Hokage Leonardo Nóbrega
PROBLEMAS
Problema 1. Ache todos os pares dos números p e q, tais que p - q = 3.
Problema 2 Determine todos os números inteiros positivos n tais que n, n + 2 e n + 4
sejam primos.
Problema 3. Prove que há infinitos primos da forma 4k - 1.
Problema 4. Achar os cinco menores primos da forma n² – 2.
Problema 5. (POTI) Mostre que n | (n − 1)! para todo número composto n.
Problema 6. (POTI) Prove que se n é composto, então possui um fator primo p ≤ √n.
Problema 7. Mostrar que o único primo da forma n³ - 1 é 7.
Problema 8. Mostre que todo inteiro da forma 8n + 1, com n > 1, é composto.
Problema 10. Verificar que todo inteiro pode escrever-se sob a forma 2km, onde o
inteiro k > 0 e m é um inteiro ímpar.
Problema 11. Sendo n um inteiro, calcule mdc (n − 1, n² + n + 1).
Problema 12. Sabendo que mdc (a, 0) = 13, encontre os valores do inteiro a.
Problema 13. Demonstre que 30 | (n5 − n), para todo inteiro n.
Problema 14. Encontre o menor inteiro positivo c da forma c = 22x + 55y, onde x e y
são inteiros.
Problema 15. Sendo n um inteiro, encontre os possíveis valores de mdc (n, n + 10).
Problema 16. Encontre todos os x, y e∈ Z tais que 1001x + 109y = mdc (1001, 109).
Problema 17. Sejam a, b inteiros positivos com mdc (a,b) = 1. Mostre que para todo c ∈ Z
com c > ab - a - b, a equação ab + by = c admite soluções inteiras com x, y ≥ 0.
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Problema 18. Calcule mdc (a + b, a − b), sabendo que a e b são inteiros primos entre
si.
Problema 19. Use divisões sucessivas para calcular mdc (a, b) e determine inteiros r e
s, tais que: mdc (a, b) = ra + sb (a) a = 24 e b = 14.
Problemas 20.
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DICAS
1.
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SOLUÇÕES
1. Aaaaa
2. Aaaaa
3. Aaaaa
4. Aaaaa
5. Aaaaa
6. Aaaaa
7. Aaaaa
5